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Apostila

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  • Haroldo da Costa BeloVolume 1 - Mdulo 1

    Matemtica Financeira

    Apoio:

  • Referncias Bibliogrfi cas e catalogao na fonte, de acordo com as normas da ABNT.

    Copyright 2005, Fundao Cecierj / Consrcio Cederj

    Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrnico, mecnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, da Fundao.

    B452mBelo, Haroldo da Costa. Matemtica fi nanceira. v. 1 / Haroldo da Costa Belo. Rio de Janeiro: Fundao CECIERJ, 2008. 132p.; 21 x 29,7 cm.

    ISBN: 85-7648-166-9

    1. Porcentagem. 2. Juros. 3. Taxas. I. Ttulo.

    CDD: 513.242008/1

    ELABORAO DE CONTEDOHaroldo da Costa Belo

    COORDENAO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONALCristine Costa Barreto

    COORDENAO DE AVALIAO DO MATERIAL DIDTICODbora Barreiros

    Fundao Cecierj / Consrcio CederjRua Visconde de Niteri, 1364 Mangueira Rio de Janeiro, RJ CEP 20943-001

    Tel.: (21) 2299-4565 Fax: (21) 2568-0725

    PresidenteMasako Oya Masuda

    Vice-presidenteMirian Crapez

    Coordenao do Curso de MatemticaUFF - Celso Jos da Costa

    UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca

    EDITORATereza Queiroz

    COORDENAO DE PRODUOJorge Moura

    PROGRAMAO VISUALMarcelo Freitas

    CAPAAndr Dahmer

    PRODUO GRFICAAndra Dias FiesFbio Rapello Alencar

    Departamento de Produo

    Material Didtico

  • UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIROReitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho

    UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitor: Nival Nunes de Almeida

    UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitora: Malvina Tania Tuttman

    UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Motta Miranda

    UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROReitor: Alosio Teixeira

    UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEReitor: Roberto de Souza Salles

    Governo do Estado do Rio de Janeiro

    Secretrio de Estado de Cincia e Tecnologia

    Governador

    Alexandre Cardoso

    Srgio Cabral Filho

    Universidades Consorciadas

  • Matemtica Financeira

    SUMRIO

    Volume 1 - Mdulo 1

    Apresentao ___________________________________________7

    Aula 1 - Porcentagem ______________________________________________9

    Aula 2 - Juros __________________________________________________ 19

    Aula 3 - Estudos das taxas ________________________________________ 33

    Aula 4 - Desconto (desconto na capitalizao simples)____________________ 43

    Aula 5 - Desconto (desconto na capitalizao composta) __________________ 53Aula 6 - Equivalncia fi nanceira (Equivalncia fi nanceira na capitalizao simples) ________________ 59Aula 7 - Equivalncia fi nanceira (Equivalncia fi nanceira na capitalizao composta)_______________ 67Aula 8 - Sries, rendas ou anuidades uniformes de pagamentos (modelo bsico - valor atual) ________________________________ 73Aula 9 - Sries, rendas ou anuidades uniformes de pagamentos (modelo bsico - montante) _________________________________ 85Aula 10 - Sries, rendas ou anuidades uniformes de pagamentos (modelo genrico) ________________________________________ 91Aula 11 - Sistemas de amortizao de emprstimos (sistema de amortizao francs) ____________________________ 103Aula 12 - Sistemas de amortizao de emprstimos SAC - Sistema de Amortizao Constante ______________________ 115Aula 13 - Sistemas de amortizao de emprstimos SAA - Sistema Americano de Amortizao Sistema de Amortizaes Variveis ___________________________ 123

    Referncias ___________________________________________________ 131

  • 7

    APRESENTAO

    Pode-se dizer que a Matemtica Financeira a parte da Matemtica que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. A Matemtica Financeira busca quantificar as transaes que ocorrem no universo financeiro levando em conta a varivel tempo, isto , o valor do dinheiro no tempo. Constitui-se tambm a Matemtica Financeira como um bom exemplo de aplicao do estudo das Progresses Aritmtica e Geomtrica, assim como do estudo de Logaritmo e Exponencial, sendo assim importante que voc esteja familiarizado com esses assuntos.

  • 8

  • 9

    AULA 1 UNIDADE 1: PORCENTAGEM

    Objetivos: Ao final desta aula, voc dever ser capaz de:

    - Relembrar os conceitos de razo centesimal, porcentual, unitria.

    - Rever os conceitos envolvidos no clculo da porcentagem.

    - Entender e resolver os problemas propostos.

    1. Introduo No nosso cotidiano comum ouvir expresses do tipo: - Liquidao de vero, descontos de at 40 %. - As mulheres constituem cerca de 53 % da populao brasileira. - A alta dos preos no ms de Janeiro foi de 2,5 %. - O dlar baixou no ms de Janeiro cerca de 1,5 %. Essas expresses envolvem uma razo especial chamada porcentagem, assunto que passaremos a estudar agora.

    2. Razo centesimal Definio 1: Chamamos de razo centesimal a toda razo cujo conseqente (denominador) seja igual a 100.

    Exemplos:

    37 em cada 100 10037

    19 em cada 100 10019

    Diversas outras razes no-centesimais podem ser facilmente reescritas na forma centesimal.

