escola secundÁria com 3º ciclo d....

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA – A

TESTE TIPO EXAME Nº2

Professora: Rosa Canelas 2008-2009 1

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével azul ou preta, excepto nas respostas que

impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações, que podem ser

primeiramente elaboradas a lápis, sendo, a seguir, passadas a tinta.

Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que

necessário.

Não é permitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar, de forma inequívoca, aquilo

que pretende que não seja classificado.

Escreva de forma legível a numeração dos grupos e/ou dos itens, bem como as respectivas

respostas.

Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um

mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.

Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas,

• o número do item;

• a letra identificativa da alternativa correcta.

Não apresente cálculos, nem justificações.

Nos itens de resposta aberta com cotação igual ou superior a 15 pontos e que impliquem a

produção de um texto, o domínio da comunicação escrita em língua portuguesa representa cerca

de 10% da cotação.

O formulário está na página 2 e as cotações na página 7




GRUPO I • Os oito itens deste grupo são de escolha múltipla.

• Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só uma está

correcta.

• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o

mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Escolhidos ao acaso dois dos vértices do octaedro, a probabilidade de serem extremos de

uma das arestas é:

(A) 75% (B) 80% (C) 20% (D) 50%

2. Seja Ω o conjunto de resultados de uma experiência aleatória E.

Sejam A e B dois acontecimentos ( )A e B⊂ Ω ⊂ Ω

Sabe-se que: ( )P A 0,3= , ( )P B 0,8= e ( )P A B 0,6∩ =

Qual é o valor de ( )P A B∩ ?

(A) 0,2 (B) 0,3 (C) 0,1 (D) 0

3. Considere a linha do Triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35. Escolhem-se, ao

acaso, dois elementos dessa linha.

Qual é a probabilidade de estes dois elementos serem iguais?

(A) 352

19C

(B) 362

35C

(C) 352

1C

(D) 362

18C

4. Considere as funções f e g de domínio + , tais que ( ) 3f x log x= e ( ) 9g x log x= .

Qual das seguintes igualdades se verifica para todo o x +∈ ?

(A) ( ) ( )g x 2f x= (B) ( ) ( )g x f x= − (C) ( ) ( )1g x f x2

= (D) ( ) ( )( )2g x f x=




5. A função derivada de uma função f, de domínio , é definida por ( )f x 2 x′ = − . Qual das

seguintes representações gráficas pode corresponder à função f?

(A)

(B)

(C)

(D)

6. A ampulheta da figura começou a esvaziar (a parte superior) no instante

t 0= . Qual das funções pode representar a altura do liquido no recipiente de

baixo em função do tempo?

(A)

(B)

(C)

(D)




7. Qual dos seguintes números complexos tem representação

geométrica no plano complexo, pertencente à região colorida.

(A) 75 cis3π

(B) 2 2i− −

(C) 2 3 i− −

(D) 5 6cis2 5

π −

8. Em , conjunto dos números complexos, considere

2z 3cis5π = −

. O argumento positivo mínimo de 1w

z= é:

(A) 2π

(B) 57π (C) 8

5π (D) 3

5π

GRUPO II

Na resposta a itens deste grupo, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto.

1. Em , conjunto dos números complexos, seja 1z 1 i= + (i designa a unidade imaginária)

1.1. Sem recorrer à calculadora, determine o valor de23

1z i 42 i+ +−

. Apresente o resultado na

forma algébrica.

1.2. Prove que, qualquer que seja o número natural n, imagem geométrica de 4n 11z + pertence

à bissectriz dos quadrantes ímpares.

2. Seja f uma função, real de variável real, de domínio IR+ com ( ) 1f x ln xx

= +

.

2.1. Averigúe se o gráfico de f tem assímptotas verticais.

2.2. Prove que ( )2

3x 1f xx x

−′ =+

e estude a função quanto à monotonia e extremos.

2.3. Utilizando a segunda derivada e o Teorema de Bolzano, prove que o gráfico de f tem pelo

menos um ponto de inflexão em ] [2,3 .




