02 campos escalares e vectoriais
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Funcoes
Domınio
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Campos escalares e vectoriais - Parte 1Analise Matematica 2
2o Semestre 2011/12
Versao de 16 de Maio de 2012
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FuncoesNeste capıtulo trabalhamos com funcoes
~f : Rn −→ Rm (n, m ∈ N, nao simultaneamente iguais a 1)
Se m = n = 1 estas funcoes designam-se por funcoes reais devariavel real e foram estudadas em AM1.
f : R −→ RSe m = 1 estas funcoes designam-se por campos escalares oufuncoes escalares.
f : Rn −→ R (n > 1)
Se m > 1 estas funcoes designam-se por campos vectoriais oufuncoes vectoriais.
~f : Rn −→ Rm (n ≥ 1)
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Exemplos:
1 f : D ⊂ R3 −→ R tal que f (x , y , z) = x + y + z
2 ~f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que
~f (x , y) =
(x + y , x − y , xy ,
x
y
)3 f : D ⊂ R2 −→ R tal que
f (latitude, longitude) = (altitude)
4 ~f : D ⊂ R2 −→ R3 tal que~f (latitude, longitude) = (altitude, humidade, temperatura)
5 ~f : D ⊂ R2 −→ R2 tal que ~f (latitude, longitude) =vector que indica a direccao e intensidade do vento
6 ~f : D ⊂ R3 −→ R3 tal que ~f (x , y , z) =vector que indica a direccao de escoamento de um fluıdo emmovimento
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Dado o campo vectorial
~f : R2 −→ R4
~f (x , y) =
(xy , x2 − y , x − 3y ,
x√
y
)e composto por 4 funcoes componentes ou funcoescoordenadas que sao:
f1(x , y) = xy
f2(x , y) = x2 − y
f3(x , y) = x − 3y
f4(x , y) =x√
y
Nota: estas funcoes sao campos escalares.
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Exercıcios
Faca um esboco do grafico das seguintes funcoes:
1 f (x , y) = 5
2 f (x , y) = x
3 f (x , y) = x + y
4 f (x , y) = y 2
5 f (x , y) = 2 + cos(x)
6 f (x , y) = x2 + y 2
7 f (x , y) = −√
x2 + y 2 + 3
8 f (x , y) = −√
x2 + y 2 + 3
9 f (x , y) =√
9− x2 − y 2
10 f (x , y) = −√
25− x2
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Domınio
Definicao (Domınio de uma funcao)
Dada uma funcao ~f : Rn −→ Rm (n,m ≥ 1) define-se odomınio de ~f por
D~f = {~x ∈ Rn : ∃1~y ∈ IRm, ~f (~x) = ~y}
Exemplo:
~f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que ~f (x , y) =
(x + y , x − y , xy ,
x
y
)tem como domınio D = {(x , y) ∈ R2 : y 6= 0}
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1
a⇒ a ∈ R \ {0}√
a⇒ a ∈ R+0
ln(a)⇒ a ∈ R+
|a| ⇒ a ∈ Ran ⇒ a ∈ R (n ∈ N)
cos(a)⇒ a ∈ Rsin(a)⇒ a ∈ R
tan(a)⇒ a ∈ R \{π
2+ kπ, k ∈ Z
}arccos(a)⇒ a ∈ [−1, 1]
arcsin(a)⇒ a ∈ [−1, 1]
arctan(a)⇒ a ∈ R...
