cálculo numérico - aprendizagem com apoio de software

Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudan-tes de ciências exatas um material didático, simples e de fácil entendimentodos tópicos de um curso básico de Cálculo Numérico, de um semestre, nasinstituições de ensino superior.

Os métodos numéricos são desenvolvidos para resolução de sistemaslineares e não-lineares, equações, interpolação polinomial, ajuste de fun-ções, integração numérica e equações diferenciais ordinárias, acompanha-dos de exemplos resolvidos em detalhes. Exercícios são propostos no final decada capítulo com diversos graus de dificuldade para fixação do conteúdo.

O livro é acompanhado de um CD com o , desen-volvido pelos autores, que serve de apoio ao ensino/aprendizagem de tópi-cos básicos de Cálculo Numérico, no qual conceitos e resultados dados emsala de aula são reforçados em aulas de exercícios nos laboratórios compu-tacionais.

Livro-texto para as disciplinas de cálculo numérico nos cursos de gra-duação das áreas de ciências exatas e tecnológicas.

Software Numérico

Aplicações

CálculoNumérico

Selma ArenalesArtur Darezzo

Aprendizagem com apoio de software

CálculoNumérico


Selma A

renales

Artu

r Darezzo

Apren

dizagem com

apoio de software

Cálculo Num

érico

Outras Obras

Álgebra Linear

Análise Numérica

Cálculo Volumes I e II

Pré-Cálculo

Vetores e Matrizes: Umaintrodução à álgebra linear

David Poole

Richard L. Burden eJ. Douglas Faires

James Stewart

Valéria Zuma Medeiros (Coord.)

Nathan Moreira dos Santos,Doherty Andrade eNelson Martins Garcia

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5 edição

4 edição revista e ampliada

ª

ª

Sobre os autores

Selma Helena de Vasconcelos Arenales

Artur Darezzo Filho

Professora do Departamento de Mate-mática da Universidade Federal de São Car-los-UFSCar. Graduada em Matemática pelaUniversidade Estadual Júlio Mesquita Filho(Unesp) e mestre em Matemática Aplicadapela Universidade Estadual de Campinas(Unicamp). Possui experiência na área deMatemática, com ênfase em matemáticaaplicada, atuando em projetos de pesquisa eorientação de alunos nas áreas de Otimiza-ção e Análise Numérica, com enfoques namodelagem de problemas e métodos numé-ricos de resolução. Tem publicado trabalhosem congressos em ensino de Matemática,principalmente no ensino de Cálculo Numé-rico com ferramentas computacionais.

Licenciado em Matemática pela Facul-dade de Filosofia, Ciências e Letras de RioClaro SP (1971), mestre em Ciências daComputação e Estatística opção computa-ção pela Universidade de São Paulo USP,São Carlos (1978), doutor em EngenhariaCivil pela Universidade de São Paulo USP,São Carlos (1996). Desde 1972 é professorvinculado ao Departamento de Matemáticada Universidade Federal de São Carlos, ondeexerceu as funções de docente, pesquisadorna área de Modelagem Matemática e Méto-dos Numéricos e coordenador do curso deMatemática. A partir do ano de 2001, comoprofessor aposentado, passou a ser professorconvidado voluntário no mesmo Departa-mento de Matemática até a presente data.Foi também professor e coordenador docurso de Matemática Aplicada e Computa-cional do Centro Universitário Central Pau-lista Unicep São Carlos (SP). Atualmenteexerce as funções de Diretor Acadêmico daEscola Superior de Tecnologia e Educação deRio Claro, Rio Claro SP.

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visite www.cengage.com.br

Cálculo NuméricoAprendizagem com Apoio de Software

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Arenales, Selma Cálculo numérico : aprendizagem com apoio de software / Selma Arenales, Artur Darezzo. -- São Paulo: Cengage Learning, 2010.

1ª reimpr. da 1ª ed. de 2008.Bibliografia.ISBN 978-85-221-0967-8

1. Cálculo numérico 2. Cálculo numérico – Problemas, exercícios etc. I. Darezzo, Artur. II. Título.

07-6796 CDD-515.07

Índices para catálogo sistemático:

1. Cálculo numérico : Estudo e ensino 515.4092

Selma Arenales Artur Darezzo

Cálculo NuméricoAprendizagem com Apoio de Software

Austrália • Brasil • Japão • Coréia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos

Cálculo Numérico: Aprendizagem com apoio de software

Selma Arenales Artur Darezzo

Gerente Editorial: Patricia La Rosa

Editora de Desenvolvimento: Ligia Cosmo Cantarelli

Supervisor de Produção Editorial: Fábio Gonçalves

Produtora Editorial: Renata Siqueira Campos

Supervisora de Produção Gráfica: Fabiana Alencar

Albuquerque

Copidesque: Sueli Bossi da Silva

Revisão: Gisele Múfalo

Diagramação: Segmento & Co. Produções Gráficas

Ltda.

Capa: Eduardo Bertolini

© 2008 Cengage Learning Edições Ltda.

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro po-derá ser reproduzida, sejam quais forem os meios empregados, sem a permissão, por escrito, da Editora.Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1998.

© 2008 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

ISBN-13:

Cengage LearningCondomínio E-Business Park Rua Werner Siemens, 111 – Prédio 20 – Espaço 04 Lapa de Baixo – CEP 05069-900 – São Paulo – SP Tel.: (11) 3665-9900 – Fax: (11) 3665-9901SAC: 0800 11 19 39

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Impresso no Brasil.Printed in Brazil.1 2 3 4 5 6 7 11 10 09 08

Ao Marcos Arenales, meu esposo,aos meus pais Maria e Sebastião Vasconcelos e

à minha família de amigos.

