soma das soma das impedâncias soma das impedâncias conectadas ao forças aplicadas entre movimento

Modelagem e Análise de

Sistemas Elétricos em

Regime Permanente

Sérgio Haffner

http://slhaffner.phpnet.us/

[email protected]

[email protected]

Desenvolvido para ser utilizado como notas de aula para a disciplina de Análise de Sistemas de Potência (ASP).

Fevereiro 2008

Análise de Sistemas de Potência (ASP)

Introdução – Sérgio Haffner Versão: 3/3/2008 Página 4 de 4

Introdução

Estas notas de aula têm como objetivo apresentar, de forma resumida, o conteúdo integral da disciplina

introdutória na área de Sistemas de Energia para um curso em nível de graduação em Engenharia Elétrica

(parcial para uma disciplina em nível de pós-graduação em Engenharia Elétrica) que consiste na análise de

sistemas de energia elétrica em regime permanente senoidal. Estas notas não detalham em profundidade

todos os aspectos relacionados com o tema, mas podem ser utilizadas para balizar estudos nesta área, cuja

bibliografia em português não é muito abundante, em função da retirada dos títulos já esgotados dos

catálogos das editoras.

A análise de sistemas elétricos em regime permanente é de extrema importância, pois é desta forma que as

redes operam quase na totalidade do tempo. Nestas condições, busca-se que todos os equipamentos elétricos

(geradores, transformadores, linhas de transmissão, alimentadores, motores, etc.) estejam operando dentro de

seus limites (tensão, freqüência, potência, etc.) e, se possível, de forma ótima (visando maximizar a

segurança e minimizar o custo de geração, as perdas de transmissão, etc.).

Para efetuar esta análise, em cada condição de carga e geração possível para o sistema ou sub-sistema

elétrico, deve-se conhecer:

• O carregamento nas linhas de transmissão e nos transformadores, visando verificar se há sobrecarga

ou elementos ociosos;

• A potência gerada em cada unidade de geração, visando efetuar uma análise de custos;

• A potência consumida em cada unidade, visando efetuar projeções do crescimento do consumo;

• A tensão nos diversos pontos do sistema, para verificar se existem tensões muito acima ou abaixo

dos valores nominais;

• As perdas de transmissão, visando compara alternativas de alimentação das cargas;

• As conseqüências, em regime permanente, da perda de algum equipamento, visando verificar se o

estado de operação é seguro.

Desta forma, é possível verificar com objetividade a forma de operação que o sistema elétrico se encontra. A

avaliação destes indicadores é a base dos métodos empregados na definição das alterações necessárias para

modificar o ponto de operação do sistema com o objetivo melhorar sua forma de funcionamento em regime

permanente.

O conteúdo está dividido em oito capítulos, da seguinte forma.

No Capítulo I é feita uma revisão dos conceitos necessários da análise de circuitos em regime permanente

senoidal juntamente com a apresentação da notação empregada nos demais capítulos. Adicionalmente,

descrevem-se o sistema por unidade e a análise por fase, muito freqüente em sistemas de energia, quando o

sistema pode ser considerado equilibrado.

No Capítulo II é feita uma breve análise do balanço de potência e suas implicações com a magnitude da

tensão nas barras e com a abertura angular das linhas e dos transformadores. Ainda, descrevem-se as

equações do fluxo de carga em linhas de transmissão e transformadores em fase.

No Capítulo III descreve-se a forma pela qual os elementos que são conectados em um nó do sistema de

energia elétrica são modelados para análise por fase (aplicada para circuitos equilibrados).

Nos Capítulos IV e V o problema denominado Fluxo de Carga (ou Fluxo de Potência) não-linear que

consiste, basicamente, na determinação das tensões nodais (em módulo e fase) é formulado e resolvido.

No Capítulo VI é descrito o modelo linearizado para o problema do Fluxo de Carga, que consiste em uma

simplificação do modelo não-linear que é muito utilizada em estudos de planejamento.

Fabiano

Rectangle


Bibliografia – Sérgio Haffner Versão: 3/3/2008 Página 1 de 1

Bibliografia

1. Alcir J. Monticelli (1983). Fluxo de carga em redes de energia elétrica. Edgar Blücher.

2. Alcir J. Monticelli, Ariovaldo V. Garcia (2003). Introdução a sistemas de energia elétrica. Editora da

Unicamp.

3. Alcir Monticelli, Ariovaldo Garcia, Osvaldo Saavedra (1990). Fast decoupled load flow: hypothesis,

derivations and testing, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 4, No. 4, November, pp. 1425-1431.

4. Arthur R. Bergen, Vijay Vittal (2000). Power systems analysis. Prentice Hall.

5. Charles A. Gross (1986). Power system analysis. J. Wiley.

621.3191 G878p

6. Dorel Soares Ramos (1982). Sistemas elétricos de potência: regime permanente. Guanabara Dois.

621.3191 R175s

7. IEEE recommended practice for industrial and commercial power systems analysis (1997). IEEE.

621.31042 I42i

8. John J. Grainger, William D. Stevenson Jr. (1994). Power system analysis. McGraw-Hill.

621.3191 G743

9. J. Arrillaga, N. R. Watson (2001) Computer modelling of electrical power systems. John Willey & Sons

Ltd.

10. Hadi Saadat (1999). Power system analysis. McGraw-Hill, New York, 697p.

11. O. I. Elgerd (1981). Introdução à teoria de sistemas de energia elétrica. McGraw Hill do Brasil.

621.3191 E41ib (Edição 1981)

621.3191 E41ia (Edição 1978)

621.3191 E41i (Edição 1970)

12. Syed A. Nasar (1991). Sistemas eléctricos de potencia. McGraw-Hill.

13. Turan Gonen (1988). Modern power system analysis. J. Wiley.

621.3191 G638m

14. W. D. Stevenson Jr. (1986). Elementos de análise de sistemas de potência. McGraw-Hill.

621.3191 S847eb (edição de 1981)

621.3191 S847ea (edição de 1978)

Fabiano

Rectangle


Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 1 de 22

I – Introdução ao estudo de sistemas de potência

I.1 – Representação fasorial

Nos circuitos elétricos assintoticamente estáveis1, a análise do regime permanente senoidal pode ser

realizada através da simples operação com números complexos por intermédio da transformada fasorial. Na

análise fasorial, todas as correntes e tensões senoidais são representadas por números complexos que

quantificam a amplitude e o ângulo de fase das senóides, sendo a freqüência destas considerada

implicitamente.

Qualquer função do tipo senoidal pode ser representada pela função

( ) ( )φω += tGtg cos

através da escolha dos valores adequados para:

G – valor máximo (amplitude);

T

fπ

πω2

2 == – velocidade angular [rad/s];

f – freqüência [Hz];

T – período [s];

φ – ângulo de fase [rad].

A Figura I.1 apresenta o gráfico de uma função senoidal genérica, indicando os valores de G e φ.

t [rad]

g(t)

−φ

G

-G

ω

Figura I.1 – Função tipo senoidal.

Observar que quando o ângulo de fase φ é igual a 2π− , a função cosseno transforma-se em um seno,

conforme mostra a Figura I.2, ou seja, são válidas as seguintes relações:

+=

2sencos

πωω tt

−=

2cossen

πωω tt

1 Circuitos assintoticamente estáveis são aqueles que não apresentam nenhuma das raízes de sua equação

característica no eixo imaginário ou no semiplano direito do plano complexo. Neste caso, a resposta natural tende a

zero:

( ) 0lim =∞→

tynt

e a resposta completa tende à sua resposta forçada: ( ) ( ) ( ) ( )tytytyty ffntt =+=

∞→∞→limlim



π/2 ω t [rad]

cos sen

Figura I.2 – Relação entre as funções seno e cosseno.

Define-se como defasagem a diferença entre os ângulos de fases de duas funções do tipo senoidal de mesma

velocidade angular ω. Sendo ( ) ( )111 cos φω += tGtg e ( )

−+=

876 2

122 cos

φ

αφωtGtg , a defasagem entre ( )tg1 e

( )tg 2 é dada por ( ) ααφφφφ =−−=− 1121 , conforme ilustra a Figura I.3.

α

g1(t) g2(t)

ω t [rad]

Figura I.3 – Defasagem entre duas funções senoidais.

Assim, pode-se dizer que:

( )tg1 está adiantada em relação à ( )tg 2 do ângulo αααα e

( )tg 2 está atrasada em relação à ( )tg1 do ângulo αααα.

Considere a função senoidal geral:

( ) ( )φω += tYty cosmax (I.1)

Note que a função tem três parâmetros: maxY – amplitude

ω – velocidade angular

φ – ângulo de fase

Observar que qualquer função senoidal pode ser representada através da escolha adequada de maxY , ω e φ .

Utilizando a identidade de Euler: θθθ sencos je

j+=



( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ]

=

===+++=

+=+=

+

tj

Y

j

tjjtj

eeY

eeYeYtjYtY

tYtYty

ωφ

ωφφωφωφω

φωφω

48476

2Re2

ReResencosRe

cosRecos

max

maxmaxmaxmax

maxmax

( ) ( )tjeYty ωRe2= (I.2)

onde φje

YY

2

max= é definido como a representação fasorial de ( )ty ou a transformada fasorial da função

senoidal ( )ty .

Observar que a transformada fasorial transfere a função senoidal do domínio do tempo para o domínio dos números complexos, que também é chamada de domínio da freqüência, já que a resposta envolve

implicitamente uma função senoidal de freqüência ω.

Notar que Y contém 2/3 das informações de ( )ty a saber, maxY e φ . Considerando

2

maxYY = , o valor RMS

2

de ( )ty , tem-se:

φφ YYeY j

== (I.3)

A representação gráfica em um sistema coordenado de um fasor genérico encontra-se na Figura I.4.

φcosY

φsenY

φYY =

Im

Re

φ

Figura I.4 – Representação gráfica do fasor Y

Observar que o fasor é diferente de um vetor porque a posição angular do fasor representa posição no

tempo; não no espaço.

Resumo:

( ) ( )φω += tYty cosmax ou ( ) ( )tjeYty ωRe2=

φφ YYeY j

== Forma polar 2

maxYY =

φφ sencos jYYY += Forma retangular 2

maxYY =

2 “Root Mean Square” ou valor quadrático médio (eficaz).



I.2 – Impedância [ΩΩΩΩ] e admitância [ΩΩΩΩ-1 ou siemens]

A impedância Z de um componente ou circuito é a relação entre os fasores tensão e corrente (vide

convenção de sinais da Figura 1.5):

( )

=

=+==

∆

reatância

aresistênci

X

RjXR

I

VjZ ω (I.4)

A admitância Y de um componente ou circuito é o inverso de sua impedância:

( )( )

=

=+===

∆

iasusceptânc

acondutânci1

B

GjBG

V

I

jZjY

ωω (I.5)

Circuito linear

invariante em regime

permanente senoidal

( ) [ ]tjeVtv

ωRe2=

+

–

( ) [ ]tjeIti ωRe2=

( )Y

jZ1

=ω

Figura I.5 – Definição de impedância e admitância.

Um resumo das relações entre tensão e corrente para os elementos simples encontra-se na Tabela I.1.

Tabela I.1 – Relação tensão/corrente dos elementos simples.

Elemento Equações Relação de

fase

Forma fasorial:

( ) [ ]tjeIti

ωRe2=

( ) [ ]tjeVtv

ωRe2=

Diagrama fasorial

Relação no tempo

( )tv

+

–

( )ti

R

( ) ( )φω += tVtv cosmax

( ) ( )φω += tIti cosmax

( )ti e ( )tv

em fase IRV =

I

φ

V

i(t)

v(t)

( )tv

+

–

( )ti

L


( )

−+=

2cosmax

πφωtIti

( )ti atrasada

de ( )tv de 90°

ILjV ω=

LX L ω= I

φ

V

i(t)

v(t)

( )tv

+

–

( )ti

C


( )

++=

2cosmax

πφωtIti

( )ti adiantada

de ( )tv de 90°

ICj

Vω

1=

CX C

ω

1=

I

φ

V

i(t)

v(t)



I.3 – Associação de impedâncias

Para a associação série de impedâncias (vide Figura I.6), a impedância equivalente é dada pela soma das

impedâncias de cada um dos componentes, ou seja:

neq ZZZZ +++= K21 (I.6)

–

V

+

–

1V+ – I 2V+ – nV +

1Z 2Z nZ

V

+

–

I

eqZ ≡

Figura I.6 – Diagrama para associação série de impedâncias.

A expressão (I.6) pode ser demonstrada utilizando-se a Lei de Kirchhoff das Tensões, da forma como segue:

nnn

eq ZZZI

V

I

V

I

V

I

VVV

I

VZ +++=+++=

+++== KK

K21

2121LKT

Sabendo que Y

Z1

= , pode-se determinar a expressão da admitância equivalente da associação série, a partir

da expressão (I.6):

n

eq

neq

YYY

YYYYY 111

11111

21

21+++

=⇒+++=

K

K

Para a associação paralela de impedâncias (vide Figura I.7), a impedância equivalente é dada pelo inverso

da soma dos inversos das impedâncias de cada um dos componentes, ou seja:

n

eq

neq

ZZZ

ZZZZZ 111

11111

21

21+++

=⇒+++=

K

K (I.7)

V

+

–

I

1Z 2Z nZV

+

–

I

eqZ≡

1I 2I nI

Figura I.7 – Diagrama para associação em paralelo de impedâncias.

A expressão (I.7) pode ser demonstrada utilizando-se a Lei de Kirchhoff das Correntes, da forma como

segue:

nn

n

eq

ZZZZ

V

Z

V

Z

V

V

III

V

I

VZ

111

1

2121

21

LKC

+++

=

+++

=

+++

==

KKK

Novamente, sabendo que Y

Z1

= , pode-se determinar a expressão da admitância equivalente da associação

série, a partir da expressão (I.7):

neq YYYY +++= K21



I.4 – Potência complexa

Considere o sistema da Figura I.8 que se encontra em regime permanente senoidal.

