capítulo 2 fundamentos teÓricos del cÁlculo vectorial

2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 21

CCaappííttuulloo 22 FFUUNNDDAAMMEENNTTOOSS TTEEÓÓRRIICCOOSS DDEELL

CCÁÁLLCCUULLOO VVEECCTTOORRIIAALL DDIISSCCRREETTOO 2.1 LA RETÍCULA TIPO. En este capítulo se va a presentar el cálculo vectorial discreto que, siguiendo la filosofía de los métodos miméticos, nos proporcionará una herramienta de cálculo para la resolu-ción numérica de edp’s. Esto exige que se establezcan antes ciertas definiciones y pro-posiciones que nos ayuden a cimentar la estructura que vamos a edificar, lo que nos permitirá dotar de coherencia y completitud al discurso matemático que se va a presen-tar. El primer paso consiste en establecer el “soporte” de nuestra herramienta de cálculo. Este soporte hace referencia al medio en que nos vamos a encontrar. Por supuesto será un medio discreto, esto es, un conjunto finito o infinito numerable de puntos en el espa-cio n-dimensional. ¿Pero es suficiente con esta definición?. Si el objetivo es establecer un análogo al caso continuo vamos a tener que buscar alguna “relación” que represente las propiedades topológicas que se dan en él. Así pues se llega de forma natural a la definición de retícula. Definición 2.1: Retícula Sea V un conjunto discreto de puntos contenido en n . Sea χ una aplicación de conexión entre los elementos de V . χ se puede interpretar como la aplicación:

( ) ( )

: , ,

V Vx y x y

χ

χ

× →

→

que cumple las siguientes propiedades:

i) ( ), 0x xχ = no hay autolazos (no es una aplicación reflexiva)

ii) ( ), 1x yχ = si x e y están conectados o son adyacentes

( ), 0x yχ = en otro caso

iii) ( ) ( ), ,x y y xχ χ= propiedad de simetría

Entonces el par ( ),V χ recibe el nombre de retícula y se denota por ( ),V χΓ = .


En estas condiciones al conjunto V se le llama conjunto de nodos de la retícula y a χ se le llama relación de adyacencia de la retícula. Pues bien, imaginemos que ahora representamos geométricamente la conexión entre los nodos mediante segmentos rectilíneos o ramas. Sea E el conjunto formado por dichas ramas. Entonces llamamos gráfico de la retícula o simplemente grafo al par ( ),V E y lo

denotamos por ( ),Gf V E= . Este grafo simplemente tiene la misión de informar vi-sualmente de la conectividad de la retícula, sin tener mayor importancia para el cálculo que aquí se desarrolla. En la figura 2.1 puede observarse el grafo de una retícula irregu-lar en un espacio tridimensional.

Figura 2.1 Retícula irregular en un espacio tridimensional.

Fuente: elaboración propia.

De la retícula también nos interesará conocer su tamaño, pues nos indicará la enverga-dura del sistema lineal asociado que deberemos resolver. Así, llamaremos tamaño de la retícula al número de elementos contenidos en V y lo denotaremos por V . En general,

de ahora en adelante, la notación A denotará el cardinal de un conjunto finito Α dado. Después de estas definiciones básicas el objetivo ahora es desarrollar la teoría con vistas a establecer con facilidad un cálculo vectorial operativo. Es interesante saber, por ejem-plo, qué nodos están conectados a uno dado. Si bien ya lo podemos saber a través de la relación de adyacencia χ , será más útil dar una expresión explícita. Así definimos el conjunto ( ) ( ) tal que , 1i ix x V x xχ= ∈ =N como el conjunto de los nodos conecta-dos o adyacentes a x. Y siguiendo la notación anterior, llamaremos grado del nodo x a

( )xN . Esto es muy importante porque como se verá más adelante el grado del nodo condiciona la dimensión del tensor métrico y de los campos vectoriales asociados.

V

E


De hecho, podemos avanzar un poco más generalizando la definición de conjunto de nodos adyacentes. Así, el conjunto de nodos adyacentes a un conjunto de nodos Α dado vendrá determinado por la expresión: ( ) ( ) ( ) tal que , 1i i

y y

y x V y xχ∈ ∈

= = ∈ =A A

N A NU U (2.1)

En estas condiciones también nos podremos plantear la composición de conjuntos adya-centes, es decir, el conjunto determinado por ( )( )xN N , que representa los nodos ad-yacentes a los adyacentes de x. Diremos entonces que estos nodos están en relación de adyacencia 2 respecto de x. Y por tanto, una notación lógica y natural será denotar

