Notas de auladeM atemtica FinanceiraProfessores:GelsonAugusto2SUMRIO1. Sistema de capitalizao simples.........................................................................................31.1 Introduo: ......................................................................................................................31.2 Conceitos Iniciais. ...........................................................................................................31.3 Juros Simples..................................................................................................................51.3.1 Montante simples......................................................................................................51.4 Mtodo Hamburgus:......................................................................................................61.5 Saldo mdio e Prazo Mdio ............................................................................................71.5.1 Saldo Mdio..............................................................................................................71.5.2 Prazo Mdio .............................................................................................................82. Descontos Simples ...............................................................................................................92.1 Introduo .......................................................................................................................92.2 Desconto.........................................................................................................................92.2.1Desconto Racional Simples.....................................................................................102.2.2 Desconto Comercial Simples..................................................................................112.3 Taxa efetiva de juros.....................................................................................................122.4 Equivalncia de Capitais e Fluxo de Caixa ...................................................................132.4.1 Fluxo de caixa.........................................................................................................132.4.2 Equivalncia de capitais .........................................................................................132.4.3 Equivalncia entre Conjunto de Capitais................................................................143. Sistema de capitalizao composta....................................................................................153.1 Juros compostos. ..........................................................................................................153.2 Convenes ..................................................................................................................153.3 Clculo do juro e montante composto...........................................................................163.4 Juros e Montante a taxa varivel ..................................................................................173.5 Taxa de juro no regime de capitalizao composta ......................................................173.5.1 Taxas equivalentes.................................................................................................184. Descontos Compostos........................................................................................................194.1 Desconto Racional Composto.......................................................................................194.2 Desconto Comercial ......................................................................................................194.3 Equivalncia de Capitais...............................................................................................205. Financiamentos e Capitalizao.........................................................................................215.1 Fluxo de Caixa ..............................................................................................................215.2 Modelo Bsico de Financiamento .................................................................................215.3 Modelo Bsico de Capitalizao ...................................................................................235.4 Sistema de Amortizao ...............................................................................................255.4.1 Sistema de prestao Constante (Sistema Francs)..............................................255.4.2 Sistema de Amortizaes Constantes (SAC) .........................................................265.4.3 Sistema de Juro Constante ou Sistema Americano................................................275.4.5 Sistema de Amortizao Mixto (SAM) ....................................................................276) Anlise de Investimentos....................................................................................................306.1 Taxa Interna de Retorno (IRR)......................................................................................306.2 Mtodo do Valor Presente Lquido (NPV ou VPL) ........................................................328. BIBLIOGRAFIA...................................................................................................................3631. Sistema de capitalizao simples1.1 Introduo:Quanto vale o dinheiro?Vivemos tanto tempo em uma economia com altas taxas de inflao, que perdemos anoo do valor do dinheiro, principalmente das pequenas quantias gastas no dia a dia.Quem liga para uma despesa de 2 reais por dia,porexemplo,deumaesmolaparaaquelavelhinha simptica perto do seu prdio? Algum prev isto no oramento?Entretanto estadespesade2reaispordiadesprezadaporvocrepresentanoano,730 reais, praticamente o valor de uma geladeira ou 2 televises.Se voc ganha 1500,00 reais por ms, ser a metade de seu dcimo terceiro!Eaquelarevistadefofocasquecomprotodasemana,poisscusta5reais;elavairepresentar um gasto anual de 260 reais!Se somarmos pequenas despesas dirias que no computamos, 1 real para isto, 2 reais paraaquilo etc., no final de um ano isto poder representar uma despesa considervel. No estouaconselhandoanodaresmolas,nocomprarrevistasoudeixardegastarempequenosprazeres, mas sim em ter conscincia do valor destes gastos em relao aos seus ganhos.Asoluopara istovocfazerseuoramentoembasesanuais.Nossosnveisdeinflaojpermitemistoenestetipooramentoanualvocpoderterumaclaraidiadoque representaro estas "pequenas" despesas no total de seus gastos e administrar melhorseucaixa.Comfimdeestudarocomportamentododinheironotempodaremosincioaonosso estudo de Matemtica Financeira1.2 Conceitos Iniciais.Juro: Remunerao que otomadordeumemprstimodevepagaraodono docapitalcomcompensao pelo uso do dinheiro. Indicaremos o juro por J.Capital:qualquervalorexpressoemdinheiroedisponvelemumadeterminadadata.OcapitalquedincioaumadeterminadaoperaochamadodeValorPresente(PV).Ocapital indicado apenas pela letra C por alguns autores.Tempo: o prazo que decorre desde o incio at o final de uma dada operao financeira. Otempopodesercontadoemdias,bimestres,trimestres,quadrimestres,anos,etc.Indicaremos por n.Na prtica o tempo pode ser contado de duas formas.