escola secundária com 3º ciclo d. dinis versão1 grupo i i...

Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 2012/2013

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

TEMA 2 – Funções e Gráficos – Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo.

4º Teste de avaliação – versão1

Grupo I

1. Num referencial o.n. xOy, a interseção da recta r paralela a Ox e passando no ponto de

coordenadas 1,3 , com a reta s que é a bissetriz dos quadrantes ímpares é o ponto P de

coordenadas

(A) 1,1 (B) 1,1 (C) 3,3 (D) 3,3

2. Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz e um

sólido constituído por 3 cubos geometricamente iguais.

As arestas dos cubos ou estão contidas nos eixos

coordenados ou lhes são paralelas.

O ponto M tem coordenadas 4,4,4 .

A reta IM interseta o plano xOy no ponto de coordenadas

(A) 0,0,8 (B) 8,8,0 (C) 6,6,0 (D) 4,4,0

3. Considere, num referencial o.n. xOy, as retas: r definida por x 2y 6 , s definida por

y x 4 , t definida por 2x 2y 8 e z definida por y x 3 .

Quais das seguintes retas se intersetam num ponto do eixo Oy?

(A) r e z (B) r e s (C) z e t (D) s e t

As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.

Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão.

Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

Não apresente cálculos ou justificações.

Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

x

y

z

H

I J

L

N

Q

ME

P

G

OC

F

B A


4. Considere a condição 2 2

x 1 y 1 2 x 0

Em qual das opções seguintes está representado, em referencial o.n. xOy, o conjunto de

pontos definidos por esta condição?

5. Na figura seguinte, está representado, num referencial o.n. xOy, o gráfico de uma função f, de

domínio ]–2, 2[.

Em qual das opções seguintes estão três afirmações verdadeiras acerca da função f?

(A)

Tem 3 zeros

Não tem máximos nem mínimos

Não é par

(C)

Tem máximo e tem mínimo

É crescente no seu domínio

O contradomínio é ] –1,1[ (B)

Tem exatamente dois zeros


É crescente no seu domínio

(D)

É par

Tem exatamente dois zeros

O contradomínio é ] –1,1[


Grupo II

1. Na figura está representado, em referencial o.n.

Oxyz, um sólido que pode ser decomposto num

cubo e numa pirâmide quadrangular regular.

A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o

vértice P pertence ao eixo Ox e o vértice R pertence

ao eixo Oy.

Os vértices da base da pirâmide são os pontos

médios dos lados do quadrado [OPQR].

O ponto Q tem coordenadas 2,2,0 .

O volume do sólido é igual a 10.

1.1. Determine a cota do ponto E.

1.2. Determine uma equação da superfície esférica

que tem centro no ponto T e que contém o

ponto C.

1.3. O plano OQU interseta o sólido. Determine a área da secção produzida pelo plano OQU

no sólido dado.

Nota: se não resolveu 1.1. pode considerar que a cota de E é 9

2. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, o gráfico de uma função f, de domínio

2,7

2.1. Indique o contradomínio de f.

2.2. Indique o conjunto solução da condição f x 2 . Apresente a sua resposta na forma de

união de intervalos de números reais.

2.3. Determine valores exatos dos zeros de f.

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exato.


3. A Fernanda e a Gabriela são duas irmãs que frequentam a mesma escola. Certo dia, a

Fernanda está em casa e a Gabriela está na escola. Num certo instante, a Fernanda sai de

casa e vai para a escola e, no mesmo instante, a Gabriela sai da escola e vai para casa. Há

um único caminho que liga a casa e a escola. Ambas fazem o percurso a pé e cada uma delas

caminha a uma velocidade constante.

Seja f a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Fernanda, t minutos depois de

ter saído de casa (a contagem do tempo tem início quando a Fernanda sai de casa e termina

quando ela chega à escola).

Seja g a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Gabriela, t minutos depois de

ter saído da escola (a contagem do tempo tem início quando a Gabriela sai da escola e

termina quando ela chega a casa).

Indique em qual das opções seguintes podem estar representadas graficamente as funções f e

g.

Numa pequena composição, apresente, para cada uma das outras duas opções, uma razão

pela qual a rejeita.


4. Na figura está representado um retângulo [ABCD]

Este retângulo é o esboço de uma placa decorativa de 14 cm de comprimento por 10 cm de

largura e que será constituída por uma parte em metal (representada a cinzento) e por uma

parte em madeira (representada a branco).

A parte em metal é formada por dois triângulos iguais e por quatro quadrados também iguais.

Cada triângulo tem um vértice no centro do retângulo [ABCD]

Seja x o lado de cada quadrado, medido em cm x 0,5

4.1. Mostre que a área, em 2cm , da parte em metal da placa decorativa é dada, em função de

x, por 2A x 6x 24x 70

4.2. Determine o valor de x para o qual a área da parte em metal é mínima e calcule essa

área.

4.3. Determine o valor de x para o qual a área da parte em metal é igual à área da parte em

madeira.

