IDENTIFICAÇÃO DE MODELOS POR SUBESPAÇOS, USANDO O MÉTODO N4SID, PARA A SI-MULAÇÃO DO CONTROLE LQR EM UM MANIPULADOR ROBÓTICO

ADEMAR G. COSTA JUNIOR*†, JOSE ANTÔNIO RIUL†, PAULO HENRIQUE M. MONTENEGRO†

* Laboratório de Instrumentação, Sistemas de Controle e Automação (LINSCA) IFPB, campus João Pessoa

† Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica (PPGEM) UFPB, campus João Pessoa

E-mails: ademar.costa@ifpb.edu.br,riul,paulo@ct.ufpb.br

Abstract Subspace identification is being researched and applied over the last decades, as an alternative to the estimation of mathematical models for multivariable systems. This paper describes the use of subspace identification techniques, in particular, the N4SID method applied to two links of an electromechanical robotic manipulator. With the estimated mathematical model, the design of a LQR regulator is used to control the position of these two links which the results through computer simulations are presented, which proves to be an efficient technique.

Keywords LQR regulator, N4SID method, Robot control, Robotic manipulator, Subspace identification.

Resumo A identificação por subespaços tem sido pesquisada e aplicada ao longo das últimas décadas, como uma alternativa para a estimação de modelos matemáticos para sistemas multivariáveis. Este artigo descreve o uso de técnicas de identificação por subespaço, em particular, o método N4SID, aplicado a dois elos de um robô manipulador. Com o modelo matemático esti-mado, o projeto de um regulador LQR é utilizado para o controle de posição desses dois elos, o qual os resultados através de si-mulações computacionais são apresentados, o que mostra ser uma técnica eficiente.

Palavras-chave Controle de robôs, Identificação por subespaços, Manipulador robótico, Método N4SID, Regulador LQR.

1 Introdução

Uma das atividades da engenharia consiste em obter modelos matemáticos que possam representar sistemas físicos. Para isso, existem duas áreas de estudo para a obtenção de tais modelos, que são: a modelagem pela física do sistema dinâmico – mode-lagem caixa branca (Ljung & Glad, 1994; Garcia, 2009); e a identificação de sistemas – modelagem caixa preta e caixa cinza (Ljung, 1999; Coelho & Coelho, 2004; Aguirre, 2007). Na primeira técnica, a modelagem consiste no equacionamento dos fenô-menos envolvidos nos sistemas dinâmicos, usando as leis da física, onde nem sempre há viabilidade no procedimento de modelagem, por falta de conheci-mento e de tempo, necessários à tarefa. Na segunda técnica, a identificação de sistemas estuda alternati-vas de modelagem matemática, o qual pouco, ou nenhum, conhecimento prévio do sistema é necessá-rio.

Para sistemas multivariáveis, a obtenção de mo-delos através do método de predição do erro (PEM – Prediction Error Methods) e pelo método por variá-veis instrumentais (IVM – Instrumental Variable Methods) é um tanto complexa, e sua confiabilidade numérica pode ser inaceitável em problemas que tenham um grande número de entradas e de saídas (Viberg, 2002).

O método SIM (Subspace Identification Me-thods) é uma alternativa ao PEM e ao IVM para obter modelos matemáticos, através dos dados de entrada e de saída, já que utiliza uma parametrização

simples e generalista, para sistemas multivariáveis. Métodos por subespaço são baseados em ferramentas numéricas robustas, tais como, a fatoração QR e a decomposição em valores singulares (SVD – Singu-lar Value Decompostion), onde sua teoria é derivada da álgebra linear, estimando matrizes de estado de forma rápida (Verhaegen, 1993, Van Overschee & De Moor, 1994, 1995; Verdult & Verhaegen, 2002; Viberg, 2002; Katayama, 2005; Qin, 2006).

Segundo Viberg (2002), os algoritmos por sub-espaço são atraentes devido ao uso da representação em espaço de estados, conveniente para estimação, filtragem, predição e controle. Diversas aplicações com identificação por subespaço vêm sendo apresen-tadas na literatura (Sotomayor et al, 2003; Castaño et al, 2011; Costa Junior et al, 2014), e na área de ma-nipuladores robóticos, Johansson et al (2000) apre-sentam uma proposta de uso do SIM, em específico, utilizando o método MOESP (Multivariable Output Error State Space), como alternativa à modelagem dinâmica analítica, que geralmente utiliza as equa-ções de Newton-Euler ou Euler-Lagrange (Craig, 2013).