-Tempo exato: aquele que leva em conta a data real, onde o ano pode conter 365 ou366 dias. (Ver tabela 1 em anexo)-TempoComercial(ouaproximado):aquelequelevaemcontaochamadoanocomercial, isto o ms contendo 30 dias e o ano 360 dias.4CONTAGEM DE DIAS PARA O ANO CIVIL NO BISSEXTO1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Dia domsJan Fev Marc Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov DezDia doms1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 12 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 23 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 34 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 45 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 56 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 67 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 78 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 89 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 910 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 1011 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 1112 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 1213 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 1314 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 1415 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 1516 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 1617 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 1718 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 1819 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 1920 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 2021 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 2122 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 2223 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 2324 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 2425 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 2526 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 2627 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 2728 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 2829 29 - 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 2930 30 - 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 3031 31 - 90 - 151 - 212 243 - 304 - 365 31Tabela 1Taxa de juro: a razo entre o juro obtido no fim do primeiro perodo financeiro e o capitalinicial. Indicaremos por i.A taxa i costuma apresentar-se de duas formas:-Formapercentual:representaojurode100unidadesdocapital,noperodotomadocomo unidade de tempo.-Forma unitria; ou centesimal.Observe exemplo, conforme tabela 2, abaixo.5Taxa de juroFormapercentualFormaunitriaRefernciatemporal2 por cento ao dia 2,00% 0,0200 ad24 por cento ao ms 24,00% 0,2400 am50,3 por cento aobimestre50,30% 0,5030 ab90,03 por cento aosemestre90,05% 0,9005 as315 por cento ao ano 315,00% 3,1500 aaTabela 2Montante (FV) : Valor acumulado, relativo aplicao de um capital C (PV), definido comoo capital acrescido de seu respectivo juro J.1.3 Juros SimplesOjuroenvolvidoemcertaoperaofinanceirachamadoJuroSimplesquandosuagerao, em cada perodo a que se refere taxa, durante todo o seu prazo de aplicao, forfeita exclusivamente com base no capital inicial.Assim, aplicando um capital C a uma taxa de juro i por um perodo n teremos:Obs: I e n devem referir-se a mesma unidade de tempo.1.3.1 Montante simplesouExerccios:1)Qualotempoexatodeumaaplicaofinanceirainiciadaem7dejunhode2004ecom vencimento em 14 de novembro de 2004? (160 dias)2)A quantos anos, meses e dias correspondem, pelo critrio do tempo comercial,1926dias? (5a 4m 6d)3)Calcular o juro simples gerado por uma capital de R$35.000,00, quando aplicado por10 meses taxa de 9% am.(R$31.500,00)4)Encontrar o capital que aplicado taxa de 21,5% am, durante 4 meses, produz o jurosimples de R$62.178,00. (R$ 72.300,00)5)Encontrar a taxa de juro simples mensal, proporcional a 48% aa. (4%am)6)Encontrar a taxa de juros simples anual, proporcional a 20,05%am. (240,6%aa)7)CalcularoJurosimplesproduzidopelocapitaldeR$15.300,00,tomadoa84%aa,durante trs meses. (R$3.213,00)FV = PV +JJ = CinM = C (1 + in)FV = PV (1+ in)68)Ivo aplicou um capital por 3 meses, taxa de juros simples de 7% am. Decorridos ostrs meses, o mesmo capital inicial foi aplicado por mais 2 meses, taxa de 48%aa. AsomadojuroobtidonasduastransaesfoiR$36.250,00.Qualfoiocapitalinicialaplicado? ( R$125.000,00)9)FizumaaplicaodeR$300.000,00ajurossimples,esperandoqueodinheirorendessetaxade60%aa.Noentanto,apscertoperododetempo,ataxafoireduzidaa4%am.Qualfoioprazoemquevigorouasegundataxase,aps10meses, o capital rende R$ 141.000,00 de juros simples? ( 3 meses)10)Doiscapitaisforamcolocadosajurossimples,mesmataxa.Oprimeirogeroudejuros em 1 ano e 8 meses, uma quantia igual a si prprio, e o segundo rendeu de juroR$ 52.500,00, em 15 meses. Calcular a taxa e os capitais envolvidos nessa operaosabendo-sequeosegundocapitalsuperaoprimeiroemR$20.000,00.(C1 = R$ 50.000,00, C2 =R $70.000,00 e i = 5% am)11)UmbancoemprestouaquantiadeR$70.000,00, taxade91,25%aa,nodia2deagostode2004 ,comdatadevencimentopara4 dedezembrode2004.Quantodejuro simples exato ele recebeu?(R$ 21.640,71)12)Nodia8demarode2004,umapessoatomouemprestadaaquantiadeR$ 185.500,00, comprometendo-se a liquidaradvidaem1mse10dias,pagandoporelaR$296.000,00.Aquetaxadiriadejurossimplesdeu-seessaoperao?(1,5%ad)13) UmalojavendeumaparelhodesomporR$1.800,00avista.Aprazooaparelhovendido por R$ 2.016,00, sendo R$ 360,00 de entrada e o restante pago aps 45 dias.Qual a taxa mensal de juros simples adotada nesta operao? (10%am)14)Emquantosmesesumcapitaldobradevalor,seaplicadoajurossimplesde2% am?(50 meses)1.4 Mtodo Hamburgus:ExisteummtododesecalcularosjurosproduzidosporkcapitaisC1,C2,C3,...,Ck.Aplicados pelos prazos n1,n2,n3...nK taxa de juros simples i.J1=C1n1iJ2=C2n2iJ3=C3n3iJ4=C4n4i...Jk=CknkiJ = J1 + J2 + .... + JkJ = i (C1n1 + C2n2 + ... + Cknk)==nqq qn C i J1Estemtodousadoparacalcular,porexemplo,ojurosobresaldosdevedoresdoscheques especiais.7Exemplo 1: Um Cliente recebeu o extrato abaixo. Sabe-se que o banco cobra uma taxadejurosde30%amsobreossaldosdevedores.Quantoesteclientedeverpagardejuros?Data Histrico Valor (D/C) Saldo (D/C)1/5/2003 TransporteR$-R$40.000,00 C8/5/2003 Cheque R$5.000,00 C R$45.000,00 C16/5/2003 Cheque R$(50.000,00) D R$ (5.000,00) D22/5/2003 Cheque R$(25.000,00) D R$(30.000,00) D26/5/2003 Cheque R$40.000,00 C R$10.000,00 C27/5/2003 Cheque R$(30.000,00) D R$(20.000,00) D1/6/2003 Cheque R$40.000,00 C R$20.000,00 CTabela 3Soluo:Lembramosqueomsdemaiotem31dias.Paraclculodojuromontamosuma tabela usando apenas os saldos devedoreseoprazodessesdbitos.Considerealtima coluna da tabela 1.A partir da tabela 2, abaixo, temos:Saldo devedorNmerode diasTotal R$ (5.000,00) 6R$ (30.000,00) R$(30.000,00) 4R$(120.000,00) R$(20.000,00) 5R$(100.000,00)TOTAL DEVIDO R$(250.000,00)Tabela 4Logo:Taxa diria:010 , 0303 , 0=Juro = 0,010 (250.000) = 2.5001.5 Saldo mdio e Prazo Mdio1.5.1 Saldo MdioSabe-sequefreqentemente,asinstituiesbancriasexigemsaldomdiodeseusclientes para concesso de emprstimos, desconto de duplicatas ou de outro ttulo qualquer.Veja como se calcula o saldo mdio.kk kmn n nn C n C n CS+ + ++ + +=......2 12 2 1 1Onde, C1,C2,...Ck so os saldos credores e n1,n2,...,nk os prazos.8Exemplo 2: Em julho um cliente apresentou os saldos credores que aparecem no quadro aseguir.Qual o saldo mdio desse cliente?SaldocredorNmerode diasR$250,00 7R$500,00 3R$50,00 10Tabela 5Soluo:SaldocredorNmerode diasAxBR$250,00 7 R$1.750,00R$500,00 3 R$1.500,00R$50,00 10 R$500,00Total 20 R$3.750,00Tabela 650 , 187203750= =mS1.5.2 Prazo MdioSejamC1,C2,...Ck,kcapitaiscolocadosmesmataxai,duranteostemposn1,n2,...,nk,respectivamente. Denomina-se prazo mdio o tempo sobre o qual deve ser colocada a somadessescapitais, mesmataxa,demodoqueojuroproduzidosejaigual somadosjurosproduzidos pelos k capitais dados. Temos ento, pela definio dada;kk kmC C Cn C n C n CT+ + ++ + +=.......2 12 2 1 1Exemplo 3: Os capitais R$6.000,00, R4 10.000,00 e R$ 8.000,00 foram colocados mesmataxa durante 9,5 e 8 meses, respectivamente. Durante quanto tempo deveria ser empregadaasomadessescapitais,mesmataxa,paraqueojuroproduzidofosseigualasomadosjuros daqueles capitais nos prazos dados?m Tm78000 10000 60008 8000 5 10000 9 6000=+ + + + =92. Descontos Simples2.1 IntroduoSo muito comuns, no mundo dos negcios, as operaes em que uma pessoa (fsicaou jurdica) recebe algo de imediato e s efetua o devido pagamento depois de determinadoperodo de tempo, previamente combinado entre as partes envolvidas:Taisoperaessochamadasoperaesdecrditoesorealizadasmediantedocumento comprobatrio da dvida chamado ttulo de crdito.Dentre os ttulos de crdito reconhecidos pelo Direito Comercial Brasileiro, destaca-se:-Notapromissria:documentooficialpeloqualumapessoa,declarando-sedevedoradecertaquantiaaoutra,compromete-seapag-laemcertadata,combinada entre as partes.