UNIDADE II - INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE

No estudo de variáveis podemos distinguir dois tipos de experimentos: Determinísticos e Probabilísticos.

Experimentos Determinísticos: são aqueles cujos resultados são conhecidos, mesmo antes de serem concretizados.

Experimentos Probabilísticos: também chamados aleatórios não estão associados a resultados pré-estabelecidos, por mais que nos esforcemos em prever seus resultados, ele só é determinado após a realização do experimento. Estes experimentos são considerados aleatórios se podem existir nas seguintes condições:- Pode-se repetir indefinidamente, sempre nas mesmas condições;- Não se pode dizer a priori o resultado do experimento;- O resultado obtido pertence a um conjunto de resultados possíveis denominado de espaço amostral.

ESPAÇO AMOSTRAL (S): São todos os resultados possíveis de um experimento.

Exemplo I: Nascimento de uma criança quanto ao sexo. S = {M, F}.

Exemplo II: Nascimento de duas crianças quanto ao sexo: S = {MM, MF, FM, FF}.

Exemplo III: Nascimento de três crianças quanto ao sexo:

S = {MMM, MMF, MFM, FMM, FFM, FMF, MFF, FFF}.

Exemplo IV: Lançamento de um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Exemplo V: Lançamento de dois dados:

S = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66}.

EVENTOS (A, B C,...): São subconjuntos do espaço amostral.

Principais Eventos:

1. Evento Impossível: É aquele que não ocorre em nenhuma prova do experimento.

Exemplo: No lançamento de um dado verificar o número de elementos do seguinte evento: A = {xi/xi > 6} => A = { } - Evento A não possui elementos.

2. Evento Certo: É aquele que ocorre em qualquer prova de experimento.

Exemplo: No lançamento de um dado verificar o número de elementos do seguinte evento: B = {xi/xi < 7} => B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - Evento igual a S. 3. Evento Complementar (A): O complementar de um evento A é tudo que pertence ao espaço amostral, mas não pertence a este evento. Isto é: a intercessão entre um evento e seu complementar é sempre vazia.

Conceito de Probabilidade.

Probabilidade – É a razão entre o número de casos favoráveis a determinado evento e todos os elementos do espaço amostral finito relativo a esse evento.

Isto é: Seja A o evento e S seu espaço amostral: P(A) = n(A) / n(S)

Essa probabilidade deve satisfazer as seguintes condições:

- 0 P(A) 1. Limites do cálculo de probabilidade: Evento Impossível => P(A) = 0 e Evento Certo => P(A) = 1.

- P(S) = 1

- Se A e B são eventos mutuamente exclusivos: P(A B) = P (A) + P (B).

4. Teorema da soma: se A e B são dois eventos a probabilidade de A ou B ocorrerem é a soma das probabilidades dos eventos ocorrerem, observando o fato deles serem mutuamente exclusivos ou não.

4.1. Eventos mutuamente exclusivos: Dois ou mais eventos são considerados mutuamente exclusivos se a ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro evento, isto é eles não podem ocorrer ao mesmo tempo.Eventos complementares são sempre mutuamente excludentes, mas a recíproca nem sempre é sempre verdadeira. Para dois eventos A e B, temos: P(AUB) = P(A) + P(B) Para três eventos A, B e C, temos: P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C)

Exemplo: Um grupo de alunos é formado por 10 nascidos no município de Simão Dias, 6 no de Poço Verde e 4 no de Itabaiana. Escolhendo ao acaso um aluno qual a probabilidade que ele tenha nascido em Simão Dias ou em Itabaiana.

Seja: A = {Aluno nascido em Simão Dias}; B = {Aluno nascido Itabaiana}

Estes eventos são mutuamente exclusivos, sendo escolhido aleatoriamente um de Simão Dias, automaticamente não ocorre aluno de Itabaiana e vice-versa.Neste caso a probabilidade procurada é a seguinte:

P(AUB) = P(A) + P(B); P(AUB) = 10/20 + 4/20 = 14/20 = 0,7 = 70%

4.2. Eventos não mutuamente exclusivos: São aqueles que podem ocorrer ao mesmo tempo, visto que existe um ou mais elementos comuns a estes eventos, formando uma intercessão entre os mesmos. Dois eventos: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Três eventos: P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C)–P(A B)–P(A C)–P(B C)+P(A B C)

Exemplo: Num grupo de 100 pessoas, 80 tem sangue Rh positivo, 45 tem sangue tipo “O” e 35 tem sangue “O” com RH positivo. Escolhendo ao acaso, uma pessoa deste grupo, qual a probabilidade de seu sangue ser do tipo “O” ou ter Rh positivo?