+

)cos()( max φω += tVtv

)cos()( max θφω −+= tIti

-

)(tv

)(ti

φ

V

I

θ

Re

Im

φ

2

maxVV =

θφ −=

2

maxII

SISTEMA

Figura I.8 – Sistema em regime permanente senoidal.

A potência instantânea fornecida para o sistema é dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++== ttIVtitvtp coscosmaxmax (I.8)

mas ( ) bababa sensencoscoscos −=+ , daí

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θφωθφωθφωθφωθφω sensencoscossensencoscoscos +++=−+−−+=−+ ttttt (I.9)

Substituindo (I.9) em (I.8),

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )φωφωθφωθ

θφωθφωφω

++++=

=++++=

ttIVtIV

tttIVtp

sencossencoscos

sensencoscoscos

maxmax2

maxmax

maxmax (I.10)

Mas 2

2cos1cos2 a

a+

= e aaa cossen22sen = , logo:

( ) ( )[ ]

( ) ( )( )

2

22sensencos

22cos12

1cos2

φωφωφω

φωφω

+=++

++=+

ttt

tt

(I.11)

Aplicando (I.11) em (I.10), chega-se a:

( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen2

22cos1cos2

maxmaxmaxmax++++= t

IVt

IVtp

Definindo 2

maxVV = e

2

maxII = como os valores eficazes da tensão e da corrente senoidais,

VIIVIV

==

222

maxmaxmaxmax

chega-se à seguinte expressão:

( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen22cos1cos ++++= tVItVItp (I.12)

A forma de onda da potência instantânea dada por (I.12) apresenta uma parcela constante, igual a θcosVI , e

uma parcela variável e alternada variante no tempo, igual a ( ) ( )φωθφωθ 22sensen22coscos +++ tVItVI , cuja

freqüência corresponde exatamente ao dobro da freqüência da tensão e da corrente.

Quando a tensão está em fase com a corrente, os gráficos das funções tensão, corrente e potência

instantâneas são de acordo com a Figura a seguir. Observar que a função potência instantânea é oscilante e

apresenta sempre valores positivos.



0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

10Corrente em fase com a tensão

wt

v(t

), i

(t),

p(t

)

v(t)

i(t)

p(t)

Figura I.9 – Gráfico da potência no tempo – corrente em fase com a tensão.

Quando a corrente está atrasada de 90°°°° em relação à tensão, os gráficos das funções tensão, corrente e

potência instantâneas são de acordo com a Figura a seguir. Observar que a função potência é oscilante e

apresenta valor médio nulo.

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5Corrente atrasada de 90 graus

wt

v(t

), i

(t),

p(t

)

v(t)

i(t)

p(t)

Figura I.10 – Gráfico da potência no tempo – corrente atrasada de 90

o em relação à tensão.

Quando a corrente está adiantada de 90°°°° em relação à tensão, os gráficos das funções tensão, corrente e

potência instantâneas são de acordo com a Figura a seguir. Novamente, observar que a função potência é

oscilante e apresenta valor médio nulo.

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5Corrente adiantada de 90 graus

wt

v(t

), i

(t),

p(t

)

v(t)

i(t)

p(t)

Figura I.11 – Gráfico da potência no tempo – corrente adiantada de 90




Uma situação intermediária é aquela na qual a corrente está atrasada de um ângulo qualquer (por exemplo,

30°, conforme Figura a seguir). Neste caso a potência apresenta valores positivos e negativos, sendo a

predominância dos positivos.

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

10Corrente atrasada de 30 graus

wt

v(t

), i

(t),

p(t

)

v(t)

i(t)

p(t)

Figura I.12 – Gráfico da potência no tempo – corrente atrasada de 30


A partir da expressão (I.12) é fácil determinar o valor da potência ativa (eficaz ou útil, que produz trabalho)

que é igual ao valor médio da potência instantânea fornecida ao sistema:

( )[ ] ( )[ ]∫∫ ++++=∆TT

dttVItVIT

dttpT

P00

22sensen22cos1cos1

)(1

φωθφωθ

θcos VIP = [W] (I.13)

A potência reativa corresponde ao valor máximo da parcela em ( )φω 22sen +t da potência instantânea:

θθ sensenI VIVQ =∆ [var] (I.14)

para a qual adota-se a seguinte convenção3:

INDUTOR: “consome” potência reativa

CAPACITOR: “gera” potência reativa

A potência aparente é obtida pela combinação das potências ativa e reativa P e Q:

22 QPVIS +== [VA] (I.15)

As expressões (I.13), (I.14) e (I.15) sugerem uma relação de triângulo retângulo (similar ao triângulo das

impedâncias) na qual a potência aparente S é a hipotenusa, conforme ilustra a Figura I.13. S

P

jQ

IV ∠−∠=θ

S

P

jQ

IV ∠−∠=θ

Característica INDUTIVA Característica CAPACITIVA

Figura I.13 – Triângulo das potências.

3 Observar que para qualquer elemento ou combinação de elementos, a parcela representada pela potência reativa

apresenta valor médio nulo, ou seja, não existem geração nem consumo efetivo, na metade do ciclo o elemento absorve

energia que será devolvida na metade seguinte do ciclo. A convenção é adequada porque na metade do ciclo em que o

indutor está absorvendo energia o capacitor está devolvendo e vice-versa.



O fator de potência é obtido pela relação entre as potências ativa e aparente:

θθ

coscos

===VI

VI

S

PFP

Utilizando-se os fasores tensão e corrente,

θφ

φ

−=

=

II

VV

pode-se definir a potência complexa através do produto do fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente:

jQPjVIVIVIIVIVS +=+==+−=⋅= θθθθφφ sencos*

(I.16)

Notar que desta forma, o ângulo da potência só depende do ângulo entre a tensão e a corrente (θ), conforme

ocorre nas expressões (I.13), (I.14) e (I.15).

I.5 – Sentido do fluxo de potência

Considere os dois sistemas elétricos interligados mostrados na Figura I.14.

+

-

V

I

αVV =

βII =

SISTEMA A

SISTEMA B

Figura I.14 – Situação geral do fluxo de potência em circuitos CA.

De acordo com a notação da Figura I.14, a potência complexa fornecida para o Sistema B pelo Sistema A é

dada por:

( ) ( ) jQPjVIVIVIIVIVS +=−+−=−=−=⋅= βαβαβαβα sencos*

O sentido do fluxo de potência ativa P e reativa Q entre os dois sistemas para βαψ −= variando de 0 a

360o está mostrado na Figura I.15.

oo 900

:

:

<<

→

→

ψ

BA

BA

Q

P

oo 18090

:

:

<<

→

→

ψ

BA

AB

Q

P

oo 360270

:

:

<<

→

→

ψ

AB

BA

Q

P

oo 270180

:

:

<<

→

→

ψ

AB

AB

Q

P

P [W]

Q [var]

βαψ −=

αVV =

βII =

Figura I.15 – Sentido dos fluxos de potência ativa (P) e reativa (Q) entre os Sistemas A e B.



Na Figura I.15, observar que quando o ângulo de abertura é igual a 100o ( o100=ψ ), o valor de ψcos é

negativo e, portanto, o fluxo de potência ativa de A para B também é pois ψcosVIP = . Isto significa que o

fluxo de potência ativa neste caso é de B para A. Por outro lado, o valor de ψsen é positivo e, portanto, o

fluxo de potência reativa de A para B também é, pois ψsenVIQ = . Isto significa que o fluxo de potência

reativa neste caso é de A para B. Observar que dependendo do ângulo de abertura existente entre os fasores

tensão e corrente é possível qualquer combinação de fluxo de potências ativa e reativa entre os dois sistemas.

I.6 – Fonte trifásica ideal

Uma fonte trifásica ideal é constituída por três fontes de tensão em conexão estrela ou triângulo, conforme

ilustra a Figura I.16.

BNV

ANV+

+

N

CNV+

ABV

BCV

CAV

+

– +

–

–

+

(opcional)

A

B

C

ABV

BCV

CAV

+

+ +

ABV

BCV

CAV

+

–

–

–

+

+

N

(a) Conexão estrela (b) Conexão triângulo.

Figura I.16 – Fonte trifásica, ligação estrela.

As diferenças de potencial entre as fases e o neutro (referência) são denominadas tensões de fase; as

diferenças de potencial entre as fases 2 a dois são denominadas tensões de linha. Na seqüência ABC, o

sistema é formado pelas seguintes tensões de fase ( )CNBNAN VVV ,, e de linha

( )ACCACBBCBAAB VVVVVV −=−=−= ,, , ilustradas na Figura I.17:

0φ

VV AN = oo 30303 LBNANAB VVVVV ==−=φ

o120−=φ

VV BN oo 90903 −=−=−= LCNBNBC VVVVVφ

o120φ

VV CN = oo 1501503 LANCNCA VVVVV ==−=φ

Tensões de Fase (φ):

ANV

ω CNV

BNV

CNBNAN VVV ;;

ABVBCV

CAV

ANV

ω

CNV

BNV

ABV

BCV

CAV

Tensões de Linha (L):

CABCAB VVV ;;

CACBBA VVV ;;

BAV

CBV

ACV

Figura I.17 – Tensão de fase e de linha em um sistema trifásico simétrico (seqüência ABC).



A constante que relaciona a magnitude da tensão de fase com a de linha ( )φ

VVL 3= pode ser obtida,

conforme mostrado na Figura I.18.

ANV

BNV

BNANAB VVV −=

o120

o30

o30φ

VV

VVVV

L

ANANABL

3

330cos2

=

===o

BNV−

o60

Figura I.18 – Relação entre as tensões de fase e de linha.

I.7 – Carga trifásica ideal

A carga trifásica ideal é constituída por três impedâncias de igual valor conectadas em estrela ou triângulo,

conforme mostra a Figura I.19.

N

YZ

YZ

YZ

A

B

C

N

∆Z

∆Z

∆Z

A

B

C

(a) Ligação estrela. (b) Ligação malha ou triângulo.

Figura I.19 – Carga trifásica equilibrada.

A equivalência entre uma carga equilibrada conectada em estrela com outra em triângulo é:

YZZ 3=∆ (I.17)

I.8 – Potência complexa em circuitos trifásicos equilibrados

Para um sistema trifásico qualquer (a três ou quatro fios, ou seja, com ou sem condutor neutro), conforme o

ilustrado na Figura I.20, a potência complexa fornecida pelo Sistema A para o Sistema B é dada por:

333322221111

*

33

*

22

*

113 βαβαβαφ −+−+−=⋅+⋅+⋅= IVIVIVIVIVIVS NNNNNN

Substituindo iii βαθ −= e separando a parte real da imaginária, chega-se a:

( ) 33322211133 coscoscosRe θθθφφIVIVIVSP NNN ++==

( ) 33322211133 sensensenIm θθθφφIVIVIVSQ NNN ++==

φφφ 333 jQPS +=



1φ

2φ

3φ

1I

2I

3I

NI

NV 1

+

NV 2

+

NV 3

+

N

Sistema A

Sistema B

333

222

111

333

222

111

β

β

β

α

α

α

II

II

II

VV

VV

VV

NN

NN

NN

=

=

=

=

=

=

333

222

111

βαθ

βαθ

βαθ

−=

−=

−=

Figura I.20 – Sistema trifásico para a determinação da potência complexa.

O fator de potência médio da potência fornecida pelo Sistema A para o Sistema B é dado por:

φ

φ

3

3

médioS

PFP =

As potências aparentes fornecidas pelas fases são dadas por:

1121

211 IVQPS N=+=

2222

222 IVQPS N=+=

3323

233 IVQPS N=+=

e os fatores de potência desenvolvidos em cada uma das fases são dados por:

1

1

11 cosθ==

S

PFP

2

2

22 cosθ==

S

PFP

3

3

33 cosθ==

S

PFP

Quando o sistema trifásico é simétrico e alimenta uma carga equilibrada, os ângulos de defasagem entre os

fasores tensão e corrente das fases são iguais ( )θθθθ === 321 e as potências ativa, reativa e aparente totais

são dadas por:

θθφφ

cos3cos33 LLL IVIVP ==

θθφφ

sen3sen33 LLL IVIVQ ==

LLL IVIVS 333 ==φφ

sendo o fator de potência expresso por:

θ

φ

φ

φcos

3

3

3 ==S

PFP



Ainda, para um sistema trifásico simétrico alimentando uma carga equilibrada, tem-se4:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )θφωφω

θφωφω

θφωφω

−++=++=

−−+=−+=

−+=+=

oo

oo

120cos120cos

120cos120cos

coscos

maxmax

maxmax

maxmax

tItitVtv

tItitVtv

tItitVtv

CC

BB

AA

Utilizando a definição de potência instantânea, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++== ttIVtitvtp AAA coscosmaxmax (I.18)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −−+−+==oo 120cos120cosmaxmax ttIVtitvtp BBB (I.19)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++++==oo 120cos120cosmaxmax ttIVtitvtp CCC (I.20)

sendo a potência total dada por:

( ) ( ) ( ) ( )tptptptp CBA ++=φ3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[

( ) ( )]θφωφω

θφωφωθφωφωφ

−+++++

+−−+−++−++=

oo

oo

120cos120cos

120cos120coscoscos3

tt

ttttIVtp mm (I.21)

Das expressões (I.18), (I.19) e (I.20), têm-se5:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ]o

ooo

o

ooo

12022coscos2

1

24022coscos2

1120cos120cos

12022coscos2

1

24022coscos2

1120cos120cos

22coscos2

1coscos

−−++=

=−+++=−++++

+−++=

=−−++=−−+−+

−++=−++

θφωθ

θφωθθφωφω

θφωθ

θφωθθφωφω

θφωθθφωφω

t

ttt

t

ttt

ttt

Substituindo as expressões anteriores na expressão (I.21), chega-se a:

( ) ( ) ( ) ( )

θθθ

θφωθφωθφωθ

φ

φ

cos33cos2

3cos32

1

12022cos12022cos22coscos32

1

1

0

3

VIPIV

IV

tttIVtp

mmmm

mm

====

=

−−+++−++−++=

= 4444444444444 84444444444444 76oo

Deste modo, a potência trifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado6, através de tensões

simétricas, é constante. Assim, embora a potência instantânea fornecida por intermédio de cada uma das

fases seja variável, o somatório de todas as contribuições é constante.

