aula matemÁtica digital

AULA MATEMÁTICA DIGITAL

www.aulamatematica.com 1

Número 2 - Marzo 2008

DP. - AS - 5119 – 2007 ISSN: 1988 - 379X 2



Revista semestral gratuita de Matemáticas y Ciencia Marzo 2008

2

Editorial

5-6

Simpsons y Matemáticas: Homer3 7-10 Marta Martín Sierra y Abel Martín

MKT eta ZKH o el algoritmo de Aitor 11-13 Goyo Lekuona

Introducción a la Programación con la calculado-ra Gráfica fx 9750G PLUS 15-17

Ángel Aguirre Pérez Matecinesis de Aschero 18-21

Sergio Aschero Fútbol y Estadística 23-25 Álvaro Valdés Menéndez

Series de Fourier en la ClassPad 300 Plus 26-29 Gonzalo Mauricio Obando Ojeda

Trabajar los números complejos con la ayuda de

la calculadora gráfica 30-33 Rosana Álvarez García

Círculo de Mohr 34-37 Julio César Silva Miranda

Cálculo del DÍA de la SEMANA en función de la FECHA. 38-40

Rafael Gómez Guillamón Literatura Matemática 41

Marta Martín Sierra Cine y Matemáticas 42-45

Abel Martín

Concurso "Programemos con Classpad" 46 Abel Martín

Director

Abel Martín

Consejo de Redacción

Ángel Aguirre Pérez

Rosana Álvarez García

Marta Martín Sierra

Álvaro Valdés Menéndez

Natividad Díaz Ortolá

Web

www.aulamatematica.com

Diseño de la portada

Abel Martín

Maquetación

Abel Martín

ISSN: 1988-379X

Depósito Legal: AS-5119-2007

Edita: www.aulamatematica.com

Aula Matemática Digital no se identifica necesariamente con las opiniones vertidas en las colaboraciones

firmadas


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EDITORIAL

Nuestra revista, Aula Matemática Digital, empieza a dar sus primeros pasos.

Cuando iniciamos la andadura, con un monográfico, vimos la conve-niencia de realizar artículos no muy largos.

Intentamos que fuese trimestral, pero resultaba casi el suceso impo-sible. La experiencia nos ha llevado a hacerla semestral, que sea al-go producto de la necesidad de las personas de contar "sus cosas" relacionadas con las matemáticas, de la ilusión y nunca del estrés de llegar a tiempo.

También queremos destacar el carácter internacional que está adqui-riendo, gracias a la capacidad de Internet de poder llegar a todos los confines del planeta, por muy alejados que estén.

Esperamos ir creciendo poco a poco. Hay temas que se van consoli-dando, como la "Literatura matemática", "Las matemáticas y el Ci-ne" y numerosas cuestiones relacionadas con la metodología Class-Pad, la enseñanza y, sobre todo, la programación, donde creo hay en estos momentos un vacío y un hueco a llenar.

A raíz del concurso "Programemos con Classpad" ha empezado a surgir una corriente de inquietud relacionada con este tema, plas-mado en el gran porcentaje de artículos relacionados con el mismo.

Al cierre de la edición de la Revista sigue reunido el jurado para es-tablecer los finalistas y premiados en el I CONCURSO DE "PROGRAMACIÓN" que lleva por nombre "Programemos con CLASSPAD", ante la gran cantidad de trabajos aportados y la calidad de los mismos, que nos ha desbordado por completo, en fechas muy difíciles en nuestro quehacer diario de clases, exámenes, organiza-ción, etc. Lo que sí queremos destacar es el patrocinio de CASIO en la entrega de premios y el entusiasmo siempre demostrado por su asesor didáctico, el profesor Jordi Baldrich, ayudando en la medida de sus posibilidades a cuantas iniciativas vamos desarrollando.

Nos reiteramos en nuestros objetivos de mantener actualizada la comunidad educativa respecto a la utilización de las nuevas tecnolo-gías en el aula, últimas noticias, novedades importantes, actualidad, Congresos y Jornadas, artículos con actividades diseñadas especial-mente con calculadoras, no sólo para el área de Matemáticas sino de otras disciplinas como Tecnología, Física, Química… para lo que con-taremos con expertos colaboradores, así como una sección para la publicación de los mejores trabajos presentados por los propios lec-tores, a los que intentaremos premiar de alguna manera.

Otro reto importante para el futuro será la formación del profesorado a través de cursos presenciales y cursos ONLINE. Pretendemos ser el escaparate del sitio www.aulamatematica.com dónde podréis am-pliar los temas de más interés, pero circunstancias adversas han im-pedido que pudiésemos iniciarlos de inmediato.

La temática queda abierta a los colaboradores y lectores… no hay más que ver temas realmente novedosos para quien escribe, como la "Matecinesis de Aschero", un tema apasionante pero complejo de explicar en pocas palabras, por lo que intentaremos poner un anexo en versión digital.

Estamos abiertos a todas las sugerencias que queráis dejarnos en el foro que abriremos a tal efecto o simplemente enviándonos un mail. En la Web www.aulamatematica.com nos encontraréis siempre que nos necesitéis.

Abel Martín


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Simpsons y Matemáticas: Homer3

Marta Martín Sierra, Facultad de Matemáti-cas de la Universidad de Oviedo.

Abel Martín, Profesor de Matemáticas del I.E.S. “Pérez de Ayala”, de Oviedo.

------------------------- La serie de Los Simpsons contiene un gran

número de referencias al mundo de las matemá-ticas y del área científico tecnológica. Son mu-chos los que desconocen que cinco de sus guio-nistas son licenciados e incluso doctores en Ma-temáticas, Física o informática.

Así pues, queremos iniciar este pequeño homenaje plasmando una reseña de estos perso-najes que se encuentran detrás de cada capítulo, en la sombra:

J. Stewart Burns: licenciado en Matemáticas por la Universidad de Harvard en 1992 y Máster en Ma-temáticas por U.C. Berkeley. Produc-tor y Guionista. David S. Cohen (David X. Cohen):

licenciado en Física por la Universidad de Harvard y Máster en Informática por U.C. Berkeley. Coproductor ejecu-tivo y guionista.

Al Jean: licenciado en 1981 en Ma-temáticas por la universidad de Har-vard. Uno de los primeros guionistas y actual jefe de guionistas.

Ken Keeler: doctor en Matemática Aplicada por la Universidad de Harvard y Máster en In-geniería Electrónica.

Jeff Westbrook: doctor en Ciencias Compu-tacionales por la Universidad de Princeton. Fue profesor en Yale y trabajó en los laboratorios AT&T antes de escribir en Los Simpsons.

Pasamos a analizar una parte del capítulo 6 de la temporada 7 de LOS SIMPSONS, emitido en 1995, muy interesante desde el punto de vis-ta matemático y que lleva por título Homer³

Argumento. En su intento por evitar a Patty y Selma, Homer Simpson encuentra un nuevo mun-do en tres dimensiones detrás de un armario y pasa de su mundo habitual, en el plano, a una es-pectacular tercera dimensión e incluso al mundo humano. Ha pasado del folio al espacio.

Analicemos ciertas escenas y detalles:

(1) El propio título ya encierra un concepto:

¿Por qué se dice Homer al cubo?

Se podría decir "Homer al caldero", "Homer al prisma", etc.

Si tenemos 23 Decimos "2 elevado al cubo", simplemente

porque se trata de una figura geométrica, un cu-bo, que tiene de lado 2 unidades.

Efectivamente, y además si lo comprobamos y

los contamos, estaría constituida por 8 cubitos: 23 = 8

Es un poliedro. Tiene 3 dimensiones: largo, ancho y alto. Si fuese al cuadrado estaríamos hablando de 2 dimensiones. De ahí que pensemos ya que habrá algo que relacione a Homer con la tercera dimensión.

(2) Aparición de términos técnicos, como "la topología hiperbólica", "la astrofísica" … reseñas a autores renombrados (Stephen Hawking), a pe-lículas de ambiente parecido (TRON), agujeros negros…


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(3) Homer pasea por una trama cartesiana tridimensional sobre la que podemos ver todo un conjunto de figuras poliédricas que nos permi-ten hacer un repaso y comprobar con los alumnos quién reconoce más figuras distintas:

Esferas, cilindros, cubos conos, prismas,…

destacando un espléndido giro panorámico de 360 grados, e incluso la famosa tetera de Utah (una referencia estándar al diseño de objetos en la comunidad de diseño de Gráficos por compu-tadora, considerada uno de los orígenes de la geometría computacional) y la forma de pasar del plano a 3D a través de la construcción de un cubo, tal y como nos enseñan en el colegio, desde pequeños, a cargo del famoso profesor Frink.

(4) Encontramos lo que parece ser un mensa-je codificado, pura criptografía. Tras su análisis podría tratarse de una serie de números hexa-decimales (base 16). Remarcar que la notación hexadecimal utiliza los numerales del 0 al 9 y las letras de la "A" a la "F", donde "A" equivale al decimal 10,"B" al decimal 11, y así hasta llegar a la "F", que equivale al decimal 15. La solución la podríamos dejar en manos de algún experto que nos pueda echar una mano.

¿Cuál puede ser el mensaje oculto?

46 72 69 6E 6B 20 72 75 6C 65 73 21

Intentémoslo nosotros. Tras una ardua labor de indagación, con la

ayuda de nuestro amigo el profesor Ángel Agui-rre, colaborador habitual de la revista, apoyán-donos en lo expresado anteriormente y con la utilización de un programa adecuado, hemos ob-tenido la siguiente expresión: Frink manda!

Si colocamos Frink rules! en un buscador de

Internet esta expresión nos manda directamen-te a una página Web cuya dirección es

http://www.lowb.org/alan/frink/ y que nos va a describir quién es el profesor

Frink, sus andanzas, inventos y apariciones en los diferentes capítulos de Los Simpsons. Cabría pensar que uno de los autores ha dejado un men-saje con su nombre, pero este capítulo consta como escrito por Scary John Swartzwelder, Steve Tombkins y David S. Cohen, bajo la direc-ción de Bedlam Bob Anderson.

(5) Aparición de expresiones matemáticas, igualdades…



1 + 1 = 2 (sin comentarios). eπi = - 1, es decir, eπi + 1 = 0, una de las más

hermosas ecuaciones que nos relacionan cons-tantes matemáticas famosas: π, i, e , 0, 1.

Si tratamos de comprobarla con una calcula-dora científica nos devuelve "Math ERROR", aunque trabajemos en la forma compleja.

Sin embargo, con calculadoras gráfica Class-Pad 300 de CASIO, inicialmente puede no ser capaz de calcular su valor,

pero en el momento que la preparamos para

trabajar en "formato complejo" realiza la opera-ción sin dificultad alguna:

(6) No obstante la que más ha dado que

hablar ha sido la expresión que se observa en el fondo y que no ha pasado desapercibida para muchos, conocida con el nombre de Teorema de Fermat:

Si n es un número entero mayor que 2 (n > 2),

entonces no existen números enteros x, y , z (excepto las soluciones triviales

x = 0 , y = 0 , z = 0) tales que cumplan la igualdad:

zn = xn + yn

178212 + 184112 = = 192212

¿Cómo puede ser?

Hagamos la comprobación con la calculadora:

¡Increíble! ¡Homer entra en un mundo en el

que el Teorema de Fermat se tambalea allá por el año 1995.

Pero no nos fiamos; así que vamos a compro-barlo con una función que tiene esta calculadora denominada "verify" que permite la verificación de igualdades:

Así que empezamos a sospechar que algún

duendecillo ha influido en estos resultados; acu-diremos a la versión 3.0 de ClassPad, capaz de realizar cálculos con más cifras:

¿Es posible que Homer, es decir los guio-nistas, hayan encontrado un contraejemplo que contradiga este famoso teorema que ha traído de cabeza más de 300 años a los más famosos matemáticos?


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Como podemos observar, este duendecillo al

que aludíamos se llama "redondeo". La calculado-ra, cuando nos da el resultado aproximado, en la décima cifra (señalada por las flechas) se pro-duce en el primer caso por exceso y en el segun-do por defecto, produciendo una engañosa apa-riencia de igualdad.

Realmente David X. Cohen, uno de los guio-nistas y productores de Los Simpsons vuelve a mostrarnos su formación matemática, no en vano se había pasado muchas horas trabajando en un programa que buscaba combinaciones de x, y, z y n que parecían cumplir el último teorema de Fermat: el resultado salta a la vista.

Buscaba que verificasen la ecuación antes mencionada con un error tan pequeño como se quisiera.

Precisamente es el año en el que Andrew Wi-les con la colaboración de Richard Taylor lo de-muestran.

Está demás decir que ganó mucho dinero. Pe-

ro la demostración no fue nada trivial, (95 hojas de demostración) además que tuvo que esperar a que se creara una nueva matemática para poder demostrar algo aparentemente simple, la "teoría de funciones elípticas", sin ella hubiera sido im-posible.