Seja: A = {Sangue tipo O} = 45 e B = {Sangue com Rh positivo} = 80

P(A B)= 35 Intercessão dos eventos A e B.

P(A B) = P(A)+P(B)–P(A B) = 45/100 + 80/100 – 35/100 = 90/100 = 0,90 = 90%

5. Teorema do Produto: a probabilidade de dois e mais eventos ocorrerem simultaneamente em uma prova é igual ao produto das probabilidades destes eventos, levando em conta o fato dos eventos serem Condicionados ou Independentes.

5.1. Eventos Condicionados: São aqueles em que a probabilidades de ocorrência destes eventos está vinculado a ocorrência de um ou mais eventos. Os eventos condicionados são sorteados sem reposição do evento escolhido, deste modo suas probabilidades de ocorrências em cada prova do experimento são diferentes. Sejam A e B dois eventos, denota-se P(B/A) a probabilidade condicionada do evento B quando A tiver ocorrido, isto é:

Para dois eventos: P(B/A) = P(A∩B)/P(A) ou P(A∩B) = P(A)*P(B/A)

Para três eventos: P(A∩B∩C) = P(A) * P(B/A) * P(C/A e B)

Exemplo: De 8 alunas de uma classe, 3 tem olhos negros. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de ambas terem olhos negros? A = {primeira aluna com olhos negros}; B = {segunda aluna com olhos negros}

P(A∩B) = P(A) * P(B/A) = 3/8 * 2/7 = 6/56 = 0,1071 = 10,71%

5.2 Eventos Independentes: São aqueles que podem ocorrer ao mesmo tempo, isto é: a probabilidade de um deles ocorrer não depende da ocorrência ou não do outro evento. Estes eventos são escolhidos com reposição do evento sorteado, deste modo suas probabilidades de ocorrências em qualquer prova do experimento não se alteram.

Dois eventos A e B, de S, são independentes se e somente se: P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)

Para dois eventos: P(A∩B) = P(A) * P(B);

Para três eventos: P(A∩B∩C) = P(A) * P(B) * P(C)

Exemplo: De 8 alunas de uma classe, 3 tem olhos negros. Se duas delas são escolhidas ao acaso com reposição da aluna sorteada, qual é a probabilidade de ambas terem olhos negros?

A = {primeira aluna com olhos negros}; B = {segunda aluna com olhos negros}

P(A∩B) = P(A)*P(B) => P(A∩B) = 3/8 * 3/8 = 9/64 = 0,1406 = 14,06%

5. Teorema de Bayes: A ocorrência de certo acontecimento “R” pode estar condicionada a um ou mais acontecimentos (A1, A2,...,An), que representam partições mutuamente exclusivas de determinado espaço amostral. Dessa forma, o acontecimento “R” será igual à soma desses acontecimentos, ou seja:

P(R) = P(A1∩R) + P(A2∩R) + ... + P(An∩R)

P(R) = P(A1)*P(R/A1) + P(A2)*P(R/A2) + ... + P(An)*P(R/An)

O teorema de Bayes, também chamado teorema das causas, relaciona-se a acontecimentos que estão associados. Imaginando a possibilidade de existir uma relação de causa e efeito entre os acontecimentos, esse teorema permitirá encontrar a probabilidade que certo evento Ai acarretou para a ocorrência de R, isto é: P(Ai/R) = P(R∩Ai)/P(R). Desenvolvendo e substituindo P(R) nessa equação temos:

P(Ai/R) = (P(Ai)*P(R/Ai))/Σ((P(Ai)*P(R/Ai))

Exemplo: Três máquinas C1, C2 e C3 são utilizadas para fabricar arruelas. Suponha-se que cada arruela seja classificada: perfeita ou defeituosa. As máquinas produzem respectivamente 40%, 40% e 20% da produção total daquela Indústria. A percentagem de itens defeituosos da produção de C1, C2 e C3 é 3%, 2% e 1%. Seleciona-se aleatoriamente um item, verificando-se ser defeituoso. Qual a probabilidade de pertencer à máquina C2?

P(A2/R) = (P(A2)*P(R/A2))/Σ((P(Ai)*P(R/Ai))

P(A2/R) = (0,4*0,02)/(0,4*0,03 + 0,4*0,02 + 0,2*0,01)

P(A2/R) = 0,008/0,0022 = 36,36%

Exercícios Propostos

1. Uma caixa com 20 latas de óleo de milho contém 4 com peso líquido abaixo do especificado e 16 de acordo com a especificação. Três latas são escolhidas ao acaso, sem reposição, e classificadas.a) Qual a probabilidade de que seja encontrada exatamente 1 lata com peso

líquido abaixo do especificado? b) Qual a probabilidade de se encontrarem pelo menos duas latas com peso

líquido abaixo do especificado?