4 Foi utilizada a seqüência ABC mas o resultado permanece válido para a seqüência ACB.

5 Lembrar que: ( ) ( )[ ]bababa ++−= coscos

2

1coscos

6 Observar que o resultado obtido pode ser estendido para qualquer sistema polifásico simétrico que alimente cargas

equilibradas, ou seja, a potência polifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado, alimentado por tensões

simétricas, é constante.



I.9 – Análise por fase e diagrama unifilar

No estudo do regime permanente do sistema de energia elétrica, utiliza-se a análise por fase pois o sistema é

considerado equilibrado, da geração ao consumo, ou seja:

a) as fontes do sistema são consideradas simétricas;

b) as impedâncias das fases são consideradas iguais e

c) as cargas são consideradas equilibradas.

Desta forma, o resultado (tensão, corrente, etc.) de uma fase pode ser utilizado para as demais desde que se

façam os ajustes de fase necessários.

Exemplo I.1 – Uma fonte trifásica, 2400 V, seqüência ABC, alimenta duas cargas conectadas em paralelo:

• Carga 1: 300 kVA, fator de potência igual a 0,8 indutivo e

• Carga 2: 144 kW, fator de potência igual a 0,6 capacitivo.

Se a Fase A é utilizada como referência angular (ou seja, o ângulo de fase de ANV é igual a zero),

determinar:

a) O circuito equivalente por fase (diagrama de impedância).

b) As correntes de linha das Fases A, B e C.

Solução Exemplo I.1:

a) Inicialmente, determina-se o fasor potência complexa referente a cada uma das cargas:

Carga 1: kVA 3001 carga

3 =φ

S

kW 2403008,01 carga

311 carga

3 =×=×=φφ

SFPP

( ) ( ) kvar 180240300 2221 carga3

21 carga3

1 carga3 =−=−=

φφφPSQ

( ) kVA 36,9300kVA 1802401 carga

3o

=+= jS φ

Carga 2: kW 1442 carga

3 =φ

P

kVA 2406,0

144

2

2 carga32 carga

3 ===FP

PS

φ

φ

( ) ( ) kvar 192144240 2222 carga3

22 carga3

2 carga3 −=−=−−=

φφφPSQ

( ) kVA 53,1240kVA 1921442 carga

3o

−=−= jS φ

Para a Fase A, tem-se:

Carga 1: ( ) kVA 36,9100kVA 60803

1 carga

31 o=+== j

SS A

φ

Carga 2: ( ) kVA 15380kVA 64483

2 carga

32 o,jS

S A −=−==φ



Solução Exemplo I.1 (continuação):

Conhecendo o valor da tensão de fase da Fase A, V 03

24000

3

oo==

LAN

VV , e a expressão da potência

desenvolvida na Fase A:

**

=⇒=

AN

AAAANA

V

SIIVS

pode-se determinar a corrente desenvolvida nas Cargas 1 e 2, como segue:

( ) A 30,437457A 36,92,720

36,9100000*

3

2400

*1

1j,

V

SI

AN

AA −=−=

=

=

o

o

o

( ) A 19,4664,34A 3,157,570

1,5380000*

3

2400

*2

2j

V

SI

AN

AA +==

−

=

=

o

o

o

Para o equivalente em estrela,

( ) Ω+=Ω=−

== 52,1136,15 36,92,1936,92,72

03

2400

1

1j

I

VZ

A

ANY

o

o

o

( ) Ω−=Ω−=−

== 2,194,14 3,15243,157,57

03

2400

2

2j

I

VZ

A

ANY

o

o

o

O circuito equivalente para a Fase A encontra-se na Figura I.21.

V 03

2400 o

AI

+

2

AI

1

AI

Ω 36,15

Ω 52,11j

Ω 4,14

Ω− 2,19j

Figura I.21 – Circuito equivalente para a Fase A.

b) De acordo com o diagrama da Figura I.21, a corrente de linha da Fase A é dada por:

( ) A 8,14,92A 89,238,9219,4664,3430,43745721 o

=+=++−=+= jjj,III AAA

Levando em conta a simetria do sistema trifásico e a seqüência ABC, tem-se:

A 2,11892,4A 1208,14,92 ooo−=−=BI

A 8,12192,4A 1208,14,92 ooo=+=CI

Observar que quando se realiza análise por fase é melhor empregar o circuito equivalente em estrela; se a

conexão do equipamento é em triângulo, pode-se converter para o seu circuito equivalente em estrela. Como

conseqüência, as linhas de baixo dos circuitos equivalentes por fase representam o neutro, as tensões são as

de fase e as correntes são de linhas (na conexão estrela, a corrente de fase é igual à corrente de linha).



Na Figura I.22, observa-se a representação de um sistema de energia elétrica através do diagrama unifilar, do

diagrama trifásico (trifilar) de impedâncias e do diagrama de impedância por fase. No diagrama unifilar é

possível representar a topologia do sistema (ligações), os valores das grandezas elétricas dos componentes e

sua forma de conexão. O diagrama trifilar de impedâncias representa o circuito elétrico equivalente ao

sistema de energia elétrica. O diagrama de impedância por fase representa uma simplificação do diagrama

trifásico sendo utilizado para determinar os valores das grandezas elétricas do sistema para uma fase

(posteriormente, este resultado é estendido para as demais fases).

G1

G2

1 2 3 4

T1 T2

Y-Y Y-Y

• • • •

(a) Diagrama unifilar.

• • • •

• • • •

• • •

• • •

• • •

• • •

• • • • • • •

• • • • • • •

•

•

•

•

(b) Diagrama trifilar de impedância.

• • •

• • •

(c) Diagrama de impedância por fase (em pu).

Gerador Transformador 1 Transformador 2 Carga e

Gerador 2

G1

G1

G1

G1

G2

G2

G2

G2

Linha de Transmissão

Figura I.22 – Representação do sistema de energia elétrica.



Exercício I.1 – Uma fonte trifásica, 13,8 kV, seqüência ABC, alimenta por intermédio de uma linha com

impedância série de ( )Ω+ 44 j , duas cargas conectadas em paralelo:

• Carga 1: 500 kVA, fator de potência igual a 0,8 indutivo e

• Carga 2: 150 kvar, capacitivo.

Se a Fase A é utilizada como referência angular (ou seja, o ângulo de fase de ANV é igual a zero),

determinar:

a) O circuito equivalente por fase (diagrama de impedância).

b) As correntes de linha das Fases A, B e C.

I.10 – O sistema por unidade (pu)

Freqüentemente, na análise de sistemas de energia elétrica ao invés de serem utilizadas as unidades originais

para as grandezas envolvidas (tensão, corrente, potência, etc.) são utilizadas unidades relativas (por unidade

ou, simplesmente, pu), obtidas através da normalização dos valores originais destas grandezas (em V, A, W,

etc.) por valores pré-estabelecidos para cada grandeza, denominados valores de base. Realizando esta

normalização em todas as grandezas do sistema, é possível:

• Manter os parâmetros do sistema elétrico dentro de uma faixa de valores conhecidos evitando, portanto,

erros grosseiros. Por exemplo, quando se utiliza o valor nominal da tensão como valor de referência

(valor de base), pode-se verificar a partir do valor normalizado da tensão (em pu) sua distância do valor

desejado (nominal). Valores em pu próximos a unidade significam proximidades do valor nominal;

valores de tensão muito abaixo ou acima de 1 pu representam condições anormais de operação.

• Eliminar todos os transformadores ideais do sistema elétrico.

• A tensão de operação do sistema permanece sempre próxima da unidade.

• Todas as grandezas possuem a mesma unidade ou pu (embora os valores de base sejam diferentes para

cada uma das grandezas).

Para realizar a transformação das grandezas para pu basta dividir o valor destas pelo seu valor de base, ou

seja:

basevalor

atualvalor pu emvalor = (I.22)

O valor de base deve ser um número real; o valor atual pode ser um número complexo (se for utilizada a

forma polar, transforma-se apenas a magnitude da grandeza, mantendo-se o ângulo na unidade original).

A grandeza de base definida para todo o sistema de energia elétrica é a potência elétrica, base3φS

(geralmente 100 MVA):

basebase3

base3

base 33

φφ

φ

φSS

SS =⇔= [MVA] (I.23)

A tensão base, baseV , geralmente corresponde à tensão nominal do sistema na região de interesse:

base base base

base 33

φφVV

VV L

L=⇔= [kV] (I.24)

A corrente base, baseI , e a impedância base, baseZ , são obtidas a partir da potência e da tensão de base:

base

base 3

base

base 3

base

base

base base 3

3

3

LLYL

V

S

V

S

V

SII

φ

φ

φ

φ==== [kA] (I.25)



base

base 3base base

33 L

L

V

SII

φ==

∆ [kA] (I.26)

base 3

2base

base

base

base

φ

φ

S

V

I

VZ L

Y

Y == [Ω] (I.27)

base 3

2base

base

base

base base 333φ

φ

S

V

I

VZZ L

Y

Y ===∆

[Ω] (I.28)

Têm-se, assim, duas classes de grandezas de base:

• Primárias – Nesta classe se incluem a potência base, definida para todo o sistema, e a tensão base, que

varia em função da tensão nominal da região em análise.

• Secundárias – Nesta classe se incluem a corrente base e a impedância base que são calculadas em

função da potência base (definida para todo o sistema) e dos valores nominais de tensão, utilizados como

tensão base na região em análise.

Existem outras formas de normalização possível, com definições diversas de grandezas nas classes grandezas

primárias e secundárias, entretanto esta é a forma usual na análise de sistemas de energia elétrica.

Uma operação bastante freqüente na modelagem de sistemas elétricos é a mudança de base de valores de

impedâncias. Um exemplo clássico da necessidade de mudança de base é a compatibilização do valor das

impedâncias dos transformadores, usualmente fornecidos em seu valor percentual, tendo como potência base

a potência nominal do equipamento e como tensões base as tensões terminais dos enrolamentos.

Para realizar a mudança de base de uma impedância na base 1, ( )1 basepu Z , para a base 2, ( )2 basepu Z , deve-se

proceder como segue:

( ) ( )

2 base

1 base1 basepu 2 basepu

Z

ZZZ = (I.29)

( ) ( )

1 base 3

2 base 3

2

2 base

1 base 1 basepu 2 basepu

φ

φ

S

S

V

VZZ

L

L

= (I.30)

Exemplo I.2 – Considere o sistema do Exemplo I.1. Supondo que kVA 300base3 =φ

S e kV 4,2base =LV ,

determinar:

a) As bases do sistema por unidade.

b) Desenhar o circuito equivalente por fase em valores por unidade.

c) Determinar o fasor corrente da Fase A em valores por unidade e em ampères.


a) Utilizando as expressões (I.23), (I.24), (I.25) e (I.27) tem-se:

kVA 1003

300000

3

base3

base ===φ

φ

SS

V 13863

2400

3

base base ===

LVV

φ

A 2,721386

100000

base

base

base ===

φ

φ

V

SIY

Ω=== 2,192,72

1386

base

base

base

Y

YI

VZ

φ



Solução Exemplo I.2 (continuação): b) De acordo com os valores obtidos no Exemplo I.1, tem-se:

( ) pu 6,08,0pu 36,912,19

36,92,19

base

11

pu jZ

ZZ

Y

YY +====

o

o

( ) pu 00,175,0pu 3,1525,12,19

3,1524

base

22

pu jZ

ZZ

Y

YY −=−=

−

==o

o

( ) pu 01pu 011386

03

2400

base

pu jV

VV

ANAN +====

o

o

φ

O circuito equivalente por fase em valores por unidade encontra-se na Figura I.23.

pu 01 o

pu AI

+

2

pu AI

1

pu AI

pu 8,0

pu 6,0j

pu 75,0

pu 00,1j−

Figura I.23 – Circuito equivalente para a Fase A em pu.

c) Do circuito da Figura I.23, tem-se:

( ) pu 6,08,0pu 87,3616,08,0

011

pu jj

I A −=−=+

=o

o

( ) pu 64,048,0pu 13,538,000,175,0

012

pu jj

I A +==−

=o

o

( ) pu 04,028,1pu 8,128,164,048,06,08,02

pu

1

pu pu jjIII AAA +==++−=+=o

( ) A 89,238,92A 8,192,472,28,128,1base pu jIII YAA +==×==oo

Observar que o valor obtido em ampères é o mesmo calculado no Exemplo I.1.

Exemplo I.3 – A Figura I.24 mostra o diagrama unifilar de um sistema elétrico trifásico.

G1

1 2 3 4 T1: 12 : NN

Y-Y Y-Y

T2: ′′

21 : NN

2,4 kV 24 kV 12 kV

1000 A

Figura I.24 – Diagrama unifilar do Exemplo I.3.

