Espaços Vectoriais

A – Conjunto não vazio* – Operação definida sobre os elementos de A

(A,*) GRUPÓIDE * é lei de composição interna

x*yA, x,yA

(A,*) SEMIGRUPO (A,*) é grupóide * é associativa

(x*y)*z=x*(y*z), x,y,zA

(A,*) MONÓIDE (A,*) é semigrupo * tem elemento neutro

eA : x*e=e*x=x, xA

(A,*) GRUPO (A,*) é monóide e todos os elementos de A * têm oposto relativamente a *

xA x'A : x*x'=x'*x=e

Espaços Vectoriais

A estrutura (A,*) diz-se ABELIANA ou COMUTATIVA se a operação * for comutativa

x*y=y*x, x,yA

Espaços Vectoriais

A – Conjunto com mais do que um elemento – Operação aditiva – Operação multiplicativa

(A,,) ANEL (A, ) grupo comutativo

(A, ) semigrupo

é distributiva relativamente a

é distributiva relativamente a x(yz)=(xy)(xz)

(xy)z=(xz)(yz), x,y,zA

O anel (A,,) diz-se comutativo se for comutativa

Espaços Vectoriais

O elemento neutro de (se existir) diz-se unidade do anel.

O elemento neutro de diz-se zero do anel.

Propriedade: 0 1

(A,,) CORPO (A, , ) anel com unidade

(A\ 0 , ) grupo comutativo

Espaços Vectoriais

Exemplos de CORPOS:

- Conjunto dos números racionais

- Conjunto dos números reais

- Conjunto dos números complexos

...

Espaços Vectoriais

E – conjunto não vazio (conjunto dos vectores)

K – corpo (conjunto dos escalares)

Operações (em K):

- Adição de vectores

: E E E

x, y x y

- Multiplicação de um escalarpor um vector

: K E E

,x x

Operações (em E):

- Adição de escalares

: K K K

,

- Multiplicação de escalares

: K K K

,

Espaços Vectoriais

E ESPAÇO VECTORIAL (ou ESPAÇO LINEAR) sobre o corpo K

(E,) grupo comutativo

K x,yE : (xy)=(x)(y)

,K xE : (+)x=(x)(x)

,K xE : ()x=(x)

xE : 1x=x

Espaços Vectoriais

DEFINIÇÃOE ESPAÇO VECTORIAL (ou ESPAÇO LINEAR) sobre o corpo K( e definidas como no slide 6)

EV5 K x,yE : (xy)=(x)(y)

EV6 ,K xE : (+)x=(x)(x)

EV7 ,K xE : ()x=(x)

EV8 xE : 1x=x

EV1 x,y,zE : (xy)z=x(yz)

EV2 eE xE : xe=ex=x

EV3 xE x'E : xx'=x'x=e

EV4 x,yE : xy=yx

Espaços Vectoriais

Os elementos de K dizem-se escalares.

Os elementos de E dizem-se vectores.

Se K = , E diz-se um espaço vectorial real.

Se K = , E diz-se um espaço vectorial complexo.

Espaços Vectoriais

Exemplos de ESPAÇOS VECTORIAIS:

é espaço vectorial real

n1 2 n 1 2 na ,a ,...,a : a ,a ,...,a é espaço vectorial real com

1 n 1 n 1 1 n na ,...,a b ,...,b a b ,...,a b 1 n 1 na ,...,a a ,..., a

é espaço vectorial real e espaço vectorial complexo

nP polinómios reais de coeficientes reais de grau menor ou igual a n

P polinómios reais de coeficientes reais

Qualquer corpo é espaço vectorial sobre si próprio.

Espaços Vectoriais

E espaço vectorial sobre o corpo K

F E

F é SUBESPAÇO VECTORIAL de E

F é espaço vectorial com as operações induzidas

Definição

Espaços Vectoriais

TEOREMAF (FE) é subespaço vectorial de E

F fechado para as operações de adição e multiplicação por um escalar

isto é,x, y F x y F

K x F x F

COROLÁRIOF (FE) é subespaço vectorial de E

x,yF,K:x+yF

Espaços Vectoriais

E espaço vectorial sobre K

S parte não vazia de E

xE

x é COMBINAÇÃO LINEAR de elementos de S

1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n

n

i ii 1

, ,..., K x ,x ,..., x S : x x x ... x

x x

Espaços Vectoriais

SEL(S) (=span(S))= conjunto de todas as combinações lineares de elementos de S

Observação:Os elementos de S são um sistema de geradores de S

TEOREMAL(S) é subespaço vectorial de EObservação:L(S) é o mais pequeno subespaço vectorial de E que contem S,isto é, qualquer subespaço vectorial de E que contenha S também contem L(S)

n

i i i ii 1

L S x ;n , K,x S

Por convenção, L()={0}

Espaços Vectoriais

TEOREMASe F e G são dois subespaços vectoriais de um espaço vectorial E, então FG é também um subespaço vectorial de E.