-Letra de cmbio comercial: documento oficial pelo qual uma pessoa ordena outra que lhe pague certa quantia em determinada data.-Duplicata:documentooficialpeloqualumapessoasedeclaradevedoradecerta quantia a outra, relativa compra de mercadorias.-Endosso: As leis que regem as operaes financeiras permitem a transfernciade propriedade dos ttulos de crdito mediante a operao chamada endosso: oproprietriodottulolananodocumentosuaassinatura,tornado-aassimaoportador, isto , de propriedade de seu eventual possuidor.2.2 Descontooabatimentosobreovalordeumttuloaoqualalgumfazjusporcompr-loemdata anterior a seu vencimento. Indicaremos o desconto por D.Nas operaes envolvendo um ttulo de crdito, destacamos alguns elementos relativos data posterior anlise do problema:-Valor Nominal: o valor do ttulo na data de vencimento. Indicaremos o valornominal por N.-Valor atual ou valor presente do ttulo: o valor do ttulo na data de anlise doproblema. Indicaremos o valor atual por A.Exemplo2:NocasodeumapessoapossuidoradeumaduplicatadeR$20.000,00queavendeu a um banco, numa data anterior de seu vencimento, por R$ 15.000,00.Temos:N = 20000A = 15000D = N A = 5000Naprtica,odescontoconsistenojurocobradopelocompradordottulopeloalugueldodinheiro.Quandoessejurocobradopelonicovalordottulo,odescontochamadodesconto simples.102.2.1Desconto Racional SimplesTambm chamado desconto por dentro ou real sempre calculado sobre o valor atualdo ttulo A.A relao abaixo fornece esse desconto para o valor atual A , tempo n e taxa dedesconto i:D = AinComo trabalhemos sempre a partir do valor nominal trabalharemos a relao para que fiqueapropriada.D = Ain e A = N - DD = (N D) inD = Nin DinD + Din = NinD (1 + in) = NinAgora acompanhe a relao entre A e N:inNNinNin Nim NinNinN D N A+=+ +=+ = =1 1 1Portanto:Obs: I e n devem se referir ao mesmo perodo de tempoExerccios:15) UmapessoapretendesaldarumadvidacujovalornominaldeR$6.462,50,doismeses antes da data do vencimento. Qual o desconto que far jus se a taxa correnteno mercado de 60%aa e o critrio adotado foi o racional simples? (R$ 587,50)16) QualovaloratualdeumanotapromissriadeR$7.500,00,quatromesesantesdeseuvencimento,taxade60%aa?(Considereodescontoracionalsimples)(R$6.250,00).17) Umanotapromissria,resgatada90diasantesdovencimento,foinegociadaporR$53.409,00, taxa de desconto racional de 84%aa. Qual era o valor nominal dessettulo?(R$ 64.624,89)18)Doisttulos,AeB,fora,resgatadosracionalmente2e3meses,respectivamente,antes de suas datas de vencimento. A soma dos valores nominais dos dois ttulos deR$201.000,00,enquantoovalorderesgatedottuloAsuperaodottuloBemR$ 20.000,00. Encontre o valor de resgate de cada ttulo, sabendo que ambos foramnegociados a taxa de 10%am. (A = R$ 90.800,00 e B = R$ 70.800,00)inNinD+=1N = A (1 + in)1119) Umttulofoiresgatadoracionalmente2mesesantesdeseuvencimento.Qualfoiataxa simples adotada nessa operao, se o desconto concedido foi igual metade deseu valor atual na data de resgate?(25%am)2.2.2 Desconto Comercial SimplesTambmchamadodescontoporfora,odescontosimplesaplicadosobreovalornominal do ttulo. Indicaremos o desconto comercial por Dc.Assim, para um ttulo de valor nominalN,descontadonperodos detempoantesdeseu vencimento, a uma taxa de desconto comercial ic, temos:Dc = N icnVamos encontrar agora o valor atual comercial em funo do Nominal.Ac = N - DcAc = N - N icnOBS: ic e n devem referir-se a um mesmo perodo de tempo.Exerccios20) Em 2004 um ttulo com valor nominal de R$ 35.000,00 foi resgatado 40 dias antes desuadatadevencimento,taxade30%am.Qualodescontocomercialconcedido?(R$ 14.000,00)21) Em2004resolviquitarumadvidadeR$8.500,00,faltando23diasparaoseuvencimento. Que valor devo pagar, se meu credor exigiu que a operao se realizassecom base na taxa de desconto comercial de 36%am?(R$ 6.154,00)22) PorumaduplicatadeR$20.000,00,umbancopagouolquidodeR$19.250,00.Quantos dias ainda faltavam para o vencimento do ttulo, se a operao deu-se taxacomercial de 30%aa? (45 dias)23) Umbancooperanodescontodettulostaxacomercialsimplesde20%am.OsacadordeumaduplicatadeR$3.000,00desejavend-laaessebanco7mesesantes de sua data de vencimento. Vale a pena realizar essa operao?(No)24)Oquocienteentreosdescontoscomercialeracionalemumttulode1,5.Qualataxa de desconto comercial adotada n operao, se i = 2ic e o perodo de antecipaofoi de 5 meses?(20%am)25) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$ 600.000,00, recebendo olquido de R$ 516.000,00. Sabendo-se que o banco cobra uma comisso de 2% sobreovalordottulo, queoregimedejurossimplescomerciais,sendoataxadejuros96%aa, qual o prazo de desconto da operao?(45 dias)Ac = N(1 - icn)122.3 Taxa efetiva de jurosaquelaqueconduz,pelocritrioracional,aomesmovalorqueataxacomercialconduziria pelo desconto comercial. Indicaremos:-A taxa de juro efetiva por i.-A taxa de desconto comercial por ic.Para que i corresponda a ic , demos ter D = Dc .D = DcAin = N icn (cancelando n nos dois membros)Ai = NicN(1 icn)i = Nic (cancelando N nos dois membros)(1 - icn)i = icExerccios26) Umaduplicatafoiresgatada2mesesantesdeseuvencimento,taxadedescontocomercialde18%am.Qualataxadejuroefetivarelativaaessaoperao?(28,125%am)27) Umbancodesejalucraremsuasoperaesdedescontosdettulos,taxadejuroefetivade26%aa.Quetaxaanualcomercialdeverexigirdeumclientenaantecipao de um ttulo por 6 meses?(23%aa)28)Umbancodescontattulosdecrdito,comercialmente,taxade20%am.Independentementedoprazode antecipaodo ttulo,cobraaindaumataxade2%de despesas administrativas. Qual a taxa de juro efetiva cobrada por esse banco, nocaso de um ttulo descontado 2 meses antes do vencimento. (36,2%am)Letra do tesouro Nacionalqualquerttuloemitidopelogovernofederalcomprazofixoequepagajurosdemercado.AsLTNssousadascomoinstrumentodecontroledodinheirocirculanteetambmparaacaptaoderecursosparaofinanciamentodeobraspblicas.Recebemtambm o nome de ttulos da dvida Pblica.NasoperaescomLTNs,ojuroeodescontosocalculadosnosistemadecapitalizao simples.n iiicc=113 Exerccio:25)UmlotedeLTNsnovalornominaldeR$10.000.000,00adquiridonoBancoCentral com prazo de resgate de 69 dias, taxa de desconto comercial de 22%am. Pede-seencontrar:a)O preo de compra do lote das LTNs.(R$4.940.000,00)b)A taxa de rentabilidade (taxa de juros efetiva) da operao.(44,53%am)2.4 Equivalncia de Capitais e Fluxo de Caixa2.4.1 Fluxo de caixaChama-se fluxo de caixa sucesso de pagamentos ou recebimentos previsto ao longodo tempo.Para facilitar a visualizao de um fluxo, utilizamos uma reapresentao grficachamada de fluxo de caixa.Nele, convencionamos:-Umeixohorizontal,orientadoparadireita,indicaosperodosdetempo(dias,meses, anos, etc).-Assetasorientadasparacimarepresentamassadasdecaixa(pagamentos,desembolsos, etc).-As setas orientadas para baixo representam as entradas de caixa (recebimentos,reembolsos, etc).2.4.2 Equivalncia de capitaisDois ou mais capitais so ditos equivalentes quando, transportados para uma mesmadata, mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais.A data para qual os capitais sero transferidos ser chamada data focal.0 1 2 3 45 6714Exerccios:26)VerificarseoscapitaisR$6.400,00,comvencimentopara3meses,eR$ 10.000,00, com vencimento para 7 meses, so ou no equivalentes pelo critrioda taxa comercial simples a 10%am, na data focal 5. (Sim)27)DesejosubstituirumttulodeR$50.000,00quevencehojeporoutroquevencerdaquiatrsmeses.Paraessetipodetransao,obancoaplicaataxacomercial simples de 20%am e, par os clculos, adotaa datafocal3.Qualovalordo novo ttulo?