matemática discreta - parte v relações

Módulo 4:Relações

•UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE

•CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA

•DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO

•Professor Ulrich Schiel

Relações

Ao estudarmos conjuntos:

• propriedades de seus elementos

• relações entre elementos de conjuntos

• relações entre subconjuntos de um conjunto.

Relações

Modelos matemáticos de fenômenos da natureza

podem ser divididos em três grandes categorias:

Estruturas de Ordem <C, R>

Estruturas Algébricas <C, Op>

Estruturas Topológicas (Geometria, Análise) <C, P(C)>

Relações Binárias

Na vida real, quando dizemos que duas pessoas, Maria e José, se relacionam, entendemos que Maria e José se distinguem dos demais pares de pessoas por haver uma relação que eles satisfazem ou verificam.

Ex.Maria e José são casados.

Maria é mãe de José.

Maria e José não se entendem.

Maria manda em José

Em matemática é análogo: distinguimos determinados pares de objetos dos demais porque seus elementos satisfazem alguma relação que os elementos dos demais pares, em geral, não satisfazem.

Notação: casado-com(Maria, José),

mora-em(Maria, Campina Grande)

(Maria, casado-com, José)

(Maria, mora-em, Campina Grande)


Dados dois conjuntos S e T

Uma relação R entre S e T é dada por

R SxT

Uma relação binária R em S é dada por

R SxS = S2


Ex.: Sejam S= {1,2} e T = {2,3}

Temos que SxT = {(1,2). (1,3), (2,2), (2,3)}

• Relação de igualdade: os elementos do par são iguais.

O único par do “universo” (SxT) que satisfaz essa relação é (2,2),

• Relação menor do que: isto é, primeiro elemento do par é menor do que o segundo.

Três pares se distinguem: (1,2), (1,3), (2,3).


Definição de uma relação ST:

• com palavras • pela enumeração dos pares ordenados que a

satisfazem.• Por uma fórmula relacional• Pela definição do conjunto

Usaremos a notação xy ou (x,y) para indicar que o par ordenado (x,y) satisfaz ou pertence à relação : x y (x,y) .

Uma relação ST também é denotada por (S,T)


• Exemplos. Sejam S = {1,2} e T = {2,3,4} :

– descrição: x y são todos pares cuja soma é ímpar.

– x y x+y = 2n+1, com n N– x y = {(1,2), (1,4), (2,3)}– = {(x,y) | x S e y T e x+y é ímpar}

Seja PESSOA um conjunto de pessoas, podemos ter:

casado-com(PESSOA, PESSOA)


• Para cada uma das seguintes relações binárias em NN, determine quais dos pares ordenados apresentados pertencem à :

a. x y x = y+1 (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)

b. x y x divide y (4,2), (2,4), (2,5), (2,6)

c. x y x é ímpar (2,3), (3,3), (4,5), (5,6)

d. x y x > y2 (1,2), (2,1), (5,2), (5,4), (4,3)

e. x y y é uma (a,b), (b,a), (b,i), (b,c), (o,o).vogal após a letra x

Relações n-árias

→Dados os conjuntos S1, S2, ..., Sn, uma relação n-ária em S1S2...Sn é um subconjunto de S1S2...Sn. Neste caso para uma relação em S1S2...Sn escrevemos (s1, s2, ...,sn) se s1, s2, ...,sn pertence à relação.

→Exemplo: A= {1,2}, B = {2}, C = {2,3}.

ABC = {(1,2,2), (1,2,3), (2,2,2), (2,2,3)}

(x,y,z) x=y=z = {(2,2,2)}

(x,y,z) x>y = ??

Relações unárias

• Uma relação unária em um conjunto S é um subconjunto particular de S.

• Um elemento x de S satisfaz ou pertence a se, e somente se, x pertence ao subconjunto que define a relação.

• Exemplo 1: O conjunto dos números pares P (subconjunto de N) é definido pela relação:

x x é par.

• Exemplo 2: Para o conjunto pessoa podemos ter a relação unária maior-de-idade(PESSOA).

Relações em um conjunto S

Uma relação binária em um conjunto S é um subconjunto de S2 = (SxS).

Ex.: x y xy em N

Analogamente, uma relação n-ária em um conjunto S é um subconjunto de Sn.

Ex.: (x,y,z) x+y=z em N.

Tipos de relaçõesDado uma relação ST

é uma relação um-para-um se cada primeiro elemento s e cada segundo elemento t aparecem exatamente uma vez na relação.

