matemÁtica discreta –aula 4

MATEMÁTICA DISCRETA – AULA 4

PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc.

Aula 4

Relações Binárias

Conteúdo

• Relação Binária.

• Representação gráfica de uma Relação

Binária.

• A base para a formação de um banco de

dados

Aula 4 – Relações Binárias

Introdução

Ligações entre elementos de conjuntos são representados

usando uma estrutura chamada relação.

No nosso dia-a-dia estamos frequentemente utilizando o

conceito de relações:

– Comparar objetos (maior, menor, igual);

– Marido-Mulher, Pai-para-filho, Pai-mãe-filho; etc.


Introdução

Relações podem ser usadas para resolver problemas tais

como:

– Determinar quais pares de cidades são ligadas por

linhas aéreas em uma rede;

– Busca de uma ordem viável para diferentes fases de um

projeto;

– Elaboração de um modo útil de armazenar informações

em bancos de dados computacionais.


Introdução

Definição de Relações:

Pode-se definir relações como um subconjunto do produto

cartesiano entre conjuntos.


Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano

de A em B ao conjunto formado por todos os pares

ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a

segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do

produto cartesioano é x.


Produto Cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de

todos os pares ordenados:

A x B = {(x, y) | x ∈∈∈∈ A e y ∈∈∈∈ B}


Produto Cartesiano

Por exemplo, dados os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9},

o produto cartesiano de A em B é o conjunto (A x B) descrito a

seguir:

A x B = {(1,2), (1,4), (1,9), (2,2), (2,4), (2,9), (5,1), (5,4), (5,9)}


Produto Cartesiano

O produto cartesiano não é comutativo, isto é, AxB ≠ BxA

Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9},

encontre os produtos cartesianos de A em B e de B em A.

A x B = {(1,2), (1,4), (1,9), (2,2), (2,4), (2,9), (5,1), (5,4), (5,9)}

B x A = {(2,1), (2,2), (2,5), (4,1), (4,2), (4,5), (9,1), (9,2), (9,5)}



Dados dois conjuntos quaisquer A e B, uma relação binária

entre A e B é um subconjunto obtido do produto cartesiano

AxB destes conjuntos.

Uma relação binária de A em B é um conjunto R de pares

ordenados, onde o 1º elemento de cada par vem de A e o 2º

vem de B, ou seja R ⊆ A x B.



Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}. O

conjunto R= {(1,2), (2,4), (2,9)} é um subconjunto (A x B), logo

é define uma Relação Binária de A em B.



Dado um conjunto A, uma relação binária sobre A, é um

subconjunto do produto cartesiano (AxA), ou seja, um

subconjunto de pares ordenados de elementos de A.

O produto cartesiano do conjunto A com ele mesmo,

denotado por (A x A) ou A2, é o conjunto de todos os pares

ordenados de elementos de A.



Dado um conjunto A = {1,2,3},

A x A= {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

O subconjunto R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} do conjunto (A x A)

define uma Relação Binária sobre A.



Podemos descrever a relação binária R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

como:

R = {(x, y)∈∈∈∈ A x A | y = x}

ou

x R y ↔ y = x

(lê-se x está relacionado por R com y se e somente se y=x)



Uma relação binária R sobre um conjunto A nada mas é do

que um subconjunto de (AxA) que pode ser descrita na forma

abreviada por:

x R y ↔ (x, y) R



Exemplo: Seja A = {1,2}. Temos que, A x A = {(1,1), (1,2),

(2,1), (2, 2)}.

Seja R a relação sobre A definida por:

x R y ↔ x + y é ímpar.

A x A = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}par ímpar ímpar par

R = {(1,2), (2,1)}



Generalizando:

Dados n conjuntos A1, A2, ..., An, n > 2, uma relação n-ária

em A1x A2x A3x ... An é um subconjunto do produto cartesiano

(A1x A2x ... x An).


Relação Ternária:

R = {(x, y, z)| x, y e z estão relacionados}

Em uma aplicação prática podemos ter o conjunto das ternas

ordenados que descrevam a seguinte situação:

(x, y, z) = (número de um vôo, ponto de partida, destino)


Exemplos:

Para cada uma das relações binárias R, decida quais os

pares ordenados pertencem a R.

a) x R y ↔ x = y + 1; (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2)

b) x R y ↔ x divide y; (2, 4), (2, 5), (2, 6)

c) x R y ↔x é ímpar; (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)

d) x R y ↔x > y2; (1, 2), (2, 1), (5, 2), (6, 4), (4, 3)


Exemplos:

a) x R y ↔ x = y + 1; (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2)

b) x R y ↔ x divide y; (2, 4), (2, 5), (2, 6)

c) x R y ↔x é ímpar; (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)

d) x R y ↔x > y2; (1, 2), (2, 1), (5, 2), (6, 4), (4, 3)


Domínio e Contradomínio:

Em uma Relação Binária de A para B, o conjunto A é

chamado de domínio da relação e o conjunto B é chamado

de contradomínio da relação.

Exemplo: Na relação, R= {(2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}

- O Domínio é o conjunto {2, 3, 4, 5}

- O Contra-Domínio é o conjunto {3, 4, 5, 6}.