El Clay Institute después de casi 5 años de estudio del teorema, procedió a entregarle el premio.

(7) P = NP Vamos a citar muy brevemente, a modo de

idea, que es lo que dice la Wikipedia de este concepto.

En computación, cuando el tiempo de ejecu-ción de un algoritmo (mediante el cual se obtiene una solución al problema) es menor que un cierto valor calculado a partir del número de variables

implicadas (generalmente variables de entrada) usando una fórmula polinómica, se dice que dicho problema se puede resolver en un tiempo poli-nómico.

Por ejemplo, si determinar el camino óptimo que se debe recorrer para pasa por N casas ne-cesita menos de 50·N2+N segundos, entonces el problema es resoluble en un "tiempo polinómico".

En teoría de la complejidad, la clase de com-plejidad de los problemas de decisión que pue-den ser resueltos en tiempo polinómico calculado a partir de la entrada por una máquina de Turing determinista es llamada P. Cuando se trata de una máquina de Turing no-determinista, la clase se llama NP. Una de las preguntas abiertas más importantes en la actualidad es descubrir si es-tas clases son diferentes o no. El "Clay Mat-hematics Institute" ofrece un millón de dólares a quien sea capaz de responder a esa pregunta.

(8) Por último queremos destacar ese valor que aparece de la densidad crítica para un Uni-verso plano. En este caso aparece con el signo ">", ya que este Universo deja de ser plano.

ρ > 3 H02 / 8πG

En fin, toda una declaración de intenciones,

de guiños, como si de una película de espionaje se tratase, buscando las pistas, los mensajes su-bliminales que los autores nos dejan a los que vamos mirando con "lupa " el capítulo: ¡Qué locos están estos amantes de las

Matemáticas!



MKT eta ZKH o el algoritmo de Aitor

(dedicado a Txomin, mi maestro) Goyo Lekuona Colegio La Salle - Legazpi de Zumarraga.

A la derecha, Goyo Lekuona, durante la entrega de premios de la Primera edición del concurso para la mejor Unidad Didáctica de "Profesores innovado-res"

------------------------- Bajo estas extrañas siglas se esconden el

máximo común divisor y el mínimo común múltiplo (son sus siglas en euskara). En este ejemplo quiero ilustrar como los alumnos actuales deben conocer los medios de los que disponen para fa-cilitarles su labor. De igual manera que si ahora me piden ir a Madrid, no se me ocurriría mon-tarme en un burro y hacer el viaje, ¿por qué a los alumnos se les sigue pidiendo que utilicen métodos de tiempos pasados? ¿No deberían do-minar y utilizar, de manera adecuada por su-puesto, las herramientas que la sociedad les proporciona?

Hay un error extendido que consiste en decir que mediante el uso de las nuevas tecnologías, la hoja de cálculo en este caso, los alumnos apren-den matemáticas. No. Los alumnos aprenden ma-temáticas y luego utilizan las herramientas de las que disponen para hacer más cómodo ese trabajo. Pero, repito, primero ellos deben aprender los conceptos matemáticos, deben in-teriorizar los procesos, y una vez realizado ese paso, pueden ayudarse del ordenador o la calcu-ladora para trabajar más cómodamente.

Lo cuento mediante un ejemplo. Este año, trabajando el mínimo común múltiplo y el máximo común denominador, primero repasamos como les han ido contando durante los diferentes cursos su cálculo. Primeramente lo hacían mediante lis-tas de múltiplos o divisores, según el caso, para luego ir comprobando cuales eran comunes a las diferentes listas.

Y una vez localizados los comunes, elegir el mínimo o el máximo según fuese lo pedido.

Veámoslo en la práctica. Si les pedimos a los alumnos que calculen el mcm y el MCD entre 6 y 15, la primera forma de abordar el trabajo que ven los alumnos es realizando una serie de múlti-plos para cada uno de los valores. Esto es, crea-rían dos listas una con los múltiplos del 6

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 …

y otra con los múltiplos del 15 15 30 45 60 75 90 105

120 135 150 165 180 195…

Una vez concluida la primera tarea, el pro-blema consiste en comprobar que valores apare-cen repetidos en las dos listas, de manera que así identificaríamos a los múltiplos comunes. En este caso tendríamos los valores 30 y 60. Y en-tre ellos el mínimo común múltiplo será el 30

Ahora ya podemos pasar a la segunda de las preguntas. Hallar el máximo común divisor. Para ello procedemos de forma análoga. Creamos una lista con los divisores de cada uno de los núme-ros, de manera que nos quedarían, para el 6, 6 3 2 y 1 y para el 15, 15 5 3 y 1. Al igual que lo rea-lizado anteriormente, identificamos los valores comunes a las dos listas ( el 3 y el 1) Y entre los divisores comunes, el máximo es el 3

Claro, en cuanto los números se hacen un poco más elevados que los del ejemplo, el asunto ya no es tan sencillo. Confeccionar las listas, y sobre todo identificar los números comunes es una la-bor considerable, ya que por un lado las opera-ciones son mas “difíciles” si nos piden calcular el mcm y el MCD entre por ejemplo 51 y 85, las lis-tas deben ser mas largas para detectar los ele-mentos comunes en la mayoría de los casos, y es-ta labor ya requiere una mayor atención a la hora de analizar los valores. Pero bueno, es una manera. De hecho, como se puede comprobar en el ejemplo colgado en

http://www.elkarrekin.org/web/goyo Si nos aliamos con la hoja de cálculo, puede

ser un buen sistema, ya que es sencillo de en-tender y el único problema, el trabajo repetiti-vo, se lo pasamos al ordenador. Y contra mas dominemos el ordenador, mas eficaz se nos pue-de hacer este sistema, pues contando con el formato condicional, el propio ordenador es ca-paz de marcarnos los valores repetidos en las dos listas.


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Pero bueno. Posteriormente se les enseña a calcularlo mediante la descomposición en facto-res primos. También es un sistema sencillo, pero en cuanto aparecen factores primos elevados es difícil darse cuenta y se complica mucho la reso-lución. De manera que nuevamente estamos ante un caso "sencillo" con los ejemplos preparados al efecto, pero si intentamos aplicarlo sobre núme-ros al azar, el asunto puede no ser tan sencillo.

De nuevo lo analizamos con un ejemplo. Ahora nos piden calcular el mcm y el MCD en-

tre 85 y 51. Con el sistema de las listas es largo, de manera que vamos a trabajarlo mediante la descomposición en factores primos.

Este trabajo tiene únicamente dos pegas, hacer las divisiones e identificar los números primos.



Si la primera dificultad se supone superada ( no creo que sea mucho pedir realizar las divisiones enteras para comprobar si el resto es cero ) la identificación de los números primos no es tan senci-lla sobre todo cuando los valores están mas allí de los típicos 2, 3, 5, 7, 11, 13... expresado mediante una sencilla pregunta, ¿es primo 331? ¿y 539?

Pero bueno, como este también es de los típicos ejemplos preparados para clase, los factores primos que componen los números no son muy grandes, de manera que los alumnos no tienen mucha dificultad en calcular sus descomposiciones factoriales. Y ellos enseguida nos dicen que 85 es 5∗17 y la descomposición factorial de 51 es 3∗17, de manera que recordando que para calcular el Máximo Común Divisor debo tomar los factores comunes a su mínimo exponente, ya tengo que el MCD es 17. Para el mínimo común múltiplo debo tomar los factores comunes y no comunes a su máximo exponen-te, resulta que el mcm me sale de multiplicar 17∗5∗3 = 255

Este sistema tiene considerables ventajas respecto al anterior. Además me sirve para enseñarles que la multiplicación de los dos números es igual al producto del mcm por el MCD, lo cual supone un gran avance, ya que me basta con calcular uno de los valores y el segundo lo saco a partir de una sen-cilla multiplicación y división. Es fácil demostrarlo.

Todos los factores no comunes se incluyen en el mcm, y de los comunes uno se incluye en el MCD y el otro en el mcm. De manera que todos los factores están incluidos. Lo explico con un ejemplo. Sean X e Y cuyas descomposiciones factoriales son

X = am ∗ bn ∗ cñ y la segunda, Y= ar ∗ bn ∗ ds

Tenemos el factor bn que se repite, de manera que una de sus apariciones va al MCD y la otra al mcm. Entre am y ar el mayor de ellos va al mcm y el menor al MCD. Y los factores cñ y ds al ser no co-munes van directamente al mcm. Con lo cual nos queda que

X∗Y = (am ∗ bn ∗ cñ ) ∗ ( ar ∗ bn ∗ ds) mcm ∗ MCD = (am ∗ bn ∗ cñ ∗ ds ) ∗ (ar ∗ bn )

Que como se puede deducir tienen igual resultado. Pero bueno, seguimos teniendo el problema de identificar los números primos que es el que hace

que el sistema, con números elegidos al azar, no sea tan eficiente. De manera que llegados a este punto vuelvo a meter en clase a mis amigos los clásicos griegos. En este caso a Euclides y su algorit-mo.


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Sencillo de entender y sencillo de implemen-tar. La única objeción es la cantidad de opera-ciones que debemos realizar. Pero por suerte para los alumnos disponemos de mucho mejores medios, y esto no debería ser un obstáculo.

El algoritmo de Euclides se basa en dividir el mayor de los dos números entre el menor, y comprobar el resto. Si es 0, está claro que el menor es divisor del primero. Y en caso de que el resto no sea 0, sustituimos el mayor de los valo-res por el menor, y en lugar del menor utilizamos el valor que nos ha salido en el resto. Dicho de otra forma, volvemos a aplicar el algoritmo pero ahora tomando el menor de los valores anterio-res y el resto de la división efectuada. Así va-mos realizando las sucesivas divisiones hasta hallar la que nos devuelve el resto 0, y el número utilizado como divisor, es el Máximo Común Divi-sor de los primeros dos números. Y con el siste-ma explicado antes es fácil encontrar el mcm. De manera que hemos encontrado otro sistema de cálculo, que no exige más que realizar senci-llas operaciones matemáticas, eso sí, puede que tengamos que realizar muchas divisiones. Pero no necesitamos “pensar”. Todo es muy “mecánico”. De manera que en este caso también las hojas de cálculo serán unas grandes aliadas.

Llegados a este punto yo les pido que confec-

cionen una hoja de cálculo que les permita, ante dos números al azar (solemos trabajar con la función aleatorio) consigan encontrar el mcm y el mcd. Me gustaría que tu también, lector, te pusieses en la misma tesitura. Encuéntralo para números de 5 cifras por ejemplo. Verás como tampoco nos resulta tan sencillo

Y lo mejor de la experiencia ha sido el caso de Aitor, un alumno amigo de la ley del mínimo esfuerzo. El me demostró que había entendido muy bien los conceptos, y por "ingeniería inver-sa" y una sencilla Casio fx-82ES era capaz de encontrarlos en cuestión de minutos.

Como la calculadora CASIO no era sospecho-sa de contar con la función para calcular dichos

conceptos, le reté a que me encontrase el m.c.m. y el m.c.d. le puse en dos casillas:

=aleatorio.entre(1;100000) y me generó dos números 12121 y 5797 Y él, en pocos minutos me dijo que la respues-

ta era m.c.d. igual a 527 y el m.c.m.133331. Pedí algunos ejemplos más y los respondió

bien salvo uno que no pudo aplicar directamente su sistema. Pregunté cómo los calculaba y me di-jo que escribiéndolos como fracción en la Casio, (escribía 12121/5797) la calculadora se lo sim-plificaba (en la pantalla mostraba al aceptar la fracción anterior 23/11). De manera que el valor por el que dividía debería ser el m.c.d. de ambos números. Entonces todo su trabajo consistía en teclear uno de los números que yo le había dado, lo dividía entre el resultando correspondiente y ya tenia el m.c.d (el tecleaba 5797/11 y sale 527 o haciendo 12121/23 ) Y como habíamos visto en clase, multiplicando los dos números de ejemplo y dividiendo el resultado entre el m.c.d. conse-guía calcular el mínimo común múltiplo (12121*5797/527 da 133331 ).

Así de sencillo, y así de listo. El único pro-blema es que la calculadora no devuelve fraccio-nes de más de 9 cifras, de manera que cuando los números eran primos entre sí el sistema no servía. Pero entre todos le dimos la solución, primero aplicar Euclides para lograr números mas pequeños y luego utilizar el algoritmo de Ai-tor.

Bueno, espero que con este ejemplo se en-tienda cual es la filosofía del “Método Lekuona”. De todas formas en

http://www.elkarrekin.org/web/goyo tenéis muchos mas ejemplos e información

para entender la forma de trabajar, y en [email protected] me tenéis a vuestra disposición para intentar

ayudaros en la medida de mis posibilidades. Muchísimas gracias por vuestra atención.