Com carinho para minha esposa Regina,companheira de todas as jornadas e

aos meus fi lhos Helga, Fabiana e João Paulo.

vii

Prefácio IXAgradecimentos X

Capítulo 1 Erros em processos numéricos 11.1 Introdução 11.2 Erros na fase da modelagem 21.3 Erros na fase de resolução 21.4 Erros de representação 51.5 Erro de arredondamento 101.6 Erro absoluto 101.7 Erro relativo 111.8 Erro de truncamento 121.9 Propagação dos erros 14Exercícios 16

Capítulo 2 Solução numérica de sistemas de equações lineares e matrizes inversas 19

2.1 Introdução 192.2 Sistemas de equações lineares 192.3 Métodos diretos 212.4 Matrizes inversas 462.5 Condicionamento de sistemas lineares 492.6 Métodos iterativos 492.7 Trabalhando com o Software Numérico 65Exercícios 68

Capítulo 3 Solução numérica de equações 733.1 Introdução 733.2 Localização das raízes: métodos gráfi cos 743.3 Métodos numéricos para resolução de equações 763.4 Equações polinomiais 963.5 Sistemas de equações não lineares 1063.6 Trabalhando com o Software Numérico 121Exercícios 124

Sumário

viii Cálculo Numérico

Capítulo 4 Aproximação de funções 1274.1 Introdução 1274.2 Interpolação polinomial 1274.3 Fórmula interpolatória de Lagrange 1324.4 Interpolação linear 1384.5 Fórmula interpolatória de Newton 1414.6 Interpolação inversa 1484.7 Fórmula interpolatória de Newton-Gregory 1534.8 Aproximação de funções – o método dos mínimos quadrados 1574.9 Trabalhando com o Software Numérico 182Exercícios 185

Capítulo 5 Integração numérica 1895.1 Introdução 1895.2 Fórmulas de quadratura de Newton-Cotes 1915.3 Erro cometido na integração numérica 1925.4 Regra dos trapézios 1935.5 Regra 1/3 de Simpson 2005.6 Regra 3/8 de Simpson 2085.7 Fórmula de quadratura de Gauss 2165.8 Integração dupla 2235.9 Trabalhando com o Software Numérico 227Exercícios 229

Capítulo 6 Solução numérica de equações diferenciais ordinárias 2336.1 Introdução 2336.2 Problema de valor inicial (PVI) 2366.3 Discretização 2416.4 Métodos baseados em série de Taylor 2426.5 Métodos de Runge-Kutta 2516.6 Métodos previsor-corretor 2696.7 Trabalhando com o Software Numérico 278Exercícios 282

Capítulo 7 Manual do Software Numérico 2857.1 Introdução 2867.2 Objetivos 2867.3 Software Numérico – Módulos desenvolvidos 2867.4 Abertura do Software Numérico 2877.5 Descrição dos módulos do Software Numérico 288

Referências bibliográfi cas 361

Índice remissivo 363

ix

Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudantes de ciências exatas um material didático simples e de fácil entendimento dos tópicos de um curso básico de Cálculo Numérico, de um semestre, nas instituições de ensino superior.

Originado a partir de uma apostila, Notas de Cálculo Numérico, escrita pelos autores e pelos professores que ministravam a disciplina de Cálculo Numérico e publicada pelo Departamento de Matemática, conforme Darezzo, A. F.; Arenales, S. H. V. et al. (1992), esta obra reflete a experiência de muitos anos dos autores, no ensino da disciplina Cálculo Numérico para diferentes cursos do Centro de Ciências Exatas e de Tecno logia da Universidade Federal de São Carlos – UFSCar.

O livro é composto de sete capítulos contendo os principais tópicos abordados numa disciplina básica de Cálculo Numérico nas universidades, apresentando os métodos numéricos com desenvolvimento teórico e os respectivos algoritmos descritos de forma simples, com exemplos e listas de exercícios para fixação do conteúdo.

Alguns resultados do Cálculo Diferencial Integral, da Álgebra Linear e da Geometria Analítica foram utilizados no decorrer dos capítulos, considerando que os alunos tenham estes conhecimentos.

Juntamente com este livro desenvolvemos o Software Numérico de apoio ao ensino/aprendizagem de tópicos básicos de Cálculo Numérico, no qual conceitos e resultados dados em sala de aula são reforçados em aulas de exercícios nos laboratórios computacionais. O Software Numérico relaciona cinco módulos: Sistemas Lineares, Raízes de Funções, Interpolação e Aproxi mação de Funções, Integração Numérica e Equações Diferenciais Ordinárias.

Este software foi desenvolvido inicialmente durante o Projeto de Reestruturação do Ensino de Engenharia – Projeto Reenge (1996), em seguida foi aperfeiçoado e tem sido utilizado como ferramenta metodológica, em aulas

Prefácio

x Cálculo Numérico

de exercícios, para todas as turmas de Cálculo Numérico no Laboratório de Ensino do Departamento de Matemática da UFSCar.

Acreditamos, também, que este material possa ser aplicado em cursos namodalidade Ensino a Distância, o qual o professor, com listas de exercícios bem elaboradas, reforça e melhora a aprendizagem desses assuntos, com a aplicação do Software Numérico, que contém um Arquivo de Correção, o qual armazena todas as etapas de execução dos exercícios feitos pelos alunos. Posteriormente, o professor pode acessá-lo, analisá-lo e realizar comentários sobre tentativas, erros e acertos dos alunos estabelecendo uma inte ração pro-fessor/aluno a distância, que pode ser encontrado para download no site da Editora Thomson (www.thomsonlearning.com.br).