2. De 8 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de: a) Ambas terem olhos azuis? b) Nenhuma ter olhos azuis? c) Pelo menos uma ter olhos azuis?

3. Uma gaveta contém 5 pares de meias verdes e 3 de meias azuis. Tiram-se 2 meias ao acaso. Qual a probabilidade de se formar: a) Um par verde? b) Um par de meias da mesma cor? c) Um par com meias de cores diferentes?

4. Em uma cidade onde se publicam três jornais A, B e C, constatou-se que entre 1000 famílias, assinam: A: 470, B: 420, C: 315, A e B: 110, A e C: 220, B e C: 140 e 75 assinam os três. Escolhendo-se ao acaso uma família, qual a probabilidade de que ela:a) não assine nenhum dos jornais? b) assine apenas um dos três jornais? c) assine pelo menos dois jornais?

5. Em uma universidade, 40% dos estudantes praticam futebol e 30% praticam natação. Dentre os que praticam futebol, 20% praticam também natação. Qual o percentual de estudantes que não pratica nenhum dos dois esportes?

6. Num grupo de 100 pessoas, 80 tem sangue RH positivo, 45 tem sangue tipo O e 35 tem sangue O com RH positivo. Escolhendo ao acaso, uma pessoa deste grupo, qual a probabilidade de seu sangue ser do tipo O ou ter RH positivo?

7. A probabilidade de que João resolva determinada questão é 1/5, e a de que José resolva é 1/4. Se ambos tentarem independentemente resolver a questão, qual a probabilidade de que a mesma seja resolvida?

8. Uma companhia de seguros vendeu apólices a 5 pessoas, todas da mesma idade e com boa saúde. De acordo com as tábuas atuariais, a probabilidade de que uma pessoa daquela idade esteja viva daqui a 30 anos é de 2/3. Calcular a probabilidade de que daqui a 30 anos: a) exatamente 2 pessoas estejam vivas; b) todas as pessoas estejam vivas; c) pelo menos 3 pessoas estejam vivas.

9. Nas galinhas andaluzas, a prole de duas aves azuis é preta, azul e branca na proporção de 1:2:1. Num lote de 20 frangos oriundos de duas aves azuis, qual a probabilidade de tirarmos dois frangos azuis?

10. As probabilidades de três médicos obterem sucesso em um exame são respectivamente 2/3, 4/5 e 7/10. Se cada um realiza o exame uma única vez, qual a probabilidade de apenas 1 obter sucesso na tarefa executada?

11. Uma sala possui 3 soquetes para lâmpadas. De uma caixa com 10 lâmpadas, das quais 6 estão boas, retiram-se 3 lâmpadas ao acaso e colocam-se as mesmas nos bocais. Qual a probabilidade de que: a) todas acendam? b) pelo menos uma lâmpada acenda?

12. Uma urna contém 4 bolas brancas, 4 bolas vermelhas e 2 pretas. Outra contém 5 bolas brancas, 3 vermelhas e 3 pretas. Extrai-se uma bola de cada urna. Qual a probabilidade de que sejam da mesma cor? 13. Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 azuis. Uma outra contém 4 bolas brancas e 5 azuis. Passa-se uma bola da primeira para Segunda urna, e em seguida, extrai-se uma bola da Segunda urna. Qual a probabilidade de ser branca?

14. Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 vermelhas e a outra urna contém 4 bolas brancas e 5 vermelhas. Uma urna é escolhida aleatoriamente e uma bola é retirada e colocada na outra urna; então, uma bola é retirada da Segunda urna. Encontre a probabilidade de: a) ambas serem da mesma cor b) ambas serem de cores diferentes.

15. Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada uma contém duas gavetas. A urna 1 contém uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta; enquanto a urna 2 contém uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna é escolhida ao acaso; a seguir uma de suas gavetas é aberta ao caso. Verifica-se que a moeda encontrada nesta gaveta é de ouro. Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna 2?

16. Um indivíduo pode chegar ao emprego utilizando-se apenas de um desses meios de locomoção: bicicleta, motocicleta ou carro. Sabe-se que por experiência a probabilidade de ele se utilizar do carro é de 0,6; de bicicleta 0,1 e de motocicleta 0,3. A probabilidade de chegar atrasado, no caso de se utilizar do carro, é 0,05; de motocicleta 0,08, e de bicicleta, 0,02. Certo dia ele chegou atrasado. Qual o meio de locomoção mais provável de ter sido escolhido?