Introducción a la Programación con la Calculadora Gráfica fx-9750G PLUS

Ángel Aguirre Pérez, Profesor de Matemá-ticas del I.E.S. “Benedicto Nieto”, de Pola de Lena (Asturias)

--------

En este artículo vamos a explorar la potencia de la calculadora gráfica fx-9750G PLUS en el cálculo integral. El programa en esta entrega, nos va permitir resolver el ya clásico problema de la cabra. (1*)Un enunciado de este proble-ma podría ser el siguiente:

"Una cabra está atada, mediante una cuerda, a un poste de la periferia de un cercado cir-cular de un decámetro de radio. Si sólo puede pastar la mitad de la superficie del campo, ¿qué longitud debe tener la cuerda?"

La forma matemática del problema puede ser: ¿Qué radio ha de tener un circunferencia con centro en el punto (0,1) para que seccione en dos partes iguales el círculo de radio unidad centrado en el origen de coordenadas?

El círculo unitario se descompone en dos par-tes una lúnula (parte inferior) y una superficie ovalada (parte superior).

Es indudable que la longitud de la cuerda (el radio de la circunferencia), r, ha de estar com-prendido entre los valores 1 y 2 . Si la cuer-da tiene una longitud de 1, la lúnula tiene el área sombreada de la figura de abajo en exce-so.

Por otra parte si la longitud de la cuerda fuese 2 , sería ahora el oval el que excedería en

área a la lúnula; tal como muestra, de nuevo, la figura de la abajo.

Una longitud intermedia (entre 1 y 2 ), para la cuerda que ata la cabra, parece ser la solu-ción. Lo que la cabra come de más en la parte central del círculo debe ser compensado con lo que deja de comer en los extremos.

En este momento nos damos cuenta de que el problema tiene simetría y que queda reducido a una igualdad de superficies entre los dos re-cintos sombreados.


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Nuestros conocimientos en cálculo integral nos permiten reducir el problema a la siguiente condición:

( )1

2 2 2

0

1 1 0a

a

r x dx x dx− − + − =∫ ∫

donde a es la abscisa del punto de corte de la circunferencia de radio unidad,2 2 1x y+ = , y la curva, también circunferencia

( )22 21x y r+ − = .

La continuación habitual sería hallar el valor de la abscisa del punto de corte en función de la longitud de la cuerda r, hallar las primitivas de ambas integrales, aplicar la regla de Barrow para evaluar las integrales definidas dejando las expresiones en función de r y resolver la ecuación planteada. Nuestra estrategia explota-rá la posibilidad que la calculadora gráfica nos ofrece para evaluar integrales definidas y su capacidad de definir funciones a trozos.

∫1

0)( dxxf

Se transforma la ecuación original en:

≤<−

≤≤−−=

11

01

)(2

22

xasix

axsixr

xf

El problema es hallar el valor de r que anula la función

1

0

( ) ( )área r f x dx= ∫ .

Comenzamos tomando dos valores de la abs-cisa donde dicha integral toma valores de signo opuesto. En nuestro caso estos valores serán al-macenados en las variables I (extremo inferior)

y S (extremos superior) y serán 1 y 2 respec-tivamente. Previamente incluimos “Sci 0” porque queremos que la información numérica que salga por pantalla sea en notación científica mostran-do 10 dígitos significativos.

También advertimos mediante sentencias “Loca-te” que empezamos los cálculos para resolver el problema de la cabra. A continuación empezamos un bucle en el que en cada iteración vamos a acercarnos gradualmente a la solución.

Tomamos como primera aproximación de r (R en el programa) al punto medio de los extremos su-perior e inferior. Para ese valor de la cuerda calculamos la abscisa del punto de corte con la expresión 24

2

RR− y lo guardamos en la va-

riable A e inmediatamente se evalúa la integral que se almacena en la variable T.

Obsérvese la manera de describir una función a trozos utilizando los operadores <, ≤, > y ≥.

Si el área es nula, el problema ha terminado y éste el valor de R buscado. Si el valor de T es negativo estamos ante un nuevo extremo supe-rior menor que el anterior y guardamos su valor en S.

Si por el contrario el valor de T es positivo estamos ante un nuevo extremo inferior mayor que el anterior y guardamos su valor en I.



De cualquier modo la solución queda confinada en un nuevo intervalo (I, S) de menor longitud a ca-da iteración. Mostramos nuestros cálculos hasta el momento por pantalla y repetimos el proceso hasta que la integral alcanza un valor muy pe-queño razonable (en nuestro caso por debajo de 10-12). Esto se hace así porque en la evaluación por métodos numéricos de la integral, rara vez se obtiene un valor nulo para ésta debido a que la precisión está limitada en los cálculos inter-medios.

Una vez alcanzada la precisión requerida del cál-culo aprovechamos las capacidades gráficas de nuestra calculadora para mostrar la solución. En primer lugar limpiamos la pantalla de cualquier texto y gráfico anterior. Ajustamos el tamaño de la ventana que vamos a mostrar y dibujamos dos curvas: una circunferencia de radio unidad en polares, 1r = , y la función en explícitas

2 21y r x= − − . Para comprobar el resultado, calculamos la integral gráfica de la función defi-nida a trozos f(x). El mando de salida, , asegu-ra que visualicemos la representación gráfica.

Para acabar el programa muestra la solución me-

diante unas sentencias “Locate”.

La ejecución del programa CABRA puede apreciarse en las siguientes pantallas:

(1*) (El problema de la cabra, Alberto Bagazgoitia, Sigma nº 21).


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Matecinesis de Aschero Sergio Aschero. Argentina. Profesor Supe-

rior de Armonía y Composición y doctor en Musi-cología por la Universidad Complutense de Ma-drid

Matecinesis. La Mateci-nesis es una teoría mate-mática y física de los nú-meros, los infranúmeros y los ultranúmeros en movi-miento.

Modelo matecinético (nuevo modelo). Integra el aspecto operativo de las

matemáticas con la cinemática (física). Los números, infranúmeros y ultranúmeros

surgen a partir del movimiento como resultado de las operaciones matemáticas.

Desde el instante en que se abandona la nada (el cero tradicional), se bloquea la posibilidad de retornar a ella tal como se salió; no se puede bo-rrar la huella de lo medible, los retornos tienen más datos que las salidas. De allí que toda ope-ración matemática se transforme en una reali-dad física mensurable a través del movimiento.

Se utiliza como sistema de representación un cuerpo tridimensional.

Modelo decimal (nueva escritura). Nuevo sistema de numeración posicional de base diez.

Utiliza las cifras:

1 una unidad 2 dos unidades 3 tres unidades 4 cuatro unidades 5 cinco unidades 0 : 2 = 5 (centro) 6 seis unidades 7 siete unidades 8 ocho unidades 9 nueve unidades 0 diez unidades = 1 decena

Opera dando a cada cifra de una secuencia el valor obtenido multiplicando la cifra por la po-tencia de 0 relativa a su posición.

Es el más utilizado puesto que permite em-plear en los cálculos los dedos de las manos.

Su origen es indoárabe, fue introducido en Europa por Leonardo de Pisa en el siglo XIII y modificado para hacerlo realmente decimal por Sergio Aschero a comienzos del siglo XXI.

Sus decenas: 11 una decena, una unidad. 55 cinco decenas, cinco unidades 00 : 2 = 55 (centro). 00 diez decenas, diez unidades = 11 una centena una decena.

Y con el mismo desarrollo los demás números enteros. 555 000 : 2 = 555 (centro). 000 diez centenas diez decenas diez unidades = 111 una unidad de millar, una centena una decena.

----------------------------------------------- 1111 una unidad de millar, una centena, una de-cena, una unidad. 0000 diez millares, diez centenas, diez dece-nas, diez unidades. 11111 una decena de millar, una unidad de millar, una centena, una decena, una unidad. 00000 diez cien millares, diez millares, diez centenas, diez decenas, diez unidades. 111111 una centena de millar, una decena de mi-llar, una unidad de millar, una centena, una dece-na, una unidad. 000000 mil millares, cien millares, diez millares, diez centenas, diez decenas, diez unidades.

----------------------------------------------- 1111111 una unidad de millón, una centena de mi-llar, una decena de millar, una unidad de millar, una centena, una decena, una unidad.

----------------------------------------------- Fracciones decimales

Los números menores a la unidad se expresan mediante fracciones decimales: unidades decimales: (significa 1/0) = ,1 a ,0 1,1 decenas decimales: (significa 1/00) = ,11 a ,00 4,11 centenas decimales: (significa 1/000) = ,111 a ,000 0,000

Infranúmero ( ) (nuevo concepto) El infranúmero es un nuevo concepto mate-

mático que determina la diversidad de lo no existente, actuando como una alternativa eficaz y lógica ante la invariabilidad del cero tradicio-nal (denominado nada por la matecinesis), que no tiene en cuenta el desarrollo de las diversas operaciones que finalizan o pasan por él.



Desde el momento en que existe un dato dis-tinto a la nada (singularidad irrepetible), conta-mos con una energía numeral que llegará a ser infranumeral en el caso de lograr su completa interferencia con las operaciones lógicas del sis-tema.

El infranúmero es la energía resultante de una operación de interferencia total, con la in-terferencia parcial se está dentro de la zona numeral o ultranumeral.

El infranúmero determina una nueva noción matemática de fundamental importancia con el fin de poder operar sobre cantidades de ele-mentos que expresan medidas de entidades no materiales.

Es energía cuantificada neutra surgida de to-das las pérdidas operativas.

Se considera físicamente interferencia cuan-do dos ondas se superponen en oposición de fa-se.

Si las ondas son de igual frecuencia y ampli-tud, la interferencia resulta total, (infranúme-ro).

Desde el punto de vista acústico, si se colo-can dos tubos de órgano iguales, supongamos que de una frecuencia de 256 Hz cada uno; acopla-dos a la misma caja de aire y se sopla en ambos, no oiremos un sonido más fuerte, sino sólo el ai-re que escapa.

También un haz de luz viene a estar compues-to por un tren de ondas. Cuando dos haces lumi-nosos de iguales características chocan entre sí, su energía se interfiere provocándose la oscuri-dad; pero la energía no ha desaparecido.

Una de las reglas fundamentales de la física dice que la energía no puede desaparecer.

Tal es la Ley de Conservación de la Energía. En el fenómeno de la interferencia hay una

energía que ha dejado de existir en forma de luz.

Por tanto, tiene que aparecer una cantidad exactamente igual de energía en otra forma dis-tinta; y en este caso es el calor.

Supongamos que damos cuerda al resorte de un reloj; ahora contiene más energía que cuando estaba distendido.

A continuación disolvemos el resorte todavía tenso, en un ácido. ¿Qué ocurre con la energía?

También aquí se convierte en calor.

Si empezamos con dos soluciones ácidas a la misma temperatura y disolvemos en una de ellas el muelle distendido y en la otra un muelle tenso (por lo demás idénticos), la segunda solución tendrá al final una temperatura mayor que la primera.

La propia materia es una forma de energía. Cuando las matemáticas entiendan al número

como energía (es decir cuando las matemáticas y la física se unifiquen matecinéticamente), se descubrirá que el cero y el infinito son dos con-ceptos inútiles en cualquier operación lógica por su propia condición inabarcable.

Por otro lado, el lenguaje matemático incurre algunas veces en inexactitudes debido a su limi-tada capacidad para representar ciertos resul-tados.

Esto se soluciona en parte al incorporar la serie infranumeral.

Todo movimiento que salga, pase o llegue por el punto infranumeral (nada) es algo que debe ser medido con exactitud.

La serie infranumeral es ilimitada y se utiliza indistintamente para los números y ultranúmeros reales e imaginarios.

Nada (cero tradicional) La nada, es un infranúmero absoluto al que

nunca se puede retornar de la misma manera al operar sobre cantidades mensurables.

1 infra una unidad. 2 infra dos unidades. 3 infra tres unidades. 0 infra diez unidades. 900 infra nueve centenas diez decenas diez

unidades.

Números e Infranúmeros positivos y nega-tivos

Números imaginarios positivos Números reales positivos

5 5 nivel +5 4 4 4 4 nivel +4 3 3 3 3 3 3 nivel +3 2 2 2 2 2 2 2 2 nivel +2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nivel +1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nivel -1 2 2 2 2 2 2 2 2 nivel -2 3 3 3 3 3 3 nivel -3 4 4 4 4 nivel -4 5 5 nivel -5

Números reales negativos Números imaginarios negativos


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Los infranúmeros se representan en el punto central del eje infranumeral, y su posición no cambia en las operaciones realizadas con núme-ros reales o imaginarios.

La disposición de los números y los infranú-meros se hace mediante un plano elevado que permite el desplazamiento de los signos ascen-diendo o descendiendo desde el punto de partida

(nada).