Considere que o comprimento da linha entre os dois transformadores é desprezível, que a capacidade do

gerador φ3 é de 4160 kVA (2,4 kV e 1000 A), que este opera em condição nominal ( )A 1000=LI

alimentando uma carga puramente indutiva. A potência nominal do transformador trifásico T1 é 6000 kVA

(2,4/24 kV Y/Y) com reatância de 0,04 pu. T2 tem capacidade nominal de 4000 kVA, sendo constituído por

um banco de três transformadores monofásicos (24/12 kV Y/Y) com reatância de 4% cada. Determinar:



a) A potência base.

b) A tensão de linha base.

c) A impedância base.

d) A corrente base.

e) Resuma os valores base em uma tabela.

f) Os valores das correntes em A.

g) A corrente em pu.

h) O novo valor das reatâncias dos transformadores considerando sua nova base.

i) O valor pu das tensões das Barras 1,2 e 4.

j) A potência aparente nas Barras 1,2 e 4.


a) A potência base é selecionada arbitrariamente como: kVA 2080base 3 =φ

S .

b) Para o circuito em 2,4 kV arbitra-se o valor de kV 5,2base =LV . As demais tensões de base são

calculadas utilizando as relações de transformação de T1 e T2:

210

2

1

2

1=

′

′

=

N

N

N

N

Assim, para os demais circuitos:

Circuito em 24 kV: kV 25base =LV

Circuito em 12 kV: kV 5,12base =LV

c) As impedâncias de base são calculadas a partir dos valores base da potência e da tensão:

Circuito em 2,4 kV: Ω=== 005,32080000

25002

base 3

2base

base

φS

VZ L

Y

Circuito em 24 kV: Ω=== 5,3002080000

250002

base 3

2base

base

φS

VZ L

Y

Circuito em 12 kV: Ω=== 1,752080000

125002

base 3

2base

base

φS

VZ L

Y

d) As correntes de base são calculadas a partir dos valores base da potência e da tensão:

Circuito em 2,4 kV: A 48025003

2080000

3 base

base 3

base ===

L

LV

SI

φ

Circuito em 24 kV: A 48250003

2080000

3 base

base 3

base ===

L

LV

SI

φ


2080000

3 base

base 3

base ===

L

LV

SI

φ

Caso fossem escolhidos outros valores base nos itens (a) e (b), os valores calculados para a impedância e

corrente base poderiam ser diferentes dos valores obtidos nos itens (c) e (d).




e) Os valores base estão sumarizados na Tabela I.2.

Tabela I.2 – Valores base do Exemplo I.3.

[ ]kV NOMINAL LV [ ]kV base LV [ ]Ω base YZ [ ]A base LI

2,4 2,5 3,005 480

24 25 300,5 48

12 12,5 75,1 96

kVA 2080base 3 =φ

S

f) Conhecendo-se a corrente que sai do gerador A 1000kV 4,2

=LI , pode-se determinar os valores das

correntes que circulam na linha e na carga:


1kV 4,2

1

2kV 24=== LL I

N

NI


2kV 24

2

1kV 5,12==

′

′

= LL IN

NI

g) A corrente por unidade é a mesma para todos os circuitos:

Circuito em 2,4 kV: pu 08,2480

1000kV 4,2

base

kV 4,2

pu ===

L

LL

I

II

Circuito em 24 kV: pu 08,248

100kV 24

base

kV 24

pu ===

L

LL

I

II

Circuito em 12 kV: pu 08,296

200kV 5,12

base

kV 5,12

pu ===

L

LL

I

II

Observar que o valor em pu obtido neste item poderia ser outro caso fossem escolhidos outros valores de

base nos itens (a) e (b).

h) Utilizando a expressão de conversão de base, considerando que os dados do transformador se encontram

na base deste (base 1: valores nominais de potência e tensão), tem-se:

( ) ( ) pu 0128,06000000

2080000

2500

240004,0

2

1 base 3

2 base 3

2

2 base

1 base 1 basepu T1pu jj

S

S

V

VZZ

L

L=

=

=

φ

φ

( ) ( ) pu 0192,04000000

2080000

12500

1200004,0

2

1 base 3

2 base 3

2

2 base

1 base 1 basepu T2pu jj

S

S

V

VZZ

L

L=

=

=

φ

φ

Verificar que o resultado é o mesmo para o lado de alta tensão.

i) A Figura I.25 apresenta o diagrama de impedância por fase do sistema da Figura I.24, indicando os

fasores tensão de interesse.

+

–

+

–

+

–

+

–

• •

G1

pu 0128,0T1 jZ = pu 0192,0T2 jZ =

pu 08,2=I

• •

1 2 3 4

1V 2V 3V 4V

Figura I.25 – Diagrama de impedância por fase (em pu) do sistema da Figura I.24.




Para o gerador, que opera em tensão nominal, tem-se:

pu 096,02500

02400

base

NOMINAL 1

o

o

===

L

L

V

VV

Considerando que a corrente que circula no circuito está atrasada de 90o em relação à tensão (pois o circuito

é constituído exclusivamente por reatâncias indutivas):

pu 093,09008,20128,0096,01132ooo

=−×−=−== jIZVVV T

( ) ( ) pu 089,09008,20192,00128,0096,0211224ooo

=−×+−=+−=−= jjIZZVIZVV TTT

j) A potência complexa pode ser obtida a partir dos fasores tensão e corrente:

[ ]

[ ]

[ ] pu 85,1pu 9085,19008,2089,0

pu 93,1pu 9093,19008,2093,0

pu 00,2pu 9000,29008,2096,0

4

**

444

2

**

2232

1

**

111

=⇒=−==

=⇒=−===

=⇒=−==

SIVS

SIVSS

SIVS

ooo

ooo

ooo

Observar que a potência aparente entregue pelo gerador é de 2,00 pu e que na carga chega é de 1,85 pu,

sendo a diferença “consumida”7 pelas reatâncias dos transformadores.

Exercício I.2 – Considere o sistema do Exercício I.1. Supondo que kVA 100base3 =φ

S e kV 8,13base =LV ,

determinar:

a) As bases do sistema por unidade.

b) Desenhar o circuito equivalente por fase em valores por unidade.

c) Determinar o fasor corrente da Fase A em valores por unidade e em ampères.

7 De acordo com a convenção de sinais para potência reativa, os indutores consomem e os capacitores geram.


Considerações operacionais sobre os sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 19/5/2008 Página 1 de 22

II – Considerações operacionais sobre os sistemas de potência

O objetivo fundamental de um sistema de energia elétrica é fornecer energia para as cargas existentes em

uma determinada região geográfica. Quando o sistema é adequadamente planejado e operado, deve atender

aos seguintes requisitos:

• Fornecer energia nos locais exigidos pelos consumidores.

• Como a carga demandada pelos consumidores varia ao longo do tempo (horas do dia, dias da semana e

meses do ano), o sistema deve estar apto a fornecer potências ativa e reativa variáveis, conforme esta

demanda.

• A energia fornecida deve obedecer a certas condições mínimas, relacionadas com a “qualidade”. Entre os

fatores que determinam esta qualidade se destacam: freqüência, magnitude da tensão, forma de onda e

confiabilidade.

• O sistema deve buscar custos mínimos (econômicos e ambientais).

Neste capítulo, serão descritos os mecanismos que atuam no controle das potências ativa e reativa do sistema

de energia elétrica.

II.1 – Capacidade de transmissão

Considere uma linha de transmissão do sistema elétrico, representada pela sua reatância série kmx , conectada

entre duas barras, conforme mostrado na Figura II.1.

k kmIkmkm jxZ = m

kkk VV θ= mmm VV θ=

kmS

Figura II.1 – Linha de transmissão do sistema elétrico.

Os fluxos de corrente kmI e potência kmS podem ser obtidos a partir dos fasores tensão das barras k e m

( kkk VV θ= e mmm VV θ= , respectivamente):

km

mk

km

mkkm

jx

VV

Z

VVI

−=

−=

( ) ( ) ( )

( )[ ]

km

kmkmmkk

km

kmmkk

km

mkmkk

km

mmkkk

km

mkkj

j

km

mk

VV

kk

km

mkk

km

mkkkmkkm

x

jVVVj

x

VVVj

x

VVVj

x

VVVj

xj

VVVj

jx

VVVV

jx

VVV

jx

VVVIVS

kk

θθ

θθθθθ

sencos2

222

2

*2*****

*

22

+−=

=

−

=

−−

=

−−

=

=−

−

=−

−=

−

−=

−==

×

==

876

( )

km

kmmkkkmmkkm

x

VVVjVVS

θθ cossen 2−+

= (II.1)



Quando todas as tensões das expressões anteriores correspondem aos valores de linha em kV e reatância

estiver em Ω, todas as potências obtidas serão os valores trifásicos dados em MW e Mvar. Obviamente, por

outro lado, quando todas as grandezas estão representadas em pu, os resultados das expressões anteriores

também estarão em pu (neste caso não há distinção entre valores de fase/linha e por fase/trifásico).

Definindo mkkm θθθδ −== , como a abertura angular da linha de transmissão, e separando as partes real e

imaginária, chega-se a:

δθ sensenRekm

mkkm

km

mkkmkm

x

VV

x

VVSP === (II.2)

km

mkk

km

kmmkkkmkm

x

VVV

x

VVVSQ

δθ coscosIm

22−

=−

== (II.3)

As equações (II.2) e (II.3) descrevem a forma pela qual as potências ativa e reativa são transferidas entre

duas barras de um sistema. De acordo com (II.2), pode-se observar que para valores constantes1 de tensões

terminais kV e mV o fluxo de potência ativa obedece à seguinte expressão:

δsenmaxkmkm PP =

sendo km

mkkm

x

VVP =

max o maior valor de potência ativa transmitida pela linha de transmissão km (capacidade de

transmissão estática) ou seu limite de estabilidade estática, somente atingido quando 1sen ±=δ , ou seja,

quando o90±=δ . Assim, a potência ativa transmitida por uma linha de transmissão está intimamente

relacionada com sua abertura angular δ, conforme ilustra a Figura II.2.

-150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150

-100

-50

0

50

100

[ ]max de % kmkm PP

][ okmθδ =

Potência

transmitida de

maneira estável

de m para k

Potência

transmitida de

maneira estável

de k para m

Região de

instabilidade

Região de

instabilidade

Figura II.2 – Potência ativa em uma linha de transmissão em função de sua abertura angular.

1 Observar que as tensões de operação em regime permanente dos sistemas de energia elétrica, usualmente, não sofrem

variações acentuadas e permanecem próximas aos seus valores nominais.



A capacidade de transmissão de uma linha é proporcional ao quadrado da tensão de operação e inversamente

proporcional à sua reatância. Tais características são muito importantes na especificação das linhas de

transmissão, ou seja, na definição de suas características nominais (nível de tensão, geometria das torres e

condutores). Entretanto, na prática, o sistema opera longe do limite de estabilidade estática, pois à medida

que nos aproximamos deste limite o sistema torna-se eletricamente fraco, ou seja, cada vez são necessários

maiores incrementos no ângulo de abertura para um mesmo incremento na potência transmitida. Assim,

raramente as linhas operam com ângulos superiores a 30° ou 45°.

Exemplo II.1 – Determinar a capacidade de transmissão estática de duas linhas de transmissão cujo

comprimento é de 200 km:

• Linha 1: 230 kV, 1 condutor por fase com reatância 0,5 Ω/km.

• Linha 2: 765 kV, 4 condutores por fase com reatância 0,35 Ω/km.

Solução Exemplo II.1: Para ambas as linhas, consideram-se que as tensões terminais são iguais aos seus

valores nominais.

Para a Linha 1, cuja reatância total é igual a Ω=×= Ω 100km 2005,0 km1x , a capacidade de transmissão

trifásica é de:

( )

MW 529 100

kV 2302

1

11max1 =

Ω==

x

VVP mk

Para a Linha 2, cuja reatância total é igual a Ω=×= Ω 70km 20035,0 km2x , a capacidade de transmissão

trifásica é de:

( )

MW 8360 70

kV 7652

2

22max2 =

Ω==

x

VVP mk

Desta forma, a linha de 765 kV é capaz de transportar o equivalente a mais de 15 linhas de 230 kV.

II.2 – Dependência da carga com a tensão e freqüência

Embora, individualmente, as cargas existentes no sistema elétrico sejam altamente aleatórias, quando

concentradas por conjuntos de consumidores apresentam caráter previsível. Quanto maior o número de

cargas agrupado, maior será a possibilidade de realizar tal previsão. Além disto, as cargas concentradas

variam com o tempo de maneira também previsível, em função da hora do dia (horário de maior consumo e

horário de menor consumo), do dia da semana (dia útil, final de semana e feriados) e das estações do ano,

conforme ilustrado na Figura II.3 que representa a curva de carga diária de um alimentador.

0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

4.000

00:00 01:00 02:00 03:00 04:00 05:00 06:00 07:00 08:00 09:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00

Alimentador RS--P 16/10/2002 (quarta-feira) kWAlimentador RS--Q 16/10/2002 (quarta-feira) kvar

Figura II.3 – Curva de carga de um alimentador.

Fabiano

Rectangle



Considere o seguinte sistema, sem perdas ativas, no qual a tensão da barra k é mantida constante e igual a

kV , a impedância da linha é kmkm jxZ = , conforme mostrado na Figura II.5.

k kmIkmkm jxZ = m

o0kk VV = mmm VV θ=

jQPS +=

Figura II.5 – Sistema de duas barras.

Para o sistema da Figura II.5, a tensão na barra m pode ser obtida por:

kmkmkkmkmkm IjxVZIVV −=−= (II.8)

Supondo que as perdas de potência reativa na linha sejam desprezíveis, a potência entregue para a carga é a

mesma que está sendo transmitida de k para m e a corrente pela linha é dada por:

⇒==*

kmkkm IVSSkkkk

km

V

jQP

V

jQP

V

jQP

V

SI

−=

−=

−=

≈

o0*

*

(II.9)

Substituindo (II.9) em (II.8), tem-se a seguinte expressão, cujo diagrama fasorial encontra-se na Figura II.6:

PV

xjQ

V

xV

V

jQPjxVV

k

km

k

kmk

I

k

km

V

km

kmk

−−=−

−=

48476o0

kmkm Ijx

o0kk VV =

QV

x

k

km

kmI

mmm VV θ=

PV

xj

k

km

Figura II.6 – Diagrama fasorial do sistema de duas barras.

