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Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 1304 – Análise de Dados e Probabilidade 2º Semestre 2009/2010 Fernando Brito Soares Madalena Hibon Lopes Erica Marujo Eduardo Botelho

1

Exame 1ª Época

Nº:___________ Nome:____________________________________________________

Data: 27 de Maio de 2010, 8:30 Duração: 2:30 horas Nota: A utilização de máquinas científicas e gráficas só será permitida depois de feito o respectivo reset. Atenção: Responda a todos os grupos no enunciado. Responda a cada grupo apenas no espaço que lhe é destinado. Não desagrafe nenhuma folha de cada um dos grupos. Identifique todas as folhas do teste. Apresente todos os cálculos e/ou justificações para as suas respostas.

I (30%)

1. O clube desportivo “Os Verdes” decidiu realizar um estudo interno sobre a distribuição de salários dos seus atletas. Os resultados obtidos foram os seguintes, relativos aos salários mensais auferidos por cada atleta em dezenas de euros:

Salários Mensais Número de atletas

50 – 100 75

100 - 300 58

300 - 500 22

500 - 800 20

800 - 1000 15 1000 - 2000 10

a) (5%) Calcule a média, moda e mediana desta distribuição. Classifique-a quanto à assimetria, através do cálculo do grau de assimetria de Pearson.

b) (5%) Foram contratados mais 3 jogadores para a equipa principal de futebol deste clube, e sabe-se que todos irão receber o mesmo salário. Sabe-se também que a contratação destes jogadores não alterou o salário médio da distribuição. Qual o salário que estes 3 jogadores irão auferir mensalmente? Esta contratação alterou a dispersão da amostra? Justifique a sua resposta, quantificando.

Análise de Dados e Probabilidade 2º Semestre 2009/2010 Exame 1ª Época - Correcção Nº:___________ Nome:____________________________________________________

2

c) (5%) O presidente do clube rival “Os Vermelhos”, afirmou que “Os Verdes não tratam condignamente todos os seus atletas, pois os jogadores que auferem rendimentos mais elevados são aqueles que detêm a maior percentagem da massa salarial mensal distribuída pelo clube”. Comente a afirmação, quantificando.

2. O general João Európio Gadolíneo da Força Aérea encomendou um estudo para averiguar de que forma é que o número de horas semanais de descanso dos pilotos (D) afecta o seu rendimento, medido através do número de horas semanais de missão de combate de voo (C). Desse estudo foram divulgados os seguintes resultados:

Di=465; Ci=1110;

N

i=1

N

Di2

N

i=1

=1471,5; Ci2

N

i=1

=8895; Di·Ci=3315;

N

i=1 i=1

ln Di ·Ci

N

i=1

=1162; ln Ci ·Di

N

i=1

=886; ln Di =180;

N

i=1

ln Ci =288;

N

1

i=

ln Di2

N

i=1

=220; ln Ci2

N

i=1

=600; ln Di ln Ci =335;

N

i=1

C=20,42‐4,2D

a) (5%) Calcule quantos pilotos foram objecto deste estudo.

b) (5%) Ajuste a estes dados uma função potência (assuma N=150 caso não tenha respondido à alínea anterior).

c) (5%) Indique qual das duas regressões (a recta ou a função potência) se ajusta melhor aos dados, quantificando adequadamente a sua resposta.

II (20%)

Os seguintes dados sobre a temperatura média (T), em Portugal, nas últimas décadas foram retirados de um relatório do Instituto de Meteorologia:

Década Temperatura Média (em graus Celsius) 1960-69 14,9

1970-79 14,6

1980-89 15,3

1990-99 15,7

2000-09 15,6


3

a) (5%) Determine o valor da Tendência para cada década pelo Método dos Mínimos Quadrados. Com base na informação para Portugal, o que pode concluir quanto à existência ou não do Aquecimento Global?

b) (5%) Qual foi o valor da Tendência no ano de 2007?

c) (5%) Um grupo de cientistas afirma que, se nada for feito para alterar a tendência que se verifica em relação ao meio ambiente, a temperatura média do país num ano poderá chegar aos 16,5ºC brevemente. Em que década prevê que isso aconteça?

d) O consumo médio de gelados “Epá” por dia depende da temperatura e é dado pela seguinte expressão: G = 1000 + 900T.

i. (2.5%) Em média, quantos gelados serão consumidos por dia, durante a próxima década?

ii. (2.5%) O índice de Sazonalidade do 2º Quadrimestre é de 1,4. Quantos gelados serão consumidos por dia, no 2º Quadrimestre de 2012?

III (20%)

A família Oliveira consome 3 produtos diferentes: Produto A, Produto B e Produto C. São conhecidas as seguintes informações relativas a cada um dos produtos: as Despesas da família em 2009; o Índice da Despesa de 2009, com base em 2008; o Índice de Preços de 2009 com base em 2005 e o Índice de Preços de 2008 com base em 2005:

Produtos Despesas 2009 (em euros) Y09/08 IP09/05 IP08/05 Produto A 1560 1,2 2,1 1,75

Produto B 1760 1,1 2 1,6

Produto C 1680 1,4 1,6 2

a) (5%) Calcule, para cada produto, o índice simples de preços de 2009, com base em 2008.

b) (10%) Calcule o índice de Laspeyres de preços, para o ano de 2009, com base em 2008.

c) (5%) Entre o ano 2008 e 2009, qual foi a variação percentual na quantidade consumida de produto B?


