apostila fgv - matematica financeira

8/10/2019 Apostila FGV - Matematica Financeira

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ii Verso 1, 2011, Maro

Sumrio

1. PROGRAMA DA DISCIPLINA 1

1.1 EMENTA 11.2 CARGA HORRIA TOTAL 1

1.3O

BJETIVOS 1

1.4 CONTEDO PROGRAMTICO 11.5 METODOLOGIA 21.6 CRITRIOS DE AVALIAO 21.7 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 2CURRICULUM VITAE DO PROFESSOR 3

2. TEXTO PARA ESTUDO 4

2.1 FUNDAMENTOS 4

2.2 JUROS SIMPLES 82.2.1 MTODO HAMBURGUS 142.3 JUROS COMPOSTOS 172.3.1 SRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS 272.4 TAXAS 312.4.1 TAXA EQUIVALENTE E PROPORCIONAL (JUROS SIMPLES) 312.4.2 TAXAEQUIVALENTE,EFETIVA E NOMINAL(JUROS COMPOSTOS) 332.4.3 TAXA DE INFLAO 422.4.4 DESVALORIZAO MONETRIA ASSOCIADA INFLAO 482.4.5 TAXA DE JUROS NOMINAIS E REAIS 49

2.5 VALOR PRESENTE DE UM FLUXO DE CAIXA 522.6 EQUIVALNCIA DE FLUXOS DE CAIXAS 602.6.1 PLANOS EQUIVALENTES DE PAGAMENTOS 602.6.2 SISTEMAS DE AMORTIZAO DE FINANCIAMENTOS 692.7 VALOR PRESENTE LQUIDO VPL 762.8 TAXA INTERNA DE RETORNO TIR 822.9 DESCONTO DE DUPLICATAS 89

3. MATERIAL COMPLEMENTAR 104


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Matemtica Financeira Prof. Marcos Bezerra

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1. PROGRAMA DA DISCIPLINA

1.1 Ementa

Juros simples e Juros compostos. Valor do dinheiro no tempo. ValorPresente e valor Futuro. Equivalncia de taxas de juros e equivalnciade fluxos de caixa. Sistemas de amortizao Price, SAC e SAM.Anlise de Investimentos. Valor Presente Lquido (VPL) e Taxa

Interna de Retorno (TIR).

1.2 Carga horria total

24 horas/aula

1.3 Objetivos

Permitir ao aluno:

Conhecer e compreender as definies e simbologias empregadasnas prticas do mercado financeiro.

Visualizar a importncia dos mtodos quantitativos no processodecisrio financeiro.

Praticar os clculos utilizados na obteno dos parmetros que dosustentao s tomadas de deciso no cotidiano do mercado.

1.4 Contedo programtico

Juros simples: Conceito de juros simples. Desconto de duplicatas.Desconto de ttulos. Valor de face e valor de mercado.

Juros compostos: Conceito de juros compostos. Valor do dinheiro notempo. Valor presente e valor futuro.

Equivalncia de taxas de juros e equivalncia de fluxos de caixa.Perodos de Capitalizao. Taxas anuais, mensais e dirias.Equivalncia de fluxos de caixa. Perpetuidades e anuidades. Sistemasde amortizao Price, SAC e SAM.

Anlise de Investimentos: Valor Presente Lquido e Taxa Interna deRetorno. Taxa de desconto. Valor e custo. Problemas da TIR.


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1.5 Metodologia

Aulas tericas expositivas intercaladas com sesses de exerccios de

aplicao prtica.1.6 Critrios de avaliao

Prova Individual (sem consulta) 70%Exerccios da lista 30%

1.7 Bibliografia recomendada

PUCCINI, Abelardo L.. Matemtica Financeira Objetiva e Aplicada. 8a

Ed. So Paulo: Saraiva, 2009.

TOSI, Armando Jos. Matemtica financeira com nfase em ProdutosBancrios, 3aEd. So Paulo: Atlas, 2009.

ASSAF NETO, Alexandre. Matemtica Financeira e suas Aplicaes.11aEd. So Paulo: Atlas, 2009.

ZENTGRAF, Roberto. Matemtica Financeira Objetiva. 8a Ed. Rio deJaneiro: ZTG, 2009.


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Curriculum Vitae do Professor

Marcos Antnio Bezerra. Mestrado em Engenharia pela Universidadede Braslia UnB. Ps-Graduado em Transporte Areo, Aeroportos eGesto da Aviao Civil pela Universidade de Braslia - UnB. Ps-Graduado em Anlise de Sistemas pela Universidade Veiga deAlmeida. Engenheiro Civil pela Universidade Veiga de Almeida.Consultor de Aviao Civil. Professor das disciplinas de MtodosQuantitativos Aplicados Contabilidade, Matemtica, PesquisaOperacional, Economia, Anlise Financeira e Contbil e MatemticaFinanceira em cursos de graduao e ps-graduao.


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2. TEXTO PARA ESTUDO

2.1 Fundamentos

Nesta seo sero apresentados os conceitos utilizados no contextofinanceiro.

Atravs da utilizao de exemplos, sero expostas as principaisdefinies relativas ao assunto.

DEFINIES

Juro o valor pago/recebido pela captao/aplicao do capital.Ou seja, o valor pago ou recebido pelo aluguel do capital. O jurotem por objetivo compensar quele que disponibiliza o capital emfuno dos seguintes fatores: risco, custo de oportunidade edepreciao do capital.

Capitalizao - a correo do capital em funo do tempo. Aoprocesso inverso chamamos de Descapitalizao.

Exemplo:

Data 27/04/X1 09/10/X1

Saldo da Aplicao $10.000,00 $14.000,00

Perodo de Capitalizao - o perodo compreendido entre doismomentos consecutivos de apurao dos juros devidos.

Exemplo:A Poupana tem perodo de capitalizao igual a 1 ms.

Prazo representado pela letra n. igual ao nmero de perodosde capitalizao envolvidos na operao.

Capitalizao

Descapitalizao


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Exemplo:Saldo

Aplicao (10% ao $1.000,00 $1.000,00

Juros do 1o

perodo: $100,00 1.000 + 100 =Juros do 2operodo: $110,00 1.100 + 110 =Juros do 3operodo: $121,00 1.210 + 121 =

Valor Presente ou Principal - o valor do capital utilizado no incioda operao financeira, ou seja, antes de sofrer qualquer processo decapitalizao.

Exemplo:

Voc aplicou $1.000,00 e resgatou $1.200,00 aps 3 meses.Principal da operao: $1.000,00

Valor Futuro ou Montante - representa a soma do valor presentecom os juros devidos no momento da sua apurao. O valor futurono est, necessariamente, associado ao fim da operao, podendoser determinado em qualquer instante posterior ao incio da mesma.

Exemplo:

Aplicao: $1.000,00Juros do 1operodo: $110,00 $1.110,00Juros do 2operodo: $110,00 $1.220,00Juros do 3operodo: $110,00 $1.330,00

Juros do 10operodo: $110,00 $2.100,00

ValoresFuturos

O DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA

a representao grfica de um conjunto de entradas e sadas decaixa, resultante de uma operao financeira.


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A linha horizontal representa uma escala temporal, onde cadasubdiviso indica um perodo de capitalizao. As movimentaesfinanceiras so representadas por setas apontadas para cima(entradas) ou para baixo (sadas).

Esta representao grfica um recurso largamente empregado nasoperaes de matemtica financeira, pois permite uma viso maisampla e mais precisa do horizonte financeiro doemprstimo/investimento.

Exemplo:

Aplicao (sada) hoje (data 0) de $1.000,00. Resgate(entrada), em trs perodos (data 3), no valor de $1.200,00.

Tempo(Perodos)

0 1 2 3 4 5

$1

$2

$3

$4

$5

$6

i

Perodos (n)

$1.200,00

0 1 2 3


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2.2 Juros Simples

O clculo dos Juros Simples feito atravs do produto das seguintesvariveis: Valor Presente, taxa de juros e prazo da operao. Logo:

niVPJuros ====

De acordo com as definies vistas anteriormente, o Valor Futuro deuma operao financeira a juros simples dado por:

niVPVPVF ++++==== - equao bsica

Podemos escrever a equao bsica das seguintes maneiras:

niVPVPVFJ

iVP

)VPVF(n

nVP)VPVF(i

)ni1(

VFVP

)ni1(VPVF

niVPVPVF

========

====

====

++++====

++++====

++++====

Onde:

n o nmero de perodos;VP o Valor Presente ou Principal valor aplicado;

i a taxa de juros expressa na forma unitria;VF o Valor Futuro; soma de juros no perodo com oprincipal;J o total de juros pagos sobre a aplicao ou

emprstimo.


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Consideraes importantes:

As taxas de juros utilizam uma notao caracterstica para as suasunidades (%), por exemplo: i = 10% ao ms = 10% a. m., i = 20%ao ano = 20% a. a., e assim por diante.

A taxa de juros e o prazo da operao devem ser compatveis,ou seja, a taxa deve ser expressa em perodos iguais aosperodos de capitalizao. Por exemplo, uma taxa de jurosmensal - i = 10% a. m. - para um investimento cujo prazo de1 ano, deve assumir em seus clculos, levando em consideraoo fato de que um ano tem 12 meses, n = 1 x 12 = 12 meses, ou

ento, conservando a unidade do prazo (n = 1 ano), modificaraquela referente a taxa de juros, admitindo nos clculos i = 10%x 12 = 120% a.a..

Quando efetuar os clculos, utilizando a equao, a taxa deveser colocada na forma unitria. Por exemplo: i = 10% a.m (naforma percentual) deve ser transformada como, i = 0,10 a.m (naforma unitria). Para se obter esta transformao, basta dividir ovalor da forma percentual por 100. Exemplo: suponha que voctem uma taxa de juros i = 15% a. a., o valor que deve seraplicado nas equaes i = 15 / 100 = 0,15 a.a..

Propriedade da proporcionalidade das taxas de juros: se vocestiver trabalhando com uma taxa de juros simples, a conversode taxa anual para mensal ou vice-versa feita por meio de umaregra de trs simples, como se segue:

i = 10% a. m. = ?% a. a.

10% est para 1 ms

X% est para 12 meses (1 ano)

Resolvendo, temos:

.m.a%120%X

%1012%X12

1

%X

%10

=

==


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Observao:

A relao de proporcionalidade descrita acima s ser vlida quandoestivermos trabalhando com regimes de capitalizao simples. Nocaso do regime de capitalizao composto, tal relao dever sersubstituda por relaes de equivalncia de taxas de juros, assuntoeste que ser abordado, oportunamente.

EXEMPLOS

Exemplo 1:

Dada uma aplicao com um rendimento de 10% ao ms, qual ser ovalor dos Juros recebidos em funo do investimento de $1.000,00durante 1 ms?