( )( )xN N por ( )2 xN . Extrapolando esta notación, se obtiene que el conjunto de no-

dos en orden de adyacencia j se expresará como ( ) ( )( )( )j x x=N N N NK , lo cual

nos será muy útil al hablar de las plantillas de cálculo. Así pues, y como resumen, tenemos que una retícula genérica, irregular o no, viene de-terminada por un conjunto arbitrario V de puntos contenido en n , con una relación de adyacencia arbitraria χ , que define un grado arbitrario para cada nodo. Está claro que una retícula de este estilo será un tipo muy general y nos interesará más trabajar con retículas que guarden ciertas propiedades útiles para simplificar el esfuerzo de cálculo. Aparece, pues, la idea de retícula uniforme. Definición 2.2: Retícula uniforme no acotada. Sea , , ,W = 1 2 nw w wK una base de n . W quedará caracterizada por la matriz de

cambio respecto la base cartesiana , , ,1 2 ne e eK . Sea M la matriz de cambio.

↑ ↑

= ↓ ↓

1 nM w wL

Entonces, diremos que la retícula ( ),h hV χΓ = es homogénea no acotada de paso h>0 si cumple:

i) : nhV x h= = ⋅ ∈λM λ conjunto infinito numerable

ii) , , nhx y V∀ ∈ ∀ ∈λ

( ) ( ), ,x y x h y hχ χ= + ⋅ + ⋅λM λM

Que podríamos denominar como regla del paralelogramo, tal y como puede observarse en la figura adjunta.

j veces


Figura 2.2. Regla del paralelogramo en las retículas uniformes.


En estas condiciones diremos que W es la base de la retícula, donde las direcciones de los vectores base , 1, ,i n=iw K definen las líneas de red. Diremos también que Vh es el conjunto homogéneo no acotado de nodos o puntos de red, y que χ es la relación homogénea de adyacencia (o de conexión). Asimismo diremos que la retícula uniforme es ortogonal (respectivamente ortonormal) si W es una base ortogonal (respectivamente ortonormal). Sería interesante dar algunos ejemplos de las retículas uniformes que nos podemos en-contrar. Por lo general, las más útiles van a ser las retículas rectangulares y las triangu-lares, por ser las más simples y las que rellenan mejor el espacio. En las figuras adjuntas pueden observarse los grafos (locales) de estas retículas tanto en 2D como en 3D. Es importante remarcar que la teoría que se desarrolla en esta tesina es válida para espacios de dimensión n, lo que implica que las formulaciones para dos y tres dimensiones no son más que casos particulares. En primer lugar podemos ver las retículas rectangulares en 2D. En la figura 2.3 se muestra el caso más sencillo, que corresponde a tener una base de la retícula ortonormal y tener los pasos iguales tanto en la dirección x como en la dirección y. De esta forma la retícula se compone de cuadrados.

Figura 2.3. Retícula rectangular 2D con una base ortonormal.


x

y λM

λM x+hλM

y+hλM

h

h

1w

2w


El caso más general de retícula rectangular en 2D se muestra en la figura 2.4. Consiste en tener una base de retícula cuyos vectores formen un ángulo θ y donde los pasos sean distintos según cada línea de red. En este caso se componen paralelogramos.

Figura 2.4. Caso general de la retícula rectangular 2D.


A las retículas triangulares en 2D se les va a dedicar especial atención en este estudio. Precisamente el anexo 1 se dedica específicamente a hacer un análisis aplicado a este tipo de retículas como ejemplo de todo el desarrollo teórico de la tesina. Esta particular elección se debe a que las retículas triangulares representan un caso más general que las rectangulares, y contienen las complicaciones de cálculo típicas que nos podremos en-contrar. De hecho, se puede decir que, en general, cuanto más conexa sea una retícula más dificultad habrá en el cálculo. Pues bien, en la figura 2.5 se puede observar una retícula triangular genérica en la que la base no es ortogonal y los pasos son distintos según cada línea de red.

Figura 2.5. Retícula triangular en 2D. Fuente: elaboración propia.

θ

h1

h2

h1

h2

1w

2w

θ

1w

2w


Veamos ahora algunos ejemplos en 3D. Al aumentar de dimensión van a ocurrir dos cosas. La primera es que vamos a tener muchos más nodos que antes. La segunda es que vamos a poder establecer relaciones de conexión mucho más complejas entre los nodos. Todo esto nos va a llevar a una mayor dificultad para obtener las formulaciones de cál-culo. Sin embargo, va a ser interesante comprobar la potencia del método trabajando con este tipo de retículas. En la figura 2.6 se observa el grafo de la retícula rectangular en 3D teniendo en cuenta una base ortonormal, es decir, una retícula compuesta por cubos. Si en el caso 2D te-níamos 13 nodos en un ámbito local, ahora podemos contar 25. Posteriormente se mati-zará qué se entiende por ámbito local cuando se hable de las plantillas de cálculo. Ahora baste con saber que son aquellos nodos más “cercanos” a uno dado según la relación de adyacencia o conexión.