4

IV(30%)

1. Na festa de encerramento do ano lectivo na NOVA, 20% dos cocktails servidos são de laranja, 30% de limão, 40% de ananás e 10% de outros sabores. Sabendo que 60% dos clientes são rapazes e que 10% dos rapazes pede cocktails de laranja, responda às seguintes questões:

a) (2.5%) Uma rapariga pediu um cocktail, qual a probabilidade de ser de laranja?

b) (2.5%) Foi pedido um cocktail de laranja, qual a probabilidade de ter sido pedido por um rapaz?

c) (2.5%) Qual a probabilidade de em 10 raparigas seleccionadas, pelo menos 2 pedirem um cocktail de laranja?

d) (2.5%) Qual o valor esperado e a variância do número de cocktails de laranja pedidos num grupo de 30 rapazes?

Sabe-se ainda que a probabilidade de em 5 rapazes, encontrarmos pelo menos 2 que pedem cocktail de ananás é de 66,3%.

e) (5%) Qual a probabilidade de pedir um cocktail de ananás dado que se trata de um rapaz?

2. Considere a variável aleatória X que designa o número de alunos que entram no “Bar da Tenda” num período de 1 minuto. Sabe-se que E X2 =6.

a) (5%) Qual a probabilidade de entrarem pelo menos 20 pessoas no Bar da Tenda num

período de 10 minutos?

No “Bar da Irene” entram em média 6 alunos em cada 2 minutos. Assuma que o nº de alunos que entram no “Bar da Irene” é independente do nº de alunos que entram no “Bar da Tenda”.

b) (5%) Qual o valor esperado de alunos que entram nos dois bares num período de 15

minutos.

c) (5%) Qual a probabilidade de não entrar nenhum aluno em nenhum dos bares num período de 15 minutos.


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Correcção

I (30%)

1. O clube desportivo “Os Verdes” decidiu realizar um estudo interno sobre a distribuição de salários dos seus atletas. Os resultados obtidos foram os seguintes, relativos aos salários mensais auferidos por cada atleta em dezenas de euros:

Salários Mensais Número de atletas

50 – 100 75 100 - 300 58 300 - 500 22 500 - 800 20 800 - 1000 15 1000 - 2000 10

a) (5%) Calcule a média, moda e mediana desta distribuição. Classifique-a quanto à assimetria, através do cálculo do grau de assimetria de Pearson.

xj xj′ nj Sj fj Fj hj dj

50 - 100 75 75 75 0,375 0,375 50 0,0075

100 - 300 200 58 133 0,29 0,665 200 0,00145

300 - 500 400 22 155 0,11 0,775 200 0,00055

500 - 800 650 20 175 0,1 0,875 300 0,000(3)

800 - 1000 900 15 190 0,075 0,95 200 0,000375

1000 - 2000 1500 10 200 0,05 1 1000 0,00005

Σ - 200 - 1 - - -

.Média:

x fj·xj'6

j 1

0,375 75 0,29 200 0,11 400 0,1 650 0,075 900 0,05 1500 337,625


6

.Mediana: Pela observação das frequências relativas acumuladas, verifica-se que a classe mediana (a classe que acumula 50% ou mais do total das observações) é a classe 100,300 . Sabendo que F x =0,5, então podemos determinar o valor da mediana por interpolação linear:

F 300 ‐F 100300‐100

F x ‐F 100x‐100

0,665‐0,375200

0,5‐0,375x‐100 x 186,207

.Moda:

A classe modal, neste caso, é aquela que tem maior densidade de frequência, uma vez que as classes têm amplitudes diferentes. Ou seja, a classe modal é 50,100 . Recorrendo à fórmula de King, temos:

mod x 50 50·0,00145

0,00145 0 100

O grau de ass

gx‐mod x

sx

imetria de Pearson é dado pela seguinte fórmula:

Temos, então, de calcular o desvio-padrão, que pode ser determinado pela seguinte expressão:

sx fj· xj'‐x2

6

j 1

0,375· 75‐337,625 2 … 0,05· 1500‐337,625 2

132818,7344 364,443

Logo, o grau de assimetria de Pearson vai

gx‐mod x

sx

ser dado por:

337,625‐100364,443 0,652 0

Como o grau de assimetria de Pearson é positivo, conclui-se que esta distribuição é assimétrica positiva ou enviesada à direita.

b) (5%) Foram contratados mais 3 jogadores para a equipa principal de futebol deste clube, e sabe-se que todos irão receber o mesmo salário. Sabe-se também que a contratação destes jogadores não alterou o salário médio da distribuição. Qual o salário que estes 3 jogadores irão auferir mensalmente? Esta contratação alterou a dispersão da amostra? Justifique a sua resposta, quantificando.

Sabemos que: xAntes xDepois 337,625

Pela fórmula da média geral, temos:

xDepoisNAntes·xAntes 3a

NAntes 3 337,625200 337,625 3a

200 3 a 337,625 xAntes


7

Ou seja, os três novos jogadores vão receber um salário correspondente ao salário médio da distribuição antes da sua contratação.