(R$125.000,00)28)Umapessoatrocou umttulodeR$159.500,00,comvencimentopara45dias,poroutroaeleequivalente,aumadeterminadataxadedescontoracional,comvencimentopara10diasevalornominalR$121.000,00.Qualovalordessataxaracional, considerando-se a data focal zero?(1%ad)2.4.3 Equivalncia entre Conjunto de CapitaisDois ou mais conjuntos de capitais so ditos equivalentes quando a soma dos capitaisde cada conjunto, transportados para uma mesma data, a uma mesma taxa, produzir valoresiguais.Exerccios29) Umapessoadeveaumbancoosseguintesvalores:R$30.000,00comvencimentohoje, R$ 50.000,00 com vencimento para 30 dias e R$ 70.000,00 com vencimento em60dias.Noentanto,sentindoquenopoderpagaressasquantiasnasdatasprevistas, prope a seu credor o pagamento total da dvida, em uma s vez,daquia90dias.Qualovalordessepagamentonico,sefoiusadanatransaoataxasimples racional?(R$ 189.000,00)30) Umapessoadeve,emumbanco,doisttulos:oprimeironovalordeR$15.000,00,para pagamento imediato, e o segundo no valor de R$ 70.000,00, para pagamento em6 meses. Por lhe ser conveniente, o devedor prope aobancoopagamentototaldadvidaemumasvez,emtrsmeses.Qualovalordessepagamentonico,seaoperao ser realizada comercialmente a 84%aa, na data focal 3 ?(R$ 74.287,34)31) Um automvel vendido a vista por R$ 23.000,00. A prazo, o automvel vendido emdois pagamentos de R$ 13.200,00 mensais, sendo o primeiroem30dias.Qualfoiataxa racional de juro adotada nessa operao? (10%am)153. Sistema de capitalizao composta3.1 Juros compostos.No sistema de capitalizao simples o juro de cada perodo calculado sempre combase no capital inicial.No sistema de capitalizao composto o juro calculado sempre com base no saldodo incio do perodo.Vejamos a tabela 7, abaixoMovimentao para juros simples de 10%amPerodo Saldo no Incio do ms Juro de cada ms Montante1 10000 10% de 10000 110002 11000 10% de 10000 120003 12000 10% de 10000 130004 13000 10% de 10000 14000Tabela 7Movimentao para juros compostos de 10%amPerodo Saldo no Incio do ms Juro de cada ms Montante1 10000 10% de 10000 110002 11000 10% de 11000 121003 12100 10% de 12100 133104 13310 10% de 13310 14641Tabela 8Omontantesimplespodeserrepresentadoporumareta,jocompostoporumaexponencial.Percebe-se que no regime de juros compostos o montante obtido a cada perodo foicalculadocombasenomontanteanterior,enonocapitalinicial,comoocorrianosjurosimples. Portanto, o juro composto um sistema de jurosobrejuro,que oque ocorrenamaioriadastransaescomerciais.Emfunodisto,seuestudomaisimportantequeoestudo do juro simples.Onicoinconvenientedateoriadejuroscompostosqueseuclculomaiscomplexoqueodejurossimples,fatoquepodeserminimizadoseoestudantedeutilizaruma calculadora cientfica ou o Excel.3.2 ConvenesSe um exerccio no especifica o regime de capitalizao, entendemos ser um regimecomposto.Senoespecificaseosistemaracionaloucomercial,entendemosserumregime racional.163.3 Clculo do juro e montante compostoAcompanhe a seqncia abaixo:M1 = C(1+ i)M2 = M1(1+ i) = C(1+ i) (1+ i) = C(1+ i)2M3 = M2(1+ i) = C(1+ i)2(1+ i) = C(1+ i)3 J = M C = C(1+ i)n C = C[(1+ i)n -1]Onde:J = Juro compostoC = capital inicialn = tempo de aplicao do capital iniciali = taxa de juros da operao.Obs: Taxa e tempo deve estar na mesma unidade de tempo.Exerccios32)UminvestidoraplicouaquantiadeR$300.000,00,taxadejurocompostode7% am. Que montante este capital ir gerar aps 5 meses? (R$ 420.765,52)33)Calcularojurocompostoquese obternaoperaodeR$100.000,00a15%aa,durante 48 meses. (R$ 74.900,60)34)UmcapitaldeR$10.000,00esteveaplicadopor4mesesegerouummontantedeR$ 12155,06. A que taxa mensal esteve aplicado? (5%am)35) Durante quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 35.000,00, taxa compostade 10%am, para que o mesmo produza juro de R$ 11585,00?(3 meses)36) O capital de R$ 25.000,00 foi aplicado a juros composto de 3% am. Qual o montanteno final de 3 anos e 8 meses? (R$ 91.786,31)37) Calcule a taxa mensal de juro composto que, aplicada ao capital de R$ 700.000,00, otransforma em um montante de R$ 958.230,00 em 2 meses. (17%am)38) Em 2004, um capital no valor de R$ 500.000,00 foi aplicado taxa de juro compostode23%am,eseelevouaR$756.450,00.Porquantosmesesessecapitalfoiaplicado?(2 meses)39) OpreodeumobjetodeR$1.200,00,podendoserpagodaquiatrsmeses.Nacompradesseobjeto,avista,d-seumdescontode15%.Qualataxadejurocomposto envolvida nessa operao?(5,56%am)M = C(1+ i)nJ = C[(1+ i)n -1]173.4 Juros e Montante a taxa varivelDe acordo com as definies dadas para juro e montante composto, podemos observar:Onde:M = montanteJ = JuroC = capital inicialin =taxa de juros no tempo nExerccios40) Umapessoaaplicou,emcadernetadepoupana,aquantiadeR$300.000,00por3meses.Qualoseusaldonofimdesseprazo,seorendimentododinheironessesmeses deu-se com base nas taxas 1,2% ; 1,5% e 1% ? (R$ 311.235,54)41) TomeiemprestadoR$150.000,00peloprazode4meses,comprometendo-meapagar juro com base nas taxas de inflao de cada perodo.Quantopagareidejuro,seastaxasdeinflaodecadaperodoforam,respectivamente,7%;5,5%;4%e5%?(R$ 34.905,60)3.5 Taxa de juro no regime de capitalizao compostaEmalgunstiposdeoperaofinanceiracostuma-seexpressarataxadejuroemtemposanuais.Noentanto,essasmesmasoperaessorealizadasemperodosdecapitalizao mensais, bimestrais, etc. desse fato decorrem situaes em que a taxa de juro expressa em um perodo de capitalizao no coincidente com o perodo de tempo ao quala taxa se refere.Nesses casos, faz-se necessria a distino entre taxa efetiva e taxa nominal.Taxaefetiva:aquelaque,comooprprionomejdiz,efetivamenteverificaaoperaofinanceira.Taxa Nominal:taxa aparente que s podeser definida quandoaunidade qualataxasereferenocoincidecomaunidadedoperododecapitalizao,eaconversofeitacalculando-se a taxa proporcional.A fim de evitarmos interpretaes ambguas, vamos convencionar:-Todavezqueaunidadequalataxasereferecoincidircomoperododecapitalizao, estaremos nos referindo a uma taxa efetiva.Assim, so exemplos de taxas efetivas:5% ao ms, capitalizados mensalmente.7% ab , capitalizados bimestralmente.( )( )( ) ( )ni i i i C M + + + + = 1 ... 1 1 13 2 1( )( )( ) ( ) | | 1 1 ... 1 1 13 2 1 + + + + =ni i i i C J18No caso da taxa efetiva, costuma-se omitir o perodo de capitalizao.-Todavezqueaunidadequalataxasereferenocoincidircomoperododecapitalizao, estaremos nos referindo a um taxa nominal.Assim, so exemplos de taxas nominais:10% aa, capitalizados mensalmente.7% ab, capitalizados diariamente.Por conveno a obteno da taxa efetiva embutida em uma dada taxa nominal feitano sistema de capitalizao simples, isto calcula-se a taxa proporcional dada, relativaunidade de tempo mencionada para capitalizao.Assim:kiikk =Sendo: i = taxa efetivaik = taxa nominalk = nmero de vezes em que o perodo correspondente taxa foi dividido.3.5.1 Taxas equivalentesDuas taxas de juros so ditas equivalentes quando aplicadas ao mesmo capitalproduzem o mesmo montante.Assim:( )( )( ) ( ) ( ) ( )12 12 1122111 1 1 111m a m amai i i C i Ci C Mi C M+ = + + = + )`+ =+ =Analogamente podemos escrever:( ) ( ) ( ) ( ) ( )360 2 4 121 1 1 1 1d s t m ai i i i i + = + = + = + = +Exerccios42) Calcular a taxa de juro efetiva, relativa `a taxanominalde36%aa,comcapitalizaomensal e com capitalizao bimestral(3%am e 6%ab).43) Calcular a taxa mensal de juro composto, equivalente a 9,2727%at.(3%am)44) Qualataxaefetivaanual,relativataxade36%aa,comcapitalizaomensal?(42,6%aa)45) No Brasil, as cadernetas de poupana pagam, alm da correo monetria, juro taxanominal de 6%aa, com capitalizao mensal. Pergunta-se:a)Qual a taxa efetiva mensal?(0,5%am)b)Qual a taxa efetiva anual?(6,1678%aa)46) Umainstituiofinanceiraemprestadinheiroa96%aa,adotandoacapitalizaomensal de juro. Qual seria o montante a ser pago por um emprstimo de R$ 45.000,00feito por 1 ano?(R$ 113.317,65)47) Um investidor est indeciso se aplica uma quantia em dinheiro disponvel no banco A,que oferece a taxa composta de 2%am, ou no banco B, que oferece 27%aa, tambmdejurocomposto.Qualdosdoisoferecemelhoroportunidadedeinvestimento?(Obanco B)194. Descontos CompostosOsdescontoscompostospodemserdedoistipos:descontocomercialcompostoedescontoracionalcomposto.Noentanto,odescontocomercialcompostoquasenoapresentanaprticaaplicaonoSistemaFinanceiroBrasileiro,razopelaqualapresentamos de forma sucinta, dedicando a maior parte desta unidade ao desconto racionalcomposto.A simbologia que adotaremos no trato com o desconto composto a seguinte:Dc = desconto composto comercialD = desconto racional compostoN= valor nominalA = valor atual racionalAc = valor atual comerciali = taxa de desconto racionalic = taxa de desconto comercialn= prazo de antecipao4.1 Desconto Racional Composto a diferena entre o valor nominal e o valor atual de um ttulo, os quais sodeterminados com base no sistema de capitalizao composta.Assim, temos:N = A(1+ i )n ; ( )niNA+=1 e( ) ((

