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Nova School of Business and Economics

Apontamentos Álgebra Linear

1

1 – Espaços Vectoriais

1 Espaço Vectorial

Conjunto de elementos que verifica as seguintes propriedades:

Existência de elementos: Contém pelo menos um elemento.

Soma:

Fecho: A soma de quaisquer dois elementos de é um elemento de .

Comutatividade: A ordem por que é feita a soma de vectores de não afecta o

resultado.

Associatividade: Numa soma de pelo menos vectores de , a prioridade atribuída a

cada soma não afecta o resultado.

( ) ( )

Existência de elemento neutro: Existe um elemento de cuja soma com cada

elemento de não o altera.

Existência de elemento simétrico: Cada elemento de pode ser somado com outro

para resultar no elemento neutro da soma.

( )

Multiplicação por números reais:

Fecho: A multiplicação de qualquer número real por qualquer elemento de é um

elemento de .

Associatividade: Numa multiplicação entre pelo menos números reais e

elemento de , a prioridade atribuída a cada multiplicação não afecta o resultado.

( ) ( )

Distributividade em : A multiplicação entre uma soma de números reais e um

elemento de é igual à soma da multiplicação de cada um dos números reais por esse

elemento.

( )

Definição



2

Distributividade no espaço: A multiplicação de um número real pela soma de

elementos de é igual à soma da multiplicação desse número real por cada um dos

elementos.

( )

Existência de elemento neutro: A multiplicação de por cada elemento de resulta

nesse elemento.

Ex.: é um espaço vectorial, porque verifica as seguintes propriedades:

Existência de elementos: ( )

Soma: ( ) ( ) ( )

Fecho: ( ) ( ) ( )

Comutatividade: ( ) ( ) ( )

( )

Associatividade: ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( )

Existência de elemento neutro: ( ) ( ) ( )

( )

Existência de elemento simétrico: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Multiplicação por números reais: ( ) ( )

Fecho: ( ) ( )

Associatividade: ( ) ( )( ) ( ) ( ( )) ( )

Distributividade em : ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Distributividade no espaço: ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) ( )

Existência de elemento neutro: ( ) ( ) ( )

2 Subespaço vectorial de um espaço vectorial

Subconjunto de , que é um espaço vectorial.

{

Definição



3

Ex.: *( ) + é um subespaço vectorial de porque verifica todas as

propriedades de um espaço vectorial.

3 Subespaços vectoriais e propriedades de espaços vectoriais

Um subconjunto de um espaço vectorial é um subespaço vectorial de se e só se for:

Não vazio: Contém pelo menos um elemento

Fechado para a soma: A soma de quaisquer dois elementos de é um elemento de

Fechado para a multiplicação por números reais: A multiplicação de qualquer número

real por qualquer elemento de é um elemento de .

Ex.: *( ) + é um subespaço vectorial de porque é:

Não vazio: ( )

Fechado para a soma: ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Fechado para a multiplicação por escalares números reais: ( )

( ) ( )

4 Subespaços vectoriais e o vector nulo

Qualquer subespaço vectorial contém o elemento nulo do espaço vectorial a que pertence.

Ex.: *( ) + não é um subespaço vectorial de porque não contém a

origem de , ( ).

5 Intersecção de dois conjuntos e ( )

Conjunto de elementos que pertencem a e a .

* +

Ex.: * + * +

* +

Facto

Definição

Facto



4

6 Reunião de dois conjuntos e ( )

Conjunto de elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos e .

* +

Ex.: * + * +

* +

7 Soma de dois conjuntos e ( )

Conjunto de elementos que resultam da soma de um elemento de com um elemento de

.

* +

Ex.: * + * +

* +

8 Soma directa de dois conjuntos e ( )

Soma de e , se e forem subespaços vectoriais de um espaço vectorial , e a

intersecção entre eles for o vector nulo de .

{

* +

Ex.: *( ) + *( ) +

*( )+

9 Combinação linear de vectores, , , e , de um conjunto

Soma do produto de cada um dos vectores por um número real.

Ex.: ( ) é uma combinação linear de ( ), ( ) e ( ) porque ( )

( ) ( ) ( ).

Definição

Definição

Definição

Definição



5

10 Sistema de geradores de um espaço vectorial

Conjunto de vectores a partir dos quais se obtêm todos os vectores de , fazendo com eles

todas as combinações lineares possíveis.

* + ⟨ ⟩

* +

Ex.: *( ) + *( )+ , subespaço vectorial de , tem como

sistema de geradores, por exemplo, *( )+, porque fazendo todas as combinações

lineares possíveis do vector( ), obtemos todos os vectores de .

11 Conjunto de vectores, , , e , linearmente dependente

Conjunto de vectores em que pelo menos um deles é uma combinação linear dos restantes,

ou conjunto apenas constituido pelo vector nulo de um espaço vectorial.