Dados: VP = $1.000,00 n = 1 ms i = 10% a. m.

Soluo:

Colocando a taxa na representao unitria:

i = 10% a. m. i = 0,10

Calculando os Juros:

00,100$Juros

110,0000.1Juros

niVPJuros

=

=

=

Resposta:Os Juros recebidos sero de $100,00.

Exemplo 2:

Um investidor aplicou $1.000,00, a uma taxa de 10% ao ms,durante 1 ms. Qual dever ser o valor de resgate da aplicao nofinal da operao?

Dados: VP = $1.000,00 n = 1 ms i = 10% a. m.

Soluo:Colocando a taxa na representao unitria:

i = 10% a. m. i = 0,10


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Calculando o Valor Futuro:

Valor Futuro = Valor Presente + JurosVF = VP + VP x i x nVF = 1.000 + 1.000 x 0,1 x 1VF = 1.000 + 100VF = $1.100,00

Resposta:O valor de resgate $1.100,00.

Exemplo 3:

Dado um pagamento futuro de $1.300,00 a ser realizado daqui a 2

anos, dentro de um regime de juros simples e sob uma taxa de 15%ao ano, qual o seu Valor Presente?

Dados: VF = $1.300,00 i = 15% a. a. n = 2 anos

Soluo:Colocando a taxa na representao unitria:

15,0i.a.a%15i ==

O valor do pagamento que ser realizado daqui a 2 anos, ou seja,num tempo futuro, deve ser admitido nos clculos como o ValorFuturo da operao.Assim, VF = $1.300,00.

Aplicando a equao:

000.1VP

3,1

300.1VP

VP3,1300.1VP0,3VP20,15VPVP1.300

niVPVPVF

=

=

=

+=+=

+=

Resposta:O Valor Presente do pagamento $1.300,00 taxa de jurosde 15% a. a. $1.000,00.


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Comentrios:

O Valor Presente de $1.000,00 representa quanto vale hoje, nascondies da operao, o pagamento futuro de $1.300,00. Assim,$1.000,00 o valor que deveria ser aplicado a uma taxa de 15% a.a., durante 2 anos, para se obter um Valor Futuro de $1.300,00.

A diferena entre o pagamento e o valor presente representa os Jurosenvolvidos na operao.

Exemplo 4:

Qual o tempo de aplicao necessrio para que uma aplicao de$2.000,00 a uma taxa de juros simples de 2% ao ms atinja o valorde $2.960,00?

Dados: VP = $2.000,00 VF = $2.960,00 i = 2% a. m.

Soluo:

meses24n

40

960

02,0000.2

)000.2960.2(

n

iVP

)VPVF(n

=

=

=

=

Resposta: O prazo de aplicao do capital deve ser de 24 meses ou 2anos.

Comentrios:

Como o valor de entrada na equao da taxa de juros se refere auma taxa mensal, o prazo determinado dado em meses. Casohouvesse uma transformao da taxa mensal em taxa anual, porexemplo, o prazo determinado estaria em anos.

Exemplo 5:

O prazo necessrio para que um certo capital dobre de valor em umaaplicao com uma taxa de juros simples de 25% ao ano de?

Dados: VP = $X VF = $2X = 2 x VP i = 25% a. a.


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Soluo:

anos4n

25,0

1

X25,0

X

25,0X

)XX2(n

iVP

)VPVF(n

=

==

=

=

Resposta: O prazo que faz uma aplicao juros simples de 25% aoano dobrar igual a 4 anos.

Comentrios:Como podemos notar, se tivermos uma relao entre os valoresfuturo e presente, mesmo em termos percentuais, no caso desteexemplo VP metade (50%) do VF, j ser suficiente para, dada ataxa da operao, determinar o prazo da mesma.

APLICAES PRTICAS

O regime de capitalizao simples encontra aplicao nos clculos dos

juros devidos nas operaes com cheques especiais e contasgarantidas, clculo do IOF das operaes financeiras e em algumastransaes em DOLAR, no exterior.

Operaes de desconto de duplicatas, alm de outros tipos dedescontos bancrios, utilizam o regime de capitalizao simples emseus clculos. Tais operaes sero abordadas posteriormente.

CONCLUSO

Como voc pde notar, as vrias formas de representao daequao bsica dos juros simples servem para facilitar os clculos.Voc deve estar sempre atento quela que melhor se encaixa na suanecessidade, ou melhor, solicitao do problema com o qual vocest lidando.

Se voc tem dificuldades para memorizar, no se preocupe, pois, naverdade, s existe uma equao: niVPVPVF += . Gravando estaexpresso, nenhum problema lhe escapar soluo.


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2.2.1 Mtodo Hamburgus

empregado largamente pelas instituies financeiras, nas suasoperaes de bastidores, e envolvem o regime de capitalizaosimples.

Por representar apenas uma simplificao da metodologia dos JurosSimples, pode ser utilizada nos clculos sem qualquer restrio.

A frmula:

000.3

iNJuros

os

====

Onde,

osN a soma dos produtos (valor da operao x prazoem dias),

i a taxa mensal expressa na forma percentual.

EXEMPLOS

Exemplo 1:Suponha que voc tenha feito a seguinte movimentao em suaconta bancria:

EXTRATO

Data Histrico D C Saldo

01/03/X1 Saldo 200

02/03/X1 Cheque 0100 500 (300)

08/03/X1 Cheque 0101 1.000 (1.300)

15/03/X1 Depsito em dinheiro 2.000 700

20/03/X1 Cheque 0108 2.500 (1.800)

De posse desses dados, como voc faria para saber o valor dos jurosque sero debitados em sua conta corrente em 01/04/X1, utilizando oMtodo Hamburgus? A taxa de juros cobrada pelo seu banco de9% ao ms.


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Soluo:

Determinao da soma dos nmeros ( osN ):

500.32N

600.21100.9800.1NNNN

600.2112800.1N

100.97300.1N800.16300N

os

321os

3

2

1

=

++=++=

==

==

==

Clculo dos juros devidos, substituio na frmula:

50,97$Juros000.3

9500.32

000.3

iNJuros

os

=

=

=

Clculo do IOF:

O clculo do IOF devido em funo da operao de crdito pode sercalculado da mesma forma que os juros, alterando-se apenas a taxa.Neste caso, a taxa de 9% ao ms ser substituda pela alquota do

IOF, que atualmente de 0,246% a. m.. Assim,

66,2$000.3

246,0500.32

000.3 =

=

= IOF

AlquotaNIOF

os

Resposta:Em 01/04/X1 dever ser debitado em sua conta corrente,a ttulo de pagamento de juros e IOF, os valores de $97,50 e $2,66,respectivamente.

RESUMO:

Equaes Bsicas:

niVPVPVF

niVPJuros

++++====

====


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Variveis:

VP- Valor PresenteVF- Valor Futuroi- Taxa de Jurosn- Prazo da Operao

Questes Bsicas:

Nos problemas de Juros Simples, normalmente so dados os valoresde trs das variveis e solicitado o valor da quarta varivel.

Dados Varivel Calculada

VP, i, n VF

VF, i, n VP

VF, VP, n i

VF, VP, i n

A solicitao da determinao dos juros resultantes da operao ,tambm, muito comum nos problemas envolvendo Juros Simples.

Procedimentos Importantes:

Compatibilizar as unidades da taxa de juros e do prazo da operao.

meses12121nano1n

.m.a%10i

===

=

ou

.a.a%12012%10i.m.a%10i

ano1n

===

=

Converter a taxa de juros para a representao unitria antes deaplic-la nas equaes.

Mtodo Hamburgus:

Frmula:

000.3

iNJuros

os

====


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A taxa de juros deve ser mensal e empregada na forma percentual.

Na obteno do osN , o valor individual (principal) de cada operao

deve ser multiplicado pelo respectivo nmero de dias.Ler e interpretar, com bastante ateno, os enunciados dosproblemas. O correto entendimento da operao que est sendoavaliada ser de fundamental importncia para o sucesso da soluoque voc desenvolver e, em conseqncia, da deciso que voctomar.

2.3 Juros Compostos

Nesta seo ser apresentado o regime de capitalizao composta.Os juros calculados nesse regime so conhecidos como JUROSCOMPOSTOS.

Voc vai aprender a calcular vrias grandezas, tais como: ValorPresente VP, Valor Futuro VF, Juros envolvidos nas operaes,prazos de aplicaes e emprstimos e taxas de juros. Serodesenvolvidos alguns exemplos, levando em considerao a equao

bsica.Com relao taxa de juros, utilizadas nas equaes, deveremosadotar o mesmo procedimento utilizado em juros simples, ou seja,dever ser transformada para a forma unitria.

Voc aprender, ainda, a operar a calculadora financeira HP-12C nasvrias situaes que sero apresentadas.

DEFINIES

Regime de Capitalizao Composta (Juros Compostos) - caracterizado pelo fato da taxa de juros ser aplicada, ao final de cadaperodo de capitalizao, sobre o saldo resultante da incorporao dos

juros devidos e no pagos. Portanto, nesse regime de capitalizao,os juros devidos e no pagos/recebidos passam a ser capitalizados.

Exemplo:


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SaldoAplicao (10% ao $1.000,00 $1.000,00Juros do 1operodo: $100,00 1.000 + 100 =

Juros do 2o

perodo: $110,00 1.100 + 110 =Juros do 3operodo: $121,00 1.210 + 121 =

EQUAES

Basicamente, quando voc se dispe a investir um certo capital(Principal ou Valor Presente VP) a uma dada taxa de juros i (doingls interest), por um prazo n (nmero de perodos de

capitalizao), espera, em um momento futuro, receber um certovalor (Montante ou Valor Futuro VF) que deve ser igual soma docapital aplicado com os rendimentos (Juros).

Pela colocao anterior, podemos concluir que os juros representamas diferena entre o Valor Futuro e o Valor Presente. Sendo assim,

VPVFJuros ==== .

O Valor Presente e o Valor Futuro so relacionados, em juroscompostos, levando-se em considerao a taxa i e o nmero de

perodos envolvidos na operao n, pela seguinte expresso:

n)i1(VPVF ++++====

A partir da equao bsica, podemos, por meio de manipulaesalgbricas, obter as seguintes equaes alternativas:

( )

VPVFJ

iLN

VP

VFLN

n

VP

VFi

i

VFVP

n

n

=

+

=

=

+=

1

1

)1(

1


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Onde:

J o total de juros recebidos/pagos sobre aaplicao/emprstimo;LN o logaritmo na base e (nmero de Neper).

Observaes:

Da mesma maneira como procedemos nos clculos do regime dejuros simples, as unidades do perodo da operao e da taxa de jurosdevem ser compatibilizadas. Em outros termos, se a taxa dada aoms, o prazo deve ser aplicado nas equaes em meses, se a taxa anual, o prazo tem que estar em anos, e assim por diante.

Vale lembrar, tambm, que a taxa, antes de ser substituda nasequaes, deve ser transformada para a forma unitria, ou seja, sei= 10% a. m., ento o valor de i adotado para os clculos ser i =0,10.

EXEMPLOS

Exemplo 1:

Suponha que voc obtenha um emprstimo no valor de $100,00. Oregime da capitalizao composto, a uma taxa de 10% ao ano.Aps 1 ano, qual ser o valor da sua dvida?

Dados: VP = $100,00 n = 1 ano i = 10% a. a.

Soluo:

Fazendo os clculos passo a passo:

Juros ao final de 1 ano: 10% de 100 = 10Saldo devedor ao final do ano: Emprstimo + Juros = 100 + 10 =$110,00

Vamos fazer uma comparao com Juros simples:

1 - Substituindo os valores na equao de juros compostos:

00,110$VF

)1,1(100)10,01(100VF

)i1(VPVF11

n

=

=+=

+=


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2 - Substituindo os valores na equao dos juros simples:

00,110$VF 1,1100)1,01(100)110,01(100VF

)ni1(VPVF

=

=+=+=

+=

Resposta:Aps o perodo de 1 ano, a sua dvida ser de $110,00.

Comentrios:

A utilizao dos valores na equao dos juros compostos e naequao dos juros simples nos leva a concluir que: em qualqueroperao na qual esteja envolvido um nico perodo de capitalizao

o valor futuro independer do regime de capitalizao, ou seja,VFJuros Simples= VFJuros Compostos.

Utilizando a HP-12C:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

10 i 10,00

1 n 1,00

FV -110,00

VF = FV = $110,00

O primeiro procedimento de digitao:

f CLEAR FIN

Serve para zerar todas as variveis envolvidas nas operaesfinanceiras. A ausncia de tal procedimento pode levar a grandeserros nos clculos.

O Valor Futuro e o Valor Presente so representados na calculadora,respectivamente pelas siglas FV e PV. Isto se d em funo datraduo para o ingls, Future Valuee Present Value.


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A taxa de juros deve ser lanada na calculadora na forma percentual.Por exemplo, para uma taxa de 34,56% por perodo, devemos entrarcom o valor 34,56.

Nos clculos efetuados na HP-12C tambm deve haver umacompatibilidade entre as unidades da taxa de juros e do prazo.

O sinal negativo apresentado para o Valor Futuro resulta do fato deque a calculadora trabalha em funo de um saldo nulo de entradas esadas de caixa, ou seja, ela admite que, ocorrendo uma entrada nocaixa (sinal positivo), em contrapartida, deve existir uma sadaequivalente (sinal negativo). Na prtica, despreze o sinal, utilizesomente o valor absoluto.

Exemplo 2:

Suponha que voc faa a mesma operao do exemplo anterior,porm, agora, com um prazo de 2 anos. Qual ser o valor da suadvida ao final desse prazo?

Dados: PV = $100,00 n = 2 anos i = 10% a. a.

Soluo:

Fazendo os clculos passo a passo:

Juros ao final do 1oano: Emprstimo x Taxa de Juros = 10% de 100 = 10Saldo devedor ao final do 1oano: Emprstimo + Juros = 110

Se os juros do primeiro ano no forem pagos, os Juros no final do 2oano sero: Saldo devedor x Taxa de juros = 110 x 10% = 11

Saldo devedor no final do 2operodo: Emprstimo + Juros 1o+ Juros 2o

100 + 10 + 11 = $121,00

Comparando com Juros Simples:

1 - Substituindo os valores na equao de juros compostos:

00,121$

21,1100)1,1(100)10,01(100

)1(22

=

==+=

+=

VF

VF

iVPVF n


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2 - Substituindo os valores na equao dos juros simples:

00,120$2,1100)2,01(100)210,01(100

)1(

=

=+=+=

+=

VFVF

niVPVF

Resposta:Aps dois anos a sua dvida atingir o valor de $121,00.

Comentrios:

Como voc pode perceber, j no h mais coincidncia entre osvalores calculados a juros simples e a juros compostos. importante

frisar que isso se d apenas para o primeiro perodo de capitalizao.


Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

10 i 10,00

2 n 2,00

FV -121,00

FV = VF = $121,00

Exemplo 3:

Voc pegou um emprstimo de $1.500,00, cujos juros resultam de

um processo de capitalizao composta. Supondo que voc v pagar,ao final de um perodo de 3 anos, um valor de $1.996,50, qual a taxade juros aplicada sobre esse emprstimo?

Dados: VP = $1.500,00 n = 3 anos VF = $1.996,50

Soluo:

1 - Substituindo os valores na equao de juros compostos (equaoalternativa):


24/127


23

1

1

=

n

VP

VFi

100,500.1

50,996.1 31

=i

i = 0,10 (na forma unitria) = 0,10 x 100 = 10% (forma percentual)

2 - Utilizando a HP-12C:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

1500 PV 1.500,00

1996,5 CHS FV -1.996,50

3 n 3,00

i 10

i = 10% a. a.

Obs:Os valores de PV e FV devem ter sinais opostos. No caso desteexemplo, adotamos o comando:

1996,5 CHS FV

Para efetuar a mudana do sinal do FV. A tecla CHSsignifica mudarsinal, do ingls change sign. Se tal procedimento no for adotado,aparecer no visor a indicao do erro 5, que est exatamenteassociado ao no atendimento ao princpio adotado pela calculadorado saldo nulo de entradas e sadas do caixa.

Resposta:A taxa de juros cobrada para este emprstimo de 10%ao ano.


25/127


24

Exemplo 4:

Voc pegou emprestado $2.000,00 hoje, para pagar este emprstimocom uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Sabendo que voc

ter que pagar $2.928,20 para saldara sua dvida, qual ser o prazodesse emprstimo?

Dados: VP = $2.000,00 VF = $2.928,20 i = 10% a. a.

Soluo:1 - Substituindo os valores na equao de juros compostos (equaoalternativa):

( )iLNVPVFLN

n+

=1

( )10,01

00,000.220,928.2

+

=LN

LNn 4=n


Digitar Visor

f CLEAR FIN

2000 PV 2.000,00

2928.2 CHS FV -2.928,20

10 i 10,00

n 4

n = 4 anos

Resposta:O prazo do emprstimo ser de 4 anos.

Exemplo 5:

Em funo de um emprstimo pego hoje, voc tem uma dvida,vencvel em um prazo de 2 anos, no valor $1.210,00. A taxa de juroscompostos cobrada de 10% ao ano. Assim, qual foi o valor doemprstimo?

Dados: VF = $1.210,00 n = 2 anos i = 10% a. a.


26/127


25

Soluo:

1 - Substituindo os valores na equao de juros compostos (equaoalternativa):


Digitar Visor

f CLEAR FIN

1210 FV 1.210,00

2 n 2,00

10 i 10,00

PV -1.000,00

PV = VP = $1.000,00

Resposta:O emprstimo que voc pegou foi de $1.000,00.

Exemplo 6:

Voc pegou um emprstimo de $2.000,00 hoje. O regime decapitalizao adotado nesse tipo de operao o de juros compostos.A taxa aplicada sobre o valor do emprstimo de 10% ao ano.Sabendo que voc dever pagar $2.928,20 daqui a 4 anos paraquitar o dbito, quanto voc vai pagar de juros?

Dados: VP = $2.000,00 VF = $2.928,20 i = 10% a.a. n=4 anos

Soluo:Como sabemos, os Juros de uma operao so dados pela diferenaentre o Valor Futuro e o seu Valor Presente.

Aplicando a equao:


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26

20,928$Juros

000.220,928.2Juros

VPVFJuros

=

=

=

Resposta:Voc pagar de juros $928,20.

APLICAES PRTICAS

O regime de capitalizao composta amplamente utilizado nasoperaes do mercado financeiro. Da mesma maneira que ocorre nassuas aplicaes, os emprstimos e financiamentos que voc obtm nomercado tm seus juros calculados por meio de capitalizaescompostas.

CONCLUSO

Atravs dos clculos elementares com juros compostos querealizamos, pudemos perceber, na prtica, a idia fundamental destetipo de capitalizao: os juros so sempre calculados sobre o saldodevedor que engloba o valor original da operao e a soma dos jurosno pagos.

A equao bsica dos juros compostos:

n)i1(VPVF ++++====

Como podemos observar, existem, basicamente, quatro variveis naequao dos juros compostos: a Taxa de Juros i, o Valor Presente

VP, o Valor Futuro VF e o Nmero de Perodos ou Prazo daOperao n. Sendo assim, incluindo os Juros resultantes da

operao, existem apenas cinco tipos bsicos de questes que podemser formuladas. Quais sejam: Qual o VF? Qual o VP? Qual o Prazo daOperao? Qual a Taxa de Juros? Qual o valor dos Juros?

Vale a pena recordar:

As unidades de n e de i devem estar sempre compatibilizadas nahora dos clculos.

A taxa de juros deve ser aplicada equao na forma unitria.Ex.: i = 10% = 0,10.


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27

Quando estivermos utilizando a HP-12C, a taxa deve ser colocada naforma percentual, ou seja, para uma taxa de 15%, devemos atribuiro valor 15 varivel i.

Na calculadora, os sinais dos valores monetrios, PV (VP), FV (VF) ePMT, sero sempre opostos. Na entrada de dados, quando voc tiverdois valores monetrios, lembre-se sempre de atribuir a um deles osinal negativo. Na obteno de um dos valores monetrios, desprezeo sinal e assuma apenas o valor absoluto como resposta.

Ateno redobrada na leitura dos enunciados, esta etapa fundamental para se chegar s solues corretas. No esquea,dados corretos levam a resultados e anlises corretas e, por

conseguinte, a tomadas de deciso acertadas.

2.3.1 Srie Uniforme de Pagamentos

Quando desejamos calcular o valor presente de uma dvida comvrios pagamentos distribudos ao longo do tempo, devemos calcularprimeiro o valor presente de cada parcela e, ento, som-los. Ouseja,

VPTotal= VPParc.1+ VPParc.2+ ... + VPParc.n

Ex.: VP de uma dvida a ser paga em dois pagamentos, um no finaldo ms 2 e outro no final do ms 5.

Nos casos especiais, nos quais todos os pagamentos tm o mesmo

valor, ou seja, so uniformes, e realizados dentro de intervalos de

VF2 VF5

VP = VP2+ VP5

n0 1 2 3 4 5


29/127


28

tempo regulares ms a ms, ano a ano... existe uma equao deaplicao direta relacionando as variveis envolvidas, como se segue:

Onde: Rrepresenta o valor do pagamento regular.