Em averiguarmos o que a contratação destes três jogadores causou em termos da dispersão, vamos ter que calcular o coeficiente de variação antes e depois desta contratação. Para podermos calcular esse coeficiente de variação depois da contratação, temos que proceder primeiro ao cálculo da nova variância (e n v vio- da distribuição: o o des padrão)

sD ois2

∑ nj x'j‐xAntes2NAntes 3

j 1

NAntesep 3 An

∑ nj x'j‐xAntes2 3 xAntes‐xAntes 2NAntes

j 1

N tes 3

=∑ nj x'j-xAntes

2NAntesj=1

NAntes+3<∑ nj x'j-xAntes

2NAntesj=1

NAntes=sAntes

2 isto implica que a dispersão absoluta diminuiu

Assim, temos:

sDepois2∑ nj x'j‐xAntes

2NAntesj 1

NAntes 3NAntes sAntes2

NAntes 3200 132818,7344

200 3 130855,896

Assim, em termos de dispe ão relat

cvAntessAntesx |

rs iva, temos:

| Antes

364,443|337,625| 1,07

cvDepois sDepois

xDepo

9

is

130855,896|337,625|

361,74337,625 1,071

Logo, como cvDepois cvAntes, a dispersão diminuiu depois da contratação dos novos

jogadores.

c) (5%) O presidente do clube rival “Os Vermelhos”, afirmou que “Os Verdes não tratam condignamente todos os seus atletas, pois os jogadores que auferem rendimentos mais elevados são aqueles que detêm a maior percentagem da massa salarial mensal distribuída pelo clube”. Comente a afirmação, quantificando.

Neste caso, temos que calcular o índice de Gini para avaliar o grau de concentração da distribuição e daí concluir se a afirmação do presidente rival é verdadeira ou falsa. O índice

s guinte expressão: de Gini é obtido através da e

G∑ pj‐qjm‐1j 1

∑ pjm‐1j 1

1‐∑ qjm‐1j 1

∑ pjm‐1j 1

Onde:

pj F*∑ nsjs 1

j ∑ nsms 1 N

∑ nsjs 1

qj∑ tsjs 1

∑ tsms 1

∑ ns·xsjs 1

∑ ns·xsms 1

O quadro seguinte resume os cálculos necessários à obtenção dos valores de pj e qj:


8

xj nj fj Sj F*j=pj tj tjr qj

50 - 100 75 0,375 75 0,375 5625 0,0833 0,0833100 - 300 58 0,29 133 0,665 11600 0,1718 0,2551 300 - 500 22 0,11 155 0,775 8800 0,1303 0,3854 500 - 800 20 0,1 175 0,875 13000 0,1925 0,5779 800 - 1000 15 0,075 190 0,95 13500 0,2 0,7779 1000 - 2000 10 0,05 200 1 15000 0,2221 1

∑ 200 1 - pj 3,64m‐1

j 1 67525 1 qj 2,0796

m‐1

j 1

Ass m, tem s:

G∑ pj‐qjm‐1j 1

∑

i o

pjm‐1j 1

1‐∑ qjm‐1j 1

∑ pjm‐1j 1

1‐2,07963,64 0,4287

Como G 0,4287, podemos concluir que o existe de facto alguma concentração nesta distribuição, mas num grau reduzido (uma vez que sabemos que 0 G 1, e que o grau de concentração aumenta à medida que o valor de G também aumenta). Assim sendo, podemos concluir que a afirmação do Presidente rival é falsa.

2. O general João Európio Gadolíneo da Força Aérea encomendou um estudo para averiguar de que forma é que o número de horas semanais de descanso dos pilotos (D) afecta o seu rendimento, medido através do número de horas semanais de missão de combate de voo (C). Desse estudo foram divulgados os seguintes resultados:

Di=465; Ci=1110;

N

i=1

N

Di2

N

=1471,5; Ci2

N

i=1

=8895; Di·Ci=3315;

N

i=1 i=1 i=1

ln Di ·Ci

N

i=1

=1162; ln Ci ·Di

N

i=1

=886; ln Di =180;

N

i=1

ln Ci =288;

N

1

i=

ln Di2

N

i=1

=220; ln Ci2

N

i=1

=600; ln Di ln Ci =335;

N

i=1

C=20,42‐4,2D

a)

N ?

(5%) Calcule quantos pilotos foram objecto deste estudo.

Sabemos que:

∑ DiNi 1D N

465N

C∑ CiNi 1N

1110N


9

E como conhecemos a recta de regressão de C em relação a D, podemos determinar o valor de N, tanto pela expressão de a: b como pela expressão de

b∑ Di·Ci‐N·D·C Ni 1

∑ Di2Ni 1 ‐N· D 2 ‐4,2

3315‐N· 465N · 1110N

1471,5‐N· 465N

2 N 150

Ou então:

a C‐b·D 20,421110N ‐ ‐4,2 ·

465N N 150

Foram objecto deste estudo 150 pilotos.

b) (5%) Ajuste a estes dados uma função potência (assuma N=150 caso não tenha respondido à alínea anterior).

. Função Potência: Ci ADiB, onde A e B são os parâmetros que definem a função

Uma vez que o método dos mínimos quadrados ou método da regressão linear apenas pode ser utilizado directamente se estiver a ser assumida uma função linear entre as variáveis, não é possível aplicar esse método directamente no caso da função potência para estimar o valor dos parâmetros A e B que a definem. Contudo, após tomarmos logaritmos neperianos,

ma função linear: a função potência pode ser reduzida a u

ln Ci ln A B·ln Di Ci' a' b'·Di'

Onde: Ci' ln Ci ;Di' ln D ; a' ln A ; b' B i

Mas então, passemos à estimação da função potência linearizada, começando por calcular o ncoeficie te de regressão b':

b'∑ Ci'·Di' ‐N·C'·D'Ni 1

∑ Di'2N

i 1 ‐N· D'2

∑ ln Ci ·ln Di ‐N·ln CNi 1 .ln D

∑ ln Di 2‐N· ln D2N

i 1

335‐150 1,92 1,2220‐150 1,22

‐10,64 ‐2,65

Onde:

ln C ii 1∑ ln CN

N 150288

1,92

ln D

∑ ln DNi 1N

i 180150 1,2

Assim, o valor de a' será dado por:

a' C'‐b'·D' ln C ‐b'·ln C 1,92‐ ‐2,65 ·1,2 5,1

Logo, a recta de regressão será dada por:

C' 5,1‐2,65·D' ln C 5,1‐02,65·ln D

Calculados os logaritmos das variáveis iniciais e ajustada a função linear acima descrita, un p t nicial, fazendo: torna-se simples em voltar à f ção o ência i

A ea' eln A e5,1 164,022 e B b' 2,65.