A técnica do controle LQR (Linear Quadratic Regulator) tem sido bastante aplicada quando siste-mas de modelo de espaço de esatdos são utilizados. O uso do regulador LQR tem como objetivo a deter-minação de um sinal de controle que seja capaz de minimizar uma função custo, dada pela ponderação quadrática dos erros dos estados, e dos esforços de controle, realizada pelas matrizes de ponderação e (Naidu, 2003; Lewis, 2012).

O objetivo deste artigo é apresentar o projeto de um controle regulatório LQR, baseado em simula-ções computacionais, utilizando um modelo matemá-tico estimado em espaço de estados, através de técni-cas de identificação por subespaço usando o método N4SID (Numerical algorithms for Subspace State Space System Identification) para o caso puramente determinístico. Este modelo de espaço de estados permite estimar as posições angulares dos elos 1 (base) e 2 (braço) de um manipulador robótico ele-tromecânico de cinco graus de liberdade.

Este artigo é organizado da seguinte maneira: na Seção 2 são apresentados os principais fundamentos teóricos da identificação por subespaço e do controle regulatório LQR; na Seção 3 é apresentada uma breve descrição da bancada de testes, e os sinais de testes para a identificação do sistema dinâmico, utili-zando a modelagem caixa preta; na Seção 4 são apre-sentados os resultados experimentais obtidos para o modelamento matemático do manipulador robótico, e os resultados da simulação computacional do projeto do controle regulatório LQR. Por fim, na Seção 5 são apresentadas as considerações finais do trabalho.

2 Fundamentos Teóricos

Esta seção provê os fundamentos teóricos sobre o método de identificação por subespaço (SIM) e o controle regulatório LQR. Considere o modelo line-ar, discreto e invariante no tempo, em espaço de estados, descrito por:

= + + (1)

= + + (2)

o qual, ∈ ℝ×, ∈ ℝ×, ∈ ℝ×, ∈

ℝ×. Os vetores ∈ ℝ e ∈ ℝ são as medidas no intervalo de tempo discreto k, das respectivas entradas e saídas do sistema. O vetor ∈ ℝ é o vetor de espaço de estados do sistema, no intervalo de tempo discreto , e contem os valores numéricos dos estados. Os vetores ∈ ℝ e ∈ ℝ são vetores de sinais não medidos e denominados de ruído de medição e de ruído do sistema, respectiva-mente, assumindo que esses ruídos sejam brancos, estacionários e com média zero (Van Overschee & De Moor, 1994).

O par de matrizes , é assumido ser obser-vável, implicando que todos os modos no sistema podem ser observados na saída , portanto, ser identificável. O par de matrizes , é assumido ser controlável, implicando que todos os modos do sistema são excitados pela entrada determinística , e/ou pela entrada estocástica .

A ideia básica dos algoritmos de subespaços é estimar as matrizes , , e de um modelo de espaço de estados discreto determinístico-estocástico (Eqs. 1-2), dado que seja disponibilizado o conjunto de dados de entrada e de saída de um sistema dinâ-mico. Existem três casos distintos, na teoria de SIM (Van Overschee & De Moor, 1994):

• O caso puramente determinístico ( e =

0); • O caso puramente estocástico ( = 0); • O caso determinístico/estocástico, como apre-

sentado nas Eqs. 1-2.

Neste artigo serão apresentados resultados do caso puramente determinístico. Todos os métodos de identificação por subespaços consistem em duas etapas. Na primeira etapa, o algoritmo calcula uma determinada característica do subespaço de um con-junto de dados de entrada e de saída, o qual coincide com o subespaço gerado pelas colunas da matriz de observabilidade estendida (Γ%). A dimensão deste subespaço é igual à ordem do sistema a ser identi-ficado. Na segunda etapa, os algoritmos de identificação por subespaços aplicam uma das seguintes estratégias:

• O MOESP (Multivariable Output Error State Space) determina duas matrizes (, ) dire-tamente do subespaço da observabilidade es-tendida. Depois da determinação das matrizes e , estas são usadas para determinar as demais matrizes do sistema ( , );

• O CVA (Canonical Variate Analysis) e o N4SID usam a matriz de observabilidade es-tendida para, implicitamente, determinar duas sequências de estado. A partir das sequências de estado, combinadas com os dados originais de entrada e de saída, todas as matrizes do sis-tema podem ser determinadas diretamente pe-la resolução de um conjunto de equações pelo método dos mínimos quadrados.