    Exemplos:

    3 em cada 10 =10030

    103

    30 em cada 100

    2 em cada 5 =10040

    52

    40 em cada 100

    1 em cada 4 =10025

    41

    25 em cada 100

    Outros nomes usados para uma razo centesimal so razo porcentual, ndice ou taxa porcentual e percentil.

  • 10

    3. Forma porcentual Uma razo centesimal pode ser indicada na forma porcentual, anotando-se o antecedente

    (numerador) da razo centesimal seguido do smbolo % (l-se por cento). Exemplos:

    % 12 10012

    = (doze por cento) % 3 100

    3= (trs por cento)

    4. Forma unitria Alm da forma porcentual, existe uma outra forma de expressarmos uma razo porcentual a qual

    chamamos de forma unitria.

    A forma unitria da razo 100

    p o nmero decimal que obtemos dividindo o valor p por 100.

    Exemplos:

    10,23

    0,23 10023

    % 23 === 1

    0,06 0,06

    1006

    % 6 ===

    11,33 1,33

    100133

    % 133 === 1

    0,005 0,005

    1000,5

    % 5,0 ===

    5. Porcentagem

    Definio 2: Dados dois nmeros quaisquer, A e B , dizemos que A igual a p % de B quando

    o valor A for igual a 100

    p do valor B , ou seja, BABA

    100P

    de % p = . B a referncia

    do clculo porcentual. Dizemos, ento, que A uma porcentagem do nmero B .

    Obs.: Todo problema de porcentagem depende, basicamente, de determinarmos um dos valores

    dados na expresso acima, A , B , ou p em funo dos outros dois.

    comum encontrarmos as expresses: lucro, rendimento, desconto, abatimento, prejuzo, etc. indicando uma porcentagem em situaes especficas e a expresso principal indicando o valor de

    referncia que corresponde a 100 %.

    Exemplos:

    1) Calcular 20 % de 250.

    Soluo: 50 250 10020

    = ou 50 250 20,0 =

    Resp. : 20 % de 250 50

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    2) 30 igual a 20 % de quanto?

    Soluo: 15020,0

    3020,030 p p ===

    Resp.: 150

    3) 21 representa quanto por cento de 15? Soluo: Da definio de porcentagem temos:

    21 x % de 15 14015

    1002115100

    21 === xx

    Resp.: 140

    6. Aumentos e redues porcentuais Quando queremos calcular um aumento ou uma reduo de p % sobre determinado valor, normalmente somos levados a calcular o resultado em duas etapas:

    l calculamos a porcentagem p % do valor dado;

    2 adicionamos ou subtramos do valor original a porcentagem encontrada, para obter,

    respectivamente, o valor aumentado ou reduzido em p % do valor dado, conforme o caso desejado. Usando a forma unitria, poderemos calcular aumentos e redues porcentuais de modo mais

    rpido, da seguinte forma:

    I _ Para calcular um aumento de p %

    Quando aumentamos em p % um valor V, ficamos com ( )%100 p+ de V. Ento, basta multiplicar o valor V pela forma unitria de ( )%100 p+ para termos o resultado desejado.

    Exemplos:

    1) Aumentar o valor 230 em 30 %.

    Soluo: ( ) 1,30

    100130% 130%30100 ===+ ( fator de correo)

    230 x 1,30 = 299

    Resp. : 299

  • 12

    2) Aumentar o valor 400 em 3,4 %.

    Soluo: ( ) 1,034

    1004,103% 4,103%4,3100 ===+ , portanto, 400 x 1,034 = 413,6

    Resp.: 413,6

    II Para calcular uma reduo de p %

    Quando reduzimos em p % um valor V, ficamos com ( )%100 p de V. Ento, basta multiplicar o valor V pela forma unitria de ( )p100 % para termos o resultado desejado.

    Exemplos:

    1) Reduzir o valor 300 em 30 %.

    Soluo: ( ) 0,70 10070

    % 70 % 30100 === 300 x 0,70 = 210

    Resp. : 210

    2) Reduzir o valor 400 em 2,5 %.

    Soluo: ( ) 975,010097,5

    5,97 % 5,2100 === 400 x 0,975 = 390

    Resp. : 390

    7. Aumentos e redues porcentuais sucessivos

    I Aumentos sucessivos

    Para aumentarmos um valor V sucessivamente em 1p %, 2p %, ....., np %, de tal forma que cada

    um dos aumentos, a partir do segundo, incida sobre o resultado do aumento anterior, basta

    multiplicar o valor V pelo produto das formas unitrias de ( ) p1+100 %, ( ) p2+100 %,..., ( )

    pn+100 %.

    Exemplos:

    1) Aumentar o valor 2.000 sucessivamente em 10 %, 20 % e 30 %. Soluo: 2.000 x 1,10 x 1,20 x 1,30 = 3.432

    Resp. : 3.432

    2) Se o valor 4.000 sofrer trs aumentos sucessivos de 5%, qual o valor resultante? Soluo: 4.000 x 1,05 x 1,05 x 1,05 = 4.630,50

    Resp. : R$ 4.630,50