2.4. Indique, justificando, o contradomínio de f.

3. Admite-se que a concentração do fármaco “Saratex”, em miligramas por litro de sangue, t

horas após a administração a um doente, é dada pela expressão ( ) 2tC t t 1,05−= ×

3.1. Passadas duas horas da administração do fármaco, qual é a concentração do mesmo por

litro de sangue? Apresente o resultado arredondado às décimas.

3.2. O conjunto solução da inequação ( )C t 2,5≥ é um intervalo fechado [a,b]. Recorrendo

calculadora, determine, graficamente, valores aproximados às décimas de a e de b.

3.3. A conselho médico, um doente deve tomar um outro fármaco quando a concentração de

“Saratex” for máxima. Para isso, o médico indicou, correctamente, ao doente o intervalo de

tempo entre a administração dos dois fármacos. Sabe-se que o doente tomou “Saratex” às

8 horas e o 2º medicamento às 15 horas.

Numa curta composição matemática, explique o cumprimento ou não, por parte do

doente, das recomendações do médico. Ilustre com um ou mais gráficos. Na composição deve ficar claro:

• O momento em que a concentração é máxima;

• O intervalo de tempo entre a administração dos dois fármacos;

• A hora a que o doente devia ter tomado o segundo fármaco.

4. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória.

4.1. Mostre que se A e B forem acontecimentos independentes, tem-se

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A∪ = + ⋅

4.2. Admita que A e B são independentes e que ( ) 2P A3

= e ( ) 1P A B6

∩ = . Determine

( )P A B∪ .

5. Admita que a variável temperatura, em graus centígrados, da temperatura da água do mar em

registos feitos à mesma hora e no mesmo local, tem uma distribuição normal de valor médio 8.

Sabe-se que 15% dos registos são superiores a 10ºC.

Escolhido, ao acaso, um dos registos, qual é a probabilidade de estar compreendido entre 6ºC

e 8ºC? Apresente o resultado em percentagem.

FIM




COTAÇÕES GRUPO I .................................................... (8 × 5 pontos)................................................ 40 pontos GRUPO II ........................................................................................................................ 160 pontos 1. …………………………………………………………………………………… 30 pontos

1.1. ……………………………………………………………………….10 pontos 1.2. ……………………………………………………………………….20 pontos

2. …………………………………………………………………………………… 40 pontos 2.1. ……………………………………………………………………….10 pontos 2.2. ……………………………………………………………………….10 pontos 2.3. ……………………………………………………………………….10 pontos 2.4. ……………………………………………………………………….10 pontos

3. …………………………………………………………………………………45 pontos 3.1. ……………………………………………………………………….10 pontos 3.2. ……………………………………………………………………….15 pontos 3.3. ……………………………………………………………………….20 pontos

4. …………………………………………………………………………………… 30 pontos

4.1. ……………………………………………………………………….20 pontos 4.2. ……………………………………………………………………….10 pontos

5. …………………………………………………………………………………… 15 pontos

TOTAL .......................................................................................................................... 200 pontos




Proposta de resolução Grupo I

1. (B) Escolhidos ao acaso dois dos vértices do octaedro, a probabilidade de

serem extremos de uma das arestas é 12 0,815

= logo 80%.

2. (C) Seja Ω o conjunto de resultados de uma experiência

aleatória E.

Sejam A e B dois acontecimentos ( )A e B⊂ Ω ⊂ Ω

Sabe-se que: ( )P A 0,3= , ( )P B 0,8= e ( )P A B 0,6∩ =

O valor de ( )P A B 0,1∩ =

3. (D) Considere a linha do Triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35. Escolhem-se,

ao acaso, dois elementos dessa linha.

A probabilidade de estes dois elementos serem iguais é 362

18C

por a linha ter 36 elementos

iguais dois a dois donde o número de casos favoráveis ser 18.

4. (C) Considere as funções f e g de domínio + , tais que ( ) 3f x log x= e ( ) 9g x log x= .