Conclui-se, daí, que:

• Uma variação na potência ativa P afeta o fasor queda de tensão que é perpendicular a kV , afetando

significativamente a fase do fasor mV .

• Uma variação na potência reativa Q afeta o fasor queda de tensão que está em fase com kV , afetando

significativamente o módulo do fasor mV .

Exercício II.1 – Considerando o sistema de duas barras da Figura II.5, completar a Tabela II.1 com o

diagrama fasorial correspondente a cada uma das situações de carga (P e Q podendo ser positivos ou

negativos) e sinal da reatância da linha de transmissão (indutiva, com 0>kmx , ou capacitiva, com 0<kmx ).

Representar, no mínimo os fasores kV , kmI , mV e suas componentes.



Tabela II.1 – Diagramas fasoriais do Exercício II.1.

0>kmx 0<kmx

0>Q

o0kk VV =

o0kk VV =

0>P

0<Q

o0kk VV =

o0kk VV =

0>Q

o0kk VV =

o0kk VV =

0<P

0<Q

o0kk VV =

o0kk VV =

Exercício II.2 – Efetuar análise similar à realizada na Seção II.4, supondo que a impedância da linha seja

igual a kmkmkm jxrZ += . Considerar três casos distintos kmkm xr >> , kmkm xr ≈ e kmkm rx >> .



II.5 – Expressões do fluxo de potencia em uma linha de transmissão

Considere uma linha de transmissão representada pelo seu equivalente π (equivalente por fase em pu),

mostrado na Figura II.7 que é definido por três parâmetros: a resistência série kmr ; a reatância série kmx e a

susceptância em derivação (shunt) shkmb .

k kmI kmr kmjx

shkmjb sh

kmjb

m mkII


Figura II.7 – Modelo equivalente π de uma linha de transmissão.

A impedância e admitância do elemento série são dadas por:

kmkmkm jxrZ +=

2222

1

kmkm

km

kmkm

km

kmkm

kmkmkm

xr

xj

xr

r

jxrjbgY

+

−+

+=

+=+=

Para uma linha de transmissão, kmr e kmx são positivos (portanto, kmg é positivo e kmb é negativo) e o

elemento em derivação, shkmb , também é positivo em função de representar a capacitância linha/neutro da

linha de transmissão.

As correntes kmI e mkI são obtidas a partir dos fasores tensão das barras k e m ( kkk VV θ= e

mmm VV θ= , respectivamente):

( ) ( ) mkmkshkmkmk

shkmmkkmkm VYVjbYVjbVVYI −+=+−= (II.10)

( ) ( ) mshkmkmkkmm

shkmkmkmmk VjbYVYVjbVVYI ++−=+−= (II.11)

A expressão do fluxo de potência complexa da barra k para a barra m é dada por:

( )[ ]

**2*****

**

mkkmkshkmkmmkmk

shkmkmk

mkmkshkmkmkkmkkmkmkm

VVYVjbYVYVjbYV

VYVjbYVIVjQPS

−

−=

−

−=

−+==+=

Sabendo que mkmkmk VVVV θθ −=*

e definindo mkkm θθθ −= ,

( )[ ] ( )

( )[ ] ( )( )kmkmkmkmmkkshkmkmkm

kmmkkmkmkshkmkmkmkm

jjbgVVVbbjg

VVjbgVbbjgS

θθ

θ

sencos2

2

+−−+−=

−−+−= (II.12)

Separando as partes real e imaginária, chega-se a:

( )kmkmkmkmmkkmkkm bgVVgVP θθ sencos2+−= (II.13)

( ) ( )kmkmkmkmmk

shkmkmkkm bgVVbbVQ θθ cossen2

−−+−= (II.14)

Analogamente, para determinar o fluxo de potência complexa da barra m para a barra k:



( )[ ]

**2*****

**

kmkmmshkmkmkkmm

shkmkmm

kkmmshkmkmmmkmmkmkmk

VVYVjbYVYVjbYV

VYVjbYVIVjQPS

−

−=

−

−=

−+==+=

cujas partes real e imaginária são:

( )mkkmmkkmmkkmmmk bgVVgVP θθ sencos2+−= (II.15)

( ) ( )mkkmmkkmmk

shkmkmmmk bgVVbbVQ θθ cossen2

−−+−= (II.16)

O diagrama fasorial da linha de transmissão é mostrado na Figura II.8.

IjxkmkV

mV

kmV

I

Irkm

kmθ

Figura II.8 – Diagrama fasorial da linha de transmissão.

As perdas de potência ativa e reativa em uma linha de transmissão podem, então, ser determinadas somando-

se, respectivamente, as expressões (II.13) com (II.15) e (II.14) com (II.16), ou seja:

( ) kmkmmkkmmkmkkm gVVgVVPPP θcos222

perdas −+=+=

( )( ) kmkmmkshkmkmmkmkkm bVVbbVVQQQ θcos2

22perdas +++−=+=

Exercício II.3 – Mostrar que ( )2

perdaskmmkkm IrPP =+ .

As expressões (II.10) e (II.11), podem ser arranjadas de outra forma, tendo em vista possibilitar a

representação da linha de transmissão por um quadripolo, conforme mostrado na Figura II.9.

kmI mkI


+

–

+

–

⋅

=

km

k

mk

m

I

V

DC

BA

I

V

Figura II.9 – Linha de transmissão representada por um quadripolo.

Isolando mV em (II.10), chega-se a:

( )[ ] ( ) kmkmkshkmkmkm

km

k

km

shkm

kmkshkmkm

km

m IZVjbZIY

VY

jbIVjbY

YV −+=−

+=−+= 1

11

1 (II.17)

Em (II.11), substituindo mV , pela expressão (II.17), tem-se:

( ) ( )

( ) km

km

shkm

k

km

shkmsh

kmshkm

shkmkm

km

shkm

kkm

km

shkmsh

kmkmshkmkm

kkmkm

km

shkmkm

k

km

shkmsh

kmkmkkm

V

km

km

k

km

shkmsh

kmkmmk

IY

jbV

Y

jbjbjbjbI

Y

jbVY

Y

jbjbYjbY

VYIY

jbYV

Y

jbjbYVYI

YV

Y

jbjbYI

m

+−

++=

+−

−+++=

=−+

−

++=−

−

++=

11

11

1

4444 84444 76

Fabiano

Rectangle

Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente

O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 1 de 27

IV – O transformador

Os transformadores de força são os equipamentos utilizados para viabilizar a transmissão de energia elétrica

em alta tensão. Desta forma, são instalados nas usinas de geração, para elevar a tensão em níveis de

transmissão (no Brasil de 69 kV a 750 kV), nas subestações dos centros de consumo (subestações de

distribuição ou subestações de grandes consumidores), para rebaixar o nível de tensão em níveis de

distribuição (tipicamente 13,8 e 23 kV) e também nas subestações de interligação para compatibilizar os

diversos níveis de tensão provenientes das diversas linhas de transmissão que aportam.

Para se ter uma noção da importância destes equipamentos no setor elétrico, apresenta-se o Quadro IV.1 no

qual a potência instalada em subestações corresponde aos equipamentos de transformação.

Quadro IV.1 – Potência instalada em subestações do setor elétrico brasileiro.

POTÊNCIA INSTALADA EM SUBESTAÇÕES - MVA

Em 31.12 2001

1999 2000 2001 Entradas Retiradas

25 kV/outras (1) 74.196,0 75.109,0 75.109,0 0,0 0,069 kV/outras 18.777,1 18.902,1 19.094,4 192,3 0,088 kV/outras 5.717,2 5.717,2 5.717,2 0,0 0,0138 kV/outras 46.251,6 46.707,1 47.384,0 676,9 0,0230 kV/outras 34.732,7 35.928,7 36.779,7 851,0 0,0345 kV/outras 33.610,4 34.480,4 34.480,4 0,0 0,0440 kV/outras 15.137,0 15.437,0 15.437,0 0,0 0,0500 kV/outras 47.636,9 49.538,9 53.510,9 3.972,0 0,0750 kV/outras 16.200,0 16.750,0 18.250,0 1.500,0 0,0

(1) Apenas transformadores elevadores de usinas

Fonte: Boletim Semestral do SIESE Síntese 2001 (disponível em: http://www.eletrobras.gov.br/mercado/siese/).

O objetivo deste capítulo é a definição do modelo do transformador para estudos de transmissão de potência

elétrica em regime permanente, ou seja, considerando tensões e correntes senoidais em freqüência industrial.

Além disto, considera-se que os transformadores operam em condições equilibradas. Desta forma, os

modelos e resultados apresentados a seguir não se aplicam a estudos de transitórios de alta freqüência, de

curto-circuito ou de harmônicos.

O modelo dos transformadores de força para estudos de fluxo de potência são similares aos transformadores

de menor porte, desconsiderando-se os efeitos da corrente de magnetização.

IV.1 – Transformador ideal de dois enrolamentos

Em um transformador ideal considera-se que a resistência elétrica dos enrolamentos é nula (logo não existe

queda de tensão na espira em função desta resistência e a tensão induzida pela variação do fluxo é igual à

tensão terminal) e que a permeabilidade do núcleo é infinita (portanto todo o fluxo fica confinado ao

núcleo e enlaça todas as espiras). Levando em conta as polaridades indicadas na Figura IV.1, têm-se as

seguintes relações entre as tensões terminais:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tdt

dNt

dt

dNtv

tdt

dNt

dt

dNtv

m

m

φφ

φφ

2222

1111

==

==

Assim, a relação entre as tensões terminais é dada por:

( )

( ) 2

1

2

1

N

N

tv

tv= (IV.1)



( )ti1

( )tv1

+

–

N1 espiras ( )tmφ

( )φ

( )tv2

+

–

( )ti2

N2 espiras

Fluxo em 1:

( ) ( )tt mφφ =1

Fluxo em 2:

( ) ( )tt mφφ =2

Figura IV.1 – Transformador ideal de dois enrolamentos.

Como o transformador é ideal, a potência instantânea de entrada, ( )tp1 , é igual a potência instantânea de

saída, ( )tp2 pois as perdas são desprezíveis, ou seja:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )titvtitvtptp 221121 ⋅=⋅⇒=

logo,

( )

( )

( )

( ) 1

2

1

2

2

1

N

N

tv

tv

ti

ti== (IV.2)

As expressões (IV.1) e (IV.2) definem o modo de operação dos transformadores ideais.

Os enrolamentos onde se ligam as fontes de energia e as cargas são geralmente denominados primário e

secundário, respectivamente.

De forma alternativa, as relações (IV.1) e (IV.2) podem ser obtidas levando-se em consideração que um

transformador ideal constitui um caso particular de circuitos magneticamente acoplados no qual o coeficiente

de acoplamento entre os enrolamentos é igual a unidade, ou seja, 1=K . Para as polaridades indicadas na

Figura IV.2, são válidas as seguintes expressões:

( ) ( ) ( )tidt

dMti

dt

dLtv 2111 −= (IV.3)

( ) ( ) ( )tidt

dLti

dt

dMtv 2212 −= (IV.4)

( )

dt

tdiM 2

1L

+

–

+

2L

+

–

•

( )ti1

( )tv1

+

–

•

( )ti2

( )tv2

+

–

K=1

( )tv1 ( )tv2

( )ti1 ( )ti2

( )

dt

tdiM i

21

21

LLM

LLKM

=

=

+

• •

21 : NN

Figura IV.2 – Transformador ideal representado por circuito magneticamente acoplado.

Isolando ( )tidt

d2 em (IV.4) e substituindo em (IV.3), tem-se:

( ) ( ) ( )

−= tvti

dt

dM

Lti

dt

d21

2

2

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tvL

Mti

dt

d

L

MLtvti

dt

dM

LMti

dt

dLtv 2

2

1

2

2

121

2

111

1+

−=

−−= (IV.5)



Como 1=K , pode-se escrever:

⇒=⇒= 212

21 LLMLLM 02

2

1 =−L

ML (IV.6)

⇒=⇒==22

21

22

1

2

21

2

222

211

N

N

L

M

L

L

L

LL

L

M NL

NL

α

α

2

1

2 N

N

L

M= (IV.7)

pois as auto-indutâncias são proporcionais ao quadrado do número de espiras ( )

( )

=

ti

tNL

1

111

φ, com

( ) ( )tiNt 111 P=φ , sendo P a permeância do espaço atravessado pelo fluxo, então ( )[ ]

( )

==

21

1

1111 P

PN

ti

tiNNL .

Substituindo (IV.6) e (IV.7) na expressão (IV.5), chega-se a expressão (IV.1):

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) 2

1

2

12

2

12

2

111 0

N

N

tv

tvtv

N

Ntv

N

Nti

dt

dtv =⇒=+=

IV.1.1 – Transformador ideal em regime permanente senoidal

A Figura IV.3 mostra um transformador ideal, em regime permanente senoidal.

•

1I 2I

Transformador Ideal

•

Ideal

1V

+

–

2V

+

–

21 : NN

Figura IV.3 – Transformador ideal em regime permanente senoidal.

