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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE CINCIAS SOCIAIS E HUMANAS DEPARTAMENTO DE CINCIAS ADMINISTRATIVAS E CONTBEIS

MATEMTICA FINANCEIRA

MARCIA REBELLO DA SILVA

2008/II

2

CAPTULO 1:

JUROS SIMPLESTodos os direitos autorais reservados

MARCIA REBELLO DA SILVA

1.1 - Objetivo da Matemtica Financeira A Matemtica Financeira por tratar, em essncia, do estudo do dinheiro ao longo do tempo, tem como objetivo bsico fazer anlises e comparaes dos vrios fluxos de entrada e sada de dinheiro de caixa verificados em vrios momentos. Assim sendo nada mais do que o estudo da equivalncia de "valores datados".

1.2 - Conceito de Juros Juro a remunerao a qualquer ttulo do capital utilizado durante certo perodo de tempo sob o ponto de vista do investidor, isto , a renda do capital investido.

1.3 - Taxa de Juros O elemento fundamental para a transposio e anlise de valores datados a taxa de juros, isto , o coeficiente que determina o valor dos juros. As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (dias, meses, trimestres, etc.) e podem ser representados equivalentemente de duas maneiras: taxa unitria e taxa percentual.

1.3.1 - Taxa Unitria Refere-se unidade do capital. Reflete o rendimento de cada unidade de capital em certo perodo de tempo. Ex. 1: Taxa de 0,30 ao ms, ento a aplicao de $ 1, 00, por 1 ms gera um juro de $ 0,30. Taxa Unitria = 0,30 a.m. (1,00) (0,30) = 0,30

3

1.3.2 - Taxa Percentual Refere-se aos "centos do capital", isto , o valor dos juros para cada centsima parte do capital. Ex. 2: Um capital de $ 100,00 rende $ 10,00 em 1 ms, ento a taxa de juros de 10% a.m. Taxa percentual = 10 % a.m. NOTA: Para transformar a taxa percentual em unitria basta dividir a notao da porcentagem por 100. Para transformar a taxa unitria em percentual basta multiplicar por 100 e acrescentar o smbolo que representa o por cento que %. (100,00) (10 / 100) = $ 10,00

Ex. 3: 24% a.m. Taxa percentual taxa unitria = 24/100 = 0,24 a.m

Ex. 4: 0,6 a.s. Taxa unitria taxa percentual = (0,6) (100%) = 60% a.s

Nota: Nas frmulas de matemtica financeira todos os clculos so efetuados utilizando-se a taxa unitria de juros.

1.4 - Diagrama do Capital no Tempo Como os problemas financeiros dependem basicamente do fluxo de entradas e sadas de dinheiro ao longo do tempo, o fluxo de caixa de grande utilidade para as operaes da matemtica financeira, permitindo assim, uma melhor visualizao do que ocorre com o capital.

4Entradas de caixa (+) 0 (-)

(+)

(+)

Sadas de caixa (-) Convenes:

1

2 (-)

3

4

5

6

(tempo)

a) Reta horizontal: registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operao, com a progresso de tempo dando-se da esquerda para a direita. b) Perodos de tempo: aparecem em intervalos contguos, de modo que cada nmero representa os perodos de tempo (datas) acumulados. O ponto zero indica o momento inicial. c) Setas: significam entradas de dinheiro (para cima) da linha de tempo ou sadas de dinheiro (para baixo) da linha de tempo. d) Tamanho das setas: deveria representar proporcionalmente o valor do capital que est entrando ou saindo.

1.5 - Clculo dos Juros No regime de juros simples somente o principal produz juros durante o perodo de tempo da transao. Os juros que um capital produz so constantes e proporcionais ao capital aplicado, na razo da taxa de juros.

J=PinOnde: J: Juros; Rendimento P: Principal ou Capital n: Perodo de Tempo da Transao => i : Taxa de Juros Unitria; Rentabilidade unitria => [$] => => [1/tempo] [tempo]. [$]

5Ex. 5: Um capital de $ 20.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 10% a.m. durante nove meses. Qual o valor dos juros? P = $ 20.00 Soluo: 0,00 J= Pin J = $ 18.000,00 n = 9 meses i = 10% a.m. J=?

J = $ 20.000,00 (0,10/ms) (9meses)

1.6 - Clculo do Montante O montante o capital acrescido dos Juros. S=P+J S=P+Pin J=Pin colocando P em evidncia fica:

S = P [1 + (i) (n)]Onde: S: montante, ou valor acumulado de P, ou valor de vencimento (1 + i n): => [$]. fator de acumulao a juros simples; ou valor acumulado de $ 1,00.

Ex. 6: Qual o valor acumulado no final de 200 dias para um capital $ 6.900,00 que ficou aplicado a uma taxa de juros simples de 0,4% a.d.? P = $ 6.900,00 Soluo 1: i = 0,4% a.d. S = P [1 + (i) (n)] S = $ 12.420,00 n = 200 dias S=?

S = $ 6.900,00 [1+ (0,004/dia) (200 dias)] Soluo 2: S= P+J

S = $ 6.900,00 + [($ 6.900,00) (0,004/dia) (200 dias)]

S = $ 12.420,00

1.7 - Homogeneidade entre Taxa e Tempo Nos clculos financeiros, devemos estar atentos para o fato de que a taxa de juros e o tempo sejam considerados na mesma unidade de tempo expressa pelo perodo financeiro, isto , se a taxa de juros for ao ano, o tempo dever ser em anos; ou se o tempo expresso em meses a taxa de juros ter quer ser em meses.