O Manual do Software Numérico, no qual o usuário possui, de forma simples e clara, um resumo sobre os métodos numéricos desenvolvidos nos capítulos anteriores deste livro com exemplos ilustrativos, além de infor-mações sobre o uso, sintaxe, entrada de dados e todos os esclarecimentosà disposição no Help On Line pode ser encontrado no CD que acompanha este livro.

O usuário pode instalar o software de maneira simples utilizando a senha 6028.

Este software também foi usado, numa experiência de ensino na dis-ciplina de Cálculo Numérico, integrado com o uso de Mapas Conceituais. Com esta metodologia de ensino/aprendizagem foi possível observar efeitos, infl uências, benefícios e difi culdades, tanto nas atividades em sala de aula como em aulas de laboratório, conforme publicação Salvador, J. A.; Arenales, S. H. V. et al. (2003).

AgradecimentosAos estudantes da UFSCar e do Centro Universitário Central Paulista – Unicep, pelo retorno positivo nas versões preliminares que nos incentivou a publi-car este livro.

Aos colegas do Departamento de Matemática da UFSCar que de alguma forma acompanharam este trabalho e acreditaram no seu desenvolvimento, através do incentivo diário e de sugestões para que os objetivos propostos fossem alcançados.

Em especial, ao Professor Dr. Marcos Nereu Arenales, docente do Depar-tamento de Matemática Aplicada e Estatística – ICMC-USP-São Carlos, pela leitura e pelas sugestões pertinentes nos diversos capítulos deste livro.


1

1.1 Introdução De uma maneira geral, a resolução de um problema de qualquer área do conhe-cimento científi co passa inicialmente por uma fase de observação e enten dimento do fenômeno físico envolvido na qual, usando conhecimentos já estabelecidos, buscamos, através de simplifi cações, quando necessárias, a construção de um modelo matemático que represente, com a maior fi delidade possível, o problema que desejamos tratar. Esta etapa é caracterizada como fase da mode lagem do modelo matemático.

Com o problema representado através de um modelo matemático, bus-camos, para a sua resolução, um método exato quando possível, ou, quando não, um método numérico aproximado.

Mesmo quando utilizamos na resolução do modelo matemático um mé-todo exato, isto é, um método que apresenta a solução exata para o modelo, pelo fato de este envolver um número muito grande de operações elemen-tares (adição, multiplicação, subtração e divisão) e, sendo estas processadas em equipamento com capacidade limitada para armazenar dados, podemos cometer erros.

Por outro lado, quando optamos, em razão da complexidade do modelo matemático, pela resolução através de um método numérico, além dos erros no processamento anteriormente mencionados, podemos também cometer erros provenientes do fato de utilizarmos, para a resolução do modelo mate-mático, um algoritmo aproximado. Esta etapa é caracterizada como fase de resolução do modelo matemático.

Podemos entender as duas fases descritas anteriormente através do es-quema representado na Figura 1.1.

Neste capítulo apresentamos os principais erros que podem ocorrer na fase da resolução de um problema. Os erros cometidos devido à mudança

Erros em Processos Numéricos

Capítulo 1

2 Cálculo Numérico

da base de processamento, os erros de representação, devido ao sistema uti-lizado pelos computadores para armazenar dados numéricos; os erros de arredondamento e truncamento; e erros absolutos e relativos.

1.2 Erros na fase da modelagem

São os erros decorrentes de simplifi cações, muitas vezes necessárias, para que o fenômeno da natureza que estivermos observando possa ser repre-sentado por um modelo matemático e que tenha condições de ser tratado com as ferramentas matemáticas disponíveis.

1.3 Erros na fase de resolução

São erros provenientes da utilização de algum equipamento, como, por exem-plo, um computador, para processarmos os cálculos necessários à obtenção de uma solução para o modelo matemático. Tais erros ocorrem devido ao fato de os equipamentos terem capacidade limitada para armazenar os dígitos signifi cativos de valores numéricos utilizados nas operações elementares de adição, multiplicação, subtração e divisão.

Os erros nesta fase de resolução podem ser classifi cados em erros na mudança de base e erros de representação, apresentados a seguir:

Erros na mudança da base

A maioria dos equipamentos computacionais representa os valores numé-ricos no sistema binário. Assim, quando os dados numéricos presentes nos modelos matemáticos são lidos, estes são transformados em uma outra base de representação.

Figura 1.1

Erros em Processos Numéricos 3

Acontece, muitas vezes, que esta transformação pode ser acometida de erros, em razão da limitação da representação do equipamento computacio-nal que estamos utilizando para o processamento dos dados numéricos.

Dado um número real, N, é sempre possível representá-lo em qualquer base b, da seguinte forma:

N a bb ii

i n

m

==∑ ×

onde a bi ∈ −{ }0 1 2 3 1, , , ,...,( ) , com n e m inteiros.

Base bináriam

i2 i

i n

N a ×2=

= ∑ , { }ia 0,1∈

Exemplo 1.1

a) 0 1 2 32(1011) 1× 2 1× 2 0 × 2 1× 2= + + +

Neste caso, o binário só tem a parte inteira, isto é, i = 0, 1, 2, 3, e temos:

0 1 2 31, 1, 0, 1= = = =a a a a

b) 2 1 0 1 22(111.01) 1× 2 0 × 2 1× 2 1× 2 1× 2− −= + + + +

Neste caso, o binário tem parte inteira e parte fracionária, isto é, n = –2 e m = 2, e portanto:

2 1 0 1 21, 0, 1, 1, 1− −= = = = =a a a a a

Base decimalm

i10 i

i n

N a ×10=

= ∑ , { }ia 0, 1, ..., 9∈ , com n e m inteiros.