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Determine o domınio das seguintes funcoes e represente-ogeometricamente:
1 ~f (x , y) = (ln(x), ln(y), x − y)
2 f (x , y) = xy
3 f (x , y) = 1√4−x2−y2
4 ~f (x , y) = (√−x2 + 1,
√4− y 2)
5 ~f (x , y , z) = ( −3√x2+y2+z2−9
, zex , y)
6 f (x , y) = arcsin( x2 ) +√
xy
7 f (x , y) = ln( x−y2x )
8 f (x , y) =√
y − 2x2
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Linhas e Superfıcies de Nıvel
Definicao
Seja f : R2 −→ R chama-se curva ou linha de nıvel k aoconjunto:
Nk = {(x , y) ∈ R2 : k = f (x , y), (x , y) ∈ Df } (k ∈ D ′f )
Se f : R3 −→ R chama-se superfıcie de nıvel k aoconjunto:
Nk = {(x , y , z) ∈ R3 : k = f (x , y , z), (x , y , z) ∈ Df } (k ∈ D ′f )
http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/contours/index.html
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Exercıcios
Calcule algumas linhas de nıvel das funcoes que se seguem ateconseguir fazer um esboco do grafico da funcao:
1 f (x , y) = xy
2 f (x , y) = x2 − y 2
3 f (x , y) = y − cos(x)
4 f (x , y) = e1
x2+y2
5 f (x , y) = ln(x2 + y 2)
6 f (x , y) = |x |+ |y |7 f (x , y , z) =
√x2 + y 2 − z2
(ver figuras)
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Distancia
Definicao (Distancia)
Dados dois pontos de Rn, P = (x1, ..., xn) e P ′ = (x ′1, ...x′n) a
distancia euclideana entre eles e dada por
d(P,P ′) =√
(x1 − x ′1)2 + (x2 − x ′2)2 + ...+ (xn − x ′n)2
Nota: d(P,P ′) = ||−−→PP ′|| e a norma ou comprimento do vector
−−→PP ′.
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Bola aberta ou Vizinhanca
Definicao (Bola aberta ou Vizinhanca)
Diz-se vizinhanca ε de um ponto ~a ∈ Rn (Bola aberta decentro em a e raio ε) ao conjunto
Bε(~a) = {~x ∈ Rn : d(~x ,~a) < ε}
ouBε(~a) = {~x ∈ Rn : ||~x −~a|| < ε}.
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Calcule:B5(3) =
B2(2,−3) =
B3(1, 2, 3) =
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Definicao
Seja ~a ∈ Rn e X ⊂ Rn.
~a e interior a X se
∃ε : Bε(~a) ⊂ X ;
se existe uma Bola de centro em ~a toda contida em X .
~a e exterior a X se
∃ε : Bε(~a) ⊂ Rn\X ;
se existe uma Bola de centro ~a que nao tem pontos de X .
~a e fronteiro a X se ∀ε > 0
Bε(~a) ∩ X 6= ∅ e Bε(~a) ∩ (Rn\X ) 6= ∅,
se qualquer Bola de centro em ~a tem pontos de X e deRn\X .
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Definicao
Seja ~a ∈ Rn e X ⊂ Rn .
a e ponto de acumulacao de X se
∀ε > 0, Bε(~a) ∩ (X\{~a}) 6= ∅;
se qualquer vizinhanca de ~a tem infinitos pontos de Xdistintos de ~a.
~a e ponto isolado de X se
∃ε > 0, : Bε(~a) ∩ X = {~a};
se existe uma Bola de centro em a que o unico ponto quetem de X e o proprio ~a.
~a e aderente a X se ~a ∈ X ou ~a ∈ fr(X )
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Definicao
Interior de X : int(X ) e o conjunto dos pontos interioresa X
Exterior de X :ext(X ) e o conjunto dos pontos exterioresa X
Fronteira de X : fr(X ) e o conjunto dos pontos fronteirosde X
Derivado de X : X ′ e o conjunto dos pontos deacumulacao de X
Aderencia de X : X e o conjunto dos pontos aderentes aX
Teorema
int(X ) ∪ ext(X ) ∪ fr(X ) = Rn e sao disjuntos 2 a 2
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Definicao
Um conjunto X de Rn e
aberto se X = int(X ) (⇔ X ∩ fr(x) = ∅)fechado se X = X (⇔ fr(X ) ⊂ X )
limitado se existir uma bola que o contenha.
compacto se for limitado e fechado.
Nota:
Existem conjuntos que nao sao abertos nem fechados
∅ e Rn sao abertos e fechados.
