04 - probabilidade

129
1 Curso: Engenharias Disciplina: Probabilidade e Estatística Aula 04: Probabilidade Prof. Dr. Antônio C. Marangoni [email protected]

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Page 1: 04 - Probabilidade

1

Curso: Engenharias

Disciplina: Probabilidade e Estatística

Aula 04: Probabilidade

Prof. Dr. Antônio C. Marangoni

[email protected]

Page 2: 04 - Probabilidade

Probabilidade

1

Fenômeno

aleatório População

Modelo

probabilístico

Amostra

Page 3: 04 - Probabilidade

2

- Qual é a probabilidade de um novo método de

montagem aumentar a produtividade?

- Qual é a probabilidade de um projeto terminar no prazo?

- Quais são as chances de um novo investimento ser

lucrativo?

Definição do experimento

Definição dos resultados possíveis do

experimento

- Determinístico - Aleatório

Experimento

Page 4: 04 - Probabilidade

3

Experimento Resultado experimental

Page 5: 04 - Probabilidade

3

Experimento Resultado experimental

Jogar uma moeda Cara, coroa

Page 6: 04 - Probabilidade

3

Experimento Resultado experimental

Jogar uma moeda Cara, coroa

Selecionar uma peça para inspeção Defeituosa, não defeituosa

Page 7: 04 - Probabilidade

3

Experimento Resultado experimental

Jogar uma moeda Cara, coroa

Selecionar uma peça para inspeção Defeituosa, não defeituosa

Medir a resistência à compressão x R+

Page 8: 04 - Probabilidade

Espaço amostral

3

Experimento Resultado experimental

Jogar uma moeda Cara, coroa

Selecionar uma peça para inspeção Defeituosa, não defeituosa

Medir a resistência à compressão x IR+

Jogar um dado 1, 2, 3, 4, 5, 6

Ponto amostral

Espaço amostral : - Discreto: no de microporos nos fios: = {0, 1, 2, 3, ...} - Contínuo: resistência à tração dos fios: = {x IR+}

Page 9: 04 - Probabilidade

Evento

4

- Qualidade de tratamento:

- fios com até um microporo

E1 = {0, 1}

- fios com mais de 3 microporos

E2 = {4, 5, 6, ...} ou E2 = {n IN : n > 3}

- Resistência:

- fios com resistência à tração de até 12,00

E3 = {R IR : R 12,00}

- fios com resistência à tração superior a 20,00

E4 = {R IR : R > 20,00}

E1, E2, E3, E4: eventos subconjuntos do espaço amostral

Page 10: 04 - Probabilidade

Representação gráfica

5

A

B

: espaço amostral

A, B: eventos

Evento certo: E = .

Ex.: evento “ocorrer um número” no lançamento de

um dado

Evento impossível: E = .

Ex.: “ocorrer o número 7” no lançamento de um dado

Page 11: 04 - Probabilidade

Probabilidade de um evento

Probabilidade P(E): medida numérica com

a qual se avalia a plausibilidade, ou seja, “o

quão provável” é a ocorrência de um certo

evento, quando o experimento é executado.

6

Page 12: 04 - Probabilidade

Aposta de 6 dezenas:

Eventos igualmente prováveis

Megasena: acertar as 6 dezenas sorteadas

(evento) em um conjunto de 60 números

(espaço amostral).

7

Número total de combinações:

!660!6

!60

6

6060

6C 50.063.860 combinações!

860.063.50

1Probabilidade P(E) de ganhar:

Page 13: 04 - Probabilidade

Eventos igualmente prováveis

Formalizando:

8

emelementosdeNúmero

EemelementosdeNúmero

k

mEP )(

Não é necessário explicitar completamente e E.

Basta calcular m e k.

Análise combinatória:

- Combinação

- Permutação

- Arranjo

Método

clássico

Page 14: 04 - Probabilidade

9

Foi realizado um estudo do tempo de espera no

departamento de assistência técnica de uma loja de

eletroeletrônicos. O número de clientes à espera do serviço

às 9 horas da manhã foi registrado em 40 dias sucessivos.

Clientes à

espera

Número de dias

em que o

resultado ocorreu

0 4

1 10

2 12

3 8

4 6

Total 40

Page 15: 04 - Probabilidade

9

Foi realizado um estudo do tempo de espera no

departamento de assistência técnica de uma loja de

eletroeletrônicos. O número de clientes à espera do serviço

às 9 horas da manhã foi registrado em 40 dias sucessivos.