Formalmente:

(i) todos elementos de S e T participam da relação

(ii) se (s,t) e (s,t’) então t=t’

(iii) se (s,t) e (s’,t) então s=s’

Ex.: Sejam S = {2,5,7,9} e T = {1,3,4,5}

= {(2,4), (5,5), (7,3), (9,1)}

Definições

é uma relação um-para-vários se algum primeiro elemento s aparece mais de uma vez.

Ex.: = {(7,4), (2,5), (2,3)}

é uma relação vários-para-um se algum segundo elemento t fizer par com mais de um primeiro elemento s..

Ex.: = {(2,4), (3,4), (5,2)}

é uma relação vários-para-vários se pelo menos um s fizer par com mais de um t e pelo menos um t fizer par com mais de um s..

Ex.: = {(7,4), (2,5), (9,4), (2,3)}

Definições fracas

é uma relação um-para-um fraca se cada primeiro elemento s e cada segundo elemento t aparecem no máximo uma vez na relação

é uma relação um-para-vários fraca se algum primeiro elemento s pode aparecer mais de uma vez.

é uma relação vários-para-um fraca se algum segundo elemento t pode fazer par com mais de um primeiro elemento s..

é uma relação vários-para-vários fraca se é um-para-vários e vários-para-um.

EXERCÍCIO: Defina formalmente todas estas relações

Operações sobre relações

• Seja B o conjunto de todas as relações binárias em um dado conjunto S:

B = P(SxS) = {: é uma relação binária em S}• Isto é, se S2, então B.• Assim, se e B, então podemos aplicar as

operações de conjuntos a e resultando em novos subconjuntos de S2, isto é, em novas relações binárias:

• x ( ) y x y ou x y• x ( ) y x y e x y• x ’ y não x y.

Exercícios

1. Sejam e duas relações binárias em S={1,2,3,4,5} definidas por:

x y x = y+1. e x y x < y+1. Encontre:

a. e b c. ’

d. ’

e. f. ’

2. Analise as relações

pai-de(PESSOA,PESSOA),

casado-com(PESSOA, PESSOA) e

trabalha-em(PESSOA, EMPRESA)

Quanto às características

um-para-um forte/fraca,

um-para-muitos forte/fraca, etc.)

Propriedades das relações

Seja uma relação binária em S2.

é reflexiva quando xx para todo x S.

é simétrica quandoxy se, e somente se yx para todo x e y S.

é transitiva quando, xy e yz implica xz para todo x, y e z S.

é anti-simétrica quando xy e yx implica x = y para todo x e y S.

Exemplos

Seja S = P(N) e seja A B A B. Então:

é reflexiva.

é transitiva.

é anti-simétrica.

Seja S = N os naturais, e x y o resto da divisão de x e y por 10 é o mesmo.

• é reflexiva.• é transitiva.• é simétrica

Fecho de uma relação

Se uma relação em um conjunto S não tem uma certa propriedade, podemos tentar estender a fim de obter uma relação * em S que tenha a propriedade.

Uma relação binária * em um conjunto S é dita ser o fecho de em S relativo à propriedade P se:

1 * tem a propriedade P;

2 * ;

3 * é a ‘menor’ relação contendo com a propriedade P, ou seja

’ com P e ’ vale * ’

Fecho de uma relação

• Exemplo:

• Seja S = {1,2,3} e = {(1,1), (1,2), (3,1), (2,3)}

• Então,

- o fecho reflexivo de em S é:

* = {(1,1), (1,2), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)}

- o fecho simétrico de em S é:

** = {(1,1), (1,2), (3,1), (2,3), (1,3), (2,1), (3,2)}

- o fecho transitivo de em S é:

**' = {(1,3), (3,2), (3,3)}

- o fecho transitivo do fecho simétrico em S é:

**” = {(3,2), (3,3), (2,2)}

Exercício

Seja S = {a,b,c,d} e

= {(c,c), (a,c), (a,d), (b,d), (c,a)}

• Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo de .

• E o fecho anti-simétrico??

Não existe fecho anti-simétrico mas sim, redução anti-simétrica

Relações de Ordem

Ordem Parcial

• Uma relação binária em um conjunto S que seja reflexiva, anti-simétrica e transitiva é dita ser uma relação de ordem parcial (ordenação parcial) em S.