Pode ser observado que, a segunda estratégia uti-liza um único passo, enquanto a primeira utiliza dois passos na determinação de todas as matrizes do sis-tema. Em ambos os grupos, antes da identificação das matrizes do sistema, para o cálculo da sequência de vetor de estados utiliza-se apenas os dados de entrada e de saída. No procedimento de identificação, o principal passo é calcular a SVD de uma matriz de um bloco de Hankel, construída a partir dos dados de entrada e de saída (Van Overschee & De Moor, 1994; Katayama, 2005).

2.1 O Problema de Identificação por Subespaços

O problema de identificação requer que, por meio de dados de entrada-saída, aplicados a um sis-tema dinâmico, encontrem-se as matrizes , , e , de um modelo de espaço de estados discreto de-terminístico.

As Eqs. 1-2 podem ser rearranjadas e, após al-gumas manipulações algébricas, fica estabelecido que (Van Overschee & De Moor, 1994; Katayama, 2005):

&' = Γ%(' + )%

*' (3)

&+ = Γ%(+ + )%

*+ (4)

(+ = %('

+ Δ%*' (5)

os quais: &' e &+ são vetores de saídas passadas e futuras, respectivamente; *' e *+ são vetores de entradas passadas e futuras, respectivamente. Estes vetores formam o bloco de Hankel de entrada (*' e *+) e de saída (&' e &+). O índice - indica o uso de técnicas de subespaço para sistemas determinísticos, e o índice . denota o número de blocos linha (para Γ%) e coluna(paraΔ%), maiores que a ordem do siste-ma.

As equações de saídas (3) e (4), são definidas como uma combinação linear de estados passados e futuros, multiplicados pela matriz de observabilidade estendida Γ%, e a combinação linear das entradas passadas e futuras, multiplicadas por sua resposta ao impulso )% , também denominada matriz Toeplitz. A Eq. 5 relaciona os estados futuros ((+) com os esta-dos passados (('), sob a influência das entradas, o qual Δ% é a inversa da matriz de controlabilidade (Van Overschee & De Moor, 1994).

2.2 Estimando os Subespaços

Para que os subespaços da matriz de observabi-lidade estendida Γ% e da sequência de estados da matriz (+ sejam estimados, por meio dos dados de entrada-saída, é necessária a determinação da ordem n do sistema. A estimação Γ%(+ (Eq. 4) pode ser obtida por meio da projeção oblíqua de dados de entrada-saída do sistema, através de: 1% = Γ%(+ (6)

Para que a projeção oblíqua1% seja separada em Γ% e em (+, para sistemas puramente determinísticos, o posto de Ο3 deverá ser igual à ordem n do sistema e, Γ% e (+ podem ser recuperados de forma precisa pela decomposição SVD (Van Overschee & De Mo-or, 1994; Katayama, 2005; Qin, 2006):

1% = *456 = (* *7) 84 00 09 :5;57;< (7)

os quais, 4 é uma submatriz de 4 contendo os valo-res singulares não-nulos de 1% e, * e 5; são as par-tes correspondentes de * e 5;. A ordem do siste-ma das Eqs. 1-2 é igual ao número de valores singu-lares da Eq. 7, diferentes de zero.

A matriz de observabilidade estendida Γ% com-partilha o mesmo espaço coluna da projeção o-qua1%, fazendo com que possa ser obtida por: Γ% = *4/7 (8)

Como a sequência de estado (+ fica no espaço linha da projeção oblíqua1%, esta sequência pode ser obtida através de: (+ = 4/75; (9)

2.3 Estimação das Matrizes do Sistema

Sendo a projeção oblíqua 1%, obtida pela decom-posição SVD (Eq. 7) e particionada nos subespaços coluna (Γ%) ou linha ((+), as matrizes do sistema podem ser estimadas a partir de qualquer dos dois subespaços indicados (Eqs. 8-9).

No método N4SID, as matrizes do sistema , , e são estimadas em único passo, resol-vendo o problema apresentado na Eq. 10, através dos mínimos quadrados (Van Overschee & De Moor, 1994; Katayama, 2005; Qin, 2006).

>(%&%|% @ = 8 9 >(%*%|%@ (10)

Um fluxograma do algoritmo N4SID é ilustrado na Fig. 1.

Figura 1. Algoritmo N4SID.