17. Uma pesquisa realizada junto aos vestibulandos com opções para o curso de economia revelou que 30% dos candidatos fizeram o curso de contabilidade, 23% fizeram o curso científico e, outros cursos, 47%. A pesquisa revelou 65% de vagas para os candidatos que cursaram o científico, 18% dos que fizeram outros cursos também esperam aprovação e 35% dos candidatos que cursaram contabilidade foram aprovados. Após as aprovações escolheu-se, ao acaso, uma prova de candidatos aprovados. Qual a probabilidade desta prova pertencer a cada um dos grupos citados?

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Uma variável aleatória é dita discreta quando ela assume um número finito de valores num intervalo finito, isto é: é uma função que associa a cada elemento do seu espaço amostral, um número real. A soma das probabilidades de todos os valores assumidos por esta variável corresponde ao espaço amostral da variável, sendo, portanto igual a 1.

Distribuição de Probabilidade de uma Variável Aleatória Discreta

Seja Xi uma Variável Aleatória Discreta definida num espaço amostral (S), tal que X possa assumir valores: xi = x1, x2,...,xn, com respectivas probabilidades pi = p1, p2,...,pn. A associação entre os valores assumidos por esta variável X e respectivas probabilidades de ocorrência, determina a Distribuição (Função) de Probabilidade dessa variável.

A distribuição dada por P(X = xi) satisfaz as seguintes condições:

P(xi) ≥ 0 e ΣP(xi) = 1

Exemplo: Seja X uma variável aleatória que representa o número de meninas de uma família com 4 crianças. Determine a distribuição de probabilidade de X.

S = {MMMM; MMMF; MMFM; MFMM; FMMM; MMFF; MFMF; MFFM; FFMM; FMFM; FMMF; FFFM; FFMF; FMFF; MFFF; FFFF}.

Seja: A = {Nascimento de meninas}

Distribuição de Probabilidade de A

X = xi 0 1 2 3 4

pi = P(X=xi) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

Função de Distribuição Acumulada de X

Seja X uma variável aleatória. Define-se a função acumulada de X como:

F(X) = P(X ≤ xi), X ε R

Distribuição acumulada relativa ao nascimento de meninas do exemplo anterior:

X = xi 0 1 2 3 4

pi = Fxi 1/16 5/16 11/16 15/16 1

Parâmetros de uma Variável Aleatória Discreta.

1 - Valor Esperado ou Esperança Matemática: Se xi = x1, x2,...,xn são os possíveis valores de variável aleatória discreta e pi = p1, p2,...,pn as respectivas probabilidades da variável assumir esses valores então o valor esperado ou esperança matemática (media), de X, representado por E(X) ou μ, é definido por:

E(X) = Σxi * pi

Considerando o nascimento de meninas do exemplo anterior o valor esperado dessa ocorrência é:

E(X) = µ = 0*1/16 + 1*4/16 + 2*6/16 + 3*4/16 + 4*1/16 = 32/16 = 2

2 – Variância: Seja X uma variável aleatória discreta, definimos a variância de X, denotada por V(X) ou σ², da seguinte maneira:

V(X) = σ² = Σ(xi - µ)²*pi. ou V(X) = E(X²) – [E(X)]² sendo: E(X²) = Σxi²*pi

Considerando o nascimento de meninas do exemplo anterior a variância dessa ocorrência é:

V(X) = σ² = (0 – 2)²*1/16 + (1 – 2)²*4/16 + (2 – 2)²*6/16 + (3 – 2)²*4/16 +

+ (4 – 2)²*1/16 => V(X) = σ² = 16/16 = 1

Propriedades da Média:

1: E(K) = K (K é constante). 2: E(KX) = K * E(X)

3: E(X Y) = E(X) E( Y) 4: E(X K) = E(X) K

5: E(XY) = E(X) * E(Y) se X e Y são independentes

Propriedades da Variância:

1: V(K) = 0 2: V(KX) = K² * V(X)

3: V(X K) = V(X) 4: V(X + Y) = V(X) + V(Y) se X e Y são independentes

PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

Distribuição Binomial

É uma distribuição de probabilidade indicada para variáveis cujos resultados estão associados a ocorrência ou não do experimento investigado. Além disso, essa distribuição é apropriada para pequenas amostras (n<30), desde que o experimento investigado atenda as seguintes características:

1. O número de provas do experimento deve ser conhecido.

2. Todas as provas do experimento devem ser independentes.

3. Cada tentativa do experimento admite apenas dois resultados: sucesso ou fracasso.

Sucesso (p): representa a probabilidade de ocorrência da característica observada.

Fracasso (q): representa a probabilidade de que a característica observada não ocorra.