Das seguintes igualdades a que se verifica para todo o x +∈ é obtida assim:

( )yy 2 2y9 3 3

1y log x x 9 x 3 x 3 2y log x y log x2

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = . Logo ( ) ( )1g x f x2

=

5. (B) A função derivada de uma função f, de domínio , é definida por ( )f x 2 x′ = − . Qual das

seguintes representações gráficas pode corresponder à função f?

A B

A B∩A B∩

0,6 0,2

0,1

x −∞ 2 +∞ ( )f x′ + 0 -

( )f x M




6. (C) A ampulheta da figura começou a esvaziar (a parte superior) no instante

t 0= . A função que pode representar a altura do liquido no recipiente de

baixo em função do tempo é:

No início a altura aumenta muito lentamente e a

velocidade com que aumenta é progressivamente

maior pelo que a função termina a aumentar rapidamente.

7. (B) Dos seguintes números complexos o que tem representação

geométrica no plano complexo, pertencente à região colorida é

2 2i− − pois tem argumento aproximadamente igual a 235º >225º e

módulo [ ]6 2,3∈

(A) 75 cis3π

não pertence porque 7 e3 3 3 4π π π π= >

(C) 2 3 i− − não pertence porque tem argumento

aproximadamente igual a 221º < 225º.

(D) 5 6cis2 5

π −

não pertence porque está no 2º quadrante

8. (D) Em , conjunto dos números complexos, considere 2 2z 3cis 3cis5 5π π = − = π +

. O

argumento positivo mínimo de 1 1 7 1 3w cis cisz 3 5 3 5

π π = = − =

é 35π

GrupoII

1. Em , conjunto dos números complexos, seja 1z 1 i= + (i designa a unidade imaginária)

1.1. Sem recorrer à calculadora, determinemos o valor de 23

1z i 42 i+ +−

.

( )231 5 2 iz i 4 1 i i 4 2 i

2 i 2 i 4 1++ + + − +

= = = +− − +

, resultado na forma algébrica.

1.2. Provemos que, qualquer que seja o número natural n, imagem geométrica de 4n 11z +

pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares.




Ora 1z 1 i 2cis4π

= + = logo ( ) ( ) ( )4n 1 4n 14n 11z 2 cis 4n 1 2 cis n

4 4+ +

+ π π = + = π +

O argumento destes complexos são 4π se n par e

4π

π + se n ímpar pelo que em

qualquer das situações estão sobre a bissectriz dos quadrantes ímpares que é uma

recta que passa na origem e tem inclinação 4π .

2. Seja f uma função, real de variável real, de domínio IR+ com ( ) 1f x ln xx

= +

.

2.1. Averiguemos se o gráfico de f tem assímptotas verticais:

• x 0

1lim ln xx+→

+ = +∞

• A recta de equação x 0= é a única assímptota vertical do gráfico de f porque f é uma

função contínua em IR+ por ser a composta de duas funções contínuas em IR+ .

2.2. Provemos que ( )2

3x 1f xx x

−′ =+

• ( ) ( )

2

2 22 2

2 32

1 x 111 x 1 x 1x xf x ln x 1x x 1 x xx x 1xx x

−−′ − − ′ = + = = = = + + + +

Estude a função quanto à monotonia e extremos:

• Zeros de ( )2

3x 1f x ,x 0x x

−′ = >+

• Os zeros da derivada são ( )2

3x 1 0, x 0 x 1 x 1 x 0 x 1x x

−= > ⇔ = ∨ = − ∧ > ⇔ =

+

• Estudo do sinal da derivada para concluir sobre a monotonia da função:

x 0 1 +∞

( )f x′ - 0 +

( )f x m

f é decrescente em ] [0,1 e crescente em ] [1,+∞ e tem um mínimo quando x 1= que vale

( ) ( )m f 1 ln 1 1 ln2= = + =




2.3. Utilizando a segunda derivada e o Teorema de Bolzano, provemos que o gráfico de f tem

pelo menos um ponto de inflexão em ] [2,3 .