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Seja X o conjunto de R2 colorido a vermelho:
Complete:
{ } ∈ int(X )
{ } ∈ ext(X )
{ } ∈ fr(X )
{ } ∈ X ′
{ } ∈ X
{ } ∈ Pontos Isolados de X
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Exercıcios
1 Classifique topologicamente os conjuntos:
1 A ={
(x , y) ∈ R2 : −x2 + 1 < y < −2x2 + 2}
2 B ={
(x , y) ∈ R2 : |x | ≤ 1 ∧ |y | ≤ ex}
3 C ={
(x , y) ∈ R2 : (x2 + y 2 − 1)(4− x2 − y 2) > 0}
2 Calcule o domınio, Df , das seguintes funcoes. Representegeometricamente e classifique topologicamente Df .
1 f (x , y) =√
x(1− |y |)
2 f (x , y) =
{x2+y2
x−y (x , y) 6= (0, 0)
1 (x , y) = (0, 0)
3 f (x , y) = ln( xy ) + arcsin(x2 + y 2)
4 f (x , y) = ln(y − x)√
9− x2 − (y + 1)2
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Limite
Definicao (Limite de campo escalar definido em R2)
Seja f : Df ⊆ R2 −→ R e (x0, y0) um ponto de acumulacao dodomınio Df .O limite de f (x , y) quando (x , y) tende para (x0, y0) e l , eescreve-se
lim(x ,y)→(x0,y0)
f (x , y) = l
se e so se
∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀(x , y) ∈ Df \ {(x0, y0)},
(x , y) ∈ Bε(x0, y0) =⇒ f (x , y) ∈ Bδ(l)
ou seja,√(x − x0)2 + (y − y0)2 < ε =⇒ |f (x , y)− l | < δ)
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GeometricamenteEste limite implica que,para qualquer ponto (x , y) 6= (x0, y0) do domınio de f ,no disco de raio ε,o valor de f (x , y) esteja entre os planos de equacao z = l − δ ez = l + δ,ou seja, todos contidos no cilindro de raio ε e altura 2δ.
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Exemplo:
Vejamos selim
(x ,y)→(0,0)5 + 4
√x2 + y 2 = 5
ou seja, vejamos se
∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀(x , y) ∈ Df \ {(0, 0)},
(x , y) ∈ Bε(0, 0) =⇒ f (x , y) ∈ Bδ(5)
ou seja,√(x − 0)2 + (y − 0)2 < ε =⇒ |f (x , y)− 5| < δ)
Determine ε sendo δ = 10, δ = 110 , δ = 1
100 , δ qualquer...
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Revisoes: |ab| = |a| |b|
∣∣∣ab
∣∣∣ =|a||b|
|a + b| ≤ |a|+ |b|∣∣∣ab∣∣∣ = |a|b
|a| =√
a2
|a| ≤√
a2 + b2
0 ≤ a2
a2 + b2≤ 1
| sin(a)| ≤ 1
| arctan(a)| ≤ π
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Exercıcios: I
Mostre, por definicao de limite, que:
1 lim(x ,y)→(0,0)
f (x , y) = 0 onde f (x , y) = 3√
x2 + y 2 cos(xy)
2 lim(x ,y)→(0,0)
f (x , y) = 0 onde
f (x , y) = 2 sin(x + y)√
x2 + y 2
3 lim(x ,y)→(2,3)
f (x , y) = 7 onde f (x , y) = 2x + y
4 lim(x ,y)→(2,1)
x = 2
5 lim(x ,y)→(0,0)
4xy = 0
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Exercıcios: II
6 lim(x ,y)→(0,0)
x2y 2
x2 + y 2= 0 (ver fig.)
7 lim(x ,y)→(0,0)
4x3
x2 + y 2= 0
8 lim(x ,y)→(0,0)
1
x2 + y 2= 0 (se possıvel - ver fig.)
9 lim(x ,y)→(0,0)
x4 + 2y 3
x2 + y 2= 0
10 lim(x ,y)→(0,0)
xy sin(y
x) = 0
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Exercıcios: III
11 lim(x ,y)→(0,0)
(x2 + y 2) arctan(xy) = 0
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Limite
Definicao (Limite de campo escalar definido em Rn)
Seja f : Df ⊆ Rn −→ R e ~a um ponto de acumulacao dodomınio Df .O limite de f (~x) quando ~x tende para ~a e l , e escreve-se
lim~x→~a
f (~x) = l
se e so se
∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀~x ∈ Df \ {~a},
~x ∈ Bε(~a) =⇒ f (~x) ∈ Bδ(l)
ou seja,√(x1 − a1)2 + ...(xn − an)2 < ε =⇒ |f (~x)− l | < δ)
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Proposicao (Propriedades dos limites)
Sejam f : Df ⊆ Rn −→ R e g : Dg ⊆ Rn −→ R duas funcoesescalares e ~a um ponto de acumulacao de Df ∩ Dg .Se lim~x→~a f (~x) = l1 e lim~x→~a g(~x) = l2 entao
O limite e unico.