Observação: Sucesso e fracasso são eventos complementares, portanto: p+q = 1.

Fórmula da Binomial: P(X = k) = ; Notação: X~B(n;p).

A variável X tem distribuição Binomial, com parâmetros n e p.

Ex. Em determinado Hospital 6 pacientes devem submeter-se a um tipo de operação na qual a probabilidade de êxito é de 70%. Qual a probabilidade de que 2 pacientes consigam sobreviver.

Solução: p = 0,7 e q = 0,3; X ≈ B(6; 0,7) e k = {0, 1, 2, 3, 4, 5 6}

P(X=2) = (6!/4!*2!)*0,7*0,7*0,3*0,3*0,3*0,3 = 15*0,49*0,0081 = 0,05953 = 5,9%

Parâmetros da Binomial: Esperança Matemática (Média) e Variância

Esperança (Média) = E(X) = n * p e Var(X) = n * p * q

Distribuição de Poisson

Trata-se do caso limite da Distribuição Binomial quando o número de provas tende para infinito, enquanto a probabilidade do evento investigado tende para zero. É uma distribuição indicada para eventos independentes e raros. Essa distribuição refere-se à contagem do número de vezes que ocorre determinado sucesso por unidade de tempo (mês, dia, hora, minuto, etc.), por unidade de medida (comprimento, área, peso, etc.) ou por contagem (erros de impressão, acidentes de trânsito, reações alérgicas a medicamentos, partos prematuros, etc.). Em muitos casos, conhece-se o número de sucessos, porém torna-se difícil e, às vezes, sem sentido determinar o número de fracassos ou o total de resultados, como por exemplo: automóveis que passam numa esquina. Poderemos num determinado intervalo de tempo anotar o nº. de carros que passaram, porém, o nº. dos que deixou de passar não poderá ser determinado.

Seja X o nº. de sucessos no intervalo então:

Esperança Matemática (média) e Variância: E( X ) = e Var( X ) =

Ex: Uma pesquisa cientifica revelou que para cada 1000 pessoas entrevistadas, uma está sujeita à choque traumático quando da aplicação de penicilina. Determine a probabilidade de que, entre 700 pessoas entrevistadas ao acaso, no máximo duas sofra aquele choque nas mesmas condições.

Seja: x = {Choque traumático recebidos pelas pessoas}

n = 1000; p = 0,001; => μ = 1000*0,001 = 1; Para 700 pessoas: μ = 0,70

P(x ≤ 2) = P(x = 0) + p(x = 1) + P(x = 2) = μ^0,7*(0,7º/0!) + μ^0,7*(0,7/1!) +

+ μ^0,7*(0,7²/2!) = μ^0,7*(3,89/2) = 0,9659

Exercícios Propostos

1. Qual a esperança matemática e o desvio padrão de um jogo no qual se pode ganhar R$ 25,00 com a probabilidade 0,2; R$ 10,00 com a probabilidade 0,3 e R$ 4,00 com 0,5?

2. Joga-se uma moeda três vezes. Seja X o número de caras. a) Construir a distribuição de probabilidade e a função de distribuição acumulada de X. b) Determinar: E(X) e V(X).

3. Seja X uma variável aleatória que representa o número de meninas em famílias com 5 crianças. Determine a distribuição de probabilidade de X e a função de distribuição acumulada. Calcule também E(X) e V(X).

4. Um aluno conhece bem 60% da matéria dada. Num exame, com 5 perguntas sorteadas ao acaso sobre toda a matéria, que probabilidade tem de responder mais da metade das perguntas?

5. Uma companhia de seguros vendeu apólices a 5 pessoas, todas da mesma idade e com boa saúde. De acordo com as tábuas atuariais, a probabilidade de que uma pessoa daquela idade esteja viva daqui a 30 anos é de 2/3. Calcular a probabilidade de que daqui a 30 anos: a) Exatamente 2 pessoas estejam vivas; b) Todas as pessoas estejam vivas; c) Pelo menos 3 pessoas estejam vivas.

6. A probabilidade de um indivíduo apresentar cárie dentária em determinada população é de 30%. Entre seis pessoas escolhidas ao acaso, qual a probabilidade de que duas não apresentarem cárie dentária?

7. A probabilidade de que um atleta ultrapasse 17,30m num único salto triplo é de 70%. O atleta dá 4 saltos. Qual a probabilidade de que pelo menos um dos saltos ultrapasse 17,30m?

8. Certo curso de treinamento aumenta a produtividade de uma população de funcionários em 80% dos casos. Se 10 funcionários quaisquer participam deste curso, encontre a probabilidade de: a) Exatamente 7 funcionários aumentarem a produtividade. b) Não mais do que 8 funcionários aumentarem a produtividade.