Ultranúmero ( X ) (nuevo concepto)

Así como el infranúmero cuestiona la exis-tencia del cero como único símbolo representa-tivo de la nada, el ultranúmero actúa como sím-bolo inverso de aproximación al concepto del to-do, identificado tradicionalmente por el infinito. Un mismo punto bidireccional de polo positivo y negativo, origina y finaliza lo incontable, que se extiende más allá y más acá de toda serie numé-rica, tanto como se desee. Si el número avanza, el ultranúmero retrocede y en la medida que se aleja su magnitud decrece, con lo cual se invier-ten todas las operaciones aritméticas. El absolu-to es inoperativo en los dos sentidos por inabar-cable, y por ello es tan importante definir los límites que ayuden de una vez por todas a solu-cionar alguno de los enigmas y contradicciones más importantes del lenguaje matemático. Para esto se establece la serie ultranumeral.

Es tan lógico contar a partir de la nada como descontar a partir del todo.

Todo movimiento que salga del punto ultra-numeral (todo) es algo que debe ser medido con exactitud, para establecer su magnitud.

La serie ultranumeral es ilimitada y se utiliza indistintamente para los ultranúmeros reales y los imaginarios.

Todo (infinito tradicional) El todo ( ) es un ultranúmero absoluto al

que nunca se puede acceder numeral y ultranu-meralmente al operar sobre cantidades mensu-rables.

Impide el acceso de los ultranúmeros que re-troceden desde su posición, de igual modo que la nada ( ), hace lo mismo con los números que avanzan desde la suya. Sólo los infranúmeros (por su especial condición), tienen la facultad de entrar, penetrar y salir del origen y el confín.

Veamos algunas de las características de los ultranúmeros:

1 ultra una unidad 2 ultra dos unidades 3 ultra tres unidades 0 ultra diez unidades 900 ultra nueve centenas diez decenas diez

unidades Modelo espacial:

X

Los infranúmeros son los únicos símbolos co-nectivos entre los dos universos opuestos simé-tricamente de los números y los ultranúmeros.

Ley de desigualdad (nueva ley)

No todo lo igual es igual. Iguales resultados no determinan iguales procesos.

20 + 5 ≠ 5 + 20 25 = 25 En los dos casos el resultado es 25, sin em-

bargo el proceso es diferente: en la primera operación las partes a adicionar son 20 y 5, en cambio en la segunda operación son 5 y 20. El corte entre las cifras de la suma es distinto en cada caso y da como consecuencia la desigual-dad.

Propiedad Partitiva (nueva propiedad)

Sólo es igual lo igual. La diferencia cuantita-tiva entre las partes de una operación determi-nan su desigualdad más allá de la equivalencia de los resultados. (a + b) + c ≠ a + (b + c) (Propiedad Asociativa) (a · b) · c ≠ a · (b · c) (Propiedad Asociativa) a + b ≠ b + a (Propiedad Conmutativa) a · b ≠ b · a (Propiedad Conmutativa) (a + b) · c ≠ a · c + b · c (Propiedad Distributiva)

Polirreductor (nueva operación)

Es la operación algebraica inversa al factorial producida por la división correlativa de los nú-meros hasta llegar a un cociente final, escrito ¿n.

¿4 = 4 : 3 : 2 : 1 = ,66 El ultranúmero resuelve entre otras la Ecua-

ción de Wallis donde manifiesta que no hay nin-gún número real, por grande que sea, que multi-plicado por cero de como resultado el número uno.

Matecinéticamente se demuestra que: 1 : = 1

Donde 1 dividido por es en realidad 1 (el ultranúmero 1 real mayor que existe)



Inversamente se determina que: 1 . = 1 Donde 1 multiplicado por es en realidad 1

(el número 1 real menor que existe)

Números de Aschero (nueva serie)

1 + 3 - 2 + 4 - 3 + 5 - 4 + 6... Los números avanzan y retroceden…

Aplicación del Sistema CGS

Tomando como unidades de medida el centí-metro, el gramo y el segundo (CGS) de acuerdo a los patrones internacionales establecidos por la física, estas unidades se integran al modelo ma-tecinético, con el objetivo de establecer una nueva operatoria.

Se establece un desplazamiento numeral, in-franumeral y ultranumeral, mediante el recorri-do bidireccional por el plano inclinado de cada uno de sus ejes.

En este caso se está actuando con la longitud y el tiempo, la longitud medida en centímetros, siendo su unidad: 1 cm y el tiempo medido en se-gundos, siendo su unidad: 1 s

A los dos datos anteriores se le suma la ma-sa, medida en gramos, siendo su unidad: 1 gr

El desplazamiento diagonal de las operaciones aritméticas supone la integración de cuatro da-tos separados de a dos: resultado, gramos // centímetros, segundos. 3 + 3 = 6 // 6

(tres más tres es igual a seis, a seis gramos // a seis centímetros, a seis segundos, donde la operación consiste en un recorrido por el eje de los números reales positivos de seis centímetros a partir del punto nada, transitando esa distan-cia en seis segundos y adquiriendo un peso de seis gramos).

Se entiende que: 1 cm (un centímetro) se localiza a un centíme-

tro del origen (nada). 1 cm (un ultrauncentímetro) se localiza a un

ultrauncentímetro del confín (todo). 1 gr (un gramo) se localiza a un gramo del ori-

gen (nada).

1 gr (un ultraungramo) se localiza a un ul-traungramo del confín (todo).

1 s (un segundo) se localiza a un segundo del origen (nada).

1 s (un ultraunsegundo) se localiza a un ul-traunsegundo del confín (todo).

Polinúmero de Aschero

El polinúmero es un conjunto numérico for-mado por dos cifras, que permiten calcular la cantidad de combinaciones posibles que integran cualquier número entero.

La primera cifra expresa el número propia-mente dicho, y la segunda, (que va escrita entre paréntesis) las combinaciones que lo forman.

1(1), 2(2), 3(4), 4(8), 5(16), 6(32), 7(64), 8(128), 9(256), 10(512)…

Operaciones:

1(1) + 2(2) = 3(4)

uno (que tiene una combinación) más dos (que tiene dos combinaciones) da como resultado tres (que tiene cuatro combinaciones).

5(16) – 3(4) = 2(2) 3(4) · 3(4) = 9(256) 8(128) : 4(8) = (2) 2(2) – 2(2) = 2(2)

Límite internumeral de Aschero

Punto exacto que aparece entre un número y otro con independencia de la magnitud de éstos.

Actúa como un corte preciso y delimitativo, teniendo la propiedad de infinitud de todos los números.

a a;b b

1 1;2 2 ---------------------------------------------------------

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Fútbol y Estadística Álvaro Valdés Menéndez, Profesor de Ma-

temáticas del I.E.S. “Pérez de Ayala”, de Ovie-do (Asturias)

El 10 de Junio de 2006, durante la celebración del Mundial de Fútbol en Alemania, el seleccionador de Trinidad y Tobago Leo Beenhakker declaró en una rueda de prensa:

Se ha probado que lo que está en el papel, pocas veces se traspasa al terreno de jue-go. Esto es fútbol, no matemáticas, y aquí dos más dos, rara vez suelen ser cuatro, suelen ser tres o cinco. No puedo estar más orgulloso de mis jugadores, lo dieron todo en el campo.

¿Realmente están tan alejados el fútbol y la mate-mática? El objetivo de este artículo es plantear tres ejemplos de utilización del fútbol en clase.

Problema 1

Analicemos en primer lugar la distribución normal. Esta distribución explica teóricamente la mayoría de los sistemas naturales, y se busca con este ejemplo que los alumnos lo descubran por sí mis-mos:

“La tabla 1 muestra el porcentaje de variantes, equis y doses en las quinielas a lo largo de la historia. Representa gráficamente las tres va-riables y di qué información puedes extraer de las mismas”

Introduciendo los datos en la calculadora:

es inmediato obtener la representación gráfica de cada variable ajustando los parámetros asociados:

Pulsando “F1” (GRPH) y “F6” (SET); en la pantalla que aparece

se modifican:

“Graph Type”: seleccionar “xyLine” “Xlist”: dejar “List1” en “YList” cambiar a:

“List2” para el número de variantes (GPH1)

“List3” para el número de equis (GPH2) “List4” para el número de doses (GPH3)

Con los ajustes hechos, se obtienen las gráficas:

Número de variantes

Número de equis

Número de doses

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Variantes 0,0 0,21 1,09 3,56 7,73 13,27 18,33 19,41 16,69 11,70 6,02 1,64 0,21 0,07 0,07

Nº “X” 1,23 5,61 12,79 21,27 26,60 17,10 11,83 4,04 1,85 0,55 0,14

Nº “2” 5,27 16,28 24,01 23,80 15,18 9,78 3,35 1,64 0,68

Tabla 1.- Porcentaje de variantes en las quinielas



El acuerdo cualitativo con la gráfica de la Distribu-ción Normal es apreciable, incluso teniendo una variable discreta y con pocos valores.

Si se quisiera ir un poco más lejos, los alumnos de 1º o 2º de Bachillerato podrían obtener la media y la desviación típica para comparar las frecuencias relativas acumuladas obtenidas a partir de la tabla con las teóricas. Por su parte, los alumnos de cur-sos universitarios podrían realizar test de ajuste a la normal (χ2, Kolmogorov, Lilliefors, …).

Problema 2

Una vez vista la validez de la aproximación nor-mal, se puede intentar responder a otras pregun-tas. ¿Quién tiene razón en la eterna polémica so-bre la primacía del espectáculo o de los resultados en el fútbol? Averigüémoslo en un estudio de la relación entre el número de goles (la “salsa” del fútbol) y el total de puntos conseguidos:

“Analiza la clasificación de la última tempora-da, y determina si existe alguna relación entre el número total de goles marcados y los pun-tos totales obtenidos”

GF PT1 Real Madrid C.F. 66 762 F.C. Barcelona 78 763 Sevilla F.C. 64 714 Valencia C.F. 57 665 Villarreal C.F. 48 626 R. Zaragoza C.D. 55 607 At. de Madrid 46 608 R.C.R. de Huelva 54 549 Getafe C.F. 39 52

10 Real Racing Club 42 5011 R.C.D. Espanyol 46 4912 R.C.D. Mallorca 41 4913 R.C. Deportivo 32 4714 C.At. de Osasuna 51 4615 Levante U.D. 37 4216 Real Betis B. S. 36 4017 Ath. Club Bilbao 44 4018 R.C. Celta de Vigo 40 3919 Real Sociedad 32 3520 C.G. Tarragona 34 28

Tabla 2 .- Goles y Puntos en la temporada 2006-07

Introduciendo los datos:

se obtiene rápidamente la recta de regresión:

Pulsando “F1” (GRPH) y “F6” (SET); en la misma pantalla descrita antes:

“Graph Type”: seleccionar “Scatter” en “XList” mantener “List1” en “YList” cambiar a: “List2”

pulsando “EXE” y “GPH1” (F1).

Para mostrar la recta de regresión, se debe selec-cionar “CALC” (F1), “X” (F2), que muestra la panta-lla con los parámetros del ajuste lineal:

y seleccionando “DRAW” (F6) añade la recta de re-gresión sobre la nube de puntos

Puede concluirse, finalmente, que el número de goles sí está relacionado con el total de puntos ob-tenidos, y que merece la pena buscar con ahínco el gol.

Por supuesto, siempre habrá alguien que piense que este razonamiento puede hacerse a la inver-sa: “… existe alguna relación entre el número total de goles encajados y los partidos perdi-dos …”


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Para este planteamiento se obtiene:

7979.0

6366.0224.33682.0

==

−⋅=

r

R

xy

quedando como ejercicio la discusión en clase de qué ajuste es mejor, y qué tipo de juego (ofensivo o defensivo) resulta más rentable.

Problema 3

El tercer enunciado trata sobre la inferencia es-tadística. Existen numerosas posibilidades que estudiar, teniendo en cuenta la cantidad de tópi-cos que circulan sobre el fútbol:

1. el equipo local tiene mayor probabilidad de ganar que el visitante

2. un jugador juega mejor o peor que en temporadas anteriores

3. …

Centrémonos en el siguiente caso:

“En la Temporada 1995-96, se introdujo el sistema de puntuación actual, que propor-ciona tres puntos por cada victoria, frente a los dos del sistema anterior. El objetivo era hacer más atractivo el juego de ataque, au-mentando el número de victorias y, por tanto, buscar más goles. Analiza los resultados an-teriores a la temporada 94-95 y los posterio-res a la 1995-96 para decidir si:

1. Se logran más victorias que antes 2. Se marcan más goles que antes

con nivel de significación αααα = 0.05”

Este es un excelente problema para poner en práctica todos los pasos necesarios en cualquier análisis inferencial:

1. Selección del estadístico a contrastar 2. Muestreo 3. Análisis de los datos obtenidos 4. Obtención del estadístico 5. Determinar la función de distribución

asociada al contraste 6. Resolución del contraste de hipótesis

Para este caso se debe invitar a los alumnos a realizar una búsqueda de información, siendo la fuente de los datos utilizados en este problema la página Web de la Liga de Fútbol Profesional:

http://www.lfp.es

cuyo histórico permite conocer los resultados y las clasificaciones desde la primera Temporada de Liga en España (1929-30).