Figura 2.6. Retícula rectangular en 3D con una base ortonormal.


Como último ejemplo se muestra el caso de una retícula triangular en 3D o, mejor di-cho, una retícula de tetraedros. Ahora las relaciones de conexión son muy numerosas y difíciles de dibujar. El entramado de ramas muestra visualmente la dificultad que impli-ca trabajar operativamente en estas condiciones.

1w2w

3w


Figura 2.7. Retícula de tetraedros en 3D con una base no ortogonal.


De las retículas uniformes podemos obtener dos propiedades importantes que se deta-llan a continuación. Proposición 2.1: Simetría central local. Sea ( ),h hV χΓ = una retícula uniforme.

Sean los nodos y x h= + ⋅λM , y x h= − ⋅λM , para cada , nhx V∈ ∈λ

El nodo y representa el opuesto de y respecto el centro x .

Figura 2.8. Un nodo y su opuesto.


Entonces se cumple: ( ) ( )ˆy x y x∈ ←→ ∈N N

θ 1w2w

3w

x

y

y


Es decir, si un nodo “y” está conectado a “x”, también lo estará su opuesto. Y viceversa, si un nodo “y” no está conectado a “x”, entonces su opuesto tampoco lo estará. Demostración:

( ) ( ) ( ), 1 , 1 , ny x x y x h y hχ χ∈ ←→ = ←→ + ⋅ + ⋅ = ∀ ∈* * *λ M λ M λN Ya que la elección de *λ es arbitraria, vamos a escoger = −*λ λ . Con lo que ahora se obtiene lo siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ1 , , ,x h y h y x x y y xχ χ χ= − ⋅ − ⋅ = = ←→ ∈λM λM N Proposición 2.2: El grado de cualquier nodo de una retícula uniforme no acotada es el mismo y es un número par. Matemáticamente lo expresamos como: ( ) ( ) 2 , hGrado x x m m x= = ∈ ∀ ∈ΓN Demostración: De la definición de relación de adyacencia homogénea se desprende que el grado de cualquier nodo ha de ser el mismo. Por otro lado, el que sea un número par, viene de la propiedad anterior, puesto que si en una determinada dirección hay un nodo conectado, también lo estará su opuesto, y por tanto habrá dos nodos conectados por cada una de las m direcciones de la retícula. Por el momento, todo lo visto hasta ahora hace referencia a retículas no acotadas, es decir, no hemos impuesto restricciones en cuanto a su extensión. Pero en la práctica nos vamos a encontrar siempre con retículas que sí que van a estar acotadas, puesto que va-mos a resolver problemas de contorno de la física e ingeniería. Esto obliga a profundizar más en la definición de las retículas, distinguiendo claramente qué entendemos por no-dos interiores y nodos frontera. Si uno observa cómo se actúa en el continuo, parece claro que debemos encontrar una analogía para la bola de radio epsilon entorno a un punto, tan útil para definir nodos interiores, nodos frontera, puntos de adherencia, de acumulación, etc. Este concepto lo vamos a encontrar en la plantilla de cálculo o también llamada molécula computacional, que se define a continuación. Definición 2.3: Plantilla de cálculo de orden α (o molécula computacional de orden α ). Sea ( ),h hV χΓ = una retícula homogénea no acotada.

En virtud de que es una retícula uniforme

Por la propiedad de simetría


Llamaremos plantilla de cálculo de orden , α α ∈ , al conjunto de nodos definido co-mo: ( ) ( ) ( ) ( )2S x x x x xα α= N N NKU U U U (2.2) o equivalentemente:

( ) ( )1

j

j

S x x xα

α

=

= NU (2.3)

Esto es lo que entendemos como ámbito local, término al que se ha hecho alusión en los párrafos precedentes. La idea consiste en caracterizar al nodo x y a todos sus “vecinos”, entendiendo por vecinos aquellos que están conectados según χ . El tamaño de la plantilla de orden α se define como ( )S xα y es interesante conocerlo para determinar la cantidad de nodos que intervienen al ensamblar la matriz del sistema lineal asociado, el cual nos proporcionará la solución aproximada a nuestra edp. Una propiedad importante que se tratará más adelante es que el tamaño de la plantilla de orden α se corresponde con el número de nodos del esquema en diferencias para el operador diferencial de orden α . Si bien esto se enunciará para los operadores diferen-ciales de orden 1 y 2, es fácil inferir el resultado para cualquier α ∈ . Pues bien, ahora ya estamos en condiciones de presentar las retículas uniformes acota-das con sus nodos interiores y nodos frontera. Definición 2.4: Retícula uniforme acotada. La retícula ( ),h hV χΓ = de paso h>0 se dice que es uniforme acotada si se cumple:

i) : nhV x h= = ⋅ ∈Η ⊂λM λ donde H es un conjunto finito.