9.A probabilidade de um menino ser daltônico e 6%. Qual é a probabilidade de serem daltônicos todos os 4 meninos que se apresentaram, em determinado dia, para um exame oftalmológico?

10. Estima-se em 1% a probabilidade de vender apólices de seguro a pessoas que respondem a um anúncio especial. Nessa base se 800 pessoas respondem a um anúncio, qual a probabilidade de que pelo menos duas compre a referida apólice?

11. A proporção de partos prematuros numa população é de 10 por 1000. Qual a probabilidade de haver no máximo 1 parto prematuro em 500 partos realizados.

12. Sendo 1% a proporção de canhotos numa população, qual a probabilidade de termos pelo menos um canhoto numa classe de 50 alunos?

13. Em uma cidade com 250.000 habitantes o número de acidentes de trânsito é de 3 por dia, em cada 100.000 habitantes. Qual a probabilidade de que ocorram, nessa cidade, em um dia mais de 2 acidentes?

VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de X for infinito não numerável, denomina-se X de Variável Aleatória Contínua. Como se sabe, as variáveis contínuas resultam, em geral, de mensurações (medidas) e podem assumir qualquer valor em um intervalo real. Assim: comprimento, área, altura, volume, peso, pressão, renda familiar, etc, são alguns exemplos de variáveis contínuas.

Função Densidade de Probabilidade.

Seja X uma variável aleatória contínua. A função f, denominada função densidade de probabilidade (fdp) de X satisfaz as seguintes condições:

a) f(X) ≥ 0, para todo X R e b) f(X)*dX = 1

Além disso, para qualquer a < b em R, P(a < X < b) = f(X)*dX

Observações:

1) P(X = x0) = 0, visto que: P(X = x0) = f(X)*dX

2) P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b), caso X seja uma variável aleatória continua.

3) Ao calcular a integral de f(X) entre dois limites temos a probabilidade da variável, que representa a área sob a curva da variável investigada.

Parâmetros de uma Variável Aleatória Contínua.

Esperança Matemática (Média): E(X) = X*f(X)*dX

Variância: V(X) = σ² = E(X²) – [E(X)]²

Exemplo: Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de probabilidade:

f(X) = 1/2x se 0 ≤ X ≤ 2

f(X) = 0 caso contrário

E(X) = X*f(X)*dX = 1/2*X²*dX = 1/2 X²dX = 1/2 * [2³/3 - 0³/3] =

4/3

E(X²) = X²*1/2*X*dX = 1/2*X³*dX = 1/2 * [2³/4 - 0³/4] = 2

V(X) = E(X²) – [E(X)]² = 2 - (4/3)² = 2/9 e DP = √2/9 = 0,47

P(1 ≤ X ≤ 1,5) = 1/2*X*dX = 1/2 X*dX = 1/2*[1,5²/2 - 1²/2] = 5/16

Distribuição Normal ou Distribuição de Gauss.

Trata-se de uma das mais importantes distribuições de probabilidades, uma vez que para amostras grandes vários fenômenos estudados convergem para uma curva normal. Para estas amostras à medida que n tende para infinito a probabilidade de ocorrência da característica investigada (p) tende a ser equivalente a probabilidade de que esta característica não ocorra (q).A apresentação gráfica dessas variáveis pode ser feita através de um histograma ou polígono de freqüências. Estes diagramas para uma variável normal refletem o movimento da mesma, em torno de sua maior ordenada. Este

movimento vai tomando a forma de sino à medida que o intervalo de classe tenda para zero, conforme podemos investigar no histograma abaixo:

A caracterização de distribuições contínuas se dá através de uma função densidade de probabilidade e com seu uso podemos calcular a probabilidade de uma variável aleatória pertencer a um determinado intervalo.

Os parâmetros e 2 referem-se respectivamente a média e a variância da variável aleatória X. Sendo: -∞ <μ < ∞ e 0 < σ < ∞.

Dizemos que a Variável Aleatória X tem distribuição normal, com parâmetros e σ2, e sua função densidade de probabilidade é dada por:

, para todo x R, Notação: X~N( , 2)

A figura abaixo ilustra uma particular curva normal, determinada por valores particulares de e 2.

Principais Características da Distribuição Normal:

a: E(X) = b: Var(X) = ² c: - e + são pontos de inflexão de f(X);

d: X = - é ponto de máximo de f(X), e o valor máximo é 21

;

e: f(X) é simétrica em torno de: X = , isto é: f( + σ) = f( - σ);

f: O gráfico é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média . Portanto os valores eqüidistantes da média ocorrem com igual probabilidade.

g: A área total sob a curva vale 1. Essa área corresponde à probabilidade da variável aleatória assumir qualquer valor real.