En primer lugar se deben definir los conceptos: “más victorias que antes ” y “más goles que antes ”. ¿Comparar el número total de victorias logradas y go-les marcados a lo largo de la Temporada?

Un segundo problema aparece al determinar qué temporadas son significativas para nuestro estudio. Es un hecho conocido que el fútbol moderno apenas tiene que ver con el que se jugaba a mediados del si-glo pasado,1 así que hay que elegir cuáles se consi-derarán en el estudio.

Como tercer “contratiempo” aparecen los continuos cambios en el número de equipos que conforman la “Primera División” (desde los 10 equipos en 1929 hasta los 20 actuales, pasando por los 22 de las tem-poradas 95/96 y 96/97), sin olvidar el “experimento” de la temporada 86/87 de introducir play-offs en el fútbol y que llevó a 18 equipos a disputar 44 jornadas.

Finalmente, y más importante, hay que determinar qué contraste se realiza. ¿Igualdad de medias o pro-porciones en dos muestras? ¿Realizar el test de igualdad para TODAS las muestras?

Viendo el temario de Matemáticas Aplicadas a las CCSS II de 2º de Bachiller sólo es posible la primera opción, pero alumnos de Estadística o Universitarios podrían realizar un análisis ANOVA de varias tempo-radas.

Dicho lo anterior, se decide:

1. Analizar: a) la proporción de partidos que terminan en

victoria b) el número medio de goles por partido

2. Comparar las temporadas 1994/95 y 95/96

Los datos son:

Temporada 1994-95 1995-96 Nº Equipos 20 22

Partidos disputados 380 462 Media goles/partido 2.54 2.70 Desviación Típica 1.70 1.80

% Victorias 70.3 71.9

Tabla 3.- Comparación temporadas 94-95 y 95-96

Con ellos, el primer contraste de hipótesis: “Ha au-mentado el número de goles por partido ” frente a “el número de goles por partido es el mismo ”:

H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 < µ2

Teniendo en cuenta que n es grande puede suponer-

se que 11ˆ σ=s y 22ˆ σ=s . El estadístico es, por tanto:

1 ¿Sería este motivo de otro contraste?



( ) ( ) ( )1;0~

2

22

1

21

2121 N

nn

xxT

σσµµ

+

−−−=

con:

46280.1ˆ70.2

38070.1ˆ54.2

222

111

======

nsx

nsx

Sustituyendo:

( ) ( )1;0~32.1

462

80.1

380

70.1

054.270.222

N=

+

−−=T

cuyo p – valor es:

( ) 0834.0valor =>=− Tzpp

lo que lleva a rechazar la hipótesis alternativa, ya que α = 0,05 < p – valor; luego:

“La medida de dar tres puntos por vic-toria NO ha aumentado el número de goles por partido ”

Del mismo modo se puede proceder para el con-traste acerca de la proporción de partidos que aca-ban en victoria.

El contraste: “Ha aumentado la proporción de partidos que acaban en victoria” frente a “la proporción es la misma”:

H0 : p1 = p2 H1 : p1 < p2

se resuelve con el estadístico:

( ) ( )( ) ( )

( )1;0~ˆ1ˆˆ1ˆ

ˆˆ

2

22

1

11

2121 N

n

pp

n

pp

ppppT

−+−−−−

=

que operando y hallando su p – valor:

( ) 3085.0valor51.0 =>=−⇒= TzppT

Siendo valor−< pα , se rechaza la hipótesis al-

ternativa y se puede afirmar que:

“Dar tres puntos por ganar no ha au-mentado la proporción de victorias ”

Podrían plantearse dos preguntas:

1. Por qué es necesario realizar un contraste de hipótesis si se han considerado todos los par-tidos de ambas temporadas.

2. Cómo es posible que habiendo hecho los cál-culos con todos los partidos y viendo que

12 xx > y 12 ˆˆ pp > haya salido que no pueden aceptarse un aumento en el número de goles ni de la proporción de victorias.

En ambos casos pueden mostrarse las tablas 4 y 5, que muestran la variabilidad de la media de go-les por partido y de la proporción de victorias

Temporada 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 74 85 87 88 89 90 91 92 93 94

Nº Equipos 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 20 20 20 20 20 20 20 20

Media goles 2,21 2,14 2,32 2,43 2,50 2,71 2,75 2,70 2,51 2,71 2,79 2,55 2,56 2,16 2,61 2,39 2,28 2,42 2,16 2,40 2,51 2,60 2,54

% victorias 73,2 70,6 76,8 72,9 76,8 75,5 77,1 75,5 72,2 77,1 81,7 74,2 73,5 64,4 74,5 73,2 70,5 71,8 69,5 75,0 71,1 72,1 70,3

Tabla 4.- Número de goles y porcentaje de victorias en las temporadas en las que cada vic-toria daba 2 puntos. Se omite la 86/87 ya que se celebró con un sistema de play-offs

Temporada 95-96 96-97 97-98 98-99 99-00 00-01 01-02 02-03 03-04 04-05 05-06 06-07

Nº Equipos 22 22 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

Media goles 2,70 2,75 2,66 2,64 2,63 2,88 2,53 2,67 2,67 2,58 2,46 2,48

% victorias 71,9 74,2 71,1 74,5 70,5 73,9 73,4 72,4 75,0 73,7 72,4 74,2

Tabla 5.- Número de goles y porcentaje de victorias con el sistema de puntuación actual

Conclusión Se han planteado y resuelto tres ejercicios, en orden creciente de dificultad en los que se ha hecho uso de un tema cotidiano como el fútbol para acercar el estudio de las Matemáticas a los alumnos.

Se ha intentado que la parte “operativa” fuera secundaria en todo el proceso, para lo que se ha hecho uso de la calculadora CASIO fx-9860G SD y de la hoja de cálculo “Calc ” de la suite OpenOffice.org. Con ello se pretende evitar que la realización de los cálculos distraiga la atención del alumno, buscando un mejor entendimiento de la estadística.


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Series de Fourier en la Class-Pad 300 Plus Gonzalo Mauricio Obando Ojeda Universidad Nacional de San Agustín Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica Arequipa - Perú

INTRODUCCIÓN Las series de Fourier son una herramienta para analizar una señal periódica describiéndola como una combinación de funciones armónicas.

Esta herramienta se utiliza en el campo del análi-sis de señales al establecer la relación entre tiem-po y frecuencia.

En el siguiente artículo aprenderemos a desarro-llar un programa sencillo de realización de series de Fourier con periodo simple y periodo doble, mas adelante veremos el significado de esto.

OBJETIVO Como se expuso en la introducción, las series de Fourier son una herramienta muy útil en el análi-sis de señales, muy utilizada en Ingeniería, como por ejemplo en las telecomunicaciones, motivo por el cual queremos asociar nuestra calculadora “CLASSPAD 300 PLUS” a estas operaciones pa-ra ahorrar tiempo y tener más certeza en nuestro análisis.

DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA Como se dijo, este es un pequeño programa que nos ayudara bastante en la resolución de series de Fourier.

En la introducción se explicó acerca de los perio-dos a los cuales llamaremos “simple y doble” para entender mas fácilmente.

FUNCIONES DE PERIODO SIMPLE

Llamaremos funciones con periodo simple a las funciones que solo tengan una función que se este repitiendo, es decir que una sola fun-ción forme el periodo de la función.

Ejemplo (Figura 1):

f(t)

t

En la Fig. 1 se ve una “función de periodo simple” la cual se puede interpretar como:

Función f(x) = x

Punto de Inicio: - 2

Punto Final: 2

FUNCIONES DE PERIODO DOBLE

Llamaremos funciones con periodo simple a las funciones que solo tengan una función que se este repitiendo, es decir que dos funciones for-men el periodo de la función.

Ejemplo (Figura 2):

f(t)

t

En la Fig. 2 se ve una “función de periodo doble” la cual se puede interpretar como:

Función 1: f(x) = 2

Punto de Inicio: -2

Punto Final: 0

Función 2: g(x) = - 2

Punto de Inicio: 0

Punto Final: 2

Para bajar este programa:

SERIE DE FOURIER EN UNA FUNCIÓN DE PERIODO SIMPLE

Conociendo estos conceptos procedemos a descri-bir el programa:

Figura 3:



Como podemos ver en se repite 5 veces el desa-rrollo de los coeficientes an y bn , como resultado de este nos dará los 5 primeros valores de la se-rie de Fourier que le ordenemos.

Ejemplo

Desarrollar la serie de Fourier de la función de la Fig. 1

1. Al correr el programa se obtendrá la si-guiente imagen

De la Fig. 1 habíamos obtenido los siguientes datos:

Función f(x) = x Punto de Inicio: - 2 Punto Final: 2

Entonces llenamos en el espacio la función, es decir “x” y presionamos OK

2. Colocamos el punto de inicio de la función, en este caso “- 2”

3. Colocamos el punto final de la función pe-riódica


DP. - AS - 5119 – 2007 ISSN: 1988 - 379X 28

RESPUESTA

Entonces la respuesta seria:

f(t) = π4 sen t -

π2 sen (2t) +

π3

4 sen (3t) +

- π1 sen (4t) +

π5

4 sen (5t) + …

SERIE DE FOURIER EN UNA FUNCIÓN DE PERIODO DOBLE

Este seria nuestro programa Figura 4:

Como podemos ver en la Fig. 4 se repite 5 veces el desarrollo de los coeficientes an y bn como resulta-do de este nos dará los 5 primeros valores de la se-rie de Fourier que le ordenemos.

Ejemplo Desarrollar la serie de Fourier de la función de la Fig. 2

1. Al correr el programa se obtendrá la si-guiente imagen

De la Fig. 2 habíamos obtenido los siguientes datos:



Función 1: f(x) = 2 Punto de Inicio: -2 Punto Final: 0 Función 2: g(x) = - 2 Punto de Inicio: 0 Punto Final: 2

Entonces llenamos en el espacio la función 1, es decir “2” y presionamos OK

2. Colocamos el punto de inicio de la fun-ción, en este caso “- 2”

3. Colocamos el punto final de la función periódica

4. Colocamos la función 2, “- 2”

5. Colocamos el punto de inicio de la función, en este caso “0”

6. Colocamos el punto final de la función pe-riódica

RESPUESTA

Entonces la respuesta seria:

f(t) = -π8 sen t -

π3

8 sen (3t) - π5

12 sen (5t) +...

Este programa es tan simple como útil para este tipo de análisis, pero no olvidemos que la calcu-ladora es solo un apoyo para el usuario. No lle-guemos a la dependencia de la misma.


DP. - AS - 5119 – 2007 ISSN: 1988 - 379X 30

Trabajar los números complejos con la ayuda de la calculadora gráfica

Rosana Álvarez García, Profesora de Tec-nología del I.E.S. “Sánchez Lastra", de Mieres (Asturias)

-------- La calculadora gráfica nos permite realizar

operaciones sencillas con números complejos como:

Sumas Restas Productos Cocientes Raíces cuadradas Cuadrados y potencias de grado superior

tomando como punto de partida los cuadrados. Calculo del argumento en grados Módulo Parte real y parte imaginaria Quizás la mayor aplicación de la calculadora

gráfica en el tema de números complejos se ob-tendría en asignaturas como Tecnología donde hay numerosos ejercicios que requieren traba-jar con números complejos.

Para empezar en la calculadora deberemos seguir los siguientes pasos:

Trabajaremos en el modo "encerado" (RUN), desde el que podemos realizar las dife-rentes operaciones:

Tomaremos como bases la FC 9860G SD de CASIO

OPTN

F3

CPLX

F6

Una vez en números complejos en la parte in-

ferior de la pantalla nos aparecen diferentes posibilidades, el número i, el módulo, argumento, conjugado, parte real, parte imaginaria, pasar de forma binómico a polar y de forma polar a binómica.

Cálculo de potencias de la unidad imaginaria: La unidad imaginaria la obtenemos presionando

F1, y vemos que es igual a i.

F1i

EXE

La unidad imaginaria al cuadrado es igual a:

Calculamos i2

F1i

x2 EXE

Para calcular las diferentes potencias de i vamos elevando.

Calculamos i3

F1i

3 EXE

Calculamos i33

F1i

3

3 EXE

Aplicación de los números complejos en Tecnología

FORMA BINÓMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

El número complejo (a, b) puede escribirse: (a, b) =

Aplicando la definición de suma de números complejos

= (a, 0) + (0, b) = Aplicando la definición de un número real por

un número complejo = (a, 0) + b·(0, 1) =

teniendo en cuenta que el número complejo (0, 1) se representa por i

= (a, 0) + b·i = Definición de paso de forma cartesiana a bi-

nómica a + bi

i



Esta forma de escribir el número complejo (a, b) se llama FORMA BINÓMICA.

z = a + bi parte real de z

Re(z) parte imaginaria de z

Im (z)

(a, b)

Se llama forma cartesiana o forma de par.