• Exs.: - x y x y (em N)- A B A B (em P(N))- x y x divide y (em N)- x y x = y2 (em {0,1}).- x y x é uma subcadeia de y (no conjunto de

todas as cadeias de símbolos)

Ordem Parcial

Se é uma relação de ordem parcial em S, então o par (S, ) é chamado de um conjunto parcialmente ordenado (POSET).

Obs.: Notação: (S,)

• Seja (S, ) um poset e seja A S. O conjunto formado pelos pares ordenados de A que pertencem a

é dito ser a restrição de à A (notação |A e constitui uma ordenação parcial em A.

• Exemplo: (N, x divide y) é um poset.

• Então, ({1,2,3,6,12,18}, x divide y) também é um poset.

Grafo de um Poset

• Se S é finito, então o POSET (S, ) pode ser representado visualmente através de um grafo (Diagrama de Hasse): A ordem é dada pela posição vertical do vértice.

Exemplo: (P({1,2}), )= {, {1}, {2}, {1,2}}:

{1}

{1,2}

{2}

Ordem Parcial

Notação visual de um POSET (Diagrama de HASSE):

• Exemplo: ({1,2,3,6,12,18}, x divide y)

1

2 3

6

12 18

Grafo de um Poset

• Exemplo: Diagrama de Hasse dos divisores de 60

Predecessor e Sucessor

Seja (S,) um poset e x y, Se x y e x y, então x é um predecessor de y ou

y é um sucessor de x (notação x < y ).

Um dado y pode ter diversos predecessores mas, se x < y e não há z tal que x < z < y, então dizemos que x é um predecessor imediato de y.

Exercício: Considere a relação “x divide y” em {1,2,3,6,12,18}:a. Escreva os pares ordenados desta relação;b. Escreva todos os predecessores de 6;c. Escreva todos os predecessores imediatos de 6.

Mínimo/Máximo e Minimal/Maximal

Seja (S, ) um POSET. Um elemento y S é dito ser minimal se não houver outro x S tal que x y.

ou seja, y não tem predecessores

Seja (S, ) um POSET. Se houver um x S tal que x y para todo y S, então, x é um elemento mínimo do conjunto.

Obs.1: um elemento mínimo, se houver, é único. Obs.2: o mínimo é minimal Obs.3: Um POSET que possuir um único elemento

minimal, este será o elemento mínimo. Analogamente define-se elemento maximal e

elemento máximo.

Posets especiais

Uma árvore com raiz é um poset (S, ) que

• tem um elemento mínimo, chamado de raiz da árvore. • todo elemento de S, exceto a raiz, possui um

único predecessor imediato.

EXEMPLO:

.

bc

a

d

e

Posets especiais

Dado um poset (S, ) e dois elementos r,s S,

Definimos t=sup(r,s) como o ‘menor’ elemento t tal que

r t e s t. Analogamente define-se q = inf(r,s)

Escrevemos t = r+s e q = r.s.

Note que em um poset nem sempre existem r+s e r.s

Uma árvore sempre terá r.s para todos r e s em S

Uma árvore nunca terá r+s para r s.

Posets especiais

DEFINIÇÃO: Um reticulado é um poset (S, ) em que para quaisquer r,s S, existe um (único) sup(r,s) e um (único) inf(r,s).

• Dado um reticulado finito (S, ), definimos• sup(S) o elemento máximo de S e • inf(S) o elemento mínimo de S

EXEMPLO:

Exercícios

• Mostre que um reticulado finito tem um único elemento minimal (o mínimo) e um único maximal (o máximo).

Questão:• Um poset que tem um elemento mínimo e um elemento máximo sempre é um reticulado?

Exercício

1. Desenhe o grafo da relação “x divide y” em {1,2,3,6,12,18}.

Obs. Podemos reconstruir o POSET da relação a partir do grafo.

1. Seja o grafo de uma ordenação parcial em um conjunto S = {a,b,c,d,e},

1. analise a relação

2. Existem sup(S) e inf(S)?

bc

a

d

e

Exercícios

1. Mostre que para todo conjunto S, <P(S),> é um reticulado.

2. Encontre

1. Para quaisquer A,B P(S), sup(A,B) e inf(A,B)

2. sup(P(S)) e inf(P(S)).

3. Um reticulado pode ser uma árvore? Porque?

Ordem Total

Uma ordem parcial na qual todo elementos estão relacionados entre si é chamado de cadeia (ordem total).

em outras palavras, (S, ) é uma ordem total se para todo (x,y), vale, ou x y ou y x.