Dificuldades de uso de uma Distribuição Normal:

a: Integração de f(X), necessitando o desenvolvimento em séries;

b: f(X) depende de dois parâmetros, μ e σ, e para trabalhar esta função é necessária à elaboração de tabelas de probabilidades para as diversas combinações de μ e σ.

Em função das dificuldades apresentadas o mais indicado é transformar a variável (X) em uma outra variável (z), gerando uma Distribuição Normal Padronizada com parâmetros conhecidos, isto é: media = 0 e variância = 1.A variável aleatória z tem distribuição N(0,1), sendo definida por:

z = (Xi - µ)/σ

E[z] = E[Xi - µ]/σ = 1/σ{E[Xi - µ]} = 1/σ{E[Xi] – E[µ]} = 1/σ{µ - µ} = 0

Var[z] = Var[Xi - µ]/σ = 1/σ²{Var[Xi - µ]} = 1/σ²{Var[Xi]} = σ²/σ² = 1

Ex: Sendo X~N(, 2) determinar: P(X1 X X2).

P(X1 X X2) = P{(Xi - µ)/σ z (Xi - µ)/σ}

Usando a Tabela de Probabilidades da Distribuição Normal Padronizada,

encontramos valores de probabilidades para z equivalentes aos que poderiam

ser encontrados para a variável X a partir do uso de f(X), visto que as áreas

ocupadas sob a curva pelas variáveis X e z são sempre equivalentes.

Exemplo: Uma mostra de 600 carneiros da raça Corriedale apresenta média de produção de lã de 60 kg com desvio padrão de 8 kg. Quantos animais produzem lã: a) Entre 60 e 70 kg. b) Acima de 72 kg.

a) P(X1 X X2) = P{(Xi - µ)/σ z (Xi - µ)/σ}

P(60 X 70) = P{(60 – 60)/8 z (70 - 60)/8} = P{0 z 1,25} = 0,3944

Número de animais = 0,3944*600 = 236,64 ≈ 237

b) P(X ≥ Xi) = P{ z ≥ (Xi - µ)/σ} = P{z ≥ (72 - 60)/8} = P{z ≥ 1,5}

P(X ≥ 72) = 0,5 – 0,4332 = 0,0668 = 40 animais

Aproximação da Binomial pela Normal.

Uma outra razão da importância da Normal se refere à possibilidade de aproximação com outras distribuições, com no caso da Distribuição Binomial. Esta aproximação pode ser utilizada quando o número de observações é relativamente grande (n ≥ 30), desde que: n*p e n*q sejam: ≥ 5.Quando se usa a Normal para aproximar probabilidades binomiais a média aritmética e o desvio padrão são calculados com base nos parâmetros relativos ao valor esperado e a variância do número de sucessos para a distribuição binomial, isto é:

E(X) = μ = n*p e Var(X) = σ² = n*p*q

Para n suficientemente grande, a variável z é:

z = (Xi – n*p)/√n*p*q ≈ N(0;1)

Para melhorar ainda mais esta aproximação, devemos utilizar a correção de continuidade, conforme fórmula a seguir:

P(X ≥ k) P(X ≥ k – 0,5); P(X = K) = P(A ≤ X ≤ B) P(A – 0,5 ≤ X ≤ B + 0,5)

A correção de continuidade é necessária, visto que neste processo de aproximação, o evento discreto que está sendo investigado é considerado como existindo em um intervalo contínuo de valores, cujos limites estão em torno do valor de referência ou desse intervalo com afastamento de ± 0,5 unidades.

Ex I: Uma variável aleatória tem distribuição binomial com parâmetros n = 10 e p = 1/2. Calcular: P(Y 7).

= n*p = 10*1/2 = 5; 2 = n*p*q = 10*1/2*1/2 = 2,5; σ = 1,58

P(X ≥ 7) P(X ≥ 6,5) P{X ≥ (6,5 – 5)/1,58}) P{X ≥ 0,95) = 0,1711

Para um z N(0,1). Utilizando a tabela da Binomial, vemos que a probabilidade verdadeira é 0,172. Mostrando uma diferença insignificante.

Ex II: 60% dos alunos de uma Faculdade são do sexo feminino, qual a probabilidade e de que numa classe de 30 alunos 20 sejam mulheres.

Como o valor procurado (20 alunas) corresponde a uma a variável é discreta ele deve corresponder ao intervalo contínuo de 19,5 e 20,5.