+ =niN D111Exerccios48) Calcularodescontoracionalcomposto,concedidonoresgatedeumttulodeR$50.000,00,recebido2mesesantesdeseuvencimento,taxade3%am.(R$ 2.870,20)49) QualovaloratualdeumttulodeR$100.000,00,resgatadoracionalmentetaxacomposta de 4% am, 3 meses antes de seu vencimento?(R$ 88.899,60)50) Por ter pagado uma dvida de R$ 300.000,00, 4 meses antes de seu vencimento, umapessoaobteveumdescontodeR$22.846,50.Qualataxadedescontoracionalenvolvida nessa operao?(2%am)51) Uma empresa tomou emprestada de um banco a quantia de R$ 2.000.000,00, taxade juro composto de 12%am, por 7 meses. No entanto, 15 dias antes da data previstapara o vencimento, a empresa decidiuliquidar advida.Qualovalorpago,se nessadata o banco estava operando a 15%am?(R$ 4.122.941,32)4.2 Desconto ComercialAs frmulas de juro composto comercial composto, relativo a um dado ttulo de crdito,so obtidas pelas frmulas do desconto comercial simples, aplicadas perodo a perodo.Assim, temos:20( )nc ci N A = 1( )ncciAN=1( ) ( )nc c ci N A N D = = 1 1Exerccios52) Calcularodescontocomercialcomposto,concedidonoresgatedeumttulodeR$ 50.000,00, 2 meses antes de seu vencimento, taxa de 3%am.(R$ 2.955,00)53) QualovalordeumttulodeR$100.000,00,3mesesantesdeseuvencimento,considerando-seataxacompostade4%am,sobocritriododescontocomercial?(R$ 88.473,60)4.3 Equivalncia de CapitaisJtrabalhamoscomosprincipaisconceitosenvolvendoequivalnciadecapitais,nosistemadecapitalizaosimples.claroqueosconceitoseamaneiradeencararmososproblemas sero os mesmos. Mudaremos apenas o regime de capitalizao e o fato de quea escolha da data focal no sistema composto irrelevante.Exerccios54) UmapessoadesejasubstituirumttulodevalornominaldeR$85.000,00,comvencimento daqui a 2 meses, por outro ttulo, com vencimento para 5 meses. Qualovalornominaldonovottulo,sabendo-sequeobancoemquestoadota,nessetipodeoperao,ataxacompostade9%ameocritriododescontoracional?(R$ 110.077,46)55) Umcomerciantedevedoisttulos:umdeR$90.000,00,comvencimentopara5meses, e outro de R$ 140.000,00, com vencimento para 7 meses, edesejapag-loshoje.Quantodeverdesembolsar,seaoperaovaiserealizara4%am,sobocritrio do desconto racional composto?(R$ 180.361,95)56) Umapessoadeve,emumbanco,doisttulos:R$100.000,00parapagamentoimediatoeR$70.000,00parapagamentoem6meses.Porlheserconveniente,odevedorpropeaobancoasubstituiodadvidaporumpagamentodeR$150.000,00em3meseseosaldorestanteem9meses.Qualovalordosaldorestanteseobancorealizaessaoperaoa10%am,sobocritriododescontoracional composto?(R$ 63.230,65)57) Umalojavendesuasmercadoriasaprazoem3pagamentosmensaisiguais,acrescentandoaopreodestas20%sobreopreoavista;oprimeiropagamentofeitonoatodacompra.Qualataxadejurocompostocobradaporessaloja?(21,53%am)215. Financiamentos e Capitalizao5.1 Fluxo de CaixaUm fluxo de caixa representa uma srie de pagamentos ou de recebimentos que seestima ocorrer em determinado intervalo de tempo. bastante comum, na prtica, defronta-se com operaes financeiras que serepresentam por um fluxo de caixa. Por exemplo, emprstimos e financiamento de diferentestipos costumam envolver uma seqncia de desembolsos peridicos de caixa. De maneiraidntica, Tm-se os fluxos de pagamentos/recebimentos e aluguis, de prestaes oriundasde compras a prazo, de investimentos empresariais, de dividendos, etc.Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas formas e tipos em termosdeperodosdeocorrncia(postecipados,antecipadosoudiferidos),deperidiocidade(perodosiguaisoudiferentes),dedurao(limitadosouindeferidos)edevalores(constantes ou variveis).Com intuito de melhor estudar as formulaes e aplicaes prticas do fluxo de caixa,comoumdosmaisimportantestemasdematemticafinanceira,estudaremosprimeiroofluxodecaixapadro,tambmchamadodemodelobsicodefinanciamentoemseguidaveremos,modelobsicodecapitalizao,modelosdefinanciamentosbancriodoSFHemodelos com prazo indeterminado.5.2 Modelo Bsico de FinanciamentoOmodelobsicodefinanciamentorepresentadoporumfluxodecaixaqueverificado quando os termos de uma sucesso de pagamentos ou recebimentos apresentam,ao mesmo tempo, as seguintes classificaes:-Postecipados: indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos comeam aocorrer ao final do primeiro intervalo de tempo. Por exemplo, no havendo carncia, aprestao inicial de um financiamento paga ao final do primeiro perodo do prazocontratado, vencendo as demais em intervalos seqenciais.-Limitados: O prazo total do fluxo de caixa conhecido a priori, sendo finito o nmerode termos (pagamentos e recebimentos).-Constantes: indica que os valores que compe o fluxo de caixa so iguais entre si.-Peridicos: quando os intervalos entre os termos do fluxo so idnticos entre si. Ouseja, o tempo entre um fluxo e outro constante.Graficamente, teramos:22Observe que a estrutura desse fluxo obedece classificao padro apresentadaacima:-O PMT inicial ocorre em n = 1: postecipados;-A diferena entre a data de um termo e outro constante: peridico;-O prazo do fluxo preestabelecido (fixo), apresentando n perodos: limitado oufinito;-Os valores do PMT so uniformes (iguais): constantes.-PV = valor presentes-PMT = pagamento-n = nmero de pagamentos e i = taxa de juros.Essa configurao de fluxo de caixa mostra que PV a somanadatafocalzero,dos valores atuais de todas prestaes PMT.Transportando estas prestaes para data focal zero, temos:( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ((

++ ++++++=++ ++++++=nni i i iPMT PViPMTiPMTiPMTiPMTPV11...1111111...1 113 23 2Observequeentreoscolchetestemosaadiodostermosdeumaprogressogeomtrica de razo ( ) i + 11e com n temos termos. Assim, usando a soma dos termosda PG finita, temos:( ) ( ) ( ) ( )( )nn n nnnni iiii ii iiii iqq aS+ +=+ = +++=+(((

|.|

