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Geometria Analítica e Cálculo Vectorial no Plano

Ficha de Trabalho n.º 5 – Matemática A – 10.º Ano 1

FICHA DE TRABALHO N.º 5 – MATEMÁTICA A - 10.º ANO

GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VECTORIAL NO PLANO

“Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.”

Galileu Galilei

GRUPO I – ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA

1. Num referencial o.n. xOy sejam A e B dois pontos simétricos em relação à bissectriz dos quadrantes pares. Qual das

seguintes pode ser uma equação da mediatriz do segmento de recta AB ?

A 2 2 0x y B 0x C 2 2 0x y D 0y

2. Num referencial o.n. xOy, considere o segmento de recta AB tais que 0,2A e 2,B a b a a , com a

e b . Sabe-se que a bissectriz dos quadrantes ímpares é a mediatriz do segmento de recta AB .

Quais são os valores de a e de b?

A 0a e 2b B 1a e 1b C 3a e 1b D 1a e 3b

3. Considere, num referencial o.n. xOy, a circunferência definida por 2 2 4 4 0x y x y .

As coordenadas do centro e do raio da circunferência são, respectivamente:

A 1

,22

; 1

2 B

1, 2

2

;

1

4

C 1

2,2

; 1

4 D

1, 2

2

;

1

2

4. Considere, num referencial o.n. xOy, a elipse definida por 2 24 16x y k , com 0k , e de eixo maior 8.

Quais são as coordenadas dos focos?

A 1 2 15,0F e 2 2 15,0F B 1 2 5,0F e 2 2 5,0F

C 1 2 3,0F e 2 2 3,0F D 1 2 17,0F e 2 2 17,0F





5. Na figura está representada num referencial o.n. xOy uma circunferência centrada no ponto A, de coordenadas

2,2 e que contém a origem do referencial.

Qual das condições seguintes define o conjunto de pontos da região sombreada da figura?

A 2 2

2 2 8 0 0x y y x

B 2 2

2 2 8 0 0x y y x

C 2 2

2 2 8 0 0x y y x

D 2 2

2 2 8 0 0x y y x

6. Num referencial xOy considere os pontos 24,0A e 24,0B .

Seja ,P x y um ponto do plano tais que , , 50d P A d P B . Então a equação dada é equivalente a:

A 2 2

1625 576

x y B

2 2

1625 49

x y

C 2 2

1576 49

x y D

2 2

124 625

x y

7. Num referencial o.n. xOy considere os pontos , 2A k , 1,B k e ,P k k , com 0k .

Qual é o valor de k de que o ponto P pertença à mediatriz do segmento de recta AB ?

A 2 B 3

2 C 1 D

1

2

A

2

2

O x

y





8. Num referencial o.n. xOy considere a condição 3 2 2x x y .

Em qual dos referenciais está a representação da região do plano definida pela condição?

A|

B|

C|

D|

9. Na figura está representada um rectângulo divido em doze quadrados:

9.1. O vector 1

2AL OQ JC pode ser representado por:

A AC B GF C PQ D JH

y

x

y

x

y

O

x

y

x

O O

O

A

B

C

D

E

F

G

HI

J

K

L

MN

O

P

Q

RS

T





9.2. Qual é o valor real de k tal que 1

2AQ SR OE k AS ?

A 1

3 B

2

3 C

3

2 D 2

9.3. Suponha agora que o rectângulo está representado num referencial o.n. 1 2, ,O e e .

Sabendo que 3, 2M , 1AD e e 2AP e , quais são as coordenadas do ponto B ?

A 8 4

,3 3

B

10 4,

3 3

C

8 4,

3 3

D 10 8

,3 3

10. Considere os vectores não nulos u e v .

Qual das seguintes proposições é falsa?

A Se u e v são perpendiculares, então, u v u v .

B Se u k v , então, u k v .

C Se u k v , então, 7

2 3 42

u v u v k

D Se 1

2u v v , então, 4u v .

11. Num referencial o.n. 1 2, ,O e e considere os vectores não nulos 2 , 1u k k k e 1 21 2v k e e , com

\ 1,0k .

