apostila de matematica financeira

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MATEMTICA FINANCEIRA CURSO DE ENGENHARIA QUMICA Professor Gustavo B. Caminiti

2011

Universidade de Ribeiro Preto - UNAERP

Contedo

1. Conceitos Gerais ............................................................................................................... 4

1.1. Juro ................................................................................................................................... 4

1.2. Taxas de juro ..................................................................................................................... 4

1.3. Diagrama de fluxo de Caixa ............................................................................................... 5

1.4. Regras Bsicas ................................................................................................................... 6

1.5. Critrios de capitalizao dos juros .................................................................................... 7

2. Juro simples ...................................................................................................................... 8

2.1. Frmulas de Juros Simples................................................................................................. 8

2.1.1. Exemplos: ................................................................................................................ 8

2.2. Montante e Capital ........................................................................................................... 9

2.2.1. Exemplos: .............................................................................................................. 10

2.3. Taxa Proporcional e Taxa Equivalente.............................................................................. 11

2.3.1. Exemplos: .............................................................................................................. 11

2.4. Equivalncia financeira .................................................................................................... 12

2.4.1. Exemplos: .............................................................................................................. 12

2.5. Exerccios Juros Simples ................................................................................................ 13

3. Juros Compostos ............................................................................................................. 15

3.1. Frmulas de juros compostos .......................................................................................... 15

3.1.1. Exemplos: .............................................................................................................. 16

3.2. Taxas Equivalentes .......................................................................................................... 17

3.2.1. Exemplo ................................................................................................................. 18

3.3. Taxa Nominal e Taxa Efetiva ............................................................................................ 18

3.3.1. Exemplo ................................................................................................................. 18

3.4. Exerccios ........................................................................................................................ 19

4. Fluxos de Caixa ................................................................................................................ 21

4.1. Modelo-Padro ............................................................................................................... 21

4.1.1. Valor presente e Fator de Valor Presente ............................................................... 22

4.1.1.1. Exemplos................................................................................................................ 22

4.1.2. Valor Futuro e Fator de Valor Futuro ...................................................................... 23

4.1.2.1. Exemplos................................................................................................................ 24

4.2. No convencional ............................................................................................................ 25

4.2.1.1. Exemplos................................................................................................................ 25

4.3. Exerccios ........................................................................................................................ 25

5. Anlise de Investimentos................................................................................................. 27

5.1. Taxa Interna de Retorno .................................................................................................. 27

5.2. Valor Presente Lquido .................................................................................................... 28

5.3. Payback Simples e Payback Descontado .......................................................................... 29

5.3.1. Payback simples ..................................................................................................... 29

5.3.2. Payback Descontado .............................................................................................. 30

5.4. Exerccios ........................................................................................................................ 31

6. Bibliografia ...................................................................................................................... 33

1. Conceitos Gerais

1.1. Juro

A matemtica trata, em essncia, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O

seu objetivo bsico o de efetuar anlises e comparaes dos vrios fluxos de entrada e sada

de dinheiro de caixa verificado em diferentes momentos.

Receber uma quantia hoje ou no futuro no evidentemente a mesma coisa. Em

princpio, uma unidade monetria hoje prefervel mesma unidade monetria disponvel

amanh. Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifcio,

o qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros. Desta forma, so os

juros que efetivamente induzem o adiantamento do consumo, permitindo a formao de

poupanas e de novos investimentos.

As taxa de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:

I. o risco envolvido na operao (emprstimo ou aplicao), representado

genericamente pela incerteza com relao do futuro;

II. a perda do poder de compra do capital motivada pela inflao. A inflao um

fenmeno que corri o capital, determinando um volume cada vez menor de

compra com o mesmo montante;

III. o capital emprestado/aplicado. Os juros devem gerar um lucro (ou ganho) ao

proprietrio do capital como forma de compensar a sua privao por

determinado perodo de tempo. Este ganho estabelecido basicamente e

definido por custo de oportunidade.

1.2. Taxas de juro

A taxa de juro o coeficiente que determina o valor do juro, isto , a remunerao do

fator capital utilizado durante certo perodo de tempo.

As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (ms, semestre, ano,

etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa

unitria.

A taxa percentual refere-se aos centos do capital, ou seja, o valor dos juros para cada

centsima parte do capital.

Exemplo: um capital de $1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende de juro, ao final deste

perodo:

= $ 1.000,00100 20 = $10,00 20 = $ 200,00

O capital de $ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a remunerao

total da aplicao no perodo , portanto, de $ 200,00.

A taxa unitria centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade

de capital em certo perodo de tempo.

Exemplo (acima), a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20

(20%/100) por unidade de capital aplicada, ou seja:

= $ . , = $ . , , = $ ,

A transformao da taxa percentual em unitria se processa simplesmente pela diviso

da notao em percentual por 100. Para a transformao inversa, basta multiplicar a taxa

unitria por 100.

Taxa Percentual Taxa unitria 1,5% 0,015

8% 0,08 17% 0,17

86% 0,86 120% 1,20

1.500% 15,0

Nas frmulas de matemtica financeira todos os clculos so efetuados utilizando-se a

taxa unitria de juros. Os enunciados e as respostas dos exerccios a serem resolvidos nesta

disciplina sero indicados pela taxa percentual.

1.3. Diagrama de fluxo de Caixa

A matemtica financeira se preocupa com o estudo das vrias relaes dos

movimentos monetrios que se estabelecem em distintos momentos no tempo.

Estes movimentos monetrios so identificados temporalmente atravs de um

conjunto de entradas e sadas de caixa definido como fluxo de caixa. O fluxo de caixa de

grande utilidade para as operaes da matemtica financeira, permitindo que se visualize no

tempo o que ocorre com o capital. Pode ser representado da seguinte forma:

A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da

operao. O ponto zero indica o momento inicial, e os demais pontos representam os perodos

de tempo (datas).

As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas (ou recebimentos) de

dinheiro, e as setas para baixo da linha indicam sadas (ou aplicaes) de dinheiro.