\|+ += = 11 1 1 111 111 111111111111Convencionaremos que a soma dos n primeiros termos dessa PG ser indicada poran,i ou ani , que se l a,n cantoneira i. Alguns autores utilizam a nomenclatura FVA (fator devalor atual). Ento: 0 1 2 3 4n-2 n-1n (tempo)PV PMT PMTPMTPMTPMT PMTPMT23( )( )nni ni iia+ +=11 1, E teremos:Exerccios58) Umamercadoriavendida,aprazo,comumaentradadeR$500,00emais5prestaes mensais iguais de R$ 120,00. Qual o preo a vista dessa mercadoria, se aloja aplica nessa venda a taxa composta de 7% am? (R$ 992,02)59) Umacmeradevdeocusta,avista,US$1200,00.Aprazo,essacmerapodeseradquirida em trs parcelas mensais iguais, sem entrada,taxadejurocompostode3%am. Qual o valor nominal das prestaes?(US$ 424,24)60) Um produto que custava a vista R$ 10.000,00 foi vendido sem entrada em 10 parcelasiguais de R$ 1.423,78. Qual a taxa mensal de juro aplicada? ( 7,023582 = 7%am)61) Um automvel que custa a vista R$ 25.089,07 foi financiado em 3 prestaes fixas deR$10.000,00,sementrada.Qualataxamensaldejurocompostonessatransao?(2,508907 = 9,5%)62) Determinadobemvendidoem7pagamentosmensaisiguaiseconsecutivosdeR$4.000,00.Parumataxadejurosde2,6%am,atquepreocompensapagaravista?(R$ 25.301,00)63) UmemprstimodeR$20.000,00concedidoparapagamentoem5prestaesmensais,iguaisesucessivasdeR$4.300,00.Calcularocustomensaldesteemprstimo? (2,46%am)64) Um veculo novo estsendovendidoporR$4.000,00de entradamais6prestaesmensais,iguaiseconsecutivasdeR$3.00,00.Sabendo-sequeataxadejurosdemercado de 5,5% am, determinar at que preo interessa comprar o veculo a vista.(R$ 18.986,59)5.3 Modelo Bsico de CapitalizaoEmboraasituaofinanceiradamaioriadosbrasileirosnopermitaqueoindivduoreserve uma parte de seu salrio para o uso em uma eventualidade ou para comprar algo nofuturo, quando isso ocorre, tem-se o processo de capitalizao.De um modo geral, o estudo da capitalizao pretende responder seguinte questo:quantosedevecapitalizarporperodo,afimdeque,apsalgumtempo,setenhacertocapital?Seconsiderarmosparcelascomomesmovalornominalecapitalizaoseiniciandonofinaldoprimeiroperodo,teremosochamadomodelobsico,demonstradonofluxodecaixa a seguir:PV = PMT. an,i24EssaconfiguraodefluxodecaixamostraquePVasoma,nadatafocaln,dosvaloresnominaisdetodasascapitalizaesPMT.Observequeacapitalizaofeitaapenas at o penltimo pagamento.Temos ento que:( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) | |1 3 21 3 21 ... 1 1 1 11 ... 1 1 1+ + + + + + + + =+ + + + + + + + =nni i i i PMT FVi PMT i PMT i PMT i PMT PMT FVObservequeentreoscolchetestemosaadiodostermosdeumaprogressogeomtrica de razo( ) i + 1 e com n temos termos. Assim, usando a soma dos termosda PG finita, temos:( ) ( )i nn nnSiiqq aS,11 111= +==ConvencionaremosqueessasomaserrepresentadaporSn,iouSni(L-se:S,ncantoneira i). Alguns autores utilizam a nomenclatura FAC( Fator de acumulao de capital).Temos ento:Exerccios65) Desejo adquirir um DVD que custa US$ 500,00. Como no disponho desse recurso nomomento, vou abrir uma poupana, na qual depositarei certa quantia mensalmente, demodo que, ao final de 18 meses, eu tenha o dinheiro necessrio. De quantos dlaresdeverei dispor, mensalmente, se a caderneta de poupana remunera0,5%am?(US$26,62)66) Apartirdoprximoms,depositareimensal,enteR$200,00emumbancoqueremunerataxadejurocompostode10%am.Quantotereinodiaqueefetuaroquinto depsito?(R$ 1.221,02)67) Visandoadquirirumnovoequipamento,adiretoriadeumaempresadecidiu,emjaneiro,quedepositariaemumainstituiofinanceiraR$15.000,00porms.Os 0 1 2 3 4n-2 n-1n (tempo)FV PMT PMTPMTPMTPMT PMT PMTFV = PMT. Sn, i25depsitosforaminiciadosnoquintodiadefevereiroenoquintodiadesetembrojpossuaR$205.902,28.Qualataxacompostaderemuneraoaplicadapelainstituio em que o dinheiro foi depositado? (15%am)68) Qual a razo entre Sn,i e an,i ?69) UmapessoairnecessitardeR$22.000,00daquiaumanoparapagarumaPs-graduao.Paratanto,estfazendoumaaplicaomensaldeR$1.250,00,ataxa de juro composto de 4% am. Ela conseguir atingir seu objetivo? Porque? ( No)5.4 Sistema de Amortizao5.4.1 Sistema de prestao Constante (Sistema Francs)Neste sistema, tambm chamado sistema francs ou sistema price , as prestaesso constantes, utilizando-se para o seu clculo a funo an,i .Exemplo:UmapessoacontraiemprstimodeR$60.000.000,00parainstalarumaindstria.Ascondiesdoemprstimoprevemopagamentoem10prestaesiguaissemestraiseconsecutivas.Construiraplanilhadoemprstimo,sabendo-sequeataxaadotadade10%as,comcapitalizaosemestral.Arredondeoscentavos.Dado(a10,10)-1 = 0,1627454. Observe que utilizamos 7 casas decimais, pretende-se com isso umamelhor aproximao no fechamento da tabela.Soluo:Porplanilha,entendemosumquadroondesocolocadososvaloresreferentesaoemprstimo,ouseja,operodo,ojurodoperodo,osaldodevedor,aprestao, o saldo aps pagamento e a amortizao.Paramontarumaplanilhanosistemadeprestaesconstantes,devemosprimeirocalcular a prestao, usando a funo an,i :( ) 724 . 764 . 9 1627454 , 0 000 . 000 . 601,= = =i na PV PmtSemestre Juro do perodoSaldo devedorantes dopagamentoPrestaoconstanteSaldo devedoraps opagamentoAmortizao0 R$ 60.000.0001 R$ 6.000.000 R$ 66.000.000 R$ 9.764.724 R$ 56.235.276 R$ 3.764.7242 R$ 5.623.528 R$ 61.858.804 R$ 9.764.724 R$ 52.094.080 R$ 4.141.1963 R$ 5.209.408 R$ 57.303.488 R$ 9.764.724 R$ 47.538.764 R$ 4.555.3164 R$ 4.753.876 R$ 52.292.640 R$ 9.764.724 R$ 42.527.916 R$ 5.010.8485 R$ 4.252.792 R$ 46.780.708 R$ 9.764.724 R$ 37.015.984 R$ 5.511.9326 R$ 3.701.598 R$ 40.717.582 R$ 9.764.724 R$ 30.952.858 R$ 6.063.1267 R$ 3.095.286 R$ 34.048.144 R$ 9.764.724 R$ 24.283.420 R$ 6.669.4388 R$ 2.428.342 R$ 26.711.762 R$ 9.764.724 R$ 16.947.038 R$ 7.336.3829 R$ 1.694.704 R$ 18.641.741 R$ 9.764.724 R$ 8.877.017 R$ 8.070.02010 R$ 887.702 R$ 9.764.719 R$ 9.764.724 -R$ 5 R$ 8.877.022Tabela 9Observe que, ao final do primeiro semestre, o juro foi de 6.000.000, j que a taxa de10% as.26Osaldodevedorapsopagamentoadiferenaentreosaldodevedorantesdopagamentoeaamortizao.Essenovosaldocalculadologoapsopagamentodaprestao.O juro do perodo obtido pela aplicao da taxa combinada aonovosaldodevedordo ltimo perodo. No caso, como no hperodo anterior,ojurocalculadosobre ovalortotal da dvida (R$60.000.000,00).A amortizao o que resta da prestao aps a separao do que se devia de juro.5.4.2 Sistema de Amortizaes Constantes (SAC)Comooprprionomediz,trata-sedeumsistemaemqueasamortizaessoconstantes,oqueimplicaprestaesmaioresnosprimeirosperodos,reduzindo-seaospoucos.Parainiciarmosaconstruodaplanilha,devemosprimeirodividirovalordadvidapelo nmero de prestaes, obtendo o valor da amortizao constante.Osaldodevedorapsopagamentoadiferenaentreosaldodevedorantesdopagamentoeaamortizao.Essenovosaldocalculadologoapsopagamentodaprestao.Perodoa perodo,calculamosentoojuroe,somando-oamortizao,obtemosaprestao.Exemplo:Um emprstimo de R$ 20.000.000,00 foi feito no sistema de amortizaes constantes.Oprazodepagamentode5anoseataxaacordadade10%aa.Construiraplanilha,considerando os pagamentos anuais.Soluo:Para se montar uma planilha no SAC, devemos primeiro calcular as amortizaes, nocaso00 . 000 . 45000 . 000 . 20=por ano.NocasodoprimeiroperodoojurodeR$20.000.000x0,1=R$2.000.000,00.Comoaamortizaoconstante,jtemosovalordaprimeiraprestao,queP = J + A = R$ 6.000.000,00.Desta forma montamos a tabela abaixo:AnoJuro doperodoSaldo devedorantes dopagamentoPrestaoSaldo devedoraps opagamentoAmortizaoConstante0 R$ 20.000.0001 R$ 2.000.000 R$ 22.000.000 R$ 6.000.000 R$ 16.000.000 R$ 4.000.0002 R$ 1.600.000 R$ 17.600.000 R$ 5.600.000 R$ 12.000.000 R$ 4.000.0003 R$ 1.200.000 R$ 13.200.000 R$ 5.200.000 R$ 8.000.000 R$ 4.000.0004 R$ 800.000 R$ 8.800.000 R$ 4.800.000 R$ 4.000.000 R$ 4.000.0005 R$ 400.000 R$ 4.400.000 R$ 4.400.000 R$ 0 R$ 4.000.000Tabela 10275.4.3 Sistema de Juro Constante ou Sistema AmericanoEsse sistema tambm conhecido como sistema americano. O juro calculado emfuno do saldo devedor. Para que o juro seja constante, sem se alterar a taxa, preciso queo saldo devedor seja constante, o que se consegue no amortizando a dvida perodo aperodo, mas im pagando-a de uma nica vez no final do emprstimo. Assim, as prestaesiniciais se limitam ao pagamento do juro.Exemplo:Um emprstimo de R$ 10.000.000,00 foi feito pelo sistema de juro constante, compagamentos anuais. O prazo de pagamento foi estipulado em 6 anos, a taxa de jurocomposto de 10%aa. Construir a planilha.Soluo:Ano Juro ConstanteSaldo devedorantes dopagamentoPrestaoSaldo devedoraps opagamentoAmortizaoConstante0 R$ 10.000.0001 R$ 1.000.000R$ 11.000.000R$ 1.000.000 R$ 10.000.0002 R$ 1.000.000R$ 11.000.000R$ 1.000.000 R$ 10.000.0003 R$ 1.000.000R$ 11.000.000R$ 1.000.000 R$ 10.000.0004 R$ 1.000.000R$ 11.000.000R$ 1.000.000 R$ 10.000.0005 R$ 1.000.000R$ 11.000.000R$ 1.000.000 R$ 10.000.0006 R$ 1.000.000 R$ 11.000.000 R$ 11.000.000 R$ 0 R$ 10.000.000Tabela 115.4.5 Sistema de Amortizao Mixto (SAM)OSistemadeamortizaoMisto(SAM)foidesenvolvidooriginalmenteparaasoperaes de