ii) χ es la relación de adyacencia homogénea definida para ( ),h hV χΓ = . Está claro que si ( ),h hV χΓ = es una retícula uniforme no acotada y ( ),h hV χΓ = es

una retícula uniforme acotada, entonces se cumple que h hΓ ⊂ Γ , es decir, la primera es una parte de la segunda. Definición 2.5: Los nodos interiores y los nodos frontera. Sea ( ),h hV χΓ = una retícula uniforme acotada. Entonces diremos que

x es nodo interior de ( ) tal que h hV S x Vαα←→ ∃ ∈ ⊂

Al conjunto de nodos interiores de hV se le denotará por hVo

, mientras que al conjunto

formado por los nodos frontera se le denotará por hV∂ y se definirá como /h h hV V V∂ =o

.


Llegados a este punto puede observarse cómo la analogía es evidente entre la plantilla de cálculo y la bola del espacio euclideano continuo. Así, el orden α hace las veces de radio epsilon, teniendo en cuenta para un caso la función de conexión y para el otro la función de distancia. El concepto resulta más claro al observar las figuras adjuntas. La primera se corresponde con la red rectangular 3D y la segunda con la red de tetraedros, ambas para un orden de adyacencia 1. Se incluyen sólo los casos de tres dimensiones por ser los más explicativos gráficamente.

Figura 2.9. Plantilla para la retícula rectangular 3D. Figura 2.10. Plantilla para la retícula de tetraedros.


Después de lo visto, quisiera hacer una observación al respecto. Con esta definición dada para la retícula uniforme acotada resulta que no hay adaptación perfecta a una geometría curva de la frontera. Esto se debe a que en todo momento se exige la regula-ridad, y el contorno no tiene porqué serlo. De todas formas, la mejor o peor adaptación al contorno vendrá determinada por el paso h que se escoja para la retícula y por la re-lación de adyacencia de los nodos. Así, las retículas triangulares por lo general se adap-tarán mejor a los contornos irregulares. No obstante, otra posibilidad hubiera sido hacer los pasos variables. Estaríamos entonces ante una retícula localmente irregular, o como también suelo llamar, una retícula casi-uniforme. Pero éste ya no es el ámbito de estudio de esta tesina.

Figura 2.10. Adaptación a la frontera. Fuente: elaboración propia.

ε ε

∂Ω

Nodos interiores

Nodos exteriores

Nodos frontera Plantilla de

orden 1


De hecho, a efectos de esta tesina, el desarrollo teórico del cálculo vectorial discreto se va a realizar en los nodos interiores de la retícula, evitando deliberadamente el análisis en el contorno. Esto es porque la herramienta de cálculo vectorial posibilita un desarro-llo teórico extenso en la frontera, tal como por ejemplo los teoremas integrales de la divergencia y de Stokes. Por ello, para los objetivos de esta tesina, resultaría excesivo abordarlo. Además sólo voy a trabajar con retículas uniformes, por ser las que ayudan a com-prender mejor el desarrollo teórico, pero también porque hay dos motivos por los que resulta más conveniente trabajar con ellas. Así, en primer lugar, el trabajar con retículas irregulares nos haría variar las expresiones de los operadores nodo a nodo, con las difi-cultades que implicaría de cara a su implementación informática. En segundo lugar, para mayor eficiencia computacional de cálculo, los ordenadores requieren retículas con una estructura simple para poder realizar fácilmente las operaciones. Por tanto, las retí-culas uniformes constituyen el ámbito de estudio más idóneo para su aplicación compu-tacional. Por último, es importante observar que, lo que puede condicionar o no la regularidad de nuestra retícula, es la geometría de la frontera. En cambio, en el interior del dominio, no hay ningún impedimento para usar retículas uniformes, y es precisamente allí donde se va realizar el estudio. Así que está más que justificado el estudio de las retículas uni-formes en esta tesina. 2.2. LA NOTACIÓN DE RETÍCULA. El propósito de este apartado es establecer una notación práctica que nos permita definir fácilmente las expresiones de los operadores diferenciales en la retícula. Como cualquier otra estrategia numérica, la discretización mimética del continuo va a generar un sistema de ecuaciones algebraicas que deberemos resolver para obtener la solución aproximada de nuestro problema elíptico. Esto lo podemos representar matri-cialmente con la expresión: ⋅ =R u f (2.4) donde R es la matriz del sistema lineal, que llamaremos matriz de rigidez u es el vector cuyas componentes son los valores que toma la función incógnita

en los nodos de la retícula. f es el vector cuyas componentes son los valores que toma la función dato en

los nodos de la retícula. Lo lógico será numerar los nodos de forma que nos permita ensamblar fácilmente el sistema lineal de ecuaciones. Por ello definiremos la función de numeración ( )Num x como aquella aplicación que asigna a cada nodo de la retícula un número natural J que, por cuestiones de notación, irá en mayúsculas por hacer referencia a la retícula global. Matemáticamente se expresará como sigue:


( )

: Num V

x Num x J→

→ =

Como es una aplicación biyectiva, también podremos pensar en la función inversa

1Num− , esto es, dado un número J podremos conocer cuál es el nodo asociado ( )1x Num J−= . Esto nos puede resultar útil cuando trabajemos con algoritmos de cara a

una implementación en programas informáticos. Pero con esto aún no es suficiente para trabajar de forma operativa. Necesitamos cono-cer la relación de conexión χ entre los nodos. Para ello haremos uso de la notación matricial, que caracterizará biunívocamente las retículas uniformes. Así definiremos F como la matriz de adyacencia o conexión de la retícula, cuya estructura será la siguien-te:

↑ ↑ ↑

= ↓ ↓ ↓

1 2 mF v v vL

Donde los vectores n∈kv serán aquellos que cumplan: ( ), 1 hx x h x Vχ + ⋅ = ∀ ∈kv es decir, x h+ ⋅ kv es un nodo adyacente. Estos vectores vendrán referidos generalmente a la base W de la retícula. Para obtener su expresión en la base cartesiana, será suficiente con multiplicar la matriz F por la matriz de cambio M. Hay que observar que por la propiedad de simetría central local de las retículas unifor-mes, sólo es necesario dar m vectores, puesto que los m restantes se obtienen de:

1, ,k m= − =m+k kv v K . A los nodos kv se les llamará vectores de adyacencia o co-nexión. A modo de ejemplo, en la figura 2.12 se muestran los vectores de adyacencia para la retícula triangular 2D y en la figura 2.13 para la retícula de tetraedros en 3D.

Figura 2.12. Vectores de adyacencia para la retícula triangular 2D.


n filas

1v

2v3v

1w2w


Expresión de los vectores: 3 2m n= =

( )( )

( )

1,0

1,1

0,1

W

W

W

= =

= + =

= =

1 1

2 1 2

3 2

v w

v w w

v w

Figura 2.13. Vectores de adyacencia para la retícula de tetraedros.


Expresión de los vectores: 7 3m n= =

( )( )

( )( )

1,0,0

1,1,0

0,1,0

0,0,1

W

W

W

W

= =

= + =

= =

= =

1 1

2 1 2

3 2

4 3

v w

v w w

v w

v w

( )( )

( )

0, 1,1

1, 1,1

1,0,1

W

W

W

= − = −

= − − = − −

= − = −

5 3 2

6 3 2 1

7 3 1

v w w

v w w w

v w w

En ambos casos m es mayor que n, es decir, hay más vectores de adyacencia que dimen-sión en el espacio. Esto quiere decir que se trata de retículas con gran conectividad, y hace que aparezcan relaciones dependientes entre los vectores adyacentes. Este hecho será de gran importancia en los capítulos 3 y 5. Volviendo con la matriz de adyacencia F, es importante comentar que es invariante en cada uno de los nodos interiores de la retícula si ésta es uniforme. Es por eso que nos va a ser muy útil para obtener las expresiones de los operadores discretos. Para terminar con esta sección dedicada a la notación de las retículas deberíamos hablar de las plantillas de cálculo. Pero esto se hará más adelante, en la sección 3.2. El hecho

1v

2v 3v

7v6v5v 4v

1w

2w

3w


de que no se incluya aquí se debe a que faltan aún por definir algunos conceptos que ayudarán a explicar mejor el porqué de su elección. 2.3. EL ESPACIO TANGENTE. Uno de los conceptos clave para desarrollar todo el cálculo vectorial que aquí se presen-ta es el de espacio tangente, pues nos va a proporcionar el rigor matemático para cimen-tar todo el aparato vectorial. Primero veamos cuál es su definición formal y después trataremos de entenderlo mejor. Definición 2.6: El espacio tangente. Para cada hx V∈ , definimos el espacio tangente en x como el espacio vectorial ( )x hT Γ de las combinaciones lineales formales de los segmentos incidentes con x, que denomi-namos xys , donde ( )y x∈N . Estos segmentos representan las ramas de conexión en el

nodo x. De esta forma, el sistema ( )xy y xs

∈N es una base de ( )x hT Γ y los elementos de

( )x hT Γ son de la forma ( )

y xyy x

v s∈

= ∑vN

donde yv ∈ para cada ( )y x∈N . Notar que

con esta definición ( ) ( )dim x hT xΓ = N para cada hx V∈ . Se trata, pues, de un espacio vectorial con la particularidad que está definido sobre una variedad discreta. Para mayor información sobre las variedades discretas consultar [8]. Lo que nos va a ayudar más para entender el concepto de espacio tangente es la geome-tría diferencial. Así, por ejemplo, el plano tangente a una superficie representa un sub-espacio vectorial del espacio tangente y gráficamente es como mejor podremos repre-sentarlo. En estas condiciones, el plano tangente está generado formalmente por las de-rivadas parciales de las variables en las que se parametriza la superficie (ver figura).