* + * + * +

* +

Ex.: *( ) ( ) ( )+ é linearmente dependente porque ( ) ( ) ( ).

12 Conjunto de vectores, , , e , linearmente independente

Conjunto de vectores em que nenhum deles é uma combinação linear dos restantes.

* +

* +

Ex.: *( ) ( )+ é um conjunto de vectores linearmente independente porque é

impossível obter o vector ( ) a partir de uma combinação linear do vector ( ), bem

como o vector ( ) a partir de uma combinação linear do vector ( ).

13 Independência linear, combinações lineares e vector nulo

Um conjunto de vectores é linearmente independente se e só se a única combinação linear

dos seus vectores que iguala o vector nulo do espaço que o contém é aquela cujos

coeficientes são todos 0.

* +

Definição

Definição

Definição

Facto



6

( ) ( )

* +

( ) ( )

Ex. 1: O conjunto *( ) ( )+ é um conjunto de vectores linearmente independente

porque a única solução de ( ) ( ) ( ) é .

Ex. 2: O conjunto *( ) ( )+ é um conjunto de vectores linearmente dependente

porque as soluções de ( ) ( ) ( ) são do tipo , pelo que, por

exemplo, é uma solução, não sendo assim a única solução .

14 Base de um espaço vectorial

Conjunto de vectores de que é:

Um sistema de geradores de : ( )

Linearmente independente: linearmente independente

Ex.: O conjunto *( ) ( )+ é uma base de porque é:

Um sistema de geradores de : ( )

Linearmente independente: linearmente independente

15 Dimensão de um espaço vectorial ( ( ))

Número de vectores que qualquer base de tem. Número de elementos de vectores de

que é possível escolher arbitrariamente.

( )

Ex.: *( ) +, subespaço vectorial de , tem dimensão 1 porque todas as

suas bases (como, por exemplo, o conjunto *( )+) têm 1 vector. Por outro lado, na

procura de vectores de , é possível escolher 1 coordenada, tendo a outra que ser igual a

esta.

16 Dimensão de um subespaço vectorial nulo

Qualquer subespaço que contenha apenas o vector nulo de um espaço vectorial tem

dimensão , na medida em que nenhum dos elementos do seu único vector pode ser

escolhido.

* + ( )

Definição

Definição

Facto



7

Ex.: *( )+, subespaço vectorial de , tem dimensão 0.

17 Dimensão, independência linear e geração de um espaço vectorial

Qualquer conjunto de vectores gera um espaço vectorial se:

( )

linearmente independente

Ex.: O conjunto *( ) ( )+ gera *( ) +, subespaço

vectorial de , porque:

( ) ( )

( ) (é possível escolher arbitrariamente 2 das coordenadas dos vectores

de )

linearmente independente

18 Teorema das Dimensões

Se e são subespaços vectoriais do mesmo espaço vectorial, então:

( ) ( ) ( ) ( )

Ex.: *( ) + ( )

*( ) + ( )

( )

*( )+ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

19 Coordenadas de um vector de um espaço vectorial numa base

de

Conjunto ordenado de coeficientes necessários para escrever como combinação linear dos

vectores de .

* +

( )

( )

Ex.: *( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( )+

*( ) ( ) ( )+

Facto

Facto

Definição



8

( ) ( )

( ) : ( ) ( ) ( ) ( )

( ) : ( ) ( ) ( ) ( )

.

/

: ( )

( ) ( ) ( )

20 Produto interno de dois vectores, e , de ( )

Soma do produto das coordenadas homólogas de e .

( ) ( )

∑ ( )

Ex.: ( ) ( )

21 Propriedades do produto interno de dois vectores, e , de

( )

Associatividade em : ( ) ( ) ( )

Comutatividade:

Distributividade: ( )

Exs.:

Associatividade em : (( ) ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ( ))

Comutatividade: ( ) ( ) ( ) ( )

Distributividade: ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )

22 Norma Euclideana de um vector, , de (‖ ‖)

Medida do comprimento de .

( )

‖ ‖ √ √∑ ( )

√

Ex.: ‖( )‖ √

Propriedades

Definição

Definição



9

23 Coseno do ângulo formado entre dois vectores, e , de

( )

‖ ‖‖ ‖

Ex.: (( ) ( ) ) ( ) ( )

‖( )‖‖( )‖ √

24 Projecção ortogonal de sobre , vectores de ( ( ))

Vector resultante da transformação de num vector paralelo a .

( )

‖ ‖

Ex.: ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

‖( )‖ ( )

25 Vectores e , de , perpendiculares ou ortogonais ( )

Vectores cujo produto interno é .

