o que é uma função na forma implícita, em geral designada...
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1
O que é uma função na forma implícita, em geral
designada por função implícita?
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
2
Comecemos ao contrário. Uma função real de variável real como…
y=2x2+4senx
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
…está na forma explícita! O y está arrumado à esquerda, sozinho! O x à direita, com uns amigos.
4
Que problemas me levanta esta função?
y=2x2+4senx
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
Nenhuns!
O que posso fazer com esta função?
5
Desenhá-la…
y=2x2+4senx
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
Derivá-la, estudar variações…o costume!
6
Posso torná-la implícita?
y=2x2+4senx
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
Posso…
y-2x2+4senx=0
2x2+4senx-y=0
O que ganho?....Assim de repente nada….
7
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
Posso torná-la implícita? Posso…
y-2x2+4senx=0
2x2+4senx-y=0
Posso até escrevê-la na forma chiqueF(x,y)=2x2+4senx-y=0
Mas se desejar explicitar x vejo que afinal já tenho preocupações. Porquê?
8
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
Seja agora o trajecto inverso: dão-me uma função JÁ na forma implícita, por exemplo
F(x,y)=yx2-exlny-3xy=0
Agora tenho um problema, que já tinha em Cálculo 1 e que permanece em Cálculo 2. E o problema é este: daquela expressão não consigo isolar y ou xpara obter
y=f(x)ou
x=g(y)
9
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
Apesar de não poder ter expressões explícitas para
y=f(x)nem
x=g(y)vimos em Cálculo 1 que podemos ter em certas condições o conhecimento de
y=f’(x)e dex=g’(y)
num certo ponto!
10
Como ocorre esta situação em Cálculo 2?Um exemplo inútil
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
Seja a função vectorial muito simples
F:R3 R2
F( x ,y ,z )=
( F1(x,y,z) , F2(x,y,z) )=
(2x+y+z-2,x-y+z-5)=(0,0)
11
Como ocorre esta situação em Cálculo 2?
Um exemplo inútil
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
Pode ser dada pelo sistema…
2x+y+z-2=0
x-y+z-5=0
…que se pode resolver…explicitar por exemplo….
z=(7-3x)(1/3)
y=(3-x)0.5
Outro exemplo inútil…
12
Outro exemplo inútil
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
Seja a função vectorial ainda simples
F:R4 R2
F( x ,y ,z ,w)=
( F1(x, y, z, w) , F2(x, y, z, w) )=
(x+y-z-3w , 2x-y+4z-w)=(0,0)
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Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
Pode ser dada pelo sistema…
x+y-z-3w =0
2x-y+4z-w =0
…que se pode resolver…ou seja…que se pode explicitar; por exemplo….
x=f1(z ,w)=(5/3)z+2/3w
y =f2(z ,w)=(-2/3)z+1/3w
Outro exemplo inútil
Não vejo problemas! Que posso fazer com as funções nesta forma?
14
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
…a função vectorial for dada por expressões intratáveis?....
x2+y3-lnz-3ew =0
2x7-eseny+z4-w-1 =0
…que NÃQ se pode resolver…NÃO se pode explicitar….
x=f1(z ,w)=?
y =f2(z ,w)=?
Mas se …
Poderei ainda ter alguma informação sem explicitar as funções?
Sim, poderei ter informação sobre a derivada num ponto!!
16
Como se resolvia isto em Cálculo 1?Desde que pudéssemos garantir que
F(x,y)=0era respeitada por um certo ponto (x0,y0)
ou seja desde que
F(x0,y0)=0 e também se
a fórmula seguinte resolvia o problema numa vizinhança de (x0,y0)
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
0≠∂∂
yF
19
Esta ideia e esta técnica são
relacionadas para o caso vectorial
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
22
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
0),(),...,,,,...,,(
0),(),...,,,,...,,(
0),(),...,,,,...,,(
2121
221212
121211
==
==
==
yxFyyyxxxF
yxFyyyxxxF
yxFyyyxxxF
mmnm
mn
mn
43421
M
43421
43421
Olhemos com alguma atenção as estruturas….