= n*p = 30*0,60 = 18; 2 = n*p*q = 30*0,60*0,40 = 7,2; σ = 2,68

P(X = 20) = P(A ≤ X ≤ B) P(A – 0,5 ≤ X ≤ B + 0,5)

P(X = 20) P(20 – 0,5 ≤ X ≤ 20 + 0,5) = P(19,5 ≤ X ≤ 20,5)

P(X = 20) = (19,5 – 18)/2,68 ≤ z ≤ (20,5 – 18)/2,68

P(X = 20) = 0,56 ≤ z ≤ 0,93) = 0,3238 – 0,2123 = 0,1115 = 11,15%

Ex III: Através de uma pesquisa de mercado uma fábrica de camisas concluiu que os consumidores, para um novo produto a ser lançado, têm média 3,3 com desvio padrão 0,8. Diante desta perspectiva qual a probabilidade de camisas de número 2 e 3 que devem ser fabricadas?

Observação: Tamanho dos consumidores é uma variável contínua, mas o número da camisa a ser confeccionado é discreto, devemos então usar a aproximação da normal pela binomial.

P(X = 2) = P(A ≤ X ≤ B) P(A – 0,5 ≤ X ≤ B + 0,5)

P(X = 2) P(2 – 0,5 ≤ X ≤ 2 + 0,5) = P(1,5 ≤ X ≤ 2,5)

P(X = 2) = (1,5 – 3,3)/0,8 ≤ z ≤ (2,5 – 3,3)/0,8

P(X = 2) = P(-2,25 ≤ z ≤ -1,00) = 0,4878 – 0,3413 = 0,1465 = 14,65%

P(X = 3) = P(A ≤ X ≤ B) P(A – 0,5 ≤ X ≤ B + 0,5)

P(X = 3) P(3 – 0,5 ≤ X ≤ 3 + 0,5) = P(2,5 ≤ X ≤ 3,5)

P(X = 2) = (2,5 – 3,3)/0,8 ≤ z ≤ (3,5 – 3,3)/0,8

P(X = 2) = P(-1,00 ≤ z ≤ 0,25) = 0,3413 + 0,0987 = 0,4400 = 44,00%

Exercícios Propostos

1 - Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de probabilidade: f(X) = 5X³ se 0 ≤ X ≤ 1; f(X) = 0 caso contrário. Calcular: Esperança Matemática, Desvio Padrão e P(X ≤ 0,5).

2 – Sabendo que uma variável aleatória continua apresenta a densidade de probabilidade: f(X) = 0,5 X no intervalo de {0 ; 2}.Determinar: Esperança Matemática, Desvio Padrão e P(X > 0,5).

3 – A pintura de um cartaz de propaganda consome certo tempo de execução, que corresponde a uma variável aleatória contínua cuja função densidade é indicada por: F(X) = 9X² - 8X³ no intervalo de {0 ; 1}, determinar:a) A probabilidade que se gaste menos de meia hora (1/2) para a pintura.b) A probabilidade para que o tempo gasto se situe entre 1/2 e 3/4 de hora.c) A Esperança Matemática e o Coeficiente de Variação.

4. Certa peça de reposição para veículos automotores tem duração média de 15.000 km com desvio padrão de 1.000 km, dependendo das condições de uso, e distribuem-se normalmente. Se for oferecida para esta peça uma garantia de 13.000 km, quantas peças deveriam ser substituídas antes de completar-se a garantia? Sabe-se que a venda anual dessas peças é de 23.000 unidades.

5. Uma mostra de 600 carneiros da raça Corriedale apresenta média de produção de lã igual a 60 kg e desvio padrão igual a 8 kg. Quantos animais produzem lã acima de 70 kg?

6. Suponhamos que o peso de uma população de suínos está normalmente distribuído com media = 230 kg e = 20. Qual a probabilidade de ocorrência de suínos com pesos entre 220 e 280 kg?

7. Dois estudantes foram informados de que alcançaram as variáveis reduzidas (z) de 0,8 e – 0,4, respectivamente, em um exame de múltipla escolha de matemática. Se seus graus foram 88 e 64, respectivamente, determinar: média e desvio padrão dos graus do exame.

8. Certa empresa necessita, para sua linha de montagem, de determinado tipo de arruelas. Estas arruelas devem estar normalmente distribuídas com média de 0,502 mm e desvio padrão de 0,005 mm de diâmetro. A finalidade, para a qual estas arruelas são necessárias, permite uma tolerância máxima da medida média mais ou menos um desvio padrão. Caso isso não ocorra, a linha de montagem rejeita as peças. Qual a quantidade de peças que podem ser rejeitadas em um lote de 10.000 arruelas?