10

Assim, a função po

C 164,022·D‐2,65

tência estimada é dada por:

c) (5%) Indique qual das duas regressões (a recta ou a função potência) se ajusta melhor aos dados, quantificando adequadamente a sua resposta.

Para podermos comparar a qualidade da função potência com o da regressão linear, temos que calcular o coeficiente de determinação R2 de cada um dos ajustamentos.

Assim, vamos começar por calcular o coeficiente de determinação da função potência:

RFP2 b' 2·sD'2

sC'2 B2·

sln D2

sln C2 ‐2,65 2·

0,02 60,3136 0,597

Em que a variância do logaritmo da variável D e a variância do logaritmo da variável C são dadas respectivamente por:

sln D2 ∑ ln D 2N

ii 1N ‐ ln D

2 220150 ‐ 1,2

2 0,02 6

sln C2 ∑ ln Ci 2N

i 1N ‐ ln C

2 600150 1,92 2 0,3136

Vamos agora calcular o coeficiente de determinação da função linear:

RFL2 b 2·sD2

sC2‐4,2 2·

0,24,54 0,7771

Em que a variância de G e a variância de

sD2∑ Di2Ni 1

R são dadas respectivamente por:

N ‐ 2 1471,5D 150 ‐ 3,1 2 0,2

sC2∑ Ci2Ni 1N ‐ C 2 8895

150 ‐ 7,4 2 4,54

Assim, temos que:

RFP2 0,5972 0,7771 RFL2

Como a regressão linear apresenta um coeficiente de determinação superior ao da função potência, podemos concluir que a regressão que melhor se ajusta aos dados é a função linear.


11

II (20%)

Os seguintes dados sobre a temperatura média (T), em Portugal, nas últimas décadas foram retirados de um relatório do Instituto de Meteorologia:

Década Temperatura Média (em graus Celsius) 1960-69 14,9 1970-79 14,6 1980-89 15,3 1990-99 15,7 2000-09 15,6

a) (5%) Determine o valor da Tendência para cada década pelo Método dos Mínimos Quadrados. Com base na informação para Portugal, o que pode concluir quanto à existência ou não do Aquecimento Global?

Décadas xt -Temperatura Média t' t'. xt t'2

1960-69 14,9 -2 -29,8 4

1970-79 14,6 -1 -14,6 1

1980-89 15,3 0 0 0

1990-99 15,7 1 15,7 1

2000-09 15,6 2 31,2 4

Σ 76,1 0 2,5 10

b =∑ t . x

t′∑ 102,5

a = xt = 76,1

5

0,25

15,22

Tt = 15,22 + 0,25t’

Substituindo t’ por -2, obtemos a tendência para a década de 1960-69:

T60-69 = 15,22 + 0,25 x (-2) = 14,72

Pelo mesmo método, podemos calcular a tendência para as restantes décadas:

T 1960-69 14,72


12

1970-79 14,97

1980-89 15,22

1990-99 15,47

2000-09 15,72

Com base nas temperaturas médias registadas em Portugal nas últimas décadas concluir-se-ia que existe, de facto, Aquecimento Global, dado que a Tendência da temperatura aumenta 0,25º C por década.

b) (5%) Qual foi o valor da Tendência no ano de 2007?

O valor da Tendência calculado para a década de 2000-09 (T = 15,72), corresponde ao centro da década, ou seja, ao início do ano 2005.

Pretende-se calcular o valor da Tendência no centro do ano 2007, portanto, temos de adicionar ao valor previamente referido o acréscimo da Tendência correspondente a 2 anos e meio.

Dado que a Tendência aumenta 0,25 ºC por década, o seu acréscimo em 2 anos e meio será de 0,25/4 = 0,0625

T2007 = 15,72 + 0,0625 = 15,7825

c) (5%) Um grupo de cientistas afirma que, se nada for feito para alterar a tendência que se verifica em relação ao meio ambiente, a temperatura média do país num ano poderá chegar aos 16,5ºC brevemente. Em que década prevê que isso aconteça?

16,5 = 15,22 + 0,25t’ t’ = 5,12

t’ = 5 Centro da Década 2030-39.

Prevê-se que a temperatura média anual chegue a 16,5 ºC, durante a década de 2030-39.

d) O consumo médio de gelados “Epá” por dia depende da temperatura e é dado pela seguinte expressão: G = 1000 + 900T.

i. (2.5%) Em média, quantos gelados serão consumidos por dia, durante a próxima década?

Década 2010-19 t’ = 3

T = 15,22 + 0,25 x 3 T = 15,97

Prevê-se que a temperatura média na próxima década seja de 15,97 ºC, logo o número médio de gelados consumidos por dia será dado por G = 1000 + 900 x 15,97 G = 15373.


13

ii. (2.5%) O índice de Sazonalidade do 2º Quadrimestre é de 1,4. Quantos gelados serão consumidos por dia, no 2º Quadrimestre de 2012?

Para calcular a temperatura prevista para o 2º Quadrimestre de 2012, temos, primeiro, de calcular a tendência para o centro de 2012.