Nas calculadoras financeiras, o valor da prestao uniforme R representado pela sigla PMT, do ingls payment, que significapagamento. No caso das prestaes antecipadas, dever ser acionadaa funo BEG da calculadora financeira.

Ex1.: Emprstimo pago em cinco prestaes iguais, com a primeiravencendo ao final do primeiro perodo aps a operao.

Ex2.: Emprstimo pago em cinco prestaes iguais, com a primeiravencendo no incio da operao (no ato do emprstimo).

==

5

1kkVPVP

n (perodos)0 1 2 3 4 5i

R

(para prestaes postecipadas)

(para prestaes antecipadas)


30/127


29

EXEMPLOS

Exemplo 1:Um automvel est sendo financiado em 24 prestaes mensaisiguais e postecipadas a juros de 1,55% a.m.. Sabendo-se que o preo vista de $ 38.500,00. Calcule o valor das prestaes.

Dados: n = 24 i = 1,55 a.m. PV = 38.500,00

Soluo:


Digitar Visor

f CLEAR FIN

38.500 PV 38.500,00

1,55 i 1,55

24 n 24,00

PMT -1933,26

PMT = $1.933,26

Exemplo 2:

O preo de um equipamento, hoje, de $11.600,00. Uma lojaoferece as seguintes condies para a aquisio desse equipamento:$1.400,00 de entrada, e mais quatro prestaes mensais de

$2.630,00. Calcule a taxa cobrada pela loja.

=

=

5

kVPVP

n (perodos)0 1 2 3 4

i

R


31/127


30

Dados: Bem = $11.600 Entrada = $1.400 PMT = $2.630 n = 4

PV = 11.600 1.400 (entrada) PV = 10.200,00

Soluo:


Digitar Visor

f CLEAR FIN

10.200 PV 10.200,00

2.630 CHS PMT -2.630,00

4 n 4,00

i 1,247

i = 1,25% a. m.

Exemplo 3:

Um investidor deposita mensalmente, a quantia de $2.000,00, numBanco que remunera seus depsitos com a taxa efetiva de 2,0%a.m.. Considere o ano comercial de 360 dias. Calcule o saldo na contadesse investidor imediatamente antes da efetivao do seu sextodepsito.

Dados: PMT = $2.000,00 i = 2%

Soluo:


Digitar Visor

f CLEAR FIN

2.000 CHS PMT -2.000,006 n 6,00


32/127


31

2 i 2,00

FV 12.616,24

Saldo antes do sexto depsito = 12.616,24 2.000,00 = $10.616,24

2.4 Taxas

Nesta seo, veremos como fazer as converses em juros simples eem juros compostos, bem como saber identificar as principais taxasutilizadas nos clculos de matemtica financeira.

2.4.1 Taxa Equivalente e Proporcional (Juros Simples)

DEFINIES

Taxa nominal - aquela em que a unidade de referncia de seutempo no coincide com a unidade de tempo dos perodos decapitalizao. A taxa nominal normalmente fornecida em termosanuais, e os perodos de capitalizao podem ser semestrais,trimestrais, mensais etc.

Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes- Duas ou mais taxasso ditas equivalentes quando, ao serem aplicadas a um mesmoprincipal durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante

acumulado no final da operao.

No regime de capitalizao simples, a taxa equivalente tambmchamada de taxa proporcional.

TAXA EQUIVALENTE (Equaes):

Equaes de equivalncia de taxas Juros Simples

anualsemestraltrimestralmensaldiria i2i4i12i360i ================

EXEMPLOS


33/127


32

Exemplo 1:Qual a taxa de juros simples mensal equivalente a uma taxa de

juros simples de 25% ao bimestre?

Soluo:

%5,12i

2

25i

252i

i2i

mensal

mensal

mensal

bimestralmensal

=

=

=

=

Resposta:Em juros simples, 12,5% ao ms equivalente a 25% aobimestre. Podemos observar que, quando se trata do regime de JurosSimples, as taxas bimestrais e mensais so proporcionais. Istosignifica dizer que: podemos calcular as taxas equivalentes pelasimples aplicao de uma regra de trs.

Exemplo 2:Converta uma taxa de juros simples de 1,5% ao ms em uma taxaanual que produza os mesmos resultados para o investidor.

Soluo:

%18

125,1

12

=

=

=

anual

anual

mensalanual

i

i

ii

Resposta:Em juros simples, 1,5% ao ms equivalente a 18% aoano. Conservam tambm uma relao de proporcionalidade.

OBSERVAO:


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33

Devido relao linear conservada no regime de juros simples,podemos concluir que as taxas equivalentes so tambmproporcionais.

2.4.2 Taxa Equivalente, Efetiva e Nominal (Juros Compostos)

DEFINIESTaxa efetiva - aquela em que a unidade de referncia de seutempo coincide com a unidade de tempo dos perodos decapitalizao.

Ex.:4% ao trimestre, capitalizados trimestralmente.10% ao ano, capitalizados anualmente.

Taxa nominal - aquela em que a unidade de referncia de seutempo no coincide com a unidade de tempo dos perodos decapitalizao. A taxa nominal , normalmente, fornecida em termosanuais, enquanto os perodos de capitalizao podem ser semestrais,trimestrais, mensais etc.

Ex.:36% ao ano, capitalizados semestralmente.10% ao ano, capitalizados trimestralmente.

A taxa nominal bastante utilizada no mercado, entretanto o seuvalor nunca usado nos clculos por no representar uma taxaefetiva. O que realmente interessa a taxa efetivaembutida na taxanominal, pois ela a taxa que, como o prprio nome diz, serefetivamente aplicada sobre o capital.

Aps a determinao da taxa efetivaembutida na taxa nominal, estaltima deve ser abandonada. A partir de ento, todos os clculosdevem ser realizados com a taxa efetiva. Por exemplo:

Taxa nominal: 12% ao ano, capitalizao mensal.Taxa efetiva mensal: 1% a. m..


35/127


34

A taxa nominal, no caso dos juros compostos, ser sempre menorque a respectiva taxa efetiva para o mesmo perodo.A proporcionalidade entre as taxas nominal e equivalente s existe noregime de juros simples.

No regime de capitalizao composta no podemos trabalhar comvalores proporcionais, como fizemos em juros simples. Nesse casoexiste um procedimento especfico para a determinao da taxaequivalente, conforme veremos a seguir.

Taxas Equivalentes- so aquelas que, aplicadas ao mesmo capitaldurante o mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo montanteou valor futuro.

Exemplo:Taxa i1= X1a. m. Taxa i2= X2a. a. n1= n2= 2 anos

i1aplicada sobre VP durante 2 anos leva a VF1.

i2aplicada sobre VP durante 2 anos leva a VF2.

Se VF1= VF2, ento i1e i2so equivalentes.

TAXA EQUIVALENTE (Equaes):

Equao de equivalncia de taxas de juros compostos:

)i1()i1( a12

m ++++====++++

Onde,

im a taxa de juros mensal (a. m.);

ia a taxa de juros anual (a. a.).

Considerando outros perodos teremos:

Equao de equivalncia das taxas Juros Compostos:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))anual2

semestral

4

trimestral

12

mensal

360

diria i1i1i1i1i1 ++++====++++====++++====++++====++++

SITUAES PRTICAS

Como podemos perceber, fica difcil utilizar, na prtica, a equao deequivalncia acima, pois amos desperdiar um tempo razovel, paraencontrarmos o resultado. Para que essa tarefa fique altamentefacilitada poderemos utilizar os recursos de uma calculadorafinanceira, conforme a seguir:

Calculando taxas equivalentes com a HP-12C:


36/127


35

De MS para ANO:

Temos uma taxa de juros compostos de 1% a. m., e queremos

determinar a sua taxa equivalente anual.

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

12 n 12,00

1 i 1,00

FV -112,68

VF = $112,6825

Uma aplicao de $100,00 que ao final de um ano tem o saldo igual a

$112,68, rendeu, neste perodo, $12,68, que equivale a 12,68% daaplicao inicial.

Sendo assim, a taxa de juros compostos de 1% a. m. equivale a umataxa anual de 12,68%.

Sem pensar muito, podemos realizar os seguintes procedimentos naHP-12C:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

12 n 12,00

1 i 1,00

FV -112,68

100 + -12,68


37/127


36

Como podemos perceber, nada mudou, a menos da ltima linha ondesomamos o valor 100. Atravs deste procedimento, temos agorarepresentada no visor da nossa mquina, o valor da taxa de jurosanual na forma percentual, ou seja, 12,68% com um sinal menos

que deve ser ignorado.

De ANO para MS:

Temos uma taxa de juros compostos de 12% a. a., e queremosdeterminar a sua taxa equivalente mensal.

Digitar Visor

f CLEAR FIN

112 FV 112,0000

100 CHS PV -100,0000

12 n 12,0000

i 0,9489

i = 0,9489% a. m.

Uma aplicao de $100,00 (PV) que rende 12% ao ano tem um saldoigual a $112,00 (FV) ao final de um perodo de 1 ano que, por suavez, tem 12 meses (n). Assim, a taxa equivalente mensal para estaaplicao de 0,9489% a. m..

EXEMPLOS

Exemplo 1:Voc aplicou $100,00 a uma taxa de juros compostos de 20% ao mse deixou sua aplicao render por 2 meses. Quanto voc ter ao finaldesse prazo?

Dados: VP = $100,00 n = 2 meses i = 20% a. m.

Soluo:

Utilizando a frmula:


38/127


37

00,144$VF44,1100VF

)2,1(100)20,01(100VF

)i1(VPVF22

n

==

=+=

+=


Digitar Visor

f CLEAR FIN100 PV 100,00

2 n 2,00

20 i 20,00

FV -144,00VF = $144,00

Resposta:Ao final do prazo de 2 meses voc ter $144,00. Trocandoem midos, em um bimestre voc ter um rendimento de $44,00, ouseja, 44% do valor aplicado. Podemos imaginar que voc aplicouduas vezes, uma no primeiro e outra no segundo ms, e obteve umataxa de retorno de 44%, que bem diferente da soma aritmtica(20% + 20%).

Exemplo 2:

Se voc agora aplicasse os $100,00 do exemplo anterior a uma taxade 44% ao bimestre (a. b.) durante os mesmos dois meses, ou seja,durante um bimestre, qual seria o montante ao final da operao?

Dados: VP = $100,00 n = 2 meses i = 44% a. b.