23
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
)x,...,x,x(fy
)x,...,x,x(fy)x,...,x,x(fy
nm
n
n
211
2112
2111
=
==
M
Será que na vizinhança de um certo ponto n+m dimensional existirão…mesmo que não as vejamos…
…e quais serão as suas derivadas?
24
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
As condições de existência são
000)3
)2
0),()1
),(
),(1
1
1
1
),(
100
00
00
00
≠⇔≠
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
⇔≠∂∂
∈
=
yx
Fy
yxm
mm
m
yx
i
i
J
yF
yF
yF
yF
yF
CF
yxF
L
MM
L
…e a cereja no bolo….
25
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
[ ] [ ] ),()( 00),(1
),(0 0000yx
yFxF
JJxJ yxFxyx
Fy
yx
∂∂∂∂
−=−=−
)()( 00 xxyx
xf
j
i
j
i
∂∂
=∂∂
Todas as derivadas do tipo
…aparecem sintetizadas na expressão matricial de matrizes Jacobianas
Simbolicamente
Estas Jacobianas estão em caixa!
Esta Jacobiana tem as tais derivadas!!
mXn mXm mXn
26
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
0
...
...
)(
1
1
1
1
0
xn
mm
n
j
i
xf
xf
xf
xf
xxf
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
MM
UFFF!! Merecemos um exemplo!!!!
Note bem que…
27
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
Suponha as duas equações macroeconómicas que envolvem 4 variáveis
T taxa de juro de referência do BCE
Y Rendimento disponível
M Velocidade de circulação da moeda
I Taxa de inflação
12
9ln3
2
+=+−
=+
eYIMT
IMYT
28
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009Suponha as duas equações macroeconómicas que envolvem 4 variáveis
T taxa de juro de referência do BCE
Y Rendimento disponível
M Velocidade de circulação da moeda
I Taxa de inflação 12
9ln3
2
+=+−
=+
eYIMT
IMYT
012),,,(
09ln),,,(3
2
21
=−−+−=
=−+=
eYIMTIMTYF
IMYTIMTYF
O mercado está em equilíbrio no ponto (Y,T,M,I)=(2,4,1,e)
Isto quer dizer….
29
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
012),,,(
09ln),,,(3
2
21
=−−+−=
=−+=
eYIMTIMTYF
IMYTIMTYF
),(),(
2
1
MTfIMTfY
==
O meu interesse enquanto economista é estudar a eventual existência de….
…e as respectivas derivadas.
30
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
Verificação das condições do Teorema da função implícita
1)0,0()),,,(),,,,(( 21 == IMTYFIMTYFF
É uma função de classe C1
2
)0,0()),1,4,2(),,1,4,2(( 21 == eFeFF
31
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
3
02323
14
3
2
23
),1,4,2(23
2
),1,4,2(
21
),( 00
≠=
==∂∂
=∂∂
eeee
YIII
MTYIFF
yF
eeyx
Posso pois garantir que existem ),(),(
2
1
MTfIMTfY
==
Mas mais!!!