Figura 2.14. Representación del plano tangente a una superficie. Fuente: elaboración propia.

θ∂∂

ϕ∂∂


Dado que en nuestro caso, el medio discreto, no podemos hablar de diferenciabilidad, deberemos escoger unos elementos que hagan un papel análogo. Estos elementos son los segmentos xys , ya que informan de una determinada direccionalidad y sentido. Así que podemos definirlos como base de nuestro espacio tangente y por tanto la dimensión del mismo vendrá determinada por el número de segmentos que tengamos, es decir, el grado del nodo. Una forma simplificada de entenderlo sería considerar un plano tangente en cada uno de los nodos de la retícula, pero teniendo en cuenta que en realidad no es un plano, sino todo un espacio de dimensión ( )xN , que en las retículas uniformes equivale a 2m. Por último quisiera aclarar algunos conceptos que pueden dar lugar a confusión. No se deben confundir los elementos del espacio tangente con los vectores de n . Me explico. Los vectores de adyacencia 1, ,k m=kv K se obtienen como combinación lineal de los vectores de la base vectorial W , es decir, pertenecen a n . Sin embargo no pertenecen al espacio tangente, pues no se pueden obtener como combinación lineal de los segmen-tos xys . Recordemos que la dimensión de los vectores kv es n y la dimensión del espa-cio tangente es 2m. 2.4. DESARROLLO DEL CÁLCULO VECTORIAL DISCRETO. En esta sección se van a definir los operadores que constituirán la herramienta de cálcu-lo para obtener la solución aproximada de las edp’s elípticas. Pero antes será necesario introducir unos conceptos previos de carácter formal. Siguiendo el espíritu de la tesina, se presentará la teoría como la analogía al caso conti-nuo. Por ello, se considerarán las retículas hΓ de paso h>0 como variedades discretas. Así, se hará uso del espacio tangente, ya visto en la sección anterior. Esto nos permitirá definir los conceptos de campo vectorial, campo de matrices y los productos internos en el espacio de funciones de retícula y en el espacio de los campos vectoriales. Empezaremos denotando por ( )hVC al conjunto de las funciones reales definidas en hV , esto es, en el conjunto de nodos de la retícula. De esta forma las funciones que perte-nezcan a ( )hVC tendrán un soporte definido por los nodos cuyo valor de la función sea

no nulo, es decir, si ( )hu V∈C , entonces ( ) ( ) 0hSoporte u x V u x= ∈ ≠ . Está claro que las funciones pertenecientes al conjunto ( )hVC tendrán un soporte discre-to, y por tanto, no necesitaremos hablar de propiedades de diferenciabilidad. El siguiente paso es definir qué se entiende por campo vectorial. Lo podemos ver como una aplicación que asigna a cada nodo un vector de su espacio tangente. Así, si f es un campo vectorial entonces para cada hx V∈ , ( ) ( )

( ),

y xx f x y

∈

= ∑ xyf sN

, donde recordemos


que ( )y x∈xysN

representa la base del espacio tangente en x. De forma equivalente, un

campo vectorial puede representarse a través de su función componente, es decir, la fun-ción : h hf V V× → tal que para cada hx V∈ , ( ), 0f x y = si ( )y x∉N . El conjunto de campos vectoriales definidos en hΓ lo denotaremos por ( )hVX . Al igual

que antes, el soporte de un campo vectorial f perteneciente a ( )hVX será el conjunto finito de nodos donde el valor de f es diferente de 0. Profundicemos un poco más en los campos vectoriales. Si f es un campo vectorial di-remos que es no negativo si su función componente es no negativa, y lo denotaremos por ≥f 0 . Además, diremos que f representa un campo vectorial no negativo, cuya

función componente vendrá dada por f . Por extensión, si ( )hV∈f,g X , la inecuación ≥f g representará que el campo vectorial dado por la diferencia es no negativo, es de-

cir, − ≥f g 0 . En el contexto de las retículas uniformes, llamaremos flujo a un campo vectorial f cuya función componente satisfaga que ( ) ( ), ,f x y f y x= − para todo , hx y V∈ . El nombre de flujo se debe a la mecánica de medios continuos, donde el flujo saliente de una pro-piedad a través de una superficie es igual al flujo entrante cambiado de signo, puesto que la normal a la superficie tiene el signo opuesto. Continuando con más definiciones para las retículas uniformes, diremos que el campo vectorial f es homogéneo si existe un vector ( ) 2m

jb= ∈b , donde 2m es el grado de

los nodos de la retícula, tal que ( ), j jf x x b= para cada hx V∈ y cada ( )jx x∈N , 1, , 2j m= K . En este caso diremos que el campo homogéneo f está determinado por el vector b , y será un flujo si se cumple que , 1, ,j m jb b j m+= − = K . Bien, hemos definido el espacio de funciones de retícula y el espacio de campos vecto-riales sobre la retícula. Para seguir con nuestro objetivo debemos ahora definir los pro-ductos internos que nos permitirán mediante técnicas de composición y dualidad obte-ner los operadores en diferencias. Es importante remarcar que estos productos internos se definen para soportes finitos de las funciones ( ), hu v V∈C y de los campos