2.2 Controle Regulatório LQR

O projeto do controle regulatório por realimen-tação de estados pode ser realizado no contexto pela alocação de pólos, ou no contexto do LQR. Por alo-cação de pólos são especificados os autovalores dese-jados do sistema em malha fechada. O projeto do LQR minimiza uma função custo quadrático, pela ponderação quadrática dos estados e o esforço de controle.

Para o projeto do controle regulatório LQR, é considerada a equação de estado do sistema (Eq. 1), e utilizando a lei de controle ótimo, com realimentação dos estados, dada por: = −B (11)

o qual B é a matriz de ganho ótimo, que minimiza um índice de desempenho, baseada em função custo quadrática discreta (Naidu, 2003; Lewis, 2012):

C = D();EF + (); (12)

os quais, e são matrizes de ponderação sobre o estado , e a entrada , respectivamente, sendo uma matriz semidefinida positiva e uma matriz definida positiva.

Substituindo a Eq. 11 na Eq. 1, a equação de es-

tado do sistema em malha fechada é: = + + (13)

em que + = ( − B) é a matriz de estados do sistema em malha fechada.

A matriz de ganho ótimoB é calculada por: B = G + ;4HI;4 (14)

através do uso da solução da equação algébrica de Riccati (Naidu, 2003; Lewis, 2012). 4 = ;J4 − 4(;4 + )I;4K + (15)

Desse modo, encontra-se a matriz positiva defi-nida 4, que soluciona a equação algébrica de Riccati, garantindo que + seja estável.

3 O Manipulador Robótico de Cinco Graus de Liberdade

O manipulador robótico em estudo é o modelo RD5NT, da empresa Didacta Itália, instalado no Laboratório de Dinâmica, do Departamento de Enge-nharia Mecânica, da Universidade Federal da Paraíba (UFPB). Os elementos que compõem a bancada de testes são:

• Manipulador robótico eletromecânico de cin-co graus de liberdade;

• Fonte de alimentação; • Computador de mesa; • Sistema de aquisição de dados; • Circuito amplificador de potência.

O manipulador robótico RD5NT, é um robô di-dático pesando aproximadamente 16 kg, composto por cinco juntas rotativas, quatro elos e uma garra. A transmissão de cada movimento é feita através do bloco moto-redutor, com dois estágios de redução, sendo utilizados os motores de corrente de contínua, fabricados pela Maxon Motor, com potência de 2,5 watts e com capacitor de longa vida. A tensão elétri-ca nominal dos motores CC é de 12 Volts, e a rota-ção máxima sem carga é de 6.480 rpm. Os potenciô-metros rotativos lineares, modelo 78CSB502, fabri-cados pela Sfernice, com resistência de 5 kΩ, assegu-ram a reprodução dos deslocamentos angulares das juntas e do movimento da garra. O diagrama de blo-cos da bancada de testes é ilustrado na Fig. 2.

3.1 Testes para a Identificação

Para que fosse realizada a identificação em ma-lha aberta, de um modelo de espaço de estados, para dois elos do manipulador robótico (base – elo 1, e braço – elo 2), foram aplicados, simultaneamente, sinais do tipo degrau aos motores, acrescidos de sinais PRBS com amplitude de 0,5 V de pico a pico.

Figura 2. Diagrama de blocos da bancada de testes.

Os dados de entrada são as tensões elétricas a-plicadas ao motor de cada elo, denominados de e 7, e os dados de saída são as tensões elétricas nos potenciômetros de cada elo, denominados de e 7, em que os subíndices 1 e 2, estão relacionados aos elos 1 e 2 do manipulador robótico, respectivamente. Estas tensões elétricas representam valores propor-cionais de posições angulares desses elos.

Na bancada de testes, os dados das entradas e das saídas são coletados por meio de uma placa de aquisição National Instruments, modelo NI USB6009. Foram colhidas 2.000 amostras em cada, com o tempo de amostragem de 50 ms. Para a identi-ficação dos modelos, as 1.500 primeiras amostras foram separadas e as demais, utilizadas na validação dos modelos.

4. Resultados Obtidos para a Identificação SIM-N4SID

Com os dados do ensaio de excitação, o próximo passo é a realização da identificação por subespaço (SIM), usando o método N4SID, para os elos 1 e 2 do robô manipulador. Antes dos procedimentos para a identificação dos modelos, foram realizados pré-tratamentos nos sinais adquiridos de entrada e de saída obtidos: a remoção da média dos sinais; e a remoção de tendências. Aos dados de saída, foi apli-cado um filtro linear passa-baixas, através da função idfilt , do Matlab® (frequências entre 0 e 2 rad/s). O conjunto de dados de entrada e de saída, após o pré-tratamento são ilustrados na Fig. 3.

