apostila - matematica financeira

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SUMÁRIO

1 PORCENTAGENS ...................................................................................... 4

1.1 O QUE É PORCENTAGEM? ............................................................... 4

1.2 PORCENTAGEM NO COTIDIANO ...................................................... 4

1.3 USANDO A HP 12c .............................................................................. 5

1.4 O SÍMBOLO % ..................................................................................... 6

1.5 AUMENTOS E DESCONTOS .............................................................. 6

1.6 CASAS DECIMAIS ............................................................................... 7

1.7 PILHA OPERACIONAL ........................................................................ 7

1.8 FUNÇÕES DAS TECLAS .................................................................... 9

1.9 VARIAÇÃO PORCENTUAL ............................................................... 10

1.10 PORCENTAGEM DE UM NÚMERO EM RELAÇÃO A OUTRO ..... 11

1.11 CALCULANDO JUROS SIMPLES .................................................. 12

1.12 A HP 12c ........................................................................................ 13

1.13 CONVENÇÕES .............................................................................. 14

1.14 FÓRMULAS MATEMÁTICAS ......................................................... 15

2 JUROS COMPOSTOS .............................................................................. 16

2.1 O QUE SÃO JUROS COMPOSTOS? ................................................ 16

2.2 RENDIMENTO DE UMA ÚNICA APLICAÇÃO ................................... 17

2.3 AS FUNÇÕES FINANCEIRAS ........................................................... 18

2.3.1 CÁLCULO DO VALOR FUTURO .................................................. 18

2.3.2 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE .............................................. 19

2.3.3 CÁLCULO DA TAXA ..................................................................... 19

2.3.4 CÁLCULO DO NÚMERO DE PERÍODOS .................................... 20

2.3.5 RESUMO ...................................................................................... 20

2.4 OS JUROS......................................................................................... 21

2.5 DESCONTO ....................................................................................... 21

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2.6 COMPREENDENDO UMA ÚNICA APLICAÇÃO ................................ 22

2.7 EXPONENCIAL VERSUS LINEAR .................................................... 23

2.8 VALOR FUTURO DE VÁRIAS APLICAÇÕES .................................... 24

2.9 VALOR PRESENTE DE VÁRIAS APLICAÇÕES ............................... 26

2.10 VALOR DA PARCELA PMT ........................................................... 27

2.11 TAXA DE JUROS DE VÁRIAS APLICAÇÕES ................................ 27

2.12 NÚMERO DE PERÍODOS n .......................................................... 28

2.13 PRESTAÇÕES ANTECIPADAS E POSTECIPADAS ..................... 28

2.14 PRESTAÇÕES COM ENTRADA .................................................... 29

2.15 PRESTAÇÕES COM CARÊNCIA ................................................... 30

2.16 CONTAGEM DE TEMPO ............................................................... 31

2.17 DIA DA SEMANA ........................................................................... 32

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1 PORCENTAGENS

1.1 O QUE É PORCENTAGEM?

Hoje em dia está na moda dizer que tudo é relativo. E é mesmo!

Não dizemos mais que a vacina antigripal não deixa pegar gripe.

Por quê?

Porque conheço gente que se vacinou e adquiriu a doença!

O que dizemos é: De cada 100 vacinados, 95 não adquirem a doença e 5

adquirem. Portanto, essa informação dá uma ideia do risco de não se vacinar.

Podemos dizer: “95 em cada 100 pessoas” ou então “95 por cento das

pessoas”.

Nesse caso escrevemos: 95% das pessoas.

1.2 PORCENTAGEM NO COTIDIANO

De quantos reais é o desconto?

100 5

Cara, mas tem um desconto de 5 por cento. Você sabe quanto dá isso em

reais? Bom! De cada 100 reais, devemos descontar 5, ficando 95.

100 5

1 000 50

Se em uma centena desconta 5, então em mil desconta 50.

100 5

1.000 50

900 45

5

Se desconta 5 em cada centena, então desconta 45 em 9 centenas.

100 5

1 000 50

900 45

1.900 95

Por isso, temos um desconto de 95 em 1.900.

5% de 1.900 = 95.

1.3 USANDO A HP 12c

Como calculamos 5 por cento de 1.900 na calculadora HP 12c?

a) Teclar CLx que limpa o visor de contas anteriores. Vem do inglês “clear”,

limpar.

b) Entrar com o valor 1.900

c) Em seguida, a teclar ENTER, que separa os dois dados.

d) Depois, o segundo dado, que é 5.

e) Por fim, a operação de porcentagem %

Com isso, aparece 95 no visor. Bem fácil, não é?

1.900 ENTER 5 [+]

Se no lugar de % você teclasse +, a calculadora faria a soma de 1900 e 5,

resultando em 1.905.

1.900 ENTER 5 [x]

Se teclasse , a máquina faria a multiplicação.