financiamento do Sistema Financeiro de Habitao. Representa basicamente amdiaaritmticaentreosistemafrancs(SAF)ouPriceeosSistemadeAmortizaoConstante (SAC), da explicando-se a sua denominao. Para cadaumdosvaloresdeseuplanodepagamentos,devem-sesomaraquelesobtidospeloSAFcomoSACedividiroresultado por dis.A tabela abaixo representa os resultados obtidos considerando os resultados no SAFenoSAC,paraseremcomparadoscomomistoSAMparaumfinanciamentodeR$ 100.000,00 a taxa de juros de 14,02%aa durante 10 anos.28SACA JuroSaldo devedorantes dopagamentoPrestaoSaldodevedor apso pagamentoAmortizaoConstanteTaxa n0 R$ 100.000 14,02% 101 R$ 14.018 R$ 114.018 R$ 24.018 R$ 90.000 R$ 10.0002 R$ 12.616 R$ 102.616 R$ 22.616 R$ 80.000 R$ 10.0003 R$ 11.214 R$ 91.214 R$ 21.214 R$ 70.000 R$ 10.0004 R$ 9.812 R$ 79.812 R$ 19.812 R$ 60.000 R$ 10.0005 R$ 8.411 R$ 68.411 R$ 18.411 R$ 50.000 R$ 10.0006 R$ 7.009 R$ 57.009 R$ 17.009 R$ 40.000 R$ 10.0007 R$ 5.607 R$ 45.607 R$ 15.607 R$ 30.000 R$ 10.0008 R$ 4.205 R$ 34.205 R$ 14.205 R$ 20.000 R$ 10.0009 R$ 2.804 R$ 22.804 R$ 12.804 R$ 10.000 R$ 10.00010 R$ 1.402 R$ 11.402 R$ 11.402 R$ 0 R$ 10.000T R$ 77.096 R$ 177.096 R$ 100.000PRICEA JuroSaldo devedorantes dopagamentoPrestaoconstanteSaldodevedor apso pagamentoAmortizao0 R$ 100.0001 R$ 14.018 R$ 114.017,50 R$ 19.184,45 R$ 94.833 R$ 5.1672 R$ 13.293 R$ 108.126,27 R$ 19.184,45 R$ 88.942 R$ 5.8913 R$ 12.467 R$ 101.409,24 R$ 19.184,45 R$ 82.225 R$ 6.7174 R$ 11.526 R$ 93.750,66 R$ 19.184,45 R$ 74.566 R$ 7.6595 R$ 10.452 R$ 85.018,53 R$ 19.184,45 R$ 65.834 R$ 8.7326 R$ 9.228 R$ 75.062,37 R$ 19.184,45 R$ 55.878 R$ 9.9567 R$ 7.833 R$ 63.710,61 R$ 19.184,45 R$ 44.526 R$ 11.3528 R$ 6.241 R$ 50.767,61 R$ 19.184,45 R$ 31.583 R$ 12.9439 R$ 4.427 R$ 36.010,33 R$ 19.184,45 R$ 16.826 R$ 14.75710 R$ 2.359 R$ 19.184,45 R$ 19.184,45 R$ 0 R$ 16.826T R$ 91.844 R$ 191.844,49 R$ 100.000MISTOAJuroMIXTOSaldo devedorantes dopagamentoPrestaoMISTASaldodevedor apso pagamentoAmortizaoMISTA0 R$ 100.0001 R$ 14.018 R$ 114.018 R$ 21.601 R$ 92.417 R$ 7.5832 R$ 12.954 R$ 105.371 R$ 20.900 R$ 84.471 R$ 7.9463 R$ 11.841 R$ 96.312 R$ 20.199 R$ 76.112 R$ 8.3594 R$ 10.669 R$ 86.781 R$ 19.498 R$ 67.283 R$ 8.8295 R$ 9.431 R$ 76.715 R$ 18.797 R$ 57.917 R$ 9.3666 R$ 8.119 R$ 66.036 R$ 18.097 R$ 47.939 R$ 9.9787 R$ 6.720 R$ 54.659 R$ 17.396 R$ 37.263 R$ 10.6768 R$ 5.223 R$ 42.486 R$ 16.695 R$ 25.792 R$ 11.4719 R$ 3.615 R$ 29.407 R$ 15.994 R$ 13.413 R$ 12.37910 R$ 1.880 R$ 15.293 R$ 15.293 R$ 0 R$ 13.413T R$ 84.470 R$ 184.470 R$ 100.000Tabela 12295.4.5 Outros ExemplosComofinanciamentossoacordadosentreaspartes,emprincpiooqueforconsensual entre elas, e no ferir a legislao pode ser pactuado.Naprtica, porm,quemtemmaiorpoderdebarganhaacabadefinindooscritrios.Assim,quandosevaiaumbancopedirumemprstimo,emregra,ouseaceitamseuscritrios e taxas ditadas pelo banco, ou no se obtm o dinheiro.Algumasvezes,ofinanciamentonoseadequaaoscasospadronizados.Nessascircunstncias, deve-se elaborar ummodelo especfico, que possa resolver aquele caso emparticular.Claroquenopossvelabordartodososcasosimaginveis,masalgunsexerccios sero feitos de modo a ilustrar o procedimento a ser adotado.Um emprstimofoiobtidonasseguintescondies:carncia de2anos,nosquaisojuronoserpago;depoismais2anosdecarncia,sendopagosomenteojuroe,nosltimos 4 anos, o pagamento ser feito pelo sistema de amortizaes constantes. Construir aplanilha,sabendoqueataxaacordadafoide10%aaeovalordoemprstimodeR$ 50.000.000,00.Soluo:Ano Juro do perodoSaldo devedorantes dopagamentoPrestaoSaldo devedoraps opagamentoAmortizaoConstante0 R$ 50.000.0001 R$ 5.000.000R$ 55.000.000 R$ 55.000.0002 R$ 5.500.000R$ 60.500.000 R$ 60.500.0003 R$ 6.050.000R$ 66.550.000R$ 6.050.000 R$ 60.500.0004 R$ 6.050.000R$ 66.550.000R$ 6.050.000 R$ 60.500.0005 R$ 6.050.000 R$ 66.550.000 R$ 21.175.000 R$ 45.375.000 R$ 15.125.0006 R$ 4.537.500 R$ 49.912.500 R$ 19.662.500 R$ 30.250.000 R$ 15.125.0007 R$ 3.025.000 R$ 33.275.000 R$ 18.150.000 R$ 15.125.000 R$ 15.125.0008 R$ 1.512.500 R$ 16.637.500 R$ 16.637.500 R$ 0 R$ 15.125.000Tabela 13 Exerccios70) UmfinanciamentodeR$1.000.000,00foifeitonosistemadeprestaesconstantes, a juro composto de 8%aa, e o pagamento ser feito em5prestaesanuais. Construir a planilha, arredondando os centavos.71) Um emprstimo de R$ 2.000.000,00 foi feito com base no sistema price, com jurosnominaisde8%aaecapitalizaosemestral,edeveserpagoem4semestres.Construir a planilha, desprezando os centavos.72) Umemprstimode4milhesdedlaresfoiconcedidoaumpas,quesecomprometeuaamortizaradvidaemparcelasiguaisaolongode8anos,empagamentosanuais.Ataxadejurocompostoacordadafoide8%aa.Construiraplanilha.73) Afimviabilizaraimplantaodeumafbrica,foifeitaumemprstimodeR$ 50.000.000,00 pelo sistema de amortizaes constantes, mas com as seguintesparticularidades:umprazodecarnciade2semestres,duranteosquaisssepagaroosjuros;pagamentodasamortizaesem4semestres;prazototaldefinanciamentocorrespondentea3anos.Ataxadejurocompostoacertadafoide30% as. Construir a planilha.3074) Um emprstimo foi concedido a uma indstria no sistema de juro constante, taxade 40%aa, pelo perodo de 4 anos, ao fim do qual a indstria dever amortizar osR$ 20.000.000,00 emprestados. Construir a planilha.75) Uma empresa acertou, com um banco, um emprstimo no qual foram pactuadas asseguintescondies:sistemadejuroconstantecomamortizaototalnosextoano,taxadejurocompostode10%aa,pagamentosdejurodevidoacadaanoevalor do emprstimo U$$ 4.000.000,00. Construir a planilha.76) Uma empresa obtm um financiamento de R$ 10.000.000,00, sendo acertado que,nos dois primeiros anos, o juro ser incorporado dvida e, a partir do terceiro ano,passaavigorarosistemadejuroconstante,a10%aa,por4anos.Construiraplanilha.6) Anlise de InvestimentosBasicamente, toda operao financeira representada em termos de fluxos de caixa,ou seja, em fluxos futuros esperadosderecebimentosepagamentosdecaixa.Aavaliaodessesfluxosconsiste,emessncia,nacomparaodosvalorespresentes,calculadossegundooregimedejuroscompostosapartirdeumadadataxadejuros,dassadaseentradas de caixa.Emconsideraoaoconceitodevalordodinheironotempo,raciocniobsicodamatemtica financeira adotado neste livro, coloca-se como fundamental estudar-se somenteos mtodos que levem em conta o critrio do fluxo de caixa descontado.Dessamaneira,ocaptulodesenvolveosmtodosdataxainternaderetornodedovalor presente lquido, admitidos como os de maior utilizao e rigor conceitual nas anlisesdas operaes financeiras (aplicaes e captaes) e de projetos de investimento.6.1 Taxa Interna de Retorno (IRR)Ataxainternaderetornoataxadejuros(desconto)queiguala,emdeterminadomomentodotempo,ovalorpresentedasentradas(recebimentos)comodassadas(pagamentos) previstas de caixa. Geralmente, adota-se a data de incio da operao,momento zero, como a data focal de comparao de fluxos de caixa.Normalmente,o fluxo de caixa no momento zero(fluxo de caixa inicial) representadopelovalordoinvestimento,ouemprstimooufinanciamento;osdemaisfluxosdecaixaindicam os valores das receitas ou prestaes devidas.Nestas condies, a identidade de clculo da taxa interna de retorno identificada daseguinte forma:( ) ( ) ( ) ( )nnoiFCiFCiFCiFCFC++ + ++++++=1...1 1 12322 1Deduzindo-se que:( )=+=njjjoiFCFC1131Onde:-FCo = valor do fluxo de caixa no momento zero ( recebiemnto , emprstimo ouPagamento, investimento)-FCj = fluxos previstos de entradas ou sadas de caixa em cada perodo detempo;-I = taxa de descontos que iguala, em determinada data, as entradas com assadas previstas em caixa. Em outras palavras, i representa a taxa interna deretorno.Considerandoqueosvaloresdecaixaocorrememdiferentesmomentos,possvelconcluirqueomtododataxadaIRR,aolevaremcontaovalordodinheironotempoexpressanaverdadearentabilidadeseforumaaplicao,oucusto,nocasodeumemprstimooufinanciamento,dofluxodecaixa.Arentabilidadeoucustoindicadoemtermos de uma taxa de