Nota: Sempre que recorra à calculadora gráfica deve indicar todos os “passos” que efetuar, utilizando linguagem

matemática, “desenhar” o(s) gráfico(s) que obteve e reproduzir a(s) tabela(s) que tenha necessidade de consultar, assinalando os valores que encontrou e que servem de resposta às perguntas colocadas..

FIM


Cotações

Grupo I ………………………. ( 5 x 10 pontos ) ……………………………………. ……….. 50 pontos

Grupo II …………………………………………………………………………………………. 150 pontos

1. ………………………………………………………………………………………. 50 pontos

1.1. …………………………………………………………………….. 15 pontos

1.2. …………………………………………………………………….. 15 pontos

1.3. …………………………………………………………………….. 20 pontos

2. ………………………………………………………………………………………. 40 pontos

2.1. …………………………………………………………………….. 10 pontos

2.2. …………………………………………………………………….. 15 pontos

2.3. …………………………………………………………………….. 15 pontos

3. ………………………………………………………………………………………. 20 pontos

4. ………………………………………………………………………………………. 40 pontos

4.1. …………………………………………………………………….. 10 pontos

4.2. …………………………………………………………………….. 15 pontos

4.3. …………………………………………………………………….. 15 pontos

TOTAL ……………………………………………………………………………………………….. 200 pontos





4º Teste de avaliação – versão1 – Proposta de resolução

Grupo I

1. (D) Num referencial o.n. xOy, a interseção da recta r paralela

a Ox e passando no ponto de coordenadas 1,3 , com a reta s

que é a bissetriz dos quadrantes ímpares é o ponto P de

coordenadas 3,3

2. (B) Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz e um

sólido constituído por 3 cubos geometricamente iguais.

As arestas dos cubos ou estão contidas nos eixos

coordenados ou lhes são paralelas.

O ponto M tem coordenadas 4,4,4 .

A reta IM interseta o plano xOy no ponto de coordenadas

8,8,0 , basta imaginar um outro cubo simétrico do cubo de

aresta [PM] em relação a essa aresta.

3. (A) Consideremos, num referencial o.n. xOy, as retas: r definida por x 2y 6 , s definida por

y x 4 , t definida por 2x 2y 8 e z definida por y x 3 . Comecemos por escrever cada

equação na forma reduzida para podermos reconhecer a ordenada na origem de cada uma: r

definida por 1

y x 32

, s definida por y x 4 , t definida por y x 4 e z definida por

y x 3 . Assim as retas que se intersetam num ponto do eixo Oy são r e z que têm a mesma

ordenada na origem.

4. (C) Considere a condição 2 2

x 1 y 1 2 x 0

Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, o conjunto

de pontos definidos por esta condição que reconhecemos porque

a circunferência tem de passar pela origem que não acontece em

(A) e tem centro no ponto de coordenadas (-1,1) que não

acontece em D. (B) está rejeitado porque não satisfaz x 0 .

x

y

z

H

I J

L

N

Q

ME

P

G

OC

F

B A

4

2

-2

5

P: (3, 3)


5. (A)Na figura seguinte, está representado, num referencial o.n. xOy, o gráfico de uma função f,

de domínio ]–2, 2[.

Das opções dadas estão três afirmações verdadeiras acerca da função f em (A)

Tem 3 zeros


Não é par

Grupo II

1. Na figura está representado, em referencial o.n.

Oxyz, um sólido que pode ser decomposto num

cubo e numa pirâmide quadrangular regular.

A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o

vértice P pertence ao eixo Ox e o vértice R pertence

ao eixo Oy.

Os vértices da base da pirâmide são os pontos

médios dos lados do quadrado [OPQR].

O ponto Q tem coordenadas 2,2,0 .

O volume do sólido é igual a 10.

1.1. Determinemos a cota do ponto E.

Comecemos por reconhecer que a base da

pirâmide tem área igual a metade da área da

face do cubo.

Então, sabendo que o volume total é 10 calculemos a altura da pirâmide que nos dá a

cota de E:

3 2h 2h10 2 2 h 3

3 3

A cota de E é 3

1.2. Determinemos uma equação da superfície esférica que tem centro no ponto T 2,0, 2 e

que contém o ponto C 1,2,0 . Calculemos o raio 2 2 2

r 2 1 0 2 2 0 3 .


Uma equação da superfície esférica 2 22x 2 y z 2 9

1.3. O plano OQU interseta o sólido. Determinemos a área da secção

produzida pelo plano OQU no sólido dado.

2 3 11 2A 2 2 2

2 2

2. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, o gráfico de uma

função f, de domínio 2,7

2.1. O contradomínio de f é [-1,3]

2.2. Indique o conjunto solução da condição f x 2 . Apresente a sua resposta na forma de

união de intervalos de números reais. f x 2 x 2, 1 1,4

2.3. Determine valores exatos dos zeros de f. f tem 3 zeros dois de fácil leitura -2 e 1 e um

terceiro que é o zero da função afim cujo gráfico é uma reta que podemos considerar

definida pelos pontos de coordenadas (3,-1) e (4,2). A reta terá então declive 3,

calculemos a ordenada na origem 2 3 4 b b 10 . A função seria então definida

pela condição y 3x 10 que tem como zero 10

0 3x 10 3x 10 x3

Os zeros de f são então 10

2, 1 e3

.