Figura 3. Conjunto de dados para a identificação dos elos 1 e 2 do robô manipulador. (a) sinal de entrada u, (b) sinal de entrada u7,

(c) sinal de saída y, (d) sinal de saída y7, todos em volts.

4.1 Estimação da Ordem do Sistema

Um método para a determinação da ordem do sis-tema é a utilização do número de valores singulares (SVD – Singular Value Decomposition) diferentes de zero, da projeção ortogonal ou oblíqua, da matriz em bloco de Hankel, dos dados de entrada e de saída do sistema. Em geral, a determinação da ordem é obtida detectando uma lacuna entre os valores singu-lares, o que muitas vezes, torna-se uma avaliação subjetiva. Para o sistema em questão, foi escolhida a ordem 2, de modo que o modelo matemático em espaço de estados fosse de ordem reduzida, evitando esforços computacionais.

4.2 Modelo e Validação dos Modelos Obtidos

As matrizes do modelo de espaço de estados dis-creto, , , e , geradas pelo SIM-N4SID para o manipulador robótico eletromecânico são:

= N0,7161 0,04940,1728 0,9668V (16)

= N0,0103 0,01030,0060 −0,0060V (17)

= N6,1934 10,98608,3432 14,8440V (18)

sendo 0,6857 e 0,9972 os autovalores da matriz , com a matriz de transmissão direta, nula. Os esta-dos iniciais estimados são = −0,5390e 7 =0,3394, e o sistema foi colocado na forma canônica modal.

Uma das formas para validar os modelos obtidos é a comparação entre as saídas estimadas e as reais dos elos, muitas vezes denominados na literatura como validação dinâmica. A Fig. 4 ilustra a saída gerada pelos modelos obtidos pelo SIM-N4SID, de ordem 2, para os elos 1 e 2 do manipulador robótico. Por ob-servação dos modelos, as saídas estimadas acompa-nham a saída medida, utilizando os dados de valida-ção.

A análise de resíduo é realizada e ilustrada na Fig. 5. Conforme pode ser observado o modelo estimado em espaço de estados apresenta um desempenho satisfatório nas avaliações efetuadas entre os sinais de entrada e os resíduos das saídas, com um pior resultado no elo 2.

Figura 4. Validação dinâmica da resposta do sistema para modelos lineares: (a) – saída do elo 1. (b) 7 – saída do elo 2 (em preto, saída validada usando o N4SID, e em azul, sinal de saída após o

filtro).

Figura 5. Análise residual. (a) Entre a entrada e os resíduos da

saída . (b) Entre a entrada 7 e os resíduos da saída 7. Outra avaliação foi utilizada, para verificação dos

modelos obtidos. Para isto, foi utilizado o índice MRSE (Mean Relative Squared Error) para a avalia-ção da qualidade do modelo, definido como:

Y4Z(%) = 100 × 1 D\]∑ (% − _%)aF 7∑ (%)aF 7 b

%F (19)

os quais, % é o i-ésimo ponto da saída medida, c é a quantidade de dados utilizadas para a validação, é a quantidade de saídas do modelo, que neste caso específico são duas, e _% é o i-ésimo ponto da saída estimada pelo modelo obtido.

O modelo foi avaliado para a ordem 2, o qual o índice é de 60,52% e 70,22%, para os elos 1 e 2, respectivamente, indicando que o modelo matemáti-co teve um desempenho satisfatório, em termos de validação.

4.3 Resultados computacionais para o LQR

Para o projeto do controle regulatório LQR para o manipulador robótico, é realizado a seguinte se-quência para a simulação computacional. Com as matrizes do sistema estimadas (Eq. 16-18), as matri-zes e são escolhidas. A equação de Riccati (Eq. 15) é resolvida, calculando-se a matriz de realimen-tação B (Eq. 14), e por fim, a lei de controle é mon-tada (Eq. 11).

A escolha dos valores das matrizes e foram escolhidas, com = ;, e = 10d, sendo d uma matriz identidade com tamanho da ordem do sistema (Naidu, 2003; Lewis, 2012).

Na Fig. 6 são ilustradas as curvas dos estados do sistema dinâmico do robô manipulador, utilizado os valores estimados para o estado inicial (Seção 4.2). Como esperado os estados vão para zero.

Figura 6. Comportamento dos estados do robô manipulador, em

função do tempo simulado (em azul, e em verde, 7).

