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BCC101 Matemática Discreta I 1

BCC101 – Matemática Discreta I

Raciocínio Equacionalou Algébrico

Álgebra Booleana


Algumas Leis da Álgebra

a + 0 = a {+ identidade}(-a) + a = 0 {+ complemento}a 1 = a { identidade}a 0 = 0 { zero}a + b = b + a {+

comutatividade}a + (b+c) = (a+b) + c{+ associatividade}a(b+c) = ab + ac

{distributividade}Equações valem nos dois sentidos


Teorema (-1) (-1) = 1

(-1) (-1)= ((-1) (-1)) + 0 {+ id}= ((-1) (-1)) + ((-1) + 1) {+ comp}= (((-1)(-1)) + (-1)) + 1 {+

assoc}= (((-1)(-1)) + (-1)1) + 1 { id}= ((-1)((-1) + 1)) + 1 {distrib}= ((-1)0) + 1 {+ comp}= 0 + 1 { zero}= 1 + 0 {+ com}= 1 {+ id}

QEDprova por raciocínio equacional ou

algébrico

Propriedades de Operadores

Um operador binário ⊗ é dito simétrico (ou comutativo) se

[ x ⊗ y = y ⊗ x ]Seja ⊗ simétrico. O valor z é o zero de ⊗ se

[x ⊗ z = z] O valor e é a unidade de ⊗ se

[x ⊗ e = x]Se ⊗ não é simétrico, temos que

distinguir entre zero à esquerda e zero à direita.



Leis da Álgebra Booleana


Teorema (a false) (b true) = b

equações {regra} subst

(p false) (q true) novos nomes p/ evidenciar subst.

= false (q true) {zero } [p /a]= (q true) false { comut} [false /a] [qtrue

/b]= q true {unidade }[q true /a]= q {unidade }[q /a]

QED


Teorema (a b) b = b absorção

equações {regra} substituição

(p q) q novos nomes p/ evidenciar subst

= (p q) (q true) {unidade } [q /a]= (q p) (q true) { comut} [p /a] [q /b]= q (p true) { dist } [q /a] [true/b] [p/c]

= q true {zero } [p /a] = q {unidade } [q /a] QED


Teorema (a b) b = b absorção

equações {regra} substituição

(p q) q … exercicio …= q


Consistente, mas não Minimalredundância nas leis da álgebra

Booleana

equações {regra}substituição

p q= (p) q {def imp} [p /a] [q /b]= (((p) q)) {dup neg} [(p) q /a]= (((p)) (q)) {DeMorgan } [p /a] [q /b]= (p (q)) {dup neg} [p /a]= (p) ((q)) {DeMorgan } [p /a] [q /b]= ((q)) (p) { comm} [p /a] [((q)) /b]= (q) (p) {def imp} [q /a] [p /b]

QED

Derivando a lei do contrapositivoTeorema (contrapositivo): a b = b a

Uma prova usando as demais leis

Álgebra Booleana – propriedades do =

(a =b) = (b = a) {comut}}((a = b) = c) = (a = (b = c)) {assoc}

true = a = a {true}¬a = a = false {false}

a ∨ a = a {idempotência}a ∨ b = b ∨ a {comutatividade}

(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) {associatividade}p ∨ (q = r) = p ∨ q = p ∨ q {distributividade}p ∨ ¬p = true {terceiro excluído}

a ∧ b = a = b = a ∨ b {definição do ∧}a ⇒ b = a = a ∨ b {definição do ⇒}


Knights e Knaves Again

knights x knaves

A é a proposição “A é um knight”

Q é uma questão com resposta sim/não

Se você faz uma pergunta Q ao nativo A, o que se pode dizer sobre a resposta? E se Q = “você é um knight?” E se Q = “B é um knight?” E se você pergunta a B se “A é um knight?”

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

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fala verdade fala mentira

A=QA=AA=B

B=A

Knights e Knaves 1

Pergunta-se a um dos nativos se existe ouro na ilha e ele responde: “Existe ouro na ilha é o mesmo que eu sou um knight”. a)Pode-se determinar se o nativo é um knight ou um knave?b)Pode-se determinar se existe ou não ouro na ilha?

Solução:A = “A é um knight” O = “existe ouro na

ilha”

A resposta do nativo é Portanto, devemos ter


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A = O

A = (A = O) = true

Knights e Knaves 1…

true= A = (A = O) {afirmação de A}= (A = A) = O {associatividade de =} [A/a] = true = O {reflexividade de =} [O/a]= O = true {simetria de =} [O/a]= O { a = (a=true) [O/a]

Conclusão: existe ouro na ilha, mas não é possível determinar se A é knight ou knave


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Knights e Knaves 2

Suponha agora que o nativo está em uma bifurcação e você quer determinar se o ouro está no caminho da direita ou da esquerda. Você deve formular uma pergunta, de maneira que a resposta seja ‘’sim” se o ouro está no caminho da esquerda e “não” se o ouro está no caminho da direita. Que pergunta você faria?

Solução: Considere

A = “A é um knight” E = “o ouro está à esquerda”Q é a pergunta a ser formulada


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Requeremos que

E ≡ (A≡Q)Portanto, (E≡A) ≡ Q

Knights and Knaves 3

Considere 3 nativos da ilha: A, B e C. O nativo C diz que “A e B são do mesmo tipo”. Faça uma pergunta para A que determine se C fala a verdade.

A = “A é knight”

B = “B é knight”

C = “C é knight”

Q é a pergunta

A resposta é C


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Knights e Knaves 3…

1. A resposta que queremos é C. 2. Pelo que vimos antes, temos que Q = (A = C) 3. Mas a afirmação de C foi A = B4. Portanto, C = (A =B)5. Substituindo 4. em 2. temos Q = (A = (A=B))6. Mas A = (A = B) pode ser simplificado para B

Conclusão: A pergunta a ser feita é “B é um knight?”


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Knights X Knaves 4

Considere 2 nativos, A e B. A diz: “B é um knight é o mesmo que eu não sou um knight”. O que se pode determinar sobre os tipos de A e de B?

Solução:A = B = ¬A {rearranjando os termos}

= ¬A = A = B {¬a = a = false} [A/a]= false = B {¬a = a = false} [B/a]

= ¬B

Conclusão: B é um knave, mas A pode tanto ser um knight como um knave.


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