IGUALDAD EN FORMA BINÓMICA

Dos números complejos a + bi ∧ a' + b'i se dice que son iguales si, y sólo si, se verifica que a = a' ∧ b = b'

OPERACIONES EN FORMA BINÓMICA

SUMA DEMOSTRACIÓN ALGEBRAICA

Sean dos números complejos:

z = a + bi ∧ z' = a' + b'i

z = (a, b) ∧ z' = (a', b')

z + z' =

(a, b) + (a', b') =


= (a + a', b + b') =


= (a + a', 0) + (0, b + b') =

Aplicando la definición de un número real por un número complejo

= (a + a', 0) + (b + b') (0, 1) =

Definición de paso de forma carte-siana a binómica

(a + a') + (b + b')i Tiene estructura de GRUPO ABELIANO

(a, b) · (a', b') =

Aplicando la definición de producto de núme-ros complejos

= (a·a' - b·b', a·b' + b·a')=

= (a·a' - b·b') + (a·b' + b·a')i Aplicando la definición de paso de forma cartesiana a bi-

nómica

DIFERENCIA DEMOSTRACIÓN ALGEBRAICA


z = a + bi ∧ z' = a' + b'i

z = (a, b) ∧ z' = (a', b')

z - z' = z + (- z' ) =

(a, b) + (- a', - b') =


= (a - a', b - b') =


= (a - a', 0) + (0, b - b') =

Aplicando la definición de un número real por un número complejo

= (a - a', 0) + (b - b') (0, 1) =

Definición de paso de forma cartesiana a bi-nómica

(a - a') + (b - b')i

PRODUCTO DEMOSTRACIÓN ALGEBRAICA


z = a + bi ∧ z' = a' + b'i

z = (a, b) ∧ z' = (a', b')

z · z' =

COCIENTE DEMOSTRACIÓN ALGEBRAICA


z = a + bi ∧ z' = c + di

z = (a, b) ∧ z' = (c, d)

'z

z =

= z · z-1

Actividad 1Actividad 1Actividad 1Actividad 1

El circuito representado en la figura inferior está constituido por un generador de corriente alterna de 220 V, una resistencia de 10 Ω y una bobina de 0.032 Henrios. La frecuencia es de 50 Hz

Se pide: Determinar la impedancia, la inten-

sidad que recorre el circuito en forma vectorial


DP. - AS - 5119 – 2007 ISSN: 1988 - 379X 32

Las resistencias del circuito se expresan de la siguiente forma:

Receptor Reactancia Desfase Forma compleja Tensión

Resistencia R ϕ = 0 Rr

= R + 0j = R0º UR = R·I

Inductancia XL = ω·L ϕ = 90º LX→

=0 + XL j= XL(90º) UL = XL·I

Capacitancia Xc = C⋅ω

1 ϕ = 90º CX→

=0 — XC·j XL(90º) UC = XL·I

Antes de llevar a cabo el cálculo vectorial expresamos las diferentes magnitudes en forma binómica. El dato proporcionado por el problema es el de la tensión asignándole un ángulo de des-fase 0.

Las resistencias del circuito son:

R = 10 + 0·j

XL = ω·L = 2· π ·f·L = 2· π · 50 · 0.032H = 10Ω

XC = C⋅ω

1 = Cf2

1⋅⋅π⋅

= 0

⇒⇒⇒⇒ No hay condensador en el circuito.

Para trabajar en forma vectorial debemos trabajar con las formas binómicas:

Resistencia Forma binómica

R = 10 + 0·j Rr

= 10 + 0·j

XL = ω·L = 2·π ·f·L

= 2·π ·50·0.032H

= 10Ω

LX→

= 0 + 10·j Ω

XC = C

1⋅ω

= 0 j00XC −=r

La impedancia es la resistencia final que apa-rece en el circuito, y que obtenemos como suma de las diferentes resistencias que aparecen. Es igual a:

XL

XC

R XL - XC

R

Z

Zr

= R + (XL – XC) j

y su módulo:

( )22CL XXRZ −+=

La tensión del generador es Ur

= 220 + 0 j Por tanto la intensidad que circula por el cir-

cuito es:

Ur

= Ir

· Zr

⇒ Ir

=Z

Uv

r

= j1010

220+

El cociente nos da el complejo 11 – 11i, en

nuestro caso como asignamos la i a la magnitud de la intensidad la solución es 11 – 11 j

La forma polar es:

La intensidad se retrasa 45 º respecto a la tensión



Para calcular las potencias del circuito tenemos: Potencia aparente S

r

= Ir

·Ur

= 220·(11 + 11j)

La potencia aparente es 2420 + 2420 j, de módulo2420 2 y argumento 45º.

S = 3422.39 VA

Potencia activa P = U·I·cos ϕ = R·I2 = UR·I =

= 10 · 15.562 = 2421.14 W

Potencia reactiva Q = U·I·sen ϕ = (XL – XC)·I2 =

10·15.562 = 2421.14 VAR

En cuanto a las tensiones tenemos:

Tensión en bornes de una resistencia

RUr

= Rr

· Ir

= 10·(11 – 11 i) = 110 – 110 i

Tensión en bornes de una autoinducción

LUr

= LX→

· Ir

= (11 – 11 i)·(10 i) = 110 + 110 i

Tensión en los bornes de un condensador CUr

= CXr

· Ir

= 0

Tensión en un circuito RLC U = RU

r + LU

r+ CU

r

U = (110 – 110i ) + (110 + 110i) = 220 V

Cuando trabajamos con circuitos en se-rie y en paralelo, los sistemas de ecua-ciones con números complejos se com-plican siendo el uso de la calculadora una herramienta fundamental en la re-solución de los ejercicios

www.aulatecnologia.com


DP. - AS - 5119 – 2007 ISSN: 1988 - 379X 34

Círculo de Mohr ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Julio César Silva Miranda Universidad Nacional de Chimborazo. Riobamba - Ecuador -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

El círculo de Mohr permite el cálculo rápido y exacto de:

(1) Los esfuerzos principales máximo y mínimo.

(2) El esfuerzo cortante máximo.

(3) Los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante máximo.

(4) El esfuerzo normal que existe junto con el esfuerzo cortante máximo sobre el elemento sometido al esfuerzo cortante máximo.

(5) Condición de esfuerzo en cualquier orientación del elemento sometido a esfuerzo.

El círculo de Mohr se dibuja en un sistema de ejes perpendiculares con el esfuerzo cortante, τ, marcado en el eje vertical y el esfuerzo normal, σ, en el eje horizontal como se indica a conti-nuación



[SAH]

La convención de signos es la siguiente:

(1) Los esfuerzos normales positivos de tensión actúan hacia la derecha.

(2) Los esfuerzos normales negativos de compresión actúan hacia la izquierda.

(3) Los esfuerzos cortantes que tienden a girar al elemento sometido a esfuerzo en sentido horario (SH) se trazan hacia arriba en el eje τ.

(4) Los esfuerzos cortantes que tienden a girar al elemento sometido a esfuerzo en sentido antihorario (SAH) se trazan hacia abajo.


DP. - AS - 5119 – 2007 ISSN: 1988 - 379X 36

Solución:

PRESENTACIÓN DEL PROGRAMA A continuación se presenta un ejemplo numéri-co sobre la aplicación del Círculo de Mohr para determinar los esfuerzos en el plano. Ejemplo: El estado de esfuerzo plano en un punto “p” se muestra sobre el elemento de la figura que se indica a continuación. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el plano y muestre como actúan sobre elementos orientados de manera apropiada. Determine el esfuerzo cortante máximo absoluto.



Descargos: Este programa es freeware se distribuye en su integridad tal y como es, y se desarrollará sólo en aquellas máquinas que no haya sido modificado el código del programa. Está diseñado para ayudar a aquellos que lo necesiten. Ha sido testado y probado en la resolución de numerosos problemas, sin embargo no me hago responsable del uso que se le de en la práctica de la in-geniería. No obstante si se detectase algún problema, podéis poneros en contacto con el autor, en [email protected]

Para descargar el programa


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CÁLCULO del DÍA de la SEMANA en función de la FECHA

___________________________________________________

Programa compatible con : fx - 9750G, CFX - 9850 / 9950 GB PLUS

Rafael Gómez Guillamón Profesor y Arquitecto Técnico

Universidad Politécnica Superior. --------

Ante todo, quiero agradecer a Abel Martín por la oportunidad brindada para colaborar en esta edición de AULA MATEMÁTICA DIGITAL .

Asimismo, tengo una deuda de gratitud con Jordi Baldrich, con quien tuve la suerte de tra-bajar en la DIVISIÓN DIDÁCTICA de CASIO durante varios años. Me siento muy afortunado por la amistad que me une a ambos y el privilegio de haber aprendido tanto de ellos. También qui-siera mencionar a Alberto Coto por su gran méri-to en el desarrollo de rapidez mental para el cál-culo de fechas y operaciones aritméticas.

Este programa permite obtener el día de la semana a partir de una fecha acotada entre el año 1 d.C. y el año 3000 d.C. Para ello, se utiliza el Calendario Gregoriano, instaurado por el Papa Gregorio XIII el 15 de Octubre de 1582 (vier-nes) y que sucedió al 4 - Octubre - MDLXXXII del calendario Juliano, derivado del egipcio.

El algoritmo que emplea el programa, realiza-rá la conversión de fechas previas al 15-10-1582 y calculará el hipotético día de la semana en el calendario Gregoriano.

La implantación de este calendario se debió a una imprecisión acumulada durante varios siglos, al considerar la duración del año en 365.25 días, cuando en realidad se estima en 365.242189074 días. El desfase se produjo desde el Concilio de Nicea, (325 d.C.) hasta el 1582, lo que ocasionó un error de 10 días, aproximadamente.

El calendario Gregoriano ajusta la duración de cada año en 365’2425 días; una inexactitud anual menor de 30 segundos. A pesar de todo, habría que corregir 1 día cada 3300 años aproximada-mente, debido a particularidades de la rotación y traslación terrestre.

Otra aportación del calendario Gregoriano es la de los años seculares, aquellos que terminan en "00" (múltiplos de 100) : Serán bisiestos los años múltiplos de 4 y los años seculares que, además, sean múltiplos de 400. En resumen, habrá años comunes (365 días), años bisiestos (366 días) y años seculares.

Para quienes deseen ampliar información sobre la historia del calendario, les recomiendo consultar la página web : www.es.wikipedia.org/wiki/Calendario_Gregoriano -------------------------------------------------------

ACLARACIONES

del LISTADO -------------------------------------------------------

- Ha de pulsarse EXE al final de cada Línea del LISTADO, excepto en la última.

- El símbolo " " representa un espacio en blanco [ SPACE ] . Pulsar ALPHA [ • ] - Para escribir el CERO, se simboliza con "∅" y equivale a la tecla [ 0 ]

- Las letras minúsculas están resaltadas para facilitar su localización :

La " a " se obtiene pulsando VARS F3 F3 F1 : [ a ] En el caso de la letra " r " Teclear : VARS F3 F3 F6 F1 ( [ r ] )

Para visualizar la " e " hay que pulsar : SHIFT ln ( e x )

Letra " s " aparece tecleando :

VARS F3 F6 ( RESLT ) F6 F6 F2 ( [ s ] ) " Dim " / " i " : OPTN F2 F6 F2 Dim / OPTN F3 F1 [ i ] , respectivamente.