Exemplo 1.2

a) 0 1 210(231) 1×10 3 ×10 2 ×10= + +

Neste caso, o número na base decimal é inteiro, i = 0, 1, 2 e temos:

0 1 21, 3, 2= = =a a a

b) 2 1 0 1 210(231.35) 5 ×10 3 ×10 1×10 3 ×10 2 ×10− −= + + + +

Neste caso, o número na base decimal tem parte inteira e parte fracionária, n = –2 e m = 2, e temos:

2 1 0 1 25, 3, 1, 3, 2− −= = = = =a a a a a

Assim, dado um número real qualquer numa base b, podemos escrevê-lo em uma outra base b’, a partir de adequação conveniente de seus coefi cien-tes ai = 0, 1, 2, 3, ..., (b – 1) e de uma potência adequada na nova base b’.


Mudança da base binária para a base decimal

Procedimento: multiplicar o dígito binário por uma potência adequada de 2.

Exemplo 1.3a) 0 1 2 3

2 10(1101) 1× 2 0 × 2 1× 2 1× 2 (13)= + + + =b) 3 2 1 0 1 2

2 10(111.011) 1× 2 1× 2 0 × 2 1× 2 1× 2 1× 2 (7.375)− − −= + + + + + =

Mudança da base decimal para a base binária (número na base decimal tem somente a parte inteira)

Procedimento: divisões sucessivas.O procedimento consiste na divisão do número na base decimal sucessi-

vamente por 2, armazenando, a cada passo, o algarismo do resto (r), até que oquociente da divisão seja igual a 1. O binário é constituído pelo quociente 1 e pelos coefi cientes do resto da divisão, a partir do resto mais signifi cativo(rn – 1) para o menos signifi cativo (r1). Desta forma, temos:

N10 = (1 rn – 1 rn – 2 rn – 3 ... r3 r2 r1)2

Exemplo 1.4a) 0 1 2 3 4

10 2(25) (11001) 1× 2 0 × 2 0 × 2 1× 2 1× 2= = + + + + , isto é:25 ÷ 2 = 12 e resto = 1, 12 ÷ 2 = 6 e resto = 0, 6 ÷ 2 = 3 e resto = 03 ÷ 2 = 1 e resto = 1.

b) 0 1 2 310 2(11) (1011) 1× 2 1× 2 0 × 2 1× 2= = + + +

Mudança da base decimal para a base binária (número na base decimal tem somente a parte fracionária)

Procedimento: multiplicações sucessivas.O procedimento é constituído dos seguintes passos:

a) Multiplicamos o número fracionário por 2.b) Do resultado do passo a), a parte inteira é o primeiro dígito binário.c) Do resultado do passo b), a parte fracionária é novamente multipli cada

por 2.d) O processo continua até que a parte fracionária seja nula.

Exemplo 1.5a) 1 2 3 4 3

1610 2 10(0.1875) (0.0011) 0 × 2 0 × 2 1× 2 1× 2 ( )− − − −= = + + + = , isto é:(0.1875)(2) = 0.375 → parte inteira = 0 e parte fracionária = 0.375(0.375)(2) = 0.75 → parte inteira = 0 e parte fracionária = 0.75(0.75)(2) = 1.5 → parte inteira = 1 e parte fracionária = 0.5(0.5)(2) = 1.0 → parte inteira = 1 e parte fracionária = 0


b) 10 10 10 2 2 2(13.25) (13) (0.25) (1101) (0.01) (1101.01)= + = + =

c) 10 2(0.2) (0.001100110011...)=

Observe que (0.2)10 é uma dízima periódica de período (0.0011). Assim, o decimal (0.2)10 não tem uma representação binária exata, isto é, a representação é aproximada e, portanto, apresenta erro.

1.4 Erros de representaçãoNa construção de um equipamento computacional, uma questão importante a ser considerada em sua arquitetura é a forma que será adotada para represen-tar os dados numéricos. Basicamente, na memória de um equipamento, cada número é armazenado em uma posição que consiste de um sinal que identifi ca se o número é positivo ou negativo e um número fi xo e limitado de dígitos signifi cativos.

De maneira geral, destacamos o seguinte sistema de armazenamento de valores numéricos:

Sistema de ponto fl utuante normalizado

Um número no sistema de ponto fl utuante é caracterizado por uma base b, um número de dígitos signifi cativos n e um expoente exp.

Dizemos que um número real nr está representado no sistema de ponto fl utuante se for possível escrevê-lo da seguinte maneira:

nr = m × bexp

onde m é a mantissa do número, 2≥b é a base e exp é o expoente da base.Neste sistema de ponto fl utuante, as seguintes condições devem ser

verifi cadas:

m = ± 0. d1 d2 ... dnMn ∈ N

sendo n o número máximo de dígitos na mantissa, d1, d2, ..., dn, dígitos sig-nifi cativos da mantissa, do sistema de representação, com o primeirodígito satisfazendo a condição 11 d (b 1)≤ ≤ − e os demais dígitos satisfa zendo

i0 d (b 1)≤ ≤ − ; i = 2, 3, ..., n.O expoente exp varia da seguinte maneira:

mí n máxexp exp exp≤ ≤

sendo mí nexp 0≤ e máxexp 1≥ com expmín e expmáx inteiros.A união de todos os números em ponto fl utuante, juntamente com a re-

presentação do zero, constitui o sistema de ponto fl utuante normalizado, que indicamos por SPF (b, n, expmín, expmáx).