T = 15,97 é a tendência para o início do ano 2015. Para determinar a tendência para o centro do ano de 2012, temos de subtrair o valor corresponde à variação da tendência em 2 anos e meio.

T2012 = 15,97 – 0,0625 = 15,9075

Dado que o Índice de Sazonalidade do 2º Quadrimestre é igual a 1,4, teremos de multiplicar o valor da tendência em 2012 por 1,4.

Assim, a temperatura prevista para o centro do ano de 2012 é igual a 15,9075 x 1,4 = 22,27.

O número médio de gelados consumidos por dia é dado por: G = 1000 + 900 x 22,27 G = 21043,45.


14

III (20%)

A família Oliveira consome 3 produtos diferentes: Produto A, Produto B e Produto C. São conhecidas as seguintes informações relativas a cada um dos produtos: as Despesas da família em 2009; o Índice da Despesa de 2009, com base em 2008; o Índice de Preços de 2009 com base em 2005 e o Índice de Preços de 2008 com base em 2005:

Produtos Despesas 2009 (em euros) Y09/08 IP09/05 IP08/05 Produto A 1560 1,2 2,1 1,75 Produto B 1760 1,1 2 1,6 Produto C 1680 1,4 1,6 2

a) (5%) Calcule, para cada produto, o índice simples de preços de 2009, com base em 2008.

IP09/08 =

I /P

I /P

IP09/08

Produto A 1,2

Produto B 1,25

Produto C 0,8

b) (10%) Calcule o índice de Laspeyres de preços, para o ano de 2009, com base em 2008.

Para calcular o índice de Laspeyres de preços, precisamos de saber as despesas com cada um

dos pro m 2008. dutos e

Y09/08 = DD

Despesa08 = DY /

Despesa 2008 Produto A 1300

Produto B 1600

Produto C 1200

LP∑p . q∑p . q

∑ pp . q . p

∑Despesas ∑ IP . Despesas

∑Despesas


15

1,2 x 1300 1,25 x 1600 0,8 x 12001300 1600 1200 1,10

c) (5%) Entre o ano 2008 e 2009, qual foi a variação percentual na quantidade consumida de produto B?

Através do índice da Despesa (dado no enunciado), sabemos que a Despesa com o bem B em 2009 foi 10% à despesa em 2008, ou seja:

Despesa09 = 1,1 x Despesa08 p09.q09 = 1,1 x p08.q08

Através do índice de preços (alínea a), sabemos que o preço do bem B aumentou 25%, ou seja:

p09 = 1,25 x p08

Substituindo na expressão anterior,

1,25 x p08. q09 = 1,1 x p08.q08 q09 = 0,88 x q08

A quantidade consumida do Produto B sofreu uma redução de 12%, entre o ano de 2008 e 2009.


16

IV(30%)

1. Na festa de encerramento do ano lectivo na NOVA, 20% dos cocktails servidos são de laranja, 30% de limão, 40% de ananás e 10% de outros sabores. Sabendo que 60% dos clientes são rapazes e que 10% dos rapazes pede cocktails de laranja, responda às seguintes questões:

a) (2.5%) Uma rapa

0,1

riga pediu um cocktail, qual a probabilidade de ser de laranja?

P Laranja|Rapaz2 P Laranja 0,

P Rapaz 0,6

Logo: P Rapariga 0,4

Pelo Teorema da Probabilidade Total:

P Laranja P Laranja Rapaz P Laranja Rapariga

P Laranja P Rapaz P Laranja|Rapaz P Rapariga P Laranja|Rapariga0,2 0,6 0,1 0,4 P Laranja|Rapariga P Laranja|Rapariga 0,35

b) (2.5%) Foi pedido um cocktail de laranja, qual a probabilidade de ter sido pedido por um rapaz?

Pelo Teorema de Bayes:

P Rapaz|LaranjaP Rapaz Laranja

P LaranjaP Rapaz P Laranja|Rapaz

P Laranja Rapaz P Laranja Rapariga0,6 0,10,2 0,3

c) (2.5%) Qual a probabilidade de em 10 raparigas seleccionadas, pelo menos 2 pedirem um cocktail de laranja?

X: nº de raparigas em 10 que pede cocktail de laranja

X~Bin n 10,p 0,35 P X 2 1‐P X 2 1‐P X 1 1‐F 1 1‐0,086 0,914

d) (2.5%) Qual o valor esperado e a variância do número de cocktails de laranja pedidos num grupo de 30 rapazes?

Y: nº de cocktails de la

, p 0,1

ranja pedidos num grupo de 30 rapazes

Y~Bin n 30E Y np 3

VarY np 1‐p 2,7


17

Sabe-se ainda que a probabilidade de em 5 rapazes, encontrarmos pelo menos 2 que pedem cocktail de ananás é de 66,3%.

e) (5%) Qual a probabilidade de pedir um cocktail de ananás dado que se trata de um rapaz?

Z: nº de rapazes em 5 que pede cocktail de ananás

Z~Bin(n=5, p=?)

Sabe-se que:

P Z 2 0,663 1‐P Z 2 0,663 P Z 2 0,337 P Z 1 0,337 p 0,4

2. Considere a variável aleatória X que designa o número de alunos que entram no “Bar

da Tenda” num período de 1 minuto. Sabe-se que E X2 =6.

a) (5%) Qual a probabilidade de entrarem pelo menos 20 pessoas no Bar da Tenda num período de 10 minutos?