32
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
[ ] [ ] ),(1
),(0 0000)( yx
Fxyx
Fy
yx JJxJ −
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ −
MF
TF
MF
TF
IF
YF
IF
YF
TI
TI
MY
TY
22
111
22
11
Estas são com água lisa!! Porquê?Estas são a grande descoberta! Porquê
33
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
[ ] [ ] ),(1
),(0 0000)( yx
Fxyx
Fy
yx JJxJ −
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ −
MF
TF
MF
TF
IF
YF
IF
YF
TI
TI
MY
TY
22
111
22
11
Estas são com água lisa!! Porquê?Estas são a grande descoberta! Porquê
34
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ −
MF
TF
MF
TF
IF
YF
IF
YF
TI
TI
MY
TY
22
111
22
11
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ −
12
1ln2
3
1
23
2
T
IMY
YIII
MT
TI
TI
MY
TY
Tudo no ponto (Y,T,M,I)=(2,4,1,e)
35
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
Tudo no ponto (Y,T,M,I)=(2,4,1,e)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ −
141
22
6
141
23 eee
TI
TI
MY
TY
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ −
12
1ln2
3
1
23
2
T
IMY
YIII
MY
TI
TI
MY
TY
36
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
A demonstração da fórmula das derivadas é formativa…
)x,...,x,x(fy
)x,...,x,x(fy)x,...,x,x(fy
nm
n
n
211
2112
2111
=
==
M
Suponhamos que de facto
37
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
0),(),...,,,,...,,(
0),(),...,,,,...,,(
0),(),...,,,,...,,(
2121
221212
121211
==
==
==
yxFyyyxxxF
yxFyyyxxxF
yxFyyyxxxF
mmnm
mn
mn
43421
M
43421
43421
)x,...,x,x(fy
)x,...,x,x(fy)x,...,x,x(fy
nm
n
n
211
2112
2111
=
==
M
38
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0,...,,...,...,,,,...,,
0,...,,...,...,,,,...,,
0,...,,...,...,,,,...,,
2121121
21211212
21211211
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
44444 344444 21
M
44444 344444 21
44444 344444 21
nmnnm
nmnn
nmnn
xxxfxxxfxxxF
xxxfxxxfxxxF
xxxfxxxfxxxF
39
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
0),...,,,,...,,(
0),...,,,,...,,(
0),...,,,,...,,(
2121
21212
21211
=
=
=
43421
M
43421
43421
mnm
mn
mn
yyyxxxF
yyyxxxF
yyyxxxF
Calculando o diferencial total em ordem a x1…(para simplificar)
40
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
0),...,,,,...,,(...
...),...,,,,...,,(),...,,,,...,,(
........
0),...,,,,...,,(...
...),...,,,,...,,(),...,,,,...,,(
12121
1
12121
12121
1
12121
1
1
12121
1
12121
1
1
=∂∂
∂∂
+
+∂∂
∂∂
+∂∂
=∂∂
∂∂
+
+∂∂
∂∂
+∂∂
xyyyyxxx
yF
xyyyyxxx
yFyyyxxx
xF
xyyyyxxx
yF
xyyyyxxx
yFyyyxxx
xF
mmn
m
m
mnm
mnm
mmn
m
mnmn
43421
4342143421
43421
4342143421
Atenção….há uns elementos comuns…Serão visíveis se aliviarmos a notação…
41
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
0......
........
0......
11
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
=∂∂
∂∂
++∂∂
∂∂
+∂∂
=∂∂
∂∂
++∂∂
∂∂
+∂∂
xy
yF
xy
yF
xF
xy
yF
xy
yF
xF
m
m
mmm
m
m
42
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
0......
........
0......
11
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
=∂∂
∂∂
++∂∂
∂∂
+∂∂
=∂∂
∂∂
++∂∂
∂∂
+∂∂
xy
yF
xy
yF
xF
xy
yF
xy
yF
xF
m
m
mmm
m
m
43
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
111
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
......
........
......
xF
xy
yF
xy
yF
xF
xy
yF
xy
yF
mm
m
mm
m
m
∂∂
−=∂∂
∂∂
++∂∂
∂∂
∂∂
−=∂∂
∂∂
++∂∂
∂∂
44
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
m
mm
m
yF
yF
yF
yF
............
...
1
1
1
1
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
−=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
1
1
1
1
1
1
......
xF
xF
xy
xy
mm
As tais…Quais tais? ☺
45
Cálculo 2, A função implícita Abril 2009
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
−
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
......
.........
...
...
xF
xF
yF
yF
yF
yF
xy
xy
m
m
mm
m
m
Repetindo o raciocínio para as outras variáveis x2, …xn chega-se à fórmula geral por simples bricolage
As tais…Quais tais? ☺