Na HP 12c é assim. A conta vem depois e já aparece o resultado. Não há a

tecla igual [=].

Observar que não importa a ordem de entrada dos dados 1.900 e 5, porque 5%

de 1.900 é o mesmo que 1.900% de 5.

6

1.4 O SÍMBOLO %

cento cto c/o %

Veja que interessante! O símbolo de porcentagem evoluiu da palavra “cento”,

por causa da pressa. Cento virou cto, depois abreviou mais, terminando igual ao

símbolo usado em todo o mundo.

Do mesmo modo, “ao ano” ficou a.a. e “ao mês” ficou a.m.

7% = 7 0,01

O símbolo de porcentagem significa um centésimo. Por isso 7 por cento é o

mesmo que 7 vezes um centésimo.

30% de 600 = 30% vezes 600

Trinta por cento de 600. A palavra “de” significa “vezes”, por isso, 30% de 600 é

igual a 30% vezes 600,

30% de 600 = 30% vezes 600 = 30% 600

Tanto faz escrever a palavra vezes ou o sinal de multiplicação.

1.5 AUMENTOS E DESCONTOS

Um liquidificador custava R$380,00 e teve um aumento de 4%.

Quanto passou a custar?

Como calcular o novo valor na HP?

COMANDOS f CLx

VISOR 0.00

Sempre digitamos f e CLx para limpar o visor e os registros.

COMANDOS f CLx 380 ENTER 4

VISOR 0.00 380,00 380,00 4,00

7

Digitamos 380, ENTER e 4.

COMANDOS f CLx 380 ENTER 4 %

VISOR 0.00 380,00 380,00 4,00 15,20

Clicando a tecla de porcentagem, aparece a porcentagem 15,20. (Tempo 3

segundos para pensar)

COMANDOS f CLx 380 ENTER 4 % +

VISOR 0,00 380,00 380,00 4,00 15,20 395,20

Clicando na tecla da soma, aparece o total com aumento 395,20.

A calculadora está programada para adicionar 4% de 380 com 380. Isso se o

visor mostrar duas casas decimais.

Se a loja tivesse oferecido um desconto de 5%, então no final deveria clicar

menos ao invés de mais.

1.6 CASAS DECIMAIS

Se você quiser 3 casas decimais, é fácil: clique [f] e 3.

Se quiser duas casas decimais, clique [f] e 2, ou lá quantas casas decimais

desejar.

Se você clicar apenas CLx estará limpando apenas o visor.

Se você clicar f e CLx, estará acionando REG, em dourado, acima da tecla

CLx. Assim, não só limpa o visor como também os registros operacionais, evitando

erros.

1.7 PILHA OPERACIONAL

INÍCIO

T

8

Z

Y

X

COMANDO

A calculadora HP 12c possui quatro memórias X, Y, Z e T para operações, mas

somente a memória X fica no visor. É ela que você vê. Entretanto, aqui vamos mostrar

todas as quatro que formam a pilha operacional.

Como exemplo, vamos calcular 80 mais 20% de 80.

T

Z

Y

X 80,

COMANDO 80

Clicando 80 ele aparece no visor, que é a memória X.

T

Z

Y 80,00

X 80,

COMANDO ENTER

Clicando ENTER, o 80 sobe para a memória Y, mas fica uma cópia no visor.

T

Z

Y 80,00

X 20,

COMANDO 20

Quando você entra com o segundo dado, 20, ele substitui o 80 do visor.

T

Z

Y 80,00

X 16

COMANDO %

Clicando na tecla de porcentagem %, a calculadora opera 20% de 80,

aparecendo 16 no visor.

9

T

Z

Y

X 96,00

COMANDO +

Clicando a tecla de adição, ela desce o 80 e opera 16 + 80, ficando 96 no visor.

Quando clicamos uma operação aritmética, ela opera com os dados das

memórias X e Y.

1.8 FUNÇÕES DAS TECLAS

Cada tecla da calculadora HP 12c possui até três funções.

Observe a tecla do n. Na parte de baixo, em azul está escrito 12 x.

Acima da tecla está escrito AMORT. São três comandos diferentes.

Por isso, quando você clica [f] e CLx, na verdade está acionando REG que

limpa os registros da pilha operacional.

Cada tecla da calculadora HP 12c possui até três funções.

Observe a tecla do n. Na parte de baixo, em azul está escrito 12 x.

Acima da tecla está escrito AMORT. São três comandos diferentes.

Clicando diretamente a tecla n, aciona a função n.

Clicando a tecla f dourada e n, aciona a função dourada AMORT.

Clicando a tecla g azul e n, aciona a função azul 12 x.

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Clicando diretamente a tecla n, você estará acionando a função n.

Clicando a tecla f dourada e n, aciona a função dourada AMORT.

Clicando a tecla g azul e n, aciona a função azul 12x.