11.1. Os vectores u e v são colineares se:

A 1k B 1

3k C

1

3k D 1k

11.2. Quais são os valores de k tais que u v ?

A 2 1k k B 1 2k k

C 3 2k k D 2 3k k





11.3. Qual é o valor de k de modo que 1 22 2 6u k e v e ?

A 1 B 2 C 3 D 4

12. Considere a recta r definida por : 2r x a ay , com \ 0a . O ponto P, de coordenadas 4,1P , pertence

à recta r. Uma equação vectorial da recta r é:

A , 4,1 2,1x y k , k B , 0, 1 2,1x y k , k

C , 4,1 1,2x y k , k D , 0,4 2, 1x y k , k

13. Num referencial o.n. xOy sejam r e s as rectas definidas respectivamente por , 2,3 2,x y k a , k e

24 3x a y , com \ 0a . As rectas r e s são paralelas.

Qual é o valor de a?

A 2 B 3 C 4 D 5

14. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy, as rectas r e s e o quadrilátero ABCO .

Sabe-se que:

▪ o ponto A pertence ao eixo Oy e à recta r

▪ o ponto B pertence às rectas r e s e tem ordenada 5

▪ o ponto C pertence ao eixo Ox e à recta s

▪ a recta r é definida pelo sistema de equações paramétricas:

6 3 7 2x k y k , k

▪ 5, 3AC

14.1. Qual é a equação reduzida da recta s?

A 2

55

y x B 5 25

2 2y x C

55

2y x D

2 25

5 2y x

O

A

B

Cx

y

r

s





14.2. Qual é a área do quadrilátero ABCO ?

A 17 B 18 C 19 D 20

14.3. Qual das condições seguintes define o conjunto de pontos da região sombreada da figura, incluindo a

fronteira?

A 2 25 3

0 0 35 2 2

x y y x y x

B 5 25 2

0 0 32 2 3

x y y x y x

C 2 25 3

0 0 35 2 2

x y y x y x

D

5 25 20 0 3

2 2 3x y y x y x

Adaptado de um exercício da minha sebenta “Propostas de Testes Intermédios – Matemática A – 11.º Ano”

GRUPO II – ITENS DE RESPOSTA ABERTA

15. Na figura está representada num referencial o.n. xOy uma circunferência centrada em A que contém o ponto B e de

raio igual a 13 .

Sabe-se que:

▪ o ponto A pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares;

▪ 1,0B

▪ o ponto C pertence ao eixo Oy e à circunferência;

▪ o ponto D pertence à circunferência e tem a mesma

ordenada que o ponto C.

15.1. Mostre que uma equação da circunferência é 2 2

2 2 13x y .

15.2. Mostre que as coordenadas do ponto D são 4,5 .

x

y

O

A

B

C D





15.3. Determine uma equação da mediatriz do segmento de AD , apresentando-a na forma y mx b , com

,m b .

15.4. Seja 2, 4P a a a , com a , um ponto do segundo quadrante pertencente à recta CD. Mostre que P

pertence à bissectriz dos quadrantes pares.

15.5. Defina, por meio de uma condição, a região sombreada da figura.

Nota: as fronteiras a carregado devem ser incluídas e as fronteiras a tracejado devem ser excluídas.

16. Considere, num referencial o.n. xOy, a condição 2 2

1 2 9 4 2 2 3x y x y .

Represente a região do plano definido pela condição e determine a sua área.

17. Na figura estão representadas, em referencial o.n. xOy, uma recta r e duas circunferências: uma centrada no ponto

A e que contém o ponto O e outra, de equação 2 2

4 7 13x y , centrada em B.

Sabe-se que:

▪ as coordenadas do ponto A são 2,3 ;

▪ o ponto Q pertence às duas circunferências e tem ordenada 5;

▪ o ponto P pertence à circunferência centrada e B e tem abcissa 6;

▪ a recta r é tangente às duas circunferências no ponto Q.

17.1. Escreve uma condição que defina a circunferência centrada em A e mostre que a abcissa do ponto Q é 1.

17.2. Justifique que AQ BQ e escreva uma equação da recta r, apresentando-a na forma y mx b , com

,m b .

17.3. Mostre que o triângulo AOQ é rectângulo em A e, usando este facto, determine o valor exacto da área da

região sombreada a cinza da figura.