• Obs.: o grafo de uma ordem total tem a forma de uma linha.

• Exemplo: a relação “” em N é uma ordem total.

Exercícios

1. Analise os conjuntos totalmente ordenados quanto aos conceitos de árvore, reticulado, mínimo, minimal, etc.

Exercícios1. Desenhe o grafo de um POSET tal que

1. Tenha 2 elementos minimais e um elemento máximo. 2. Que não seja uma árvore.

2. Desenhe o grafo dos POSETs abaixo e identifique quais são árvores ou reticulados:

1. S = {1,2,3,5,6,10,15,30} e x y x divide y.

2. S = P({1,2,3}) e A B A B.

3. Para S = {a,b,c,d} e = {(a,a), (d,d), (a,b), (b,c), (a,d), (c,d)}. encontre ’ o fecho simétrico de e” o fecho transitivo de ’ .

Relação de Equivalência

Uma relação binária em um conjunto S que seja reflexiva, simétrica e transitiva é chamada de uma relação de equivalência em S.

Exs.:

1. x y x + y é par (em N)

2. x y x = y2 (em {0,1})

3. x y x senta na mesma coluna que y (em sala)

4 = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)} (em{1,2,3})

Partição

Seja a relação em S definida por:

xy x senta na mesma coluna que y (S = alunos na sala)

particiona o conjunto S em subconjuntos de forma que todo aluno da classe pertence a um, e apenas um, subconjunto.

Uma partição de um conjunto S é uma coleção de subconjuntos disjuntos não-vazios de S cuja união resulta em S.

Toda relação de equivalência em S determina uma partição (cada parte é uma classe de equivalência).

Classe de Equivalência

Seja uma relação de equivalência em S e x um elemento de S (x S). [x] é o conjunto de todos os elementos de S que se

relacionam com x. É a classe de equivalência de x. Assim, [x] = { y : y S e x y}.

Exemplo: No caso da relação “x senta na mesma coluna que y”, suponha que João, Pedro e Maria sentam todos na coluna 3. Então: [João] = [Pedro] = [Maria] = {João, Pedro, Maria}.


• Teorema: Seja uma relação de equivalência em S. Então, as classes de equivalência distintas de S formam uma partição S, ou seja,

– (1) a união das classes resulta em S e – (2) classes distintas são disjuntas.


Prova: (1) a união das classes resulta em S e .

• Seja UxS[x] união de todas as classes de

equivalência de S.

• 1. UxS[x] = S

- UxS[x] S. Cada classe [x] é um subconjunto de S. Portanto, UxS[x] também é um subconjunto de S.

- S UxS[x]. Seja x S . Como xx (reflexiva). temos x [x]. Portanto, como x é qualquer, todo elemento de S pertence a alguma classe de equivalência e, portanto, pertence à união das classes.


• (2) classes distintas são disjuntas

• Se [x] [z], então [x] [z] = .• Vamos mostrar por contradição.• Vamos assumir que [x] [z] .• Se [x] [z] , então existe yS tal que y [x]

[z]:- y [x] [z]- y [x] e y [z]- xy e zy- xy e yz- xz

• O que nos permite dizer que [x] = [z], o que contradiz a premissa [x] [z].


• Corolário: Uma relação de equivalência em um conjunto S determina uma partição de S e uma partição de S determina uma relação de equivalência.

• Prova:• Do teorema anterior e do fato de que a relação

xy “x está no mesmo subconjunto da partição que y” é uma relação de equivalência.

Exemplo

Seja S = { a/b : a, b Z e b 0}, ou seja, o conjunto de todas as frações de inteiros.

Definimos uma relação como sendo:

a/b c/d ad = bc• A relação é uma relação de equivalência.(verificar).• Algumas classes de equivalência de :• [1/2] = {..., -3/-6, -2/-4, -1/-2, 1/2, 2/4, 3/6,...}• [3/10]= {..., -9/-30, -6/-20, -3/-10, 3/10, 6/20, 9/30,...}

• Obs.: O conjunto Q dos números racionais pode ser visto como o conjunto de todas as classes de equivalência de S por .

Exercício

1. Seja S = N os números naturais e a partição: N = P IP (em que P são os números pares e IP

os números ímpares)• Defina uma relação de equivalência

determinada por esta partição.