Por isso quando você clica [f] e CLx, na verdade está acionando REG que

limpa os registros da pilha operacional.

1.9 VARIAÇÃO PORCENTUAL

Comprei uma mercadoria por

$50,00 e vendi a $60,00.

Qual foi a porcentagem de lucro?

COMANDO

VISOR

f CLx

0

Digitar f CLx para limpar os registros.

50 ENTER 60

50,00 50,00 60,00

Digitar os dados: 50 e 60 separados pelo ENTER.

11

∆%

20

Por fim, clicar na tecla de variação porcentual ∆%.

No visor aparecerá 20

Essa operação calcula quanto por cento a diferença de dois valores fica em

relação ao primeiro valor.

Depois de pronta, a tabela ficará assim:

COMANDO f CLx 50 ENTER 60 ∆%

VISOR 0,00 50,00 50,00 60,00 20,00

1.10 PORCENTAGEM DE UM NÚMERO EM RELAÇÃO A OUTRO

No Ensino Médio de um Colégio havia 3 turmas.

1º ano 2º ano 3º ano

48 alunos 39 alunos 29 alunos

Qual é o percentual de alunos do 3º ano, em relação ao total de alunos?

COMANDO f CLx

VISOR 0,00

Digitar f CLx para limpar os registros.

COMANDO f CLx 48 ENTER 39

VISOR 0,00 48,00 48,00 39,00

Vamos calcular o total de alunos.

Digitamos 48, ENTER e 39 das duas primeiras salas.

COMANDO f CLx 48 ENTER 39 +

VISOR 0,00 48,00 48,00 39,00 87,00

12

Teclando + aparece a soma 87. Ao mesmo tempo, o + jogou o 87 para a

memória Y, deixando uma cópia no visor. O + vale como ENTER.

COMANDO f CLx 48 ENTER 39 + 29

VISOR 0,00 48,00 48,00 39,00 87,00 29,00

Então digitamos o 3º número 29, que empurra o 87 para a memória Y. Assim

temos 29 no visor e 87 em Y.

COMANDO f CLx 48 ENTER 39 + 29 %T

VISOR 0,00 48,00 48,00 39,00 87,00 29,00 25,00

Em seguida, vamos fazer a operação porcentagem do total. Basta apertar a

tecla %T que aparece 25 no visor.

Portanto o 3º ano representa 25% do total de alunos.

1.11 CALCULANDO JUROS SIMPLES

Juros é apenas um tipo de porcentagem. É a porcentagem de um capital.

Vamos começar com juros simples.

Rodrigo emprestou R$800,00 a um amigo.

Esse valor foi devolvido em 90 dias, acrescido com juros simples de 8% a.a.

Quanto Rodrigo recebeu de volta?

Você pode resolver esse problema digitando na calculadora HP 12c as teclas:

Vamos repassar cada tecla:

DADOS f CLx

VISOR 0,00

Não vamos nos esquecer de iniciar com as teclas f e CLx, que limpam o visor e

a memória operacional.

DADOS f CLx 90 n

VISOR 0,00 90,00

Depois digitamos o tempo em dias. Digitamos 90 e a tecla n, indicando o

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número de períodos, e que vale como ENTER, empurrando o 90 para a memória Y.

DADOS f CLx 90 n 8 i

VISOR 0,00 90,00 8,00

Você deve teclar 8 e i, informando a taxa de juros, que deve ser ao ano.

Também o i vale como ENTER.

DADOS f CLx 90 n 8 i 800 CHS PV

VISOR 0,00 90,00 8,00 800,00

Digitamos 800 que é o capital emprestado.

A tecla CHS muda o sinal, isso por causa das convenções de fluxo de caixa.

Nesse caso é uma saída, um empréstimo. No fim haverá uma entrada do capital mais

os juros.

Com a tecla PV armazenamos o valor principal ou valor presente, aparecendo

800,00 no visor.

Não importa a ordem com que entramos com esses três dados.

DADOS f CLx 90 n 8 i 800 CHS PV f i

VISOR 0,00 90,00 8,00 800,00 16,00

Clicando f e i você aciona o INT, laranja acima da tecla, aparecendo 16,00 no

visor, que são os juros.

DADOS f CLx 90 n 8 i 800 CHS PV f i +

VISOR 0,00 90,00 8,00 800,00 16,00 816,00

Por fim, digitando a tecla +, aparece 816,00 no visor, que é o quanto Rodrigo

receberá de volta. 800 mais os juros.

A HP está programada para efetuar esses cálculos com o tempo em dias e a

taxa ao ano.

1.12 A HP 12c

14

,

As teclas n, i e PV são para entrar com os dados: períodos, taxa e capital.

Você pode digitar essas 3 entradas em qualquer ordem.

1.13 CONVENÇÕES

Taxa é porcentagem! Porém, usamos o termo taxa, quando se trata de cálculos

financeiros.