Soluo:

Transformando a unidade de n:

bimestre1meses2n ==


39/127


38

Empregando a equao bsica dos juros compostos:

00,144$VF44,1100)44,01(100VF

)i1(VPVF

1

n

=

=+=

+=

Repare que, como estamos lidando com um nico perodo decapitalizao (1 bimestre), poderamos fazer os clculos lanandomo da expresso do Valor Futuro do regime de capitalizaosimples: VF = VP + VP x i x n

Resposta:O Valor Futuro da operao de $144,00.

Comentrios: Como voc pode notar, o resultado obtido nesteexemplo igual quele obtido no exemplo anterior. Sendo assim,como os valores presentes e os prazos das operaes so iguais, vocpode dizer, com toda a convico, que as taxas de juros compostosde 20% a. m. e 44%a. b. so equivalentes.

Exemplo 3:Qual a taxa mensal equivalente a taxa de 24% a.a. na capitalizaocomposta?

Soluo:

Utilizando a equao de equivalncia:

( ) ( )

( ) ( )

( )

.m.a%81,1i

0181,010181,1124,01i

i1i1

i1i1

mensal

12

1

mensal

121

anualmensal

anual12

mensal

=

==+=

+=+

+=+


Digitar Visor

f CLEAR FIN


40/127


39

100 PV 100,00

12 n 12,00

124 CHS FV -124,00

i 1,80876

i = 1,809% a. m.

Resposta: A taxa mensal equivalente 1,81% a. m..

Exemplo 4:

Quais as taxas anual, semestral, trimestral e diria equivalentes

taxa de 3% a.m., a juros compostos?

Soluo:

Utilizando as equaes de equivalncia:

Clculo da taxa anual equivalente:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

.a.a%58,42i4258,014258,1i

03,103,01i1

i1i1

anual

anual

1212anual

12mensalanual

=

==

=+=+

+=+

Clculo da taxa semestral equivalente:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

.s.a%41,19i

1941,011941,1i

03,103,01i1

i1i1

semestral

semestral

66semestral

6mensalsemestral

=

==

=+=+

+=+

Clculo da taxa trimestral equivalente:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

.t.a%27,9i

0927,010927,1i

03,103,01i1

i1i1

trimestral

trimestral

33trimestral

3mensaltrimestral

=

==

=+=+

+=+

Clculo da taxa diria equivalente:


41/127


40

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

.d.a%099,0i

103,011i1i

i1i1

i1i1

i1i1

diria

30

1

30

1

mensaldiria

mensal

30

diria

12

12

mensal12

360

diria

12mensal

360diria

=

+=+=

+=+

+=+

+=+

Clculo da taxa anual equivalente:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

12 n 12,00

3 i 3,00

FV -142,58

100 + -42,58

i = 42,58% a. a..

Clculo da taxa semestral equivalente:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

6 n 6,00

3 i 3,00

FV -119,41

100 + -19,41

i = 19,41% a. s..

Clculo da taxa trimestral equivalente:

Digitar Visor


42/127


41

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

3 n 3,00

3 i 3,00

FV -109,27

100 + -9,27

i = 9,27% a.t..

Clculo da taxa diria equivalente:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

30 n 30,00

103 CHS FV -103,00

i 0,0986

i = 0,0986% a. d..

Resposta: A taxa anual equivalente 42,58% ao ano.

A taxa semestral equivalente 19,41% ao semestre.

A taxa trimestral equivalente 9,27% ao trimestre.

A taxa diria equivalente 0,0986% ao dia.

Observaes:

Note que, quando estamos tratando da transformao de uma taxapara a sua taxa equivalente num perodo menor que o original, comono ltimo caso deste exemplo taxa diria equivalente taxamensal-, o procedimento na calculadora um pouco diferente. Como

j sabemos o valor ao final do perodo maior (mensal), entramos comesse valor futuro, atribumos a n o nmero de vezes que o perodomenor cabe dentro do maior (1 ms tem 30 dias, logo n = 30) ecalculamos a taxa, que ser dada com a unidade de referncia domenor perodo.

APLICAES PRTICAS


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42

Nas operaes de mercado, nas quais normalmente se emprega oregime de capitalizao composta, muitas vezes nos deparamos comsituaes nas quais a unidade da taxa de juros diferente do perodode capitalizao da operao. Em eventos como estes, devemos

alterar a unidade da taxa, compatibilizando-a com aquela atribuda aoperodo de capitalizao. Para atingir este objetivo, devemos utilizar,necessariamente, a equao de equivalncia de taxas de juroscompostos.

CONCLUSO

Nesta seo, aprendemos a transformar taxas de juros compostosmensais em taxas de juros compostos anuais e vice-versa, de formaa podermos adequar a unidade de tempo das mesmas quelasadotadas para os prazos das operaes.

2.4.3 Taxa de Inflao

A Taxa de Inflao determinada por intermdio dos chamadosndices de Preos. Existem vrios ndices que buscam mensurar ainflao ocorrida em um dado perodo (INPC, IPC, IGP...). Cada umdesses ndices a mdia ponderada das variaes de preos de umconjunto especfico de produtos, onde os pesos so dados pelasrespectivas quantidades.

A escolha do ndice que ser utilizado para atualizao de um certovalor deve levar em considerao a sua representatividade emrelao ao propsito da atualizao.

DETERMINANDO A TAXA DE INFLAO DE UM PERODO:

De posse dos valores de um determinado ndice de Preos paravrios perodos, podemos determinar a taxa de inflao ocorridanesses ltimos.

MS Maro Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro

IGP 567,86 675,92 786,93 827,54 956,34 1.087,32 1.198,43

Como os ndices dessa natureza registram a evoluo dos preosgerais da economia, basta relacionarmos os seus valores limites do


44/127


43

perodo que pretendemos examinar para sabermos a inflao ocorridano mesmo.

Inflao do 3bimestre = 827,54 / 675,92 1 = 1,2243 1 = 22,43%

A inflao do perodo refletida pela variao do ndice entre o seuincio (fim do perodo anterior) e final.

A variao positiva (aumento) dos preos no 3 bimestre foi de22,43%.

Seguindo o mesmo raciocnio, a inflao do 2trimestre dada por:

Inflao do 2trimestre = 827,54 / 567,86 1 = 1,4573 1 = 45,73%

A inflao referente ao segundo trimestre foi de 45,73%.

EQUAO

Os valores da inflao em dados perodos podem ser obtidos com autilizao de qualquer um dos vrios ndices disponveis no mercadoatravs da seguinte equao:

1IP

IPI

tn

n====

Onde,

I Taxa de Inflao do perodo considerado;IPn ndice de Preos no ltimo subperodo do perodo avaliado;IPn t ndice de Preos no subperodo imediatamente anteriorao considerado.

EXEMPLOS

Exemplo 1:

Dada a relao abaixo de valores do IGP e INPC, determine: a taxade inflao indicada pelos dois ndices para os primeiros bimestre esemestre do referido ano.

Dez/X8 Fev/X9 Jun/X9


45/127


44

IGP 100,00 147,56 212,34

INPC 5,6789 8,5320 12,0991

Soluo:

Clculo da inflao no primeiro bimestre:

IGP:

%56,47I14756,1I

100,10056,1471

IPIP1

IPIPI

IGPIGP

8X/Dez

9X/Fev

tn

nIGP

==

===

INPC:

%24,50I15024,1I

16789,5

5320,81

IP

IP1

IP

IPI

INPCINPC

8X/Dez

9X/Fev

tn

nINPC

==

===

Clculo da inflao no primeiro semestre:

IGP:

%34,112I11234,2I

100,100

34,212

1IP

IP

1IP

IP

I

IGPIGP

8X/Dez

9X/Fev

tn

n

IGP

==

===

INPC:

%05,113I11305,2I

16789,5

0991,121

IP

IP1

IP

IPI

INPCINPC

8X/Dez

9X/Fev

tn

nINPC

==

===


46/127


45

Resposta: As taxas de inflao no primeiro bimestre, medidas peloIGP e pelo INPC, foram 47,56% e 50,24%, respectivamente. J astaxas para o primeiro semestre atingiram os seguintes valores:112,34% (IGP) e 113,05% (INPC).

Comentrios: A diferena existente entre os valores da taxa deinflao revelada pelo uso de dois ndices diferentes encontra

justificativa na forma de gerao desses ltimos, pois cada um delescontempla referncias distintas na sua composio.

Exemplo 2:

Considerando as taxas de inflao determinadas no exemplo anterior,faa a atualizao para o final do primeiro semestre de X9 do valor deum imvel adquirido no incio do mesmo ano por $70.000,00.

Soluo:

IGP:

00,638.148$CorrigidoValor

00,100

34,212000.70

IP

IPOriginalValorCorrigidoValor

tn

n

=

==

INPC:

51,137.149$CorrigidoValor

6789,5

0991,12000.70

IP

IPOriginalValorCorrigidoValor

tn

n

=

==

Resposta: Os valores do imvel, adquirido no incio do ano X9 por

$70.000,00, atualizados ao final do primeiro semestre do mesmo anopelos IGP e INPC so, respectivamente, $148.638,00 e $149.137,51.

Anlise da Resposta: S ocorrer lucro real na venda desse imvel seest for efetuada por valores superiores aos determinados acima.

Exemplo 3:

Caso o imvel do problema anterior seja negociado ao final doprimeiro bimestre de X9 por $110.000,00, qual ser o lucro real da

operao, considerando o IGP e o INPC?


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46

Soluo:

IGP:

00,708.6$alReLucro

00,292.10300,000.110

)CorrigidoValor()VendaValor(alReLucro

00,000.110$VendaValor

00,292.103$

00,100

56,147000.70CorrigidoValor

=

=

=

=

==

INPC:

75,831.4$alReLucro

25,168.10500,000.110

)CorrigidoValor()VendaValor(alReLucro

00,000.110$VendaValor

25,168.105$6789,5

5320,8

000.70CorrigidoValor

=

=

=

=

==

Resposta:O lucro real com a operao de venda do referido imvel

de $6.708,00 pelo IGP, e $4.831,75 pelo INPC.

Comentrios: Como podemos perceber, a utilizao de um ou outrondice pode ter uma influncia relevante no resultado da operaoque estamos executando. Imagine, neste caso, que tivssemos querecolher um imposto sobre o ganho real da operao, supondo ser de20% a sua alquota. No caso do lucro real pelo IGP, teramos querecolher $1.341,60; j pelo INPC, o recolhimento seria de $966,35,uma diferena de $375,25 (aproximadamente 0,35% do valor de

venda).

