Fatoração de Polinômios

Observe as figuras seguintes, todas de mesma área A : a b a+b x x

y y A = ax + bx + ay + by A = x(a+b) + y(a+b)

a+b x+y A = (x+y).(a+b)

ax bx

ay by

x(a+b)

y(a+b)

(x+y).(a+b)

Observe que:A área total da primeira figura é: A = ax + bx + ay + byA área total da segunda figura é: A = x(a+b) + y(a+b)Finalmente, para a terceira figura: A = (x+y).(a+b)

Chegamos a seguinte conclusão:Já que as figuras têm a mesma área,

podemos escrever: ax + bx + ay + by

= x(a+b) + y(a+b)

= (x+y).(a+b)

Portanto:Sem percebermos fatoramos o polinômio ax + bx + ay + by

colocando um grupo comum em evidência.

Observe:

ax + bx + ay + by

Fator comum x

Fator comum yFicamos, então, com: x(a+b) + y(a+b)

Fator comum

Portanto: (x+y).(a+b)

O que acabamos de fazer foi utilizar uma das técnicas de fatoração. Neste caso, precisou-se fatorar o polinômio duas vezes.Veja só:

ax + bx + ay + by 1ª Fatoração

x(a+b) + y(a+b) 2ª fatoração

(x+y).(a+b)

Essa técnica nada mais é do que a fatoração por Agrupamento.

Vejamos mais exemplos:

Vamos fatorar os seguintes polinômios:a) a2 + ab + ax + bxb) ax – b + ab – x c) 15 + 5y + 2ay + 6ad) a12 + a8 – a4 + 1

Solução: A) a2 + ab + ax + bx a (a+b) + x(a+b)

fator comumLogo: a2 + ab + ax + bx = (a+b).(a+x)

b) ax – b + ab – x Neste caso, nosso primeiro passo será agrupar os

termos que possuem um fator comum: (ax – x) + (ab – b) Podemos, então, começar a fatoração: x(a – 1) + b(a – 1)

Fator Comum Finalmente: ax – b + ab – x = (a – 1) . (x + b)

c) 15 + 5y + 2ay + 6a (5.3 + 5.y) + (2.a.y + 3.2.a) 5.(3 + y) + 2.a.(y + 3)

Fator ComumPortanto: 15 + 5y + 2ay + 6a = (y + 3).(5 + 2a)

d) a12 + a8 – a4 – 1 a8 . (a4 + 1) – 1.(a4 + 1 )

Lembre-se que: a12 = a8 . a4

Portanto:

a12 + a8 – a4 – 1 = (a4 + 1). (a8 – 1)

Exercícios Propostos

CA: Páginas 70 e 71;

LIVRO: Página 105.

Galerinha, agora é com vocês. Vamos

nos esforçar!Bons estudos!