Juro é um aluguel do capital. É o resultado da multiplicação do capital pela

taxa de juros.

Montante é isso: o capital inicial acrescido dos juros rendidos no período do

empréstimo.

Este sistema de juros simples não é muito utilizado, mas deve ser estudado

como preparação para o estudo dos juros compostos.

Com juros simples, a taxa i é sempre aplicada ao capital inicial.

Montante é a soma do capital com os juros.

Juro é a remuneração de um capital aplicado.

Taxa é a porcentagem para aplicar a dinheiro. Escrevemos i%.

Em resumo. Para calcular juros simples, você deve digitar: a) O número de dias e [n] b) A número da taxa anual e [i] c) O número do valor principal, depois CHS e PV d) [f] [i] que calcula os juros e) [+] calcula a soma do capital com os juros.

15

1.14 FÓRMULAS MATEMÁTICAS

Um capital de 10 mil reais, com a taxa de 18 por cento ao ano, durante 4

meses. Que juros simples rende?

Já sabemos que o resultado é obtido na HP 12c teclando:

f, CLx; o período é de 120 e clicar n; a taxa é de 18 por cento e clicar i; entrar

com o capital de 10.000. CHS para trocar o sinal e PV. Pronto! Já entramos com os

dados. Para calcular, teclar f e i, encontrando R$600,00 para os juros.

IMPORTANTE! Lembra-se de que nessa forma de cálculo na HP o tempo deve

ser em dias e a taxa deve ser ao ano.

10.000 x 4 x 1,5%

Esse valor pode ser também encontrado multiplicando 10.000 por 4 e por 1,5%,

ou seja, multiplicar o capital P pela taxa de juros de um período e ainda multiplicar pelo

número de períodos n, isto é, P vezes i vezes n.

Por que 1,5%?

18/12 = 1,5 = 0,015

Como o período está em meses, então a taxa também deverá ser em meses.

18 por cento ao ano é o mesmo que 18 dividido por 12 por cento ao mês. 18 dividido

por 12 é 1,5. Lembre-se de que 1,5% = 0,015.

A calculadora está programada para efetuar os cálculos com o tempo em dias

e a taxa ao ano. Mas, se você não vai usar a programação e vai fazer os cálculos

usando as teclas de operações aritmética, então deve uniformizar o tempo e a taxa.

j = Pin = 10.000 0,015 4 = 600

Desse modo, as contas são: juros igual a P vezes i vezes i, ou seja, principal

vezes a taxa vezes o número de períodos, ficando 10.000 vezes 0,015 vezes 4, que

vale 600,00

DADOS f CLx 120 n 18 i 10.000 CHS PV f i

VISOR 0,00 90,00 8,00 10.000,00 600,00

C = 10.000 i = 18% a.a. n = 4 meses j = ?

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Então, digitar na HP: 10.000 Enter 0,015 [ ] 4 [ ]

Ou em outra calculadora 4 [ ] 0,015 [ ] 10.000 [=]

j = Pin

A fórmula aritmética para juros simples é: j igual ao produto de P por i e por n.

Com ela você pode obter outras três fórmulas, veja:

Principal Taxa Períodos

P = i = n =

Para o cálculo do Principal P, dividimos os juros pelo produto de i por n.

Para o cálculo da Taxa i, dividimos os juros pelo produto de P por n.

Para o cálculo do número de períodos n, dividimos os juros pelo produto de P

por i.

São sempre os quatro números P, J, I e N, ficando do lado esquerdo aquele

que você procura e, na fração, os outros três com J no numerador.

Pronto! Juros simples e só isso. Agora é treinar bastante.

2 JUROS COMPOSTOS

2.1 O QUE SÃO JUROS COMPOSTOS?

Dona Clotilde emprestou R$10.000,00 ao seu vizinho cobrando 3% de juros ao

mês.

Assim, recebia R$300,00 cada mês.

Quando ela adoeceu, deixou acumular juros de dois meses.

O vizinho lhe entregou os R$600,00. Mas ela reclamou.

1º mês 10.000 3% = 300

2º mês 10.300 3% = 309

300 eram juros e 9 era juro sobre 300, era juro sobre juro.

VOCÊ ME DEVE 609 E NÃO 600,

PORQUE VOCÊ FICOU COM MEUS

300 DURANTE UM MÊS A 3%.

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Quem está com a razão?

JURO COMPOSTO É ESSA CONTAGEM DE JURO SOBRE JURO.

2.2 RENDIMENTO DE UMA ÚNICA APLICAÇÃO

Você depositou R$4.000,00 na caderneta de poupança que rende 2% ao mês.

Quanto terá depois de 8 meses?

Na calculadora financeira HP 12c, faça assim:

DADOS f CLx FIN

VISOR 0,00

a) Teclamos [f], CLx e FIN para limpar os registros financeiros.