X: nº de alunos que entram no bar da tenda no período de 1 minuto, durante a hora de ponta

λ Var X E X2 ‐ E X 2

λ 6 0 λ 2 λ 6 λ2 λ2

~Poisson λ 2 X no bar da tenda no período de 10 minutos Y: nº de alunos que entram

Y~Poisson λ 10 2 20

P Y 20 1‐P Y 20 1‐F 19 1‐0,4703 0,5297

No “Bar da Irene” entram em média 6 alunos em cada 2 minutos. Assuma que o nº de alunos que entram no “Bar da Irene” é independente do nº de alunos que entram no “Bar da Tenda”.

b) (5%) Qual o valor esperado de alunos que entram nos dois bares num período de 15

minutos.

Y: nº de alunos que entram

Y~Poisson λ 15 2 30

no bar da tenda no período de 15 minutos

Z: nº de alunos que entra n

on λ 15 3 45

o bar da Irene em 15 minutos

Z~Poiss

T Z Y: nº total de alunos que entram no bar da Irene e no bar da tenda no período de 15 minutos

E T E Z Y E Z E Y 30 45 75 alunos


18

c) (5%) Qual a probabilidade de não entrar nenhum aluno em nenhum dos bares num período de 15 minutos.

T: nº total de alunos que entram no bar da Irene e no bar da tenda no período de 15 minutos

T~Poisson(λ=75)

P T 0e‐75 750

0! 0

Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 1304 – Análise de Dados e Probabilidade 2º Semestre 2009/2010

1

Formulário

- Medidas de Assimetria

• Grau de assimetria de Pearson

g=x mod x

s

• Coeficiente de assimetria de Fisher

g1=m3

m2

32

=m3

s232

=m3

s3

b1=m3

2

m23

• Coeficiente de assimetria de Pearson

= g12

b'=Q34

• Coeficiente de assimetria de Bowley

x x Q14

Q34

x + x Q14

=Q34+Q1

42x

Q34

Q14

a4=m4

m22

- Medidas de Achatamento • Coeficiente de achatamento a4 de Fisher

=m4

s2 2 =m4

s4

g2=a4 3

b=Cov yi,xiVar xi

• Excesso de Kurtosis

- Regressão e Correlação Simples • Coeficiente de regressão

=∑ xiyi N·x · yNi=1

∑ xi 2 N · x 2Ni=1

Onde yi é a variável explicada e xi a variável explicativa

Análise de Dados e Probabilidade 2º Semestre 2009/2010 Formulário

2

- Números Índices • Índice de Fisher de preços

Ft/0p = Lt/0

p ×Pt/0p

Ft/0q = Lt/0

q ×Pt/0q

• Índice de Fisher de quantidades

Distribuições de probabilidade de v. a. discretas

Distribuição Função de probabilidade Função de

distribuição

X~DU i,j

1j i+1

x i,i+1,…,j 1,j

i,i+1,…,j 1,j

x i+1j i+1

0 x

0 x<i

i≤x≤j

1 x>j

X~Bernoulli p

q=1 p x=0

p x=1 p ≤x<1

≥1

0 outros casos

0 x<0 q=1 0 1 x

X~Bin(n,p)

nx

px 1 p n x x 0,1,2,…,n

0,1,2,…,n

x<0

pi 1 p n ixi=0 ≤x<n

≥n

0 x

0

∑ 0 1 x

X~Poisson λ

e λλx

x!

x

e λ λi

i!

1,2,…

0 x 1,2,…

0 x<0

x

i=0

x≥0

TA

BE

LA

1 – DIST

RIB

UIÇ

ÃO

BIN

OM

IAL

A

. Função probabilidade

B. Função de distribuição

xn

x

x nx

XP

xf

−−

==

=)

1()

()

|(

θθ

θ

∑=

−−

=≤

=xi

in

i

i nx

XP

xF

0)

1()

()

|(

θθ

θ

θ

θ

n

x .05

.10 .15

.20 .25

.30 .35

.40 .45

.50

n x

.05 .10

.15 .20

.25 .30

.35 .40

.45 .50

1 0

.9500 .9000

.8500 .8000

.7500 .7000

.6500 .6000

.5500 .5000

1

0 .9500

.9000 .8500

.8000 .7500

.7000 .6500

.6000 .5500

.5000

1 .0500

.1000 .1500

.2000 .2500

.3000 .3500

.4000 .4500

.5000

1

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

2 0

.9025 .8100

.7225 .6400

.5625 .4900

.4225 .3600

.3025 .2500

2

0 .9025

.8100 .7225

.6400 .5625

.4900 .4225

.3600 .3025

.2500

1 .0950

.1800 .2550

.3200 .3750

.4200 .4550

.4800 .4950

.5000

1

.9975 .9900

.9775 .9600

.9375 .9100

.8775 .8400

.7975 .7500

2

.0025 .0100

.0225 .0400

.0625 .0900

.1225 .1600

.2025 .2500

2 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000

3 0

.8574 .7290

.6141 .5120

.4219 .3430

.2746 .2160

.1664 .1250

3

0 .8574

.7290 .6141

.5120 .4219

.3430 .2746

.2160 .1664

.1250

1 .1354

.2430 .3251

.3840 .4219

.4410 .4436

.4320 .4084

.3750

1

.9928 .9720

.9393 .8960

.8438 .7840

.7183 .6480

.5748 .5000

2

.0071 .0270

.0574 .0960

.1406 .1890

.2389 .2880

.3341 .3750

2 .9999

.9990 .9966

.9920 .9844

.9730 .9571

.9360 .9089

.8750

3 .0001

.0010 .0034

.0080 .0156

.0270 .0429

.0640 .0911

.1250

3

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

4 0

.8145 .6561

.5220 .4096

.3164 .2401

.1785 .1296

.0915 .0625

4

0 .8145

.6561 .5220

.4096 .3164

.2401 .1785

.1296 .0915

.0625

1 .1715

.2916 .3685

.4096 .4219

.4116 .3845

.3456 .2995

.2500

1

.9860 .9477

.8905 .8192

.7383 .6517

.5630 .4752

.3910 .3125

2

.0135 .0486

.0975 .1536

.2109 .2646

.3105 .3456

.3675 .3750

2 .9995

.9963 .9880

.9728 .9492

.9163 .8735

.8208 .7585

.6875

3 .0005

.0036 .0115

.0256 .0469

.0756 .1115

.1536 .2005

.2500

3

1.0000 .9999

.9995 .9984

.9961 .9919

.9850 .9744

.9590 .9375

4

.0000 .0001

.0005 .0016

.0039 .0081

.0150 .0256

.0410 .0625

4 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000

5 0

.7738 .5905

.4437 .3277

.2373 .1681

.1160 .0778

.0503 .0313

5

0 .7738

.5905 .4437

.3277 .2373

.1681 .1160

.0778 .0503

.0313

1 .2036

.3281 .3915

.4096 .3955

.3602 .3124

.2592 .2059

.1563

1

.9774 .9185

.8352 .7373

.6328 .5282

.4284 .3370

.2562 .1875

2

.0214 .0729

.1382 .2048

.2637 .3087

.3364 .3456

.3369 .3125

2 .9988

.9914 .9734

.9421 .8965

.8369 .7648

.6826 .5931

.5000

3 .0011

.0081 .0244

.0512 .0879

.1323 .1811

.2304 .2757

.3125

3

1.0000 .9995

.9978 .9933

.9844 .9692

.9460 .9130

.8688 .8125

4

.0000 .0005

.0022 .0064

.0146 .0284

.0488 .0768

.1128 .1563

4 1.0000

1.0000 .9999

.9997 .9990

.9976 .9947

.9898 .9815

.9688

5

.0000 .0000

.0001 .0003

.0010 .0024

.0053 .0102

.0185 .0313

5 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000

6 0

.7351 .5314

.3771 .2621

.1780 .1176

.0754 .0467

.0277 .0156

6

0 .7351

.5314 .3771

.2621 .1780

.1176 .0754

.0467 .0277

.0156

1 .2321

.3543 .3993

.3932 .3560

.3025 .2437

.1866 .1359

.0938

1

.9672 .8857

.7765 .6554

.5339 .4202

.3191 .2333

.1636 .1094

2

.0305 .0984

.1762 .2458

.2966 .3241

.3280 .3110

.2780 .2344

2 .9978

.9842 .9527

.9011 .8306

.7443 .6471

.5443 .4415

.3438

3 .0021

.0146 .0415

.0819 .1318

.1852 .2355

.2765 .3032

.3125

3

.9999 .9987

.9941 .9830

.9624 .9295

.8826 .8208

.7447 .6563

4

.0001 .0012

.0055 .0154

.0330 .0595

.0951 .1382

.1861 .2344

4 1.0000

.9999 .9996

.9984 .9954

.9891 .9777

.9590 .9308

.8906

5

.0000 .0001

.0004 .0015

.0044 .0102

.0205 .0369

.0609 .0938

5 1.0000

1.0000 1.0000

.9999 .9998

.9993 .9982

.9959 .9917

.9844

6 .0000

.0000 .0000

.0001 .0002

.0007 .0018

.0041 .0083

.0156

6

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

70

.6983.4783

.3206.2097

.1335.0824

.0490.0280

.0152.0078

70

.6983.4783

.3206.2097

.1335.0824

.0490.0280

.0152.0078

1.2573

.3720.3960

.3670.3115

.2471.1848

.1306.0872

.05471

.9556.8503

.7166.5767

.4449.3294

.2338.1586

.1024.0625

2.0406

.1240.2097

.2753.3115

.3177.2985

.2613.2140

.16412

.9962.9743

.9262.8520

.7564.6471

.5323.4199

.3164.2266

3.0036

.0230.0617

.1147.1730

.2269.2679

.2903.2918

.27343

.9998.9973

.9879.9667

.9294.8740

.8002.7102

.6083.5000

TA

BE

LA

1 – DIST

RIB

UIÇ

ÃO

BIN

OM

IAL

(Continuação)

