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  • Matemtica

    Prof. Dudan

  • www.acasadoconcurseiro.com.br

    Matemtica

    Professor: Dudan

  • www.acasadoconcurseiro.com.br

    SUMRIO

    Conjuntos Numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    Operaes Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    Razo e Proporo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

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    Mdulo 1

    Conjuntos Numricos

    Nmeros naturais ( )

    Definio

    N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}

    Subconjuntos

    N * = {1, 2, 3, 4, . . .} naturais no nulos .

    Nmeros inteiros ( )

    Definio

    Z = { . . ., - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}

    Subconjuntos

    Z* = { . . ., - 4, - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 4, . . .} inteiros no nulos

    Z + = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} inteiros no negativos (naturais)

    Z*+ = {1, 2, 3, 4, . . .} inteiros positivos

    Z- = { . . ., - 4, - 3, - 2, - 1, 0} inteiros no positivos

    Z*- = { . . ., - 4, - 3, - 2, - 1} inteiros negativos

    O mdulo de um nmero inteiro, ou valor absoluto, a distncia da origem a esse ponto representado na reta numerada . Assim, mdulo de - 4 4 e o mdulo de 4 tambm 4 .

    |- 4| = |4| = 4

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    Faa voc

    1. Assinale V para as verdadeiras e F para as falsas:

    ( )0 N ( )0 Z ( )- 3 Z

    ( )-3 N ( )N c Z

    2. Calcule o valor da expresso 3 | 3+ |-3| + |3|| .

    Nmeros racionais ( )

    Definio

    Ser inicialmente descrito como o conjunto dos quocientes entre dois nmeros inteiros .

    Logo Q = { pq

    | p Z e q Z*}

    Subconjuntos

    Q* racionais no nulos

    Q + racionais no negativos

    Q*+ racionais positivos

    Q - racionais no positivos

    Q*- racionais negativos

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    Fraes, Decimais e Frao Geratriz

    Decimais exatos25

    = 0,4 14

    = 0,25

    Decimais peridicos13

    = 0,333 . . . = 0,3 79

    = 0,777 . . . = 0,7

    Transformao de dzima peridica em frao geratriz

    1. Escrever tudo na ordem, sem vrgula e sem repetir .

    2. Subtrair o que no se repete, na ordem e sem vrgula .

    3. No denominador:

    Para cada item peridico, colocar um algarismo 9; Para cada intruso, se houver, colocar um algarismo 0 .

    Exemplo

    a) 0,333 . . . Seguindo os passos descritos acima: - 03 09

    = 3/9 = 1/3

    b) 1,444 . . . Seguindo os passos descritos acima: - 14 19

    = 13 /9

    c) 1,232323 . . . Seguindo os passos descritos acima: - 123 199

    = 122 /99

    d) 2,1343434 . . . Seguindo os passos descritos acima: - 2134 21

    990 = 2113 /990

    Faa voc

    3. Assinale V para as verdadeiras e F para as falsas:

    ( )0,333... Z ( )0 Q* ( )- 3 Q+

    ( )- 3,2 Z ( )N c Q ( )0,3444... Q*

    ( )0,72... N ( )1,999... N ( )62 Q

    ( )Q c Z

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    Nmeros irracionais (I)

    Definio

    Todo nmero cuja representao decimal no peridica .

    Exemplos

    0,212112111 . . . 1,203040 . . . 2

    Nmeros reais ( )

    Definio

    Conjunto formado pelos nmeros racionais e pelos irracionais .

    R = Q I, sendo Q I =

    Subconjuntos

    R* = {x R | 0} reais no nulos

    R + = {x R | 0} reais no negativos

    R*+ = {x R | > 0} reais positivos

    R- = {x R | 0} reais no positivos

    R*- = {x R | < 0} reais negativos

    Nmeros complexos ( )

    Definio

    Todo nmero que pode ser escrito na forma a + bi, com a e b reais .

    Exemplo

    3 + 2i - 3i - 2 + 7i 91,3 1,203040 . . .

    Resumindo:Todo nmero complexo.

    Q

    ZN

    I

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    Nmeros Primos

    So os nmeros naturais que aceitam exatamente dois divisores distintos: o 1 e ele mesmo .

    Exemplos: 2,3,5,7,11,13,17, . . .

    Nmeros Primos entre si

    So os nmeros cujo nico divisor comum a unidade (1) .

    Exemplo: 49 e 6 so primos entre si pois a frao 49/6 no se simplifica.

    Regra Prtica: Se colocarmos 49 e 6 na forma de frao 49 , no d para simplificar por nenhum nmero, logo temos uma frao IRREDUTVEL. 6Assim dizemos que 49 e 6 so PRIMOS ENTRE SI.

    Teoria dos Conjuntos (Linguagem dos Conjuntos)

    Conjunto um conceito primitivo, isto , sem definio, que indica agrupamento de objetos, elementos, pessoas etc . Para nomear os conjuntos, usualmente so utilizadas letras maisculas do nosso alfabeto .

    Representaes:

    Os conjuntos podem ser representados de trs formas distintas:

    I Por enumerao (ou extenso): Nessa representao, o conjunto apresentado pela citao de seus elementos entre chaves e separados por vrgula . Assim temos:

    O conjunto A das vogais -> A = {a, e, i, o, u} . O conjunto B dos nmeros naturais menores que 5 -> B = {0, 1, 2, 3, 4} . O conjunto C dos estados da regio Sul do Brasil -> C = {RS, SC, PR}

    II Por propriedade (ou compreenso): Nesta representao, o conjunto apresentado por uma lei de formao que caracteriza todos os seus elementos . Assim, o conjunto A das vogais dado por A = {x / x vogal do alfabeto} -> (L-se: A o conjunto dos elementos x, tal que x uma vogal)

    Outros exemplos:

    B = {x/x nmero natural menor que 5} C = {x/x estado da regio Sul do Brasil}

    III Por Diagrama de Venn: Nessa representao, o conjunto apresentado por meio de uma linha fechada de tal forma que todos os seus elementos estejam no seu interior . Assim, o conjunto A das vogais dado por:

    A

    a.e.i.o.u.

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    Classificao dos Conjuntos

    Vejamos a classificao de alguns conjuntos:

    Conjunto Unitrio: possui apenas um elemento . Exemplo: o conjunto formados pelos nmeros primos e pares .

    Conjunto Vazio: no possui elementos, representado por ou, mais raramente, por { } . Exemplo: um conjunto formado por elemento par, primo e diferente de 2 .

    Conjunto Universo (U): possui todos os elementos necessrios para realizao de um estudo (pesquisa, entrevista etc .)

    Conjunto Finito: um conjunto finito quando seus elementos podem ser contados um a um, do primeiro ao ltimo, e o processo chega ao fim . Indica-se n(A) o nmero (quantidade) de elementos do conjunto A .

    Exemplo:A = {1, 4, 7, 10} finito e n(A) = 4

    Conjunto Infinito: um conjunto infinito quando no possvel contar seus elementos do primeiro ao ltimo .

    Relao de Pertinncia

    uma relao que estabelecemos entre elemento e conjunto, em que fazemos uso dos smbolos e .

    Exemplo:Fazendo uso dos smbolos ou , estabelea a relao entre elemento e conjunto:

    a) 10 __ N

    b) - 4 __N

    c) 0,5 __I

    d) - 12,3__Q

    e) 0,1212 . . .__Q

    f) 3 ___I

    g) -16 ___R

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    Relao de Incluso

    uma relao que estabelecemos entre dois conjuntos . Para essa relao fazemos uso dos smbolos , , e .

    Exemplo

    Fazendo uso dos smbolos de incluso, estabelea a relao entre os conjuntos:a) N ___ Zb) Q ___ Nc) R ___ Id) I ___ Q

    Observaes:

    Dizemos que um conjunto B um subconjunto ou parte do conjunto A se, e somente se, B A .

    Dois conjuntos A e B so iguais se, e somente se, A B e B A . Dados os conjuntos A, B e C, temos que: se A B e B C, ento A C .

    Unio, Interseco e Diferena entre conjuntos

    Exemplo de aula

    Dados os conjuntos A = {1, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4} e C = {4, 5, 10} . Determine:

    a) A B c)A B e)A B C

    b) A B d)B A f)A B C

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    Faa voc

    4. Considere a seguinte funo de varivel real

    f (x) = se x racional

    se x irra

    1

    0,

    , ccional Podemos afirmar que:

    a) f(0,3333 . . .) = 1b) f(2,31) = 0c) f(3,1415) = 0d) f(1) + f(0) = 1e) nenhuma das anteriores .

    5. A lista mais completa de adjetivos que se aplica ao nmero - +1 25

    2 :

    a) Complexo, real, irracional, negativo .b) Real, racional, inteiro .c) Complexo, real, racional, inteiro, negativo .d) Complexo, real, racional, inteiro, positivo .e) Complexo, real, irracional, inteiro .

    6. Assinale a alternativa incorreta:

    a) R Cb) N Qc) Z Rd) Q Ze) N

    7. (FUVEST) Dividir um nmero por 0,0125 equivale a multiplic-lo por:

    a) 1/125 .b) 1/8 .c) 8 .d) 12,5 .e) 80 .

    8. Se a = 5 , b = 33/25, e c = 1,323232 . . ., a afirmativa verdadeira

    a) a < c < bb) a < b < cc) c < a < bd) b < a < ce) b < c < a

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    9. Seja R o nmero real representado pela dzima 0,999 . . .Pode-se afirmar que:

    a) R igual a 1 .b) R menor que 1 .c) R se aproxima cada vez mais de 1 sem nunca chegar .d) R o ltimo nmero real menor que 1 .e) R um pouco maior que 1 .

    10. Joo e Toms partiram um bolo retangular . Joo comeu a metade da tera parte e Toms comeu a tera parte da metade . Quem comeu mais?

    a) Joo, p