DADOS f CLx FIN 2 i

VISOR 0,00 2,00

b) Entramos com o dado 2 e teclamos i para informar que é taxa de juros. No

visor aparece 2,00.

DADOS f CLx FIN 2 i 8 n

VISOR 0,0 2,00 8,00

c) Teclamos 8 e depois n para informar que é o número de períodos. No visor

aparece 8,00.

DADOS f CLx FIN 2 i 8 n 4000 CHS PV

VISOR 0,0 2,00 8,00 4.000,00

d) Entramos com o valor 4.000 e CHS que muda o sinal de acordo com as

convenções de fluxo de caixa. Depois teclamos PV, informando que é o capital ou

valor presente. No visor aparece 4.000,00.

DADOS f CLx FIN 2 i 8 n 4000 CHS PV FV

VI

SOR 0,0

2

,00

8

,00

4.000,

00

4

.686,64

e) Finalmente entramos com FV que é o pedido. Valor futuro. Aparece no visor

4.686,64, que indica o resultado final da operação de deixar R$4.000,00 durante 8

meses rendendo juros de 2% a.m.

18

A taxa está em meses e o período também, nesse problema.

FIQUE ATENTO(A)! Taxa e período sempre devem estar na mesma

unidade de tempo.

São 4 informações: i, n, PV e FV. Com os três primeiros acabamos de calcular

o 4º, mas, de fato, com três quaisquer desses dados, calculamos o quarto.

Na apostila há muitos exercícios desse tipo e você deverá realizá-los para

praticar o que aprendeu até agora.

2.3 AS FUNÇÕES FINANCEIRAS

São cinco as funções financeiras:

n Número de períodos, de prestações, tempo, prazo.

i Taxa de juros, remuneração do capital, interesse.

PV Valor presente, valor atual, capital inicial, valor principal (present value).

PMT Valor das prestações, parcelas.

FV Montante, Valor futuro (future value).

Vamos começar com as quatro funções n, i, PV e FV, pensando em uma única

aplicação, deixando PMT das varias aplicações, ou prestações, para logo depois.

Vamos começar com um exemplo.

Valor presente Taxa de juros Nº de períodos Valor futuro

3.200,00 1,5% a.m. 12 meses 3.825,98

Depositando R$3.200,00 em uma caderneta de poupança que rende 1,5% ao

mês, depois de um ano o montante será de R$3.825,98.

Conhecendo três desses quatro valores, podemos calcular o quarto.

2.3.1 CÁLCULO DO VALOR FUTURO


mês, qual será o montante, depois de um ano?.


3.200,00 1,5% a.m. 12 meses ? ? ?

Digitar os três valores dados i, n. PV e, por último, o FV procurado:

19

f CLx 1,5 i 12 n 3.200 CHS PV FV

No visor aparece 3.825,98, que é o FV

2.3.2 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE

Uma caderneta de poupança rende 1,5% ao mês. Qual o valor da quantia

inicial que capitalizou 3.825,98 em um ano?


? ? ? 1,5% a.m. 12 meses 3.825,98

Digitar os três valores dados i, n. FV e, por último, o PV procurado:

f CLx 1,5 i 12 n 3.825,98 CHS FV PV

No visor aparece R$3.200,00.

2.3.3 CÁLCULO DA TAXA

Uma quantia de R$3.200,00 depositada em uma caderneta de poupança

capitalizou R$3.825,98, depois de um ano. Qual foi a taxa da aplicação?


3.200,00 ? ? ? 12 meses 3.825,98

Digitar os três valores dados PV, n. FV e, por último, o i procurado:

f CLx 3.200,00 CHS PV 12 n 3.825,98 FV i

No visor aparece 1,50, significando1,5%.

20

2.3.4 CÁLCULO DO NÚMERO DE PERÍODOS


mês, em quanto tempo capitalizará 3.825,98?.


3.200,00 1,5% a.m. ? ? ? 3.825,98

Digitar os três valores dados PV, i. FV e, por último, o n procurado:

f CLx 3.200,00 CHS PV 1,4 i 3.825,98 FV n

No visor aparece 12,00, significando 12 meses.

2.3.5 RESUMO

Depositando R$3.200,00 em uma caderneta de poupança que rende 1,5%

a.m., depois de 12 meses o montante será de R$3.825,98.