17.4. Mostre que as coordenadas de P são 6,4 e justifique que as áreas regiões sombreadas a cinza e a

amarelo são iguais.

x

y

O

A

B

3 P

Q

2





18. Num referencial o.n. xOz considere a elipse definida pela equação 2

2 250x b y a , com ,a b e

50 1b . Sabe-se que:

▪ a distância focal é 14

▪ o ponto de coordenadas 2

5,2

pertence à elipse.

Sejam 1F e

2F os focos da elipse e ,P x y um ponto do plano pertencente à elipse.

18.1. Mostre que 1 2, , 10 2d P F d P F e escreva a equação da elipse na forma reduzida.

18.2. Determine a área do losango ABCD , onde A, B, C e D são os vértices da elipse.

19. Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, a elipse de focos 1F e 2F e o triângulo 1 2PF F .

Sabe-se que as coordenadas do ponto P são 3 5 5

,4 4

e que a área do triângulo 1 2PF F é 5 5 .

19.1. Determine as coordenadas dos focos e o comprimento do eixo maior.

19.2. Mostre que uma equação da elipse é 2 23 24x y .

19.3. Sejam A e B os pontos de intersecção da elipse com a bissectriz dos quadrantes pares. O ponto A tem

abcissa positiva e o ponto B tem abcissa negativa.

a) Determine as coordenadas de A e de B e justifique que o quadrilátero 1 2AF BF é um paralelogramo.

b) Determine a área do paralelogramo 1 2AF BF .

O

P

1F2F

x

y





20. Na figura está representado um quadrilátero ABCD e um triângulo ABG .

Sabe-se que:

▪ os pontos E e F pertencem ao lado CD

▪ o ponto E pertence ao lado BG e o ponto F ao lado AG

▪ EF k CD , FG k AG e EG k BG , com k

Usando cálculo vectorial, mostre que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo.

21. Considere num referencial o.n. 1 2, ,O e e os vectores 5, 3u e 1 22 3v e e e os pontos 0,3P e

1, 1Q k , com k .

21.1. Considere que 8k e seja 3 2 3w QP u v .

a) Mostre que 5, 30w .

b) Seja T um ponto tais que 2 3TQ w u v . Determine as coordenadas do ponto T.

21.2. Determine as coordenadas do ponto Q de modo que 2 5PQ v .

21.3. Determine um vector de norma 17 e colinear com o vector u v .

21.4. Determine k de modo que 2

13QP k v e .

21.5. Escreva um sistema de equações paramétricas que defina a recta que contém o ponto P e tem a direcção do

vector u w .

22. Considere num referencial o.n. xOy a circunferência definida por 2 2 6 7 19 0x y x y e a recta r definida

pelo sistema de equações paramétricas : 2 2 1 5r x k y k , k .

22.1. Mostre que o centro da circunferência pertence à recta r.

22.2. O ponto 4,4P pertence a um semicírculo limitado pela circunferência e pela recta r.

Defina, por meio de uma condição, o referido semicírculo.

E

A

C

D

B

F

G





23. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um quadrilátero ABCD .

Sabe-se que:

▪ os pontos A e D são simétricos em relação à bissectriz

dos quadrantes ímpares

▪ o vector BC tem de coordenadas 7, 3 e o vector

DC tem de coordenadas 6,2

▪ o ponto B pertence ao eixo Oy e tem ordenada 2

23.1. Mostra que as coordenadas do ponto A são 3,1 e que as coordenadas do ponto C são 7, 1 .

23.2. Escreva uma equação vectorial da mediatriz do segmento de recta AC .

23.3. Defina por uma condição a região sombreada da figura, incluindo a fronteira.

Adaptado de um exercício da minha sebenta “Propostas de Testes Intermédios – Matemática A – 11.º Ano”

24. Na figura está representada num referencial o.n. xOy uma circunferência centrada em D que contém o ponto A e o

paralelogramo ABCD .

Sabe-se que:

▪ o ponto B pertence à bissectriz dos quadrantes pares;

▪ 2, 1A

▪ 13

,32

AC

▪ a recta AB é paralela a Ox.

24.1. Mostre que as coordenadas do ponto D são 3

,22

e escreva uma equação da circunferência.

24.2. Determine a de modo que o ponto de coordenadas 2 1,

8a a

pertença à mediatriz do segmento de

recta BD .