OBSERVAES:A Taxa de Inflao tem um comportamento semelhante ao regime decapitalizao composta, ou seja, sua determinao feita, em algunscasos, com a utilizao de procedimentos exponenciais. Maisespecificamente, quando desejamos calcular a taxa de inflao emum certo perodo, uma vez que dispomos das taxas dos subperodos

que compem este ltimo, basta procedermos a multiplicao das


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47

vrias taxas dos subperodos acrescidas da unidade (Taxa + 1) e aofinal subtrair a unidade para determina-la. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 4:Seja 1,5%, 2,4% e 1,7% as taxas de inflao nos trs ltimos mesesde um determinado ano. Qual a taxa de inflao do ltimo trimestredo referido ano?

Soluo:

.t.a%70,5TrimestreInflao10570,11)017,1()024,1()015,1(TrimestreInflao

1)3Inflao1()2Inflao1()1Inflao1(TrimestreInflao

=

==

+++=

Clculo da taxa mensal equivalente taxa trimestral:

.m.a%87,1i

101865,11)057,01(i

)i1()i1(

mensal

3

1

mensal

trimestral3

mensal

=

=+=

+=+

Resposta: A inflao ocorrida no trimestre de 5,70%. Em mdia, ainflao mensal neste perodo foi de 1,87%.

Exemplo 5:

Em um determinado quadrimestre, as taxas de inflao foram asseguintes: 5,4%, 3,8%, 1,6% e 1,1%(deflao). Calcule a inflao

acumulada no quadrimestre.

Soluo:

.q.a%93,9adrimestreInflaoQu

10993,11)989,0()016,1()038,1()054,1(adrimestreInflaoQu

1)4taxa1()3taxa1()2taxa1()1taxa1(adrimestreInflaoQu

=

==

++++=

Clculo da taxa mensal equivalente taxa quadrimestral:


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48

.m.a%40,2i

1024,11)0993,01(i

)i1()i1(

mensal

4

1

mensal

ralquadrimest4

mensal

=

=+=

+=+

2.4.4 Desvalorizao Monetria Associada Inflao

Uma vez determinada taxa de inflao de um dado perodo, possvel determinarmos a conseqente diminuio do poder aquisitivoda moeda.

Para ilustrar, imagine a seguinte situao: em um certo perodo foiconstatada uma inflao de 100%, ou seja, em mdia os preos dosprodutos duplicaram. Isto nos leva a concluir que o capital que eranecessrio e suficiente para adquirir um determinado produto antesda ocorrncia desse processo inflacionrio, em termos atuais, s capaz de adquirir a metade desse produto. Por exemplo, se umadzia de bananas custava $4,00, aps o perodo inflacionrio passoua custar $8,00, o que demonstra que agora os quatro reais quecompravam uma dzia de bananas s compram meia dzia, de formaque podemos concluir que houve uma queda de 50% no poder decompra da moeda.

Partindo desse raciocnio, podemos obter a seguinte equao paradeterminao da desvalorizao monetria em funo da taxa deinflao para um dado perodo:

I1

IDM

++++====

Onde,DM= Desvalorizao Monetria;I = Taxa de Inflao do perodo.

EXEMPLOS:

Exemplo 1:Qual a desvalorizao ocorrida na moeda de uma economia queapresentou, em um certo perodo, uma inflao de 23%?


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49

Soluo:

perodono%7,18DM

23,1

23,0

23,01

23,0

I1

IDM

=

=+

=+

=

Resposta: A perda do poder de compra da moeda no perodo citadofoi da ordem de 18,7%.

Comentrios: Repare que o valor da DM ser sempre inferior quelemanifestado pela inflao. Esta uma boa referncia para umaconferncia rpida da exatido dos clculos desenvolvidos.

Exemplo 2:Em um certo trimestre, as taxas mensais da inflao apresentaram osseguintes valores:5,6%, 6,9% e 8,2%. De posse desses valores,determine a perda do poder aquisitivo da moeda utilizada naeconomia em questo.

Soluo:

Clculo da inflao do trimestre:

.t.a%14,22TrimestreInflao

12214,11)082,1()069,1()056,1(TrimestreInflao

1)3Inflao1()2Inflao1()1Inflao1(TrimestreInflao

=

==

+++=

Clculo da DM:

trimestrenoDM

I

IDM

%13,18

2214,1

2214,0

2214,01

2214,0

1

=

=+

=+

=

2.4.5 Taxa de Juros Nominais e Reais

Nesta seo, faremos uma abordagem do clculo da rentabilidadereal de uma operao financeira. Contemplando alguns valores, comoa Taxa de Juros Nominais e Taxa de Juros Reais, que sero definidas

no prximo item, determinaremos a relao matemtica entre essas


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50

duas variveis e a Taxa de Inflao ocorrida durante o prazo daoperao analisada.

DEFINIES

Taxa de Juros Nominais - uma taxa de juros prefixada que, aprincpio, engloba a rentabilidade da operao, bem como a previsode inflao para o prazo da operao. Portanto, toda vez que nosdepararmos com o rendimento nominal de um investimento,devemos ter conscincia de que aquele valor foi determinadolevando-se em considerao a inflao do perodo. Todo cuidado pouco, a fim de no confundirmos a Taxa de Juros Nominais com aTaxa Nominal abordada em tpicos anteriores.

Taxa de Juros Reais - aquela taxa que representa o resultadolquido da operao aps a correo de valores em funo dainflao.

EQUAO

A equao matemtica que relaciona a Taxa de Juros Nominais, aTaxa de Juros Reais e a Taxa de Inflao a seguinte:

1)I(oTaxaInfla1

)i(alminTaxaNo1)r(alReTaxa

++++

++++====

Esta equao surge do raciocnio de que devemos corrigir o valor docapital investido e, aps esta correo, aplicarmos uma taxa de jurosreais (r) ao valor corrigido para atingirmos o montante resultante dosclculos com a taxa de juros nominais.

EXEMPLOSExemplo1:

Calcule o rendimento real obtido em uma aplicao de $20.000,00por 4 meses, a uma taxa de juros de 2% a.m.. Sabe-se que ainflao do perodo (quadrimestre) foi de 3%.

Soluo:

Clculo da taxa de juros nominais no perodo:


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51

.q.a%24,8i

10824,11)02,01(i

)i1()i1(

requadrimest

4requadrimest

4msrequadrimest

=

=+=

+=+

Clculo da taxa de juros reais no perodo:

.q.a%09,5r10509,1r

103,01

0824,011

I1

i1r

==

+

+=

+

+=

Resposta: A rentabilidade real da operao de 5,09% a.q..

Exemplo 2:

Sabendo que a taxa de inflao de um certo perodo ser de 5%,determine a taxa de juros nominais que dever ser adotada numaoperao para garantir um retorno real de 12%.

Soluo:

.p.a%6,17i

1176,11)12,01()05,01(i

1)r1()I1()i(alminNoTaxa

.p.a%12)r(alRetornoRe.p.a%5)I(InflaodeTaxa

=

=++=

++=

=

=

Resposta: A rentabilidade (nominal) oferecida pela aplicao deverser de 17,6% a.p., no mnimo, pois qualquer valor superior a esse

levar a um retorno real superior a 12% a.p..

APLICAES PRTICAS

Uma vez que no conseguimos nos desvencilhar da figura da inflao,devemos aprender a tomar nossas decises levando-a emconsiderao. Sendo assim, as definies e procedimentosmatemticos estudados neste captulo devem ser vistos comoferramentas fundamentais para o nosso processo decisrio.


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52

2.5 Valor Presente de um Fluxo de Caixa

Nesta seo, estudaremos a metodologia empregada nadeterminao do valor presente de um fluxo de caixa. Os clculos

sero ento estendidos a situaes que envolvem o valor presente devrios fluxos de caixa, bem como o valor presente de ativos.

DEFINIES

Para investidores, o Fluxo de Caixa proveniente de uma operaofinanceira o resultado lquido da mesma, aps o pagamento dedespesas operacionais, taxas e impostos.

Ativo- o nome genrico dado a qualquer bem ou direito, seja eleprojeto, empresa, companhia, firma, empreendimento, aplicao,negcio etc. que tenha um determinado custo e que proporcioneao(s) seu(s) proprietrio(s) ou investidor(es) um resultado futuro emforma de fluxos de caixa.

Ex.:

Ativo: Aplicao financeira Fluxo de Caixa: Rendimentos (juros)Ativo: Imvel Fluxo de Caixa: Aluguel

Ativo: Aes Fluxo de Caixa: Dividendos

Valor Presente de um nico Fluxo de Caixa - determinadotransportando o valor do fluxo (valor futuro) para uma data na qualse deseja calcular o valor presente, a dita data de referncia ou datafocal. Note que o valor presente pode ser calculado em relao a

qualquer data anterior ao fluxo de caixa, no existindo aobrigatoriedade da data de referncia ser a data zero.

EQUAO

Nos clculos do valor presente de um fluxo de caixa, adotaremos aequao para o Valor Presente dos Juros Compostos:

(((( ))))nn

ni1

VFVP

++++====

Onde:


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53

VFn o valor do fluxo de caixa;n o prazo at o efetivo pagamento desse fluxo de caixa;VPn valor do Fluxo de Caixa VFn a ser pago na data dereferncia.

Valor Presente de um Conjunto de Fluxos de Caixa - osprocedimentos para o clculo do valor presente de um conjunto defluxos da caixa so idnticos queles realizados para um nico fluxode caixa. Podemos interpretar esse conjunto de fluxos como areunio de vrios fluxos unitrios, proceder a determinao para cadaum desses e, por fim, efetuar a soma dos valores presentes obtidos,chegando ento, ao valor presente do conjunto.

Matematicamente, teremos:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))nn

2

2

1

1

n21

i1

VF

i1

VF

i1

VFVP

VPVPVPVP

++++

++++++++

++++

++++

++++

====

++++++++++++====

LL

LL

Onde:

VF1- valor do fluxo de caixa a ser pago no final do perodo 1;VF2- valor do fluxo de caixa a ser pago no final do perodo 2;

VFn- valor do fluxo de caixa a ser pago no final de n perodos;

(((( ))))11

1i1

VFVP

++++

==== - valor presente do fluxo a ser pago em n = 1;

(((( ))))22

2i1

VFVP

++++==== - valor presente do fluxo a ser pago em n = 2;

(((( ))))nn

ni1

VFVP++++

==== - valor presente do fluxo a ser pago em n perodos.

Valor Presente de um Ativo - o valor presente de um ativo definido como a soma dos valores presentes de todos os fluxos decaixa que este ativo pagar aos seus investidores (proprietrios) aolongo de sua vida til econmica.

Uma vez que um ativo gera um determinado nmero de fluxos de

caixa durante a sua vida til, os clculos para a determinao dovalor presente deste ativo so semelhantes queles vistos no item


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54

anterior, valor presente para um conjunto de fluxos de caixa, ou seja,a equao usada a mesma.