Valor Futuro FV Conhecendo i, n e PV, obtemos FV.

f CLx 1,5 i 12 n 3.200 CHS PV FV

Valor Atual PV Conhecendo i, n e FV, obtemos PV.

f CLx 1,5 i 12 n 3.825,98 CHS FV PV

Taxa i Conhecendo PV, n e FV, obtemos i.

f CLx 3.200,00 CHS PV 12 n 3.825,98 FV i

Número de períodos n Conhecendo PV, i e FV, obtemos n.

f CLx 3.200,00 CHS PV 1,4 i 3.825,98 FV n

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2.4 OS JUROS

Os juros são a diferença entre o valor futuro e o valor presente, FV PV..

j = FV PV e FV = PV + j

Um capital de $ 8.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante dois anos, à

taxa de 2,5% a.m. Calcule os juros auferidos no período.

f CLx 2,5 i 24 n 8.000 CHS PV FV 8.000

Assim, calculamos o FV e, para calcular os juros, vamos subtrair o capital

inicial R$8.000,00.

Assim encontramos os juros que foram de R$6.469,81.

Veja que calculamos FV normalmente, depois retiramos os 8.000 aplicados,

restando os juros.

2.5 DESCONTO

Veja essas duas situações:

1ª situação:

Você fez o seguinte investimento em uma instituição financeira:

PV Taxa Períodos FV

5.326,27 1,5% a.m. 8 meses ? ? ?

Quanto resgatou no final de 8 meses?

Você deve ter encontrado R$6.000,00

2ª situação:

Agora, vamos fazer ao contrário.

Você deve um título de R$6.000,00 a uma instituição financeira que trabalha

com juros de 1,5% a.m. e com vencimento daqui a 8 meses. Que valor teria que

pagar para resgate hoje?

Basta calcular o PV.

Se quiser o valor do desconto, calcule FV PV.

Esse é o chamado desconto por fora, que é o usual.

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2.6 COMPREENDENDO UMA ÚNICA APLICAÇÃO

Dona Clotilde emprestou R$10.000,00 ao seu vizinho, a 3% ao mês.

10.000 3% a.m.

E combinou de retirar o montante depois de 10 meses, contando juros sobre

juros.

Capital inicial 10.000

Um mês

Dois meses

Três meses

10 meses

Capital inicial de R$10.000,00


Um mês 10.300

Dois meses

Três meses

10 meses

Depois de um mês os juros de R$300,00 seriam incorporados ao capital que

passaria a R$10.300,00.


Um mês 10.300

Dois meses 10.609

Três meses

10 meses ? ? ?

No fim do segundo mês, a taxa de 3% incide sobre R$10.300,00 e os juros

seriam de R$309,00. Assim, o empréstimo passaria ser de R$10.609,00 e não

R$10.600,00.


Um mês 10.300

23

Dois meses 10.609

Três meses 10.927,27

10 meses ? ? ?

Com três meses ficaria R$10.927,27 e não R$10.900,00.

E assim por diante.

Qual seria o montante depois de 10 meses?

DADOS f CLx FIN 3 i 10 n 10.000 CHS PV FV

VISOR 0,0 3,00 10,00 10.000,00 13.439,16

No fim de 10 meses, com juros sobre juros, dona Clotilde receberia

R$13.439,16 e não R$13.000,00, como seria com juros simples.

Aplicar juros compostos é contar juros sobre juros.

2.7 EXPONENCIAL VERSUS LINEAR

12

meses

1

2.000

0

12

meses

0

24

Seu Gastão fez dois investimento iguais de R$12,000,00 cada um.

O primeiro investimento rendia juros simples de 3% ao mês.

O segundo rendia juros compostos de 2,6% ao mês.

A taxa de juros composto é de 2,6%, que é menor que a taxa de juros simples

de 3%.

Mas a curva de juros compostos é gráfico de exponencial.

Logo depois do início em zero, está abaixo da linha de juros simples

Mas a contagem dos juros compostos é de juros sobre juros e com 12 meses

ultrapassou a outra,

2.8 VALOR FUTURO DE VÁRIAS APLICAÇÕES

Até aqui vimos uma única aplicação e agora, passaremos a várias aplicações.

12

meses

1

2.000

Sim

ples

Compo

sto

0

12

meses

1

2.000

Sim

ples

0

25

André quer comprar uma mobília daqui a 4 meses, para a casa nova. Para

isso, fez quatro depósitos mensais de R$500,00 em uma poupança que rende 2% a.m.

Quanto capitalizará no final dos 4 meses?

Veja o fluxo de caixa.

Temos quatro saídas de caixa e o valor futuro FV que André vai receber da

financeira, após 4 meses.

As prestações são antecipadas, isto é, são feitas nos inícios de cada período.

f CLx FIN 2 i 4 n 500 CHS PMT g 7 FV

0,00

Para calcular o Valor Futuro na HP, devemos:


0,00 2,00 4,00

a) Entrar com os dados 2i e 4n. No visor ficam 2,00 e 4,00.


0,00 2,00 4,00 500,00

b) Entrar com o valor da prestação 500 e teclar CHS para mudar o sinal,

indicando saída de caixa.

Tecle PMT indicando que 500,00 é prestação e são 4 por causa do 4n.