Clientes à

espera

Número de dias

em que o

resultado ocorreu

Frequência

relativa fi

0 4

1 10

2 12

3 8

4 6

Total 40

Page 16: 04 - Probabilidade

9

Foi realizado um estudo do tempo de espera no

departamento de assistência técnica de uma loja de

eletroeletrônicos. O número de clientes à espera do serviço

às 9 horas da manhã foi registrado em 40 dias sucessivos.

Clientes à

espera

Número de dias

em que o

resultado ocorreu

Frequência

relativa fi

0 4 4 / 40 = 0,10

1 10 10 / 40 = 0,25

2 12 12 / 40 = 0,30

3 8 8 / 40 = 0,20

4 6 6 / 40 = 0,15

Total 40 1,00

Page 17: 04 - Probabilidade

9

Foi realizado um estudo do tempo de espera no

departamento de assistência técnica de uma loja de

eletroeletrônicos. O número de clientes à espera do serviço

às 9 horas da manhã foi registrado em 40 dias sucessivos.

Clientes à

espera

Número de dias

em que o

resultado ocorreu

Frequência

relativa fi

Probabilidade P(Ei)

0 4 4 / 40 = 0,10

1 10 10 / 40 = 0,25

2 12 12 / 40 = 0,30

3 8 8 / 40 = 0,20

4 6 6 / 40 = 0,15

Total 40 1,00

Page 18: 04 - Probabilidade

Probabilidade e frequência relativa

9

Foi realizado um estudo do tempo de espera no

departamento de assistência técnica de uma loja de

eletroeletrônicos. O número de clientes à espera do serviço

às 9 horas da manhã foi registrado em 40 dias sucessivos.

Clientes à

espera

Número de dias

em que o

resultado ocorreu

Frequência

relativa fi

Probabilidade P(Ei)

0 4 4 / 40 = 0,10 0,10

1 10 10 / 40 = 0,25 0,25

2 12 12 / 40 = 0,30 0,30

3 8 8 / 40 = 0,20 0,20

4 6 6 / 40 = 0,15 0,15

Total 40 1,00 1,00

Método empírico

Page 19: 04 - Probabilidade

Probabilidade e frequência relativa

10

n 1 2 0 0 1 0 0 0 8 0 0 6 0 0 4 0 0 2 0 0 0

1 , 0

0 , 9

0 , 8

0 , 7

0 , 6

0 , 5

0 , 4

0 , 3

0 , 2

0 , 1

fn(E)

probabilidade do evento E

n

repetiçõesnemocorreEquevezesdeNúmeroEfn )(

Page 20: 04 - Probabilidade

Propriedades da probabilidade

11

0 P(E) 1

Se E é um evento certo (E = ): P(E) = 1

Se E é um evento impossível (E = ): P(E) = 0

Page 21: 04 - Probabilidade

Relações básicas de probabilidade

12

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

240

132AP

240

138HP

Page 22: 04 - Probabilidade

Intersecção de eventos

13

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

A H: intersecção de A e H 240

84HAP

Page 23: 04 - Probabilidade

14

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

A H: reunião de A e H

240

186

240

84

240

138

240

132HAPHPAPHAP

Page 24: 04 - Probabilidade

14

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

A H: reunião de A e H

240

186

240

84

240

138

240

132HAPHPAPHAP

Page 25: 04 - Probabilidade

14

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

A H: reunião de A e H

240

186

240

84

240

138

240

132HAPHPAPHAP

Page 26: 04 - Probabilidade

14

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

A H: reunião de A e H

240

186

240

84

240

138

240

132HAPHPAPHAP

Page 27: 04 - Probabilidade

14

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

A H: reunião de A e H

240

186

240

84

240

138

240

132HAPHPAPHAP

Page 28: 04 - Probabilidade

14

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

A H: reunião de A e H

240

186

240

84

240

138

240

132HAPHPAPHAP

Page 29: 04 - Probabilidade

Reunião de eventos

14

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

A H: reunião de A e H

240

186

240

84

240

138

240

132HAPHPAPHAP

Page 30: 04 - Probabilidade

Reunião de eventos

14

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

A H: reunião de A e H

240

186

240

84

240

138

240

132HAPHPAPHAP

Page 31: 04 - Probabilidade

15

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

240

1680

240

36

240

132 CAPCPAPCAP

Page 32: 04 - Probabilidade

15

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

240

1680

240

36

240

132 CAPCPAPCAP

Page 33: 04 - Probabilidade

15

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

240

1680

240

36

240

132 CAPCPAPCAP

Page 34: 04 - Probabilidade

15

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

240

1680

240

36

240

132 CAPCPAPCAP

Page 35: 04 - Probabilidade

Eventos mutuamente exclusivos

15

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

A C = e P(A C) = 0

A e C são mutuamente exclusivos ou disjuntos

240

1680

240

36

240

132 CAPCPAPCAP

Page 36: 04 - Probabilidade

Regra da adição de probabilidade

16

Formalizando:

Se A e B são dois eventos quaisquer:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Se A e B são disjuntos: P(A B) = P(A) + P(B)

Para três eventos, A1, A2 e A3:

P(A1 A2 A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3)

– P(A1 A2) – P(A1 A3) – P(A2 A3)

+ P(A1 A2 A3)

Page 37: 04 - Probabilidade

17

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

D = B C 240

108

240

36

240

72 CBPCPBPCBPDP

Page 38: 04 - Probabilidade

17

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

D = B C 240

108

240

36

240

72 CBPCPBPCBPDP

Page 39: 04 - Probabilidade

17

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

D = B C 240

108

240

36

240

72 CBPCPBPCBPDP

Page 40: 04 - Probabilidade

17

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

D = B C 240

108

240

36

240

72 CBPCPBPCBPDP

Page 41: 04 - Probabilidade

17

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

D = B C 240

108

240

36

240

72 CBPCPBPCBPDP

Page 42: 04 - Probabilidade

17

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

D = B C 240

108

240

36

240

72 CBPCPBPCBPDP

1240

2400

240

108

240

132 DAPDPAPDAP

Page 43: 04 - Probabilidade

17

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

D = B C 240

108

240

36

240

72 CBPCPBPCBPDP

1240

2400

240

108

240

132 DAPDPAPDAP

Page 44: 04 - Probabilidade

17

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

D = B C 240

108

240

36

240

72 CBPCPBPCBPDP

1240

2400

240

108

240

132 DAPDPAPDAP

Page 45: 04 - Probabilidade

17

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

D = B C 240

108

240

36

240

72 CBPCPBPCBPDP

1240

2400

240

108

240

132 DAPDPAPDAP

Page 46: 04 - Probabilidade

17

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

D = B C 240

108

240

36

240

72 CBPCPBPCBPDP

1240

2400

240

108

240

132 DAPDPAPDAP

Page 47: 04 - Probabilidade

Eventos complementares

17

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

A D = e A D = A e D são eventos complementares

D = B C 240

108

240

36

240

72 CBPCPBPCBPDP

1240

2400

240

108

240

132 DAPDPAPDAP

Page 48: 04 - Probabilidade

Eventos complementares

18

Formalizando:

O evento que consiste dos pontos amostrais em

que não pertencem a um evento E é chamado de

complemento de E, e é indicado por EC.

P(E) + P(EC) = 1

E

EC

Page 49: 04 - Probabilidade

Probabilidade condicional

19

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

Informação:

O diâmetro selecionado está na faixa de 25 a 40 mm (B).

72

42B|MPmm40a25|MoacirP

Qual a probabilidade de ter sido fabricado por Moacir (M)?

Page 50: 04 - Probabilidade

Probabilidade condicional

20

Para dois eventos quaisquer, A e B, a probabilidade

condicional de A dado B, P(A | B), é:

Formalizando:

BP

BAPBAP

|

Regra do produto de probabilidades:

ABPAPBAPBPBAP ||

Page 51: 04 - Probabilidade

Probabilidade condicional

20

Para dois eventos quaisquer, A e B, a probabilidade

condicional de A dado B, P(A | B), é:

Formalizando:

BP

BAPBAP

|

Regra do produto de probabilidades:

ABPAPBAPBPBAP ||

Page 52: 04 - Probabilidade

Probabilidade condicional - exemplo

21

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

240

72BP

240

42 BMP

72

42

240

72240

42

|

BP

BMPBMP

Page 53: 04 - Probabilidade

Probabilidade condicional - exemplo

21

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

240

72BP

240

42 BMP

72

42

240

72240

42

|

BP

BMPBMP

Page 54: 04 - Probabilidade

Probabilidade condicional - exemplo

21

Diâmetro nominal

(mm)

Operador Total

Hamilton (H) Moacir (M)

< 25 (A) 84 48 132

25 |– 40 (B) 30 42 72

40 (C) 24 12 36

Total 138 102 240

240

72BP

240

42 BMP

72

42

240

72240

42

|

BP

BMPBMP

Page 55: 04 - Probabilidade

22

Page 56: 04 - Probabilidade

22

A

Page 57: 04 - Probabilidade

22

A

B

Page 58: 04 - Probabilidade

22

A

B

C

Page 59: 04 - Probabilidade

22

A

B

C

P(A) =

132 / 240

Page 60: 04 - Probabilidade

22

A

B

C

P(A) =

132 / 240

P(B) =

72 / 240

Page 61: 04 - Probabilidade

22

A

B

C

P(A) =

132 / 240

P(B) =

72 / 240

P(C) =

36 / 240

Page 62: 04 - Probabilidade

22

A

B

C

H

P(A) =

132 / 240

P(B) =

72 / 240

P(C) =

36 / 240

P(H | A) = 84 / 132

Page 63: 04 - Probabilidade

22

A

B

C

H

M

P(A) =

132 / 240

P(B) =

72 / 240

P(C) =

36 / 240

P(H | A) = 84 / 132

P(M | A) =

48 / 132

Page 64: 04 - Probabilidade

22

A

B

C

H

M

H

M

P(A) =

132 / 240

P(B) =

72 / 240

P(C) =

36 / 240

P(H | A) = 84 / 132

P(M | A) =

48 / 132

P(H | B) =

30 / 72

P(M | B) =

42 / 72

Page 65: 04 - Probabilidade

22

A

B

C

H

M

H

M

H

M

P(A) =

132 / 240

P(B) =

72 / 240

P(C) =

36 / 240

P(H | A) = 84 / 132

P(M | A) =

48 / 132

P(H | B) =

30 / 72

P(M | B) =

42 / 72

P(H | C) =

24 / 36

P(M | C) = 12 / 36

Page 66: 04 - Probabilidade

22

A

B

C

H

M

H

M

H

M

P(A) =

132 / 240

P(B) =

72 / 240

P(C) =

36 / 240

P(H | A) = 84 / 132

P(M | A) =

48 / 132

P(H | B) =

30 / 72

P(M | B) =

42 / 72

P(H | C) =

24 / 36

P(M | C) = 12 / 36

P(A H) = P(A) . P(H | A) = 84 / 240

Page 67: 04 - Probabilidade

22

A

B

C

H

M

H

M

H

M

P(A) =

132 / 240

P(B) =

72 / 240

P(C) =

36 / 240

P(H | A) = 84 / 132

P(M | A) =

48 / 132

P(H | B) =

30 / 72

P(M | B) =

42 / 72

P(H | C) =

24 / 36

P(M | C) = 12 / 36

P(A H) = P(A) . P(H | A) = 84 / 240

P(A M) = P(A) . P(M | A) = 48 / 240

Page 68: 04 - Probabilidade

22

A

B

C

H

M

H

M

H

M

P(A) =

132 / 240

P(B) =

72 / 240

P(C) =

36 / 240

P(H | A) = 84 / 132

P(M | A) =

48 / 132

P(H | B) =

30 / 72

P(M | B) =

42 / 72

P(H | C) =

24 / 36

P(M | C) = 12 / 36

P(A H) = P(A) . P(H | A) = 84 / 240

P(A M) = P(A) . P(M | A) = 48 / 240

P(B H) = P(B) . P(H | B) = 30 / 240

Page 69: 04 - Probabilidade

22

A

B

C

H

M

H

M

H

M

P(A) =

132 / 240

P(B) =

72 / 240

P(C) =

36 / 240

P(H | A) = 84 / 132

P(M | A) =

48 / 132

P(H | B) =

30 / 72

P(M | B) =

42 / 72

P(H | C) =

24 / 36

P(M | C) = 12 / 36

P(A H) = P(A) . P(H | A) = 84 / 240

P(A M) = P(A) . P(M | A) = 48 / 240

P(B H) = P(B) . P(H | B) = 30 / 240

P(B M) = P(B) . P(M | B) = 42 / 240

Page 70: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

22

A

B

C

H

M

H

M

H

M

P(A) =

132 / 240

P(B) =

72 / 240

P(C) =

36 / 240

P(H | A) = 84 / 132

P(M | A) =

48 / 132

P(H | B) =

30 / 72

P(M | B) =

42 / 72

P(H | C) =

24 / 36

P(M | C) = 12 / 36

P(A H) = P(A) . P(H | A) = 84 / 240

P(A M) = P(A) . P(M | A) = 48 / 240

P(B H) = P(B) . P(H | B) = 30 / 240

P(B M) = P(B) . P(M | B) = 42 / 240

P(C H) = P(C) . P(H | C) = 24 / 240

P(C M) = P(C) . P(M | C) = 12 / 240

Page 71: 04 - Probabilidade

Problema: máquinas com desajuste

23

Uma empresa produz peças em duas máquinas I e II, que

podem apresentar desajustes com probabilidade de,

respectivamente, 0,05 e 0,10. No início do dia de

operação um teste é realizado e, caso a máquina esteja

fora de ajuste, ela ficará sem operar nesse dia, passando

por revisão técnica. Para cumprir o nível mínimo de

produção pelo menos uma das máquinas deve operar. A

empresa corre o risco de não cumprir com suas metas

de produção?

Page 72: 04 - Probabilidade

O1: evento da máquina 1 estar operando

O1C: evento da máquina 1 estar em falha

O2: evento da máquina 2 estar operando

O2C: evento da máquina 2 estar em falha

A eventual falha de ajuste em uma máquina não interfere no

comportamento da outra independência dos eventos O1

e O2.

P(O2 | O1) = P(O2) = 0,90; P(O2 | O1C) = P(O2) = 0,90;

P(O2C | O1) = P(O2

C) = 0,10; P(O2C | O1

C) = P(O2C) = 0,10

Problema: máquinas com desajuste

24

O1

O1C

O2

0,95

0,05

0,90

0,10

0,90

0,10

O2

O2C

O2C

Eventos independentes

Page 73: 04 - Probabilidade

25

Eventos Independentes

Dados dois eventos A e B, se:

P(A | B) = P(A) e P(B | A) = P(B) A e B são

independentes. Neste caso:

P(A B) = P(A) . P(B)

Formalizando:

Se A1, A2 e A3 são independentes, então eles

devem ser independentes 2 a 2 e 3 a 3.

P(Aj Ak) = P(Aj) . P(Ak), j k, onde: j, k = 1, 2, 3

E também:

P(A1 A2 A3) = P(A1) . P(A2) . P(A3)

Page 74: 04 - Probabilidade

26

Problema: máquinas com desajuste

Evento Probabilidade

O1 O2

O1 O2C

O1C O2

O1C O2

C

Page 75: 04 - Probabilidade

26

Problema: máquinas com desajuste

Evento Probabilidade

O1 O2 0,95 x 0,90 = 0,855

O1 O2C

O1C O2

O1C O2

C

Page 76: 04 - Probabilidade

26

Problema: máquinas com desajuste

Evento Probabilidade

O1 O2 0,95 x 0,90 = 0,855

O1 O2C 0,95 x 0,10 = 0,095

O1C O2

O1C O2

C

Page 77: 04 - Probabilidade

26

Problema: máquinas com desajuste

Evento Probabilidade

O1 O2 0,95 x 0,90 = 0,855

O1 O2C 0,95 x 0,10 = 0,095

O1C O2 0,05 x 0,90 = 0,045

O1C O2

C 0,05 x 0,10 = 0,005

Page 78: 04 - Probabilidade

26

Problema: máquinas com desajuste

Evento Probabilidade

O1 O2 0,95 x 0,90 = 0,855

O1 O2C 0,95 x 0,10 = 0,095

O1C O2 0,05 x 0,90 = 0,045

O1C O2

C 0,05 x 0,10 = 0,005

Evento: pelo menos uma máquina funcionando

(O1 O2) (O1 O2C) (O1

C O2)

P[(O1 O2) (O1 O2C) (O1

C O2)] =

P(O1 O2) + P(O1 O2C) + P(O1

C O2) =

0,855 + 0,095 + 0,045 = 0,995

Page 79: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes

27

Uma empresa fabricante recebe lotes de peças de dois

fornecedores diferentes.

A1 é o evento em que uma peça é do fornecedor 1: P(A1) = 0,65

A2 é o evento em que um peça é do fornecedor 2: P(A2) = 0,35

Fornecedor Peças boas (%) (B) Peças ruins (%) (R)

1 (A1) 98 2

2 (A2) 95 5

Avaliações de qualidade dos dois fornecedores

P(B | A1) = 0,98

P(B | A2) = 0,95

P(R | A1) = 0,02

P(R | A2) = 0,05

Page 80: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

28

Page 81: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

28

Etapa 1

(Fornecedor)

Page 82: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

28

Etapa 1

(Fornecedor)

Page 83: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

28

P(A1)

Etapa 1

(Fornecedor)

0,65

Page 84: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

28

P(A1)

P(A2)

Etapa 1

(Fornecedor)

0,35

0,65

Page 85: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

28

0,65

0,35

P(A1)

P(A2)

Etapa 1

(Fornecedor)

Etapa 2

(Condição)

Page 86: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

28

0,65

0,35

P(A1)

P(A2)

Etapa 1

(Fornecedor)

Etapa 2

(Condição)

Page 87: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

28

0,65

0,35

P(A1)

P(A2)

P(B | A1)

Etapa 1

(Fornecedor)

Etapa 2

(Condição)

0,98

Page 88: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

28

0,65

0,35

P(A1)

P(A2)

P(B | A1)

P(R | A1)

Etapa 1

(Fornecedor)

Etapa 2

(Condição)

0,98

0,02

Page 89: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

28

0,65

0,35

P(A1)

P(A2)

P(B | A1)

P(R | A1)

P(B | A2)

Etapa 1

(Fornecedor)

Etapa 2

(Condição)

0,02

0,98

0,95

Page 90: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

28

0,65

0,35

P(A1)

P(A2)

P(B | A1)

P(R | A1)

P(B | A2)

P(R | A2)

Etapa 1

(Fornecedor)

Etapa 2

(Condição)

0,95

0,98

0,02

0,05

Page 91: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

28

0,65

0,35

0,98

0,02

0,95

0,05

P(A1)

P(A2)

P(B | A1)

P(R | A1)

P(B | A2)

P(R | A2)

Etapa 1

(Fornecedor)

Etapa 2

(Condição) Probabilidade do resultado

Page 92: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

28

0,65

0,35

0,98

0,02

0,95

0,05

P(A1)

P(A2)

P(B | A1)

P(R | A1)

P(B | A2)

P(R | A2)

Etapa 1

(Fornecedor)

Etapa 2

(Condição) Probabilidade do resultado

P(A1 B) = P(A1) . P(B | A1) = 0,6370

Page 93: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

28

0,65

0,35

0,98

0,02

0,95

0,05

P(A1)

P(A2)

P(B | A1)

P(R | A1)

P(B | A2)

P(R | A2)

Etapa 1

(Fornecedor)

Etapa 2

(Condição) Probabilidade do resultado

P(A1 B) = P(A1) . P(B | A1) = 0,6370

P(A1 R) = P(A1) . P(R | A1) = 0,0130

Page 94: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

28

0,65

0,35

0,98

0,02

0,95

0,05

P(A1)

P(A2)

P(B | A1)

P(R | A1)

P(B | A2)

P(R | A2)

Etapa 1

(Fornecedor)

Etapa 2

(Condição) Probabilidade do resultado

P(A1 B) = P(A1) . P(B | A1) = 0,6370

P(A1 R) = P(A1) . P(R | A1) = 0,0130

P(A2 B) = P(A2) . P(B | A2) = 0,3325

Page 95: 04 - Probabilidade

Árvore de probabilidades

28

0,65

0,35

0,98

0,02

0,95

0,05

P(A1)

P(A2)

P(B | A1)

P(R | A1)

P(B | A2)

P(R | A2)

Etapa 1

(Fornecedor)

Etapa 2

(Condição) Probabilidade do resultado

P(A1 B) = P(A1) . P(B | A1) = 0,6370

P(A1 R) = P(A1) . P(R | A1) = 0,0130

P(A2 B) = P(A2) . P(B | A2) = 0,3325

P(A2 R) = P(A2) . P(R | A2) = 0,0175

Page 96: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes

29

Temos que calcular as probabilidades posteriores:

P(A1 | R) e P(A2 | R)

Suponha agora que uma máquina se quebrou porque

estava tentando processar uma peça ruim. Dada a

informação de que a peça é ruim, qual a probabilidade

de que ela venha do fornecedor 1 e qual a

probabilidade de que ela venha do fornecedor 2?

Page 97: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes - Cálculos

30

RP

RAPRAP

1

1 |

Da regra da probabilidade condicional:

Pela árvore de probabilidades:

111 | ARPAPRAP

R pode ocorrer de dois modos: (A1 R) e (A2 R).

221121 || ARPAPARPAPRAPRAPRP

Page 98: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes - Cálculos

30

RP

RAPRAP

1

1 |

Da regra da probabilidade condicional:

Pela árvore de probabilidades:

111 | ARPAPRAP

R pode ocorrer de dois modos: (A1 R) e (A2 R).

221121 || ARPAPARPAPRAPRAPRP

Page 99: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes - Cálculos

30

RP

RAPRAP

1

1 |

Da regra da probabilidade condicional:

Pela árvore de probabilidades:

111 | ARPAPRAP

R pode ocorrer de dois modos: (A1 R) e (A2 R).

221121 || ARPAPARPAPRAPRAPRP

Portanto:

2211

111

||

||

ARPAPARPAP

ARPAPRAP

Page 100: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes - Cálculos

30

RP

RAPRAP

1

1 |

Da regra da probabilidade condicional:

Pela árvore de probabilidades:

111 | ARPAPRAP

R pode ocorrer de dois modos: (A1 R) e (A2 R).

221121 || ARPAPARPAPRAPRAPRP

Portanto:

2211

111

||

||

ARPAPARPAP

ARPAPRAP

Page 101: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes - Cálculos

30

RP

RAPRAP

1

1 |

Da regra da probabilidade condicional:

Pela árvore de probabilidades:

111 | ARPAPRAP

R pode ocorrer de dois modos: (A1 R) e (A2 R).

221121 || ARPAPARPAPRAPRAPRP

Portanto:

2211

111

||

||

ARPAPARPAP

ARPAPRAP

Page 102: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes - Cálculos

31

Analogamente para P(A2 | R):

2211

222

||

||

ARPAPARPAP

ARPAPRAP

Calculando:

4262,005,035,002,065,0

02,065,0|1

RAP

Page 103: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes - Cálculos

31

Analogamente para P(A2 | R):

Calculando:

2211

222

||

||

ARPAPARPAP

ARPAPRAP

4262,005,035,002,065,0

02,065,0|1

RAP

Page 104: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes - Cálculos

31

Analogamente para P(A2 | R):

Calculando:

2211

222

||

||

ARPAPARPAP

ARPAPRAP

4262,005,035,002,065,0

02,065,0|1

RAP

5738,005,035,002,065,0

05,035,0|2

RAP

Page 105: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes - Cálculos

31

Analogamente para P(A2 | R):

Calculando:

2211

222

||

||

ARPAPARPAP

ARPAPRAP

4262,005,035,002,065,0

02,065,0|1

RAP

5738,005,035,002,065,0

05,035,0|2

RAP

Page 106: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes - Cálculos

31

Analogamente para P(A2 | R):

Calculando:

P(A1) = 0,65

2211

222

||

||

ARPAPARPAP

ARPAPRAP

4262,005,035,002,065,0

02,065,0|1

RAP

5738,005,035,002,065,0

05,035,0|2

RAP

P(A1 | R) = 0,4262

P(A2) = 0,35

P(A2 | R) = 0,5738

Page 107: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes

32

Formalizando:

A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a

ocorrência do evento R, é dada por:

n

j

jj

ii

nn

iii

ARPAP

ARPAP

ARPAPARPAPARPAP

ARPAPRAP

1

2211 |

|

|...||

||

Page 108: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes

32

Formalizando:

n

j

jj

ii

nn

iii

ARPAP

ARPAP

ARPAPARPAPARPAP

ARPAPRAP

1

2211 |

|

|...||

||

A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a

ocorrência do evento R, é dada por:

Page 109: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes

32

Formalizando:

n

j

jj

ii

nn

iii

ARPAP

ARPAP

ARPAPARPAPARPAP

ARPAPRAP

1

2211 |

|

|...||

||

A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a

ocorrência do evento R, é dada por:

Page 110: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes

32

Formalizando:

n

j

jj

ii

nn

iii

ARPAP

ARPAP

ARPAPARPAPARPAP

ARPAPRAP

1

2211 |

|

|...||

||

A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a

ocorrência do evento R, é dada por:

Page 111: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes

32

Formalizando:

n

j

jj

ii

nn

iii

ARPAP

ARPAP

ARPAPARPAPARPAP

ARPAPRAP

1

2211 |

|

|...||

||

A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a

ocorrência do evento R, é dada por:

Page 112: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes

32

Formalizando:

n

j

jj

ii

nn

iii

ARPAP

ARPAP

ARPAPARPAPARPAP

ARPAPRAP

1

2211 |

|

|...||

||

A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a

ocorrência do evento R, é dada por:

Page 113: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes

32

Formalizando:

n

j

jj

ii

nn

iii

ARPAP

ARPAP

ARPAPARPAPARPAP

ARPAPRAP

1

2211 |

|

|...||

||

A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a

ocorrência do evento R, é dada por:

Aplicável quando:

- os eventos são mutuamente exclusivos.

- as uniões dos eventos são o espaço amostral inteiro.

Page 114: 04 - Probabilidade

Teorema de Bayes - Tabela

33

(1)

Evento

Ai

A1

A2

Page 115: 04 - Probabilidade

33

(1) (2)

Evento

Ai

Probabilidade

prévia P(Ai)

A1

A2

Teorema de Bayes - Tabela

Page 116: 04 - Probabilidade

33

(1) (2)

Evento

Ai

Probabilidade

prévia P(Ai)

A1 0,65

A2

Teorema de Bayes - Tabela

Page 117: 04 - Probabilidade

33

(1) (2)

Evento

Ai

Probabilidade

prévia P(Ai)

A1 0,65

A2 0,35

Teorema de Bayes - Tabela

Page 118: 04 - Probabilidade

33

(1) (2)

Evento

Ai

Probabilidade

prévia P(Ai)

A1 0,65

A2 0,35

1,00

Teorema de Bayes - Tabela

Page 119: 04 - Probabilidade

33

(1) (2) (3)

Evento

Ai

Probabilidade

prévia P(Ai)

Probabilidade

condicional

P(R | Ai)

A1 0,65

A2 0,35

1,00

Teorema de Bayes - Tabela

Page 120: 04 - Probabilidade

33

(1) (2) (3)

Evento

Ai

Probabilidade

prévia P(Ai)

Probabilidade

condicional

P(R | Ai)

A1 0,65 0,02

A2 0,35

1,00

Teorema de Bayes - Tabela

Page 121: 04 - Probabilidade

33

(1) (2) (3)

Evento

Ai

Probabilidade

prévia P(Ai)

Probabilidade

condicional

P(R | Ai)

A1 0,65 0,02

A2 0,35 0,05

1,00

Teorema de Bayes - Tabela

Page 122: 04 - Probabilidade

33

(1) (2) (3) (4)

Evento

Ai

Probabilidade

prévia P(Ai)

Probabilidade

condicional

P(R | Ai)

Probabilidade

associada

P(Ai R)

A1 0,65 0,02

A2 0,35 0,05

1,00

Teorema de Bayes - Tabela

Page 123: 04 - Probabilidade

33

(1) (2) (3) (4)

Evento

Ai

Probabilidade

prévia P(Ai)

Probabilidade

condicional

P(R | Ai)

Probabilidade

associada

P(Ai R)

A1 0,65 0,02 0,0130

A2 0,35 0,05

1,00

Teorema de Bayes - Tabela

Page 124: 04 - Probabilidade

33

(1) (2) (3) (4)

Evento

Ai

Probabilidade

prévia P(Ai)

Probabilidade

condicional

P(R | Ai)

Probabilidade

associada

P(Ai R)

A1 0,65 0,02 0,0130

A2 0,35 0,05 0,0175

1,00

Teorema de Bayes - Tabela

Page 125: 04 - Probabilidade

33

(1) (2) (3) (4)

Evento

Ai

Probabilidade

prévia P(Ai)

Probabilidade

condicional

P(R | Ai)

Probabilidade

associada

P(Ai R)

A1 0,65 0,02 0,0130

A2 0,35 0,05 0,0175

1,00 P(R) = 0,0305

Teorema de Bayes - Tabela

Page 126: 04 - Probabilidade

33

(1) (2) (3) (4) (5)

Evento

Ai

Probabilidade

prévia P(Ai)

Probabilidade

condicional

P(R | Ai)

Probabilidade

associada

P(Ai R)

Probabilidade

posterior P(Ai | R)

A1 0,65 0,02 0,0130

A2 0,35 0,05 0,0175

1,00 P(R) = 0,0305

Teorema de Bayes - Tabela

Page 127: 04 - Probabilidade

33

(1) (2) (3) (4) (5)

Evento

Ai

Probabilidade

prévia P(Ai)

Probabilidade

condicional

P(R | Ai)

Probabilidade

associada

P(Ai R)

Probabilidade

posterior P(Ai | R)

A1 0,65 0,02 0,0130 0,0130 / 0,0305 =

0,4262

A2 0,35 0,05 0,0175

1,00 P(R) = 0,0305

Teorema de Bayes - Tabela

Page 128: 04 - Probabilidade

33

(1) (2) (3) (4) (5)

Evento

Ai

Probabilidade

prévia P(Ai)

Probabilidade

condicional

P(R | Ai)

Probabilidade

associada

P(Ai R)

Probabilidade

posterior P(Ai | R)

A1 0,65 0,02 0,0130 0,0130 / 0,0305 =

0,4262

A2 0,35 0,05 0,0175 0,0175 / 0,0305 =

0,5738

1,00 P(R) = 0,0305

Teorema de Bayes - Tabela

Page 129: 04 - Probabilidade

33

(1) (2) (3) (4) (5)

Evento

Ai

Probabilidade

prévia P(Ai)

Probabilidade

condicional

P(R | Ai)

Probabilidade

associada

P(Ai R)

Probabilidade

posterior P(Ai | R)

A1 0,65 0,02 0,0130 0,0130 / 0,0305 =

0,4262

A2 0,35 0,05 0,0175 0,0175 / 0,0305 =

0,5738

1,00 P(R) = 0,0305 1,0000

Teorema de Bayes - Tabela