Considerando as polaridades indicadas na Figura IV.3 e as expressões gerais (IV.1) e (IV.2), o regime

permanente senoidal do transformador ideal pode ser descrito por:

2

1

2

1

N

N

V

V= ⇒ 1

1

22 V

N

NV =

1

2

2

1

N

N

I

I= ⇒ 1

2

12 I

N

NI =

fazendo 1

2

N

Na = , a relação de espiras do transformador ideal, pode-se escrever:

12 VaV = ⇒ 211

Va

V =

121

Ia

I = ⇒ 21 IaI =



Exemplo IV.1 – No circuito da Figura IV.3, 20001 =N , 5002 =N , V 012001o

=V e A 3051o

−=I ,

quando uma impedância 2Z é ligada ao secundário. Determinar 2V , 2I , 2Z e a impedância ref

2Z que é

definida como sendo o valor de 2Z referido ao primário do transformador (impedância refletida).

Solução Exemplo IV.1: Supondo que o transformador é ideal, tem-se:

V 0300012002000

5001

1

22

oo=== V

N

NV

A 3020305500

20001

2

12

oo−=−== I

N

NI

Pela definição de impedância, tem-se:

Ω=−

== 30153020

0300

2

22

o

o

o

I

VZ

Ω=−

== 30240305

01200

1

1ref

2o

o

o

I

VZ

ou

Ω=

=

=

=== 302403015

500

20002

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1ref

2ooZ

N

N

I

V

N

N

IN

N

VN

N

I

VZ

A expressão obtida no Exemplo anterior

2

2

2

1ref

2 ZN

NZ

=

é empregada na reflexão de impedâncias, técnica que consiste em colocar no circuito primário uma

impedância que produza o mesmo efeito que a impedância que está colocada no circuito secundário.

Analogamente, é possível realizar a reflexão do primário para o secundário, ou seja,

1

2

1

2ref

1 ZN

NZ

=

Observar que o efeito produzido pela impedância em qualquer um dos enrolamentos deve ser o mesmo.

Assim, quanto maior a tensão do enrolamento (portanto, maior o número de espiras) maior deverá ser o valor

da impedância em ohms.

IV.1.2 – Modelo do transformador ideal em pu

Utilizando a magnitude das tensões terminais nominais como tensões de base tem-se, os seguintes valores de

base para o primário e secundário, respectivamente:

pribaseV – Tensão de base do primário [kV]

secbaseV – Tensão de base do secundário: pri

base

1

2secbase V

N

NV = [kV]



Sendo baseS a potência de base do sistema, as correntes de base para o primário e secundário,

respectivamente, são:

pri

base

basepribase

V

SI =

pribase

2

1

pribase

1

2

base

secbase

basesecbase I

N

N

VN

N

S

V

SI ===

Desta forma, os valores em pu serão dados por:

pri

base

1pu 1

V

VV =

⇒===pri

base

1

pribase

1

2

1

1

2

secbase

2pu 2

V

V

VN

N

VN

N

V

VV pu 1pu 2 VV = (IV.8)

pribase

1pu 1

I

II =

⇒===pribase

1

pribase

2

1

1

2

1

secbase

2pu 2

I

I

IN

N

IN

N

I

II pu 1pu 2 II = (IV.9)

Portanto, quando as grandezas estiverem em pu, o transformador ideal com relação nominal pode ser

substituído por um curto-circuito, conforme mostrado na Figura IV.4, pois tanto a tensão quanto a corrente

apresentam o mesmo valor em ambos enrolamentos – vide equações (IV.8) e (IV.9).

–

+

pu 1I pu 2I

pu 1V

+

–

pu 2V

+

–

Transformador Ideal

em pu

pu 2I

pu 2V

+

–

pu 1I

pu 1V

Figura IV.4 – Circuito equivalente do transformador ideal de dois enrolamentos em pu.

IV.2 – Circuito equivalente do transformador real de dois enrolamentos

No transformador real de dois enrolamentos, as resistências dos enrolamentos não são nulas (serão notadas

por 1r e 2r , respectivamente, para o primário e secundário), nem todo o fluxo que enlaça um enrolamento

enlaça o outro pois a permeabilidade do núcleo não é infinita, isto é, existem fluxos dispersos nos

enrolamentos cujos efeitos são representados por intermédio das reatâncias de dispersão 1x e 2x ,

respectivamente, para o primário e secundário. Além disto, ocorrem perdas devido às variações cíclicas do

sentido do fluxo (histerese) e também devido às correntes parasitas induzidas no núcleo. Assim, mesmo

com o secundário em aberto, existe uma pequena corrente circulando no primário quando este é energizado,

denominada corrente de magnetização – o efeito deste fenômeno é representado pela impedância de

magnetização mr e mx , colocada em derivação no primário do transformador (ou no secundário).



Considerando os efeitos anteriormente mencionados, o transformador real de dois enrolamentos pode ser

representado por um circuito composto por transformador ideal de dois enrolamentos e algumas

impedâncias para representar o efeito das perdas ôhmicas, devido ao fluxo disperso e à magnetização,

conforme ilustra a Figura IV.5

mjx

( )ti1

( )tv1

+

–

N1 espiras

( )tmφ

( )φ

( )tv2

+

–

( )ti2

N2 espiras

Fluxo disperso em 1:

( )tdisp1φ

Fluxo disperso em 2:

( )tdisp2φ

•

1I 2I

Transformador Real

•

Ideal

1V

+

–

2V

+

–

21 : NN

(a) Transformador real de dois enrolamentos.

(b) Transformador real de dois enrolamentos em regime permanente.

11 jxr + 22 jxr +

mr

Figura IV.5 – Transformador real de dois enrolamentos.

Quando todos os parâmetros ( 1r , 1x , 2r , 2x , mr e mx ) e grandezas ( 1V , 1I , 2V e 2I ) estão em pu, o

transformador ideal pode ser omitido (substituído pelo seu circuito equivalente em pu que é um curto-

circuito), resultando no circuito da Figura IV.6.

mjx

1I 2I

Transformador Real em pu

1V

+

–

2V

+

–

11 jxr + 22 jxr +

mr

mI

Figura IV.6 – Circuito equivalente em pu do transformador real de dois enrolamentos.

Os parâmetros em série (resistência dos enrolamentos e reatância de dispersão: 1r , 1x , 2r , e 2x ) são

determinados por intermédio do ensaio de curto-circuito no qual os enrolamentos são submetidos à

corrente nominal. Neste ensaio, um dos enrolamentos é curto-circuitado enquanto aplica-se uma tensão

variável em outro enrolamento até que a corrente que circule nestes dois enrolamentos do transformador seja

igual ao seu valor nominal. Neste caso, a impedância de magnetização é desprezada pois a tensão empregada



neste ensaio é significativamente menor que o valor nominal e a corrente de magnetização corresponde a

uma fração muito pequena do valor nominal. Considerando que o enrolamento secundário tenha sido curto-

circuitado e que a corrente que circula por este é igual ao seu valor nominal ( )pu 012 =I , o circuito

equivalente do ensaio de curto-circuito é dado pela Figura IV.7. Neste circuito equivalente, a impedância

medida nos terminais do enrolamento energizado é dada por:

22111

1jxrjxr

I

VZ +++==

mjx

pu 0121 =≈ II pu 012 =I

1V

+

–

02 =V

+

–

11 jxr + 22 jxr +

mr

0≈mI

Corrente nominal nos enrolamentos

Magnetização desprezada

Figura IV.7 – Ensaio de curto-circuito (circuito equivalente em pu).

A impedância de magnetização é determinada por intermédio do ensaio de circuito aberto no qual os

enrolamentos são submetidos à tensão nominal. No ensaio de circuito aberto é aplicada tensão nominal a um

dos enrolamentos e mede-se a corrente que circula neste enrolamento enquanto o(s) outro(s) enrolamento(s)

permanece(m) em circuito aberto. Considerando que o enrolamento primário tenha sido energizado com

tensão nominal ( )pu 011 =V , o circuito equivalente do ensaio em vazio de um transformador é dado pela

Figura IV.8. Neste circuito equivalente, a impedância medida nos terminais do enrolamento energizado é

dada por:

mm

mm

jxr

jxrjxr

I

VZ

+

⋅++== 11

1

1

mjx

mII =1 02 =I

pu 011 =V

+

–

2V

+

–

11 jxr + 22 jxr +

mr

mI

Tensão nominal nos enrolamentos

Figura IV.8 – Ensaio de circuito aberto (circuito equivalente em pu).

Como exemplo das características elétricas dos transformadores em nível de distribuição, têm-se os valores

do Quadro IV.2. Em transformadores de maior potência e nível de tensão, as perdas em vazio e as perdas

totais apresentam valores percentuais (em função da potência nominal) menores, sendo inferiores a 0,1 e

0,5%, respectivamente.

Levando em conta as características reais dos grandes transformadores, as perdas nos enrolamentos1 (devido

a 1r e 2r ) e no núcleo2 (devido a mr e mx ) são muito pequenas quando comparadas com a potência do

transformador sendo, geralmente, desprezadas. Desta forma, o modelo equivalente do transformador fica

bastante simplificado, conforme mostra a Figura IV.9.

1 Cujo valor nominal corresponde à diferença entre as perdas totais e as perdas em vazio.

2 Ou perdas em vazio.



1I

2I

1V

+

–

2V

+

–

jx

21 jxjxjx +=

Figura IV.9 – Circuito simplificado em pu do transformador real de dois enrolamentos.

Quadro IV.2 – Características de perdas, correntes de excitação e impedâncias.

TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE TENSÃO MÁXIMA 15 kV

Potência [kVA]

Corrente de excitação

máxima [%]

Perdas em vazio máximo [W]

Perdas totais máximas [W]

Impedância 75° C [%]

30 4,1 170 740

45 3,7 220 1.000

75 3,1 330 1.470

112,5 2,8 440 1.990

150 2,6 540 2.450

3,5

225 2,3 765 3.465

300 2,2 950 4.310 4,5

TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE TENSÕES MÁXIMAS 24,2 e 36,2 kV

Potência [kVA]

Corrente de excitação

máxima [%]

Perdas em vazio máximo [W]

Perdas totais máximas [W]

Impedância 75° C [%]

30 4,8 180 825

45 4,3 250 1.120

75 3,6 360 1.635

112,5 3,2 490 2.215

150 3,0 610 2.755

4,0

225 2,7 820 3.730

300 2,5 1.020 4.620 5,0

Fonte: Trafo Equipamentos Elétricos S.A. (disponível em http://www.trafo.com.br/)

Exemplo IV.2 – Um transformador monofásico tem 2000 espiras no enrolamento primário e 500 no

secundário. As resistências dos enrolamentos são Ω= 21r e Ω= 125,02r ; as reatâncias de dispersão são

Ω= 81x e Ω= 5,02x . A carga ligada ao secundário é resistiva e igual a 12 Ω. A tensão aplicada ao

enrolamento primário é de 1200 V. Determinar o fasor tensão secundária e a regulação de tensão do

transformador:

%100%Regulaçãocarga

2

carga

2

vazio

2

V

VV −

=

onde carga

2V é a magnitude da tensão no secundário com plena carga e vazio

2V é a magnitude da tensão no

secundário em vazio.

Fabiano

Rectangle



IV.3 – Transformador com relação não-nominal

Com o objetivo de possibilitar um melhor controle da tensão no sistema elétrico, muitas vezes os

transformadores operam com relação de transformação diferentes da nominal ( )NOM2

NOM1 : NN . Neste caso,

os transformadores apresentam um enrolamento especial provido de diversas derivações (taps), comutáveis

sob carga ou não. Quando a seleção da derivação é realizada sob carga, o transformador apresenta um

dispositivo denominado comutador de derivações em carga (ou comutador sob carga) que se encarrega de

realizar as conexões necessárias para que seja selecionada a relação de transformação desejada. Para operar

tais comutadores utilizam-se acionamentos motorizados, possibilitando comando local ou à distância,

inclusive com controle automático de tensão. Quando a seleção da derivação é realizada sem carga o

dispositivo é muito mais simples, sendo utilizada apenas uma chave seletora que opera quando o

transformador está desligado.

Por norma, as derivações são numeradas, sendo a derivação “1” a de maior tensão, conforme mostra o

Quadro IV.3 no qual encontram-se exemplos de valores de derivações e relações de tensão para

transformadores em nível de distribuição. Neste caso, no interior do tanque o transformador apresenta uma

chave seletora que possibilita o ajuste do tap quando este estiver desligado.

Quadro IV.3 – Derivações e relações de tensões.

Tensão [V]

Primário Secundário Tensão máxima do equipamento

[KV eficaz]

Derivação N° Trifásicos e

Monofásicos (FF) Monofásicos

(FN) Trifásicos Monofásicos

1 13.800 7.967

2 13.200 7.621 15,0

3 12.600 7.275

1 23.100 13.337

2 22.000 12.702 24,2

3 20.900 12.067

1 34.500 19.919

2 33.000 19.053 36,2

3 31.500 18.187

380/220 ou

220/127

2 terminais 220 ou 127

ou 3 terminais 440/220 ou 254/127 ou 240/120 ou

230/115

(FF) - tensão entre fases (FN) - tensão entre fase e neutro

Fonte: Trafo Equipamentos Elétricos S.A. (disponível em http://www.trafo.com.br/)

Em nível transmissão de energia elétrica os transformadores podem possuir dispositivos para comutação sob

carga, apresentando um maior número de derivações, conforme exemplifica a Tabela IV.1. Observar que as

derivações são realizadas no enrolamento de maior tensão, visando operar com menores correntes no

comutador sob carga.

Tabela IV.1 – Derivações típicas da regulação sob carga.

Tensão primária [kV] Tensão secundária [kV] 138

%875,18230 ×± 69

69

23 %875,18138 ×±

13,8

23 %875,1869 ×±

13,8



Considerando toda a impedância série concentrada em apenas um dos enrolamentos (refletida para o

primário, por exemplo) e desprezando as perdas no núcleo, o circuito equivalente do transformador com

relação não-nominal encontra-se na Figura IV.10. Observar, neste caso, que a relação de espiras dos

enrolamentos 21 : NN pode ser diferente da relação nominal, dada por NOM2

NOM1 : NN .

•

1I 2I

•

Ideal

1V

+

–

2V

+

–

a

NN

:1

: 21jXR +

1E

+

–

2E

+

–

Figura IV.10 – Circuito equivalente de um transformador com relação não nominal.

Para o transformador da Figura IV.10 são válidas as seguintes expressões:

1

2

N

Na = a

E

E=

1

2

aI

I 1

1

2=

Utilizando as magnitudes das tensões nominais do primário e do secundário com tensões de base

=

pribaseNOM

1

NOM2sec

basepri

base e VN

NVV , define-se a relação nominal como sendo:

NOM

1

NOM2

pribase

secbase

NOMN

N

V

Va ==

Considerando a potência de base baseS , as correntes de base para o primário e secundário são dadas por:

pri

base

basepribase

V

SI =

pribase

NOMpri

baseNOM

base

secbase

basesecbase

1I

aVa

S

V

SI ===

Assim, transformando as grandezas para pu, tem-se:

pri

base

1pu 1

V

EE =

pri

base

1

NOMpri

baseNOM

1

secbase

2pu 2

V

E

a

a

Va

Ea

V

EE === pu 1

NOM

pu 2 Ea

aE = (IV.10)

pribase

1pu 1

I

II =

pribase

1NOM

pribase

NOM

1

secbase

2pu 2

1

1

I

I

a

a

Ia

Ia

I

II === pu 1

NOMpu 2 I

a

aI = (IV.11)

Portanto, mesmo quando as grandezas estão em pu, o transformador com relação não nominal não pode

ser substituído por um curto-circuito, pois tanto a tensão quanto a corrente apresenta valores distintos nos

enrolamentos – vide equações (IV.10) e (IV.11).



IV.6 – O modelo do transformador em fase

A representação de transformadores em fase, mostrada na Figura IV.15, consiste de um transformador ideal

com relação de transformação kma:1 e uma impedância série kmZ . Observar que neste modelo as perdas no

núcleo são desprezadas.

k kmI kmkmkm jxrZ += m

mkI

kkk VV θ=

p

pmIkma:1

kkkmkkmp VaVaV θ==

mmm VV θ=

Figura IV.15 – Representação de um transformador em fase.

Da relação do transformador ideal em fase4:

kkmp

kmp

kVaV

aV

V=⇒=

1

pmkmkmkmkmpm

kmIaIaa

I

I=⇒==

*

As correntes pmI , kmI e mkI são obtidas a partir dos fasores tensão das barras k, p e m ( kkk VV θ= ,

kkkmppp VaVV θθ == e mmm VV θ= , respectivamente) e do valor da admitância série km

km

ZY

1= :

( ) ( )mkkmkmmpkmpm VVaYVVYI −=−=

( )mkkmkmkmpmkmkm VVaYaIaI −== mkmkmkkmkmkm VYaVYaI −=2

(IV.12)

( )mkkmkmpmmk VVaYII −−=−= mkmkkmkmmk VYVYaI +−= (IV.13)

Deste modo, o transformador em fase pode ser representado por um circuito equivalente do tipo π, conforme

está ilustrado na Figura IV.16.

k kmI

m mkI

kV mVA

B C

A, B, C admitâncias

Figura IV.16 – Circuito equivalente π de um transformador em fase.

Para o modelo π da Figura IV.16, onde A, B e C são as admitâncias dos componentes, as correntes kmI e

mkI são dadas por:

4 Lembrar que não há dissipação de potência ativa ou reativa no transformador ideal, logo:

*

*

***

=⇒=⇒=⇒=

k

p

pm

km

k

p

pm

kmpmpkmkpmkm

V

V

I

I

V

V

I

IIVIVSS



( ) ( ) mkkmkkm VAVBAVBVVAI −+=+−= ( ) ( ) mkkm VAVBAI −++= (IV.14)

( ) ( ) mkmkmmk VCAVAVCVVAI ++−=+−= ( ) ( ) mkmk VCAVAI ++−= (IV.15)

Comparando as expressões (IV.12) com (IV.14) e (IV.13) com (IV.15), tem-se:

( )

( ) kmkm

kmkmkm

kmkm

YaC

YaaB

yaA

−=

−=

=

1

1

Observar que o valor de a determina o valor e a natureza dos componentes do modelo π da Figura IV.15:

1=kma pu, ou seja, NOMaakm = : kmyA = , 0== CB

1<kma pu, ou seja, NOMaakm < : 0<B (capacitivo) e 0>C (indutivo)

1>kma pu, ou seja, NOMaakm > : 0>B (indutivo) e 0<C (capacitivo)

NOTA IMPORTANTE: As grandezas de base utilizadas para fazer a conversão da impedância série do

transformador para pu devem ser obrigatoriamente relativos ao enrolamento no qual esta impedância está

ligada. Mais especificamente, no modelo de transformador adotado, que é mostrado na Figura IV.15, deve-se

utilizar a tensão de base do enrolamento conectado à Barra m.

Exemplo IV.4 – Dado um transformador trifásico, 138/13,8 kV, 100 MVA, cuja reatância de dispersão vale

5% (na base do transformador), determinar o circuito equivalente do transformador se as bases do sistema

são:

a) 138/13,8 kV, 100 MVA;

b) 169/16,9 kV, 200 MVA;

c) 169/15 kV, 250 MVA.

Solução Exemplo IV.4: a) Como pu 05,0% 5 ==x , tem-se que:

pu 05,0jZ TR =

pu 20jY TR −=

e o circuito equivalente é dado por:

1I 2I

1V

+

–

2V

+

–

20j−

Admitância em pu

b) Observar que 1,0138

8,13

169

9,16NOM ==== aa , então pu 1

1,0

1,0

NOM

pu ===a

aa .

( ) ( )( )

( )

( )

( )1 basepu 3

2 basepu 3

2

2 basepu

1 basepu 1 basepu 2 basepu

φ

φ

S

S

V

VZZ

L

L

=

pu 0667,0100

200

169

13805,0

2

jjZ TR =

=

′

pu 15jY TR −=′



Solução Exemplo IV.4 (continuação): e o circuito equivalente é dado por:

1I 2I

1V

+

–

2V

+

–

15j−

Admitância em pu

c) Neste caso, tem-se 0888,0169

15NOM ==a e 1,0

138

8,13==a . Calculando em pu, tem-se:

pu 1267,1

169

13815

8,13

NOM

pu ===a

aa

( ) ( )( )

( )

( )

( )1 basepu 3

2 basepu 3

2

2 basepu

1 basepu 1 basepu 2 basepu

φ

φ

S

S

V

VZZ

L

L

=

Para o modelo de transformador adotado, que é mostrado na Figura IV.15, deve-se utilizar a tensão de base

do enrolamento conectado à Barra m, ou seja, a tensão do lado de média tensão do transformador, sendo o

valor em pu na base 169/15 kV, 250 MVA dado por:

pu 1058,0100

250

15

8,1305,0

2

jjZ TR =

=

′ pu 4518,9jY TR −=

′

Os parâmetros do circuito equivalente π são dados por:

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) pu 198,14518,91267,111

pu 349,14518,911267,11267,11

pu 65,104518,91267,1

pu

pupu

pu

jjYaC

jjYaaB

jjYaA

TR

TR

TR

=−−=′

−=

−=−−=′

−=

−=−=′

=

e o circuito equivalente correspondente é:

1I 2I

1V

+

–

2V

+

–

65,10j−

Admitâncias em pu

349,1j− 197,1j

Exemplo IV.5 – Considerando que o transformador do Exemplo IV.4 alimenta uma carga de 50 MVA, com

fator de potência 0,9 indutivo, no enrolamento de menor tensão e que este é representado pelos três modelos

determinados na solução do Exemplo IV.4 (em função das bases adotadas para o sistema pu), determinar o

valor da tensão no lado de alta tensão em pu e em kV quando a tensão na carga é igual a 13,8 kV.

Solução Exemplo IV.5: a) Considerando os dados do problema, têm-se os seguintes valores em pu para a tensão, potência e

corrente secundária, para a base 138/13,8 kV, 100 MVA:

pu 18,13

8,132 ==V pu 84,255,02179,045,09,019,0

100

50 22

o=+=

−+= jjS

*

2

22

*

222

=⇔==

V

SIIVS



Solução Exemplo IV.5 (continuação):

pu 84,255,02179,045,01

2179,045,0*

2o

−=−=

+= j

jI

Do circuito equivalente mostrado na solução do Exercício IV.4, a tensão no lado de alta é dada por:

( ) pu 28,10111,10225,00109,12179,045,005,01221o

=+=−+=+= jjjIZVV TR

kV 28,154,13911,350,13928,10111,11381oo

=+=×= jV

b) Para a base 169/16,9 kV, 200 MVA, tem-se:

pu 8166,09,16

8,132 ==V pu 84,2525,01090,0225,09,019,0

200

50 22

o=+=

−+= jjS

*

2

22

*

222

=⇔==

V

SIIVS

pu 84,253062,01335,02755,08166,0

1090,0225,0*

2o

−=−=

+= j

jI

Do circuito equivalente mostrado na solução do Exercício IV.4, a tensão no lado de alta é dada por:

( ) pu 28,18257,00184,08255,01335,02755,00667,08166,0221o

=+=−+=′

+= jjjIZVV TR

kV 28,154,13911,350,13928,18257,01691oo

=+=×= jV

Observar que o valor obtido em kV é idêntico ao do Item (a), mostrando que o resultado não depende das

bases adotadas.

c) Para a base 169/15 kV, 250 MVA, tem-se:

pu 92,015

8,132 ==V pu 84,252,00872,018,09,019,0

250

50 22

o=+=

−+= jjS

*

2

22

*

222

=⇔==

V

SIIVS

pu 84,252174,00948,01956,092,0

0872,018,0*

2o

−=−=

+= j

jI

Do circuito equivalente obtido na solução do Exercício IV.4, a tensão no lado de alta é dada por:

1I 2I

1V

+

–

2V

+

– Admitâncias em pu

SHI 2

65,10j−

349,1j− 197,1j

( ) ( )92,0197,10948,01956,065,10

192,0

112222221 ×+−

−+=++=

++= jjj

VCIA

VIIA

VVSH

kV 28,154,13911,350,13928,18257,01691oo

=+=×= jV

Observar que o valor obtido em kV é idêntico ao dos Itens anteriores, mostrando que o resultado não

depende das bases adotadas.



Exemplo IV.6 – Dado um transformador trifásico, 230/69 kV, 50 MVA, cuja reatância de dispersão vale

5%, determinar:

a) o circuito equivalente do transformador, se as bases do sistema são 230/69 kV, 100 MVA;

b) o valor da tensão no enrolamento de 69 kV (onde a carga está ligada), quando a tensão no enrolamento

de 230 kV (onde a fonte está ligada) é igual a 200 kV e são fornecidos 50 MVA, com fator de potência

igual a 0,8 indutivo;

c) o valor da tensão no enrolamento de 69 kV (onde a carga está ligada), quando a tensão no enrolamento


igual a 0,8 capacitivo;

d) nas situações operacionais dos Itens (b) e (c), determinar a potência complexa fornecida para a carga e as

perdas no transformador;

e) comentar as diferenças nos resultados obtidos nos Itens (b), (c) e (d).

Solução Exemplo IV.6: a) Como pu 05,0% 5 ==x na base de 50 MVA, para a base de 100 MVA e tensões nominais tem-se:

pu 10,050

10005,0 jjZ TR == pu 10jY TR −=

e o circuito equivalente é dado por:

1S 2I

1V

+

–

2V

+

–

10,0j

Admitância em pu

Lado 230 kV Lado 69 kV

1I 2S

b) A potência complexa fornecida ao transformador no enrolamento de 230 kV é dada por:

3,04,08,01100

508,0

100

50 221 jjS +=−+= pu

Levando em conta a tensão de operação no lado de 230 kV dada por 8696,00230

2001 ==V pu, a corrente no

transformador é dada por:

*

111 IVS = o87,365750,03450,04600,08696,0

3,04,0**

1

11 −=−=

+=

= j

j

V

SI

Do circuito equivalente, pode-se obter a seguinte expressão para a tensão no enrolamento de 69 kV:

( ) o15,38363,00460,08351,03450,04600,010,08696,0112 −=−=−−=−= jjjIZVV TR

o15,371,572 −=V kV

c) A potência complexa fornecida ao transformador no enrolamento de 230 kV é dada por:

06,008,08,01100

108,0

100

10 221 jjS −=−−= pu

Levando em conta a tensão de operação no lado de 230 kV dada por 0870,10230

2501 ==V pu, a corrente no

transformador é dada por:

*

111 IVS = o87,360920,00552,00736,00870,1

06,008,0**

1

11 =+=

−=

= j

j

V

SI

Do circuito equivalente, pode-se obter a seguinte expressão para a tensão no enrolamento de 69 kV:

( ) o39,00925,10074,00925,10552,00736,010,00870,1112 −=−=−−=−= jjjIZVV TR

o39,038,752 −=V kV



Solução Exemplo IV.6 (continuação):

d) A potência complexa fornecida para a carga nas situações dos Itens (b) e (c) são dadas por:

*

12

*

222 IVIVS ==

e as perdas no transformador são dadas por:

21perdas SSS −= ou 2

1perdas IZS TR=

Para o Item (b), tem-se:

( )( ) o72,334809,02669,04000,03450,04600,00460,08351,0*

2 =+=−−= jjjS

0331,0)2669,04000,0(3,04,0perdas jjjS =+−+= pu

0331,05750,01,02

perdas jjS == pu

31,3perdas jS = MVA

Para o Item (c), tem-se:

( )( ) o26,371005,00608,00800,00552,00736,00074,00925,1*

2 =−=+−= jjjS

0008,0)0608,00800,0(06,008,0perdas jjjS =−−−= pu

0008,00920,01,02

perdas jjS == pu

08,0perdas jS = MVA

e) Fasor tensão – No Item (b) a magnitude da tensão em pu no enrolamento de 69 kV é menor do que no

enrolamento de 230 kV, pois este fornece potência ativa e reativa para a carga, havendo queda de tensão em

sua impedância de dispersão. No Item (c) o fluxo de potência reativa ocorre do enrolamento de 69 kV para o

enrolamento de 230 kV (carga capacitiva) e isto faz com que a tensão em pu do enrolamento de 69 kV

apresente magnitude superior. Em ambos os casos, o fluxo de potência ativa é em direção ao enrolamento de

69 kV, sendo o ângulo de fase do fasor tensão 2V menor do que do fasor tensão 1V .