2. Dadas as funções f(x)=x2+1 e g(x) = cos(2x). O que seria a classe de equivalência [] para cada uma dessas funções. (N.B. xy <=> f(x) = f(y)

Se R é o conjunto dos números reais, descreva as partições de S criadas por sob f(x) e sob g(x).

Exercício

cos(2*) = 1 2+1 = 10,8696

x2+1 cos(2*x)

Aritmética Finita ou Modular

É uma aritmética com um número finito de números inteiros

0,1,2,3,4,..,n-1, n, n+1, n+2, n+(n-1), 2n,..

Com 0n2n ..., 1n+1n+2...

EXEMPLOS:

- O relógio

- O computador

- notação decimal

Aritmética Modular

Exemplo: Seja Z o conjunto dos inteiros e seja 3 a relação

congruência módulo 3 em Z definida da seguinte forma:

• x 3 y x-y = k.3, para algum k Z . ( x y (mod 3) )

• Essa relação é uma relação de equivalência:

1. REFLEXIVA: x x (mod 3) x-x = 3.0 (k=0)

2. SIMÉTRICA: Se x y (mod 3) então y x (mod 3).

1. x-y=k.3, para algum k

2. y-x = -k.3

3. y-x = m.3 y x (mod 3).

3. TRANSITIVA: Se x y (mod 3) e y z (mod 3) então x z (mod 3).

Aritmética Modular

Seja Z o conjunto dos inteiros e seja n Z+.

Então, a relação x n y (mod n) x-y = k.n, para algum k Z,

é uma relação de equivalência.

•

Aritmética Modular

APLICAÇÃO:.• Toda máquina tem um limite no tamanho dos

inteiros que ela pode armazenar que depende do número fixo de bits que ela pode armazenar em uma posição de memória.

• Suponha que n-1 é o maior inteiro que pode ser armazenado e que x e y são inteiros tais que 0xn-1 e 0yn-1.

• O que acontece se for solicitado a soma x+y e ela exceder o limite n-1?

• R.: ela não pode ser armazenada.• O que fazer?

Aritmética Modular

• Realizar a adição módulo n e armazenar o resto r da divisão de x+y por n.

• Se x+y > n-1, então podemos escrever:• x+y = q.n +r, 0 r < n.

• Esta equação pode ser escrita como:• (x+y) – r = q.n

• Ou seja, (x+y) – r é um múltiplo de n, e assim, pela definição acima:

• x+y r (mod n)• Isto quer dizer que r está na mesma classe de

equivalência [x+y] e, como 0 r n, está na faixa dos inteiros que podem ser armazenados.

Aritmética Modular

• Portanto, todo número inteiro z em uma base n pode ser representado como:– z = q.n + r, para algum 0 r < n

. NOTAÇÃO: zn = (r,q)

Com isso podemos armazenar números maiores que n, enquanto tivermos q < n

Adição e Multiplicação Modular

Seja Zn = {0, 1, 2, ..., n-1}. A adição módulo n, denotada por +n em Z é definida por x +ny = r, onde r é o resto da divisão de x+y por n.

• Exemplo: 1 +5 3 = 4 ou seja 45 = (4,0)

• 3 +5 4 = 2 ou seja 75 = (2,1)

Adição e Multiplicação Modular

A multiplicação módulo n, denotada por n em Z é definida por x n y = r, onde r é o resto da divisão de x . y por n.

• Exemplo: 2 5 3 = 1 ou seja 65 = (1,1)

• 4 5 4 = 1 ou seja 165 = (1,3)

Exercícios

1. Complete as tabelas abaixo para definir + 5 e 5 na notação (r,q):

+50 1 2 3 4

0

1 (3,0)

2

3

4

5 0 1 2 3 4

0

1

2 (3,1)

3

4

2. Considerando a população de uma cidade, as relações mesmo-bairro(x,y) e mesma-rua(x,y) são duas relações de equivalência.

Mostre que a relação mesmo-bairro(x,y) mesma-rua(x,y) não é uma relação de

equivalência.Sugestão: considere cada habitante como uma tripla (p:pessoa,b:bairro,r:rua)

Exercícios

1. Dadas as funções f(x)=x2+1 e g(x) = cos(2x). O que seria a classe de equivalência [] para cada uma dessas funções.

2. Se R é o conjunto dos números reais, descreva as partições de S criadas por sob f(x) e sob g(x).

3. Defina a relação de equivalência que particiona os números inteiros em pares e ímpares.

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