Neste sistema, o zero é representado da seguinte maneira:

zero :0.0000.......0 bexpmín

Considerando o sistema de ponto fl utuante normalizado dado na formagenérica por SPF (b, n, expmín, expmáx), temos:

a) O menor positivo exatamente representável, não nulo, é o real formado pela menor mantissa multiplicada pela base elevada ao menor expoen-te, isto é:

menor = (0.1000.......0) bexpmín

b) O maior positivo exatamente representável é o real formado pela maior mantissa multiplicada pela base elevada ao maior expoente, isto é:

maior = (0 . [b � 1][b � 1] ... [b � 1]) bexpmáx

c) O número máximo de mantissas positivas possíveis é dado por:1nb)1b(mantissas −

+ −=

d) O número máximo de expoentes possíveis é dado por:

possíveis máx mí nexp exp exp 1= − +

e) O número de elementos positivos representáveis é dado pelo produto en-tre o número máximo de mantissas pelo máximo de expoentes, isto é:

possíveisNR mantissas × exp+ +=

Se considerarmos que dado um número real ∈nr SPF temos que − ∈nr SPF e a representação do zero, podemos concluir que o número total de elementos exatamente representáveis NRt é dado por:

tNR 2 × NR 1+= +

Exemplo 1.6

Considere o sistema de ponto fl utuante SPF (b, n, expmín, expmáx) = SPF (3, 2, –1, 2), isto é, de base 3, 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a –1 e maior expoente 2. Para este sistema temos:

a) O menor exatamente representável:

1 1 2 1 10.10 × 3 (1× 3 0 × 3 ) × 3

9− − − −= + =

n vezes

�(n–1) vezes

�

n vezes�


b) O maior exatamente representável:

1 22 20.22 × 3 (2 × 3 2 × 3 ) × 3 8− −= + =

c) A quantidade de reais positivos exatamente representáveis:

Temos que a quantidade de reais positivos exatamente representáveis édada pelo produto entre todas as mantissas possíveis de dois dígitos, formadas com os dígitos da base 3, isto é, 0.10, 0.11, 0.12, 0.20, 0.21, 0.22, e todas as pos-sibilidades de expoentes, que no caso são –1, 0, 1, 2.

Desta forma, os 24 positivos exatamente representáveis estão listados a seguir:

1

0

1

2

exp 1: 0.10 × 3 1/9

exp 0: 0.10 × 3 1/3

exp 1: 0.10 × 3 1

exp 2: 0.10 × 3 3

−= − =

= =

= =

= =

1

0

1

2

exp 1: 0.11× 3 4/27

exp 0: 0.11× 3 4/9

exp 1: 0.11× 3 4/3

exp 2: 0.11× 3 4

−= − =

= =

= =

= =

1

0

1

2

exp 1: 0.12 × 3 5/27

exp 0: 0.12 × 3 5/9

exp 1: 0.12 × 3 5/3

exp 2: 0.12 × 3 5

−= − =

= =

= =

= =

1

0

1

2

exp 1: 0.20 × 3 2/9

exp 0: 0.20 × 3 2/3

exp 1: 0.20 × 3 2

exp 2: 0.20 × 3 6

−= − =

= =

= =

= =

1

0

1

2

exp 1: 0.21× 3 7/27

exp 0: 0.21× 3 7/9

exp 1: 0.21× 3 7/3

exp 2: 0.21× 3 7

−= − =

= =

= =

= =

1

0

1

2

exp 1: 0.22 × 3 8/27

exp 0: 0.22 × 3 8/9

exp 1: 0.22 × 3 8/3

exp 2: 0.22 × 3 8

−= − =

= =

= =

= =

Observe que o menor real positivo representável é 19

e o maior positivo representável é o real 8.

Por outro lado, sabemos que se um real x ∈SPF então –x ∈SPF e, como no sistema de ponto fl utuante normalizado o zero é uma representação, te-mos que os representáveis de SPF pertencem ao conjunto:

R = � {}1 1x; x , 8 8, 09 9

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∈ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∪ ∪ �


Todos os reais que não pertencem à união dos intervalos anteriores não são representáveis e qualquer tentativa de representação fora dos intervalos an-teriores constitui-se em uma mensagem de erro, isto é,

Erro de Underfl ow, se a tentativa de representação satisfi zer:

Erro de Overfl ow, se a tentativa de representação satisfi zer:

Se marcarmos os reais exatamente representáveis na reta real, verifi ca-remos, num primeiro momento, uma maior concentração de representáveis nas proximidades do zero e uma menor concentração à medida que nos afasta mos da origem e que, aparentemente, não existe uma uniformidade na sua distribuição.

No entanto, é possível observar que os representáveis defi nidos através do produto de cada uma das mantissas multiplicada pela base elevada ao mesmo expoente são igualmente espaçados na representação sobre a reta.

Assim, os reais

10.10 × 3− , 10.11× 3− , 10.12 × 3− , 10.20 × 3− , 10.21× 3− , 10.22 × 3−

são igualmente espaçados por 31h

27= .

Os reais

00.10 × 3 , 00.11× 3 , 00.12 × 3 , 00.20 × 3 , 00.21× 3 , 00.22 × 3

são igualmente espaçados por 21h9

= .

Enquanto os reais

10.10 × 3 , 10.11× 3 , 10.12 × 3 , 10.20 × 3 , 10.21× 3 , 10.22 × 3

são espaçados por 11h3

= .

E os reais representados por

20.10 × 3 , 20.11× 3 , 20.12 × 3 , 20.20 × 3 , 20.21× 3 , 20.22 × 3

são igualmente espaçados por h0 = 1.De modo geral, podemos representar o espaçamento entre os representá-

veis exatamente da seguinte maneira:

i i1h ; i 0, 1, 2, 33

= =

Exemplo 1.7Considere o sistema de ponto fl utuante SPF (2, 3, –1, 2), isto é, de base 2, 3 dígitos na mantissa, menor expoente igual a –1 e maior expoente 2.


Para este sistema temos 16 reais positivos exatamente representáveis além do zero.