Potência complexa na carga – Nos Itens (b) e (c) a potência ativa na carga é a mesma fornecida para o

transformador, pois o modelo considera apenas a reatância de dispersão. A potência reativa difere, pois

existe um consumo de potência reativa na reatância do transformador.

Perdas ativas e reativas – Em ambos os casos não existem perdas de potência ativa e existe um consumo de

potência reativa em função da reatância de dispersão do transformador ser percorrida pela corrente. No Item

(b) as perdas são maiores, pois a corrente é maior.

Exercício IV.4 – Dado um transformador trifásico, 230 (+4)(–8)×1,875%/69 kV, 50 MVA, cuja reatância

de dispersão vale 5%, determinar:

a) o circuito equivalente do transformador, indicando os valores mínimos e máximos da relação de

transformação em pu (a), se as bases do sistema são 230/69 kV, 100 MVA;

b) o valor da tensão no enrolamento de 69 kV (onde a carga está ligada), quando a tensão no enrolamento


igual a 0,8 indutivo (nesta condição o transformador opera com o tap na posição 13);

c) o valor da tensão no enrolamento de 69 kV (onde a carga está ligada), quando a tensão no enrolamento


igual a 0,8 capacitivo (nesta condição o transformador opera com o tap na posição 1);

d) nas situações operacionais dos Itens (b) e (c), determinar a potência complexa fornecida para a carga e as

perdas no transformador;

e) comentar as diferenças nos resultados obtidos nos Itens (b), (c) e (d).



Como para a linha de transmissão, é possível escrever a expressão do fluxo de potência complexa da barra k

para a barra m:

[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )kmkmkmkmmkkmkmkmkkm

kmmkkmkmkmkmkmkkm

mkkmkmkmkkmmkmkmkkmkmk

mkmkmkkmkmkkmkkm

jjbgVVajbgVa

VVjbgajbgVa

VVYaYVaVYaVYaV

VYaVYaVIVS

θθ

θ

sencos2

2

***22****2

*2*

+−−−=

−−−=

=−=

−

=

=−==


( ) ( ) ( )kmkmkmkmmkkmkmkkmkm bgVVagVaP θθ sencos2

+−= (IV.16)

( ) ( ) ( )kmkmkmkmmkkmkmkkmkm bgVVabVaQ θθ cossen2

−−−= (IV.17)

O fluxo de potência complexa da barra m para a barra k é dado por:

( ) ( )mkkmmkkmmkkmkmmmk bgVVagVP θθ sencos2+−= (IV.18)

( ) ( )mkkmmkkmmkkmkmmmk bgVVabVQ θθ cossen2−−−= (IV.19)

Exercício IV.5 – Conhecidos os parâmetros que definem o transformador em fase e os fasores das tensões

terminais, mostrar como é possível determinar as perdas de potência ativa e reativa neste transformador.

IV.7 – O modelo do transformador defasador

Os transformadores defasadores são equipamentos capazes de controlar, dentro de determinadas limitações, a

relação de fase entre o fasor tensão do primário e do secundário. Para um transformador defasador puro, a

relação de transformação em pu é representada por um número complexo de módulo unitário e ângulo de

fase ϕ , ou seja, é dada por kmt:1 , com ϕjkm et = , ou seja, ϕ1:1 . A representação de um transformador

defasador puro está mostrada na Figura IV.15.

k kmI kmkmkm jxrZ += m

mkI

kkk VV θ=

p

pmI

mmm VV θ=

kmj

km etϕ

=:1

kmkkkj

p VVeV km ϕθϕ

+==

Figura IV.15 – Representação de um transformador defasador puro.

Da relação do transformador ideal:

kmkkkkkmkj

kkmpj

kmp

kVVVeVtV

etV

Vkm

km

ϕθθϕϕ

ϕ+=⋅===⇒== 1

11

pmj

pmkmkmj

kmpm

kmIeItIet

I

Ikmkm ϕϕ −−

==⇒==**



As correntes pmI , kmI e mkI são obtidas a partir dos fasores tensão das barras k, p e m ( kkk VV θ= ,

kmkkppp VVV ϕθθ +== e mmm VV θ= , respectivamente) e do valor da admitância série km

kmz

y1

= :

( ) ( )mkkmkmmpkmpm VVtYVVYI −=−=

( ) mkmkmkkmkmkm

I

mkkmkmkmpmkmkm VYtVYttVVtYtItI

pm

****−=−==

44 844 76

( ) mkmkmkkmkmkmkm VYtVYttI **−+= (IV.20)

( ) mkmkkmkmmkkmkmpmmk VYVYtVVtYII +−=−−=−= ( ) mkmkkmkmmk VYVYtI +−= (IV.21)

Assim, o transformador defasador não pode ser representado por um circuito equivalente do tipo π,

conforme está ilustrado na Figura IV.15, pois o coeficiente de mV da expressão (IV.20), kmkmYt*− , é

diferente do coeficiente de kV da expressão (IV.21), kmkmYt− .

Como anteriormente, é possível escrever a expressão do fluxo de potência complexa da barra k para a barra

m:

[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkmkmk

kmmkkmkmkmkmkmk

mkkmkmkmkmkmkmkkmk

mkmkmkkmkkmkkm

jjbgVVjbgV

VVjbgjbgV

VVYtYVVYtVYV

VYtVYVIVS

ϕθϕθ

θϕ

+++−−−=

−−−=

=−=

−=

=−==

sencos

1

2

2

***2****

***


( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkmkkm bgVVgVP ϕθϕθ +++−= sencos2 (IV.22)

( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkmkkm bgVVbVQ ϕθϕθ +−+−−= cossen2 (IV.23)

Exercício IV.6 – Determinar a expressão do fluxo de potência complexa da barra m para a barra k.

Utilizando esta expressão equacionar as perdas de potência ativa e reativa neste transformador.

IV.8 – Expressões gerais dos fluxos de corrente e de potência

As expressões dos fluxos de corrente e potência em linhas de transmissão, transformadores em fase,

defasadores puros e defasadores, podem ser generalizadas de forma tal que seja possível utilizar sempre a

mesma expressão, fazendo algumas considerações para particularizar o equipamento em questão. Assim, os

fluxos de corrente nestes equipamentos obedecem às seguintes expressões gerais:

( ) ( ) mkmkmkshkmkmkmkmkm VYtVjbYttI **

−++= ( ) ( ) mkmj

kmkshkmkmkmkm VYeaVjbYaI kmϕ−

−++=2

(IV.24)

( ) ( ) mshkmkmkkmkmmk VjbYVYtI ++−= ( ) ( ) m

shkmkmkkm

jkmmk VjbYVYeaI km ++−=

+ ϕ (IV.25)

De acordo com o tipo de equipamento, as variáveis kma , kmϕ e shkmb assumem valores particulares, mostradas

na Tabela IV.2.

Tabela IV.2 – Parâmetros para os diferentes equipamentos nas expressões gerais dos fluxos.

Equipamento kma kmϕ shkmb

Linha de transmissão 1 0

Transformador em fase 0 0

Transformador defasador puro 1 0

Transformador defasador 0



Os fluxos de potência ativa e reativa em linhas de transmissão, transformadores em fase, defasadores puros e

defasadores, obedecem às seguintes expressões gerais:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkmkmkkmkm bgVVagVaP ϕθϕθ +++−= sencos2

(IV.26)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkm

shkmkmkkmkm bgVVabbVaQ ϕθϕθ +−+−+−= cossen

2

(IV.27)

Assim, as expressões (IV.24) a (IV.27) podem ser utilizadas indistintamente para o cálculo dos fluxos de

corrente e potência em linhas de transmissão, transformadores em fase, defasadores puros e defasadores,

bastando utilizar os parâmetros conforme a Tabela IV.2.


Geradores, reatores, capacitores e cargas – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 1 de 5

V – Geradores, reatores, capacitores e cargas

O sistema elétrico possui duas classes de componentes, os empregados na conexão entre dois nós elétricos

(elementos série) e aqueles que são conectados a apenas um nó elétrico (elementos em derivação). O

segundo grupo inclui os geradores e as cargas que constituem a razão de existir do sistema elétrico. Os

demais componentes em derivação (reatores e capacitores) são empregados no controle da tensão/potência

reativa.

Para todos os componentes em derivação é adotada a convenção gerador, ou seja, são consideradas

positivas aa potências ativa e reativa injetadas.

V.1 – Geradores

A Figura V.1 mostra o sentido positivo da potência injetada em uma barra que contém um gerador.

k

kk jQP +

G

k

kk jQP +

kkk VV θ= kkk VV θ=

Figura V.1 – Convenção da potência para um gerador.

Para um gerador que está injetando potência ativa no sistema, tem-se:

0>kP

<

>

osubexcitad,0

dosobrexcita,0

kQ

V.2 – Reatores

A Figura V.2 mostra o sentido positivo da potência injetada por um reator em uma barra.

k

kk jQP +

k

kjQ

kI

Lk

Lk

jbY

jxZ

=

=

Para um Reator

01

0

<−

=

>

L

L

L

xb

x


Figura V.2 – Convenção da potência para um reator.



Neste caso, tem-se:

L

k

L

k

k

kk

x

Vj

jx

V

Z

VI =

−=

−=

0 ou ( ) kLkkk VjbVYI −=−= 0

2

2**

* 0kL

L

k

L

kk

L

kkkkk Vjb

x

Vj

jx

VV

jx

VVIVS =−=

−

−=

−==

Portanto, para um reator (como 0>Lx e 0<Lb ), a injeção de potência reativa é negativa, ou seja, 0<kQ .

V.3 – Capacitores

A Figura V.3 mostra o sentido positivo da potência injetada por um capacitor em uma barra.

k

kk jQP +

k

kjQ

kI

Ck

Ck

jbY

jxZ

=

=

Para um Capacitor

01

0

>−

=

<

C

C

C

xb

x


Figura V.3 – Convenção da potência para um capacitor.

Neste caso, tem-se:

C

k

C

k

k

kk

x

Vj

jx

V

Z

VI =

−=

−=

0 ou ( ) kCkkk VjbVYI −=−= 0

2

2**

* 0kC

C

k

C

kk

C

kkkkk Vjb

x

Vj

jx

VV

jx

VVIVS =−=

−

−=

−==

Portanto, para um capacitor (como 0<Cx e 0>Cb ), a injeção de potência reativa é positiva, ou seja,

0>kQ .

V.4 – Cargas

A Figura V.4 mostra o sentido positivo da potência injetada por uma carga constituída por uma impedância

em uma barra.



k

kk jQP +

k

kk jQP +

kI

kkk jxrZ +=


Figura V.4 – Convenção da potência para uma carga.

Neste caso, tem-se:

k

k

k

kk

Z

V

Z

VI

−=

−=

0

( )2

22

2

2

2

*

2

*

***

kk

k

kk

k

kk

kk

kkZ

Z

k

kk

k

kkkkk

xr

Vjxr

Z

ZV

ZZ

ZV

Z

VV

Z

VVIVS

k

k

+

+−=

−

=

−

=−

=

−==

×

( )

448447648476 kk jQ

kk

k

k

P

kk

k

k

kk

k

kkk

xr

Vjx

xr

Vr

xr

VjxrS

22

2

22

2

22

2

+−

+−=

++−=

Portanto, para uma carga constituída por uma impedância (com 0≥kr ), a injeção de potência ativa é

negativa, ou seja, 0<kP . Por outro lado, a injeção de potência reativa tem o sinal inverso da reatância, ou

seja, é negativa para um indutor, 0<kQ , e positiva para um capacitor, 0>kQ .

No fluxo de carga, as cargas são representadas por injeções constantes de potência ativa e reativa ou por

intermédio de uma expressão mais geral que considera a dependência da carga com relação à magnitude da

tensão, sendo as injeções de potência determinadas por:

( ) NOM2kkPkPPk PVcVbaP ++=

( ) NOM2kkQkQQk QVcVbaQ ++=

sendo Pa , Pb e Pc constantes que definem o tipo de dependência que a potencia ativa tem com a tensão e

Qa , Qb e Qc constantes que definem o tipo de dependência que a potencia reativa tem com a tensão.

Observar que devem ser válidas as seguintes relações para que quando a tensão assuma seu valor nominal

( )pu 1=kV , as injeções correspondam ao valor nominal ( )NOMNOM Q e kkP :

1=++ PPP cba

1=++ QQQ cba

Exercício V.1 – Determinar as constantes a, b e c de uma injeção composta formada por:

Potência nominal: NOMNOM jQP +

20% potência constante

30% corrente constante

40% impedância constante



Exemplo V.1 (Provão 2002) – Questão relativa às matérias de Formação profissional Específica (Ênfase

Eletrotécnica).



Média (escala de 0 a 100) % escolha

Brasil Região Sul Instituição Brasil Região Sul Instituição 14,7 20,2 31,3 38,5

soma das soma das impedâncias soma das impedâncias conectadas ao forças aplicadas entre movimento

Documents