• Cálculo da segunda derivada:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 2 2 4 2 4 2 2 4 2

2 2 23 3 3

2x x x x 1 3x 1 2x 2x 3x x 3x 1 x 4x 1f xx x x x x x

+ − − + + − − + + − + +′′ = = =+ + +

• f ′′ é contínua em [ ]2,3 por ser o quociente entre duas funções contínuas em e o

denominador não se anula em [ ]2,3 .

• ( )f 2 0,01′′ = e ( )f 3 0,05′′ −

• Pelo teorema de Bolzano podemos concluir que ( )f x 0′′ = tem pelo menos uma

solução num ponto onde a segunda derivada se anula e muda de sinal o que prova que

o gráfico de f tem pelo menos um ponto de inflexão.

2.4. O contradomínio de f é [ [ln2,+∞ de acordo com x 0

1lim ln xx+→

+ = +∞

e atendendo ao

estudo da monotonia onde concluímos ser ln2 o mínimo da função.

3. Admite-se que a concentração do fármaco “Saratex”, em miligramas por litro de sangue, t

horas após a administração a um doente, é dada pela expressão ( ) 2tC t t 1,05−= ×

3.1. Passadas duas horas da administração do fármaco, a concentração do mesmo por litro de

sangue é ( ) 4C 2 2 1,05−= × isto é aproximadamente 1,6, resultado arredondado às

décimas.

3.2. O conjunto solução da inequação ( )C t 2,5≥ é um intervalo fechado [a,b]. Recorrendo

calculadora, determinemos, graficamente, valores aproximados às décimas de a e de b.

Os valores pedidos são a 3,5 e b 22,5

3.3. A conselho médico, um doente deve tomar um outro fármaco quando a concentração de

“Saratex” for máxima. Para isso, o médico indicou, correctamente, ao doente o intervalo de




tempo entre a administração dos dois fármacos. Sabe-se que o doente tomou “Saratex” às

8 horas e o 2º medicamento às 15 horas.

Numa curta composição matemática, vamos explicar o cumprimento ou não, por parte do

doente, das recomendações do médico, ilustrando com um ou mais gráficos. Na composição deve ficar claro:

• O momento em que a concentração é máxima;

• O intervalo de tempo entre a administração dos dois

fármacos;

• A hora a que o doente devia ter tomado o segundo

fármaco.

Composição:

Se o doente tomou o primeiro medicamento às 8 horas devia tomar o segundo às 18 h e

15 m dado que a concentração é máxima 10 horas e 15 minutos depois de o fármaco ser

administrado.

Assim o doente não cumpriu as instruções do médico, que eram que tomasse o segundo

fármaco 10h e 15 m depois de tomar o primeiro, uma vez que tomou o segundo fármaco

apenas 7 horas depois de tomar o primeiro, ou seja, 3 horas e 15 minutos antes da hora

marcada pelo médico.

4. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória.

4.1. Mostremos que se A e B forem acontecimentos independentes, tem-se

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A∪ = + ⋅

Dizer que A e B são acontecimentos independentes equivale a afirmar que

( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ×

Como ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ será

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A P B P A P B 1 P A P A P B P A∪ = + − × = + − = + × c.q.d.




4.2. Admitamos que A e B são independentes e que ( ) 2P A3

= e ( ) 1P A B6

∩ = . Determinemos

( )P A B∪ . Aplicando a regra que acabámos e enunciar ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ×

concluímos ser ( ) ( ) ( )1

1 2 16P B P B P B26 3 43

= × ⇔ = ⇔ =

Podemos agora calcular ( ) 2 1 1 8 3 2 3P A B3 4 6 12 4

+ −∪ = + − = =

5. Admitamos que a variável temperatura, em graus centígrados, da temperatura da água do mar

em registos feitos à mesma hora e no mesmo local, tem uma distribuição normal de valor

médio 8. Sabe-se que 15% dos registos são superiores a 10ºC.

Escolhido, ao acaso, um dos registos, a probabilidade de estar compreendido entre 6ºC e 8ºC

é igual à probabilidade de a temperatura escolhida estar entre 8º e 10º.

Assim ( )P 6 X 8 50% 15% 35%< < = − =

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