24.3. Escreva uma equação vectorial do segmento de recta AC .

O

A

CD

x

B

y

O

A

B

C

D

y

x





24.4. Seja 2, 1 2u k k , com k . Determine k de modo que os vectores u e BC sejam colineares.

24.5. Seja M o ponto médio do segmento de recta CD . Determine ,x y tais que AB yDB xMA .

24.6. Defina, por meio de uma condição, a região sombreada da figura, incluindo a fronteira, começando por

escrever a equação reduzida da recta BC.

25. Num referencial o.n. xOy considere as rectas r e s, estritamente paralelas, definidas respectivamente por

2 6y a x x e , 0, 4 2, 6x y a k , k , com \ 0a .

25.1. Mostre que 2a .

25.2. A recta r intersecta o eixo Oy no ponto A e a recta s intersecta o eixo Ox no ponto B.

a) Determine a área do triângulo AOB .

b) Escreva uma equação do círculo de diâmetro AB .

c) Escreva uma equação vectorial da recta r.

26. Na figura está representada, num referencial o.n, xOy, o triângulo isósceles ABC e a circunferência, centrada

em D que contém os pontos A e B.

Sabe-se que:

▪ o ponto D pertence ao eixo Ox e à mediatriz do segmento de

recta AB

▪ o ponto B tem abcissa igual a 3

▪ uma equação da recta AC é 9 8 49 0x y

▪ uma equação vectorial da recta AB é , 1, 1 1,2x y k , k

26.1. Mostre que a ordenada do ponto B é 3 e escreva a equação reduzida da recta AB.

26.2. Mostre que as coordenadas do ponto A são 1, 5 .

26.3. Determine a equação reduzida da mediatriz do segmento de recta AB e mostre que as coordenadas do

ponto C são 9,4 e as do ponto D são 1,0 .

B

A

C

O

Dx

y





26.4. Determine a área do triângulo ABC

26.5. Defina por uma condição a região sombreada da figura, incluindo a fronteira.

SOLUCIONÁRIO

GRUPO I – ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA

1. A 2. B 3. D 4. C 5. D 6. B 7. D

8. B 9.1. C 9.2. B 9.3. A 10. C 11.1. B 11.2. A

11.3. C 12. B 13. A 14.1. B 14.2. A 14.3. D

GRUPO II – ITENS DE RESPOSTA ABERTA

15.3. 2 11

3 2y x 15.5.

2 22 2 13 0 4x y x y x

16.

60 9

2regiãoA

17.1. 2 2

2 3 13x y 17.2. 3 13

2 2y x 17.3.

13 26

4

18.1. 2

2 150

xy 18.2. 10 2ABCDA

19.1. 1 4,0F ; 2 4,0F ; 4 6 19.2. a) 6, 6A ; 6, 6B

19.3. b) 8 6ABCDA

21.1. b) 10,36T 21.2. 1,0Q ou 1,3Q 21.3. 7 5 6 5

,5 5

ou 7 5 6 5

,5 5

21.4. 1k 21.5. Por exemplo, 0 3 27x y k , k

22.2. 2

25 7 94 3

2 2 4y x x y

23.2. Por exemplo, , 0, 10 1,5x y k , k

23.3. 1 3 1 10

2 2 23 7 3 3

y x y x y x y x

x O

1

2

3

5

y

2





24.1. 2

23 852

2 4x y

24.2. 3 14 3 14a a

24.3. 13

, 2, 1 ,32

x y k

, 0,1k 2.4. 7k 24.5. 2

3x y

24.6.

6 13:

7 7BC y x

Condição:

2 2

2 23 85 6 13 3 85 6 132 2 2 1

2 4 7 7 2 4 7 7x y y y x x y y y x

ou

2

23 85 6 13 6 132 2 1

2 4 7 7 7 7x y y y x y y x

25.2. a) 2AOBA 25.2. b) 2

21 823

3 9x y

25.2. c) , 0,6 1, 3x y k , k

26.1. 2 3y x 26.3. 1 1

2 2y x 26.4. 50ABCA

26.5. 2 21 13 9 49

0 0 1 512 4 8 8

x y y x y x x y

f trabalho n 5 matemÁtica a 10. ano€¦ · geometria analítica e cálculo vectorial no plano ......

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