0,00 2,00 4,00 500,00 500,00

d) Clicar [g] [7] para acionar o BEGIN (início) indicando que os pagamentos

serão efetuados no início de cada período. Ao contrário de [g] [8], que é END (final).

500 500 500

500

1 2 3

4

26


0,00 2,00 4,00 500,00 500,00 2.102,02

e) Teclar FV, que calcula o total capitalizado no final dos 4 meses, que é

R$2.102,02.

André terá R$2.102,02 para comprar a mobília.

2.9 VALOR PRESENTE DE VÁRIAS APLICAÇÕES

André comprou uma mobília em quatro prestações mensais de R$500,00, sem

entrada. Qual é o valor à vista da mobília se a financeira cobra juros de 2% a.m.?

Veja o fluxo de caixa.

Temos uma entrada de caixa PV, que é o valor presente que você vai receber

da financeira. E temos as quatro saídas das parcelas a serem pagas à financeira.

As prestações são postecipadas, isto é, são feitas nos finais de cada período.

f CLx FIN 2 i 4 n 500 CHS PMT g 8 PV

0,00

Para calcular o Valor Presente na HP, devemos:


0,00 2,00 4,00 500,00

a) Entrar com os três dados 2i, 4n, 500 CHS PMT.

b) Teclar [g] [8], acionando END, indicando que as parcelas serão pagas no

500 500 500

500

1 2 3

4

27

final de cada período.

Se a palavra BEGIN estiver no visor, teclar [f] [8] para retirá-la. Se não estiver,

não precisa acionar o END.


0,00 2,00 4,00 500,00 500,00


0,00 2,00 4,00 500,00 500,00 1.903,02

c) Com PV, aparece no visor o valor 1.903,02.

Assim, o empréstimo foi de R$1.903,86 que a loja recebe à vista. André paga 4

vezes 500.

Qual é melhor, pedir emprestado para comprar e pagar juros ou poupar para

comprar e receber juros?

2.10 VALOR DA PARCELA PMT

André está comprando uma mobília anunciada por R$1.900,00 em 4 parcelas

iguais, sem entrada. Qual seria o valor das prestações, se os juros são de 2%?

f CLx FIN 2 i 4 n 1.900 CHS PV PMT

0,00 2,00 4,00 1.900,00 498,99

Digitamos os quatro dados, 2i, 4n e PV. Em seguida o pedido PMT.

Obtemos 498,99 para as prestações que arredondando fica R$500,00.

2.11 TAXA DE JUROS DE VÁRIAS APLICAÇÕES

André está comprando uma mobília que está anunciada por R$1.900,00, em 4

parcelas iguais de R$500,00, sem entrada. Qual seria a taxa de juros?

f CLx FIN 4 n 500 CHS PMT 1.900 PV i

0,00 4,00 500,00 1.900,00 2,08

Digitamos os quatro dados, 4n, PMT e PV. Em seguida o pedido i.

28

Obtemos 2,08% para a taxa de juros

2.12 NÚMERO DE PERÍODOS n

André está comprando uma mobília que está anunciada por R$1.900,00 , em

parcelas iguais de R$500,00, sem entrada e com taxa de juros de 2% a.m.. Qual seria

o número de prestações?

CLx FIN 2 i 500 CHS PMT 1.900 PV n

0,00 2,00 500,00 1.900,00 4,00

Digitamos os quatro dados, 2i, PMT e PV. Em seguida o pedido n.

Portanto, são 4 prestações.

2.13 PRESTAÇÕES ANTECIPADAS E POSTECIPADAS

Compare esses dois fluxos de caixa.

No primeiro as quatro parcelas são efetuadas nos finais dos períodos e são

chamadas postecipadas.

Para isso, acionar [g] [8], ou seja, END.

Nesse caso, os pagamentos são feitos sem entrada.

No segundo as quatro parcelas são efetuadas nos inícios dos períodos e são

chamadas antecipadas.

Para isso, acionar [g] [7], ou seja, BEGIN.

Nesse caso, você pode pensar em 4 prestações antecipadas, mas pode

também pensar em 3 postecipadas, com entrada igual a uma prestação.

500 500 500

500

1 2 3

4 500 500 500

500

1 2 3

4

29

Estando a palavra BEGIN no visor, está funcionando [g] [7]. Não estando, vale

[g] [8].

2.14 PRESTAÇÕES COM ENTRADA

Veja o fluxo de caixa

São 4 prestações de 500 e mais uma entrada de 800 para pagar uma compra.

Vamos supor prestações mensais e juros de 1,5% a.m.

Qual é o valor da compra?

PV é o valor do financiamento:

DADOS f CLx

VISOR 0,00

Entramos com os dados 1,5 i; 4n e o valor 500 das prestações.

DADOS f CLx 1,5 i 4 n 500 CHS PMT PV

VISOR 0,00 1,50 4,00 500 800,00

Teclando PV, calculamos o valor presente.