DEFINIÇÃODados dois subespaços vectoriais F e G de um espaço vectorial E, chama-se soma dos subespaços vectoriais F e G e representa-se por F+G ao subconjunto de E constituído pelos vectores que são soma de um vector de F e de um vector de G, isto é,

F G z E : z x y com x F e y G

TEOREMASe F e G são subespaços vectoriais do espaço vectorial E, então F+G é também um subespaço vectorial de E.

Espaços Vectoriais

DEFINIÇÃOSejam F e G subespaços vectoriais de um espaço vectorial E tais que FG={0}. A soma de F e G designa-se por SOMA DIRECTA de F e G e representa-se por FG.

NOTAEm geral, a reunião de subespaços vectoriais de um espaço vectorial E não é um subespaço vectorial de E.

PropriedadeSeja E=FG.Qualquer elemento de E escreve-se de maneira única como soma de um elemento de F com um elemento de G.

Espaços Vectoriais

DEFINIÇÃOUma parte S (não vazia) de um espaço vectorial E diz-se LINEARMENTE DEPENDENTE se for possível exprimir o vector nulo (0E) como combinação linear não nula de elementos de S (escalares não todos nulos).

n

n1 2 n 1 2 n i i E

i 1

S linearmente dependente

x ,x ,..., x S , ,..., K \ 0,0,...,0 : x 0

Espaços Vectoriais

DEFINIÇÃOUma parte S (não vazia) de um espaço vectorial E que não seja linearmente dependente diz-se LINEARMENTE INDEPENDENTE.

n

1 2 n i i E 1 2 n Ki 1

S linearmente independente

x ,x ,..., x S : x 0 ... 0

Espaços Vectoriais

ExemplosNo espaço vectorial dos polinómios reais de coeficientes reais,

2 nS 1,x,x ,..., x

2 2L 1,x,x ,1 x,1 x é linearmente dependente.

é linearmente independente e

Espaços Vectoriais

Propriedades

Uma parte S não vazia de um espaço vectorial E é linearmente dependente se e só se existe um vector em S que é combinação linear dos restantes.

Se um subconjunto T de uma parte S de um espaço vectorial E for linearmente dependente, então S também é linearmente dependente.

Se uma parte S de um espaço vectorial E é linearmente independente, o mesmo sucede a qualquer parte T de S.

Espaços Vectoriais

Propriedades (continuação)

Se uma parte S de um espaço vectorial E contém um elemento x e o seu múltiplo escalar x, então S é linearmente dependente.

Um espaço vectorial E é sempre linearmente dependente.

Numa combinação linear de vectores linearmente independentes os escalares são univocamente determinados, isto é,se é um conjunto de vectores linearmente independentes,

1 2 nS x ,x ,..., x

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n

1 1 2 2 n n

x x ... x x x ... x

...

Espaços Vectoriais

TEOREMASeja um conjunto de n vectores de um espaço vectorial E.Seja .Então Y é linearmente dependente.

1 2 nX x ,x ,..., x

1 2 n n 1Y y , y ,..., y , y L X

TEOREMASeja, num espaço vectorial E, linearmente independente e também linearmente independente.Então .

1 nX x ,..., x 1 nY y ,..., y L X

L Y L X

Espaços Vectoriais

DEFINIÇÃOUm subconjunto S de E é uma BASE do espaço vectorial E se for linearmente independente e gerar E.

DEFINIÇÃOO espaço vectorial E é finitamente gerado, ou de DIMENSÃO FINITA se existir um conjunto finito de vectores, tal que .

1 2 nX x ,x ,..., x L X E

DEFINIÇÃOO espaço vectorial E é de DIMENSÃO INFINITA se não possuir nenhum conjunto finito de geradores.

Espaços Vectoriais

TEOREMASeja E um espaço vectorial de dimensão finita.Se é uma base de E, então toda a base de E tem n vectores.

1 nS x ,..., x

DEFINIÇÃOUm espaço vectorial E≠0} de dimensão finita que tenha uma base com n elementos (nN) diz-se de DIMENSÃO n.Se E=0}, convenciona-se que a sua dimensão é 0.

NOTAPara indicar a dimensão de um espaço vectorial E usa-se dim (E).

Espaços Vectoriais

TEOREMASejam F e G subespaços vectoriais do espaço vectorial E de dimensão finita sobre o corpo K.1) Se FG, então dim (F) dim (G). Se FG e dim (F) = dim (G), então F=G.2) dim (F+G) + dim (FG) = dim (F) + dim (G).

TEOREMASeja E um espaço vectorial de dimensão finita tal que dim (E)=n, nN.I

II

Se S é um subconjunto de E linearmente independente, então existe uma base de E que contém S.

Toda a parte linearmente independente de E constituída por n vectores é uma base de E.

Espaços Vectoriais

E espaço vectorial base ordenada de ExE

1 2 nB e ,e ,...,e

DEFINIÇÃOO n-uplo univocamente determinado para cada vector xE pela condição (*) diz-se o n-uplo das COORDENADAS de x na base ordenada .

1 2 n, ,...,

1 2 nB e ,e ,...,e

Exprimindo x como combinação linear (única) dos vectores da base ordenada, obtem-se

1 1 2 2 n nx e e ... e (*)