apostila de matematica financeira
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MATEMTICA FINANCEIRA CURSO DE ENGENHARIA QUMICA Professor Gustavo B. Caminiti
2011
Universidade de Ribeiro Preto - UNAERP
Contedo
1. Conceitos Gerais ............................................................................................................... 4
1.1. Juro ................................................................................................................................... 4
1.2. Taxas de juro ..................................................................................................................... 4
1.3. Diagrama de fluxo de Caixa ............................................................................................... 5
1.4. Regras Bsicas ................................................................................................................... 6
1.5. Critrios de capitalizao dos juros .................................................................................... 7
2. Juro simples ...................................................................................................................... 8
2.1. Frmulas de Juros Simples................................................................................................. 8
2.1.1. Exemplos: ................................................................................................................ 8
2.2. Montante e Capital ........................................................................................................... 9
2.2.1. Exemplos: .............................................................................................................. 10
2.3. Taxa Proporcional e Taxa Equivalente.............................................................................. 11
2.3.1. Exemplos: .............................................................................................................. 11
2.4. Equivalncia financeira .................................................................................................... 12
2.4.1. Exemplos: .............................................................................................................. 12
2.5. Exerccios Juros Simples ................................................................................................ 13
3. Juros Compostos ............................................................................................................. 15
3.1. Frmulas de juros compostos .......................................................................................... 15
3.1.1. Exemplos: .............................................................................................................. 16
3.2. Taxas Equivalentes .......................................................................................................... 17
3.2.1. Exemplo ................................................................................................................. 18
3.3. Taxa Nominal e Taxa Efetiva ............................................................................................ 18
3.3.1. Exemplo ................................................................................................................. 18
3.4. Exerccios ........................................................................................................................ 19
4. Fluxos de Caixa ................................................................................................................ 21
4.1. Modelo-Padro ............................................................................................................... 21
4.1.1. Valor presente e Fator de Valor Presente ............................................................... 22
4.1.1.1. Exemplos................................................................................................................ 22
4.1.2. Valor Futuro e Fator de Valor Futuro ...................................................................... 23
4.1.2.1. Exemplos................................................................................................................ 24
4.2. No convencional ............................................................................................................ 25
4.2.1.1. Exemplos................................................................................................................ 25
4.3. Exerccios ........................................................................................................................ 25
5. Anlise de Investimentos................................................................................................. 27
5.1. Taxa Interna de Retorno .................................................................................................. 27
5.2. Valor Presente Lquido .................................................................................................... 28
5.3. Payback Simples e Payback Descontado .......................................................................... 29
5.3.1. Payback simples ..................................................................................................... 29
5.3.2. Payback Descontado .............................................................................................. 30
5.4. Exerccios ........................................................................................................................ 31
6. Bibliografia ...................................................................................................................... 33
1. Conceitos Gerais
1.1. Juro
A matemtica trata, em essncia, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O
seu objetivo bsico o de efetuar anlises e comparaes dos vrios fluxos de entrada e sada
de dinheiro de caixa verificado em diferentes momentos.
Receber uma quantia hoje ou no futuro no evidentemente a mesma coisa. Em
princpio, uma unidade monetria hoje prefervel mesma unidade monetria disponvel
amanh. Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifcio,
o qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros. Desta forma, so os
juros que efetivamente induzem o adiantamento do consumo, permitindo a formao de
poupanas e de novos investimentos.
As taxa de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:
I. o risco envolvido na operao (emprstimo ou aplicao), representado
genericamente pela incerteza com relao do futuro;
II. a perda do poder de compra do capital motivada pela inflao. A inflao um
fenmeno que corri o capital, determinando um volume cada vez menor de
compra com o mesmo montante;
III. o capital emprestado/aplicado. Os juros devem gerar um lucro (ou ganho) ao
proprietrio do capital como forma de compensar a sua privao por
determinado perodo de tempo. Este ganho estabelecido basicamente e
definido por custo de oportunidade.
1.2. Taxas de juro
A taxa de juro o coeficiente que determina o valor do juro, isto , a remunerao do
fator capital utilizado durante certo perodo de tempo.
As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (ms, semestre, ano,
etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa
unitria.
A taxa percentual refere-se aos centos do capital, ou seja, o valor dos juros para cada
centsima parte do capital.
Exemplo: um capital de $1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende de juro, ao final deste
perodo:
= $ 1.000,00100 20 = $10,00 20 = $ 200,00
O capital de $ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a remunerao
total da aplicao no perodo , portanto, de $ 200,00.
A taxa unitria centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade
de capital em certo perodo de tempo.
Exemplo (acima), a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20
(20%/100) por unidade de capital aplicada, ou seja:
= $ . , = $ . , , = $ ,
A transformao da taxa percentual em unitria se processa simplesmente pela diviso
da notao em percentual por 100. Para a transformao inversa, basta multiplicar a taxa
unitria por 100.
Taxa Percentual Taxa unitria 1,5% 0,015
8% 0,08 17% 0,17
86% 0,86 120% 1,20
1.500% 15,0
Nas frmulas de matemtica financeira todos os clculos so efetuados utilizando-se a
taxa unitria de juros. Os enunciados e as respostas dos exerccios a serem resolvidos nesta
disciplina sero indicados pela taxa percentual.
1.3. Diagrama de fluxo de Caixa
A matemtica financeira se preocupa com o estudo das vrias relaes dos
movimentos monetrios que se estabelecem em distintos momentos no tempo.
Estes movimentos monetrios so identificados temporalmente atravs de um
conjunto de entradas e sadas de caixa definido como fluxo de caixa. O fluxo de caixa de
grande utilidade para as operaes da matemtica financeira, permitindo que se visualize no
tempo o que ocorre com o capital. Pode ser representado da seguinte forma:
A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da
operao. O ponto zero indica o momento inicial, e os demais pontos representam os perodos
de tempo (datas).
As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas (ou recebimentos) de
dinheiro, e as setas para baixo da linha indicam sadas (ou aplicaes) de dinheiro.