Programa compatible con : fx - 9750G , CFX - 9850 / 9950 GB PLUS

NOTA : En el capítulo 20 de la Guía del Usuario constan las instrucciones para instalar y ejecutar el PROGRAMA. Más información en la página web :

www.world.casio.com/calc/download/es/manual/9850gb.html

~ LISTADO ~ Ocupación de memoria : 1250 Bytes

Archivo : [ FECHAS ]

ClrText : Norm Locate 2, 4, "CALENDARIO PERPETUO" : Locate 6, 5, "Para FECHAS" For 1 → W To 21 : Locate W, 3, "~" : Locate 22–W, 6, "~" : Next Do : Getkey : LpWhile Ans ≠ 31 Lbl ∅ : ClrText : "Dia (1-31) " ? → D : Int Abs D ≠ D ⇒ Goto 1 Abs (16–D) > 15 ⇒ Goto 1 : "Mes (1~12) " ? → M : Int Abs M≠M ⇒ Goto 1 Abs (2M–13) > 11 ⇒ Goto 1 : If M=2 And D>29 : Then Goto 1 : If End If Frac ((M + Int (M÷8))÷2)=∅ And D>3∅ : Then Goto 1 : If End "∅<A≤3∅∅∅ : A"? → A: If A≠Int A Or A≤∅ Or A>3∅∅∅ : Then Goto 1: If End 1∅∅M+D ≠ 229 ⇒ Goto 2: If Frac (A÷4)=∅ And Frac (A÷1∅∅)≠∅: Then Goto 2 If End : Frac (A÷4∅∅)=∅ ⇒ Goto 2 Lbl 1 : Locate 9,6, " ERROR DATOS !!" Goto ∅ Lbl 2 : A – 1 → C : M – 1 → E : D + 31E – Int (E ÷ 2) → N : E<2 Goto 3 : Dsz N Frac (A÷4)≠∅ ⇒ Dsz N : If Frac (A÷1∅∅)=∅ And Frac (A÷4∅∅)≠∅ : Then Dsz N If End : Abs (E – 9) = 1 ⇒ Isz N Lbl 3 : C+N+Int (C÷4) – Int (C÷1∅∅) + Int (C÷4∅∅) → T: T– 7 Int ( T÷7) → R ClrText : 5 → L : M=8 ⇒ Isz L : M=5 ⇒ Dsz L : M ≥ 9 ⇒ 9 → L : M=9 ⇒ Isz L Abs (6 – M)=4 ⇒ 7→ L : 4 + Int (7– L÷2) → X : D≤ 9 ⇒ Locate X–3, 2, ∅ Locate X– Int (2+ log D), 2, D : Locate X–1, 2, " - " M=1 ⇒ Locate X, 2, "ENERO" : M=2 ⇒ Locate X, 2, "FEBRERO" M=3 ⇒ Locate X, 2, "MARZO" : M=4 ⇒ Locate X, 2, "ABRIL" M=5 ⇒ Locate X, 2, "MAYO" : M=6 ⇒ Locate X, 2, "JUNIO" M=7 ⇒ Locate X, 2, "JULIO" : M=8 ⇒ Locate X, 2, "AGOSTO" M=9 ⇒ Locate X, 2, "SEPTIEMBRE" : M=1∅ ⇒ Locate X, 2, "OCTUBRE" M=11 ⇒ Locate X, 2, "NOVIEMBRE" : M=12 ⇒ Locate X, 2, "DICIEMBRE" Locate X+L , 2, – A : 6→ L : R=3 ⇒ 9 → L : R=1⇒ Dsz L : Frac (R÷5)=∅ ⇒ Isz L Int (12 – L÷2) → X : Locate 11,4, "< >" : 7→ Y : N ≥ 1∅∅ ⇒ Dsz Y Locate Y, 6, "Dim Nº :" : Locate Y+2, 6, "a" For ∅ → J To Int (L÷2) : For 1 → K To 5∅ : Next : Locate 1∅ – J, 4, "< " Locate 12 + J, 4," >" : Next : L≠6 ⇒ Locate 9 – Int (L÷2), 4, "< " R=∅ ⇒ Locate X, 4, "DOMINGO" : R=1 ⇒ Locate X, 4, "LUNES" R=2 ⇒ Locate X, 4, "MARTES" : R=3 ⇒ Locate X, 4, "MIERCOLES" R=4 ⇒ Locate X, 4, "JUEVES" : R=5 ⇒ Locate X, 4, "VIERNES" R>5 ⇒ Locate X, 4, "SABADO" : Locate Y+8, 6, N Do : Getkey : Locate 21, 1, " " : LpWhile Ans≠31 : Goto ∅


DP. - AS - 5119 – 2007 ISSN: 1988 - 379X 40

VISUALIZACIÓN DE PANTALLAS DEMO

Accedemos a la opción PRGM

Seleccionar Archivo FECHAS Pantalla inicial : F1 ó EXE

Program List ..FECHAS : 1250.

___ ___ EXE EDIT NEW DEL DEL-A

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ CALENDARIO PERPETUO Para FECHAS ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Primero nos pide el Día Ejemplo : 1 2 A continuación, el Mes :EXE

Dia (1-31) ?

Dia (1-31) ? 12 _

Dia (1-31) ? 12 Mes (1~12) ?

Tecleamos : 1 0 EXE Y el Año : 2 0 0 7 Día de la semana : EXE

Dia (1-31) ? 12 Mes (1~12) ? 10_

Dia (1-31) ?

12 Mes (1~12) ? 10 0<A≤3000: A? 2007_

12 - OCTUBRE - 2007 < VIERNES > Dia Nº: 285

Otro ejemplo de FECHA Llegada del hombre a la

Luna (?) El programa también

detecta ERRORES Dia (1-31) ? 20 Mes (1~12) ? 7 0<A≤3000: A? 1969_

20 - JULIO - 1969 < DOMINGO > Dia Nº: 201

Dia (1-31) ? 31 Mes (1~12) ? 9 – Disp – ERROR DATOS !!



LITERATURA MATEMÁTICALITERATURA MATEMÁTICALITERATURA MATEMÁTICALITERATURA MATEMÁTICA Marta Martín Sierra

Los Crímenes de Oxford Los Crímenes de Oxford Los Crímenes de Oxford Los Crímenes de Oxford ((((Guillermo Martínez)Guillermo Martínez)Guillermo Martínez)Guillermo Martínez)

"El crimen perfecto no es el que queda "El crimen perfecto no es el que queda "El crimen perfecto no es el que queda "El crimen perfecto no es el que queda sin resolver sino el que se resuelve con sin resolver sino el que se resuelve con sin resolver sino el que se resuelve con sin resolver sino el que se resuelve con

un culpable equivocun culpable equivocun culpable equivocun culpable equivocaaaado."do."do."do."

Los Crímenes de Oxford' arrancan con el asesinato de una anciana en Ox-ford, el cuerpo es descu-bierto por dos hombres que se encuentran en ese momento por primera vez: Arthur Seldom, un prestigioso profesor de Ló-gica, y Martín, un joven

estudiante que acaba de llegar a la Uni-versidad de Oxford para realizar una te-sis doctoral en Lógica. Se encargarán de desenmascarar al asesino mediante una serie lógica de la que se revela un término antes de cada asesinato, para ello, se combinarán la labor de las Matemáticas y la indagación criminalista (se puede ver el cierto paralelismo que hay con la serie Numb3rs). Ambientada en la universitaria ciudad de Oxford y con su prestigioso Instituto de Matemáticas como referente, en la novela aparecen, expuestos de modo sencillo, im-portantes resultados matemáticos como el Teorema de Fermat, el Teorema de Gödel o la paradoja de Wittgenstein , también destacados personajes de la historia de la Matemática. Como Pitágoras, Fermat o Gödel, acertijos, símbolos, además de algunas frases referi-das a lo que a la Ciencia Exacta se refiere. Se trata de una excelente novela de fácil lectura que cautivará al lector, la verdad se muestra evasiva, donde nada es lo que parece y te sorprenderá su inesperado fi-nal. Se van a mostrar a continuación algunas de las muchas apariciones de las Matemá-ticas en el libro:

AcAcAcAcertijos:ertijos:ertijos:ertijos: Arthur Seldom le propone a Martin que adivine la continuación de la siguiente se-rie:

¿Cuál crees que es siguiente símbolo de la ¿Cuál crees que es siguiente símbolo de la ¿Cuál crees que es siguiente símbolo de la ¿Cuál crees que es siguiente símbolo de la serie?serie?serie?serie?

Matemáticos y sus TeoremasMatemáticos y sus TeoremasMatemáticos y sus TeoremasMatemáticos y sus Teoremas:::: Seldom ayuda a organizar un seminario de Teoría de Números. Andrew Wiles cree que puede probar la última conjetura de Fermat, y Arthur es uno de los pocos que lo toman en serio.[...] después de Kummer, el teorema se había convertido en el paradigma de lo que los matemáticos consideraban un problema intratable.

Teorema de Fermat: La ecuación nnn zyx =+

no tiene solución entera no trivial (es de-cir distinta de x=y=z=0 ) cuando n ≥ 3.

“Amor matemático”: “Amor matemático”: “Amor matemático”: “Amor matemático”: Lorna le escribe una carta a Martin, y él le contesta lo siguiente: Oh Dios, haz que el amor entre ella y yo sea parejo,

que ninguno rebase al otro, Haz que nuestros amores sean idénticos,

como ambos lados de una ecuación. (ruego de Qais ben-al-Mulawah, en uno de los versos para Laila)

Frases con contenido matemático utilFrases con contenido matemático utilFrases con contenido matemático utilFrases con contenido matemático utili-i-i-i-zado en la vida cotidiana:zado en la vida cotidiana:zado en la vida cotidiana:zado en la vida cotidiana: Martin piensa: "Por primera vez cree tener acotado el "Por primera vez cree tener acotado el "Por primera vez cree tener acotado el "Por primera vez cree tener acotado el problemaproblemaproblemaproblema: en vez de las quinientas mil personas de Oxfordshire, sólo tiene que ocuparse de las ochocientas que fueron al concierto."

Poesía con Matemáticas:Poesía con Matemáticas:Poesía con Matemáticas:Poesía con Matemáticas: "¿Qué somos usted y yo, qué somos los ma-temáticos? Somos, como dijo un poeta de su país (Ar-gentina), los arduos alumnos de Pitágo-ras." La frase "los arduos alumnos de Pitágoras" está sacada de un poema de Jorge Luis Borges.

La película La película La película La película se estrense estrense estrense estrenaaaará el 18 de Enero de 2008rá el 18 de Enero de 2008rá el 18 de Enero de 2008rá el 18 de Enero de 2008


DP. - AS - 5119 – 2007 ISSN: 1988 - 379X 42

Matemáticas y Cine: LA TEORÍA DEL CAOS Marta Martín Sierra, Facultad de Matemáti-

cas de la Universidad de Oviedo. Abel Martín, Profesor de Matemáticas del

I.E.S. “Pérez de Ayala”, de Oviedo. -------------------------

Por culpa de un clavo, se pierde la herradura,

Por culpa de la herradura se pierde el caballo,

Por culpa del caballo, se pierde el jinete,

Por culpa del jinete, se pierde el mensaje,

Por culpa del mensaje, se pierde la batalla,

Por culpa de la batalla, se pierde el Reino.

------------------------- Hacia 1960, el meteorólogo

Edward Lorenz se dedicaba a estudiar el comportamiento de la atmósfera, tratando de en-contrar un modelo matemático que permitiera predecir, a par-tir de variables sencillas (tem-

peratura, presión, velocidad del viento…) y mediante simulaciones con 12 ecuaciones con ordenadores de la época, el comportamiento de grandes masas de aire y así poder hacer predicciones climatológicas.

Lorenz realizó distintas aproximaciones hasta que consiguió ajustar el modelo a la in-fluencia de tres variables que expresaban como cambian a lo largo del tiempo la veloci-dad y la temperatura del aire. El modelo se concretó en tres ecuaciones matemáticas, bastante simples, conocidas hoy en día como modelo de Lorenz.

Por diversas causas, en un momento deter-minado, sólo utilizó 3 números decimales en los datos de partida en vez de los 6 habitua-les. La sorpresa fue mayúscula pues los resul-tados le salieron totalmente diferentes: cualquier pequeña perturbación o error en las condiciones iniciales del sistema podía tener una gran influencia sobre el resultado final.

Esto convulsionó las ideas convencionales, que preveían unos resultados prácticamente iguales.

Medir una temperatura de 12 º C en lugar de una exacta de 12.00000000000034 ºC parece un fallo insignificante, pero puede hacer que nuestros cálculos nos den lluvia pa-ra el día siguiente en lugar de sol.

A estos sistemas que no responden de for-ma lineal a cambios en las condiciones inicia-les, sino que los resultados son impredeci-bles, se les denomina sistemas caóticos, y a su estudio la teoría del caos.

Lorenz intentó explicar esta idea mediante un ejemplo hipotético. Sugirió que imaginá-semos a un meteorólogo que hubiera conse-guido hacer una predicción muy exacta del comportamiento de la atmósfera, mediante cálculos muy precisos y a partir de datos muy exactos. Podría encontrarse una predicción totalmente errónea por no haber tenido en cuenta el aleteo de una mariposa en el otro lado del planeta. Ese simple aleteo podría in-troducir perturbaciones en el sistema que llevaran a la predicción de una tormenta. Y no es que la mariposa desencadene ella sola un huracán, sino que para estudiar un sistema caótico hay que tener en cuenta hasta las va-riables más insignificantes, ignorar a la pe-queña mariposa nos puede llevar a errores de cálculo graves.

De aquí surgió el nombre de "efecto mari-posa" que, desde entonces, ha dado lugar a muchas variantes y recreaciones.

Se denomina, por tanto, efecto mariposa a la amplificación de errores que pueden apa-recer en el comportamiento de un sistema complejo. En definitiva, el efecto mariposa es una de las características del comportamien-to de un sistema caótico, en el que las varia-bles cambian de forma compleja y errática, haciendo imposible hacer predicciones más allá de un determinado punto, que recibe el nombre de horizonte de predicciones.