( )hV∈f,g X . De esta forma, si ,f g son las funciones componente de los campos ( )hV∈f,g X , la

expresión ( ),f g denotará la función perteneciente a ( )hVC definida por: ( )( ) ( )

( )( ), , , , h

y xx f x y g x y x V

∈

= ⋅ ∈∑f gN

(2.5)

Así, definiremos el producto interno en el espacio ( )hVX como:


( )( ) ( )( )

( )1 1, , , ,2 2

h hx V x V y xx f x y g x y

∈ ∈ ∈

= = ⋅∑ ∑ ∑f g f gX

N

(2.6)

donde el factor ½ es debido a que cada segmento adyacente se tiene en cuenta dos ve-ces. Recordemos que la relación de adyacencia cumple la propiedad de simetría. Tam-bién hay que observar que esta definición recuerda en gran medida al producto escalar de los campos vectoriales continuos, sin más que cambiar el sumatorio por la integral. En la misma línea definiremos el producto estándar en ( )hVC , es decir, con el caso con-tinuo como modelo a seguir, pero teniendo en cuenta un soporte discreto, lo cual nos llevará a la siguiente expresión: ( ) ( ) ( ), ,

h

hx V

u v u x v x u v V∈

= ⋅ ∈∑CC (2.7)

Sin embargo, con todo esto, aún no es suficiente para determinar los operadores en dife-rencias. Falta por introducir el concepto de campo de matrices en la retícula. Así, al igual que los campos vectoriales, un campo de matrices sobre hΓ se define como la aplicación A que asigna a cada nodo hx V∈ una matriz ( )xA cuadrada de orden

( )dim x hT V , que equivale justamente al grado del nodo x. Veamos qué tipos de campos de matrices nos podemos encontrar y cuales van a ser los más idóneos para nuestros propósitos. Diremos que A es un campo de matrices no singulares si para cada hx V∈ la matriz

( )xA es no-singular. En este caso denotaremos por 1−A al campo de matrices inversas. También diremos que el campo de matrices A es diagonal, simétrico o definido positi-vo si para cada hx V∈ la matriz ( )xA es diagonal, simétrica o definida positiva, respec-tivamente. De esta forma diremos que A es un tensor métrico si es un campo simétrico y definido positivo. Además, un tensor métrico A es diagonal si y sólo si la base del espacio tangente es ortogonal. Observar que esto no son más que propiedades que se infieren del caso continuo. En el contexto de las retículas uniformes, la matriz ( )xA será siempre de orden 2m y tendrá la siguiente estructura:

( ) ( ) ( )( ) ( )x x

xx x

=

1 2

3 4

A AA

A A

donde ( )x1A , ( )x2A , ( )x3A , ( )x4A son matrices cuadradas de orden m. En estas condiciones, diremos que el campo de matrices A es isotrópico por bloques si para cada hx V∈ existen ( ) ( )1 2,x xA A matrices simétricas de orden m tales que:


( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2

2 1

x xx

x x

=

A AA

A A

Además diremos que A es isotrópico si es isotrópico por bloques y existen funciones

( )1 2 3, , ha a a V∈C tales que para cada hx V∈ , ( ) ( ) ( )1 1 2 ( )x a x a x= + −A I J I y

( ) ( ) ( )2 3 2 ( )x a x a x= + −A I J I , donde I es la matriz identidad y J es la matriz cuyos coeficientes son iguales a 1. Siguiendo la notación que se propone para las retículas, el coeficiente de la matriz ( )xA que corresponde a la fila j-ésima y a la columna k-ésima se expresará como

( )jka x , donde los índices j,k hacen referencia a la numeración local de los nodos adya-centes a x, es decir, si jx x h= + ⋅ jv y kx x h= + ⋅ kv , entonces: ( ) ( ) ( ), , , 1, , 2jk x j k xa x a x x a x h x h j k m≡ = + ⋅ + ⋅ =j kv v K Sobre el tema de la numeración local de la plantilla de cálculo se dará más información en la sección 3.2. Ahora sigamos con más definiciones de los campos de matrices. En el contexto de las retículas uniformes, al igual que con los campos vectoriales, po-demos definir campos de matrices homogéneos de la siguiente forma; si existe una ma-triz ( )ija=A de orden 2m tal que ( ) , , 1, , 2ij ija x a i j m= = K para cada hx V∈ , enton-ces diremos que el campo de matrices es homogéneo y está determinado por la matriz