Ex.: ( ) ( ) ( ) ( )

26 Ortogonalidade mútua e independência linear de factores

Qualquer conjunto de vectores mutuamente perpendiculares que não contenha o vector

nulo é linearmente independente.

* +

Ex.: *( ) ( ) ( )+ ( )

{

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Fórmula

Definição

Definição

Facto



10

27 Base ortonormada de um espaço vectorial

Base de constituída por vectores mutuamente perpendiculares e de norma .

* +

{

* + ‖ ‖

Ex.: {.√

√

/ .

√

√

/} é uma base ortonormada de porque é constituída por

vectores perpendiculares e de norma .

28 Algoritmo de Gram-Schmidt para a obtenção de uma base

ortonormada de um espaço vectorial

Ortogonalização: Obtenção de uma base ortogonal * + de , de

dimensão , a partir de outra base * + de .

Definição de : Escolher para primeiro vector de o primeiro vector de .

Obtenção dos restantes vectores de : Calcular , substituindo por na fórmula

abaixo indicada. Calcular , substituindo por . Continuar a calcular os vectores de ,

substitundo pelos restantes números naturais, de forma crescente, até .

∑ [ ( )] [ ( ) ( ) ( )]

Normalização: Depois de obtida a base * +, obter uma base

* + ortonormada de , multiplicando cada vector de pelo inverso

da sua norma

* + ‖ ‖

Ex.: * + *( ) ( ) ( )+ base de

Ortogonalização:

( )

( ) ( ) ( )( ) (

)

[ ( ) ( )] ( )

[ ( )( ) .

/( )] ( )

* + {( ) (

) ( )}

1

2

Definição

Algoritmo

1



11

Normalização:

‖ ‖

( )

‖( )‖ (

√

√

√

)

‖ ‖

. /

‖. /‖ (

√

√

√

)

‖ ‖

( )

‖( )‖ (

√

√

)

* + {( √

√

√

) (

√

√

√

) (

√

√

)}

29 Complemento ortogonal de um conjunto , em ( )

Conjunto de vectores de que são perpendiculares a todos os vectores de .

* +

Ex.: *( ) +

*( ) +

30 Perpendicularidade e bases de espaços vectoriais

Um vector é perpendicular a todos os vectores de um espaço vectorial se e só se for

perpendicular a todos os vectores de qualquer uma das suas bases.

* +

Ex.: *( ) + *( )+

*( ) + porque todos os elementos de são perpendiculares a ( ).

31 Vector diferença de um plano , de

Vector que é a diferença entre dois vectores de .

Ex.: é o plano de que passa por ( ), ( ) e ( ). ( ) é um vector

diferença de porque é a diferença entre os vectores ( ) e ( ), que pertencem a .

Definição

Definição

Facto

2



12

32 Vector normal a um plano , de

Vector que é perpendicular a todos os vectores diferença de .

( )

Ex.: é o plano de que contém ( ), ( ) e ( ). ( ) é um vector normal a

porque é perpendicular a qualquer vector diferença de .

33 Vector normal a um plano e vectores do plano

Um vector é normal a um plano de se e só se for perpendicular a pelo menos

vectores diferença do plano não paralelos.

{

* +

( )

* +

Ex.: é o plano de que contém por ( ), ( ) e ( ). ( ) e

( ) são dois vectores diferença de não paralelos. ( ) é perpendicular a estes

dois vectores, logo é um vector normal a , sendo por isso também perpendicular a todos os

outros vectores diferença de .

34 Equações de um Plano , de , que contém e é normal a

Normal: ( )

Cartesiana: ∑ ( )

Ex.: Equações do plano de que contém ( ) e é normal a ( ):

Normal: (( ) ( )) ( )

Cartesiana:

35 Distância Euclideana entre dois vectores, e , de ( ( ))

Norma Euclideana do vector diferença entre e .

( ) ( )

( ) ‖ ‖ √∑ ,( ) -

√( ) ( )

( )

Definição

Definição

Facto

Fórmula



13

Ex.: (( ) ( )) √( ) ( )

36 Distância Euclideana entre um vector, , e um plano de , que

contém e é normal a ( ( ))

Norma Euclideana do vector diferença de menor comprimento possível entre e um vector

de .

( ) |( ) |

‖ ‖

Ex.: ( ) ( ) ( )

( ) |(( ) ( )) ( )|

‖( )‖

37 Distância Euclideana entre dois planos paralelos, e , de

( ( ))

Norma Euclideana do vector diferença de menor comprimento possível entre um vector de

e um vector de . Distância Euclideana entre um vector de e o plano . Distância

Euclideana entre um vector de e o plano .

( ) ( ) |( ) |

‖ ‖ |( ) |

‖ ‖ ( )

Ex.: ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) |(( ) ( )) ( )|

‖( )‖ |(( ) ( )) ( )|

‖( )‖

( )

Definição

Definição

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