Figura 7. Resposta da saída do regulador LQR. (a) – saída do

elo 1. (b) 7 – saída do elo 2.

Na Fig. 7 são ilustradas as respostas na saída do regulador LQR e observa-se que a saída converge rapidamente para zero.

5. Considerações Finais

Este artigo mostrou a modelagem matemática a-través de técnicas de identificação de sistemas, base-adas no método N4SID com o uso de identificação por subespaços. Pode ser observado que é uma técni-ca bem interessante para ser usado na estimação de um modelo de espaço de estados de sistemas multi-variáveis, como é o caso apresentado neste artigo.

A simulação do projeto de um regulador LQR para controle de posição de dois elos deste manipu-lador apresenta bons resultados, demonstrando a viabilidade do projeto de controle com o modelo de espaço de estados estimado, minimizando o erro quadrático de estado e o esforço de controle.

O próximo passo será a realização de ensaios experimentais para a verificação do comportamento do controle de posição dos elos estudados do mani-pulador robótico, além do uso de outras técnicas de controle.

Agradecimentos

Os autores agradecem a Universidade Federal da Paraíba (UFPB) e ao Instituto Federal da Paraíba (IFPB), pelo apoio financeiro para a realização deste trabalho. Também ao revisor deste artigo que contri-bui para o aprimoramento desse trabalho.

Referências Bibliográficas

Aguirre, L. A. (2007). Introdução à Identificação de Sistemas – Técnicas Lineares e Não-lineares A-plicadas a Sistemas Reais, 3ª edição. Belo Hori-zonte (Brasil): UFMG.

Castaño, J. E. et al. (2011). Model Identification for Control of a Distillation Column. In: IX Latin American and IEEE Colombian Conference on Automatic Control and Industry Applications (LARC).

Coelho, A. A. R. & Coelho, L. D. S. (2004). Identifi-cação de Sistemas Dinâmicos Lineares. Florianópolis (Brasil): EDUFSC.

Costa Junior, A. G. et al. (2014). Utilização da Iden-tificação por Subespaços pelo Método MOESP, em um Manipulador Robótico. In: XVI Congre-so Latinoamericano de Control Automático (CLCA 2014), p. 678-683.

Craig, J. J. (2013). Robótica. São Paulo: Pearson. Garcia, C. (2009). Modelagem e Simulação de Pro-

cessos Industriais e de Sistemas Eletromecâni-cos. São Paulo: USP.

Johansson, R. et al. (2000). State-space system Iden-tification of Robot Manipulator Dynamics. Mechatronics, 10, p. 403-418.

Katayama, T. (2005). Subspace Methods for System Identification - A Realization Approach. Germa-ny: Springer.

Lewis, F. L. (2012). Optimal Control. Wiley. Ljung, L. (1999). System Identification: Theory for

the User. Englewood Cliffs (United States): Prentice-Hall.

Ljung, L. & Glad, T. (1994). Modeling of Dynamic Systems. Englewood Cliffs (United States): Prentice Hall.

Naidu, D. S. (2003). Optimal Control System. CRC Press.

Qin, S. J. (2006). An Overview of Subspace Identifi-cation. Computers and Chemical Engineering. 30. p. 1502-1513.

Sotomayor, O. A. Z. et al (2003). Model Reduction and Identification of Wastewater Treatment Plants – a subspace approach. Latin American Applied Research, 33, p. 135-140.

Van Overschee P. & De Moor, B. (1994). N4SID – Subspace Algorithms for the Identification of Combined Deterministic-stochastic Systems. Automatica. 30 (01), p. 75-93.

Van Overschee P. & De Moor, B. (1995). A Unify-ing Theorem for Three Subspace System Identi-fication Algorithms. Automatica. 31 (12), p. 1853-1864.

Van Overschee P. & De Moor, B. (1996). Subspace Identification for Linear System – Theory, Im-plementation, Applications. Doordrecht (Nether-lands): Kluwer.

Verdult, V. & Verhaegen, M. (2002). Subspace Iden-tification of Multivariable Linear Parameter-varying systems. Automatica. 38 (05), p. 805-814.

Verhaegen, M. (1993). Identification of the Deter-ministic Part of MIMO State Space Models Giv-en in Innovation Form from Input-output Data. Automatica. 30 (01), p. 61-74.

Viberg, M. (2002). Subspace-based State-space Sys-tem Identification. Circuits Systems Signal Pro-cessing. 21 (01), p. 23-37.