A representação na reta real de alguns dos reais positivos do sistema SPF (2, 3, –1, 2) pode ser visualizada através da Figura 1.2:

Figura 1.2

Observe que o menor positivo exatamente representável é 1/4 e o maior é 7/2.

Exemplo 1.8

Considere o sistema de ponto fl utuante normalizado SPF (3, 2, –1, 2), de base 3, 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a –1 e maior expoente 2.

Para este sistema, temos que:

13

1x (0.10) × 39

−= = e 23y 5 (0.12) × 3= =

são exatamente representáveis, no entanto,( ) ( . ) ( . )x y+ = +0 00010 3 0 1232

3× × ( . )=3 0 1201 32

32× × não é exatamente representável em SPF, uma vez que no

sistema de ponto fl utuante considerado a mantissa é de 2 dígitos.

ObservaçãoPode ocorrer de outras propriedades consagradas no conjunto dos números reais não serem verdadeiras, no sentido da exatidão da representação, no sistema de ponto fl utuante normalizado, como as propriedades comuta-tiva e associativa na adição, e as propriedades comutativa e distributiva na multiplicação.

Exemplo 1.9

Dados x , y , z ∈ℜ e o sistema de ponto fl utuante normalizado SPF (3, 2, –1, 2),temos:

Se 13

5x (0.12) × 33

= = , 13

7y (0.21) × 327

−= = e 03

8z (0.22) × 39

= =

temos:

( ) 1x y z 0.22 × 3+ + = e ( ) 1x y z 0.21× 3+ + =


Podemos observar que:

x +(y + z) ≠ (x + y) + z

1.5 Erro de arredondamentoQuando estamos utilizando um equipamento computacional para proces-sar uma determinada operação aritmética, se o número obtido não pertencer às regiões de Underfl ow ou de Overfl ow e este não é representável exata-mente no sistema de ponto fl utuante SPF o mesmo será representado de forma aproximada por nra.

Esta aproximação será caracterizada como um arredondamento do real nr, para que sua representação seja possível no SPF.

Assim, dizemos que um número na base decimal nr foi arredondado na posição k se todos os dígitos de ordem maior que k forem descartados segundo o seguinte critério:

a) O dígito de ordem k é acrescido de uma unidade se o de ordem (k + 1)for maior que a metade da base. Caso contrário, o número nr é repre-sentado com os k dígitos iniciais.

b) Se o dígito de ordem (k + 1) é exatamente a metade da base e o de ordem k é par, então o número nr é representado com k dígitos e,se o dígito de ordem k é ímpar, então o de ordem k é acrescido de uma unidade.

c) O arredondamento por corte considera que, para obter um número com k dígitos, simplesmente trunca-se na posição k.

Exemplo 1.10Consideremos um equipamento com o sistema de ponto fl utuante normali-zado SPF (b, n, expmín, expmáx) = SPF (10, 4, –5, 5).

a) Se 3a 0.5324 ×10= e 2b 0.4212 ×10−= , então 1a b 0.22424688 ×10× = ,que é arredondado e armazenado como 1

a(a x b) 0.2242 ×10= .

b) Se 3a 0.5324 ×10= e 2b 0.1237 ×10= , então 3a b 0.54477 ×10+ = , que é arredondado e armazenado como 3

a(a b) 0.5448 ×10+ = .

1.6 Erro absolutoDefi nimos erro absoluto como

abs ex aproxE a a= −

onde aex é o valor exato da grandeza considerada e aaprox é o valor aproxi-mado da mesma grandeza.


Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível, a defi nição anterior fi ca sem sentido. Assim, é necessário trabalharmos com um limi-tante superior para o erro, isto é, escrevê-lo na forma:

ex aproxa a− ≤ ε

onde ε é um limitante conhecido.A desigualdade anterior pode ser entendida da seguinte maneira:

–ε ≤ �aex – aaprox� ≤ ε

ou ainda

aprox ex aproxa a a− ε ≤ ≤ + ε

isto é, aaprox é o valor aproximado da grandeza aex com erro absoluto não superior a ε.

1.7 Erro relativoDefi nimos erro relativo como:

ex aproxrel

ex ex

a aEE

a a

−= =

onde aex é o valor exato da grandeza considerada e aaprox é o valor aproxi-mado da mesma grandeza.

Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível, a defi nição anterior fi ca sem sentido. Dessa forma, é preciso trabalharmos com um limi-tante superior para o erro relativo, isto é, escrevê-lo na forma:

aproxaε

δ ≤

onde δ, é um limitante conhecido.Podemos observar que o erro relativo nos fornece mais informações sobre

a qualidade do erro que estamos cometendo num determinado cálculo, uma vezque no erro absoluto não é levada em consideração a ordem de grandeza do valor calculado, enquanto no erro relativo esta ordem é contemplada.

Exemplo 1.11a) Consideremos o valor exato aex = 2345.713 e o valor aproximado

aaprox = 2345.000

Então,Eabs = 0.713Erel = 0.00030396


b) Consideremos o valor exato aex = 1.713 e o valor aproximado aaprox = 1.000

Então,Eabs = 0.713Erel = 0.416229

Observe que nos exemplos a) e b) o erro absoluto é o mesmo, embora o erro cometido pela aproximação seja muito mais signifi cativo no exemplo b). No exemplo a), o erro relativo é da ordem de 0.03%, e no exemplo b), é da ordem de 41.6%.

ObservaçãoEm geral, nos procedimentos numéricos geramos uma seqüência de soluções aproximadas que convergem ou não para a solução desejada do problema. Os erros absolutos e relativos serão usados como critério de parada nestas seqüên cias de aproximações. Em geral, o erro relativo é preferível, devido às observações nos exemplos anteriores.