(((( )))) (((( )))) (((( ))))nn

2

2

1

1

n21

i1

VF

i1

VF

i1

VFAtivodoVP

VPVPVPAtivodoVP

++++

++++++++

++++

++++

++++

====

++++++++++++====

LL

LL

Representao de um ativo - representamos qualquer ativo pelasequncia de fluxos de caixa que proporciona, ao longo do tempo, aoseu investidor:

Representao de um ativo:

Perodo 1 2 3 4

Fluxo ($) 1.000 1.200 1.300 1.300

Valor de um Ativo - o valor presente de um ativo definido comosendo o somatrio do valor presente de cada fluxo de caixa futuroprojetado e descontado a valor presente pela taxa de descontoadequada aos fluxos de caixa.

EXEMPLOS

Exemplo 1:

Clculo do valor presente de um nico fluxo de caixaEsto sendo oferecidos, por uma distribuidora de ttulos e valores,ttulos com valor de face ou nominal de $1.000,00. A taxa oferecidaaos investidores interessados de 3% ao ms. Suponha que voc

tenha interesse em adquirir tais ttulos. Sabendo que a data devencimento dos mesmos daqui a trinta dias, qual dever ser o seuinvestimento hoje, por ttulo adquirido?

Dados: VF = $1.000,00 i = 3% a. m. n = 1 ms

Soluo:


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55

( )

( )

87,970$VP

03,1

000.1

03,01

000.1VP

i1

VFVP

1

n

=

=

+

=

+=

Resposta:

O valor presente deste ttulo que paga um fluxo de caixa no valor de$1.000,00 em 30 dias, dada a taxa de desconto de 3% ao ms, $970,87.

Comentrios:O valor determinado o do custo unitrio do ttulo. Para sedeterminar o valor presente de uma carteira contendo um nmeroqualquer de ttulos iguais a esse, basta multiplicar a quantidade dettulos pelo seu valor presente unitrio.

Exemplo 2:

Clculo do valor presente de um nico fluxo de caixa

Admita que a mesma distribuidora do exemplo anterior oferea umttulo com o mesmo valor do anterior, porm, com vencimento paradaqui a 60 dias. Qual deve ser o valor a pagar pelo ttulo hoje?

Dados: VF = $1.000,00 i = 3% a. m. n = 2 meses

Soluo:

( )

( ) ( )

60,942$VP

0609,1

000.1

03,1

000.1

03,01

000.1VP

i1

VFVP

22

n

=

==+

=

+=

Resposta:

O valor presente deste ttulo que paga um fluxo de caixa no valor de$1.000,00 em 2 meses, dada a taxa de desconto de 3% ao ms, $942,60.


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56

Comentrios:

O valor determinado do custo unitrio do ttulo. Para se determinaro valor presente de uma carteira contendo um nmero qualquer de

ttulos iguais a esse, basta multiplicar a quantidade de ttulos peloseu valor presente unitrio.

Exemplo 3:

Clculo do valor presente de um conjunto de fluxos de caixa:

Uma distribuidora de ttulos e valores est oferecendo uma taxa de3% a.m. nos papis de sua carteira com vencimentos em 30, 60, 90e 120 dias. S existe um valor de resgate que de $1.000,00 para

qualquer um dos papis. Considere que um investidor deseja comprar4 ttulos, cada um com uma data de vencimento diferente. Destemodo, o investidor receber um rendimento mensal (fluxo de caixa)de $1.000,00 em cada um dos prximos quatro meses. Quantocustar ao investidor a compra desses 4 ttulos hoje?

Dados: VF1= $1.000,00 i = 3% a. m. n1= 1 ms

VF2= $1.000,00 n2= 2 meses

VF3= $1.000,00 n3= 3 meses

VF4= $1.000,00 n4= 4 meses

Soluo:

Utilizando a equao:

VP do papel com vencimento em 1 ms:

VP1= $970,87 (Exemplo 1)

VP do papel com vencimento em 2 meses:

VP2= $942,60 (Exemplo 2)



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57

( )

( ) ( )14,915$VP

0927,1

000.1

03,1

000.1

03,01

000.1VP

i1

VFVP

3

333

n3

3

=

==

+

=

+=


( )

( ) ( )

49,888$VP

1255,1

000.1

03,1

000.1

03,01

000.1VP

i1

VFVP

4

444

n4

4

=

==

+

=

+=

VP da carteira:

10,717.3$VP

49,88814,91560,94287,970VP

VPVPVPVPVP 4321

=

+++=

+++=

Utilizando a calculadora:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

1000 PMT 1.000,00

4 n 4,00

3 i 3,00

PV -3.717,10

VP = $3.717,10

O valor futuro dos ttulos foi lanado como PMT porque tudo se passacomo se tivssemos uma srie de recebimentos uniformes durantequatro meses.


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58

Resposta: O investimento necessrio para adquirir uma carteiracontendo os quatro ttulos de $3.717,10.

Comentrios:

O investidor pagar hoje uma quantia de $3.717,10 em troca de umquatro fluxos mensais positivos de $1.000,00, ocorrendo o primeironum prazo de 30 dias a contar da data da aplicao.

Exemplo 4:

Clculo do valor presente de um ativo:

No exemplo anterior, a carteira composta pelos quatro ttulos podeser classificada como um ativo. Ou seja, uma aplicao que ter,

futuramente, um certo rendimento. O fluxo de caixa gerado por essaaplicao ser, na verdade, um conjunto de fluxos representado pelosrecebimentos mensais. Assim sendo, o valor presente desse ativo(carteira de investimentos) aquele calculado como valor presentede um conjunto de fluxos de caixa, $3.717,10. Dito isto, imagine aseguinte situao: uma distribuidora de ttulos e valores estoferecendo uma taxa de 3,5% a.m. nos papis de sua carteira comvencimentos em 60 e 120 dias (2 e 4 meses); valor de resgate de$1.200,00 para qualquer um dos papis. Voc deseja comprar 4

ttulos, cada par com uma data de vencimento diferente, deste modovoc receber um rendimento mensal (fluxo de caixa) de $2.400,00em cada um dos prximos dois bimestres. Qual o valor hoje destes4 ttulos? Em outras palavras, qual o valor desta sua carteira deinvestimentos?

Dados: 2 x VF2= $1.200,00 i = 3,5% a. m. n2= 2 meses

2 x VF4= $1.200,00 n4= 4 meses

Representao do ativo:

Perodo 1 2 3 4

Fluxo ($) 0 2.400 0 2.400

Soluo:

Utilizando a equao do valor presente:

VP dos papis com vencimento em 2 meses:


60/127


59

( )

( ) ( )

48,240.2$VP

0712,1

400.2

035,1

400.2

035,01

200.12VP

i1

VF2VP

2

222

n2

2

=

==

+

=

+

=

Neste problema, multiplicamos o VF por dois para fazer jus s duasentradas, cada uma de $1.200,00, que ocorrem em n = 2 meses.Procederemos da mesma forma para n = 4 meses.

VP dos papis com vencimento em 4 meses:

( )

( ) ( )

46,091.2$VP

1475,1

400.2

035,1

400.2

035,01

200.12VP

i1

VF2VP

2

444

n4

4

=

==+

=

+

=

Clculo do VP do ativo:

94,331.4$ativodoVP

46,091.248,240.2ativodoVP

VPVPativodoVP 42

=

+=

+=


Digitar Visor

f CLEAR FIN

2400 FV 2.400,00

2 n 2,00

3,5 i 3,50


61/127


60

PV -2.240,48

2400 FV 2.400,00

4 n 4,00

PV -2.091,46

+ -4.331,89

VP do ativo = $4.331,89

Repare que, por questes de arredondamentos realizados durante osclculos, houve uma diferena de $0,05 entre as respostas obtidascom o emprego da equao e com a utilizao da HP, diferena esta

que podemos considerar irrelevante frente ao valor com o qualestamos trabalhando. Na prtica, voc no deixar de fazer um bomnegcio por causa de uma diferena como esta.

Resposta: O valor do ativo carteira de investimentos hoje de$4.331,89.

APLICAO PRTICA

No momento de negociarmos um ativo, seja ele um bem ou umdireito, devemos ter condies de avali-lo, ou seja, de atribuir a eleum valor que seja representativo do fluxo de caixa potencial que neleest embutido. Para atingirmos esse objetivo, lanamos mo destametodologia do clculo do valor presente.

CONCLUSO

Em vrios momentos da nossa vida profissional, nos deparamos comsituaes nas quais fundamental determos o conhecimentonecessrio para avaliar valores que se manifestaro em momentosfuturos. Jamais devemos esquecer do princpio fundamental do valordo dinheiro no tempo.

2.6 Equivalncia de Fluxos de Caixas

2.6.1 Planos Equivalentes de Pagamentos


62/127


61

Quando voc pega um emprstimo, pode pag-lo de vrias maneiras.Porm, existem algumas formas de pagamento que so maispraticadas pelo mercado. Nesta seo estaremos preocupados com asformas de pagamento de um emprstimo, enfocados exatamente nas

prticas mais comuns do mercado.

DEFINIES

Equivalncia de Fluxos de Caixa Dois ou mais fluxos de caixaso equivalentes a uma certa taxa de juros se os seus valorespresentes, calculados com essa mesma taxa, forem iguais. Esseestudo de equivalncia de fluxos de caixa se faz no regime de juroscompostos.

Convm ressaltar que, no necessariamente, a anlise deequivalncia precisa se referenciar ao valor presente (data 0). Aigualdade dos valores futuros em um perodo n qualquer, nosconduz da mesma forma verificao da equivalncia entre eles.

importante destacar que a equivalncia de fluxos de caixa dependeda taxa de juros. Assim, se dois fluxos so equivalentes a uma certataxa, essa equivalncia deixar de existir se a taxa for alterada.

Amortizao o pagamento, de uma parte ou do todo, do valororiginal (sem os juros) de um emprstimo.

Sistema de Amortizao a maneira pela qual, na hiptese de umemprstimo, por exemplo, o Principal, ou seja, o valor do emprstimovai sendo pago no decorrer do tempo.

EQUAESA equao bsica de um fluxo de caixa em um dado perodo oupagamento, no caso dos emprstimos, pode ser representada comose segue:

Prestao = (Juros sobre saldo devedor) + (Amortizao doPrincipal)

EXEMPLOS

Exemplo 1:


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Suponha que voc tenha pego $3.000,00 emprestado para pagar comuma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Foram oferecidas avoc trs formas de pagamento, a saber:

Recebimento ($) Pagamentos ($)t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Opo A 3.000,00 -3.300,00

Opo B 3.000,00 -3.630,00

Opo C 3.000,00 -3.993,00

Pela tabela acima, podemos visualizar o recebimento do emprstimo

no tempo zero e os pagamentos pela forma A, B ou C, no final do ano1, 2 ou 3, respectivamente.

Pagamento pela Opo A:

Pela opo A, voc estaria quitando o emprstimo de $3.000,00 auma taxa de juros de 10% ao ano ao fim do primeiro perodo (ano),pois $3.300,00 em t = 1 equivalente a $3.000,00 em t = 0,considerando uma taxa de 10% a. a..

Vejamos:

emprstimodototalValor000.3oAmortiza300300.3oAmortiza300oAmortiza300.3

JurosoAmortizaestaoPr

300000.3%10perododoJuros

300.3estaoPr

==

=+=

+=

==

=

Pagamento pela Opo B:

Pela opo B, voc estaria quitando o emprstimo de $3.000,00 auma taxa de juros de 10% ao ano ao fim do segundo perodo (ano),pois $3.630,00 em t = 2 equivalente a $3.000,00 em t = 0,considerando uma taxa de 10% a. a..

Vejamos:


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emprstimodototalValor000.3oAmortiza

630630.3oAmortiza630oAmortiza630.3


630330300300.3%10000.3%10perododoJuros

630.3estaoPr

==

=+=

+=

=+=+=

=

Pagamento pela Opo C:

Pela opo C, voc estaria quitando o emprstimo de $3.000,00 auma taxa de juros de 10% ao ano ao fim do terceiro perodo (ano),pois $3.993,00 em t = 3 equivalente a $3.000,00 em t = 0,considerando uma taxa de 10% a. a..

Vejamos:

emprstimodototalValor000.3oAmortiza

993993.3oAmortiza993oAmortiza993.3


993363330300

630.3%10300.3%10000.3%10perododoJuros

993.3estaoPr

==

=+=

+=

=++=

=++=

=

Concluso:

Os planos de pagamento A, B e C so equivalentes a uma taxa dejuros de 10% a. a., pois apresentam o mesmo valor presente de$3.000,00 mesma taxa.

Exemplo 2:Um Banco realizou um emprstimo de $100,00 a uma taxa de jurosde 10% ao ano, por um prazo de 3 anos. Os sistemas de amortizaoabaixo tm o mesmo valor presente (neste exemplo, $100,00), ouseja, so equivalentes, e servem para quitar o emprstimo do Banco.

Sistemas de amortizao praticados pelo Banco:

PLANO A

Sistema de pagamento de Juros e Principal no final


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Perodo (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Prestao ($) 0,00 0,00 133,10

PLANO B

Sistema de pagamento de Juros periodicamente e principal no final

Perodo (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Prestao ($) 10,00 10,00 110,00

PLANO C

Sistema de pagamento de prestaes iguais e peridicas

Perodo (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Prestao ($) 40,21 40,21 40,21

Detalhamento dos Sistemas de Amortizao A, B, e C:

PLANO A: pagamento no final

O financiamento pago, de uma nica vez, no final do prazo da

operao. Os juros so capitalizados ao final de cada perodo. Naprtica, esta modalidade de pagamento utilizada em:

a)

Papis de renda fixa (Letras de Cmbio ou Certificados deDepsito com renda final);

b) Ttulos descontados em bancos comerciais.

Memria de clculo do Plano A:

10,133)10,01(121)i1(121VF:3temdevedorSaldo

.3tparalevadodevedorsaldoeste,pagamentohouvenoComo

121)10,01(110)i1(110VF:2temdevedorSaldo

.2tparalevadodevedorsaldoeste,pagamentohouvenoComo

110)10,01(100)i1(VPVF:1temdevedorSaldo

00,100$inicialdevedorSaldo

113

112

111

=+=+==

=

=+=+==

=

=+=+==

=

Desmembrando as prestaes em Juros e Amortizao do principal:

Perodo (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3


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Juros ($) - 0,00 0,00 33,10

Amortizao ($) - 0,00 0,00 100,00

Prestao ($) - 0,00 0,00 133,10

Valor Presente das Prestaes: 100,00

Observe que a soma das amortizaes igual ao valor presente doemprstimo:

10010000AAA 321 =++=++

Calculo do saldo devedor a cada perodo aps o pagamento dasprestaes:

Perodo (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Juros ($) 100,00 110,00 121,00 0,00

PLANO B: pagamento peridico de juros

Ao final de cada perodo realizado o pagamento, nica eexclusivamente, dos juros referentes ao mesmo. A amortizao total

do saldo devedor inicial (principal da operao) ocorre em uma nicaparcela que estar embutida na ltima prestao. Sendo assim, todasas prestaes revelam em seu valor somente os juros do perodo aoqual se referem, com exceo da ltima, que, alm dos jurosreferentes ao ltimo perodo, englobam tambm a amortizaointegral do principal.

No mercado, este tipo de sistema de amortizao conhecido comoSistema Americano de Amortizao.

Este sistema utilizado em papis de renda fixa com renda pagaperiodicamente (Letras de Cmbio com renda mensal, Certificados deDepsito com renda mensal, trimestral,...)

Memria de clculo do Plano B:


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ntofinanciamedoFim0prestaoltimaapsdevedorSaldo

)00,100($oAmortiza)00,10($Juros00,110$:prestaoltima

110)10,01(100)i1(100VF:3temdevedorSaldo

.3tparalevado)00,100($teremanescendevedorsaldoO

00,10estaoPr:2temjurosdosPagamento

110)10,01(100)i1(100VF:2temdevedorSaldo.2tparalevado)00,100($teremanescendevedorsaldoO

00,10estaoPr:1temjurosdosPagamento

110)10,01(100)i1(VPVF:1temdevedorSaldo

00,100$inicialdevedorSaldo

113

112

111

=

+=

=+=+==

=

==

=+=+==

=

==

=+=+==

=


Perodo (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Juros ($) - 10,00 10,00 10,00

Amortizao ($) - 0,00 0,00 100,00

Prestao ($) - 10,00 10,00 110,00

Valor Presente das Prestaes: 100,00Observaes em relao ao Plano B:

O saldo devedor remanescente aps o pagamento da prestao doperodo constante e igual ao valor original da operao (principal).Dessa maneira, os juros de cada perodo e, em conseqncia, osvalores das prestaes devidas, excetuando-se a ltima, so sempreiguais.

PLANO C: pagamentos iguais:As parcelas peridicas de pagamentos (prestaes) compreendem os

juros dos perodos mais a amortizao de parte do principal. Estacomposio feita de tal sorte que as prestaes no soframvariao no tempo.

Clculo da amortizao do principal: esse valor obtido peladiferena entre o valor da prestao e o valor dos juros do perodo.

Observaes em relao ao Plano C:


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Em funo da diminuio do principal remanescente, os jurosembutidos em cada prestao vo diminuindo com o tempo. Emcontra partida, como o valor da prestao constante, a parcela deamortizao de cada prestao aumenta ao longo do tempo.

Sistema PRICE, pagamento de Prestaes Iguais e peridicas:

Perodo (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Prestao ($) - 40,21 40,21 40,21

Memria de clculo

Calculo do valor prestao (utilizando a calculadora financeira):

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

3 n 3,00

10 i 10,00

PMT -40,21

A sigla PMT vem do ingls Payment, que significa pagamento.

Em operaes como essa, o sinal negativo representa que vocrecebeu (+) $100,00 e dever pagar (-) trs prestaes de $40,21.

Clculo do saldo devedor a cada perodo:


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ntofinanciamedoFimteremanescendevedorSaldo

prestaoltima

iVFtemdevedorSaldo

tparalevadoteremanescendevedorsaldoO

estaoprestaodaPagamento

iVFtemdevedorSaldotparalevadoteremanescendevedorsaldoO

estaoprestaodaPagamento

iVPVFtemdevedorSaldo

inicialdevedorSaldo

a

a

=

=

=+=+==

==

=

=+=+==

==

=

=+=+==

=

021,4021,40:

21,40

21,40)10,01(56,36)1(56,36:3

.356,3621,4077,76:

21,40Pr:2

77,76)10,01(79,69)1(79,69:2.279,6921,40100:

21,40Pr:1

110)10,01(100)1(:1

00,100$

113

112

111


Perodo (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Prestao ($) - 40,21 40,21 40,21

Juros ($) - 10,00 6,98 3,66

Amortizao ($) - 30,21 33,23 36,55

Valor Presente das Prestaes: 100,00

Soma das amortizaes:

99,9955,3623,3321,30AAA 321 =++=++

Calculo do saldo devedor a cada perodo aps o pagamento dasprestaes:

Perodo (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Juros ($) 100,00 69,79 36,56 0,01

As diferenas que voc poder encontrar, como o valor remanescentede $0,01 do exemplo anterior, so devidas aos arredondamentos.

APLICAO PRTICA

Todas as operaes de financiamento seguem algum sistema deamortizao, que pode ser tanto um modelo clssico, como osestudados neste mdulo, quanto um outro sistema qualquer.


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Neste mdulo, aprendemos a calcular o valor das prestaes para,por exemplo, o financiamento da casa prpria, onde o Sistema Price um dos mais empregados.

2.6.2 Sistemas de Amortizao de Financiamentos

Nesta seo, voltaremos a estudar como um mesmo emprstimopode ser amortizado de diferentes formas equivalentes. Maisespecificamente, estudaremos os sistemas SAC Sistema deAmortizaes Constantes - e SAM Sistema de Amortizao Misto.

DEFINIES

Sistema de Amortizaes Constantes SAC como o prprionome j diz, nesse sistema de amortizao a parcela da amortizaocontida nos pagamentos constante, havendo, portanto, variaoapenas dos juros referentes ao perodo.

Sistema Price tambm conhecido como Sistema Francs deAmortizao, utilizado pelo mercado em financiamentos imobiliriose CDC Crdito Direto ao Consumidor.

Sistema de Amortizao Misto SAM tem suas prestaescalculadas atravs da mdia aritmtica dos valores das prestaesdos sistemas Price (lembra?) e SAC.

EQUAES:

Independente do sistema de amortizao adotado, a prestao ou opagamento, ou ainda, o fluxo em cada perodo, tem o seu valorcomposto, basicamente, por duas parcelas: uma referente

amortizao do principal (valor original da operao) e a outrareferente aos juros devidos no perodo. Matematicamente,

JurosoAmortizaestaoPr ++++====

CLCULO DAS PRESTAES PELO SISTEMA SAC

Primeiro passo:

Clculo da parcela referente s amortizaes (constantes).


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Para obter o valor da parcela de amortizao constante bastadividirmos o principal (valor do financiamento) pelo nmero deprestaes estabelecido.

Ex.:

Principal: $2.400,00

Nmero de prestaes: 24

Amortizao: 2.400 / 24 =

apostila fgv - matematica financeira

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