El caos observa que realmente existen mo-vimientos sin orden. Gracias a la teoría del caos, hemos comprendido que puede haber movimientos erráticos que no son aleatorios, sino que responden a reglas fijas. Sí, efecti-vamente son fenómenos sin orden aparente y cuyas leyes se nos escapan, pero en absoluto son fenómenos derivados del azar” - (Fei-genbaum)

El CINE, intentando ser siempre un reflejo de lo que está pasando en el mundo, tampoco fue ajeno a esta teoría. Hagamos un breve repaso por algunas películas y series de tele-visión que lo han tratado.



En Parque Jurásico I (Steven Spiel-berg, 1993), uno de los personajes importantes representa a un matemático. Utiliza el concepto de la teoría del caos y sus implicaciones filosófi-cas para explicar el colapso de un parque de atracciones que tiene como espectáculo principal ciertas especies de dinosaurios recreadas artifi-cialmente.

La expedición de científicos están visitando el

parque, un poco contrariados porque no están viendo todo lo que quieren. El matemático porta cierto escepticismo:

- El Tiranosauros no obedece a un sistema fijo y de horario del parque, es la esencia del caos.

- No entiendo eso del caos. ¿Qué significa? - Se trata de la imprevisibilidad en sistemas

complejos. Se resume en el efecto mariposa. Una mariposa bate las alas en Pekín, y en Nueva York llueve en lugar de hacer sol. ¿Voy demasiado de-prisa? Déme ese vaso de agua. Verá. El coche no para de saltar, pero no importa, sólo es un ejem-plo. Ponga la mano plana como en un jeroglífico. Digamos que cae en su mano una gota de agua. ¿Hacía que lado irá? ¿Hacia el pulgar? ¿hacia el otro lado?

- ¡No sé... hacia el pulgar! - Bien, ahora quieta la mano, no se mueva, voy a

hacer lo mismo, en el mismo sitio. ¿En qué direc-ción cree que irá?

- ¡No sé... en la misma dirección! - ¡Ha cambiado!, ¿Por qué? Debido a pequeñas

variaciones, a la orientación del vello de la mano, a la cantidad de sangre que dilata los vasos, a las imperfecciones de la piel... microscópicas, y nunca se repiten y afectan mucho al resultado... eso es... imprevisibilidad. Ve, nadie podría predecir que el Doctor Grant saltaría de pronto de un vehículo en marcha. He aquí otro ejemplo más. Y aquí estoy ahora mismo hablando sólo. Eso, eso es la teoría del caos.

En la parte del capitulo especial que los Simp-sons dedican a Halloween, en la sexta tempo-rada, y que lleva por título Tiempo y casti-go (Jaundiced Jim Reardon, 1994), en su intento de arreglar una tostadora estro-peada, Homer acaba convirtiéndola en una máquina del tiempo que ocasiona grandes cambios en su realidad. La idea de un presente que cambia por la muerte de un insecto prehis-tórico es satirizada, pudiendo llegar a ocasio-nar consecuencias imprevisibles, debido al efecto mariposa, a pesar del consejo de su pa-dre:

- Si alguna vez viajas a través del tiempo, procura no tocar nada,. Hasta el más mínimo cambio puede alterar el futuro, pero de una forma inimaginable.

No debemos olvidar que unos cuantos guionis-

tas de los Simpsons son Licenciados en Mate-máticas, Física o Informática.

Una película española, El efecto mariposa (Fernando Colomo, 1995), Con la teoría del caos como centro de la película, se dan al-gunas pinceladas de la misma y la banda sonora contiene una canción de Ketama dedicada al efecto mariposa.

Ya en el avión, Luis, el protagonista, directa-mente mirando a cámara, nos cuenta qué es el caos, entrecortado por comentarios de su ma-dre que lo compaña:

- ¿Qué es el caos? Sí, porque hablamos mu-cho del caos pero, realmente, ¿qué es el caos? Hasta ahora la ciencia lo explicaba todo, el universo estaba dominado por el orden y ya es-tá, todos felices. Claro que la ciencia se olvi-daba de pequeños detalles como... las formas de las nubes que cambian continuamente, o el caprichoso movimiento del humo, o la imprede-cible conducta del cerebro...


DP. - AS - 5119 – 2007 ISSN: 1988 - 379X 44

En los 70 algunos científicos empezaron a bus-car un camino en el desorden de las cosas y des-cubrieron, por ejemplo, que pequeñísimas diferen-cias de entrada o input se transformaban en enormes diferencias de salida o output.

Bueno, esto científicamente se denominó "de-

pendencia sensitiva de las condiciones iniciales" y familiarmente se bautizó como "el efecto maripo-sa". El efecto mariposa, es decir, el caos, entró en mi vida en Londres, en el verano más caluroso de los últimos 100 años.

También se emitió la serie Tru Calling (Jon Harmon Feldman, 2003). Los muertos son los

que le piden a Tru, la protagonista, volver a re-

vivir el día en busca de un cambio de los sucesos acaecidos y poder modificar el futuro. Son cam-bios puntuales, lejos del "efecto mariposa".

En El efecto mariposa (Eric Bress y J. Mackye Gruber, 2004), mediante los viajes a través del tiempo, la teoría del caos está presen-te en las acciones del protagonista, que intenta volver al pasado, en momentos muy puntuales, para modificar alguna variable, pero con consecuencias impredecibles y cada vez más nefastas..., por muy pequeño que sea ese cambio...

Para ello le basta a Evan, el protagonista, leer parte de los diarios que ha escrito. De esta forma vuelve a dicho instante. Por mucho que lo intenta, no es capaz de crear una realidad que les permita a él y a su entorno vivir felizmente.

Basada en un relato de Ray Bradbury, laurea-

do maestro de la ciencia ficción, la historia de El sonido del trueno (Peter Hyams,

2005) arranca en el año 2055, en el centro de un Chicago modernizado pero todavía reco-nocible. Los avances tecnológicos permiten ahora viajar en el tiempo y, para los multimillo-narios, contratar safaris a la prehistoria para cazar dinosaurios.

Pero la simple muerte accidental de una ma-riposa en el pasado producirá el "el efecto ma-riposa", nunca mejor dicho, y producirá gran-des cambios en el futuro. La novedad es que esos cambios se producen en forma de olea-das, mediante ondas temporales.

En 24 horas la ciudad experimenta transfor-maciones asombrosas, mientras sus habitantes pasan de la curiosidad a una alarma creciente, y finalmente al pánico. Las plantas crecen has-ta extremos nunca vistos, como si reclamaran su antiguo territorio tropical.

- Cuando se cambia algo en el pasado el futu-ro no se ve afectado de inmediato, los cambios llegan en ondas, como cuando tiras una piedra a un estanque. Habrá más y cada vez más gran-des -dice la doctora- todos los cambios en la evolución que alteraron llegarán con las ondas. Empezarán con el clima y la vegetación, las primeras manifestaciones de vida. Después lle-gará a los organismos más complejos...

- ¿Y qué ocurrirá con la última onda? -pregunta Travis.

- Nos tocará a nosotros y habrá que decir adiós. La última onda cambiará a la última es-pecie en evolucionar: el homo sapiens.



Llega luego el turno de los insectos, organis-mos velocísimos y voraces que se arrastran por todas las superficies en hordas mortíferas. Apa-recen desconocidas especies depredadoras con forma de reptil que oscurecen los cielos e inva-den un paisaje cada vez más hostil y aterrador.

En El efecto mariposa 2 (John R. Leo-netti, 2006), el protagonista vuelve a viajar a través del tiempo, tras la muerte de su novia Ju-lie para así modificar alguna variable que cambie el futuro...

En este caso le bastará con mirar una foto pa-ra trasladarse en el tiempo, a ese justo instante.

No tiene la fuerza de las anteriores y los cambios se producen, sobre todo a nivel profe-sional.

Babel (Alejandro González Iñárritu,

2006). Dos niños marroquíes, a los que el azar ha colocado un rifle en sus manos, prueban su puntería, pero a uno de ellos, para comprobar la distancia que alcanza la bala, se le ocurre dispa-rar a un autobús de turistas, en el que viajan un matrimonio americano que está intentando amor-tiguar su crisis (Brad Pitt y Cate Blanchett), re-sultando gravemente herida la esposa. El hombre que les regaló esa arma es un alto ejecutivo japo-nés cuya mujer se suicidó y con una hija adoles-cente y sordomuda. Y a México va la asistenta del matrimonio (Adriana Barraza), llevándose a los hijos del matrimonio que no pueden regresar a tiempo al estar herida la mujer. Quiere asistir a la boda de unos familiares y... ¿qué puede pasar?.

El disparo desencadena una serie de aconte-cimientos fortuitos, como la de la teoría del caos, que servirá para conectar a estos grupos de per-sonas, dispersos por el mundo.

En la serie Day Break (Paul Zbyszewski, 2006), el detective Brett Hopper vive el mismo día una y otra vez, intentando modificar el futuro que ya conoce...

Cada capítulo coincidirá con un nuevo intento, pero deberá tener mucho cuidado con todas las decisiones que tome ya que, por mínimas que sean, pueden tener consecuencias... ventajosas o desastrosas... aunque nuestro protagonista, des-conocedor de la teoría del caos y del efecto ma-riposa, no pretende hacer ligeros cambios que modifiquen el futuro, sino todos los cambios ne-cesarios que puedan encauzar su vida y la de su entorno.

Para completar o ampliar el tema no tienes

más que visitarnos en: www.aulamatematica.com

en la sección de MATEMÁTICAS Y CINE, donde también podrás visitar las exposiciones itinerantes que estamos realizando a lo largo de España e incluso fuera de la misma.


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CONCURSO: Programemos con "Classpad" Abel Martín, Profesor de Matemáticas del

I.E.S. “Pérez de Ayala”, de Oviedo. -------------------------

Al cierre de la edición de la Revista sigue reunido el jurado para establecer los finalis-tas y premiados en el

I CONCURSO DE "PROGRAMACIÓN" A partir del 15 de octubre de 2007 se con-

voca el concurso "Programemos con CLASSPAD"

Los programas serán preferentemente de carácter didáctico y se tendrá en cuenta su "utilidad" para las diferentes carreras de la Universidad.

Organizado inicialmente por los portales: www.aulamatematica.com

www.classpad.tk Este concurso pretende estimular la parti-

cipación de los profesores y estudiantes, con el objetivo de potenciar y favorecer el uso de la calculadora como un recurso de gran importancia, por su portabilidad, prestacio-nes didácticas y herramienta auxiliar en Ba-chillerato y Universidad.

Se valorará, sobre todo, su utilidad para las diferentes carreras universitarias. BASES 1.- Cada persona o grupo de personas puede

enviar al concurso tanto PROGRAMAS como deseen.

2.- Los programas han de ser confidenciales hasta su envío y el autor o autores se com-prometen a mantener la confidencialidad du-rante 2 meses después de la fecha de cierre de esta convocatoria.

3.- Los programas se presentarán en cua-lesquiera de las siguientes extensiones:

(a) *.mcs (b) *.cpa (c) *.fls (d) *.vcp 4.- Acompañando al programa o programas

irán los datos identificativos de los autores. 5.- Un jurado compuesto por el webmaster

del portal convocante, que actuará de presi-dente, un representante de la revista AULA MATEMÁTICA DIGITAL y un representante de CASIO - Flamagás valorará las propuestas presentadas y realizarán la selección de los programas finalistas y posterior ganador.

6.- El jurado podrá contar con el asesora-miento de cuantos expertos considere opor-tunos.

7.- Se establecen los siguientes plazos: Los programas y datos identificativos se

enviarán ANTES del 31 de enero de 2008 por email, como archivos adjuntos, a:

[email protected] 8.- El jurado se reunirá en la semana del 25

al 29 de febrero de 2008, aunque posterior-mente se ha anunciado que, ante la gran can-tidad de trabajos presentados y la calidad de muchos de ellos, el jurado se ha visto obliga-do a ampliar el plazo de reunión hasta el 8 de marzo de 2008 para fallar los premios, publi-cando su decisión en las páginas de las Web convocantes.

9.- El autor o autores dan su consentimiento para que aulamatematica.com haga el uso que más le convenga con estos programas, aunque siempre mencionando la autoría de los mismos y el galardón que le ha sido concedi-do.

10.- El idioma oficial de este concurso es el castellano.

11.- Cualquier circunstancia no contemplada en esta convocatoria será resuelta por el ju-rado.

12.- Las decisiones del Jurado creado para este concurso son inapelables.

13.- La participación en este concurso supo-ne la aceptación de todas y cada una de las bases de la convocatoria.

Queremos destacar la colaboración de

en los premios asignados, ya que este PORTAL ha nacido como consecuencia de la ilusión altruista y no lucrativa de algunas personas, con el objetivo de prestar un ser-vicio a la comunidad de internautas que com-parten el gusto por el manejo de unas herra-mientas cada vez más necesarias en la ense-ñanza diaria de las Matemáticas y de otras Ciencias instrumentales. En el próximo número haremos un completo

reportaje de los ganadores y sus trabajos.


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