Domínio e Contradomínio:

Exemplo: Sejam os conjuntos A ={a, b, c, d} e B = {1, 2, 3}.

Considere R a relação binária definida a seguir por:

R = {(a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3)}

O domínio de R é o conjunto A = {a,b,c,d} e o Contradomínio

de R é o conjunto B = {1,2,3}.


Domínio e Contra-domínio:

Representação gráfica:

A = {a,b,c,d}

B = {1,2,3}

R = {(a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3)}


Classificação das Relações Binárias

Seja R uma relação binária do conjunto A para o conjunto B.

• A relação R é um para um se cada primeira componente e

cada segunda componente aparecerem apenas uma vez

nos pares ordenados pertencentes à relação.



• A relação é um para muitos se alguma primeira

componente aparecer mais de uma vez nos pares

ordenados pertencentes à relação.



• A relação é dita muitos para um se alguma segunda

componente aparecer mais de uma vez nos pares




• A relação é muitos para muitos se pelo menos uma

primeira componente e pelo menos uma segunda

componente aparecerem em mais de uma vez nos pares




Exemplo: Identifique cada uma das relações em S como

sendo um para um, um para muitos, muitos para um ou

muitos para muitos, onde S = {2, 5, 7, 9}.

a) {(5,2), (7,5), (9,2)}

b) {(2,5), (5,7), (7,2)}

c) {(7,9), (2,5), (9,9), (2,7)}



a) {(5,2), (7,5), (9,2)} um para muitos

{(5,2), (7,5), (9,2)}

b) {(2,5), (5,7), (7,2)} um para um

{(2,5), (5,7), (7,2)}

c) {(7,9), (2,5), (9,9), (2,7)} muitos para muitos

{(7,9), (2,5), (9,9), (2,7)}


Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2

- Plano Cartesiano

O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y

perpendiculares entre si e que se cruzam num ponto O

chamado de origem dos eixos.

O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas (eixo OX)

e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas (eixo OY).



- Plano Cartesiano



Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões

distintas chamadas de quadrantes:



Cada ponto P do plano cartesiano é formado por um par

ordenado (a, b) de números reais. O número a representa a

abscissa do ponto P e o número b a ordenada do ponto P.



• Pontos pertencentes ao 1º quadrante possuem

coordenadas (a,b) com a, b ≥ 0;




coordenadas (a, b) com a ≤ 0 e b ≥ 0;




coordenadas (a, b) com a, b ≤ 0;




coordenadas (a, b) com a ≥ 0 e b ≤0.


Exemplo: Marque no plano cartesiano e identifique em quais

quadrantes estão os seguintes pontos:

• P1(2,1)

• P2(-2, 3)

• P3(-1, -3)

• P4(2, -1)


•P1(2,1) → a positivo e b positivo – 1º quadrante

•P2(-2,3) → a negativo e b positivo – 2º quadrante

•P3(-1,-3) → a negativo e b negativo – 3º quadrante

•P4(2,-1) → a negativo e b positivo – 4º quadrante

P2 P1

P4P3


Gráficos de Relações Binárias em (R x R) ou R2

Relações binárias podem ser representadas por gráficos.

Um gráfico é nada mais do que uma curva (o nome se

aplica mesmo a gráficos com apenas retas) que representa

visualmente a relação binária, para cada par ordenado em

que ela se defina.

O gráfico formado assim é também chamado de gráfico

cartesiano, por representar um produto cartesiano.


Gráficos de Relações Binárias em (R x R) ou R2

Exemplo: A relação R = {(x, y) | y = 2x para x e y reais} é

representada graficamente no plano cartesiano pela figura a

seguir:


Exemplo: Seja x ∈ X = {1, 2, 3, 4}. Sabendo que:

xRy ↔↔↔↔ x = y +1 (x está relacionado com y se e somente se x

= y + 1). Determine R e faça sua representação gráfica:

- Para x=1, y+1=1; y=0

- Para x=2, y+1=2; y=1

- Para x=3, y+1=3; y=2

- Para x=4, y+1=4. y=3

R = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)}.


Exemplo:

R = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)}


Exemplo: Seja X = {0, 1, 2, 3, 4}. Então, x R y ↔ y = x2.

R = {(0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16)}


Exercício: No plano cartesiano abaixo, encontre os pares

ordenados que definem cada ponto:


Exercício: No plano cartesiano abaixo, encontre os pares

ordenados que definem cada ponto:

• A = (-2,4)

• B = (3,4)

• C = (2,0)

• D = (-2,-3)

• E = (1,-3)


Exercício: Considere os segmentos g e k indicados no plano

cartesiano. Determine as coordenadas de suas extremidades.


Exercício: Considere os segmentos g e k indicados no plano

cartesiano. Determine as coordenadas de suas extremidades.

• g = (-5,-3) e (0,2)

• k = (1,-2) e (4,1)


Exercício: Dadas duas retas concorrentes (pxm), onde p∩m =

T. Determine as coordenadas cartesianas:

a) do ponto T

b) do ponto A, o que

corresponde à intersecção

da reta m com o eixo ox

c) do ponto B, o que

corresponde à intersecção

da reta p com o eixo de oy


Exercício:

a) T = (4,1)

b) A = (3,0)

c) B = (0,5)

matemÁtica discreta –aula 4

Documents