lim~x→~a
(f (~x) + g(~x)) = l1 + l2
lim~x→~a
(f (~x).g(~x)) = l1.l2
lim~x→~a
f (~x)
g(~x)=
l1l2
lim~x→~a
(cf (~x)) = c .l1
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Limite relativo
Definicao (Limite relativo a um conjunto)
Seja S um subconjunto de Df , f : Df ⊆ Rn −→ R e ~a umponto de acumulacao do domınio Df . O limite de f (~x)relativo a S quando ~x tende para ~a e l , e escreve-se
lim~x→~a~x∈S
f (~x) = l
se e so se
∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀~x ∈ S \ {~a},
~x ∈ Bε(~a) =⇒ f (~x) ∈ Bδ(l)
No caso em que S ={
(x , y) ∈ R2 : y = mx + b}
a esteslimites chamam-se os limites direccionais.
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Proposicao
Se o limite existir entao o limite relativo a qualquer conjuntoexiste e tem o mesmo valor.
Exercıcio:Que pode concluir se encontrar dois limites relativos
diferentes?
iguais?
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ExercıciosUtilize limites relativos para estudar os limites:
1 lim(x ,y)→(0,0)
x2
x2 + y 2(ver fig.)
2 lim(x ,y)→(0,0)
xy
x2 + y 2(ver fig.)
3 lim(x ,y)→(0,0)
x
x2 + y 2(ver fig.)
4 lim(x ,y)→(0,0)
x − y
x + y
5 lim(x ,y)→(0,0)
4xy
x2 + y 2
6 lim(x ,y)→(0,0)xy2
(x+y2)265/1
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Limites e propriedades
Definicao (Limites iterados ou sucessivos)
Seja f : Df ⊂ R2 −→ R e (a, b) um ponto de acumulacao dodomınio Df , entao os limites
limx→a
(limy→b
f (x , y)
), lim
y→b
(limx→a
f (x , y))
dizem-se limites iterados ou sucessivos.
Nota: o caso geral, de uma funcao definida em Rn, elimx1→a1 (· · · (limxn→an f (x1, · · · , xn))).
Proposicao
Se dois limites iterados forem diferentes (existirem e foremfinitos) entao nao existe limite.
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Exercıcios
Utilize limites iterados para estudar os limites:
1 lim(x ,y)→(0,0)
x − 2y
x + y
2 lim(x ,y)→(0,0)
4xy
(x2 + y 2)5
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Exercıcios Globais de Limites I
Estude a existencia dos seguintes limites.
1 lim(x ,y)→(0,0)
x4 + 2y 2
x2 + y 2
2 lim(x ,y)→(0,0)
y 2
x2 + y 2
3 lim(x ,y)→(0,0)
x2y
(x2 + y 2)2
4 lim(x ,y)→(−3,2)
y − 2
x + 3
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Exercıcios Globais de Limites II
5 lim(x ,y)→(0,0)
xy + 3
1− 2x2
6 lim(x ,y)→(0,0)
xy 2
x2 + y 4
7 lim(x ,y)→(0,0)
x sin
(1
y
)
8 lim(x ,y)→(0,0)
xy
x2 + 3y 2
9 lim(x ,y)→(0,0)
x2y
(x2 + y)2
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Exercıcios Globais de Limites III
10 lim(x ,y)→(0,0)
x4y
y 3 − x6
11 lim(x ,y)→(0,0)
x2y
(y + x2)2
12 lim(x ,y)→(1,1)
x + y − 2
x − y
13 limite de f nos pontos (0, 0); (1, 1); (1, 0); (0, 1), sendo
f (x , y) =
1− 2y + x se x + y < 1
1 se x + y = 12− x + y se x + 1 > 1.
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Topologia
Limites
Continuidade
Exercıcios Globais de Limites IV
14 limite de f nos pontos (1, 1); (−1, 0); (0, 2), sendo
f (x , y) =
x + y se x > 0
2 se x = 0x − y + 2 se x < 0.
15 indique para que pontos da recta y = −x existe limite def , sendo
f (x , y) =
1− 2y + x se x + y < 0
4 se x + y = 06− x + y se x + 1 > 0.
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Linhas de nıvel
Topologia
Limites
Continuidade
Exercıcios Globais de Limites V
16 limite de f nos pontos (1, 2); (2, 1); (2, 2), sendo
f (x , y) =
{2x − y se y < x
x2 se y ≥ x .
17 lim(x ,y)→(0,0)
~g(x , y) e lim(x ,y)→(0,2)
~g(x , y) onde
~g(x , y) =
e4−x2−y2
se x2 + y 4 ≥ 4e se (x , y) = (0, 0)1
x2+y2 se x2 + y 2 < 4
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Limites
Continuidade
Exercıcios Globais de Limites VI
18 lim(x ,y)→(0,−4)
f (x , y) onde
f (x , y) =
{x2
x2+(y+4)2 se (x , y) 6= (0,−4)
1 se (x , y) = (0,−4)
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Limites
Continuidade
Limite
Definicao (Limite de funcoes vectoriais)
Seja
~f : Df ⊆ Rn −→ Rm
~x 7−→ ~y = ~f (~x) = (f1(~x), ..., fm(~x))
e ~a um ponto de acumulacao do domınio D~f =Df1∩Df2
∩...∩Dfm.
O limite de ~f (~x) quando ~x tende para ~a e um vector de mcoordenadas onde cada uma corresponde ao limite da funcaocoordenada respectiva. Assim
lim~x→~a
~f (~x) =
(lim~x→~a
f1(~x), ... lim~x→~a
fm(~x)
)
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Limites
Continuidade
Exercıcios
Calcule:
1 lim(x ,y)→(1,2)
~f (x , y) onde ~f (x , y) = (x2, xy 2)
2 lim(x ,y)→(0,0)
~f (x , y) onde ~f (x , y) =(
ln(4− x2 − y 2), 3xyx2+y2
)
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Limites
Continuidade
Funcao composta (camposescalares)
Definicao
Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ R e f : Df ⊆ R −→ R duas funcoesescalares. Define-se a funcao composta de f com g como
f : D ⊆ Rn −→ R~x 7−→ (f ◦ g)(~x) = f (g(~x))
sendoD = {~x ∈ Rn : ~x ∈ Dg ∧ g(~x) ∈ Df }
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Continuidade
Exercıcios
1 Seja f (t) =√
t e g(x , y) = x2 + y 2 + 2. Calcule(f ◦ g)(1, 3), (f ◦ g)(1, 1) e (f ◦ g)(x , y).
2 Seja f (t) = t3 e g(x , y) = x − 4y . Calcule (f ◦ g)(1, 3),(f ◦ g)(1, 1) e (f ◦ g)(x , y).
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Limites
Continuidade
Funcao composta (camposvectoriais)
Definicao
Sejam ~g : D~g ⊆ Rn −→ Rp e ~f : D~f ⊆ Rp −→ Rm duas
funcoes vectoriais. Define-se a funcao composta de ~f com ~gcomo
~f ◦ g : D ⊆ Rn −→ Rm
~x 7−→ ( ~f ◦ g)(~x) = ~f (~g(~x))
sendoD =
{~x ∈ Rn : ~x ∈ D~g ∧ ~g(~x) ∈ D~f
}
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Limites
Continuidade
Exercıcios
1 Seja ~f (u, v) = (eu, ev ) e ~g(x , y , z) = (x2 + 2y 2 + z2, xyz).Calcule, se existir, ( ~f ◦ g)(1, 2, 3), ( ~f ◦ g)(1, 1, 1),( ~f ◦ g)(x , y , z) e ( ~g ◦ f )(x , y).
2 Seja ~f (u, v) = (u + v , u − v , uv) e ~g(x , y , z) = (xy , yz).Calcule, se exisitir, ( ~f ◦ g)(1, 2, 3), ( ~f ◦ g)(1, 1, 1),( ~f ◦ g)(x , y , z) e ( ~g ◦ f )(x , y).
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Limites
Continuidade
Continuidade
Definicao
Seja f : Df ⊂ Rn −→ R, e ~a um ponto de Df . Diz-se que f econtınua em a se e so
∃ lim~x→~a
f (~x) e lim~x→~a
f (~x) = f (~a)
Definicao
f diz-se contınua num dado conjunto S se f e contınua emtodos os pontos de S .
Nota: Se S = Df diz-se simplesmente que f e contınua.
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Continuidade
Propriedades das funcoescontınuas
Proposicao
Sejam f e g duas funcoes escalares com domınio contido emRn e contınuas em ~a. Entao,
f + g , f − g , f .g ef
g(g(~a) 6= 0)
sao contınuas em ~a.
Proposicao
Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ R contınua em ~a e f : Df ⊆ R −→ Rcontınua em g(~a). Entao
f ◦ g e contınua em ~a.
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Limites
Continuidade
Exercıcios I
Estude quanto a continuidade:1(ver figuras)
1
f (x , y) =x2 +
√sin(x + y)− ecos(y)
x − 3
2
f (x , y) =
2xy
x2 + y 2se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
3
f (x , y) =
xy 2
x2 + y 2se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
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Exercıcios II
4
f (x , y) =
xy(x2 − y 2
)x2 + y 2
se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
5
f (x , y) =
2x + 3y
x − yse x 6= y
5 se x = y
6
f (x , y) =
xy + 1
x2 − yse y 6= x2
0 se y = x2
7
f (x , y) =
{ √1− x2 − y 2 se x2 + y 2 ≤ 1
0 se x2 + y 2 > 1
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Exercıcios III
8
f (x , y) =
{x + y se x 6= y
0 se x = y
9
f (x , y) =
{ xy
x2 − y 2se x2 6= y 2
0 se x2 = y 2
10
f (x , y) =
(x − 1)y 2
(x − 1)2 + y 2se (x , y) 6= (1, 0)
10 se (x , y) = (1, 0)
11
f (x , y) =
{x + y se y ≤ x2
3x − 1 se y > x2
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Exercıcios IV
12
f (x , y) =
{ey − 2x se y ≤ 2x
ln(y − 2x) se y > 2x
13
f (x , y) =
1− 2y + x se y + x < 0
4 se y + x = 06− x + y se y + x > 0
1Pode confirmar usando http://math.hws.edu/xFunctions/89/1
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Continuidade
Prolongamento contınuo
Uma funcao f : Df ⊂ Rn −→ R diz-se prolongavel porcontinuidade ao ponto ~a ( ~a 6∈ Df ),se e so se
~a ∈ D ′f e existe lim(~x)→~a
~f (~x) .
O Prolongamento (contınuo) de f a ~a e
f (~x) =
{f (~x) se ~x ∈ Df
lim~x→~a
~f (~x) se ~x = ~a
Nota: esta funcao e contınua.
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Continuidade
Exercıcios I
Determine, se existirem, prolongamentos contınuos de:
1 f (x , y) = e− 1
x2+y2
2 f (x , y) = x2 cos(
1x2+y2
)3 f (x , y) = x2y
x4+y−sin(x)ao ponto (0, 0)
4 f (x , y) = x2
x3+y−tan(x)ao ponto (0, 0)
5 f (x , y) = x3 cos(y)+y3 cos(x)x2+y2 ao ponto (0, 0)
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Continuidade
Continuidade de funcoes vectoriais
Definicao
Uma funcao vectorial e contınua num ponto se e so se todasas suas funcoes coordenadas forem contınuas nesse ponto.
Exercıcios:Estude quanto a continuidade a funcao vectorial~f (x , y) = (f1(x , y), f2(x , y)) onde
f1(x , y) =
x5
x2 + y 2se (x , y) 6= (0, 0)
1 se (x , y) = (0, 0)
ef2(x , y) = cos(x + y)
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Continuidade
Faca um esboco das seguintes regioes
1{
(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 3, −1 ≤ z ≤ 3, z ≥ 0}
2
{(x , y , z) ∈ R3 : −9 ≤ −
√x2 + y 2, y ≥ 0
}3{
(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 4, y ≤ 0}
4{
(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 16, z ≤ 0, x ≥ 0}
5 {(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 25, x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0
}6
{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 2−
√x2 + y 2, y ≥ 0
}7{
(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z2 + 3, y ≤ x}
8
{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 5−
√x2 + y 2, y ≥ 0
}9 {
(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≥ 4, z ≥ x2 + y 2, z ≤ 9, x ≤ 0}
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