( )ija=A . Por supuesto todas las propiedades hasta ahora expuestas son aplicables al campo de matrices inverso siempre y cuando el campo sea de matrices no-singulares. En particu-lar, si A es un tensor métrico, entonces es no-singular y 1−A también es un tensor mé-trico. Ahora ya estamos en condiciones de definir el cálculo operativo sobre las retículas. Em-pezaremos por definir el gradiente como nuestro operador básico a partir del cual ob-tendremos todos los demás, tal y como es usual en el caso continuo. Definición 2.7: El operador gradiente. El operador gradiente sobre hΓ asigna a cada ( )hu V∈C el campo vectorial u∇ dado por la siguiente expresión:

( ) ( ) ( )

2

1

( ( ))( ) , ,

j

jh j x h

m

j

u x u x

x xu x x V x x T V

=

−

−∇ = ⋅ ∈ ∈ ∈∑ j jxx xxs sN (2.8)

que en las retículas uniformes podemos definir de forma equivalente como


( ) ( )

2

1

( ( ))( ) ,h x h

m

j

u x h u xu x x V T V

h=

+ ⋅ −∇ = ⋅ ∈ ∈

⋅∑ j jj

jxx xx

v

vs s (2.9)

donde hace referencia a la norma euclideana en n y h es la frecuencia de paso de la retícula. Está claro que ( )hu V∇ ∈X cuando ( )hu V∈C y que u∇ es siempre un flujo. Además,

0u∇ = si y sólo si u es una función constante, tal y como era de esperar. Notar, además, que haciendo el límite cuando h tiende a 0, la definición propuesta se corresponde con la derivada direccional del cálculo diferencial clásico. Definamos ahora el operador divergencia como aquel que asigna a cada ( )hf V∈X la

función ( ) hdiv V∈f C determinada por la relación: , ,u div u= − ∇f f

C X para cada ( )hu V∈C . (2.10)

Que se puede expresar de forma equivalente como:

( ) ( ) ( )( )1 ,2

h hx V x V

u x div x u x∈ ∈

⋅ = − ∇∑ ∑f f (2.11)

Esta relación se obtiene de la fórmula de Green, que puede utilizarse también como ca-racterización de la divergencia. De esta forma puede definirse formalmente la divergen-cia como el opuesto del operador gradiente adjunto respecto a los productos internos definidos en ( )hVC y ( )hVX . Esto es, matemáticamente, div ∗= −∇ en ( )hVC . Así pues, si f es la función componente del campo vectorial f , entonces:

( )( ) ( )2

1

, ,1 2

j j

j

m

j

f x x f x xdiv x

x x=

−=

−∑f , ( ),h jx V x x∈ ∈N (2.12)

o de forma equivalente para las retículas uniformes:

( )( ) ( )2

1

, ,1 2

j jm

j

f x x f x xdiv x

h=

−= ∑

j

fv

, ( ),h jx V x x∈ ∈N (2.13)

Vamos a definir también dos operadores más, denotados por ∇A y ( ),∇b y dados por las siguientes expresiones:

( )2 2

1 1

( ) ( ), j

j

m m

ij hi j

u x u x

x xu x a x V

= =

−

−

∇ = ⋅ ⋅ ∈

∑ ∑ ixxA s (2.14)


( )( )2

1

( ) ( ), , j

j

m

j hj

u x u x

x xu x b x V

=

−

−∇ = ⋅ ∈∑b (2.15)

En notación matricial, según las definiciones dadas, tenemos que:

( ) ( )u x u x ∇ = ⋅ ∇

A A y ( )( ) [ ], ( )u x u x ∇ = ⋅ ∇

b b

Por supuesto, ( )hu V∇ ∈A X y ( ) ( ), hu V∇ ∈b C . Notar además que se toman homogé-neos el campo de matrices A y el campo de vectores b, puesto que sólo vamos a trabajar con operadores diferenciales elípticos de coeficientes constantes. Por último, para terminar con esta sección, comentar que todos los operadores definidos hasta ahora, a saber, ∇ , div, ∇A y ( ),∇b , sólo toman los valores de la función incóg-nita u en x y en los nodos de orden de adyacencia 1, es decir, en la plantilla de orden 1. Esto sugiere que una forma de indicar el orden de estos operadores discretos sea la plan-tilla de cálculo en la que se expresan. Así, un operador que tome valores en la plantilla de orden 1 será de orden 1, y se deberá cumplir que un operador que tome valores en la plantilla 2 es de orden 2. Pero esto lo veremos en el siguiente capítulo.

capítulo 2 fundamentos teÓricos del cÁlculo vectorial

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