Exemplo 1.12Para resolver a equação 2f(x) x a 0= − = , com a > 0, podemos utilizar o seguinte processo iterativo:

n 1 nn

1 ax x2 x+

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ n = 0, 1, 2, ...

Assim, dado o valor x0, podemos, através da expressão anterior, gerar a seqüência de soluções aproximadas x1, x2, ...

Dado que a propriedade de convergência da seqüência de aproxi-mações esteja estabelecida e uma tolerância pré-fi xada ε foi defi nida para o cálculo de uma raiz da equação f(x) = 0, podemos verifi car, de forma absolu-ta, se a seqüência de aproximações atingiu a precisão anterior ε, realizandoo seguinte teste:

Se n 1 nx x+ − ≤ ε for verdadeiro, dizemos que xn+1 é a raiz da equação f(x) = 0 com tolerância ε; caso contrário, devemos calcular outro elemento da seqüência. Podemos de forma alternativa realizar o seguinte teste:

Se n 1 n

n 1

x x

x

+

+

−≤ ε for verdadeiro, concluímos que xn+1 é a raiz da equação

com a tolerância ε e, em caso contrário, devemos proceder ao cálculo de outro termo da seqüência. No primeiro teste, usamos Eabs e no segundo Erel.

1.8 Erro de truncamentoQuando representamos uma função através de uma série infi nita e, por limi-tações do sistema de armazenamento de dados do equipamento, considerar-mos apenas um número fi nito de termos, dizemos que estamos cometendo um erro de truncamento.


Exemplo 1.13

a) Consideramos a representação de uma função f(x) utilizando a Série de Taylor, nas vizinhanças do ponto x:

2 n(1) (2) (n)(x x ) (x x ) (x x )

f(x) f(x) f (x) f (x) ... f (x) ...1! 2! n!− − −

= + + + + +

onde (n)f (x) é o valor da n-ésima derivada da função f(x) no ponto x.Quando truncamos a série no 3o termo, isto é, considerando apenas os termos até a derivada de ordem 2, na expressão anterior, temos um erro cometido nesta aproximação, como segue:

2(1) (2)(x x ) (x x )

f(x) f(x) f (x) f (x)1! 2!− −

≅ + +

b) Consideremos o desenvolvimento de xf(x) e= em Série de Taylor, isto é:

2 3 nx x x x

e 1 x ... ...2! 3! n!

= + + + + + +

ou, de forma compacta:n

x

n 0

xe

n!

∞

=

= ∑Suponha que o equipamento utilizado para trabalhar numericamente

com a série seja capaz de armazenar somente dados referentes aos 4 primeiros termos, isto é:

2 3x x x

e 1 x2! 3!

≅ + + +

Neste caso, desprezamos todos os termos de potência maiores que 4, isto é, truncamos a série no termo de potência de ordem 3.

Destacando os quatro primeiros termos da série, podemos escrevê-la da seguinte maneira:

( )n

x 3 2

n 4

1 xe x 3 x 6 x 66 n!

∞

=

= + + + + ∑Vamos supor que desejamos calcular o valor de ex para x = 2 usando

apenas os quatro primeiros termos da série, isto é, a série truncada.Neste caso, temos e2 = 6.33333, que é um valor com erro absoluto bem

signifi cativo quando comparado com o valor e2 = 7.38906 obtido numa calcu-ladora científi ca que armazena uma quantidade maior de termos da série.


1.9 Propagação dos errosQuando desenvolvemos ou utilizamos um processo numérico para buscar a so-lução de um determinado problema, normalmente o processamento envolve um número muito grande de operações elementares. Assim, na maioria das vezes, o erro cometido em uma operação isolada pode não ser muito signifi cativo para a solução do problema que estamos tratando, mas sim, é necessário analisar como oserros se propagam quando tratamos com muitas operações no processamento.

Neste caso, é fundamental termos o conhecimento da forma com que estes erros estão se propagando, isto é, caso estejam se acumulando a uma taxa crescente, dizemos que o erro é ilimitado, e a seqüência de operações é considerada instável.

Se, por outro lado, os erros estão se acumulando a uma taxa decres-cente, dizemos que o erro é limitado e, portanto, a seqüência de operaçõesé considerada estável.

Podemos visualizar, através da Figura 1.3, as situações de erros ilimi-tado e limitado:

Exemplo 1.14

Usando aritmética de ponto fl utuante de 4 dígitos, base decimal e arredon-damento por corte, calcule o valor da seguinte soma:

4

i ii 1

S (x y )=

= +∑ , sendo xi = 0.46709 e yi = 3.5678

Para i = 1, na aritmética defi nida, realizamos inicialmente a operação que resulta no seguinte valor aproximado:

11 1 1S (x y ) 0.4034 10= + = ×

Calculando o erro absoluto, temos:2

abs1E 4.03569 4.034 0.00169 0.169 10−= − = = ×

Figura 1.3

a) b)


Para i = 2, realizamos a operação que resulta no seguinte valor aproximado:

12 1 1 2 2S (x y ) (x y ) 0.8068 10= + + + = × ,

cujo erro absoluto é dado por:

2abs 2E 8.07138 8.068 0.00338 0.338 10−= − = = ×

Observe que, ao realizarmos a mesma operação de adição por duas vezes, cometemos um erro absoluto signifi cativamente maior.