A. Função probabilidade

B

. Função de distribuição

θ

θ

n x

.05 .10

.15 .20

.25 .30

.35 .40

.45 .50

n

x .05

.10 .15

.20 .25

.30 .35

.40 .45

.50 7

40002

00260109

02870577

09721442

19352388

27347

41

00009998

99889953

98719712

94449037

84717734

5

.0000 .0002

.0012 .0043

.0115 .0250

.0466 .0774

.1172 .1641

5 1.0000

1.0000 .9999

.9996 .9987

.9962 .9910

.9812 .9643

.9375

6 .0000

.0000 .0001

.0004 .0013

.0036 .0084

.0172 .0320

.0547

6

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

.9999 .9998

.9994 .9984

.9963 .9922

7

.0000 .0000

.0000 .0000

.0001 .0002

.0006 .0016

.0037 .0078

7 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000

8 0

.6634 .4305

.2725 .1678

.1001 .0576

.0319 .0168

.0084 .0039

8

0 .6634

.4305 .2725

.1678 .1001

.0576 .0319

.0168 .0084

.0039

1 .2793

.3826 .3847

.3355 .2670

.1977 .1373

.0896 .0548

.0313

1

.9428 .8131

.6572 .5033

.3671 .2553

.1691 .1064

.0632 .0352

2

.0515 .1488

.2376 .2936

.3115 .2965

.2587 .2090

.1569 .1094

2 .9942

.9619 .8948

.7969 .6785

.5518 .4278

.3154 .2201

.1445

3 .0054

.0331 .0839

.1468 .2076

.2541 .2786

.2787 .2568

.2188

3

.9996 .9950

.9786 .9437

.8862 .8059

.7064 .5941

.4770 .3633

4

.0004 .0046

.0185 .0459

.0865 .1361

.1875 .2322

.2627 .2734

4 1.0000

.9996 .9971

.9896 .9727

.9420 .8939

.8263 .7396

.6367

5

.0000 .0004

.0026 .0092

.0231 .0467

.0808 .1239

.1719 .2188

5 1.0000

1.0000 .9998

.9988 .9958

.9887 .9747

.9502 .9115

.8555

6 .0000

.0000 .0002

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.1094

6

1.0000 1.0000

1.0000 .9999

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7

.0000 .0000

.0000 .0001

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7 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

.9999 .9998

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.9961

8 .0000

.0000 .0000

.0000 .0000

.0001 .0002

.0007 .0017

.0039

8

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

9 0

.6302 .3874

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9

0 .6302

.3874 .2316

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.0020

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1

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.3003 .1960

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2

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.2597 .3020

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.1110 .0703

2 .9916

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.2318 .1495

.0898

3 .0077

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.1762 .2336

.2668 .2716

.2508 .2119

.1641

3

.9994 .9917

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.3614 .2539

4

.0006 .0074

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.1168 .1715

.2194 .2508

.2600 .2461

4 1.0000

.9991 .9944

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.9012 .8283

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.5000

5

.0000 .0008

.0050 .0165

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.2128 .2461

5 1.0000

.9999 .9994

.9969 .9900

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.9006 .8342

.7461

6 .0000

.0001 .0006

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.0743 .1160

.1641

6

1.0000 1.0000

1.0000 .9997

.9987 .9957

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7

.0000 .0000

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1.0000 1.0000

1.0000 .9999

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.9805

8 .0000

.0000 .0000

.0000 .0001

.0004 .0013

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.0176

8

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

.9999 .9997

.9992 .9980

9

.0000 .0000

.0000 .0000

.0000 .0000

.0001 .0003

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9 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000

10 0

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10

0 .5987

.3487 .1969

.1074 .0563

.0282 .0135

.0060 .0025

.0010

1 .3151

.3874 .3474

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.0098

1

.9139 .7361

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.0233 .0107

2

.0746 .1937

.2759 .3020

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.1757 .1209

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2 .9885

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.6778 .5256

.3828 .2616

.1673 .0996

.0547

3 .0105

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.1172

3

.9990 .9872

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4

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4 .9999

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.3770

5

.0001 .0015

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.6230

6 .0000

.0001 .0012

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.2051

6

1.0000 1.0000

.9999 .9991

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7

.0000 .0000

.0001 .0008

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1.0000 1.0000

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8 .0000

.0000 .0000

.0001 .0004

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.0439

8

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 .9999

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.9955 .9893

9

.0000 .0000

.0000 .0000

.0000 .0001

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9 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

.9999 .9997

.9990

10 .0000

.0000 .0000

.0000 .0000

.0000 .0000

.0001 .0003

.0010

10 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000

TA

BE

LA

2 – DIST

RIB

UIÇ

ÃO

DE

POISSO

N (C

ontinuação) A

. Função probabilidade

B. Função de distribuição

x 11

12 13

14 15

16 17

18 19

20

x 11

12 13

14 15

16 17

18 19

20

9 .1085

.0874 .0661

.0473 .0324

.0213 .0135

.0083 .0050

.0029

9 .3405

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.0433 .0261

.0154 .0089

.0050 10

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10

.4599 .3472

.2517 .1757

.1185 .0774

.0491 .0304

.0183 .0108

11 .1194

.1144 .1015

.0844 .0663

.0496 .0355

.0245 .0164

.0106

11 .5793

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.2600 .1848

.1270 .0847

.0549 .0347

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.1094 .1144

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12

.6887 .5760

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.0271

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.6815 .5730

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14

.8540 .7720

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.0989 .1024

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.0516

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.1565 16

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16

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.4677 .3751

.2920 .2211

17 .0237

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.0713 .0847

.0934 .0963

.0936 .0863

.0760

17 .9678

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.4686 .3784

.2970 18

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18

.9823 .9626

.9302 .8826

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.0888

19 .9907

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20

.9953 .9884

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.0846

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22

.9990 .9970

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.0669

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.0003 .0008

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24

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26

1.0000 .9999

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.0001 .0002

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.0254

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.9999 .9998

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.0000 .0000

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28

1.0000 1.0000

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.0000 .0001

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1.0000 1.0000

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.0000 .0000

.0000 .0001

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.0000 .0000

.0000 .0001

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.0000 .0000

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1.0000 1.0000

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.0000 .0000

.0000 .0000

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.0000 .0000

.0000 .0000

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34

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1.0000 1.0000

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.0000 .0000

.0000 .0000

.0000 .0000

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.0007

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.0000 .0000

.0000 .0000

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36

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.0000 .0000

.0000 .0000

.0000 .0000

.0000 .0001

.0002

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.0000 .0000

.0000 .0000

.0000 .0000

.0000 .0000

.0000 .0001

38

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.0000 .0000

.0000 .0000

.0000 .0000

.0000 .0000

.0001

39 1.0000

1.0000 1.0000

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