3. A Fernanda e a Gabriela são duas irmãs que frequentam a mesma escola. Certo dia, a

Fernanda está em casa e a Gabriela está na escola. Num certo instante, a Fernanda sai de

casa e vai para a escola e, no mesmo instante, a Gabriela sai da escola e vai para casa. Há

um único caminho que liga a casa e a escola. Ambas fazem o percurso a pé e cada uma delas

caminha a uma velocidade constante.

Seja f a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Fernanda, t minutos depois de

ter saído de casa (a contagem do tempo tem início quando a Fernanda sai de casa e termina

quando ela chega à escola).

2

3

2

2 2

E

U

QO

S


Seja g a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Gabriela, t minutos depois de

ter saído da escola (a contagem do tempo tem início quando a Gabriela sai da escola e

termina quando ela chega a casa).

Indique em qual das opções seguintes podem estar representadas graficamente as funções f e

g.

O gráfico correto é o (B) pois elas iniciam ambas a viagem com uma distância zero, razão que

nos leva a rejeitar o gráfico (C). Além disso percorrem ambas a mesma distância o que nos

leva a rejeitar o gráfico (A).

4. Na figura está representado um retângulo [ABCD]

Este retângulo é o esboço de uma placa decorativa de 14 cm de comprimento por 10 cm de

largura e que será constituída por uma parte em metal (representada a cinzento) e por uma

parte em madeira (representada a branco).

A parte em metal é formada por dois triângulos iguais e por quatro quadrados também iguais.

Cada triângulo tem um vértice no centro do retângulo [ABCD]

Seja x o lado de cada quadrado, medido em cm x 0,5

4.1. Mostre que a área, em 2cm , da parte em metal da placa decorativa é dada, em função de

x, por 2A x 6x 24x 70

A parte em metal constituída por 4 quadrados com lado x e dois triângulos iguais com

base 14 - 2x e altura igual a 5 – x ou seja metade de 10 – 2x.

Então a área pedida é:

2 2 2 214 2x 5 x

A x 4x 2 4x 70 14x 10x 2x 6x 24x 702


4.2. Determine o valor de x para o qual a área da parte em metal é mínima e calcule essa

área.

A área da parte em metal é mínima quando x é 2 cm e a área dessa parte é 46 cm2.

4.3. Determine o valor de x para o qual a área da parte em metal é igual à área da parte em

madeira.

A área em madeira será dada por 2 2B x 14 10 6x 24x 70 70 6x 24x

As áreas são iguais quando as curvas se intersetarem ou seja quando x = 4 cm.





4º Teste de avaliação – versão1 - Critérios de classificação

Grupo I (50 pontos)

Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0

(zero) pontos.

1 2 3 4 5

D B A C A

Grupo II (150 pontos)

1. ……………………………………………………………………………………………… 50 pontos

1.1. ……………………………………………………………………………….. 15 pontos

Reconhecer que área base da pirâmide é metade

da área da face do cubo………………………………… 5

Calcular a cota de E ……………………………………. 10

1.2. ……………………………………………………………………………….. 15 pontos

Identificar as coordenadas de T e de C …………….. 4

Calcular o raio …………………………………………… 5

Equação da superfície esférica ………………………. 6

1.3. ……………………………………………………………………………….. 20 pontos

Identificar a secção ……………………………………. 5

Identificar as medidas do retângulo………………….. 5

Identificar as medidas do triângulo …………………... 5

Calcular a área ………………………………………….. 5

2. ……………………………………………………………………………………………… 40 pontos

2.1. ………………………………………………………………………… 10 pontos

2.2. ………………………………………………………………………… 15 pontos

2.3. ………………………………………………………………………… 15 pontos

Identificar os zeros inteiros…………………………. 5

Escrever a equação da reta ………………………. 6

Calcular o zero ……………………………………… 4

3. ………………………………………………………………………………………. 20 pontos

Identificar o gráfico correto ………………………. 5

Apresentar uma razão para rejeitar (A) …………. 5

Apresentar uma razão para rejeitar (C) …………. 5


Composição organizada e sem erros …………… 5

4. ………………………………………………………………………………………. 40 pontos

4.1. ………………………………………………………………………….. 10 pontos

Identificar as medidas ………………………………. 5

Fazer os cálculos ………………………………….... 5

4.2. …………………………………………………………………………. 15 pontos

Apresentar o gráfico com tudo…………………….. 10

Dar a resposta………………………………………. 5

4.3. …………………………………………………………………………. 15 pontos

Encontrar a função que dá a área em madeira … 5

Encontrar a interseção das duas curvas ………… 5

Apresentar o gráfico………………………………… 5

TOTAL …………………………………………………………………………………… 200 pontos

escola secundária com 3º ciclo d. dinis versão1 grupo i i...

Documents