juros equivalente peridica.Exemplo 1: Admita umemprstimodeR$30.000,00aser liquidadoatravsde doispagamentos mensais e sucessivos de R$ 15.500,00 cada.Graficamente, tem-se a seguinte representao:A TIR desta operao dada pela equao:( ) ( )211550011550030000i i +++=Resolvendo essa equao na HP 12C :30000 [CHS][g][CFo]15500[g][CFj]15500[g][CFj][f][IRR] 2,21%amResolvendo no Excel 2003Observe que na clula E2 inserimos o comando = TIR(B2:B4) para obter oresultado.A B C D E1 Srie de Capitais TIR "= TIR(B2:B4)"2 0 -30000 TIR 2,214%3 1 155004 2 15500Tabela 14 0 1 2)R$ 30.000,00R$15.500,00 R$ 15.500,0032Exemplo2:DeterminarataxainternaderetornoreferenteaumemprstimodeR$126900,00aserliquidadoemquatropagamentosmensaiseconsecutivosdeR$ 25.000,00; R$ 38.000,00; R$ 45.000,00 e R$ 27.000,00.Graficamente, tem-se a seguinte representao:A TIR desta operao dada pela equao:( ) ( ) ( ) ( )4 3 2127000145000138000125000126900i i i i +++++++=Resolvendo essa equao na HP 12C :126900 [CHS][g][CFo]25000[g][CFj]38000[g][CFj]45000[g][CFj]27000[g][CFj][f][IRR] 2,47%amResolvendo no Excel 2003Observe que na clula E2 inserimos o comando = TIR(B2:B6) para obter o resultadoA B C D E F1Srie de CapitaisTIR"=TIR(B2:B6)" 2 0 -126900 TIR 2,470%3 1 250004 2 380005 3 450006 4 27000Tabela 156.2 Mtodo do Valor Presente Lquido (NPV ou VPL)Omtododovalorpresentelquidoparaanlisedosfluxosdecaixaobtidopeladiferena entre o valor presente dos benefcios(ou pagamentos) previstos de caixa, e o valorpresente do fluxo de caixa inicial (valor do investimento, do emprstimo ou financiamento).A identidade de clculo do NPV expressa da forma seguinte: 0 1 2 3 4R$ 126.900,00 R$25.000,00 R$ 38.000,00R$ 45.000,00 R$ 27.000,0033( ) ( ) ( ) ( )0 2322 11...1 1 1FCiFCiFCiFCiFCNPVnn++ ++++++=( )011FCiFCNPVnjjj+= =Onde:-FCj = valor de entrada (ou sada) de caixa previsto para cada intervalo de tempo;-FC0=fluxodecaixaverificadonomomentozero(momentoinicial),podendoseruminvestimento, emprstimo ou financiamento.Comparativamente ao mtodo da IRR, o valor presente lquido exige a definio prviada taxa de desconto a ser empregada na atualizao dos fluxos de caixa. Na verdade, o NPVnoidentificadiretamenteataxaderentabilidade(oucusto)daoperaofinanceira,aodescontar todos os fluxos de entradas e sadas de caixa por uma taxa de descontomnimaaceitvel, o NPV denota, em ltima anlise, o resultado econmico da alternativa financeiraexpressa em moeda atualizada. O NPV caracteristicamente referenciado ao momento inicial (data zero).Exemplo 1:Admita que uma empresa esteja avaliando um investimento no valor de R$ 750.000,00doqualseesperambenefciosanuaisdecaixadeR$250.000,00noprimeiroano,R$320.000,00nosegundoano,R$380.000,00noterceiroano.Admitindoqueaempresatenhadefinidoem20%aaataxadedescontoaseraplicadaaosfluxosdecaixadoinvestimento. Represente o clculo do NPV e seu valor.Aplicando na expresso do NPV, temos:( ) ( ) ( ) ( )7500002 , 0 1000 . 2802 , 0 1000 . 3802 , 0 1000 . 3202 , 0 1000 . 2504 3 2+++++++= NPV 0 123 4R$ 750.000,00 R$250.000,00R$ 320.000,00 R$ 380.000,00 R$ 280.000,0034Resolvendo essa equao na HP 12C , temos:750000 [CHS] [g] [CFo]250000 [g] [CFj]320000 [g] [CFj]380000 [g] [CFj]280000 [g] [CFj]20 [ i ] [ f ] [npv] R$ 35.493,82Resolvendo no Excel 2003ObservequenaclulaB9inserimosocomando=VPL(B7;B3:B6)-B2paraobteroresultado.A B1 ANOS CAPITAIS2 0 -R$ 750.000,003 1 R$ 250.000,004 2 R$ 320.000,005 3 R$ 380.000,006 4 R$ 280.000,007Taxa de juro 20,00%8 VPL " =VPL(B7;B3:B6) - B2"9 VPL R$ 35.493,83Tabela 16 Exerccios77) Esto sendo avaliadas quatro propostas de investimentos cujas informaesbsicas so apresentadas a seguir:Fluxos esperados de CaixaPropostaInvestimentona data zero Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4A R$ 390.000,00 R$ 210.000,00 R$ 180.000,00 R$ 120.000,00 R$ 100.000,00B R$ 580.000,00 R$ 90.000,00 R$ 130.000,00 R$ 470.000,00 R$ 710.000,00C R$ 260.000,00 R$ 40.000,00 R$ 40.000,00 R$ 200.000,00 R$ 200.000,00D R$ 850.000,00 R$ 520.000,00 R$ 410.000,00 R$ 390.000,00 R$ 390.000,00Tabela 17Pede-se:a)Determinar a IRR e oNPVdecada projetoadmitindoumataxadedescontomnimaaceitvelde25%aa.Indique,combasenesseretornoexigido,aspropostaseconomicamente aceitveis.b)Seataxadedescontoexigidaseelevarpara35%,quaispropostasqueseriamaceitas?78) CertaalternativadeinvestimentorequerumdispndiointegraldecapitaldeR$150.000,00,estimando-seumretornodeR$45.000,00,R$60.000,00,R$70.000,00,R$80.000,00eR$100.000,00,respectivamente,aofinaldecada35umdosprximos5anos.Admitindoqueosquatroprimeirosfluxosdecaixapossamserreinvestidos,atoprazofinaldevidadaalternativa,staxasde28%aa,26%aa,24%aa e 22%aa, respectivamente, pede-se determinar a IRR dessaoperao considerando as diferentes taxas de reinvesti mento. ( 29,5%aa)79) Determinadaempresatransportadoraestaavaliandoacompradeumcaminhopor R$ 60.000,00. O veculo ser usado durante 5 anos, aps o qual se prev umarevendadeR$7.200,00.Aempresaestima,ainda,umcustoanualdemanuteno,combustvel,etc.deR$24.000,00,noprimeiroano,crescendoessegasto10%aa.SegundoessaempresaesperadabenefcioslquidosdecaixageradospelocaminhodeR$60.000,00,R$56.000,00,R$48.000,00,R$40.000,00eR$36.000,00,respectivamentenosprximos5anos.Paraumataxadedescontode12%aa,demonstrarseeconomicamentevivelacompradesse caminho.80) UmimvelcolocadoavendaporR$360.000,00avista,ouem7parcelasmensais nos seguintes valores;-As duas primeiras de R$ 50.000,00;-As duas seguintes de R$ 70.000,00;-As trs ltimas parcelas de R$ 80.000,00.Determinar o custo mensal desta operao expresso pela taxa interna de retorno.(2,84%aa)81) UmaempresacontrataumfinanciamentodeR$25.000,00paraserpagoem6prestaes trimestrais, iguais esucessivasnovalordeR$8.600,00cada.Abe-sequeaprimeiraprestaoserliquidadaaofinaldononoms(doistrimestresdecarncia). Determinar a IRR dessa operao. ( 14,65% at)82) Uma empresa leva quatro duplicatas para desconto junto a um banco nos valoresdeR$28.000,00,R$65.000,00,R447.000,00eR$88.000,00,vencveis,respectivamente, em 17, 28, 34 e 53 dias. O banco credita a importncia lquida deR$218.720,00nacontadocliente.Determinarataxaefetivamensaldejuroscobrada pelo banco. (3,39% am)83) Abaixo so apresentados os NPV de quatro propostas de investimentos admitido-se diferentes taxas de desconto.36Taxa dedescontoProjeto A(R$)Projeto B(R$)Projeto C(R$)Projeto D(R$)0,00% 25,20 50,00 40,00 50,004,00% 8,20 37,00 26,40 30,108,00% (0,20) 25,90 14,90 13,7012,00% (9,90) 16,30 5,00 0,0016,00% (18,10) 7,90 (3,43) (11,40)20,00% (25,20) 0,50 (10,80) (21,00)Tabela 18Pede-se:a)Sea taxa de desconto mnima aceitvel atingir 16%, indicar as alternativas deinvestimento que podem ser aceitas;b)Qual alternativa que apresenta a maior taxa de rentabilidade peridica?c)Qual a IRR da alternativa D?d)O projeto c mais rentvel (apresenta maior IRR) que o projeto D?e)A IRR do projeto b maior ou menor que 20%?f)A IRR do projeto A menor que 8%?84)Admita um ativo que tenha sido adquirido por R$ 140.000,00. Este ativo tem vidatil estimada de 7 anos e valor residual de R$ 15.000,00 ao final da vida. Os custosoperacionaisdoativoatingemaR$20.000,00noprimeiroano,crescendotaxaaritmticaconstantedeR410.000,00/ano.Paraumataxadejurode12%aa,determinar o custo equivalente anual deste ativo. ( R$ 74.704.40)8. BIBLIOGRAFIA8.1 SAMANES,CarlosPatrcio.MatemticaFinanceira:AplicaesAnlisedeInvestimentos. So Paulo: Editora Makron Books,1999. ISBN: 85-346-0925-X.8.2 ARAJO, Carlos RobertoVieira.MatemticaFinanceira:UsodasminicalculadorasHP12c e HP 19BII . So Paulo: Atlas, 1992. ISBN: 85-224-0762-2.8.3 PUCCINI,AbelardodeLima.MatemticaFinanceiraObjetivaeAplicada.SoPaulo:Editora Saraiva,1999. ISBN: 85-02-02719-0.8.4 PARENTE,Eduardo&CARIBE,Roberto.MatemticaComercial&Financeira.SoPaulo: FTD , 1996 . ISBN : 85-3222-26200-58.5 CARVALHO,Thales deMello,MatemticaComercialeFinanceira:Complementosde Matemtica. Rio de Janeiro, Fename,1977.