Para i = 3, realizamos a operação que resulta no seguinte:

23 1 1 2 2 3 3S (x y ) (x y ) (x y ) 0.1210 10= + + + + + = ×

cujo erro absoluto é dado por:

2abs3E 12.10707 12.10 0.00707 0.707 10−= − = = ×

Para i = 4, repetindo o mesmo procedimento, obtemos o seguinte valor para a soma:

24 0.1613 10= ×S ,

que apresenta o seguinte erro absoluto:

1abs3E 16.14276 16.13 0.01276 0.12767 10−= − = = ×

Como podemos observar, na medida em que aumentamos o número de parcelas na operação de adição, considerando a aritmética defi nida anterior-mente, aumentamos também o erro absoluto cometido na soma fi nal. Desta forma, a seqüência de operações pode tornar-se instável, conforme gráfi co na Figura 1.3 a).

Exemplo 1.15Para resolver a equação 0ax)x(f 2 =−= , com a > 0, podemos utilizar o seguinte processo iterativo:

n 1 nn

1 ax x

2 x+⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠, para n = 0, 1, 2, ...

Neste procedimento, em cada iteração estão envolvidas as operaçõesde adição, multiplicação e divisão, que são repetidas até que se calcule o valoraproximado xn para solução da equação com uma precisão ε desejada.

Desta forma, se o valor fi nal xn está sujeito a um determinado tipo de erro, a cada iteração realizada este erro pode se propagar ao longo do pro-cesso. Se este procedimento convergir para a solução x da equação, apesar dos erros cometidos, temos que a seqüência de operações se torna estável, conforme gráfi co da Figura 1.3 b).


Exercícios1. Representar na base binária os seguintes números decimais:

a) 13b) 29.75c) 17.6d) 0.46875

2. Represente o número decimal (0.2) na base binária com 4, 8, 12 e 16 dígitos.

3. Considerando que a base 16 é representada através dos dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, represente:a) (27D)16 na base decimalb) (27D.9)16 na base decimalc) (32.E.32)16 na base decimal

4. Representar os seguintes números na forma normalizadaa) (100)10b) (0.0158)10c) (101)2

5. Representar os seguintes números na base binária na forma normalizadaa) (0.1875)10b) (25.75)10c) (437)8

6. Represente na reta os positivos exatamente representáveis do sistema de ponto fl utuante normalizado SPF(3, 2, –1, 2).

7. Considere o sistema de ponto fl utuante normalizado SPF = SPF (2, 4, –1, 2) de base 2, 4 dígitos na mantissa, menor expoente –1 e maior expoente 2. Para este sistema:a) Qual é o menor positivo exatamente representável?b) Qual é o maior positivo exatamente representável?c) Quantos são os exatamente representáveis positivos?d) Qual é o número total de reais exatamente representáveis?e) Represente na reta todos os positivos exatamente representáveis.f) Defi na as regiões de overfl ow e de underfl ow.

8. No sistema de ponto fl utuante normalizado SPF (2, 3, –1, 2), represente, em cada caso, o valor arredondado e o arredondado por corte (truncado) das seguintes operações:a) 0 10.101× 2 0.110 × 2 −+b) 0 10.101× 2 0.111× 2+c) 0 10.111× 2 × 0.110 × 2 −


9. Considere o sistema de ponto fl utuante normalizado SPF (3, 2, –1, 2), de base 3, 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a –1 e maior expoen-te 2. Para este sistema, temos que:

a) 91=x e y = 5 são exatamente representáveis. Verifi que se x + y é

exatamente representável em SPF.

b) 34=x e y = 1 são exatamente representáveis. Verifi que se x + y é

também exatamente representável em SPF.

10. Considere um equipamento cujo sistema de ponto fl utuante normali-zado é SPF (2, 10, –15, 15), de base 2, 10 dígitos na mantissa, menor ex-poente –15 e maior expoente 15. Para este sistema:a) Qual o menor positivo exatamente representável? b) Qual é o próximo positivo, depois do menor positivo representável?c) Transforme o menor positivo e o próximo para a base decimal.d) Verifi que se existem reais entre o menor e o próximo positivo. Comente.e) Qual o maior positivo exatamente representável?f) Quantos são os exatamente representáveis positivos?

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4 edição revista e ampliada

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Sobre os autores

Selma Helena de Vasconcelos Arenales

Artur Darezzo Filho

Professora do Departamento de Mate-mática da Universidade Federal de São Car-los-UFSCar. Graduada em Matemática pelaUniversidade Estadual Júlio Mesquita Filho(Unesp) e mestre em Matemática Aplicadapela Universidade Estadual de Campinas(Unicamp). Possui experiência na área deMatemática, com ênfase em matemáticaaplicada, atuando em projetos de pesquisa eorientação de alunos nas áreas de Otimiza-ção e Análise Numérica, com enfoques namodelagem de problemas e métodos numé-ricos de resolução. Tem publicado trabalhosem congressos em ensino de Matemática,principalmente no ensino de Cálculo Numé-rico com ferramentas computacionais.

Licenciado em Matemática pela Facul-dade de Filosofia, Ciências e Letras de RioClaro SP (1971), mestre em Ciências daComputação e Estatística opção computa-ção pela Universidade de São Paulo USP,São Carlos (1978), doutor em EngenhariaCivil pela Universidade de São Paulo USP,São Carlos (1996). Desde 1972 é professorvinculado ao Departamento de Matemáticada Universidade Federal de São Carlos, ondeexerceu as funções de docente, pesquisadorna área de Modelagem Matemática e Méto-dos Numéricos e coordenador do curso deMatemática. A partir do ano de 2001, comoprofessor aposentado, passou a ser professorconvidado voluntário no mesmo Departa-mento de Matemática até a presente data.Foi também professor e coordenador docurso de Matemática Aplicada e Computa-cional do Centro Universitário Central Pau-lista Unicep São Carlos (SP). Atualmenteexerce as funções de Diretor Acadêmico daEscola Superior de Tecnologia e Educação deRio Claro, Rio Claro SP.

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