DADOS f CLx 1,5 i 4 n 500 CHS PMT PV 800 +

VISOR 0,00 1,50 4,00 500 1.903,02 800,00 2.703,02

Adicionando PV com a entrada de 800 reais, obtemos o valor do móvel que era

de R$2.702,02.

R$800,00 foi pago à vista e o restante, R$1.903,02, financiados em 5 vezes.

Você pode também pensar que 800 é uma entrada de 300, restando 5

parcelas antecipadas de 500. Dá no mesmo.

800 500 500 500

500

1 2 3

4

30

2.15 PRESTAÇÕES COM CARÊNCIA


São 5 prestações mensais de 450, para começar a pagar depois de 90 dias.

Os juros eram de 1,5% a.m.


Se esse empréstimo fosse feito daqui a 3 meses, teríamos um PV1 dado por:

DADOS f CLx 1,5 i 5 n 450 CHS PMT [g] [7] PV1

VISOR 0,00 1,50 5,00 450,00 450,00 2.184,47

E teríamos um financiamento de R$2.184,47. Mas isso, daqui a três meses.

O empréstimo foi menor que PV1, porque ficou 3 meses rendendo juros.

Vamos chamá-lo de PV2 e temos que:

PV1 = PV2 1,0153, logo, PV2 = PV1x1,015 3.

Assim, obtemos: PV2 = 2.089,04

O empréstimo foi de R$2.089,04.

Depois de 3 meses estava em R$2.184,47, quando começaram os 5

pagamentos de R$450,00.


São 5 prestações mensais de 450, para começar a pagar depois de 90 dias.

P

V1

450 450 450 450

450

1 2 3 4

5

P

V2

P

V1

450 450 450 450

450

1 2 3 4

5

P

V2

31

Os juros eram de 1,5% a.m.


Se esse empréstimo fosse feito daqui a 3 meses, teríamos um PV1 dado por:

DADOS f CLx 1,5 i 5 n 450 CHS PMT [g] [7] PV1

VISOR 0,00 1,50 5,00 450,00 450,00 2.184,47

E teríamos um financiamento de R$2.184,47. Mas isso, daqui a três meses.

O empréstimo foi menor que PV1, porque ficou 3 meses rendendo juros.

Vamos chamá-lo de PV2 e temos que:

PV1 = PV2 1,0153, logo, PV2 = PV1x1,015 3.

Assim, obtemos: PV2 = 2.089,04

O empréstimo foi de R$2.089,04.

Depois de 3 meses estava em R$2.184,47, quando começaram os 5

pagamentos de R$450,00.

2.16 CONTAGEM DE TEMPO

Seu Dagoberto plantou um abacateiro em 18/07/1937,que deu abacates até

13/05/2013? Quantos dias o abacateiro ficou produtivo?

DADOS f CLx

VISOR 0,00

DADOS f CLx g 4

VISOR 0,00 0,00

a) Teclando g 4, acionamos D.MY que muda para o modo brasileiro de representar datas: dia/mês/ano

DADOS f CLx g 4 18.091937 ENTER 13.052013

VISOR 0,00 0,00 18.091937 18.091937 13.052013

b) Entramos com as duas datas: 18.091937, ENTER e 08.011999. Sempre: dia, ponto, mês e anos juntos.

DADOS f CLx g 4 18.091937 ENTER 13.052013 g EEX

VISOR 0,00 0,00 18.091937 18.091937 13.052013 27.631,00

32

c) Teclando g EEX, acionamos D DYS, que calcula o número de dias.

Aparece no visor: 27.631, que é o número de dias.

Se quisermos, dividimos por 365, encontrando 75 anos e 7 décimos de ano, o

que dá 75 anos, 8 meses e meio.

Bastante tempo comendo abacates, não é mesmo?

2.17 DIA DA SEMANA

Em que dia da semana Dagoberto plantou o abacateiro?

DADOS f CLx

VISOR 0,00

DADOS f CLx g 4 18.091937 ENTER 0

VISOR 0,00 0,00 18.091937 18.091937 0,00

a) [g] [4] muda o sistema para o brasileiro. b) Entrar com os dados da data e zero, que é do programa.

DADOS f CLx g 4 18.091937 ENTER 0 g CHS

VISOR 0,00 0,00 18.091937 18.091937 0,00 18.091937 6

c) Teclando g CHS, acionamos DATE, que faz os cálculos. Aparece no visor: 18.091937 6. O 6 significa sábado, de acordo com a tabela: 1 = SEGUNDA FEIRA 2 = TERÇA FEIRA 3 = QUARTA FEIRA 4 = QUINTA FEIRA 5 = SEXTA FEIRA 6 = SÁBADO 7 = DOMINGO O Sr. Dagoberto tirou o fim de semana para mexer na horta.

apostila - matematica financeira

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