6Mas por hiptese se isto no ocorrer, podemos transformar o tempo ou a taxa para podermos obter a homogeneidade entre as unidades de tempo.

Ex. 7: O juro simples de um capital de $ 2.000,00 colocado taxa de 10% a.a., durante seis meses ser igual a: P = $ 2.000,00 Soluo 1: n = 6 meses i = 10% a.a. J= Pin n = 6 meses J=?

(Mudando o tempo) J = $ 100,00 (Mudando a taxa) J = $ 100,00

n = (6 meses) (1 ano/12 meses) = 0,5 anos

J = ($ 2.000,00) (0,10/ano) (0,5 anos) Soluo 2: J= P i n

J = ($ 2.000,00) (0,10/12 meses) (6 meses) Soluo 3: J= P i n

J = ($ 2.000,00) (0,10/ano) (6 meses) (1 ano/12 meses) Nota:

J = $ 100,00

Quando multiplicamos por uma unidade a equao, no alteramos a equao, neste caso como "1 ano = 12 meses", ento, "1ano / 12 meses = 1"

1.8 - Consideraes sobre Taxas de Juro 1.8.1 - Taxas Proporcionais Duas taxas so proporcionais se houver igualdade de quociente das taxas com o quociente dos respectivos perodos. Ex. 8: Verificar se a taxa de 12 % a.s; e a taxa de 24 % a.a. so proporcionais. (regime de capitalizao simples) Soluo: (1) (0,12/sem) (ano/0,24) = (0,50) (ano/sem) (= quociente entre as taxas) (2) (1 ano/2 sem) = (0,50) (ano/sem) (= quociente entre os perodos) Como: (1) = (2) que so proporcionais.

71.8.2 - Taxas Equivalentes Duas taxas so ditas equivalentes se aplicadas ao mesmo capital pelo mesmo perodo de tempo, ambas as taxas produzirem o mesmo montante. Nota: No Regime de Juros Simples as taxas proporcionais so igualmente equivalentes. Ex. 9: Verificar se a taxa de juros de 12 % a.s. e a taxa de juros de 24 % a.a. so equivalentes.(em regime de capitalizao simples). Soluo: (1) (2) P = $1,00 P = $1,00 i = 12% a.s. i = 24% a.a. n = 1 ano n = 1 ano

(1) S = $ 1,00 [1 + (0,12/sem) (2 sem)] = $ 1,24 (2) S = $ 1,00 [1 + (0,24/ano) (1 ano)] = $ 1,24 Nota: Como: (1) = (2) so equivalentes; e se so equivalentes tambm so proporcionais; mas somente em regime de capitalizao simples.

1.8.3 - Taxa Nominal e Taxa Efetiva A taxa nominal aquela adotada geralmente nas operaes financeiras; e a taxa efetiva a taxa de rendimento que a operao financeira proporciona efetivamente. Assim sendo, nem sempre a taxa efetiva igual a taxa nominal. Os juros antecipados, os impostos, as taxas, as comisses, os artifcios usados nos clculos de juros fazem com que tanto no regime de capitalizao a juros simples quanto no regime de capitalizao a juros compostos as taxas efetivas e nominais difiram.

1.9 - Valores: Nominal, Atual e Futuro de um Compromisso Financeiro. 1.9.1 - Valor Nominal Corresponde o valor recebido por um compromisso na data de vencimento, isto , o valor que assume esse compromisso em sua data de vencimento.

81.9.2 - Valor Atual Corresponde ao valor que um compromisso tem em uma data anterior a data de seu vencimento. 1.9.3 - Valor Futuro o valor do compromisso em qualquer data posterior a que est sendo considerada no momento. Nota: Quando a data posterior for data de vencimento do compromisso financeiro, ento, teremos o valor nominal do compromisso financeiro. O valor Futuro s ser igual ao montante quando a data futura for a data de vencimento do compromisso financeiro.

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CAPTULO 2:

DESCONTO SIMPLESTodos os direitos autorais reservados

MARCIA REBELLO DA SILVA

Desconto:

Desconto o abatimento concedido sobre um ttulo de crdito em virtude de

seu resgate antes do vencimento, recebendo o portador do ttulo nesta operao um valor menor do que aquele que receberia se aguardasse a data de vencimento. Os ttulos de crditos que podem ser descontados so: notas promissrias, duplicatas, e letras de cmbio.

Notas promissrias: so documentos comuns entre pessoas fsicas, podendo tambm serem emitidas por pessoas jurdicas ou em favor de instituies.

Duplicatas:

so emitidas por firmas contra seus clientes (pessoas fsicas ou jurdicas)

para quem venderam mercadorias ou prestaram servios a prazo.

Letras de Cmbio: so emitidas por empresas, com aceite de uma sociedade de crdito, financiamento e investimento. So colocadas no mercado para captar recursos pra serem aplicados no prprio mercado em forma de financiamentos, pelos quais so cobrados taxas de juros maiores do que aquelas pagas aos portadores das letras de cmbio. Estes ttulos de crdito sempre tem um valor declarado que o valor nominal (ou valor de face) que representa o valor que deve ser pago na data de vencimento, que tambm vem declarada.

10 2.1 - Desconto Racional ou Por Dentro O desconto racional, tambm chamado de desconto real, de desconto verdadeiro ou de desconto por dentro, ou a taxa de juros o desconto que se obtm pelo clculo do juros simples sobre o valor atual, do ttulo que quitado "n" perodos antes de seu vencimento.

Juros P 0 Vr N

Dr

Dr = Vr i n

Onde: