apostila 161 páginas - casa-bb-matematica-financeira

MATEMÁTICA

FINANCEIRA

AUTOR: Prof Edgar Abreu

www.acasadoconcurseiro.com.br

http://www.acasadoconcurseiro.com.br/

CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA EDITAL

JANEIRO 2012

1. Porcentagem;

2. Juros simples e compostos: capitalização e descontos.

3. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes,

proporcionais, real e aparente.

4. Rendas uniformes e variáveis.

5. Planos de amortização de empréstimos e financiamentos.

6. Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de

financiamento, empréstimo e investimento.

7. Avaliação de alternativas de investimento.

8. Taxas de retorno

A CASA DO CONCURSEIRO Estude com o curso que mais aprovou primeiro colocado no ultimo concurso do

Banco do Brasil.

Aprovamos o primeiro colocado nas seguintes cidades:

Irecê – Vitória da Conquista; Jundiaí – São Paulo; Jequié – BA; Anápolis – GO ;

Sete Lagoas – MS; Pouso Alegre – MG; Lins – SP; Paraíso do Tocantins – TO

Rio de Janeiro – RJ; Cabo Frio – RJ; Pelotas – RS; Novo Hamburgo – RS;

Santo Amaro – SP; Varginha – BA; Bonito – MS; Juiz de Fora – MG (PNE);

Disparado o curso que mais aprova em todo o país. Mais de 52% dos nossos

alunos fora, aprovados nos últimos concursos do Banco do Brasil.

A CASA DO CONCURSEIRO, UM ANO BRINCANDO DE APROVAR

PRIMEIROS COLOCADOS!

Sumário

MÓDULO 1. INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA .................................. 01

QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ................................................................. 10

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1...................................... 11

MÓDULO 2. TAXAS ............................................................................................ 13



MÓDULO 3. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS ... 39



MÓDULO 4. RENDAS UNIFORMES ................................................................... 103

QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ............................................................... 115

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1.................................... 119

MÓDULO 5. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC .......................... 128



MÓDULO 6. ANÁLISE DE INVESTIMENTO ......................................................... 142



MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu

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www.acasadoconcurseiro.com.br Página 1

MÓDULO 1. INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA

Alguns termos e definições utilizadas no estudo da Matemática Financeira.

Capital: Qualquer quantidade de dinheiro que esteja disponível em certa data para ser

aplicado numa operação financeira.

Juros: Custo do capital durante determinado período de tempo.

Taxa de Juros: Unidade de medida dos juros que corresponde à remuneração paga pelo uso

do capital durante um determinado período de tempo. Indica a periodicidade dos juros.

o Observação: Em nosso curso, usaremos a taxa unitária para que o cálculo fique

simplificado, quando estivermos utilizando fórmulas para realizar os cálculos.

Montante: Capital empregado mais o valor acumulado dos juros.

o Observação: MONTANTE = CAPITAL + JUROS (independente de estarmos falando

em capitalização simples ou em capitalização composta).

Capitalização: Operação de adição dos juros ao capital.

Regime de Capitalização Simples: Os juros são calculados periodicamente sobre o capital

inicial, e o montante será a soma do capital inicial com as várias parcelas de juros, o que

equivale a uma única capitalização.

Regime de Capitalização Composta: Incorpora ao capital não somente os juros referentes

a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior.

Desconto: Desconto é o abatimento que se faz sobre um valor ou um título de crédito

quando este é resgatado antes de seu vencimento. Todo título tem um valor nominal ou

valor de face, que é aquele correspondente à data de seu vencimento. A operação de

desconto permite que se obtenha o valor atual ou o valor presente do título em questão.

o Observação: VALOR ATUAL (VALOR PRESENTE) = VALOR NOMINAL (VALOR

DE FACE) – DESCONTO (independente de estarmos falando em capitalização simples

ou em capitalização composta).

1.1 TERMOLOGIA E CONCEITOS INICIAIS


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DEFINIÇÃO: Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitária A taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemática financeira. Pense na expressão 20% (vinte por cento), ou seja, essa taxa pode ser representada por uma fração cujo numerador é igual a 20 e o denominador é igual a 100. COMO FAZER

1010% 0,10

100

2020% 0, 20

100

55% 0,05

100

3838% 0,38

100

1,51,5% 0,015

100

230230% 2,3

100

Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo: O produto valia 100% e sofreu um aumento de 20%. Logo, está valendo 120% do seu valor inicial. Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo.

1.2 TAXA UNITÁRIA

1.3 FATOR DE CAPITALIZAÇÃO

1.2.1 AGORA É A SUA VEZ:

15%

20%

4,5%

254%

0%

63%

24,5%

6%


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120Fator de Capitalização = 1,2

100

O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar. Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de capitalização (por 1,2) para conhecer seu novo preço. Nesse exemplo, será de R$ 60,00. CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAÇÃO: Basta somar 1 com a taxa unitária. Lembre-se que 1 = 100/100 = 100%

COMO CALCULAR:

o Acréscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45 o Acréscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/ 100 = 1,2

ENTENDENDO O RESULTADO: Para aumentar o preço do meu produto em 20%, deve-se multiplicar o preço por 1,2. Exemplo 1.3.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acréscimo de 20% passará a custar 1.500 x 1,2 (fator de capitalização para 20%) = R$ 1.800,00 COMO FAZER:

Acréscimo de 30% 1,3

Acréscimo de 15% 1,15

130 = 100% + 30% = 130% =

100

115 = 100% + 15% = 115% =

100

103 = 1Acréscimo de 3% 1,03

Acréscimo de 20

00% + 3% = 103% = 100

300 = 100% + 200% = 30 00% =

0% 3

1 0


Acréscimo Calculo Fator

15%

20%


[email protected]


4,5%

254%

0%

63%

24,5%

6%

Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo: O produto valia 100% e sofreu um desconto de 20%. Logo, está valendo 80% do seu valor inicial. Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo.

80Fator de Descapitalização = 0,8

100

O Fator de descapitalização é o número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar. Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de descapitalização por 0,8 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 40,00. CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO: Basta subtrair o valor do desconto expresso em taxa unitária de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100% COMO CALCULAR:

o Desconto de 45% = 100% - 45% = 65% = 65/ 100 = 0,65

o Desconto de 20% = 100% - 20% = 80% = 80/ 100 = 0,8

ENTENDENDO O RESULTADO: Para calcularmos um desconto no preço do meu produto de 20%, devemos multiplicar o valor desse produto por 0,80.

1.4 FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO


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Exemplo 1.4.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passará a custar 1.500 x 0,80 (fator de descapitalização para 20%) = R$ 1.200,00 COMO FAZER:

Desconto de 30% 0,7

Desconto de 15% 0,85

70 = 100% 30% = 70% =

100

85 = 100% 15% = 85% =

100

97 = 1Desconto de 3% 0,97

Desconto de

00% 3% = 97% = 100

50 = 100% 50% = 50% =

10050% 0,5


Desconto Calculo Fator

15%

20%

4,5%

254%

0%

63%

24,5%

6%

Um tema muito comum abordado nos concursos é os acréscimos e os descontos sucessivos. Isso

acontece pela facilidade que os candidatos tem em se confundir ao resolver uma questão desse

tipo.

O erro cometido nesse tipo de questão é básico: o de somar ou subtrair os percentuais, sendo

que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalização e descapitalização.

1.5 ACRÉSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO


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Vejamos abaixo um exemplo de como é fácil se confundir se não temos estes conceitos bem

definidos:

Exemplo 1.5.1:

Os bancos vêm aumentando significativamente as suas tarifas de manutenção de contas. Estudos

mostraram um aumento médio de 30% nas tarifas bancárias no 1º semestre de 2009 e de 20%

no 2° semestre de 2009. Assim, podemos concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suas

tarifas aumentadas em:

a) 50%

b) 30%

c) 150%

d) 56%

e) 20%

Ao ler esta questão, muitos candidatos se deslumbram com a facilidade e quase por impulso

marcam como certa a alternativa “a” (a de “apressadinho”).

Ora, estamos falando de acréscimos sucessivos. Vamos considerar que a tarifa média mensal de

manutenção de conta no início de 2009 seja de R$ 10,00, logo teremos:

Após receber um acréscimo de 30%:

10,00 x 1,3 (ver tópico 1.3) = 13,00

Agora, vamos acrescentar mais 20% referente ao aumento dado no 2° semestre de 2009:

13,00 x 1,2 (ver tópico 1.3) = 15,60

Ou seja, as tarifas estão 5,60 mais caras que o início do ano.

Como o valor inicial das tarifas era de R$ 10,00, concluímos que elas sofreram uma alta de 56%,

e não de 50% como parecia inicialmente.

COMO RESOLVER A QUESTÃO ACIMA DE UMA FORMA MAIS DIRETA:

Basta multiplicar os fatores de capitalização, como aprendemos no tópico 1.3:

o Fator de Capitalização para acréscimo de 30% = 1,3

o Fator de Capitalização para acréscimo de 20% = 1,2

1,3 x 1,2 = 1,56

Como o produto custava inicialmente 100% e sabemos que 100% é igual a 1 (ver módulo 1.2),

logo, as tarifas sofreram uma alta média de: 1,56 – 1 = 0,56 = 56%


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COMO FAZER

Exemplo 1.5.2: Um produto sofreu em janeiro de 2009 um acréscimo de 20% dobre o seu valor, em fevereiro outro acréscimo de 40% e em março um desconto de 50%. Neste caso podemos afirmar que o valor do produto após a 3ª alteração em relação ao preço inicial é: a) 10% maior b) 10 % menor c) Acréscimo superior a 5% d) Desconto de 84% e) Desconto de 16% Resolução: Fator para um aumento de 20% = 100% + 20% = 100/100 + 20/100 = 1+0,2 = 1,2 Aumento de 40% = 100% + 40% = 100/100 + 40/100 = 1 + 0,4 = 1,4 Desconto de 50% = 100% - 50% = 100/100 - 50/100 = 1 - 0,5 = 0,5 Assim: 1,2 x 1,4 x 0,5 = 0,84 (valor final do produto) Como o valor inicial do produto era de 100% e 100% = 1, temos: 1 – 0,84 = 0,16 Conclui-se então que este produto sofreu um desconto de 16% sobre o seu valor inicial. (Alternativa E)

Exemplo 1.5.3 O professor Ed perdeu 20% do seu peso de tanto “trabalhar” na véspera da prova do concurso público da CEF, após este susto, começou a se alimentar melhor e acabou aumentando em 25% do seu peso no primeiro mês e mais 25% no segundo mês. Preocupado com o excesso de peso, começou a fazer um regime e praticar esporte e conseguiu perder 20% do seu peso. Assim o peso do professor Ed em relação ao peso que tinha no início é: a) 8% maior b) 10% maior c) 12% maior d) 10% menor e) Exatamente igual Resolução: Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8 Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25 Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25 Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8 Assim: 0,8 x 1,25 x 1,25 x 0,8 = 1 Conclui-se então que o professor possui o mesmo peso que tinha no início. (Alternativa E)


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AGORA É SUA VEZ

QUESTÃO 1.5.1 (VUNESP) - O mercado total de um determinado produto, em número de unidades vendidas, é dividido por apenas duas empresas, D e G, sendo que em 2003 a empresa D teve 80% de participação nesse mercado. Em 2004, o número de unidades vendidas pela empresa D foi 20% maior que em 2003, enquanto na empresa G esse aumento foi de 40%. Assim, pode-se afirmar que em 2004 o mercado total desse produto cresceu, em relação a 2003, (A) 24 %. (B) 28 %. (C) 30 %. (D) 32 %. (E) 60 %.

QUESTÃO 1.5.2 (VUNESP) Ana e Lúcia são vendedoras em uma grande loja. Em maio elas tiveram exatamente o mesmo volume de vendas. Em junho, Ana conseguiu aumentar em 20% suas vendas, em relação a maio, e Lúcia, por sua vez, teve um ótimo resultado, conseguindo superar em 25% as vendas de Ana, em junho. Portanto, de maio para junho o volume de vendas de Lúcia teve um crescimento de: (A) 35%. (B) 45%. (C) 50%. (D) 60%. (E) 65%.


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Resolução questão 1.5.1

Considerando o tamanho total do mercado em 2003 sendo 100%, e sabendo que ele é totalmente

dividido entre o produto D (80%) e o produto G (consequentemente, 20%):

2003 2004

Produto D 0,8 Aumento de 20% = 0,8 * 1,2 = 0,96

Produto G 0,2 Aumento de 40% = 0,2 * 1,4 = 0,28

TOTAL: 1 0,96 + 0,28 = 1,24

Se o tamanho total do mercado era de 1 em 2003 e passou a ser de 1,24 em 2004, houve um

aumento de 24% de um ano para o outro. Resposta: alternativa A


Como não sabemos as vendas em maio, vamos considerar as vendas individuais em 100% para

cada vendedora. A diferença para o problema anterior é que, no anterior, estávamos tratando o

mercado como um todo. Nesse caso, estamos calculando as vendas individuais de cada

vendedora.

Maio Junho

Ana 1 Aumento de 20% = 1 * 1,2 = 1,2

Lúcia 1 Aumento de 25% sobre as vendas de Ana em

junho = 1,2 * 1,25 = 1,5

Como as vendas de Lúcia passaram de 100% em maio para 150% em Junho (de 1 para 1,5),

houve um aumento de 50%. Resposta: alternativa C


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QUESTÕES FCC MÓDULO 1

1. (TRF 1ª REGIÃO 2011 - MED) - Denis investiu uma certa quantia no mercado de

ações. Ao final do primeiro mês ele lucrou 20% do capital investido. Ao final do

segundo mês, perdeu 15% do que havia lucrado e retirou o montante de R$ 5 265,00.

A quantia que Denis investiu foi:

(A) R$ 3 200,00

(B) R$ 3 600,00

(C) R$ 4 000,00

(D) R$ 4 200,00

(E) R$ 4 500,00

2. (SEFAZ PB 2006 - SUP) A taxa de juros nominal de 36% ao ano, com capitalização

mensal, corresponde a uma taxa efetiva de

(A) 9% ao trimestre.

(B) [(1,03)² - 1] ao bimestre.

(C) 12 . [(1,36)1/12 ? 1] ao ano.

(D) ao semestre.

(E) .

3. (TRT 22ª REGIÃO/PI - 2004) Um comerciante compra certo artigo ao preço unitário de

R$ 48,00 e o coloca à venda por um preço que lhe proporcionará uma margem de lucro

de 40% sobre o preço de venda. O preço unitário de venda desse artigo é

(A) R$ 78,00

(B) R$ 80,00

(C) R$ 84,00

(D) R$ 86,00

(E) R$ 90,00


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RESOLUÇÕES QUESTÕES FCC MÓDULO 1

Questão 1

Fator para o lucro de 20%: 100% + 20% = 100/100 + 20/100 = 1 + 0,2 = 1,2

Fator para a perda de 15%: 100% - 15% = 100/100 – 15/100 = 1 – 0,15 = 0,85

O detalhe é que Denis perdeu 15% apenas do que havia lucrado, e não do montante total. Ou

seja: o fator de 0,85 será aplicado apenas ao lucro de 20%. Para saber o valor obtido ao final do

período, multiplicamos os fatores: 0,2 * 0,85 = 0,17

Logo, ao final do período, Denis possuía 1,17 do valor investido inicialmente, que são R$

5.265,00. Para saber o valor investido inicialmente, podemos chamar o capital investido de “C”, e

estabelecer a seguinte relação:

1,17 de C é igual a 5.265. Matematicamente:

1,17C = 5.265

Calculando o capital inicial:

C = 5.265/1,17

C = 4.500

RESPOSTA: Alternativa E

Questão 2 Primeiro passo: converter a taxa nominal para uma taxa efetiva. Como a taxa foi dada ao ano com capitalização mensal, e 1 ano possui 12 meses: 36% / 12 = 3% ao mês Com essa informação, podemos analisar as alternativas: a) Essa alternativa estaria correta se fossem juros simples, pois 3% * 3 = 9%. No regime de juros compostos, essa taxa seria um pouco maior, pois o cálculo seria 1,03³ = 1,092727, então a taxa seria de 9,2727% b) Para converter a taxa mensal de 3% para uma taxa bimestral, utilizamos o fator 100% + 3% = 100/100 + 3/100 = 1 + 0,03 = 1,03. Como 1 bimestre possui 2 meses, elevamos esse fator ao quadrado, e depois subtraímos 1 do resultado, que é o mesmo 1 adicionado anteriormente para o caçulo da potência. Matematicamente, teríamos: 1,03² - 1, que é exatamente o sugerido pela alternativa. c) O cálculo correto para converter a taxa de 36% ao ano com capitalização mensal para uma taxa efetiva ao ano seria: primeiro, dividir 36% por 12. Depois, elevar o fator do resultado (1,03) à potência 12 e subtrair 1 ao final. Matematicamente, teríamos:


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[(0,36/12)+1]¹² - 1 d) O cálculo correto para converter a taxa de 36% ao ano com capitalização mensal para uma taxa efetiva ao semestre seria: primeiro, dividir 36% por 12. Depois, elevar o fator do resultado (1,03) à potência 6 (1 semestre = 6 meses) e subtrair 1 ao final. Matematicamente, teríamos: [(0,36/12)+1]^6 – 1 e) Esse cálculo seria correto caso estivéssemos convertendo uma taxa efetiva de 36% ao ano para uma taxa mensal. Como 36% é uma taxa nominal, esse não é o cálculo correto. RESPOSTA: Alternativa B

Questão 3 O problema informa que há um lucro de 40% sobre o preço de venda, e que descontado esse lucro, o valor do produto é de R$ 48,00. Precisamos fazer o raciocínio inverso do que fizemos até o momento, pois se antes pensávamos em um fator de aumento e aplicávamos sobre um valor para descobrir o novo valor, agora aplicaremos um fator de decréscimo sobre um certo valor X, sabendo que o resultado será R$ 48,00. Organizando matematicamente: Para descontar os 40%, o fator será: 100% - 40% = 60%, ou em valor unitário, 0,60. Esse fator deverá ser aplicado sobre o preço com o lucro para termos o resultado 48. Assim: 0,60X = 48 X = 48/0,60 X = 80 RESPOSTA: Alternativa B


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MÓDULO 2. TAXAS

Calculada em regime de capitalização SIMPLES: Resolve-se apenas multiplicando ou dividindo

a taxa de juros:

Exemplo 2.1: Qual a taxa de juros anual proporcional à taxa de 2% ao mês?

Resposta: Se temos uma taxa ao mês e procuramos uma taxa ao ano, basta multiplicarmos essa

taxa por 12, já que um ano possuir 12 meses.

Logo a taxa proporcional é de 2% x 12 = 24% ao ano.

Exemplo 2.2: Qual a taxa de juros bimestral proporcional à taxa de 15% ao semestre?

Resposta: Nesse caso, temos uma taxa ao semestre e queremos transformá-la em taxa

bimestral. Note que agora essa taxa vai diminuir e não aumentar, o que faz com que tenhamos

que dividir essa taxa ao invés de multiplicá-la, dividir por 3, já que um semestre possui 3

bimestres.

Assim a taxa procurada é de 15%

5%3

ao bimestre.

COMO FAZER

TAXA TAXA PROPORCIONAL

25% a.m (ao mês) 300% a.a (ao ano)

15% a.tri (ao trimestre) 5% a.m

60% a. sem (ao semestre) 40% ao. Quad. (quadrimestre)

25% a.bim (ao bimestre) 150% (ao ano)

AGORA É A SUA VEZ

QUESTÕES TAXA TAXA PROPORCIONAL

2.1.1 50% a.bim

___________a.ano

2.1.2 6% a.mês

_________a.quad.

2.1.3 12% a.ano

_________ a.Trim.

2.1.4 20% a. quadri

__________a.Trim

2.1 TAXA PROPORCIONAL


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GABARITO

QUESTÃO RESPOSTA

2.1.1 300%

2.1.2 24%

2.1.3 3%

2.1.4 15%

Calculada em regime de capitalização COMPOSTA. Para efetuar o calculo de taxas equivalentes, é necessário utilizar uma fórmula. Para facilitar o nosso estudo, iremos utilizar a ideia de capitalização de taxas de juros de uma forma simplificada e mais direta.

Exemplo 2.2.1: Qual a taxa de juros ao bimestre equivalente a taxa de 10% ao mês? 1º passo: Transformar a taxa de juros em unitária e somar 1 (100%). Assim: 1 + 0,10 = 1,10 2º passo: elevar esta taxa ao período de capitalização. Neste caso 2, pois um bimestre possui dois meses. (1,10)2 = 1,21 3º passo: Identificar a taxa correspondente. 1,21 = 21%

Exemplo 2.2.2: Qual a taxa de juros ao semestre equivalente a taxa de 20% ao bimestre? 1º passo: Transformar a taxa de juros em unitária e somar 1 (100%). Assim: 1 + 0,20 = 1,20 2º passo: elevar esta taxa ao período de capitalização. Neste caso 3, pois um semestre possui três bimestres. (1,20)3 = 1,728 3º passo: Identificar a taxa correspondente. 1,728 = 72,8%

2.2 TAXA EQUIVALENTE


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COMO FAZER

20% a.bim equivale a:

Ao Quadrimestre (1,2)2 = 1,44 = 44%

Ao Semestre (1,2)3 = 1,728 = 72,8%

AGORA É A SUA VEZ

QUESTÃO 2.2.1

21% a.sem. equivale a:

Ao Ano

Ao Trimestre

GABARITO

QUESTÃO RESPOSTA

2.2.1 46,41% ao ano e 10% ao trimestre

2.2.2 69% ao bimestre e 119,7% ao trimestre

Essas taxas são muito especuladas em aplicações financeiras. A grande diferença entre as duas é

que na taxa bruta estão inclusos tributações e encargos, e a líquida está livre desses

descontos. Por este motivo, muitas vezes necessitamos da taxa líquida para podermos comparar

aplicações financeiras distintas.

10% a.m equivale a:

Ao Bimestre (1,1)2 = 1,21 = 21%

Ao Trimestre (1,1)3 = 1,331 = 33,10%

QUESTÃO 2.2.2

30% a.mês. equivale a:

Ao Bimestre

Ao Trimestre

2.3 TAXA BRUTA X TAXA LIQUIDA


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Exemplo 2.3.1:

Supondo uma aplicação em um fundo de investimento que lhe proporcionou um retorno de 0,90%

em um mês. Qual foi o seu ganho líquido se considerarmos que lhe foi cobrado 20% sobre o

ganho a título de imposto de renda?

Taxa Bruta: 0,90%

Imposto de renda: 20%

Taxa Liquida: Taxa Bruta - Imposto

OBS: Muito cuidado: descontar o imposto não é subtrair.

Calculando a taxa liquida:

0,90 x 0,80 (fator de descapitalização, ver tópico 1.4) = 0,72%

Logo a taxa liquida do investidor foi de 0,72%

COMO FAZER

CALCULAR A TAXA LIQUIDA

TAXA BRUTA 2%

IMPOSTO 30%

TAXA LIQUIDA 2% x 0,70 = 1,4%

AGORA É A SUA VEZ

QUESTÃO 2.3.1

TAXA BRUTA 10%

IMPOSTO 25%

TAXA LIQUIDA

QUESTÃO 2.3.3

TAXA BRUTA 20%

IMPOSTO 15%

TAXA LIQUIDA

CALCULAR A TAXA LIQUIDA

TAXA BRUTA 5%

IMPOSTO 20%

TAXA LIQUIDA 5% x 0,80 = 4%

QUESTÃO 2.3.2

TAXA BRUTA 15%

IMPOSTO 20%

TAXA LIQUIDA

QUESTÃO 2.3.4

TAXA BRUTA 8%

IMPOSTO 30%

TAXA LIQUIDA


[email protected]


GABARITO

QUESTÃO RESPOSTA

2.3.1 7,5%

2.3.2 12%

2.3.3 17%

2.3.4 5,6%

Quando temos um aumento em nosso salário, esse aumento é apenas um aumento aparente. Do que adianta você ganhar 5% a mais de salário se os preços dos alimentos, vestuário, educação, transporte tudo aumentou? Será que na realidade você está recebendo 5% a mais? O calculo da taxa real tem como objetivo descontar a inflação deste ganho aparente. Em uma aplicação financeira, percebemos apenas o aumento aparente. Para calcular a verdadeira rentabilidade, é necessário calcularmos a taxa real.

Exemplo 2.4.1: Um Fundo de Investimento teve no ano de 2009 um rendimento aparente de 20%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que nesse mesmo período a inflação acumulada foi de 10%? O candidato apressadinho irá responder, sem pensar muito, 10% de ganho real. Porém, para descobrirmos o ganho real, devemos descontar a inflação do ganho aparente, e não subtrair. Para isso, devemos utilizar o conceito da fórmula de Fisher. Abaixo vamos ver uma maneira simplificada de resolver essa questão sem a utilização de fórmula. Apenas sabendo que devemos dividir a taxa aparente pela inflação para encontrar a taxa real. 1º Passo: Identificar os dados: Taxa aparente (rentabilidade observada): 20% Inflação: 10% 2º Passo: Calcular a taxa real, apenas dividindo a taxa aparente pela Inflação. Para efetuar essa divisão, é necessário somar 1 (100%) em ambas as taxas. Ao final, iremos descontar este valor:

2.4 TAXA REAL X TAXA APARENTE


[email protected]


( ) (1 0,2) 1,21,0

taxa aparen909

( ) (1 0,10) 1,1

1,

1

1

repr0909 1( ) 0,0909es 9,09enta

te

i

100

nflaçã

% %

o

COMO FAZER

Exemplo 2.4.2: Uma ação teve no ano de 2005 um rendimento aparente acumulado de 80%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que nesse mesmo período a inflação acumulada foi de 20%? 1º Passo: Identificar os dados: Taxa aparente (rentabilidade observada): 80% Inflação: 20% 2º Passo: Calcular a taxa real, apenas dividindo a taxa aparente pela correção:

( ) (1 0,8) 1,81,5

( ) (1 0,20

ta

) 1,2

xa aparente

inflação

1,5 1

1

1

rep( ) 0,5 50rese 0 %nta10 %

AGORA É A SUA VEZ: QUESTÃO 2.4.1: Uma ação teve no ano de 2005 um rendimento aparente acumulado de 50%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que neste mesmo período a Inflação acumulada foi de 20%? QUESTÃO 2.4.2: Uma ação teve no ano de 2006 um rendimento aparente acumulado de 40%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que em 2006 a inflação do periodo foi de 60%?


[email protected]



Para calcularmos a taxa real, precisamos utilizar os conceitos de fator de aumento e fator de

desconto, somando ou subtraindo 100% à taxa. Nesse caso, devemos somar 100% a ambas as

taxas:

Rendimento de 50% = 1,5

Inflação de 20% = 1,2

Dividindo, teremos: 1,5/1,2 = 1,25.

Subtraindo os 100% somados anteriormente às taxas, temos como resultado 0,25. Logo, temos

uma taxa real de 25%.


Fator para aumento de 40%: 1,4

Fator para inflação de 60%: 1,6

Dividindo, teremos: 1,4/1,6 = 0,875

Subtraindo os 100% somados anteriormente às taxas, temos: 0,874 - 1 = -0,125. Logo, houve

rendimento negativo de 12,5%.

TAXA NOMINAL

Sempre que lhe for fornecida uma taxa cujo prazo difere da capitalização, estamos diante de

uma taxa nominal. A taxa nominal é uma prática utilizada pelas instituições financeira,

comércios, a fim de tornar os juros mais atraentes, mas fique atento: ela não representa a taxa

realmente cobrada.

Exemplos de taxas nominais:

24% ao ano/mês (lê-se vinte e quatro por cento ao ano com capitalização mensal)

3% ao mês/bimestrais;

1,5% ao dia/semestral;

2.5 TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA


[email protected]


TAXA EFETIVA

Representa a verdadeira taxa cobrada. É quando o prazo é igual a capitalização.

Exemplos de taxas efetivas:

24% ao ano/ano (lê-se vinte e quatro por cento ao ano com capitalização anual)

3% ao mês/mensal;

1,5% ao dia/diária

Podemos abreviar as taxas efetivas omitindo a sua capitalização, já que, por definição, uma taxa

efetiva possui a capitalização igual ao prazo.

Exemplos de taxas efetivas:

24% ao ano (lê-se vinte e quatro por cento ao ano)

3% ao mês

1,5% ao dia

TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA

A única utilidade da taxa nominal é fornecer a taxa efetiva através de um calculo de taxa

proporcional (ver tópico 2.1).

Exemplo 2.5.1

OBS: Taxas cuja capitalização e o prazo são iguais são chamadas de taxas efetivas e podem ser abreviadas da seguinte maneira: 2% ao mês/mês = 2% ao mês 15% ao ano/ano = 15% ao ano

30%


[email protected]


Retomando a situação mencionada anteriormente onde o vendedor afirma que cobra uma taxa de juros de 24% ao ano/mês, vamos tentar descobrir qual é a taxa efetiva anual.

Encontramos a taxa efetiva mensal que é de 2% ao mês.

Agora para transformar uma taxa efetiva mensal em uma taxa efetiva anual devemos fazer o calculo de taxas equivalente (ver tópico 2.2 ), uma vez que a capitalização utilizada é composta.

Exemplo 2.5.2 : Qual a taxa efetiva ao quadrimestre correspondente a taxa nominal de 20% ao

mês com capitalização bimestral?

1º passo: Identificar a taxa Nominal:

20% a.m / a.bim

2º passo: Transformar a taxa nominal em uma taxa efetiva, alterando APENAS o PRAZO,

mantendo a mesma capitalização. Para essa transformação, utilizar o conceito de TAXA

PROPORCIONAL.

20% a.m / a.bim = 40% a.bim / a. bim

OBS: podemos chamar esta taxa de juros de apenas 40% a.bim.

3º Passo: Transformar a taxa efetiva obtida na taxa efetiva solicitada pelo exercício, nesse caso

ao quadrimestre, utilizando-se dos conceitos de TAXA EQUIVALENTE.


[email protected]


40 % a. bim = (1,4)² = 1,96

4º Passo: identificar a taxa de juros:

1,96 = 1,96 – 1 = 0,96 = 96% ao Quadrimestre

COMO FAZER

Exemplo 2.5.3: Qual a taxa efetiva ao ano correspondente a taxa nominal de 10% ao trimestre com capitalização semestral? 10% a.tri/a.sem = 20% a.sem/a.sem (Taxa Proporcional) 20% a.sem = (1,2)2 = 1,44 = 44% a.a (Taxa equivalente) OBS: O expoente é igual a dois pelo fato de um ano possuir dois semestres. Exemplo 2.5.4: Qual a taxa efetiva ao quadrimestre correspondente a taxa nominal de 180% ao semestre com capitalização bimestral? 180% a.sem/a.bim = 60% a.bim/a.bim (Taxa Proporcional) 30% a.bim = (1,6)2 = 2,56 = 156% a.quad (Taxa equivalente) OBS: O expoente é igual a dois pelo fato de um quadrimestre possuir dois bimestres.

AGORA É A SUA VEZ:

QUESTÃO 2.5.1 Qual a taxa efetiva ao ano correspondente a taxa nominal de 5% ao mês com capitalização semestral? QUESTÃO 2.5.2 Qual a taxa efetiva ao trimestre correspondente a taxa nominal de 240% ao trimestre com capitalização mensal?


[email protected]


QUESTÃO 2.5.3 Qual a taxa efetiva ao semestre correspondente a taxa nominal de 20% ao mês com capitalização bimestral?


Primeiro passo: transformar a taxa de 5% ao mês/semestral em uma taxa semestral. Para esse

primeiro passo, utilizamos o conceito de taxas proporcionais, como se fosse um cálculo de taxas

de juros simples. Como 1 semestre possui 6 meses, multiplicamos 5% por 6.

0,05 x 6 = 0,3

Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 30% ao semestre, podemos convertê-la para

uma taxa efetiva ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo de

juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1

ano possui 2 semestres:

1,30² = 1,69

Subtraindo os 100% adicionados anteriormente à taxa, temos: 1 – 1,69 = 0,69. Logo, a taxa

efetiva ao ano é de 69%.


Primeiro passo: transformar a taxa de 240% ao trimestre/mensal em uma taxa mensal. Para esse


de juros simples. Como 1 trimestre possui 3 meses, dividimos 240% por 3.

2,4 / 3 = 0,8

Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 80% ao mês, podemos convertê-la para uma

taxa efetiva ao trimestre, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo de

juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1

trimestre possui 3 meses:

1,80³ = 5,832


efetiva ao trimestre é de 483,20%.


[email protected]



Primeiro passo: transformar a taxa de 20% ao mês/bimestral em uma taxa bimestral. Para esse


de juros simples. Como 1 bimestre possui 2 meses, multiplicamos 20% por 2.

0,2 x 2 = 0,4

Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 40% ao bimestre, podemos convertê-la para

uma taxa efetiva ao semestre, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo

de juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1

semestre possui 3 bimestres:

1,40³ = 2,744


efetiva ao semestre é de 174,4%.


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QUESTÕES DE NIVELAMENTO Utilize, se necessário, os dados abaixo para responder as questões de 1 a 11 1,053 = 1,157 1,055 = 1,276 1,057 = 1,407 1,103 = 1,331 1,105 = 1,610 1,109 = 2,358 1,203 = 1,728 1,204 = 2,073 1,205 = 2,488 1,302 = 1,690 1,303 = 2,197 1,304 = 2,856 1,305 = 3,712 1. A taxa anual proporcional a 30% ao semestre é de: (A) 15% (B) 60% (C) 69% (D) 79,53% (E) 169%

2. A taxa anual equivalente a 30% ao semestre é de: (A) 15% (B) 60% (C) 69% (D) 79,53% (E) 169%

3. A taxa anual proporcional a 5% ao mês é de: (A) 15% (B) 60% (C) 69% (D) 79,53% (E) 169%

4. A taxa anual equivalente a 5% ao mês é de: (A) 15% (B) 60% (C) 69% (D) 79,53% (E) 169%


[email protected]


5. A taxa ao quadrimestre proporcional 15,7% ao ano é de aproximado: (A) 3,92% (B) 5% (C) 5,23% (D) 7% (E) 47,10

6. A taxa ao quadrimestre equivalente a 15,7% ao ano é de aproximado: (A) 3,92% (B) 5% (C) 5,23% (D) 7% (E) 47,10

7. A taxa de 107,3% ao ano equivale aproximadamente a (A) 20% ao quadrimestre (B) 20% ao trimestre (C) 15% ao trimestre (D) 15% ao quadrimestre (E) 25% ao trimestre

8. A taxa de 180% ao ano equivale aproximadamente a uma taxa (A) Igual a 20% ao trimestre (B) Um pouco inferior a 20% ao trimestre (C) Igual a 30% ao trimestre (D) Igual a 30% ao quadrimestre (E) Um pouco inferior a 30% ao trimestre

9. A taxa efetiva anual correspondente a 30% ao trimestre com capitalização mensal

é aproximadamente de: (A) 120% (B) 155,40% (C) 185,6% (D) 213,8% (E) 285,6%

10. A taxa efetiva ao trimestre correspondente a 53,65% ao semestre com

capitalização ao ano é aproximadamente de: (A) 5% (B) 15% (C) 19% (D) 20% (E) 22%


[email protected]



1. (BB 2006 – MED) A taxa de inflação em um determinado país no ano de 2005

foi de 10%. Um investimento realizado neste mesmo período, neste país, que apresentou uma taxa real de juros negativa igual a –5%, foi efetuado a uma taxa de juros nominal igual a

(A) 4%

(B) 4,5%

(C) 5%

(D) 5,5%

(E) 6%

2. (BB 2006 – MED) Um empréstimo foi liquidado através de pagamentos de

prestações, a uma taxa de juros positiva, corrigidas pela taxa de inflação desde

a data da realização do referido empréstimo. Verificou-se que o custo efetivo

da operação foi de 44% e a taxa de inflação acumulada no período foi de 25%.

O custo real efetivo referente a este empréstimo foi de

(A) 14,4%

(B) 15,2%

(C) 18,4%

(D) 19%

(E) 20%

3. (BB-DF 2006 – MED) A taxa efetiva trimestral referente a uma aplicação foi

igual a 12%. A correspondente taxa de juros nominal (i) ao ano, com

capitalização mensal, poderá ser encontrada calculando:

(A) i = 4 ⋅ [(1,12 )1/3 − 1]

(B) i = 12 ⋅ [(1,12)1/4 − 1]

(C) i = 12 ⋅ [(1,12)1/3 − 1]

(D) i = (1,04 )12 − 1

(E) i = 12 ⋅ [(0,04) ÷ 3]


[email protected]


4. (BB-DF 2006 – MED) Um financiamento foi contratado, em uma determinada

data, consistindo de pagamentos a uma taxa de juros positiva e ainda

corrigidos pela taxa de inflação desde a data da realização do compromisso. O

custo efetivo desta operação foi de 44% e o custo real efetivo de 12,5%. Tem-

se, então, que a taxa de inflação acumulada no período foi de

(A) 16%

(B) 20%

(C) 24%

(D) 28%

(E) 30%

5. (MPU 2007 - SUP) A taxa de um empréstimo tomado por 2 (dois) anos no Banco

Esperança S.A. é de 36% a.a.. Considerando que o banco capitalizará a taxa

bimestralmente, a taxa efetiva do contrato será de Dado: Considere somente até a

quarta casa decimal

(A) 51,2196%

(B) 101,2196%

(C) 151,5456%

(D) 201,2196%

(E) 251,5456%

6. (MPU 2007 – SUP) A taxa efetiva anual de uma aplicação financeira com taxa de

juros de 36% a.a. capitalizada semestralmente e capitalizada mensalmente são,

respectivamente, de Dado: Considere até a quarta casa decimal

(A) 42,5760% e 39,2400%

(B) 31,1458% e 33,2118%

(C) 36,0000% e 26,2477%

(D) 39,2400% e 42,5760%

(E) 33,2118% e 31,1458%

7. (MPU 2007 – SUP) Antônio Tomador vai fazer empréstimo por 2 (dois) anos,

tendo a opção de pagar juros mensais ou juros semestrais equivalentes.

Considerando que o juro mensal é de 2%, o juro semestral equivalente é

(A) 12,0000000%


[email protected]


(B) 12,1626149%

(C) 12,2616639%

(D) 12,3966612%

(E) 12,6162419%

8. (MPU 2007 – SUP) A taxa equivalente trimestral, para uma taxa de empréstimo

mensal de 6,5%, é de

(A) 20,794963%

(B) 19,500000%

(C) 2,166667%

(D) 2,121347%

(E) 1,166667%

9. (DNOCS 2010) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$

25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros

de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no

vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

10. (COPERGÁS - 2011) Uma pessoa aplicou um capital no valor de R$ 15.000,00 a juros simples, por 6 meses, a uma taxa de 12% ao ano. O montante obtido nessa aplicação ela aplicou a juros compostos, durante 2 meses, à taxa de 1% ao mês. A soma dos juros correspondentes das duas aplicações é igual a

(A) R$ 1.600,00.

(B) R$ 1.538,23.

(C) R$ 1.339,18.

(D) R$ 1.219,59.

(E) R$ 1.200,00.


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RESOLUÇÕES QUESTÕES DE NIVELAMENTO

Questão 1 30% a.sem. = ? ao ano 2 semestres em 1 ano Taxa proporcional: 30% x 2 = 60% ao ano RESPOSTA: Alternativa B

Questão 2 30% a.sem = ? ao ano 2 semestres em 1 ano

Taxa equivalente: 100% + 30% 100/100 + 30/100 1 + 0,3 1,3 Como são 2 períodos, pelo conceito de taxas equivalentes, elevamos o fator ao número de períodos. Assim: 1,3² = 1,69 Subtraindo o 100% adicionado no início do cálculo: 100% = 100/100 = 1. Assim: 1 – 1,69 = 0,69 0,69 = 69% ao ano RESPOSTA: Alternativa C

Questão 3 5% a.m. = ? ao ano 12 meses em 1 ano Taxa proporcional: 5% x 12 = 60% ao ano RESPOSTA: Alternativa B

Questão 4 5% a.m. = ? ao ano 12 meses em 1 ano Taxa equivalente:

Calculando o fator: 100% + 5% 100/100 + 5/100 1 + 0,05 1,05 Como são 12 períodos: 1,05¹² =


[email protected]


Consultando a tabela, percebemos que não foi informado o valor da potência 12. Mas, pela propriedade das potências: 1,057 x 1,055 (na multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. 7+5 = 12). Substituindo os valores informados: 1,407 x 1,276 = 1,7953 Subtraindo 100% que foi somado no início dos cálculos: 1 ,7953 – 1 = 0,7953 = 79,53% ao ano RESPOSTA: Alternativa D

Questão 5 15,7% a.a. = ? ao quadrimestre 3 quadrimestres em 1 ano Taxa proporcional: 15,7% / 3 = 5,233% ao quadrimestre RESPOSTA: Alternativa C

Questão 6 15,7% a.a. = ? ao quadrimestre 3 quadrimestres em 1 ano Taxa equivalente: 100% + 15,7% 100/100 + 15,7/100 1 + 0,157 1,157 Agora estamos fazendo o caminho inverso ao de costume, convertendo uma taxa de um período maior para um período menor. Ou seja: 1,157¹/³ = ? Trabalhando a potência, temos que: 1,157 = (1+i)³ Ou seja, o fator de uma certa taxa aplicada por 3 períodos resultará no fator 1,157. Consultando a tabela, devemos procurar 1,157 do lado direito (qual é o valor que, elevado a 3, dá como resposta 1,157). Valor encontrado: 1,05³ = 1,157 Se 1,157 = (1+i)³3 e 1,157 = 1,05³, i = 5% ao quadrimestre, pois 1,05 – 1 = 0,05, ou 5% RESPOSTA: Alternativa B

Questão 7 107,3% ao ano = ? ao trimestre


[email protected]


4 trimestre em 1 ano Taxa equivalente: 100% + 107,3 100/100 + 107,3/100 1 + 1,073 2,073

Precisamos consultar na tabela o valor que elevado a 4 dará como resposta 2,073

= 2,073 Logo, i = 20% ao trimestre, pois 1,204 – 1 = 0,204, ou 20,4%. Apenas para comprovação, tentaremos encontrar uma taxa quadrimestral: 107,3% ao ano = ? ao quadrimestre 3 quadrimestres em 1 ano Taxa equivalente: 2,073¹/³ Consultar na tabela o valor que elevado a 3 dará como resposta 2,073 Não existe na tabela nenhum valor elevado a 3 que dará 2,073 RESPOSTA: Alternativa B

Questão 8 180% ao ano = ? ao trimestre ou quadrimestre Taxa equivalente Fator: 2,8 Localizar na tabela 2,8 O valor mais próximo de 2,8 na tabela é 2,856:

= 2,856

2,856 – 1 = 1,856, ou 185,6%

Assim, interpretando a tabela: se 30% em um período é equivalente a 185,6% em 4 períodos menores, a taxa que procuramos deverá ser um pouco inferior a 30% para ser equivalente a 180% em 4 períodos menores. 1 ano possu 4 períodos de trimestre (1 ano = 4 trimestres) RESPOSTA: Alternativa E

Questão 9 Taxa nominal x taxa efetiva 30% ao trimestre / capitalização mensal Primeiro passo: passar para taxa proporcional no período da capitalização 3 meses em 1 trimestre 30% / 3 = 10% ao mês Segundo passo: passar para taxa equivalente ao ano 12 meses em 1 ano 1,1¹² =


[email protected]


A tabela não informa nenhum valor para potência 12, mas pela propriedade das potências que diz que, em multiplicações de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes, podemos chegar ao valor:

1,331 x 2,358 = 3,138 3,138 – 1 = 2,138, ou 213,8% Taxa ao ano: 213,8% RESPOSTA: Alternativa D

Questão 10 53,65% ao semestre / ano 2 semestres em 1 ano 53,65% x 2 = 107,30% ao ano Taxa efetiva ao trimestre:

(4 trimestres em 1 ano) Consultar a tabela. Qual é o valor elevado a 4 que dará 2,073

1,20 – 1 = 0,20 Ou seja, 20% ao trimestre RESPOSTA: Alternativa D


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Questão 1 Coletando os dados do problema, temos: Inflação = 10%, ou seja: 0,10 Taxa real de juros = -0,5%, ou seja: -0,05 Taxa de juros nominal (taxa aparente): ? Utilizando a fórmula: 1 + taxa aparente = 1+ taxa real 1 + inflação 1 + taxa aparente = 1- 0,05 1 + 0,1 1 + taxa aparente = 0,95 x 1,1 1 + taxa aparente = 1,045 Taxa aparente = 1,045 – 1 Taxa aparente = 0,045, ou seja: 4,5% RESPOSTA: Alternativa B

Questão 2 Coletando os dados: Taxa aparente: 44%, ou 0,44 Taxa de inflação: 25%, ou 0,25 Taxa real: ? Utilizando a fórmula: 1 + taxa aparente = 1+ taxa real 1 + inflação 1 + 0,44 = 1+ taxa real 1 + 0,25 1,44/1,25 = 1 + taxa real 1,152 = 1 + taxa real 1,152 – 1 = taxa real Taxa real = 0,152, ou 15,2%


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RESPOSTA: Alternativa B

Questão 3 Foi informada a taxa efetiva de 12% ao trimestre. Como foi pedida a taxa nominal ao ano com

capitalização mensal:

Primeiro passo: converter a taxa de 12% ao trimestre para uma taxa equivalente mensal (juros

compostos). Para isso, transformamos 12% em fator unitário: 100% + 12% = 100/100 + 12/100

= 1 + 0,12 = 1,12.

Como 1 trimestre = 3 meses, e estamos partindo de uma taxa em um período maior para um

período menor, aplicando a fórmula “Fator elevado à razão entre a quantidade de períodos que

queremos calcular e a quantidade de períodos que temos”, o cálculo a ser feito é: 1,121/3, pois 1 é

o período que queremos (1 mês), e 3 é o período que temos (3 meses, ou 1 trimestre).

Após realizar esse cálculo, encontraríamos um fator, que deveria ser subtraído de 1 para

encontrarmos a taxa ao mês. Além disso, para calcular a taxa nominal ao ano (taxa proporcional –

juros simples), multiplicaríamos essa taxa por 12. Matematicamente, faríamos:

(1,121/3 – 1) x 12 = taxa nominal ao ano com capitalização mensal.

Organizando essa expressão conforme as alternativas, teríamos:

i = 12 . [(1,12)1/3 - 1]

RESPOSTA: Alternativa C

Questão 4 Coletando os dados: Taxa aparente: 44%, ou 0,44 Taxa real: 12,5%, ou 0,125 Taxa de inflação = ? Utilizando a fórmula: 1 + taxa aparente = 1+ taxa real 1 + inflação 1 + 0,44 = 1+ 0,125 1 + inflação 1,44 = 1,125 * 1+inflação


[email protected]


1+inflação = 1,44/1,125 1+inflação = 1,28 Inflação = 1,28 – 1 Inflação = 0,28, ou 28%

RESPOSTA: ALTERNATIVA D

Questão 5 Coletando os dados: Taxa nominal, pois foi dada em um período diferente da capitalização: 36% ao ano / bimestral. Primeiro passo: converter para taxa efetiva ao bimestre, utilizando o conceito de taxas proporcionais (juros simples). Como 1 ano possui 6 bimestres: 36% / 6 = 6% ao bimestre. Segundo passo: converter a taxa de 6% ao bimestre para uma taxa bianual. Como 2 anos possuem 12 bimestres: Fator para um aumento de 6% = 1+0,06 = 1,06 Aplicando a potência: 1,06¹² = 2,012196 Subtraindo o 1 que foi adicionado à taxa de 6% para cálculo: 2,012196 – 1 = 1,012196, ou seja: 101,2196%. RESPOSTA: ALTERNATIVA B

Questão 6 Coletando os dados: Taxa nominal 1: 36% ao ano / semestral Taxa nominal 2: 36% ao ano / mensal Calculando a taxa efetiva para a primeira taxa: Primeiro passo: calcular a taxa efetiva ao semestre, utilizando o conceito de taxas proporcionais (juros simples). Como 1 ano possui 2 semestres: 36% / 2 = 18% ao semestre Segundo passo: calcular a taxa equivalente ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalentes (juros compostos). Fator para 18% = 1+0,18=1,18. Como 1 ano possui 2 semestres: 1,18² = 1,3924. Subtraindo o 1 que foi adicionado anteriormente para o cálculo: 1,3924 – 1 = 0,3924, ou 39,24% ao ano Nesse ponto, já poderíamos marcar a resposta certa, mas segue o cálculo da taxa efetiva para a segunda taxa: Primeiro passo: calcular a taxa efetiva ao mês, utilizando o conceito de taxas proporcionais (juros simples). Como 1 ano possui 12 meses: 36% / 12 = 3% ao mês Segundo passo: calcular a taxa equivalente ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalentes (juros compostos). Fator para 3% = 1+0,03=1,03. Como 1 ano possui 12 meses:


[email protected]


1,03¹² = 1,42576. Subtraindo o 1 que foi adicionado anteriormente para o cálculo: 1,42576 – 1 = 0,42576, ou 42,576% ao mês. RESPOSTA: ALTERNATIVA D

Questão 7 Se os juros mensais são 2%, e 1 semestre possui 6 meses, precisamos elevar o fator de aumento para 2% à potência 6. Fator: 100% + 2% = 100/100 + 2/100 = 1 + 0,02 = 1,02 1,02^6 = 1,126162419 Subtraindo os 100% somados anteriormente à taxa de 2% para cálculo: 1,126162419 – 1 = 0,126162419. Logo, a taxa de juros semestral é 12,6162419% RESPOSTA: Alternativa E

Questão 8 Resolução 1: como calcular Para converter a taxa de 6,5% ao mês para uma taxa equivalente (juros compostos) trimestral, primeiro temos que transformar 6,5% em fator unitário: 100% + 6,5% = 100/100 + 6,5/100 = 1 + 0,065 = 1,065 Como 1 trimestre possui 3 meses, devemos elevar esse fator a 3: 1,065³ = 1,207949625 Subtraindo 1 desse fator (que é o 1 somado no início do cálculo): 1,207949625 – 1 = 0,207949625. Logo, a taxa de juros trimestral é 20,7949625, sendo mais próxima da taxa informada na alternativa A (a diferença se dá por conta de arredondamentos). Resolução 2: como ganhar tempo O problema pede a taxa equivalente (juros compostos). Como os juros compostos são um pouco maiores que os juros simples, podemos calcular a taxa proporcional (juros simples), e com o raciocínio de que os juros compostos são um pouco maiores, chegamos à alternativa correta. 6,5% x 3 = 19,5% Apenas a alternativa A traz uma taxa maior que 19,5%, sendo a única alternativa que satisfaz ao raciocínio exposto. RESPOSTA: Alternativa A

Questão 9 Para esse problema, precisamos saber como transformar a taxa de 24% ao ano com capitalização mensal em uma taxa para 18 meses.


[email protected]


Primeiro passo: como o problema informou uma taxa nominal, precisamos convertê-la para taxa efetiva. 1 ano = 12 meses. Assim: 24% / 12 = 2% ao mês. Segundo passo: transformar a taxa de 2% em fator unitário. 100% + 2% = 100/100 + 2/100 = 1+0,02 = 1,02. Terceiro passo: como queremos a taxa de juros para toda a operação (18 meses), precisamos elevar o fator 1,02 à 18, e depois subtrair 1 do fator encontrado, que é o 1 somado no início do cálculo. Matematicamente: [(1,02^18) – 1] RESPOSTA: Alternativa A

Questão 10 Coletando os dados: Capital (C) = 15.000 Prazo (t) = 6 meses Taxa (i) = 12% a.a. Taxa 2 (i) = 1% a.m. Prato 2 (t) = 2 meses Precisamos “somar” as duas taxas. Primeira taxa (juros simples = taxas proporcionais): 12% / 2 (pois 6 meses = meio ano) = 6% Fator: 100% + 6% = 1,06 Segunda taxa (juros compostos = taxas equivalentes): 100% + 1% = 1,01 Fator para 2 meses: 1,01² = 1,0201 Trabalhando com a taxa para acréscimos sucessivos: 1,06 x 1,0201= 1,081306 Taxa de juros total: 1,081306 – 1 = 0,081306. Calculando esses juros sobre 15.000: 15.000 x 0,081306 = 1.219,59 RESPOSTA: Alternativa D


[email protected]


MÓDULO 3. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E

DESCONTOS

Como vimos no tópico 1.1, a definição de capitalização é uma operação de adição dos juros ao

capital.

Bom, vamos adicionar estes juros ao capital de duas maneira, uma maneira simples e outra

composta e depois compararmos.

Vamos analisar o exemplo abaixo:

Exemplo 3.1.1 José realizou um empréstimo de antecipação de seu 13° salário no Banco do

Brasil no valor de R$ 100,00 reais, a uma taxa de juros de 10% ao mês. Qual o valor pago por

José se ele quitou o empréstimo após 5 meses, quando recebeu seu 13°?

Valor dos juros que este empréstimo de José gerou em cada mês.

Em juros simples, os juros são cobrados sobre o valor do empréstimo (capital)

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

MÊS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR

1º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00

2º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 110,00 + R$ 10,00 = R$ 120,00

3º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 120,00 + R$ 10,00 = R$ 130,00

4º 10% de R$ 100,10 = R$ 10,00 R$ 130,00 + R$ 10,00 = R$ 140,00

5º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 140,00 + R$ 10,00 = R$ 150,00

Em juros composto, os juros são cobrados sobre o saldo devedor (capital+ juros do

período anterior)

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

MÊS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR

1º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00

2º 10% de R$ 110,00 = R$ 11,00 R$ 110,00 + R$ 11,00 = R$ 121,00

3º 10% de R$ 121,00 = R$ 12,10 R$ 121,00 + R$ 12,10 = R$ 133,10

4º 10% de R$ 133,10 = R$ 13,31 R$ 133,10 + R$ 13,31 = R$ 146,41

5º 10% de R$ 146,41 = R$ 14,64 R$ 146,41 + R$ 14,64 = R$ 161,05

3.1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES X CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA


[email protected]


Assim notamos que o Sr. josé terá que pagar após 5 meses R$ 150,00 se o banco cobrar juros

simples ou R$ 161,05 se o banco cobrar juros compostos.

GARÁFICO DO EXEMPLO 3.1.1

Note que o crescimento dos juros composto é mais rápido que os juros simples.

FÓRMULAS:

OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Montante é igual ao Capital + Juros

Onde:

J = Juros

M = Montante

C = Capital (Valor Presente)

i = Taxa de juros;

t = Prazo.

A maioria das questões relacionadas a juros simples podem ser resolvidas sem a necessidade de

utilizar fórmula matemática.

CALCULO DOS JUROS

CALCULO DO MONTANTE

J C i t (1 )M C i t

3.2 JUROS SIMPLES


[email protected]


APLICANDO A FÓRMULA

Vamos ver um exemplo bem simples aplicando a fórmula para encontrarmos a solução

Exemplo 3.2.1 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3

meses e taxa de 2% ao mês. Qual o valor dos juros?

Dados do problema:

C = 100.000,00

t = 3 meses

i = 2% ao mês

OBS: Cuide para ver se a taxa e o mês estão no mesmo período. Nesse exemplo, não tem

problema para resolver, já que tanto a taxa quanto o prazo foram expressos em meses.

J = C x i x t

J = 100.000 x 0,02 (taxa unitária) x 3

J = 6.000,00

Resposta: Os juros cobrado serão de R$ 6.000,00

RESOLVENDO SEM A UTILIZAÇÃO DE FÓRMULAS:

Vamos resolver o mesmo exemplo 3.2.1, mas agora sem utilizar fórmula, apenas o conceito de

taxa de juros proporcional.

Resolução:

Sabemos que 6% ao trimestre é proporcional a 2% ao mês (ver tópico 2.1)

Logo, os juros pagos serão de 6% de 100.000,00 = 6.000,00

PROBLEMAS COM A RELAÇÃO PRAZO X TAXA

Agora veremos um exemplo em que a taxa e o prazo não são dados em uma mesma unidade,

necessitando assim transformar um deles para dar continuidade à resolução da questão.

Sempre que houver uma divergência de unidade entre taxa e prazo, é melhor alterar o prazo do

que mudar a taxa de juros. Para uma questão de juros simples, esta escolha é indiferente, porém

caso o candidato se acostume a alterar a taxa de juros, irá encontrar dificuldades para responder

as questões de juros compostos, pois estas as alterações de taxa de juros não são simples,

proporcional, e sim equivalentes.


[email protected]


Exemplo 3.2.2 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3

meses e taxa de 12% ao ano. Qual o valor dos juros?

Dados:

C = 100.000,00

t = 3 meses

i = 12% ao ano

Vamos adaptar o prazo em relação a taxa. Como a taxa está expressa ao ano, vamos transformar

o prazo em ano. Assim teremos:

C = 100.000,00

t = 3 meses = 3

12

i = 12% ao ano

Agora sim podemos aplicar a fórmula

J = C x i x t

J = 100.000 x 0,12 x 3

12

J = 3.000,00

ENCONTRANDO A TAXA DE JUROS

Vamos ver como encontrar a taxa de juros de uma maneira mais prática. Primeiramente, vamos

resolver pelo método tradicional, depois faremos mais direto.

Exemplo 3.2.3 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, sabendo que

o valor do montante acumulado em após 1 semestre foi de 118.000,00. Qual a taxa de juros

mensal cobrada pelo banco.

Como o exemplo pede a taxa de juros ao mês, é necessário transformar o prazo em mês. Neste

caso 1 semestre corresponde a 6 meses, assim:

Dados:

C = 100.000,00

t = 6 meses

M = 118.000,00

J = 18.000,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital)

Aplicando a fórmula teremos:


[email protected]


18.000 100.000 6

18.000 18.0000,03

100.000 6 600.000

3% ao mês

i

i

i

Agora vamos resolver esta questão sem a utilização de fórmula, de uma maneira bem simples.

Para saber o valor dos juros acumulados no período, basta dividirmos o montante pelo capital:

118.000juros acumulado = 1,18

100.000

Agora subtrairmos o valor do capital da taxa de juros (1 = 100%) e encontramos:

1,18 – 1 = 0,18 = 18%

18% é os juros do período, um semestre, para encontrar os juros mensal, basta calcular a taxa

proporcional e assim encontrar 3 % ao mês.

ESTÁ FALTANDO DADOS?

Alguns exercícios parecem não informar dados suficientes para resolução do problema. Coisas do

tipo: O capital dobrou, triplicou, o dobro do tempo a metade do tempo, o triplo da taxa e etc.

Vamos ver como resolver esse tipo de problemas, mas em geral é bem simples: basta atribuirmos

um valor para o dado que está faltando.

Exemplo 3.2.4 Um cliente aplicou uma certa quantia em um fundo de investimento em ações.

Após 8 meses, resgatou todo o valor investido e percebeu que a sua aplicação inicial dobrou. Qual

a rentabilidade média ao mês que este fundo rendeu?

Para quem vai resolver com fórmula, a sugestão é dar um valor para o capital e assim teremos

um montante, que será o dobro desse valor. Para facilitar o cálculo, vamos utilizar um capital igual

a R$ 100,00, mas poderia ser utilizado qualquer outro valor.

Dados:

C = 100,00

t = 8 meses

M = 200,00 (o dobro)

J = 100,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital)

Substituindo na fórmula teremos


[email protected]


100 100 8

100 1000,125

100

12,5% ao

8 80

ê

0

m s

i

i

i

COMO RESOLVER

Exemplo 3.2.5 A que taxa de juros simples, em porcento ao ano, deve-se emprestar R$ 2 mil,

para que no fim de cinco anos esse duplique de valor?

Dados:

C = 2.000,00

t = 5 anos

M = 4.00,00 (o dobro)

J = 2.00,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital)

i = ?? a.a


2.000 2.000 5

2.000 2.0000,2

2.000 5 10.000

20% ao ano

i

i

i

Exemplo 3.2.5 Considere o empréstimo de R$ 5 mil, no regime de juros simples, taxa de 2% ao

mês e prazo de 1 ano e meio. Qual o total de juros pagos nesta operação?

Dados:

C = 5.000,00

i = 2 % ao mês

t = 1,5 anos = 18 meses

J = ???


5.000 18 0,

1.800,00

02J

J


[email protected]


AGORA É A SUA VEZ:

QUESTÃO 3.2.1 Que juros a importância de R$ 5.700,00 produzirá, aplicada durante nove

meses, à taxa de juros simples de 24% ao semestre?

QUESTÃO 3.2.2 Determine a taxa mensal de juros simples que faz com que um capital aumente

40 % ao fim de três anos.


Coletando os dados do problema, temos:

Capital (C) = 5.700

Tempo (t) = 9 meses

Juros simples (i) = 24% ao semestre

Como o problema informou a taxa ao semestre e precisamos de uma taxa para 9 meses,

precisamos primeiramente trabalhar com essa taxa. Como são juros simples:

1 semestre = 6 meses. Assim, basta dividir a taxa de 24% por 6, e teremos a taxa mensal.

24% / 6 = 4% ao mês, ou 0,04.

A partir daqui, teremos duas formas de resolver o problema.

Resolução 1: utilizando a fórmula de juros simples

Podemos aplicar a fórmula: J = C x i x t. Substituindo os valores, teremos:

J = 5.700 x 0,04 x 9

J = 2.052,00


[email protected]


Resolução 2: raciocinando sem o uso de fórmulas

Já sabemos que a taxa de juros ao mês será de 4%, e que no regime de juros simples, nos 9

meses teremos uma taxa de 0,04 x 9 = 0,36, ou 36%. Como os juros serão de 36% sobre o valor

aplicado, multiplicamos esse valor pelo capital:

5.700 x 0,36 = 2.052

Observe que nos dois problemas, procedemos exatamente ao mesmo cálculo, mas no segundo

caso, usamos o entendimento de taxas, dispensando assim a “decoreba” de fórmulas.


O problema informou uma taxa de juros de 40% para um período de 3 anos. Assim, para saber a

taxa mensal de juros no regime de juros simples, só precisamos dividir esses 40% (ou 0,40) pela

quantidade de meses existentes no período de 3 anos, que são 36 meses. Assim:

40% / 36 = 0,40 / 36 = 0,01111...

Assim, temos a taxa de juros mensais de 1,11%

FÓRMULAS:

OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Montante é igual ao Capital + Juros

Onde:

J = Juros

M = Montante

C = Capital (Valor Presente)

i = Taxa de juros;

t = Prazo.

CALCULO DOS JUROS

CALCULO DO MONTANTE

J M C (1 )tM C i

3.3 JUROS COMPOSTOS


[email protected]


RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DE JUROS COMPOSTOS

Como notamos na fórmula de juros composto, a grande diferença para juros simples é que o

prazo (variável t ) é uma potência da taxa de juros, e não um fator multiplicativo.

Assim, poderemos encontrar algumas dificuldades para resolver questões de juros compostos em

provas de concurso público, onde não é permitido o uso de equipamentos eletrônicos que

poderiam facilitarem estes cálculos.

Por esse motivo, juros compostos pode ser cobrado de 3 maneiras nas provas de concurso

público.

1. Questões que necessitam da utilização de tabela.

2. Questões que são resolvidas com substituição de dados fornecidos na própria

questão.

3. Questões que possibilitam a resolução sem a necessidade de substituição de

valores.

Vamos ver um exemplo de cada um dos modelos.

JUROS COMPOSTOS COM A UTILIZAÇÃO DE TABELA

Esse método de cobrança de questões de matemática financeira já foi muito utilizado em

concurso público. Porém, hoje são raras as provas que fornecem tabela para cálculo de juros

compostos Vamos ver um exemplo.

Exemplo 3.3.1 Considere um empréstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8

meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante?

Dados do problema:

C = 100.000,00

t = 8 meses

i = 10% ao mês

8

8

(1 )

100.000 (1 0,10)

100.000 (1,10)

tM C i

M

M

O problema está em calcular 1,10 elevado a 8. Sem a utilização de calculadora fica complicado. A

solução é olhar em uma tabela fornecida na prova em anexo, algo semelhante à tabela abaixo.


[email protected]


Vamos localizar o fator de capitalização para uma taxa de 10% e um prazo igual a 8.

(1+i)t

TAXA 5% 10% 15% 20%

PR

AZO

1 1,050 1,100 1,150 1,200

2 1,103 1,210 1,323 1,440

3 1,158 1,331 1,521 1,728

4 1,216 1,464 1,749 2,074

5 1,276 1,611 2,011 2,488

6 1,340 1,772 2,313 2,986

7 1,407 1,949 2,660 3,583

8 1,477 2,144 3,059 4,300

9 1,551 2,358 3,518 5,160

10 1,629 2,594 4,046 6,192

Consultando a tabela encontramos que (1,10)8 = 2,144

Substituindo na nossa fórmula temos: 8100.000 (1,10)

100.000 2,144

214.400,00

M

M

M

O valor do montante nesse caso será de R$ 214.400,00

JUROS COMPOSTOS COM A SUBSTITUIÇÃO DE VALORES

Mais simples que substituir tabela, algumas questões disponibilizam o resultado da potência no

próprio texto da questão, conforme abaixo.

Exemplo 3.3.2 Considere um empréstimo, a juros composto, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8

meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? Considere (1,10)8 = 2,144

Assim fica até mais fácil, pois basta substituir na fórmula e encontrar o resultado, conforme o

exemplo anterior.

JUROS COMPOSTOS SEM SUBSTITUIÇÃO

A maioria das provas de matemática financeira para concurso público busca avaliar a habilidade

do candidato em entender matemática financeira, e não se ele sabe fazer contas de multiplicação.

Assim, as questões de matemática financeira poderão ser resolvidas sem a necessidade de efetuar

contas muito complexas, conforme abaixo.


[email protected]


Exemplo 3.3.3 Considere um empréstimo, a juros composto, no valor de R$ 100 mil, prazo de 2

meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante?

Dados do problema:

C = 100.000,00

t = 2 meses

i = 10% ao mês

2

2

(1 )

100.000 (1 0,10)

100.000 (1,10)

100.000

121.000,00

1,21

tM C i

M

M

M

M

Resposta: O valor do montante será de R$ 121.000,00

COMO RESOLVER

Exemplo 3.3.4 Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 2.000,00 feita por 2 anos a uma

taxa de juros compostos de 20 % ao ano?

Dados do problema:

C = 2.000,00

t = 2 anos

i = 10% ao ano

M = ???

2

2

(1 )

2.000 (1 0,20)

2.000 (1,2

2.880,00

0)

2.000 1,44

tM C i

M

M

M

M

Exemplo 3.3.5 Qual os juros obtido de uma aplicação de R$ 5.000,00 feita por 1 anos a uma

taxa de juros compostos de 10 % ao semestre?

Dados:


[email protected]


C = 5.000,00

t = 1 ano ou 2 semestres

i = 10% ao ano

2

2

(1 )

5.000 (1 0,10)

5.000 (1,1

6.050,00

0)

5.000 1,21

tM C i

M

M

M

M

Como a questão quer saber qual os juros, temos:

6.050 5.000

1.050,00

J M C

J

J

Assim, os juros serão de R$ 1.050,00

Exemplo 3.3.6 Uma aplicação de R$ 10.000,00 em um Fundo de ações, foi resgatada após 2

meses em R$ 11.025,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos). Qual foi a taxa de

juros mensais que este fundo remunerou ao investidor?

Dados:

C = 10.000,00

t = 2 meses

M = 11.025,00

i = ??? ao mês

2

2

(1 )

11.025 10.000 (1 )

11.025(1 )

10.000

tM C i

i

i


[email protected]


2 11.025(1 )

10.000

105(1 )

100

1,05 1 0,0

5% ao mês

5

i

i

i

i

AGORA É A SUA VEZ

QUESTÃO 3.3.1 Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 10.000,00 feita por 1 anos a

uma taxa de juros compostos de 20 % ao ano com capitalização semestral?

QUESTÃO 3.3.2 Qual os juros obtido de uma aplicação de R$ 20.000,00 feita por 2 meses a uma

taxa de juros compostos de 20 % ao mês?

Questão 3.3.3 Uma aplicação de R$ 100,00 em um Fundo de ações, foi resgatada após 2 meses

em R$ 144,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos), qual foi a taxa de juros

mensal que este fundo remunerou o investidor?


[email protected]



Coletando os dados, temos:

Montante (M) = ?

Capital (C) = 10.000

Tempo (t) = 1 ano (ou 2 semestres)

Juros compostos (i) = 20% ao ano / semestral

Antes de resolver o problema, observe que a taxa de juros informada é uma taxa nominal, pois o

período de capitalização está diferente do período da taxa. Assim, precisamos converter essa taxa

para taxa efetiva. Para esse cálculo, usamos o conceito de taxas proporcionais (juros simples):

20% / 2 = 10% ao semestre (dividimos por 2 porque 1 ano = 2 semestres).

Agora que temos a taxa efetiva, observe que o período informado no problema foi de 1 ano. Mas,

devido à taxa semestral, será melhor trabalhar com 2 semestres como prazo ao invés de 1 ano.

Nesse ponto, podemos escolher entre duas formas de cálculo:

Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos

Podemos aplicar a fórmula M = C (1+i)^t. Substituindo na fórmula, teríamos:

M = 10.000 (1+0,1)²

M = 10.000 (1,01)²

M = 10.000 x 1,21

M = 12.100

Resolução 2: utilizando o raciocínio de cálculo de taxas equivalentes

Após descobrir a taxa de 10% ao semestre, como o período total do problema é de 1 ano (que

possui 2 semestres), precisaríamos calcular a taxa anual, utilizando o conceito de taxas

equivalentes (juros compostos):

Primeiro, somamos 100% à taxa, para depois aplicar a potência.

100% + 10% = 100/100 + 10/100 = 1+0,1 = 1,10.

Como queremos calcular a taxa para 2 semestres:

1,10² = 1,21.

Agora que temos o fator de aumento para a taxa de 21% ao ano (que é equivalente à taxa de

10% ao semestre), basta multiplicar o capital por ela, e teremos o montante. Isso porque:

M = C x F

M = 10.000 x 1,21

M = 12.100


[email protected]


Observe que em ambos os casos, procedemos exatamente aos mesmos cálculos. A diferença é

que, se no primeiro caso temos que lembrar a parte da fórmula (1+i)^t, no segundo caso,

usamos o raciocínio para esse cálculo, encontrando o fator de aumento. Note que, quando

calculamos o fator, fizemos exatamente o mesmo cálculo (1+i)^t, com a vantagem de não

precisarmos decorar fórmulas, mas sim entender o processo.

Resolução questão 3.3.2.

Coletando os dados do problema:

Juros (j) = ?


Tempo (t) = 2 meses

Taxa de juros = 20% ao mês, ou 0,20

Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos.

Dada a fórmula J = C x [(1+i)^t] - 1, substituímos os valores:

J = 20.000 x [(1 + 0,20)²] - 1

J = 20.000 x [(1,20)²] – 1

J = 20.000 x (1,44 – 1)

J = 20.000 x 0,44

J = 8.800

Resolução 2: utilizando o raciocínio de taxas equivalentes.

Se trabalharmos a taxa, podemos calcular os juros sem o uso de fórmulas.

Foi dada a taxa de 20% ao mês e o período de 2 meses. Precisamos calcular a taxa de juros

bimestral. Para isso, utilizamos o conceito de taxas equivalentes (juros compostos). Somaremos 1

(100%) à taxa de 20% (0,20) e depois aplicaremos a potência 2 (pois a taxa é mensal e o período

é de 2 meses). Observe que é exatamente isso que fazemos com a fórmula, pois a fórmula resulta

em [(1+0,20)²] – 1. Assim:

1,2 ² - 1 = 1,44 – 1 = 0,44.

Agora que sabemos que os juros são de 0,44 (ou 44% ao bimestre), basta multiplicar o capital

por essa taxa para sabermos os juros da aplicação. Observe que é exatamente isso que fazemos

quando utilizamos a fórmula, com a vantagem de que, nesse segundo caso, não precisamos

decorar fórmulas, e sim entender o processo.

20.000 x 0,44 = 8.800.


Coletando os dados:


[email protected]


Capital (C) = 100

Tempo (t) = 2 meses

Montante (M) = 144

Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos

Usando a fórmula M = C (1+i)^t, temos:

144 = 100 (1+i)²

144/100 = (1+i)²

1,44 = (1+i)²

= 1+i

1,2 = 1+i

1,2 – 1 = i

i = 0,2, ou 20% ao mês.

Resolução 2: utilizando o raciocínio de taxas equivalentes

Podemos trabalhar a relação M = C x F para F = M/C. Assim, para saber o fator de aumento de

uma aplicação, basta dividir o montante pelo capital, como fizemos no primeiro caso com o uso da

fórmula de juros compostos.

F = 144/100

F = 1,44

De posse desse valor, sabemos que a taxa de juros para o período completo (2 meses) é de 1,44

– 1 = 0,44, ou 44%. Para descobrir a taxa de juros ao mês, utilizamos o conceito de taxas

equivalentes, mas agora estaremos convertendo uma taxa de um período maior para um período

menor. Portanto, ao invés de elevar ao quadrado 1,44, teremos que extrair sua raiz. Isso porque a

forma de calcular esse tipo de taxa é:

(essa fração pode ser transformada em uma raiz)

1,2.

Subtraindo o 1 (equivalente aos 100% somados à taxa para cálculo), chegamos à taxa de 20% ao

mês.

Se em Juros simples a ideia era incorporar juros, em desconto simples o objetivo é tirar juros,

conceder desconto nada mais é do que trazer para valor presente um pagamento futuro.

3.4 DESCONTO SIMPLES


[email protected]


Comparando juros simples com desconto simples, teremos algumas alterações nas nomenclaturas

das nossas variáveis.

O capital em juros simples (valor presente) é chamado de valor atual ou valor líquido em

desconto simples.

O montante em juros simples (valor futuro) é chamado de valor nominal ou valor de face em

desconto simples.

DESCONTO RACIONAL X DESCONTO COMERCIAL

Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto

comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na

prática, usa-se sempre o desconto comercial, mas algumas provas de concurso público costumam

exigir os dois tipos de descontos.

DESCONTO COMERCIAL SIMPLES

Mais comum e mais utilizado

Também conhecido como desconto bancário

Outra termologia adotada é a de “desconto por fora”

O desconto é calculado sobre o valor nominal do titulo (valor de face ou valor futuro)

FÓRMULAS:

OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Desconto é igual ao Valor Nominal – Valor Atual

Onde:

DC = Desconto Comercial

A = Valor Atual ou Valor Liquido

N = Valor Nominal ou Valor de Face

id = Taxa de desconto;

t = Prazo.

CALCULO DO VALOR DO DESCONTO

CALCULO DO VALOR ATUAL

c dD N i t

(1 )dA N i t


[email protected]


Dica para memorizar a fórmula: para facilitar a memorização, observe que, como o desconto

comercial é calculado sobre o Valor Nominal (valor futuro) do título, a fórmula é muito parecida

com a fórmula de juros simples, apenas substituindo Juros por Dc e Capital por N. Comparando as

duas fórmulas:

Dc = N x i x t J = C x i x t

Só precisamos tomar o cuidado de que, no desconto comercial, o desconto é calculado sobre o

valor Nominal (valor futuro), então na fórmula, ao invés do valor atual (que seria equivalente ao

capital), teríamos o valor futuro (que seria equivalente ao montante).

Já para a segunda fórmula, podemos associá-la com a relação M = C x F, lembrando que no

regime de juros simples, o fator será calculado multiplicando a taxa pelo prazo, e depois

adicionando 1. Exemplificando, para uma taxa de 20% ao mês, aplicada em 2 meses, teríamos o

fator 0,2 x 2 = 0,4. Somando 1, o fator seria 1,4. Matematicamente, o que fizemos foi 1+i x t

(lembrando da ordem de resolução, pois efetua-se a multiplicação primeiro). Assim, teríamos a

fórmula M = C x (1+i x t). Para a fórmula utilizada no desconto comercial, trocaríamos de lugar o

valor futuro (montante) e o valor atual (capital) de lugar, e mudaríamos o sinal da soma para

subtração, chegando à fórmula C = M (1 – i x t), e finalmente a fórmula exata A = M (1 – i x t).

Exemplo 3.4.1 Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto

comercial simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data

de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m

Dados:

N = 10.000,00

t = 3 meses

id = 5% ao mês

10.000 0,05

1.500,00

3

c d

c

D N i t

D

J

Agora vamos calcular o Valor Atual, que é o Valor Nominal subtraído dos descontos.

10.000 1.50

8.500,00

0A

A

DESCONTO RACIONAL SIMPLES

Pouco utilizado no dia a dia, porém é cobrado em provas de concurso público


[email protected]


Também conhecido como desconto verdadeiro

Outra termologia adotada é a de “desconto por dentro”

O desconto é calculado sobre o valor atual do titulo (valor de líquido ou valor presente)

Como o desconto racional é cobrado sobre o valor atual, este valor será sempre menor que o

valor do desconto comercial, que é cobrado sobre o valor nominal do título.

FÓRMULAS:


Onde:

Dr = Desconto Racional




t = Prazo.

Dica para memorizar a fórmula: para facilitar a memorização, observe que o desconto racional

é calculado sobre o valor atual. Assim, a fórmula se comporta exatamente como a fórmula de

juros simples. Só precisamos substituir a nomenclatura, substituindo Capital por Valor Atual,

Montante por Valor Nominal e juros por Desconto Racional. Comparando as duas fórmulas:

Dr = A x i x t J = C x i x t

Já para a segunda fórmula, podemos associá-la com a relação M = C x F, lembrando que no

regime de juros simples, o fator será calculado multiplicando a taxa pelo prazo, e depois

adicionando 1. Exemplificando, para uma taxa de 20% ao mês, aplicada em 2 meses, teríamos o

fator 0,2 x 2 = 0,4. Somando 1, o fator seria 1,4. Matematicamente, o que fizemos foi 1+i x t

(lembrando da ordem de resolução, pois efetua-se a multiplicação primeiro). Assim, teríamos a

fórmula M = C x (1+i x t). Para a fórmula utilizada no desconto comercial, precisamos apenas

substituir a nomenclatura. Comparando as duas fórmulas:

M = C (1+i x t) N = A (1+i x t)

Passando os dados entre parênteses para o outro lado da igualdade, temos então:

(1 )d

NA

i t



r dD A i t

(1 )d

NA

i t


[email protected]


Exemplo 3.4.2 Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o racional

comercial simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data


Dados:

N = 10.000,00

t = 3 meses

id = 5% ao mês

Como o valor do desconto depende do valor Atual que não foi fornecido pelo exercício, temos que

calcular primeiramente o valor atual para depois calcular o valor do desconto.

(1 )

10.000

(1 0,05 3)

10.000

(1 0,0

8.695

5

,

3)

65

d

NA

i t

A

A

A

Agora vamos calcular o desconto, que é o Valor Nominal subtraído do valor Atual.

10.000 8.695,65

1.304,35

r

r

D

D

Similar ao desconto simples, porém iremos trocar a multiplicação da taxa pelo prazo pela

potenciação.

Também temos dois tipos de desconto composto, o comercial e o racional. A diferença entre estas

duas maneiras de cobrança de desconto é a mesma dos descontos simples comercial e racional.

DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO

Pouco utilizado no Brasil

Seu calculo é semelhante ao calculo de juros compostos

Outra termologia adotada é a de “desconto por fora”

O desconto é calculado sobre o valor nominal do titulo (valor de face ou valor futuro)

3.5 DESCONTO COMPOSTO


[email protected]


FÓRMULAS:


Onde:

DC = Desconto Comercial




t = Prazo.

Para memorizar as fórmulas, podemos aplicar o mesmo raciocínio usado para o desconto simples,

com a diferença de que, como aqui se tratam de juros compostos, o valor de t (prazo) não será

multiplicado, mas usado como potência.


comercial composto a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 2 meses antes da data


Dados:

N = 10.000,00

t = 2 meses

id = 10% ao mês

Existe uma fórmula que permite encontrar o valor do Desconto Comercial Composto a partir do

valor Nominal do título. Mas o objetivo é minimizar ao máximo possível o numero de fórmulas

para o aluno decorar.

2

(1 )

10.000 (1 0,10)

10.000

8.100,0

0,81

0

t

dA N i

A

A

A

Agora vamos calcular o desconto, que é o Valor Nominal subtraído do Valor Atual.



(1 )t

dA N i


[email protected]


10.000 8.10

1.900,00

0c

c

D

D

DESCONTO RACIONAL SIMPLES

É o desconto composto mais utilizado no Brasil

Também conhecido como desconto verdadeiro

Outra termologia adotada é a de “desconto por dentro”

O desconto é calculado sobre o valor atual do titulo (valor de líquido ou valor presente)

Como o desconto racional é cobrado sobre o valor atual, este valor será sempre menor que o

valor do desconto comercial, que é cobrado sobre o valor nominal do título.

FÓRMULAS:


Onde:

Dr = Desconto Racional




t = Prazo.

Para memorizar a fórmula, podemos aplicar o mesmo raciocínio utilizado no desconto simples,

com a diferença de que, no caso do desconto composto, o prazo (t) se transforma em uma

potência, pois os juros compostos se comportam de forma exponencial.


racional composto a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 2 meses antes da data


Dados:

N = 10.000,00

t = 2 meses

id = 10% ao mês



(1 )t

d

NA

i


[email protected]


Calculando o valor atual teremos:

2

(1 )

10.000

(1 0,10)

10.000

1, 2

8.264 4

1

, 6

t

d

NA

i

A

A

A

Agora vamos calcular o desconto, que é o Valor Nominal subtraído do valor Atual.

10.000 8.264,46

1.735,53

r

r

D

D


[email protected]



1. (BB 2011/003 – MED) Faustino dispõe de R$ 22.500,00 e pretende aplicar esta quantia a juros simples, do seguinte modo: 3/5 do total à taxa mensal de 2,5% e, na mesma ocasião, o restante à taxa de 1,8% ao mês. Supondo que durante 8 meses sucessivos Faustino não faça qualquer retirada, ao término desse período o montante que ele obterá das duas aplicações será igual, em R$, a

(A) 27.586,00 (B) 26.864,00 (C) 26.496,00 (D) 25.548,00 (E) 26.648,00

2. (BB 2006 – MED) Uma empresa desconta em um banco um título com

vencimento daqui a 4 meses, recebendo no ato o valor de R$ 19 800,00. Sabe-se

que a operação utilizada foi a de desconto comercial simples. Caso tivesse sido

aplicada a de desconto racional simples, com a mesma taxa de desconto anterior i

(i > 0), o valor que a empresa receberia seria de R$ 20 000,00. O valor nominal

deste título é de

(A) R$ 21 800,00

(B) R$ 22 000,00

(C) R$ 22 400,00

(D) R$ 22 800,00

(E) R$ 24 000,00

3. (SEFAZ - SP 2010) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de

(A) R$ 21.780,00

(B) R$ 21.600,00

(C) R$ 20.702,00

(D) R$ 19.804,00

(E) R$ 19.602,00


[email protected]


4. (APOFP/SEFAZ-SP 2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no

valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8%

ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor de R$ 10.400,00, a

juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou

aplicado foi igual a

(A) 15 meses.

(B) 16 meses.

(C) 18 meses.

(D) 20 meses.

(E) 22 meses.

5. (APOFP/SEFAZ-SP – 2010) O valor do desconto de um título, em um banco, é

igual a 2,5% de seu valor nominal. Sabe-se que este título foi descontado 50 dias

antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e

considerando a convenção do ano comercial. A taxa anual de desconto

correspondente é igual a

(A) 12%

(B) 15%

(C) 18%

(D) 20%

(E) 24%

6. (APOFP/SEFAZ – 2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00 é aplicado a juros

simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ 15.000,00. Um

outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da

aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo

capital supera o valor do primeiro em

(A) R$ 5.850,00

(B) R$ 6.000,00

(C) R$ 7.500,00

(D) R$ 8.500,00

(E) R$ 10.000,00

7. (MPE-PE – 2012) Um empréstimo foi feito à taxa de juros de 12% ao ano. Se o valor emprestado foi de R$ 50.000,00 para pagamento em 30 anos, em


[email protected]


valores de hoje, o total de juros pagos por esse empréstimo, ao final dos 30 anos, corresponde ao valor emprestado multiplicado por: (A) 3,6

(B) 2,8

(C) 3,2

(D) 2,5

(E) 4,2

8. (BB 2011/002 - MED) O Banco CBA S.A. recomprou um CDB 60 dias antes do

vencimento, cujo valor de resgate era de R$ 20.000,00, a uma taxa de 4% a.m.. O

desconto obtido pelo banco no CDB foi (em R$)

(A) 800,00

(B) 1.240,00

(C) 1.632,00

(D) 1.840,00

(E) 1.920,00

9. (MPU 2007) A taxa mensal de Desconto por Fora, a juros simples, que a empresa

Insolvente Ltda. realizou em uma operação de desconto de 80 dias, de um título de

R$ 2.400,00, na qual a empresa obteve R$ 1.800,00, foi de

Dado: Considere somente até a quarta casa decimal

(A) 12,5000%

(B) 25,0000%

(C) 28,1250%

(D) 32,3050%

(E) 33,3333%

10. (BB 2011/002 - MED) A Empresa GiroLento S.A. descontou, na modalidade de

desconto simples, uma duplicata de R$ 5.000,00 com vencimento em 15 dias, na

sua emissão, a uma taxa de 3% a.m.. O valor líquido recebido pela empresa,

considerando que a empresa de factoring não cobrou mais nenhuma despesa, foi

(em R$)

(A) 4.925,00


[email protected]


(B) 4.850,00

(C) 2.750,00

(D) 150,00

(E) 75,00

11. (MPU - 2007) A Empresa Beta S.A. precisa gerar uma receita de R$ 22.500,00,

aplicando R$ 100.000,00 a uma taxa de juros de 2,5% a.m.. Considerando que o

captador remunera a juros simples, o dinheiro deverá ficar aplicado por

(A) 3 meses.

(B) 6 meses.

(C) 7 meses.

(D) 9 meses.

(E) 12 meses

12. (MPU 2006) A Empresa Gera Recursos S.A. necessita pagar seus compromissos

mensais de R$ 2.250,00. Com uma disponibilidade de caixa de R$ 300.000,00, este

recurso deve ser aplicado, para gerar o retorno desejado, à taxa mensal de

(A) 7,5000%

(B) 3,5000%

(C) 0,3500%

(D) 0,7500%

(E) 0,0075%

13. (MPE-RS – 2008) Uma duplicata é descontada em um banco 45 dias antes de seu

vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples, apresentando

um valor atual igual a R$ 20.055,00. Com a utilização de uma operação de

desconto racional simples, a uma taxa de juros de 40% ao ano, o valor atual teria

sido de R$ 20.000,00. Considerando o ano comercial em ambos os casos, a taxa de

juros anual correspondente à operação de desconto comercial simples foi de

(A) 36%

(B) 48%

(C) 24%

(D) 45%


[email protected]


(E) 30%

14. (MP-RS 2008) Considere que em uma mesma data:

I. Antônio aplicou R$ 20.000,00 a uma taxa de juros simples de 18% ao ano,

durante 15 meses.

II. Paulo aplicou um determinado capital a uma taxa de juros compostos de 8% ao

semestre, durante um ano.

O valor do montante da aplicação realizada por Antônio superou em R$ 7.004,00 o

valor do montante correspondente ao de Paulo. Então, o valor do capital que Paulo

aplicou no início foi de

(A) R$ 12.500,00.

(B) R$ 17.500,00.

(C) R$ 16.500,00.

(D) R$ 15.000,00.

(E) R$ 16.200,00.

15. (SEFAZ/SP - 2009) Considere que o logaritmo neperiano de 1,8 é igual a 0,6.

Aplicando um capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% ao mês, com

capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento do resgate, é

igual a R$ 45.000,00. O período de aplicação é igual a

(A) 12 meses.

(B) 15 meses.

(C) 18 meses.

(D) 21 meses.

(E) 24 meses.

16. (SEFAZ/SP - 2009) Um comerciante poderá escolher uma das opções abaixo para

descontar, hoje, um título que vence daqui a 45 dias.

I. Banco A: a uma taxa de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto

comercial simples, recebendo no ato o valor de R$ 28.178,50.

II. Banco B: a uma taxa de 2,5% ao mês, segundo uma operação de desconto

racional simples.


[email protected]


Utilizando a convenção do ano comercial, caso opte por descontar o título no

Banco B, o comerciante receberá no ato do desconto o valor de

(A) R$ 27.200,00

(B) R$ 27.800,00

(C) R$ 28.000,00

(D) R$ 28.160,00

(E) R$ 28.401,60

17. (SEFAZ/SP -2009) Uma pessoa aplicou um capital em um Banco que remunera os

depósitos de seus clientes a uma taxa de juros simples de 12% ao ano.

Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a esta aplicação e

utilizou R$ 20.000,00 para liquidar uma dívida nesse valor. O restante do dinheiro,

aplicou em um outro Banco, durante um ano, a uma taxa de juros simples de 1,5%

ao mês. No final do período, o montante da segunda aplicação apresentou um

valor igual a R$ 28.933,60. A soma dos juros das duas aplicações é igual a

(A) R$ 10.080,00

(B) R$ 8.506,80

(C) R$ 7.204,40

(D) R$ 6.933,60

(E) R$ 6.432,00

18. (SEFIN/RO - 2010) Um título é descontado em um banco 45 dias antes de seu

vencimento, considerando a convenção do mês comercial. A taxa de desconto

utilizada pelo banco é de 3% ao mês. Caso a operação seja a do desconto racional

simples, o valor presente do título é igual a R$ 40.000,00. Utilizando a operação do

desconto comercial simples, o valor presente do título é

(A) R$ 39.959,50

(B) R$ 39.919,00

(C) R$ 39.209,50

(D) R$ 38.949,00

(E) R$ 38.200,00


[email protected]


19. (SEFIN/RO - 2010) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de juros simples de

2% ao mês. O primeiro capital ficou aplicado durante o prazo de um ano e o

segundo, durante 8 meses. A soma dos dois capitais e a soma dos correspondentes

juros são iguais a R$ 27.000,00 e R$ 5.280,00, respectivamente. O valor do

módulo da diferença entre os dois capitais é igual a

(A) R$ 5.000,00

(B) R$ 4.000,00

(C) R$ 3.000,00

(D) R$ 2.500,00

(E) R$ 2.000,00

20. (TRT 1ª REGIÃO - 2011) Em um regime de capitalização simples, um capital de

R$ 12 800,00 foi aplicado à taxa anual de 15%. Para se obter o montante de R$ 14

400,00, esse capital deve ficar aplicado por um período de

(A) 8 meses.

(B) 10 meses.

(C) 1 ano e 2 meses.

(D) 1 ano e 5 meses.

(E) 1 ano e 8 meses.

21. (TER/CE - 2009) Um capital de R$ 2 500,00 foi aplicado a juro simples e, ao final

de 1 ano e 3 meses, o montante produzido era R$ 3 400,00. A taxa mensal dessa

aplicação foi de

(A) 2,5%.

(B) 2,4%.

(C) 2,2%.

(D) 1,8%.

(E) 1,5%.

22. (TRF 4ª Região - 2010) Considere uma aplicação referente a um capital no valor

de R$ 15.000,00, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.

Este mesmo capital aplicado a uma taxa de juros simples de 18% ao ano, durante

um certo período, apresenta o mesmo valor de juros que o da primeira aplicação. O


[email protected]


tempo de aplicação a que se refere o regime de capitalização simples é de, em

meses,

(A) 20.

(B) 18.

(C) 16.

(D) 15.

(E) 14.

23. (TRF 4ª Região – 2010) Uma duplicata é descontada em um banco 40 dias antes

de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples. O valor

atual desta duplicata é igual a 97% de seu valor nominal. Considerando a

convenção do ano comercial, tem-se que a taxa anual de desconto utilizada foi de

(A) 27%.

(B) 24%.

(C) 21%.

(D) 18%.

(E) 15%.

24. (RECEITA ESTADUAL/PB – 2006) Ao descontar em um banco, 2 meses antes de

seu vencimento, um título de valor nominal igual a R$ 30.000,00, uma empresa

recebe na data da operação de desconto comercial simples o valor de R$

28.500,00. Utilizando a mesma taxa de desconto anterior e ainda a operação de

desconto comercial simples, descontando um título de valor nominal de R$

24.000,00, 3 meses antes de seu vencimento, receberá

(A) R$ 20.000,00

(B) R$ 21.000,00

(C) R$ 22.000,00

(D) R$ 22.200,00

(E) R$ 22.500,00

25. (RECEITA ESTADUAL/PB - 2006) Um investidor aplica em um determinado banco

R$ 10.000,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$

10.900,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a


[email protected]


uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação.

O montante no final do segundo período é igual a

(A) R$ 12.862,00

(B) R$ 12.750,00

(C) R$ 12.650,00

(D) R$ 12.550,00

(E) R$ 12.535,00

26. (RECEITA ESTADUAL/PB 2006) Certas operações podem ocorrer por um período

de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os

juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital

de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês,

em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros

comerciais e dos juros exatos é

(A) R$ 7,50

(B) R$ 15,00

(C) R$ 22,50

(D) R$ 30,00

(E) R$ 37,50

27. (DNOCS - 2010) Um capital é aplicado durante 8 meses a uma taxa de juros

simples de 1,5% ao mês, resultando em um montante no valor de R$ 14.000,00 no

final do período. Caso este mesmo capital tivesse sido aplicado, sob o mesmo

regime de capitalização, durante 1 ano a uma taxa de 2% ao mês, o valor do

montante, no final do ano, seria de

(A) R$ 15.000,00.

(B) R$ 15.500,00.

(C) R$ 16.000,00.

(D) R$ 17.360,00.

(E) R$ 18.000,00.


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28. (TRT 18ª REGIÃO - 2008) Para que ao final de 2 anos de aplicação num regime de

capitalização composta, um capital de R$ 15.800,00 produza o montante de R$

24.687,50, a taxa anual da aplicação deverá ser de

(A) 25%

(B) 22,5%

(C) 22%

(D) 20%

(E) 18,5%

29. (TRT 22ª REGIÃO/PI - 2004 ) Uma duplicata, no valor nominal de R$ 1.800,00, foi

resgatada antes do vencimento por R$ 1.170,00. Se a taxa de desconto comercial

simples era de 2,5% ao mês, o tempo de antecipação foi de

(A) 2 anos e 6 meses.

(B) 2 anos e 4 meses.

(C) 2 anos e 1 mês.

(D) 1 ano e 6 meses.

(E) 1 ano e 2 meses.

30. (TRT 22ª REGIÃO/PI - 2004) Num mesmo dia, são aplicados a juros simples, 2/5

de um capital a 2,5% ao mês e o restante, a 18% ao ano. Se, decorridos 2 anos e 8

meses da aplicação, obtém-se um juro total de R$ 7.600,00, o capital inicial era

(A) R$ 12 500,00

(B) R$ 12 750,00

(C) R$ 14 000,00

(D) R$ 14 500,00

(E) R$ 14 750,00

31. (TRT 3ª REGIÃO - 2009) João deseja tomar R$ 600,00 emprestados e ofereceu

a um credor devolver essa quantia com mais 3% de juros ao final de um mês da

data de empréstimo. O credor aceitou essa oferta, com a condição de que João, na

hora do empréstimo, desembolsasse R$ 10,00 para pagamento de fotocópias de

alguns documentos. Para João, dos números abaixo, o que mais se aproxima da

taxa efetiva de juros dessa transação é


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(A) 3,42%

(B) 3,76%

(C) 4,20%

(D) 4,51%

(E) 4,74%

32. (TRT 15ª REGIÃO - 2009) Uma pessoa aplicou 2/3 de C reais à taxa mensal de

1,5% e, após 3 meses da data desta aplicação, aplicou o restante à taxa mensal de

2%. Considerando que as duas aplicações foram feitas em um regime simples de

capitalização e que, decorridos 18 meses da primeira, os montantes de ambas

totalizavam R$ 28.800,00, então o valor de C era

(A) R$ 24 000,00

(B) R$ 24 200,00

(C) R$ 24 500,00

(D) R$ 22 800,00

(E) R$ 22 500,00

33. (BB 2010) Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, apresentando um montante igual a R$ 13.200,00 no final do prazo. Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, então o montante no final deste prazo seria igual a

(A) R$ 17.853,75. (B) R$ 17.192,50. (C) R$ 16.531,25. (D) R$ 15.870,00. (E) R$ 15.606,50.

34. (BB 2010) Um título descontado 2 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto racional simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um valor atual igual a R$ 21.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor nominal do primeiro título é descontado 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 2% ao mês. O valor atual deste segundo título é de


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(A) R$ 42.160,80. (B) R$ 41.529,60. (C) R$ 40.664,40. (D) R$ 39.799,20. (E) R$ 38.934,00.

35. (BB 2006) Um título de valor nominal igual a R$ 25 000,00 foi descontado por

uma empresa 40 dias antes de seu vencimento, segundo a operação de desconto

comercial simples, à taxa de desconto de 3% ao mês. Considerando a convenção

do ano comercial, a empresa recebeu, no ato da operação,

(A) R$ 24 000,00

(B) R$ 23 850,00

(C) R$ 23 750,00

(D) R$ 23 500,00

(E) R$ 22 500,00

36. (BB 2006) Um televisor é vendido em uma loja onde o comprador pode

escolher uma das seguintes opções:

I. R$ 5 000,00, à vista sem desconto.

II. R$ 1 000,00 de entrada e um pagamento no valor de R$ 4 500,00 em 1 (um)

mês após a data da compra.

A taxa de juros mensal cobrada pela loja no pagamento da segunda opção, que

vence em 1 (um) mês após a data da compra, é de

(A) 30%

(B) 25%

(C) 20%

(D) 15%

(E) 12,5%

37. (BB/DF 2006) Três pessoas formaram, na data de hoje, uma sociedade com a

soma dos capitais investidos igual a R$ 100 000,00. Após um ano, o lucro auferido

de R$ 7 500,00 é dividido entre os sócios em partes diretamente proporcionais aos

capitais iniciais investidos. Sabendo-se que o valor da parte do lucro que coube ao

sócio que recebeu o menor valor é igual ao módulo da diferença entre os valores

que receberam os outros dois, tem-se que o valor do capital inicial do sócio que

entrou com maior valor é


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(A) R$ 75.000,00

(B) R$ 60.000,00

(C) R$ 50.000,00

(D) R$ 40.000,00

(E) R$ 37.500,00

38. (BB/DF 2006) Um investidor realiza depósitos no início de cada mês, durante 8

meses, em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de

juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Os valores dos 4

primeiros depósitos foram de R$ 1 000,00 cada um e dos 4 últimos R$ 1 250,00

cada um. No momento em que ele efetua o oitavo depósito, verifica que o

montante que possui no banco é M, em reais.

Utilizando os dados da tabela acima, tem-se, então, que

(A) 10 300 < M

(B) 10 100 < M ≤ 10 300

(C) 9 900 < M ≤ 10 100

(D) 9 700 < M ≤ 9 900

(E) 9 500 < M ≤ 9 700

39. (COPERGÁS - 2011) Um capital aplicado a juros simples, a uma taxa de 7,5% ao ano, apresentou no final do período um montante de valor igual ao capital inicial acrescido de 25% de seu valor. O tempo em que este capital ficou aplicado foi de

(A) 40 meses.

(B) 32 meses.

(C) 30 meses.

(D) 24 meses.

(E) 20 meses.


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RESOLUÇÕES QUESTÕES FCC MÓDULO 3 Questão 1 Coletando os dados: Capital Total (C) = 22.500 Prazo total (t) = 8 meses Aplicação 1: Capital (C) = 3/5 de 22.500 = 13.500 Taxa (i) = 2,5% a.m. Aplicação 2: Capital (C) = 2/5 de 22.500 = 9.000 Taxa (i) = 1,8% a.m. Calculando os montantes individuais: Aplicação 1: Trabalhando a taxa de juros de 2,5% para 8 meses (como são juros simples, usaremos o conceito de taxas proporcionais): 2,5% x 8 = 20%. O fator será 100% + 20% = 1,2 Usando a fórmula M = C x F: M = 13.500 x 1,2 M = 16.200 Aplicação 2: Trabalhando a taxa de juros de 1,8% para 8 meses (como são juros simples, usaremos o conceito de taxas proporcionais): 1,8% x 8 = 14,4%. O fator será 100% + 14,4% = 1,144 Usando a fórmula M = C x F: M = 9.000 x 1,144 M = 10.296 Somando os montantes: 16.200 + 10.296 = 26.496,00 RESPOSTA: Alternativa C

Questão 2 Coletando os dados:


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Desconto comercial simples: Prazo (t) = 4 meses Valor atual (A) = 19.800 Desconto racional simples: Prazo (t) = 4 meses Valor atual (A) = 20.000 Fórmula do desconto comercial simples: A = N (1- i x n) Vamos trabalhar a fórmula para reorganizar os dados: 19.800 = N (1 – i x 4) 19.800 = N (1 – 4i) 19.800 = N – 4iN 19.800 + 4iN = N Fórmula do desconto racional simples: N = A (1 + i x n) Vamos trabalhar a fórmula para reorganizar os dados: N = 20.000 (1 + i x 4) N = 20.000 (1 + 4i) N = 20.000 + 80.000i Temos as duas fórmulas com o N isolado. Podemos substituir o valor de N da segunda equação na primeira, pois assim teremos apenas 1 variável: 19.800 + 4i (20.000 + 80.000i) = 20.000 + 80.000i 19.800 + 80.000i + 320.000i² = 20.000 + 80.000i 19.800 – 20.000 + 320.000i² = 0 - 200 + 320.000i² = 0 320.000i² = 200 i² = 200/320.000 i² = 0,000625 i = 0,025 Agora só precisamos substituir o valor de i em uma das fórmulas. Na segunda, temos: N = 20.000 + 80.000i N = 20.000 + 80.000 x 0,025 N = 22.000 Comprovando com a primeira fórmula: 19.800 + 4iN = N 19.800 + 4 x 0,025 x N = N 19.800 + 0,1N = N 19.800 = N – 0,1N 19.800 = 0,9N N = 19.800/0,9 N = 22.000


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Questão 3 Coletando os dados do problema: Prazo (t) = 2 anos Taxa (i) = 10% ao ano Valor atual (A) = 20.000

Fórmula do desconto racional composto: N = 20.000 (1+0,1)² N = 20.000 x 1,1² N = 20.000 x 1,21 N = 24.200 Testando a hipótese do desconto comercial composto:

Fórmula do desconto comercial composto: A = N (1 – 0,1)² A = 24.200 x 0,9² A = 24.200 x 0,81 A = 19.602 RESPOSTA: Alternativa E

Questão 4 Coletando os dados do problema: Primeira aplicação (juros compostos) Capital (C) = 12.500,00 Prazo (t) = 2 anos Taxa (i) = 8% a.a. Juros = ? Trabalhando a taxa usando o conceito de taxas equivalentes, teremos: 100% + 8% = 1,08. Para 2 anos: 1,08² = 1,1664. Para saber os juros auferidos na aplicação, basta multiplicar o capital pela taxa bianual calculada, que será 1,1664 – 1 = 0,1664, ou 16,64% 12.500 x 0,1664 = 2.080 Agora que sabemos os juros da primeira aplicação, podemos calcular o prazo da segunda. Coletando os dados: Juros (J) = 2.080 Capital (C) = 10.400 Taxa de juros simples (i) = 15% a.a.


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Prazo (t) = ? Podemos usar tanto a fórmula dos juros simples quanto a fórmula M = C x F. Primeira resolução: Como J = C x i x t 2.080 = 10.400 x 0,15 x t 2.080 = 1.560 x t t = 2.080/1.560 t = 1,3333 Para saber a quantidade de meses que existe em 1,3333 anos: 1,3333 x 12 = 16 Segunda resolução: Se os juros são de 2.080 e o capital é 10.400, já sabemos o montante: 10.400 + 2.080 = 12.480 Usando M = C x F, ajustando para F = M/C: F = 12.480/10.400 F = 1,2 Para 2 anos, temos então uma taxa de 1,2 – 1 = 0,2, ou 20%. Para saber o período em que esse capital foi aplicado, vamos dividir 20% (taxa para o período completo) por 15% (taxa anual): 20% / 15% = 1,3333 Como a taxa de 15% está ao ano, temos então 1,3333 anos. Convertendo para meses: 1,3333 x 12 = 16 meses RESPOSTA: Alternativa B

Questão 5 Precisamos apenas trabalhar a taxa.Temos uma taxa de 2,5% para 50 dias, e o problema quer saber a taxa anual. Considerando que o ano comercial tem 360 dias, precisamos apenas converter a taxa de 2,5% para uma taxa diária, e depois calcular a taxa anual: 2,5% / 50 = 0,05% ao dia Para 1 ano: 0,05% x 360 = 18% ao ano. RESPOSTA: Alternativa C

Questão 6 Coletando os dados: Capital (C1) = 12.500


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Prazo (t) = 12 meses Montante (M) = 15.000 Taxa de juros (i) = ? Outro capital (C2) = ? Prazo (t) = 15 meses Taxa de juros (i) = ? Juros = 5.250 Com os dados fornecidos para a primeira aplicação, descobrimos facilmente a taxa de juros: M = C x F 15.000 = 12.500 x F F = 15.000/12.500 F = 1,2 Interpretando a taxa, temos que 1,2 – 1 = 0,2. Assim, os juros para o período inteiro são de 20%. Como a aplicação foi feita por 12 meses a juros simples, só precisamos usar o conceito de taxas proporcionais para calcular os juros mensais: 20% / 12 = 1,6667% Para a segunda aplicação, podemos calcular os juros totais usando a taxa mensal da aplicação anterior, pois são iguais. Para 15 meses, teremos: 1,6667% x 15 = 25%. Nosso fator então será: 100% + 25% = 1,25 Pela fórmula M = C x F Se os juros são 5.250, o montante será C + 5.250. C + 5.250 = C x 1,25 5.250 = 1,25C - C 5.250 = 0,25C C = 5.250/0,25 C = 21.000 Se o capital da primeira aplicação era de 12.500 e o da segunda é de 21.000: 21.000 – 12.500 = 8.500 RESPOSTA: Alternativa D

Questão 7 Como não teríamos forma de calcular na prova a potência 30, vamos considerar como uma aplicação de juros simples. Coletando os dados: Taxa (i) = 12% a.a. Capital (C) = 50.000


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Prazo (t) = 30 anos Juros = ? Primeira resolução: fórmula dos juros Sabemos que J = C x i x t J = 50.000 x 0,12 x 30 J = 180.000 180.000 / 50.000 = 3,6. Segunda resolução: fórmula M = C x F A taxa de 12% aplicada por 30 anos no regime de juros simples será proporcional a: 12% x 30 = 360% (ou 3,6) para 30 anos Nosso fator será 100% + 360% = 460%, ou 4,6 Substituindo os valores na fórmula: M = 50.000 x 4,6 M = 230.000 Sabemos que M = C + J. Então precisamos subtrair 50.000 desse montante para descobrir os juros da operação. 230.000 – 50.000 = 180.000 180.000 supera 50.000 em: 180.000 / 50.000 = 3,6 vezes RESPOSTA: Alternativa A

Questão 8 Coletando os dados: Prazo (t) = 60 dias (2 meses) Valor nominal (N) = 20.000 Taxa (i) = 4% a.m. Desconto (Dc) = ? O que nos dá a dica do tipo de desconto é a palavra Banco. Com isso, usaremos o desconto comercial. No entanto, não foi dada a informação se é desconto simples ou composto. O gabarito oficial foi dado sobre o desconto comercial composto, mas para efeitos didáticos, vamos resolver das duas formas: Desconto comercial simples: Fórmula: Dc = N x i x t Dc = 20.000 x 0,04 x 2 Dc = 1.600


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Desconto comercial composto:

- 1] Dc = 20.000 [(1 + 0,04)² - 1] Dc = 20.000 [(1,04)² - 1] Dc = 20.000 [1,0816 – 1] Dc = 20.000 x 0,0816 Dc = 1.632 RESPOSTA: Alternativa C

Questão 9 Há um detalhe na questão: a empresa Insolvente Ltda realizou a operação de desconto. Ou seja: ela foi quem adquiriu o título, obtendo 1.800,00, e entregando apenas 600,00 para a empresa descontante. É um pouco estranho, mas foi assim que a banca entendeu. Coletando os dados: Prazo (t) = 80 dias (80/30 = 2,6667 meses) Valor nominal (N) = 2.400 Valor atual (A) = 600 Podemos calcular o valor do desconto: Dc = 1.800 Pela fórmula do desconto comercial simples: Dc = N x i x t 1.800 = 2.400 x i x 80/30 1.800 = 6.400i i = 1.800/6.400 i = 0,28125, ou 28,125% RESPOSTA: Alternativa C

Questão 10 Coletando os dados: Valor Nominal (N) = 5.000 Prazo (t) = 15 dias, ou 0,5 meses Taxa (i) = 3% a.m. Valor atual (A) = ? Como o problema não informou diretamente se o desconto será por fora ou por dentro (comercial ou racional), será usado o comercial (mais usado e também porque foi dado apenas o valor


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Nominal, para cálculo exatamente do valor atual). Aplicando a fórmula do desconto comercial simples: A = N (1 – i x t) A = 5.000 (1 – 0,03 x 0,5) A = 5.000 (1 – 0,015) A = 5.000 x 0,985 A = 4.925 RESPOSTA: Alternativa A

Questão 11 Coletando os dados: A receita a ser gerada é os juros. Então: Juros (J) = 22.500 Capital (C) = 100.000 Taxa (i) = 2,5% a.m. Primeira resolução: pela fórmula dos juros simples. Sabemos que J = C x i x t. Assim: 22.500 = 100.000 x 0,025 x t 22.500 = 2.500 x t t = 22.500 / 2.500 t = 9 Segunda resolução: sem fórmula Temos o valor dos juros (22.500) e o capital (100.000). Já sabemos então o montante: 100.000 + 22.500 = 122.500 Para saber o fator de acréscimo, dividimos o montante pelo capital, pois M = C x F, então F = M/C. F = 122.500 / 100.000 F = 1,225 Assim, a taxa de juros pelo período completo será de 1,225 – 1 = 0,225, ou 22,5%. Para saber o prazo da aplicação, como o regime é de juros simples, usamos o conceito de taxas proporcionais: 22,5% / 2,5% = 9 Como 2,5% é uma taxa mensal, temos então que o período total é de 9 meses. RESPOSTA: Alternativa D

Questão 12 Coletando os dados:


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Juros (J) = 2.250,00 Capital (C) = 300.000 Prazo (t) = 1 mês Taxa (i) = ? Resolução 1: sem fórmula O que o problema quer saber é qual é a taxa que devemos aplicar ao capital de 300.000 para gerar juros de 2.250,00. Basta dividir o montante pelo capital, pois F = M / C, e saberemos a resposta. Como M = C + J, o montante será 300.000 + 2.250 = 302.250. Usando F = M / C: F = 302.250 / 300.000 F = 1,0075 A taxa será então: 1,0075 – 1 = 0,0075, ou 0,75% Resolução 2: com fórmula J = C x i x t 2.250 = 300.000 x i x 1 2.250 = 300.000 x i i = 2.250/300.000 i = 0,0075, ou 0,75% RESPOSTA: Alternativa D

Questão 13 Coletando os dados: Para o desconto comercial simples: Prazo (t) = 45 dias (ano comercial de 360 dias: 45/360 = 0,125 Valor atual (A) = 20.055,00 Valor Nominal (N) = ? Para o desconto racional simples: Prazo (t) = 0,125 anos, conforme já calculado anteriormente Taxa (i) = 40% a.a. Valor atual (A) = 20.000,00 Valor Nominal (N) = ? Precisamos usar o que as duas operações tem em comum, que no caso é o Valor Nominal (N). Como ele é a única variável da segunda aplicação, vamos calcular primeiro a operação de desconto racional simples, e depois retornar para a primeira operação. Expressando as operações em fórmulas: Desconto comercial simples: A = N (1 – i x t) 20.055 = N (1 – i x 0,125)


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Desconto racional simples: N = A (1 + i x t) N = 20.000 (1 + 0,4 x 0,125) N = 20.000 (1 + 0,05) N = 20.000 (1,05) N = 21.000 Agora que temos o valor Nominal da aplicação, podemos substituí-lo na primeira equação: 20.055 = N (1 – i x 0,125) 20.055 = 21.000 (1 – i x 0,125) 20.055 = 21.000 – 2.625i 20.055 – 21.000 = - 2.625i - 945 = - 2.625i 2.625i = 945 i = 945 / 2.625 i = 0,36 Logo, a taxa da aplicação de desconto comercial simples foi de 36% RESPOSTA: Alternativa A

Questão 14 Não sabemos o valor dos montantes, mas podemos estabelecer uma relação entre eles. Coletando os dados: I. Capital (C) = 20.000 Taxa (i) = 18% a.a. (juros simples) Prazo (t) = 15 meses Montante (M) = M1 II. Capital (C) = ? Taxa (i) = 8% a.semestre (juros compostos) Prazo (t) = 1 ano (2 semestres) Montante (M) = M2 Como temos apenas 1 variável na primeira aplicação, começaremos por ela: Para calcularmos o fator no regime de juros simples, usaremos o conceito de taxas proporcionais. 18% é a taxa para 12 meses. Para 15 meses, teremos 18% / 12 x 15 = 22,5%. Somando 100% à taxa, teremos o fator 1,225. M = C x F M = 20.000 x 1,225


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M = 24.500 O montante da aplicação de Paulo será 24.500 - 7.004 = 17.496. Então, para essa aplicação, teremos primeiro que encontrar o fator. Como a taxa de juros é de 8% ao semestre: 100% + 8% = 1,08. Como o prazo é 2 semestres e estamos no regime de juros compostos, usamos o conceito de taxas equivalentes. Assim: 1,08² = 1,1664 Usando a fórmula M = C x F: 17.496 = C x 1,1664 C = 17.496 / 1,1664 C = 15.000 RESPOSTA: Alternativa D

Questão 15 Essa é uma questão bem específica, por se tratar de capitalização contínua. A forma de resolver será um pouco diferente da habitual: Coletando os dados: Capital (C) = 25.000 Taxa (i) = 4% a.m. Montante (M) = 45.000 Prazo (t) = ? Usando a fórmula M = C x F: 45.000 = 25.000 x F F = 45.000/25.000 F = 1,8 1,8 – 1 = 0,8. Logo, a taxa total do período é de 80%. Agora precisamos saber quantas vezes 4% deve ser capitalizado para chegar em 80% no regime

de capitalização contínua. Estávamos acostumados a calcular o fator como sendo .

Porém, no regime de capitalização contínua, esse fator será , por isso o problema informou o

logaritmo neperiano, que usa a base e. Podemos estabelecer a seguinte relação entre os fatores:

Não precisamos calcular essa potência, nem a raiz, pois o problema informou o valor do logaritmo

neperiano de 1,8 como sendo igual a 0,6. Só precisamos trabalhar essa fórmula.

Lembrando-se de logaritmos, sabemos que a base de log quando não estiver expressa é igual a 10. Temos também o logaritmo neperiano (ln), que é um log de base e. Assim, log10 = 1, e


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seguindo o mesmo raciocínio, ln e = 1. Precisamos trabalhar a fórmula de forma que possamos usar o valor informado em algum momento. Aplicando ln em ambos os lados da equação:

Substituindo o valor informado:

Pela propriedade dos logaritmos: 0,6 = 0,04t x ln e Sabemos que ln e = 1. Substituindo na fórmula: 0,6 = 0,04t x 1 0,6 = 0,04t t = 0,6 / 0,04 t = 15 meses, pois a taxa de 4% estava expressa em meses.


Questão 16 Coletando os dados: I – desconto comercial simples Taxa (i) = 2% a.m. Valor atual (A) = 28.178,50 Prazo (t) = 45 dias (45/30 = 1,5. Temos então 1 mês e meio) II – Desconto racional simples Taxa (i) = 2,5% a.m. Prazo (t) = 45 dias (45/30 = 1,5. Temos então 1 mês e meio) Primeiramente, precisamos descobrir o valor nominal do título, e para isso, usaremos o primeiro desconto. Usando a fórmula A = N (1 - i x t): 28.178,5 = N (1 - 0,02 x 1,5) 28.178,5 = N x 0,97 N = 28.178,5 / 0,97 N = 29.050,00 Agora podemos descobrir o valor recebido no segundo desconto: Usando a fórmula N = A (1 + i x t): 29.050 = A (1 + 0,025 x 1,5) 29.050 = A (1,0375) A = 29.050/1,0375 A = 28.000 RESPOSTA: Alternativa C


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Questão 17 Coletando os dados: Taxa (i) = 12% a.a. (juros simples) Prazo (t) = 6 meses (0,5 anos) Segunda aplicação: O capital será o montante da operação anterior – 20.000: M1 – 20.000 Prazo (t) = 1 ano (12 meses) Taxa (i) = 1,5% a.m. (juros simples) M2 = 28.933,60 Para saber o montante dos juros das duas aplicações, precisamos descobrir qual era o capital da primeira aplicação. Mas para isso, precisamos calcular primeiro o capital da segunda operação. 1º - Cálculo do capital da segunda aplicação. Primeiro, vamos calcular o fator. Como o regime é de juros simples, usamos o conceito de taxas proporcionais. Assim, 1,5% x 12 = 18%. 100% + 18% = 1,18 M = C x F 28.933,6 = C x 1,18 C = 28.933,6 / 1,18 C = 24.520,00 Como foi retirado do montante da primeira aplicação 20.000 para liquidar uma dívida, o montante da primeira aplicação será então 24.520 + 20.000 = 44.520. Com isso, podemos calcular o capital dessa aplicação. Primeiro, vamos descobrir o fator. Como são juros simples, usamos o conceito de taxas proporcionais. Assim: 12% x 0,5 = 6%. 100% + 6% = 1,06. M = C x F 44.520 = C x 1,06 C = 44.520 / 1,06 C = 42.000 De posse dos capitais e dos montantes, podemos saber o valor dos juros das duas aplicações: I – 44.520 - 42.000 = 2.500 II – 28.933,60 - 24.520 = 4.431,60 Total de juros: 2.500 + 4.431,60 = 6.913,60 RESPOSTA: Alternativa D

Questão 18 Coletando os dados: Prazo (t) = 45 dias (considerando o mês comercial = 30 dias, 45 dias = 1 mês e meio) Taxa (i) = 3% a.m. Valor atual (A) = 40.000 (desconto racional simples)


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O problema pergunta o valor atual do título caso fosse feita uma operação de desconto comercial simples ao invés do desconto racional. Para responder, precisamos calcular primeiramente o valor nominal do título, com base nos dados da operação de desconto racional. Usando a fórmula do desconto racional simples N = A (1 + i x t): N = 40.000 (1 + 0,03 x 1,5) N = 40.000 (1 + 0,045) N = 40.000 x 1,045 N = 41.800 Agora que temos o valor nominal do título, podemos calcular o valor atual da operação de desconto comercial simples. Usando a fórmula do desconto comercial simples A = N (1 – i x t): A = 41.800 (1 – 0,03 x 1,5) A = 41.800 (1 – 0,045) A = 41.800 x 0,955 A = 39.919 RESPOSTA: Alternativa B

Questão 19 Coletando os dados: Primeiro capital: Prazo (t) = 1 ano (12 meses) Taxa (i) = 2% a.m. Segundo capital: Prazo (t) = 8 meses Taxa (i) = 2% a.m. Soma dos capitais = 27.000 Logo, Capital 1 = 27.000 – Capital 2 Soma dos juros = 5.280 Logo, Juros 1 = 5.280 – Juros 2 Precisamos estabelecer alguma relação entre as duas aplicações para descobrir as variáveis. Para saber o valor dos juros, como temos a taxa de 2% ao mês, precisamos saber a taxa anual, que no regime de juros simples é calculada com o conceito de taxas proporcionais. 2% x 12 = 24%, ou 0,24. Como os juros = capital multiplicado por essa taxa: Capital 1: J1 = C1 x 0,24 5.280 – J2 = (27.000 – C2) x 0,24 5.280 – J2 = 6.480 – 0,24C2 5.280 + 0,24C2 – 6.480 = J2


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-1.200 + 0,24C2 = J2 Capital 2: Para saber o valor dos juros, como temos a taxa de 2% ao mês, precisamos saber a taxa para 8 meses, que no regime de juros simples é calculada com o conceito de taxas proporcionais. 2% x 8 = 16%, ou 0,16. Como os juros = capital multiplicado por essa taxa: J2 = C2 x 0,16 Podemos substituir J2 pela expressão calculada anteriormente: -1.200 + 0,24C2 = 0,16C2 -1.200 = 0,16C2 – 0,24C2 -1200 = -0,08C2 C2 = 1200/0,08 C2 = 15.000 Se o capital 2 é de 15.000, o capital 1 é de: 27.000 – 15.000 = 12.000 Assim, a diferença entre os dois capitais é de: 15.000 – 12.000 = 3.000 RESPOSTA: Alternativa C

Questão 20 Coletando os dados: Capital (C) = 12.800 Taxa (i) = 15% a.a. (juros simples) Montante (M) = 14.400 Sabendo que M = C x F: 14.400 = 12.800 x F F = 14.400/12.800 F = 1,125 Interpretando o fator, temos 1,125 – 1 = 0,125, ou uma taxa de 12,5% para o período total. Para saber por quantos períodos o capital ficou aplicado, usamos o conceito de taxas proporcionais: 12,5% / 15% = 0,8333 anos 0,8333 anos = 0,8333 x 12 = 10 meses. RESPOSTA: Alternativa B

Questão 21 Coletando os dados: Capital (C) = 2.500 Prazo (t) = 1 ano e 3 meses (15 meses) Montante (M) = 3.400


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Aplicando M = C x F: 3.400 = 2.500 X F F = 3.400/2.500 F = 1,36 Temos então 1,36 – 1 = 0,36, ou 36% para os 15 meses. Para saber a taxa mensal no regime de juros simples, usamos o conceito de taxas proporcionais. 36% / 15 = 2,4% a.m. RESPOSTA: Alternativa B

Questão 22 Coletando os dados: Primeira aplicação (juros compostos): Capital (C) = 15.000 Prazo (t) = 2 anos Taxa (i) = 10% a.a. Juros = ? Segunda aplicação (juros simples): Capital (C) = 15.000 Taxa (i) = 18% a.a. Juros = ? Primeiro, vamos calcular o Fator para a primeira aplicação. Temos 10% a.a., e precisamos converter para uma taxa bianual usando o conceito de taxas equivalentes. Assim: 100% + 10% = 1,1. Para 2 anos: 1,1² = 1,21 Usando M = C x F para a primeira aplicação: M = 15.000 x 1,21 M = 18.150 Se a segunda aplicação gera o mesmo montante de juros, temos o mesmo montante final. Assim: M = C x F 18.150 = 15.000 x F F = 1,21 Teremos, como era de se esperar, a mesma taxa de juros em 2 anos. Agora precisamos apenas usar o conceito de taxas proporcionais para saber por quanto tempo o capital ficou aplicado nesse segundo caso. Como a taxa é de 18% ao ano e de 1,21 – 1 = 0,21, ou 21% para o período completo: 21% / 18% = 1,1667 anos. 1,1667 x 12 = 14 meses RESPOSTA: Alternativa E


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Questão 23 Coletando os dados: Prazo (t) = 40 dias Valor Atual (A) = 97% do valor nominal Valor Nominal (N) = 100% Taxa (i) = ? O problema não informou o valor atual exato e nem o valor nominal exato, mas podemos usar a relação informada. Lembrando a fórmula do desconto comercial simples (por fora, sobre o valor nominal): A = N (1 – i x t) 97 = 100 (1 – i x 40) 97 = 100 – 4000i 4.000i = 100 – 97 4.000i = 3 i = 3 / 4.000 i = 0,00075 Como usamos na fórmula o prazo em dias, encontramos a taxa de 0,00075, ou 7,5% ao dia. Para saber a taxa anual, como estamos no regime de juros simples, usamos o conceito de taxas proporcionais: 1 ano comercial = 360 dias. Assim: 0,00075 x 360 = 0,27, ou 27% a.a. RESPOSTA: Alternativa A

Questão 24 Coletando os dados: Desconto comercial simples I: Prazo (t) = 2 meses Valor Nominal (N) = 30.000 Valor Atual (A) = 28.500 Taxa (i) = ? Desconto comercial simples II: Taxa (i) = ? Valor Nominal (N) = 24.000 Prazo (t) = 3 meses Valor Atual = ?


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No primeiro desconto, temos apenas uma variável. Então, podemos começar os cálculos pelo cálculo da taxa da primeira operação, que será usada na segunda também. Usando a fórmula do desconto comercial simples A = N (1 – i x t): 28.500 = 30.000 (1 – i x 2) 28.500 = 30.000 - 60.000i 60.000i = 30.000 – 28.500 60.000i = 1.500 i = 0,025, ou 2,5% Agora podemos usar essa taxa na segunda operação: A = N (1 – i x t) A = 24.000 (1 – 0,025 x 3) A = 24.000 – 1.800 A = 22.200 RESPOSTA: Alternativa D

Questão 25 Coletando os dados: Primeira aplicação: Capital (C) = 10.000 Prazo (t) = 6 meses Montante (M) = 10.900 Taxa (i) = i Segunda aplicação: Capital (C) = 10.900 Prazo (t) = 5 meses Taxa (i) = 2i Podemos usar os dados da primeira aplicação para descobrir a taxa que será usada na segunda aplicação. Usando a fórmula M = C x F: 10.900 = 10.000 x F F = 10.900/10.000 F = 1,09 Interpretando o fator, temos então 1,09 – 1 = 0,09, ou 9% de taxa para o período completo. Para saber a taxa mensal no regime de juros simples, usamos o conceito de taxas proporcionais. Como o prazo é de 6 meses: 9% / 6 meses = 1,5% a.m. Agora que temos a taxa da primeira aplicação, sabemos que a taxa da segunda é o dobro da primeira, então: 1,5% x 2 = 3% a.m. Como o capital ficou aplicado por 5 meses no regime de juros simples, teremos para o período completo: 3% x 5 = 15%, ou 0,15. Nosso fator será então:


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1 + 0,15 = 1,15. Agora podemos usar a fórmula M = C x F para descobrir o montante da segunda aplicação. Substituindo na fórmula: M = 10.900 x 1,15 M = 12.535 RESPOSTA: Alternativa E

Questão 26 O problema conta uma historinha para mostrar que, nas operações de matemática financeira, usamos a convenção do ano comercial (360 dias) e do mês comercial (30 dias), e pede para compararmos o valor de uma operação considerando essa convenção com o valor de uma operação considerando os 31 dias exatos de um mês. Assim: Primeiro caso juros comerciais (convenção comercial): Capital (C) = 15.000 Prazo (t) = 5 dias Taxa (i) = 9,3% a.m. Mês comercial: 30 dias. A taxa de juros diários será, usando o conceito de taxas proporcionais: 9,3% / 30 = 0,31% ao dia. O fator para 5 dias será: 0,31% x 5 = 1,55%. 100% + 1,55% = 1,0155. Usando M = C x F: M = 15.000 x 1,0155 M = 15.232,50 Segundo caso: considerando o mês exato, com 31 dias: Capital (C) = 15.000 Prazo (t) = 5 dias Taxa (i) = 9,3% a.m. Mês de 31 dias: a taxa de juros diários será, usando o conceito de taxas proporcionais: 9,3% / 31 = 0,3% ao dia. O fator para 5 dias será: 0,3% x 5 = 1,5%. 100% + 1,5% = 1,015. Usando M = C x F: M = 15.000 x 1,015 M = 15.225,00 Para a aplicação comercial (mês de 30 dias), tivemos juros de M – C = 15.232,5 – 15.000 = 232,50. Para a aplicação exata (mês de 31 dias), tivemos juros de M – C = 15.225 – 15.000 = 225,00. A diferença entre os valores dos juros é: 232,50 – 225 = 7,50


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RESPOSTA: Alternativa A

Questão 27 Coletando os dados: Primeira aplicação: Prazo (t) = 8 meses Taxa (i) = 1,5% a.m. Montante (M) = 14.000 Segunda aplicação: Prazo (t) = 1 ano (12 meses) Taxa (i) = 2% a.m. A primeira aplicação possui apenas uma variável: o capital. Assim, começamos por ela. Como o regime de capitalização é juros simples, usamos o conceito de taxas proporcionais para calcular a taxa para o período completo. 1,5% x 8 = 12%. O fator será 100% + 12% = 1,12. Usando M = C x F: 14.000 = C x 1,12 C = 14.000/1,12 C = 12.500 Agora que temos o capital da primeira aplicação (que é o mesmo da segunda), podemos descobrir o montante da segunda aplicação. Usando o mesmo raciocínio para cálculo do fator da primeira aplicação: 2% x 12 = 24%. Fator: 100% + 24% = 1,24. M = C x F M = 12.500 x 1,24 M = 15.500 RESPOSTA: Alternativa B

Questão 28 Coletando os dados: Prazo (t) = 2 anos Capital (C) = 15.800 Montante (M) = 24.687,50 Taxa (i) = ?


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Usando M = C x F: 24.687,50 = 15.800 X F F = 24.687,5 / 15.800 F = 1,5625 Assim, a taxa é 1,5625 – 1 = 0,5625, ou 56,25% para o período completo. Como o prazo é de 2 anos no regime de juros compostos, precisamos extrair a raiz de 1,5625, que é 1,25. Logo, a taxa para 1 ano é: 1,25 – 1 = 0,25, ou 25%. Observação: Podemos chegar à essa taxa por dedução. Calculando a taxa proporcional (juros simples), 56,25% / 2 = 28,125%. A taxa de juros compostos anuais que irá gerar 56,25% no final de 2 anos deve ser menor que 28,125%, pois os juros compostos rendem um pouco mais. Assim, poderíamos assinalar 25%, que é a taxa mais próxima de 28,125%. RESPOSTA: Alternativa A

Questão 29 Coletando os dados: Valor nominal (N) = 1.800,00 Valor atual (A) = 1.170,00 Taxa (i) = 2,5% a.m. Tempo (t) = ? Como o problema informou que se trata de uma operação de desconto comercial simples, basta lembrarmos da fórmula A = N (1 – i x t). Substituindo os valores: 1.170 = 1.800 (1 – 0,025 x t) 1.170 = 1.800 – 45t 45t = 1.800 – 1.170 45t = 630 t = 630 / 45 t = 14 Como o prazo que usamos estava expresso em meses, encontramos 14 meses, que é 1 ano e 2 meses. RESPOSTA: Alternativa E

Questão 30 Coletando os dados: Considerando C como o capital total, e os juros totais de R$ 7.600,00: Primeira aplicação: Capital (C) = (2/5) x C Taxa (i) = 2,5% a.m.


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Prazo (t) = 2 anos e 8 meses, ou 32 meses Juros (J1) = 7.600 – J2 Segunda aplicação: Capital (C) = (3/5) x C Taxa (i) = 18% a.a. Prazo (t) = 2 anos e 8 meses, ou 32 meses Juros (J2) = 7.600 – J1 Primeiro, vamos calcular as taxas de juros para as duas aplicações. Como o regime é de juros simples, usamos o conceito de taxas proporcionais. Assim: Primeira aplicação: 2,5% a.m. x 32 meses = 80%, ou 0,80 Segunda aplicação: 18% a.a. / 12 meses * 32 meses = 48%, ou 0,48 Agora que temos as taxas de juros totais das duas aplicações, precisamos estabelecer uma relação entre elas para descobrir as variáveis que faltam. Como o problema já informou uma relação entre o capital das duas operações e também já estabelecemos uma relação entre os juros, só precisaremos organizar as informações. Sabemos que os juros de uma operação = capital x taxa de juros x período. Como já calculamos as taxas totais de juros, multiplicaremos o capital pela taxa calculada em cada uma das aplicações. Primeira aplicação: J1 = C1 x 0,8 Segunda aplicação: J2 = C2 x 0,48 Como sabemos que a soma dos juros é 7.600,00, podemos ao invés de usar J1 + J2 = 7.600, usar a segunda parte da igualdade, e teremos apenas uma variável. C1 x 0,8 + C2 x 0,48 = 7.600 Para melhor organizar o problema e ter apenas 1 variável, vamos usar as proporções informadas no problema para o capital. Substituindo: (2/5) x C x 0,8 + (3/5) x C x 0,48 = 7.600 0,32C + 0,288C = 7.600 0,608C = 7.600 C = 7.600/0,608 C = 12.500 RESPOSTA: Alternativa A

Questão 31 Interpretando o problema, a taxa efetiva de juros será a taxa que irá considerar o montante final como sendo o valor calculado + os 10,00 desembolsados por João. Assim, coletando os dados: Capital (C) = 600,00 Juros (J) = 3% de 600,00 = 18,00 + 10,00 desembolsados = 28,00 Prazo (t) = 1 mês


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Assim, o montante (M) será C + J = 628,00. Como sabemos que, pela relação M = C x F F = M / C basta dividir o montante pelo capital para sabermos o fator de juros da aplicação: 628/600 = 1,0467. Interpretando o fator: 1,0467 – 1 = 0,0467, ou 4,67%. A taxa mais próxima dessa é 4,74%. RESPOSTA: Alternativa E

Questão 32 Coletando os dados: Capital 1 = 2/3 de C Taxa (i) = 1,5% a.m. Prazo (t) = 18 meses Capital 2 = 1/3 de C Taxa (i) = 2% a.m. Prazo (t) = 18 – 3 meses = 15 meses Montante 1 + Montante 2 = 28.800 Sabemos que M = C x F, e que M1 + M2 = 28.800. Assim, ao invés de usar essa relação entre os montantes, podemos trabalhar com a segunda parte da igualdade, estabelecendo que C1 x F1 + C2 x F2 = 28.800. Para calcular os fatores no regime de juros simples, usamos o conceito de taxas proporcionais. Assim: Fator para a primeira aplicação: 1,5% x 18 meses = 27%. 100% + 27% = 1,27 Fator para a segunda aplicação: 2% x 15 meses = 30%. 100% + 30% = 1,30 Temos então, usando M = C x F e substituindo os valores: Para a primeira aplicação, M1 = (2/3) x C x 1,27 Para a segunda aplicação, M2 = (1/3) x C x 1,30 Aplicando o raciocínio anterior, se M1 + M2 = 28.800: (2/3) x C x 1,27 + (1/3) x C x 1,30 = 28.800 0,8467C + 0,4333C = 28.800 1,28C = 28.800 C = 28.800/1,28 C = 22.500,00 RESPOSTA: Alternativa E


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Questão 33 Vamos dividir esta questão em duas partes para resolvermos

Dados da primeira parte:

o Capital (C) : ?? o Prazo (T) : 8 meses = 8/12 (já que a taxa é dada ao ano) o Taxa (i) : 15% ao ano = 0,15 o Montante: 13.200,00 o Modalidade : Juros Simples

Dados da segunda parte:

o Capital (C): C (Capital da primeira parte) o Prazo (T): 2 anos o Taxa (i) : 15% ao ano = 0,15 o Modalidade: Juros Composto

RESPOSTA: Alternativa D

Questão 34 Vamos dividir esta questão em duas partes para resolvermos.

Dados da primeira parte:

o Valor Atual (A) : 21.000,00 o Prazo (T) : 2 meses = 2/12 (já que a taxa é dada ao ano) o Taxa (i) : 18% ao ano = 0,18 o Valor Nominal (N): ??? o Modalidade : Desconto Racional Simples

Resolução 1ª parte:


(1 )

813.200 (1 0,15 )

12

13.200 (1,10)

1312.000,00

.200

1,1

M C i t

C

C

C

2

2

(1 )

12.000 (1 0,15)

12.000 (1,15)

12.000 15.870,01,3225 0

tM C i

M

M

M


[email protected]


Dados da segunda parte: o Valor Atual (A) : 21.000,00 o Prazo (T) : 5 meses = 5 o Taxa (i) : 2% ao mês = 0,18 o Valor Nominal (N): 2 x N (Dobro do Valor Nominal do primeiro título) o Modalidade : Desconto Comercial Simples


Questão 35 Temos desconto comercial simples:

VN = 25000

t = 40 dias = 1,333 meses.

i = 3 % am.

A = N x (1 - i.t)

A = 25000.(1 – 0,03x1,3333)

A = 25000 x 0,96 = 24000


Questão 36 Vamos ver o fluxo de caixa dessa compra na situação II:



(1 )

21.0002

(1 0,18 )12

21.0001,03

21.621.000 1 3 ,00,03 0

NA

i t

N

N

N

(1 )

43.260 (1 0,02 5)

43.260 (0

38.934

,90

,

)

00

A N i t

A

A

A


[email protected]


n = 1 mês

Logo temos que capitalizar o valor restante (Valor Total – Entrada) para 1 mês.

4500 = 4000 x (1 + i.1)

4500 = 4000 + 4000i

4000 i = 4500 – 4000

4000 i = 500

𝑖= 5004000=0,125

i = 12,5 %


Questão 37 Sabemos que temos 3 sócios, e que a relação entre os investimentos deles é a seguinte:

X: Sócio Majoritário.

Y: Sócio Intermediário.

Z: Sócio Minoritário.

1: X – Y = Z

2 : X = Z + Y

Sabemos que a soma dos três investidores é de 100%, podemos deduzir:

X + Y + Z = 100% - vamos substituir a expressão ( 1 ) no problema.

X + Y + (X – Y) = 100%

2 X = 100 %

X = 50 %

Logo o investidor inicial dispunha do 50 % do valor total investido, ou seja, R$ 50.000,00



[email protected]


Questão 38

i = 24 % a.a/mês 24 ÷12 = 2 2 % a.m/mês

Vamos capitalizar os 4 depósitos de 1000, usando a tabela fornecida:

1000 x 4,12 = 4120,00

Agora levamos até o momento 7, onde queremos saber o montante:

4120 x 1,08 = 4449,60

Agora , vamos capitalizar os depósitos de 1250,00 até o 4º depósito:

1250,00 x 4,12 = 5150,00

Vamos somar os dois montantes:

5150,00 + 4449,60 = 9599,60


Questão 39

Essa questão pode ser feita facilmente apenas calculando quantas vezes 7,5% existe em 25%. No

entanto, vamos fazer passo a passo.

Coletando os dados:

Capital (C) = C

Taxa: 7,5% a.a.

Montante = Capital + 25%

O fator para um acréscimo de 25% é:

100% + 25% = 1 + 0,25 = 1,25

Usando M = C x F apenas para confirmar:

1,25C = C x F


[email protected]


F = 1,25C / C

F = 1,25

Trabalhando o fator:

1,25 – 1 = 0,25, ou 25% de rendimento.

Para saber o período, como temos uma taxa de 7,5% ao ano:

25% / 7,5% = 3,3333 anos.

Convertendo para meses:

3,3333 x 12 = 40 meses



[email protected]


MÓDULO 4. RENDAS UNIFORMES

SÉRIES DE PAGAMENTOS

Esse conteúdo pode ser visto como uma extensão de Juros Compostos. Enquanto em Juros

composto um empréstimo ou uma compra eram feitos para serem quitados em um único

pagamento, em série de pagamento, como o próprio nome já diz, esse pagamento será feito por

mais de uma parcela. O mesmo ocorre nas aplicações, que em Juros Compostos analisávamos

apenas uma aplicação de um valor único. Em série de pagamentos, podemos estudar casos em

que o cliente faz depósitos durante vários meses e chega a um montante.

TIPOS DE SÉRIE DE PAGAMENTO

As séries de pagamentos se dividem basicamente em dois tipos de séries: Série Antecipada e

Série Póstecipada. Aprenderemos agora como diferenciá-las:

Séries de pagamentos Postecipadas: é aquela em que não existe um depósito inicial (não

existe uma entrada). No caso de empréstimos e financiamentos, possui um comportamento

descrito pelo fluxo abaixo:

Séries de pagamentos Antecipadas: é aquela que exige um depósito inicial (uma entrada). É

mais utilizada em investimentos. Cuidado: nem todas as operações que possuem entrada são

séries antecipadas. É necessário que o valor da entrada seja o mesmo que o valor das demais

prestações. Vamos ver como é o comportamento descrito pelo fluxo abaixo:

4.1 SÉRIES UNIFORMES – ANTECIPADAS E PÓSTECIPADAS

C

M

Parcelas (P)

C

M Parcelas (P)

((PMT)


[email protected]


CARACTERÍSTICAS DE UM SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS

o As parcelas são constantes

o Juros decrescentes

o Amortizações crescentes

o Saldo devedor decrescente

FÓRMULAS:

SÉRIES POSTECIPADAS

SÉRIES ANTECIPADA

Onde:

P= Valor da prestação

C = Valor do Capital (Entrada, aplicação inicial)

M = Valor do Montante

i = Taxa de juros;

t = Prazo.

A prestação de uma série de pagamento é composta de duas partes: juros e amortização. Ou

seja: Prestação = Juros + Amortização

CONSIDERAÇÕES:

CALCULO DA PRESTAÇÃO (UTILIZANDO O CAPITAL)

CALCULO DA PRESTAÇÃO (UTILIZANDO O MONTANTE)

(1 )

(1 ) 1

t

t

i iP C

i

(1 ) 1t

iP M

i

CALCULO DA PRESTAÇÃO (UTILIZANDO O CAPITAL)

CALCULO DA PRESTAÇÃO (UTILIZANDO O MONTANTE)

(1 ) 1

(1 ) 1 (1 )

t

t

i iP C

i i

1

(1 ) 1 (1 )t

iP M

i i

4.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS – SAF (TABELA PRICE)


[email protected]


Não basta apenas decorar as fórmulas. Precisamos entender o processo. Observe que as fórmulas

para a série de pagamentos antecipada e para a série de pagamentos postecipada são idênticas.

Porém, como na série de pagamentos antecipada ocorre uma parcela no período inicial, incluímos

essa parcela na fórmula.

A maioria das questões de séries de pagamentos cobradas em concurso exige a utilização de

tabela para a sua resolução, mas é possível cobrar este conteúdo sem fornecer uma tabela para

resolução.

Assim, as bancas costumam informar o valor de . No entanto, a CESPE possui

característica de informar esse valor com t negativo, e a CESGRANRIO também informou dessa

forma na prova da Caixa Econômica Federal de 2012, nível médio. Quando isso acontece,

podemos usar uma fórmula alternativa, que acaba sendo bem mais simples:

TABELA DE AMORTIZAÇÃO DE UM SISTEMA FRANCÊS

Vamos ver um exemplo de como construir uma tabela de amortização de um sistema francês

(tabela price).

Exemplo 4.2.1 Um cliente solicitou um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 para pagar em 5

prestações mensais iguais e consecutivas, sendo que a primeira parcela tem seu vencimento 30

dias após a data da contratação. Sabendo que a taxa de juros cobrada pela financeira é de 10%

ao mês, calcule o valor da prestação e os juros e cota de amortização de cada mês.

Como a primeira prestação vence 1 mês após a data da contratação do empréstimo, estamos

diante de uma série postecipada.

Dados:

C = 10.000,00

t = 5 meses

i =10% ao mês

P = ???

Aplicando a formula temos:


[email protected]


5

5

5

5

(1 ) (1 0,10) 0,1010.000

(1 ) 1 (1 0,10) 1

(1,10) 0,10 1,61 0,1010.000 10.000

(1,10) 1 1,61 1

0,1610510.000 10

2.64

.000 0,

0,1

264020,61

8

t

t

i iP C P

i

P P

P P

P

OBS: O calculo de (1,10)5 exige tabela ou terá seu valor dado no exercício.

Agora vamos preencher a tabela de amortização com os dados que já conhecemos.

N Prestação Juros Amortização Saldo devedor após pagamento da parcela

0 ------- ------- -------- -10.000,00

1 2.640,18

2 2.640,18

3 2.640,18

4 2.640,18

5 2.640,18

Toda informação que temos até agora é que o empréstimo será liquidado em 5 parcelas

consecutivas de R$ 2.640,18 (valor encontrado acima).

Para completar a tabela, temos que ter os seguintes conceitos definidos:

Os juros da parcela n são cobrados sobre o saldo devedor após o pagamento da parcela (n

– 1). Ou seja: os juros da 2ª parcela são cobrados sobre o saldo devedor após o

pagamento da primeira parcela e assim sucessivamente.

O valor da prestação é os juros somados com a amortização. Podemos também concluir

que a amortização é igual à prestação menos os juros.

Somente a amortização reduz o saldo devedor. Os juros não impactam no saldo devedor do

empréstimo.


[email protected]


Agora vamos calcular os juros da 1ª parcela: (considerando uma taxa de juros de 10% = 0,10)

1 0 1

1

0,10 10.00

1.000

0

,00

J i SD J

J

Podemos calcular a amortização da primeira parcela como a diferença entre a prestação e os juros

1 1 1

1

2.640,80 1.000

1.640,80

A P J A

A

O novo saldo devedor será dado por:

1 0 1 1

1

10.000,00 1.640,80

8.359,20

SD SD A SD

SD

Completando a tabela, teremos:


0 ------- ------- -------- -10.000,00

1 2.640,18 1.000,00 1.640,80 8.359,20

2 2.640,18

3 2.640,18

4 2.640,18

5 2.640,18

Vamos repetir todos os processos anteriores para completar a linha 2

Agora vamos calcular os juros da 2ª parcela:

2 1 2

2

0,10 8.359,20

835,92

J i SD J

J

Podemos calcular a amortização da segunda parcela como a diferença entre a prestação e os

juros

2 2 2

1

2.640,80 835,9

1.804,88

2A P J A

A

O novo saldo devedor será dado por:


[email protected]


2 1 2 2

2

8.359,20 1.804,88

6.554,32

SD SD A SD

SD

Completando a tabela, teremos:


0 ------- ------- -------- -10.000,00

1 2.640,18 1.000,00 1.640,80 8.359,20

2 2.640,18 835,92 1.804,88 6.554,32

3 2.640,18

4 2.640,18

5 2.640,18

Agora é só repetir o processo para as próximas 3 linhas e encontraremos os seguintes valores:


0 ------- ------- -------- -10.000,00

1 2.640,18 1.000,00 1.640,80 8.359,20

2 2.640,18 835,92 1.804,88 6.554,32

3 2.640,18 655,43 1.984,75 4.569,57

4 2.640,18 456,95 2.183,23 2.386,34

5 2.640,18 238,63 2.401,55 15,21

OBSERVÇÃO: O saldo devedor após pagamento da ultima parcela deve ser sempre igual a zero.

Neste exemplo, encontramos R$ 15,21 pelo fato de termos feito alguns arredondamentos quando

calculamos o valor das parcelas.

O mais importante desta tabela é entender os conceitos abaixo:

1. A prestação é sempre constante

2. Juros são decrescentes

3. A amortização é crescente

4. Prestação é igual a juros mais amortização.

5. Os juros são calculados multiplicando a taxa de juros pelo saldo devedor do período

anterior.

6. Apenas a amortização reduz o saldo devedor.

FLUXO DE CAIXA


[email protected]


Vamos entender o exemplo anterior em um Fluxo de Caixa:

Passo 1: Vamos capitalizar o saldo devedor considerando uma taxa de juros de 10% ao mês.

Assim, o saldo devedor do tomador de empréstimo será de:

R$ 10.000,00 x 1,10 = R$ 11.000,00

Ou seja: na data de pagamento da primeira parcela, o saldo devedor do clientes será de R$

11.000,00

Passo 2: Agora vamos descontar o pagamento da primeira parcela do cliente, atualizar o seu

saldo devedor e capitalizar mais uma vez pela taxa de 10%, para que possamos descobrir qual o

seu saldo devedor no momento do pagamento da 2ª parcela.

o Saldo devedor após pagamento da 1ª parcela: R$ 11.000,00 – 2.640,18 = R$ 8.359,82

o Saldo devedor no pagamento da 2ª parcela: R$ 8.359,82 x 1,10 = R$ 9.195,80

Passo 3: Repetindo o processo do passo 2, teremos:

R$ 10.000,00

1

R$ 2.640,18 ( 5 Parcelas)

2 3 4 5

0

R$ 10.000,00

11.000,00 (saldo devedor)

- 2.640,18 ( parcela)

8.359,82

9.195,80 3 4 5


[email protected]




Passo 4: Repetindo as operações acima até a ultima parcela, teremos:



Continuando



o Saldo devedor após pagamento da 4ª parcela: R$ 2.626,71 – 2.640,18 = R$ 13,47

Exemplo 4.2.2 Qual o valor das prestações mensais que deverão ser pagas a um empréstimo no

valor de R$ 2.500,00 contratados a uma taxa de 10% ao mês em 3 vezes?

R$ 10.000,00


- 2.640,18 ( parcela)

6.555,62

7.211,18 4 5

R$ 10.000,00


- 2.640,18 ( parcela)

- 13,47 (erro de arrendamento)

2.626,71


[email protected]


3

3

(1 0,10) 0,102500

(1 0,10) 1P

Resolvendo a expressão acima encontraremos

Prestação (P) = 1.005,28

Analisando o fluxo teremos:

PRESTAÇÃO 1:

Assim:

Prestação: 1.005,28

Juros = 2.500 x 0,10 = 250,00

Amortização: 1.005,28 – 250,00 = 755,28 Novo Saldo Devedor: 2.750,00 – 1.005,28 = 1.744,72 PRESTAÇÃO 2:

Assim:


Juros = 1.744,72 x 0,10 = 174,47

Amortização: 1.005,28 – 174,47 = 830,81 Novo Saldo Devedor: 1.919,20 – 1.005,28 = 913,92

2.500

2.500 x (1,1)= 2.750,00

1.005,28

1.744,72

1.744,72 x (1,1)= 1.919,20

1.005,28


[email protected]


PRESTAÇÃO 3:

Assim:


Juros = 913,92 x 0,10 = 91,39

Amortização: 1.005,28 – 91,39 = 913,89 Novo Saldo Devedor: 1.005,31 – 1.005,28 = 0,03 OBS: a diferença em centavos deve-se ao fato de trabalharmos com arredondamentos. Assim, podemos concluir que o cliente está, na verdade, pagando sua divida da seguinte maneira:

COMO RESOLVER

Exemplo 4.2.3 Qual o valor aproximado das parcelas pagas por um empréstimo no valor de R$

10.000,00 contratado para ser liquidado em 3 prestações mensais, a uma taxa de juros de 10%

a.m, sendo que a primeira parcela vencerá após 30 dias a data da compra?

Dados:

C = 10.000,00

t = 3 parcelas mensais

i = 10% ao mês

Sistema : Postecipado (sem entrada)

913,92

913,92 x (1,1)= 1.005,31

1.005,28

2.500,00

755,28 830,31 913,89


[email protected]


Fluxo:

Resolução:

(1 ) .

(1 ) 1

t

t

i iP C

i

3

3

(1 0,10) 0,1010000

(1 0,10) 1P

3

3

(1,1) 0,1010000

(1,1) 1P

0,133110000

0,331P

10000 0,40211P

P = 4.021,10

Assim calculamos que o valor de cada parcela será de R$ 4.021,10

Exemplo 4.2.4 Um cliente financiou uma motocicleta no valor de R$ 10.000,00 com uma entrada

e mais 2 parcelas, sendo a primeira a vencer 30 dias após a compra. Sabendo que o banco

responsável pelo financiamento cobra uma taxa de juros de 10% ao mês, qual o valor da

prestação?

Dados:

C = 10.000,00

t = 3 parcelas mensais

i = 10% ao mês

Sistema : Antecipado (com entrada)

Fluxo:

10.000,00

?? ?? ??

10.000,00

?? ?? ??


[email protected]


Observação: Note que esse exemplo é muito semelhante ao anterior (exemplo 4.2.3). A única

diferença é que agora o financiamento terá uma entrada, ou seja, passamos a trabalhar com uma

série de pagamento antecipada e não mais postecipada, como o exercício anterior.

Assim, podemos encontrar a parcela deste financiamento apenas descapitalizando a parcela do

exercício anterior em um período.

1

4.021,101 0,10

P

3.655,54P

Ou podemos substituir os dados fornecido na fórmula de cálculo de prestação antecipada e

calcular o valor da parcela.

(1 ) 1

(1 ) 1 (1 )

t

t

i iP C

i i

3

3

(1,10) 0,10 110.000

(1,10) 1 (1,10)P

0,1331 110.000 10.000 0,366558

0,331 (1,1

3.655,58

0)P P

P


[email protected]



1. (SEFAZ/SP 2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00 deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de

(A) R$ 37.473,15

(B) R$ 36.828,85

(C) R$ 35.223,70

(D) R$ 35.045,85

(E) R$ 34.868,15

2. (AL/SP – 2010) Uma compra de R$ 164,00 será paga em duas parcelas, sendo a primeira à vista e a segunda um mês após a compra. A loja cobra um acréscimo de 5% por mês sobre o saldo devedor. Nessas condições, para que as duas parcelas sejam iguais, o valor de cada uma deverá ser

(A) R$ 82,00

(B) R$ 84,00

(C) R$ 84,05

(D) R$ 85,05

(E) R$ 86,10

3. (SEFIN/RO - 2010) A compra de um equipamento por uma indústria poderá ser

feita por uma das duas opções seguintes: à vista por R$ 41.600,00 ou em duas

prestações anuais e consecutivas de valores iguais, vencendo a primeira um ano

após a data da compra. Considerando-se uma taxa de juros compostos de 8% ao

ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o valor de cada prestação

referente à segunda opção que torna equivalentes, na data da compra, as duas

opções é

(A) R$ 23.328,00

(B) R$ 22.064,00


[email protected]


(C) R$ 21.600,00

(D) R$ 20.800,00

(E) R$ 20.400,00

4. (SEFAZ/SP – 2009) Uma programação de investimento consiste na realização de

três depósitos consecutivos de valores iguais efetuados no início de cada ano. O

resgate dos respectivos montantes será feito de uma só vez, três anos após a data

do primeiro depósito. Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano,

e sabendo-se que a soma dos montantes no ato do resgate foi igual a R$

43.692,00, conclui-se que o valor de cada depósito é igual a

(A) R$ 10.000,00

(B) R$ 10.500,00

(C) R$ 11.000,00

(D) R$ 11.500,00

(E) R$ 12.000,00

5. (SEFAZ/SP – 2009) Um investidor deposita R$ 12.000,00 no início de cada ano

em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros

compostos de 10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, tem-se que a

soma dos montantes referentes aos depósitos realizados é igual a

(A) R$ 52.800,00.

(B) R$ 54.246,00.

(C) R$ 55.692,00.

(D) R$ 61.261,20.

(E) R$ 63.888,00.

6. (TRT 15ª REGIÃO – 2009) Um analista deve efetuar dois pagamentos, um de R$

1.500,00 daqui a 4 meses e outro, de R reais, daqui a 6 meses. Para isso, ele vai:

- aplicar R$ 2.000,00 hoje, a juros simples, à taxa de 4% ao mês;

- retirar todo o montante dessa aplicação daqui a 4 meses e, no mesmo dia,

efetuar o pagamento de R$ 1.500,00 e aplicar o restante a juros simples, à taxa de

5% ao mês por 2 meses;

- retirar, daqui a 6 meses, todo o montante da segunda aplicação e efetuar o

pagamento de R reais, não ficando com sobras.

Dessa forma, o valor de R é


[email protected]


(A) 902

(B) 910

(C) 915

(D) 918

(E) 920

7. (BB 2010) Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00 deverá ser pago por meio

de 5 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após

a data da concessão do empréstimo. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de

Amortização (Tabela Price) com uma taxa de juros compostos de 3% ao mês,

encontrando-se R$ 17.468,00 para o valor de cada prestação. Imediatamente após

o pagamento da primeira prestação, se S representa o percentual do saldo devedor

com relação ao valor do empréstimo, então

(A) 81% ≤ S < 82% (B) 80% ≤ S < 81% (C) 79% ≤ S < 80% (D) 78% ≤ S < 79% (E) 77% ≤ S < 78%

8. (BB/DF 2006) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um

empréstimo no valor de R$ 15.000,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo

a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com

capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização

(Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator

de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos

juros incluídos no pagamento da segunda prestação é

(A) R$ 273,30

(B) R$ 272,70

(C) R$ 270,00

(D) R$ 266,70

(E) R$ 256,60

9. (PREFEITURA DE SÃO PAULO - 2010) Uma dívida no valor de R$ 80.000,00 deverá ser liquidada em 35 prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da contração da dívida. Sabe-se que foi adotado o sistema de amortização francês (tabela PRICE), a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, considerando o valor de 0,0400 para o Fator de


[email protected]


Recuperação de Capital (FRC) correspondente. A soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da primeira prestação e da segunda prestação é igual a

(A) R$ 3.168,00.

(B) R$ 3.232,00.

(C) R$ 3.264,00.

(D) R$ 3.368,00.

(E) R$ 3.374,00.

10. (COPERGÁS 2011) Uma dívida de R$ 50.000,00 referente a um empréstimo deverá ser paga por meio de 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data do empréstimo. Sabe-se que foi utilizada uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, considerando o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price). Para o respectivo valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC), para 20 períodos, utilizou-se 0,0612. A tabela abaixo corresponde à montagem do quadro de amortização da dívida até a segunda prestação.

Data Prestação (R$) Juros (R$) Amortização (R$) Saldo devedor (R$)

0 50.000,00

1 P1 J1 A1 SD1

2 P2 J2 A2 SD2

Observação: Pi, Ji, Ai e SDi são valores, respectivamente, da prestação, dos juros, da amortização e do saldo devedor da data i. O valor de SD2, isto é, o valor do saldo devedor da dívida imediatamente após o pagamento da segunda prestação, é igual a

(A) R$ 43.880,00.

(B) R$ 44.859,40.

(C) R$ 45.838,80.

(D) R$ 45.880,00.

(E) R$ 47.940,00.


[email protected]



Questão 1

Coletando os dados:


Prazo (t) = 20 meses

Taxa (i) = 2,5% a.m., ou 0,025 a.m.

Fator informado: 0,06415

Como foi informado o Fator de Recuperação de Capital (FRC), basta multiplicar o capital (40.000)

pelo FRC e teremos o valor das prestações:

40.000 x 0,06415 = 2.566

Sabemos que o valor da parcela é composto de amortização + juros. Portanto, para saber o

quanto foi amortizado na primeira prestação, precisamos primeiro descobrir qual é o montante de

juros cobrados, e o restante da prestação será a amortização. Como o problema pede o saldo

devedor após o pagamento da 2ª prestação, precisaremos fazer isso para as 2 primeiras

prestações.

Dívida inicial: 40.000

Capitalizando para o primeiro mês, temos um aumento de 2,5%. Fator para esse aumento: 100%

+ 2,5% = 1,025

40.000 x 1,025 = 41.000 (esse é o saldo devedor antes do pagamento da primeira prestação).

Como a parcela é de 2.566 e os juros são de 1.000, a amortização será de 1.566. Logo, o saldo

devedor após o pagamento da primeira prestação será de:

40.000 – 1.566 = 38.434 (dívida menos amortização); ou

41.000 – 2.566 = 38.434 (valor com juros menos parcela com juros).

Até a data do pagamento da segunda parcela, correram juros de 2,5% sobre o saldo devedor de

38.434. Podemos calcular o novo saldo devedor da mesma forma que foi feito anteriormente.

38.434 x 1,025 = 39.394,85

Os juros pagos foram de 39.394,85 – 38.434 = 960,85

Se a prestação é de 2.566 e os juros são de 960,85, a amortização é 2.566 – 960,85 = 1.605,15.

Assim, o saldo devedor após o pagamento da segunda prestação será:

38.434 – 1.605,15 = 36.828,85 (dívida menos amortização); ou

39.394,85 – 2.566 = 36.828,85 (valor com juros menos parcela com juros).

Para melhor entendimento, podemos montar um quadro:


[email protected]


Valor devido no início do período Juros Amortização Parcela

40.000,00 1.000,00 1.566,00 2.566

38.434,00 960,85 1.605,15 2.566

36.828,85


Questão 2

Temos que o capital (C) é 164.

A taxa (i) é de 5% a.m.

Prazo (t) = 1 mês

Série antecipada (1 pagamento no ato).

Montando o fluxo de caixa, teremos:

Observe que temos 1 parcela paga no ato, então o valor que será capitalizado para um mês após

a compra será apenas o que restar após o pagamento da primeira parcela. Ou seja: os juros serão

cobrados apenas sobre o saldo devedor. Não sabemos o valor da parcela, mas sabemos que as

duas são iguais. Como apenas a segunda parcela está em um período diferente, precisamos

descapitalizá-la. Para descapitalizar essa parcela, podemos usar M = C x F. Como a parcela está

num período futuro, ela será o Montante. Como a taxa de juros é de 5% a.m., o fator será 100%

+ 5% = 1,05. Assim, o valor atual da segunda parcela será: .

O valor de 164,00 deve ser igual à soma das parcelas no período inicial. Então:


[email protected]


2,05P = 164 x 1,05

2,05P = 172,2

P = 84

Ou de outra forma:

Sabemos que o valor atual (Capital – C) é de 164,00. Assim, a soma das parcelas trazidas para

valor atual deve ser 164,00. Como a primeira parcela está sendo paga à vista, somente o valor

restante será capitalizado com a taxa de 5%. Então, chamando as parcelas de P, o valor da

segunda parcela será:

P = (164 – P) x 1,05 (fator para um aumento de 5%).

P = 172,2 - 1,05P

P + 1,05P = 172,2

2,05P = 172,2

P = 172,2/2,05

P = 84,00


Questão 3

Coletando os dados:


Prazo (t) = 2 anos

Taxa (i) = 8% a.a., ou 0,08 a.a.

Parcela (P) = ?

Podemos usar o conceito de fluxo de caixa. Como as duas parcelas são iguais, podemos chamá-

las de “P”. Para trazê-las para valor atual, usamos a taxa de 8% ao ano da seguinte forma:

Primeira parcela:

Fator: 100% + 8% = 1,08

Para descapitalizar:


[email protected]


Segunda parcela:

Fator: 100% + 8% = 1,08. Como são 2 anos: 1,08² = 1,1664

Para descapitalizar:

A soma das parcelas no período atual deve ser igual à dívida inicial (41.600). Então:


Questão 4

Coletando os dados:

Prazo (t) = 3 anos

Taxa (i) = 10% a.a.

Montante (M) = 43.692,00

Parcela (P) = ?

Precisamos nos lembrar da fórmula para o cálculo das parcelas com base no montante em uma

série antecipada (o primeiro depósito é feito no ano 0, no ato):


[email protected]



Questão 5

Coletando os dados:

Parcela (P) = 12.000

Taxa (i) = 10% a.a.

Prazo (t) = 4 anos

Montante (M) = ?

Fórmula:



[email protected]


Questão 6

Primeiro, o analista aplicou 2.000 a juros simples, à taxa de 4% ao mês, durante 4 meses.

Convertendo a taxa ao mês para quadrimestral utilizando o conceito de taxas proporcionais:

4% x 4 = 16%

O fator para um acréscimo de 16% será: 100% + 16% = 1,16. Assim, usando M = C x F:

M = 2.000 x 1,16

M = 2.320

Nesse momento, o investidor retirou todo o montante de 2.320 e pagou 1.500, restando então

820.

Depois, aplicou o restante de 820 à taxa de 5% ao mês por 2 meses a juros simples. Convertendo

a taxa mensal para bimestral: 5% x 2 = 10%. O fator para um acréscimo de 10% será 100% +

10% = 1,10. Assim, usando M = C x F:

M = 820 x 1,1

M = 902

Como esse montante será usado para pagar o restante da dívida daqui a 6 meses (4 meses da

primeira aplicação + 2 meses da segunda) sem sobras, ele é o valor de R procurado.


Questão 7

Dados

o Valor Presente (P.V)= 80.000,00

o Quantidade de Prestações (n): 5 prestações mensais

o Taxa de juros (i): 3% ao mês = 0,03

o Valor da Prestação: 17.468,00

o Saldo devedor/Valor presente = ???

Maneira mais fácil de resolver esta questão

1. Capitalizar o saldo devedor até a data de vencimento da primeira parcela:

80.000 x 1,03 = 82.400,00

2. Descontar a parcela paga:

82.400,00 – 17.468,00 = 64.932,00


[email protected]


3. Calcular o percentual do saldo devedor pela dívida inicial contraída:

64.9320,811

80.000

aproximado 81,1%

Ou seja, alternativa “A”

FLUXO DE CAIXA PARA VISUALIZAÇÃO:


Questão 8

Sistema PRICE: Prestações constantes.

Empréstimo: R$ 15.000,00

n = 10 prestações (1ª após 1 mês).

i = 24% ano/mês 24 ÷ 12 = 2 2% mês/mês.

FRC = 0,111 (para o período)

P = 15000 x 0,111 = R$ 1665,00

Vamos montar a tabela para entender o cálculo:

n Parcela Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - 15000

1 1665,00 300 1365,00 13635

2 1665,00 272,60

Juros (1ª parc) = 15000,00 x 0,02 = 300,00

80.000

80.000 x (1,03)= 82.400,00

17.468,00


[email protected]


Juros (2ª parc) = 13635,00 x 0,02 = 272,70


Questão 9

Coletando os dados:



Taxa (i) = 2% a.m.

Como foi dado o fator de recuperação de capital, só precisamos multiplicar o capital por esse

número e saberemos o valor das parcelas.

80.000 x 0,04 = 3.200

Os juros da primeira prestação serão de:

80.000 x 2% = 1.600

Se a primeira prestação é de 3.200 e os juros são 1.600, a amortização é = 1.600.

Como foi amortizado 1.600, a dívida restante é de 80.000 – 1.600 = 78.400.

Os juros da segunda parcela são:

78.400 x 2% = 1.568,00

Se a segunda prestação é de 3.200 e os juros são 1.568,00, a amortização é = 1.632.

Logo, a amortização das duas primeiras parcelas será:

1.632 + 1.600 = 3.232,00


Questão 10



Taxa (i) = 2% a.m.

Fator de recuperação de capital: 0,0612

Vamos completar a tabela.


[email protected]


Como foi dado o fator de recuperação do capital, o valor das parcelas será o resultado da

multiplicação da dívida pelo fator. Assim:

50.000 x 0,0612 = 3.060

Os juros da primeira parcela serão calculados sobre 50.000. Assim:

50.000 x 2% = 1.000

Logo, a amortização será de 3.060 – 1.000 = 2.060

O saldo devedor será 50.000 – 2.060 = 47.940

Para a segunda parcela, teremos juros de:

47.940 x 2% = 958,8

Logo, a amortização será de 3.060 – 958,8 = 2.101,2

O saldo devedor será 47.940 – 2.101,2 = 45.838,80

Completando a tabela:

Data Prestação (R$) Juros (R$) Amortização (R$) Saldo devedor (R$)

0 50.000,00

1 3.060 1.000 2.060 47.940,00

2 3.060 958,80 2.101,2 45.838,80



[email protected]


MÓDULO 5. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC

A principal diferença do SAF em relação ao SAC é o fato do SAC as prestações não serem

constantes. No SAC as prestações são decrescentes.

Na maioria dos financiamentos bancários, utilizamos o Sistema de Amortização Frances (tabela

Price).

Porém, os bancos adotam o sistema de amortização conhecido como SAC nos financiamentos

Habitacionais. Este sistema substituiu o SAF pelo fato de a tabela Price cometer anatocismo

(cobrança de juros sobre juros).

CARACTERÍSTICAS DE UM SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE

o Amortizações são constantes

o As parcelas são decrescentes



FÓRMULAS:

Onde:

P= Valor da prestação

C = Valor do Capital (Entrada, aplicação inicial)

J = Juros

t = Prazo

i = Taxa de Juros

SD0 = Saldo Devedor do período ANTERIOR

CÁLCULO DA AMORTIZAÇÃO CÁLCULO DA PRESTAÇÃO

CA

t

P A J

CÁLCULO DOS JUROS

1 0J SD i

5.1 INTRODUÇÃO

5.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE


[email protected]


Vamos usar o mesmo exemplo citado no capitulo anterior, trocando o Sistema de Amortização

Francês pelo SAC.

Exemplo 5.2.1 Um cliente solicitou um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 para pagar em 5

prestações mensais iguais e consecutivas, sendo que a primeira parcela tem seu vencimento 30

dias após a data da contratação. Sabendo que a taxa de juros cobrada pela financeira é de 10%

ao mês, calcule o valor da prestação e os juros e cota de amortização de cada mês considerando

que o banco utiliza o Sistema de Amortização Constante.

Passo 1: Como o valor emprestado é de 10.000,00 para ser liquidado em 5 prestações, podemos

calcular o valor da cota de amortização mensal.

10.000

2.000,0

5

0

CA A

t

A

Assim vamos construir a tabela de amortização.


0 ------- ------- -------- -10.000,00

1 2.000,00

2 2.000,00

3 2.000,00

4 2.000,00

5 2.000,00

Como sabemos que o Saldo Devedor é descontado apenas da amortização, podemos calcular o

saldo devedor após o pagamento de cada parcela:

o 1ª parcela: 10.000,00 – 2.000,00 = 8.000,00

o 2ª parcela: 8.000,00 – 2.000,00 = 6.000,00

o 3ª parcela: 6.000,00 – 2.000,00 = 4.000,00

o 4ª parcela: 4.000,00 – 2.000,00 = 2.000,00

o 5ª parcela: 2.000,00 – 2.000,00 = 0,00

Podemos também calcular o valor dos juros cobrados na primeira parcela:

1 0J SD i


[email protected]


1

1

10.000 0,1

1.0

0

00,00

J

J

Agora vamos calcular o valor da primeira parcela.

1

1

1

2.000 1.00

3.000 00

0

,

P A J

P

P

Substituindo na tabela teremos:


0 ------- ------- -------- -10.000,00

1 3.000,00 1.000,00 2.000,00 8.000,00

2 2.000,00 6.000,00

3 2.000,00 4.000,00

4 2.000,00 2.000,00

5 2.000,00 0

Continuando o mesmo raciocino acima, vamos calcular os juros e a parcela de cada mês:

2 2

3 3

4 4

5 5

800,00

600,00

8.000 0,10

6.000 0,10

4.000 0,10

2.000 0,1

400,00

200,000

J J

J J

J J

J J

Calculando o valor da parcela de cada período teremos:

2 2

3 3

4 4

5 5

2.800,00

2.600,00

2.400,00

2.200,0

2.000 800,00

2.000 600,00

2.000 4

0

00,00

2.000 200,00

P P

P P

P P

P P

Substituindo os valores em nossa tabela, teremos:


[email protected]



0 ------- ------- -------- -10.000,00

1 3.000,00 1.000,00 2.000,00 8.000,00

2 2.800,00 800,00 2.000,00 6.000,00

3 2.600,00 600,00 2.000,00 4.000,00

4 2.400,00 400,00 2.000,00 2.000,00

5 2.200,00 200,00 2.000,00 0

Observando a tabela acima, notamos que:

o Amortizações é constante

o As prestações são decrescentes



Exercício 5.2.2 Compare a tabela acima com a tabela encontrada no modelo SAF na página

42. E responda os seguintes itens.

a) Em qual dos sistema de amortização o cliente irá pagar mais juros?

b) Qual dos sistemas de amortização o valor da primeira prestação é maior?

COMO RESOLVER

Exemplo 5.2.3 Uma família financiou 100% de um imóvel no valor de R$ 60.000,00 para

pagamento em 20 anos com prestações mensais contratadas a ser amortizado pelo sistema de

amortização constante - SAC. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 1% ao mês

calcule:

a) O valor a ser amortizado mensalmente:

60.000

240250,00

CA

n

b) O valor da primeira prestação

1 0 1 1

1 1 1 1

600,00

850,

60.0

00

00 0,01

250,00 600,00

J SD i J J

P A J P P


[email protected]


c) O valor da parcela número 51ª.

Para o calculo dos juros da parcela 51ª é necessário saber o valor do saldo devedor após o

pagamento de uma parcela anterior, neste caso a parcela 50ª.

50 50 50 47.500,60.000 (50 250,00) 60.000 12 0.500 0SD SD SD

Agora sim conseguimos calcular o valor da parcela

51 50 51 51

51 51 51 51

475,00

725,00

47.500 0,01

250,00 475,00

J SD i J J

P A J P P


[email protected]



1. (SEFAZ/SP 2009) Uma dívida decorrente de um empréstimo deverá ser

liquidada por meio de 120 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira

um mês após a data do empréstimo. Considerando que foi utilizado o Sistema de

Amortização Constante (SAC) a uma taxa de 2% ao mês, verifica-se que o valor da

última prestação é igual a R$ 1.275,00. O saldo devedor da dívida, imediatamente

após o pagamento da 50ª prestação, é

(A) R$ 87.500,00

(B) R$ 86.250,00

(C) R$ 75.000,00

(D) R$ 68.750,00

(E) R$ 62.500,00

1. (MPU 2007) Jacinto Armação contraiu um empréstimo com pagamentos

mensais, junto ao Banco FinanGeral S.A., para a compra de uma casa na praia. O

sistema proposto pelo Banco e aceito pelo Jacinto foi o SAC - Sistema de

Amortização Constante. Considerando que o Empréstimo foi de R$ 120.000,00,

taxa de juros nominal de 12% a.a. e com prazo de 10 anos para pagar, o valor da

terceira parcela será (em R$)

(A) 1.180,00

(B) 1.200,00

(C) 2.180,00

(D) 2.200,00

(E) 2.280,00

3. (SEFIN/RO 2010) A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá ser

liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48 prestações

mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação um mês após a

data de aquisição. Se o valor da última prestação é de R$ 2.550,00, tem-se que o

valor da 26a prestação é igual a

(A) R$ 3.500,00


[email protected]


(B) R$ 3.550,00

(C) R$ 3.600,00

(D) R$ 3.650,00

(E) R$ 3.700,00

4. (TRT 6ª REGIÃO - 2012) Um empréstimo foi obtido com taxas de juros simples

de 18% a.a., para pagamento em 12 prestações mensais, consecutivas, vencendo

a primeira 30 dias após a obtenção do empréstimo. Sabendo-se que foi adotado,

neste caso, o sistema de amortização constante (SAC) e que o valor principal do

empréstimo era R$ 120.000,00, o valor da 8.ª parcela foi

(A) R$ 9.750,00

(B) R$ 10.600,00

(C) R$ 10.750,00

(D) R$ 12.000,00

(E) R$ 11.250,00

5. (TRE/AP - 2011) Uma pessoa adquiriu um imóvel no valor de R$ 200.000,00. As

economias feitas durante 3 anos possibilitaram que ela desse uma entrada de R$

80.000,00. Para pagar o saldo devedor contratou com uma instituição financeira

um financiamento com sistema de amortização constante (SAC). Sabendo que o

financiamento será pago em 10 anos, com prestações mensais, vencendo a

primeira um mês após a data da contratação da dívida, e que a taxa de juros

cobrada pela instituição foi de 1% ao mês, os valores da segunda e da terceira

prestação foram, respectivamente, em reais, de

(A) 1.000 e 1.000

(B) 1.200 e 1.190

(C) 2.190 e 2.180

(D) 2.180 e 2.170

(E) 2.200 e 2.190

6. (TRE/RN - 2011) Uma dívida correspondente à aquisição de um imóvel deverá

ser liquidada por meio de 80 prestações mensais e consecutivas, vencendo a

primeira um mês após a data da contração da dívida. O sistema de amortização

utilizado foi o Sistema de Amortização Constante (SAC) a uma taxa de 2% ao mês.


[email protected]


Se o valor da última prestação apresentou o valor de R$ 1.479,00, então o valor da

primeira prestação foi igual a, em R$,

(A) 3.640,00

(B) 3.750,00

(C) 3.723,00

(D) 3.770,00

(E) 3.835,00

7. (PREFEITURA DE SÃO PAULO - 2010) Um empréstimo no valor de R$ 150.000,00 foi contratado para ser pago em 60 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da realização do empréstimo. Utilizou-se o sistema de amortização constante (SAC) a uma taxa de juros de 2,5% ao mês. O valor da primeira prestação supera o valor da penúltima prestação em

(A) R$ 3.625,00.

(B) R$ 3.687,50.

(C) R$ 3.750,00.

(D) R$ 3.812,50.

(E) R$ 3.875,00.

8. (COPERGÁS 2011) Uma pessoa assume uma dívida para ser liquidada por meio de 120 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da contração da dívida. Foi utilizado o Sistema de Amortização Constante (SAC) a uma taxa de juros de 2% ao mês. Se a primeira prestação apresenta o valor de R$ 4.250,00, então o valor da última prestação é igual a

(A) R$ 1.375,00.

(B) R$ 1.350,00.

(C) R$ 1.325,00.

(D) R$ 1.300,00.

(E) R$ 1.275,00.


[email protected]



Questão 1

Temos o valor da última prestação, que é 1.275,00. Sabemos que o valor da prestação é Juros +

Amortização. Portanto, retirando os juros de 2% que foram aplicados sobre o saldo devedor após

o pagamento da penúltima prestação, teremos a amortização, já que sabemos também que,

imediatamente após o pagamento da penúltima prestação, o saldo devedor é igual à amortização.

Portanto, 1.275,00 é exatamente o valor da amortização + juros de 2% sobre o valor da

amortização. Assim, para sabermos qual era o saldo devedor após o pagamento da penúltima

prestação, podemos aplicar M = C x F. Como estamos descapitalizando por 1 mês, o fator será

100% + 2% = 1,02.

M = C x F

1.275 = C x 1,02

C = 1.275/1,02

C = 1.250

Temos, portanto, o valor da amortização. Para saber o valor da dívida imediatamente após o

pagamento da 50ª prestação, precisamos lembrar que o financiamento foi feito em 120

prestações, e foram pagas 50. Logo, sobraram 70 prestações. Como cada prestação amortiza

1.250, faltam ser amortizados:

1.250 x 70 = 87.500


Questão 2

Primeiramente, precisamos trabalhar a taxa de juros, pois foi dada uma taxa nominal. Usando o

conceito de taxas proporcionais:

12% / 12 (12 meses em 1 ano) = 1% a.m.

Primeiro, podemos descobrir o valor das amortizações. Como o sistema usado é o SAC, e o prazo

é de 10 anos com pagamentos mensais, serão 10 x 12 = 120 prestações. Assim:

Amortização = 120.000 / 120 = 1.000

Os juros para a terceira parcela será calculado sobre o saldo devedor após o pagamento da

segunda parcela (é o resultado da capitalização da segunda parcela até o período da terceira

parcela). Como a amortização é constante, após o pagamento da segunda parcela terá sido

amortizado:

1.000 (primeira parcela) + 1.000 (segunda parcela) = 2.000.

O saldo devedor será de: 120.000 – 2.000 = 118.000

Os juros de 1% sobre 118.000 serão:


[email protected]


118.000 x 1% = 1.180

Logo, a terceira parcela será de: Juros (1.180) + amortização (1.000) = 2.180


Questão 3

Primeiro, precisamos descobrir o valor da amortização. Como sabemos, o valor da última

prestação é justamente o valor da amortização (saldo devedor após o pagamento da penúltima

prestação) + juros aplicados sobre o valor da amortização. Assim, precisamos descobrir qual foi o

valor que, capitalizado à taxa de 2% ao mês, gerou o montante de 2.550. Usando M = C x F, e

considerando que o fator para um aumento de 2% é 100% + 2% = 1,02:

2.550 = C x 1,02

C = 2.550/1,02

C = 2.500

Portanto, o valor da amortização é de 2.500. Para saber o valor da 26ª prestação, precisamos

saber quanto foi amortizado até o pagamento da 25ª prestação. Após o pagamento da 25ª

parcela, faltarão 48 – 25 = 23 parcelas. Como cada prestação amortiza 2.500:

2.500 x 23 = 57.500

Então, o saldo total a ser amortizado após o pagamento da 25ª parcela será 57.500

Agora, precisamos saber os juros cobrados na 26ª parcela, que será 2% sobre 57.500:

57.500 x 0,02 = 1.150

Como cada parcela é composta de juros + amortização, a 26ª parcela será de:

2.500 + 1.150 = 3.650


Questão 4

Coletando os dados:

Taxa (i) = 18% a.a. (juros simples)

Prazo (t) = 12

Capital (C) = 120.000

Primeiro, precisamos trabalhar a taxa de juros. Como o problema diz que a taxa de juros simples

é de 18% ao ano, significa dizer que a taxa nominal é 18% ao ano com capitalização mensal.

Assim, precisamos convertê-la para uma taxa efetiva mensal, usando o conceito de taxas

proporcionais:


[email protected]


18% / 12 (pois 1 ano = 12 meses) = 1,5% a.m.

Sabemos que no sistema SAC, as amortizações são constantes. Assim, como são 12 parcelas,

cada uma amortiza:

120.000 / 12 = 10.000

O valor da 8ª parcela será dada por juros + amortização. A amortização é de 10.000, e os juros

irão incidir sobre o saldo devedor imediatamente após a parcela anterior (7ª). Quando for paga a

7ª parcela, restarão 12 – 7 = 5 parcelas. Se cada parcela amortiza 10.000, faltará a ser

amortizado:

10.000 x 5 = 50.000

Os Juros vão incidir sobre 50.000. Então:

1,5% x 50.000 = 750

A 8ª parcela será:

750 (juros) + 10.000 (amortização) = 10.750


Questão 5

Coletando os dados:

Valor do imóvel = 200.000

Entrada: 80.000

Financiado: 200.000 – 80.000 = 120.000 (esse é o capital, ou saldo devedor).

Prazo (t) = 10 anos (120 meses)

Taxa (i) = 1% a.m.

Como estamos no sistema SAC, precisamos primeiramente calcular o valor das amortizações.

Como temos 120.000 para ser amortizado em 120 meses: 120.000/120 = 1.000. Logo, o valor das

parcelas será de 1.000 (amortização) + juros.

O valor dos juros pagos na segunda parcela será incidente sobre o saldo devedor após a primeira

parcela, ou seja: 120.000 – 1.000 = 119.000 (saldo a ser amortizado).

119.000 x 0,01 = 1.190

Logo, a segunda parcela será: 1.000 (amortização) + 1.190 (juros) = 2.190.

O valor dos juros pagos na terceira parcela será incidente sobre o saldo devedor após a segunda

parcela, ou seja: 120.000 – 1.000 – 1.000 = 118.000 (saldo a ser amortizado).

118.000 x 0,01 = 1.180

Logo, a terceira parcela será: 1.000 (amortização) + 1.180 (juros) = 2.180.


[email protected]



Questão 6

Coletando os dados:


Taxa (i) = 2% a.m.

Última prestação: 1.479,00

Cada prestação é composta por amortização + juros (incidentes sobre o saldo devedor após o

pagamento da parcela anterior). Assim, descapitalizando o valor da última parcela, teremos o

valor devido após a penúltima, que é exatamente o valor da amortização. Assim, aplicando M = C

x F, e sendo que o fator para 2% será: 100% + 2% = 1,02:

1.479 = C x 1,02

C = 1.479/1,02

C = 1.450

Temos então que o valor da amortização é 1.450. Então, o valor da dívida será: 1.450 x 80 =

116.000. Precisamos apenas calcular os juros incidentes na primeira prestação, que será de 2%

sobre o empréstimo de 116.000.

116.000 x 2% = 2.320.

Como cada parcela é formada por amortização + juros, a primeira parcela tem valor de:

2.320 (juros) + 1.450 (amortização) = 3.770


Questão 7

Coletando os dados:

Capital (C) = 150.000


Taxa (i) = 2,5% a.m.

Precisamos calcular o valor da amortização:

150.000/60 = 2.500

Os juros da primeira prestação serão de 2,5% sobre 150.000.

150.000 x 2,5% = 3.750.


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Como a parcela é composta por amortização (2.500) + juros (3.750), a primeira parcela é de

6.250.

O valor da penúltima parcela é dado pelos juros sobre o saldo devedor após o pagamento da

antepenúltima parcela mais a amortização. No momento do pagamento da antepenúltima parcela,

faltarão 2 parcelas a serem pagas, ou seja: amortização de 2.500 x 2 = 5.000. Portanto, os juros

vão incidir sobre 5.000.

5.000 x 2,5% = 125.

Logo, a penúltima parcela será de 125 (juros) = 2.500 (amortização) = 2.625

Comparando as parcelas:

1ª = 6.250

2ª = 2.625

Diferença: 3.625


Questão 8

Coletando os dados:


Taxa (i) = 2% a.m.

Primeira prestação: 4.250,00

A primeira prestação é composta de amortização + juros sobre a dívida total.

Como a dívida total será a soma das amortizações das 120 parcelas, podemos chamar a

amortização de A. Temos então que, para a primeira parcela, os juros serão calculados sobre

120A. Como os juros são de 2%:

2% de 120A: 120A x 0,02 = 2,4A

Então, os juros da primeira parcela serão de 2,4A. Como a 1ª parcela = amortização + juros:

4.250 = A + 2,4A

4.250 = 3,4A

A = 4.250/3,4

A = 1.250

Temos então o valor da amortização. Com isso, sabemos que o valor da última parcela é o valor

da amortização (que é também o saldo devedor após o pagamento da penúltima parcela)

acrescido dos juros. Como temos juros de 2% a.m., o fator de acréscimo é 100% + 2% = 1,02.

Portanto, aplicando M = C x F:

M = 1.250 x 1,02


[email protected]


M = 1.275.

Esse é o valor da última parcela.



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MÓDULO 6. ANÁLISE DE INVESTIMENTO

Fazer um estudo de análise de investimento é como trabalhar com um sistema de amortização

Francês. A grande diferença é que, nesse caso, as prestações não são constantes.

Conceitos novos que iremos utilizar nesse capítulo:

Taxa Interna de Retorno (TIR): Define-se como a taxa de desconto em que o Valor Presente

do fluxo de caixa futuro de um investimento se iguala ao custo do investimento.

É calculada mediante um processo de tentativa e erro.

Quando os valores presentes líquidos do custo e dos retornos se igualam a zero, a taxa de

desconto utilizada é a TIR.

Se essa taxa excede o retorno exigido - chamada taxa de atratividade - o investimento é aceitável.

Pode haver mais de uma TIR para determinado conjunto de fluxos de caixa.

A Taxa Mínima de Atratividade (TMA): é uma taxa de juros que representa o mínimo que um

investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento, ou o máximo que um tomador de

dinheiro se propõe a pagar quando faz um financiamento.

O valor presente líquido (VPL): Também conhecido como valor atual líquido (VAL) ou

método do valor atual, é a fórmula matemático-financeira de se determinar o valor presente de

pagamentos futuros descontados a uma taxa de juros apropriada, menos o custo do investimento

inicial. Basicamente, é o calculo de quanto os futuros pagamentos somados a um custo inicial

estaria valendo atualmente. Temos que considerar o conceito de valor do dinheiro no tempo, pois,

exemplificando, R$ 1 milhão hoje, não valeria R$ 1 milhão daqui a uma ano, devido ao custo de

oportunidade de se colocar, por exemplo, tal montante de dinheiro na poupança para render juros

Neste tópico, iremos entender como funciona um fluxo de caixa e como podemos encontrar um

valor de uma VPL (Valor Presente Liquido) de um fluxo de pagamentos.

A idéia central é saber que, para capitalizar uma prestação, devemos multiplicar pelo fator de

capitalização (1+i)n e para descapitalizar, basta dividir pelo mesmo fator.

6.1 INTRODUÇÃO

6.2 FLUXO DE CAIXA E VPL


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Exemplo 6.2.1 Considerando que uma máquina foi adquirida por 50 mil reais e que oferece um

retorno de 20% ao ano. Sabendo que o seu retorno foi é dado conforme a tabela abaixo, calcule o

valor de P.

Valor (Milhares de reais) - 50 35 P

Período (anos) 0 1 2

Vamos representar esta tabela em um fluxo de pagamento, teremos:

Agora vamos capitalizar o valor do investimento da máquina um período e descontar o seu

retorno. 150 (1 0,20 60) 50 1,2

Subtraindo do seu retorno teremos

60 35 25

Novo Fluxo

Capitalizando o novo saldo da máquina na mesma taxa de retorno de 20% teremos 125 (1 0,20 30) 25 1,2

Como a taxa de retorno é de 20% ao ano o valor de P deve equilibrar o fluxo de pagamento,

logo:

30 0 30P P

Assim o valor do ultimo retorno será de 30 mil.

- 50

35 P

1 2

35 P

- 60 2

- 25 P

2


[email protected]


Calcular a taxa interna de retorno não é tarefa fácil. Um calculadora HP-12C por exemplo, demora

alguns segundos processando até encontrar a resposta correta.

A maneira que vamos utilizar para calcular a TIR em provas de concurso público é a mesma usada

pela calculadora HP – 12C.

Enquanto a calculadora encontra a TIR por “interpolação”, nós iremos encontrar a taxa de retorno

por testes.

Exemplo 6.3.1 A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de certo projeto.

Valor (Milhares de reais) – 50 35 22


A taxa interna de retorno anual é igual a (A) 10% (B) 12% (C) 15% (D) 18% (E) 20%

RESOLUÇÃO:

Montando o Fluxo teremos:

TESTANDO alternativa E = 20% 150 (1 0,20 60) 50 1,2

60 35 25

Capitalizando mais um período, temos: 125 (1 0,20 30) 25 1,2

30 2 82

6.3 TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR

- 50

35 22

1 2

0


[email protected]


Como o valor Final é MAIOR (o sinal é negativo) do que o valor da ultima prestação

concluímos que a taxa escolhida é MAIOR do que a taxa do fluxo, assim deveremos

escolher uma taxa de valor menor.

OBS: Caso o resultado final fosse um valor MENOR (o sinal é positivo) do que o valor da

ultima prestação, é sinal que a taxa que escolhemos para testar é menor do que a taxa

que soluciona o problema.

TESTANDO alternativa A = 10%

150 (1 0,10 55) 50 1,1

55 35 20

Capitalizando mais um período, temos: 120 (1 0,10 22) 20 1,1

22 2 02

OK. Como o valor fechou exato, a taxa está correta. Assim, a Taxa Interna de Retorno desse

Investimento é de 10%.

A decisão de fazer ou não um investimento está condicionada a diversos fatores. Um deles é a

taxa mínima de atratividade. Como o próprio nome diz o investidor espera ter um retorno mínimo

para decidir o seu investimento.

Quando um poupador investe parte do seu recurso no mercado de ações, por exemplo, ele espera

ter um rendimento no mínimo superior a caderneta de poupança, neste caso o retorno da

poupança representa a taxa mínima de atratividade para este investidor, ou seja, ele não vai

colocar o seu dinheiro em uma aplicação financeira que ofereça um maior risco, se o retorno não

for superior a esta taxa.

Vamos utilizar o exemplo anterior com uma pequena alteração para dar exemplo de uma questão

sobre TMA.

Exemplo 6.4.1 A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de certo projeto.

6.4 TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE – TMA


[email protected]


Valor (Milhares de reais) – 50 35 22


Sabendo que a Taxa de Atratividade Mínima do investidor é de 20% ao ano, podemos concluir que a decisão mais correta é de: (A) Rejeitar o projeto, uma vez que a TMA é maior que a TIR (B) Rejeitar o projeto, uma vez que a TMA é inferior a TIR (C) Aceitar o projeto, uma vez que a TMA é maior que a TIR 15% (D) Aceitar o projeto, uma vez que a TMA é maior que a TIR 18% (E) O investidor é indiferente a decisão, uma vez que a TIR é igual a TMA.

RESOLUÇÃO

Para saber se a TMA é maior, menor ou igual a TIR do projeto vamos testar a TMA de 20%

(fornecida do problema) no projeto e encontrar o resultado.

Como resolvemos no exercício 6.4.1 na página 56, ao testarmos uma taxa de 20% no fluxo,

notamos que os retornos não são suficiente para equilibrar o fluxo.

Como o valor do retorno do investimento é INFERIOR ao retorno necessário para ter um retorno

de 20%, concluímos que a TIR deste projeto é inferior a 20%, ou seja, inferior a TMA.

A decisão correta é de rejeitar o projeto, uma vez que o retorno dele é inferior a taxa mínima de

atratividade exigida por este investidor.

Alternativa correta: A


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1. (BB 2010) Uma máquina com vida útil de 3 anos é adquirida hoje (data 0)

produzindo os respectivos retornos: R$ 0,00 no final do primeiro ano, R$

51.480,00 no final do segundo ano e R$ 62.208,00 no final do terceiro ano. O

correspondente valor para a taxa interna de retorno encontrado foi de 20% ao

ano. Então, o preço de aquisição da máquina na data 0 é de

(A) R$ 86.100,00. (B) R$ 78.950,00. (C) R$ 71.750,00. (D) R$ 71.500,00. (E) R$ 71.250,00.

2. (BB 2006) Se uma empresa optar por um investimento, na data de hoje,

receberá no final de 2 anos o valor de R$ 14 520,00. Considerando a taxa

mínima de atratividade de 10% ao ano (capitalização anual), o valor atual

correspondente a este investimento é

(A) R$ 13 200,00

(B) R$ 13 000,00

(C) R$ 12 500,00

(D) R$ 12 000,00

(E) R$ 11 500,00

3. (BB 2006) O gráfico abaixo representa o fluxo de caixa referente a um projeto de

investimento com a escala horizontal em anos.

Se a taxa interna de retorno correspondente é igual a 20% ao ano, então X é igual a

(A) R$ 21 600,00 (B) R$ 20 000,00


[email protected]


(C) R$ 18 000,00 (D) R$ 15 000,00 (E) R$ 14 400,00

4. (BB DF 2006) Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e Y,

mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de caixa:

A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-se

que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o

desembolso D referente ao projeto X é igual a

(A) R$ 30 000,00

(B) R$ 40 000,00

(C) R$ 45 000,00

(D) R$ 50 000,00

(E) R$ 60 000,00

5. (BB DF 2006) Considere o seguinte fluxo de caixa cuja taxa interna de retorno é

igual a 10% ao ano:

O valor de X é igual a

(A) R$ 11 000,00

(B) R$ 11 550,00

(C) R$ 13 310,00

(D) R$ 13 915,00

(E) R$ 14 520,00


[email protected]


6. (SEFAZ/SP 2010) A tabela abaixo registra o fluxo de caixa anual de um projeto

de investimento com duração de 4 anos. A terceira coluna fornece os respectivos

valores atuais (na data 0) em função da taxa mínima requerida de 10% ao ano.

Utilizando interpolação linear, obtém-se que, pelo método do Payback descontado,

o tempo necessário para recuperar o investimento é

(A) 2,2 anos.

(B) 2,4 anos.

(C) 2,6 anos.

(D) 2,8 anos.

(E) 3,2 anos.

7. (SEFAZ/SP 2010) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um projeto de

investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma taxa interna de

retorno igual a 20% ao ano.


(A) R$ 10.368,00

(B) R$ 11.232,00

(C) R$ 12.096,00

(D) R$ 12.960,00

(E) R$ 13.824,00


[email protected]


8. (SEFIN/RO 2010) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um projeto em

que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de atratividade de 20%

ao ano, o índice de lucratividade do projeto apresenta um valor de 1,176.


(A) R$ 17.280,00

(B) R$ 15.000,00

(C) R$ 14.400,00

(D) R$ 13.200,00

(E) R$ 12.000,00

9. (BB 2006) Uma pessoa deposita no início de cada mês R$ 5 000,00 em um banco

que remunera os depósitos de seus clientes à taxa de juros nominal de 36% ao

ano, com capitalização mensal. Após ter realizado o seu oitavo e último depósito

decide que, após um mês, irá retirar mensalmente 5 parcelas iguais, esgotando

totalmente seu crédito.


[email protected]


Utilizando os dados da tabela acima, o valor de cada parcela a ser retirada é igual a (A) R$ 9 779,00 (B) R$ 8 445,00 (C) R$ 7 112,00 (D) R$ 6 223,00 (E) R$ 6 128,00

10. (TRT 6ª REGIÃO - 2012) Uma empresa está avaliando a compra de uma nova

máquina por R$ 320.000,00 à vista. Estima-se que a vida útil da máquina seja de 3

anos, que o valor residual de revenda no final do terceiro ano seja de R$ 50.578,00

e que os fluxos líquidos de caixa gerados por esta máquina ao final de cada ano

sejam de R$ 99.000,00, R$ 150.040,00 e R$ 99.825,00, respectivamente. Sabendo

que a taxa mínima de atratividade é de 10% a.a., a compra da nova máquina

(A) apresenta valor presente líquido positivo. (B) apresenta valor presente líquido negativo. (C) apresenta valor presente líquido igual a zero. (D) apresenta taxa interna de retorno igual à taxa mínima de atratividade (E) é economicamente inviável à taxa mínima de atratividade de 10% a.a.


[email protected]



Questão 1

Fluxo de Pagamento

1. Trazer a primeira parcela a Valor Presente:

2

51.48035.750

(1,20)

2. Trazer a segunda parcela a Valor Presente:

3

62.20836.000

(1,20)

3. Somar as duas parcelas para encontrar o Valor Presente TOTAL:

35.750 36.00 71.7 00 50,0


Questão 2

Vamos ver o fluxo de caixa dessa situação:

1 2 3

Taxa de 20%

P.V

0 51.480,00 62.208,00


[email protected]


i = 10% a.m.

Agora temos que descapitalizar o valor do momento 2 para o momento 0.

𝑥= 14520(1,10)2=145201,21=12000

Logo, o valor ao investimento atual é de R$ 12.000,00.


Questão 3

Vamos enxergar o fluxo de caixa nessa situação:

i = 20 %

1) Vamos capitalizar o investimento para o momento 1: 3000 x 1,2 = 36000,00

2) Agora vamos trazer para o momento um o retorno dado no momento 2:

Agora, é só subtrairmos as setas de sentido contrário que estão no momento 1:

X = 36000 – 18000 = 18000


Questão 4

Vamos primeiro ver os fluxos de caixa dos dois projetos:


[email protected]


i = 8% a.a

Vamos antecipar as parcelas para o momento zero no projeto Y.

162001,081=15000

P + P = 15000 + 15000 = 30000

J = 40000 – 30000 = 10000

Vamos antecipar as parcelas para o momento zero no projeto X.

108001,081=10000

P + P = 10000 + 10000 = 20000

X = 20000 + 10000 = 30000.


Questão 5

Vamos ver o fluxo de caixa dessa situação:

i = 10 %a.a

1º Passo: levar o valor inicial para o momento 2, onde está o “x”.

2º Passo: Trazer o valor do momento 3 para o momento 2.


[email protected]


X = 30250 – 15730 = 14520,00


Questão 6

O exercício já informou os valores dos retornos descapitalizados para valor atual. Assim:

Desembolso: -2.000

Ano 1: entrada de 800 em valor atual

Saldo a recuperar: -2.000 + 800 = -1.200

Ano 2: entrada de 1.000 em valor atual.

Saldo a recuperar: -1.200 + 1.000 = 200

Ano 3: entrada de 1.000 em valor atual. Porém, precisamos recuperar apenas 200.

Se são recuperados 1.000 em 1 ano, precisamos de quanto tempo para recuperar 200?

200/1.000 = 0,2 anos.

Logo, precisamos de 2 anos + 0,2 anos para recuperar o investimento = 2,2 anos.


Questão 7

Precisamos levar todos os valores para valor presente, utilizando a taxa de 20% ao ano.

O primeiro X será descapitalizado por 1 ano. Fator: 100% + 20% = 1,2

Utilizando M = C x F, ou C = M/F:

X/1,2

2X será descapitalizado por 2 anos. Fator: 100% + 20% = 1,2. Para 2 anos: 1,2² = 1,44

Utilizando C = M/F:

2X/1,44

3X será descapitalizado por 3 anos. Fator: 100% + 20% = 1,2. Para 3 anos: 1,2³ = 1,728

Utilizando C = M/F:

3X/1,728


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Como o fluxo deve ser zerado, temos que o desembolso inicial deverá ser igual à soma das

entradas em valor presente. Assim:

-(5X – 13.500) + X/1,2 + 2X/1,44 + 3X/1,728 = 0

-5X + 13.500 + 0,8333X + 1,3889X + 1,7361 = 0

-1,0417X + 13.500 = 0

13.500 = 1,0417X

X = 13.500/1,0417

X = 12.959,59

A diferença se dá devido aos arredondamentos.


Questão 8

Precisamos trazer os retornos para valor presente.

Fator para um aumento de 20%: 100% + 20% = 1,2

Como X deve ser descapitalizado por 1 período, usando C = M/F:

X/1,2

21.600 será descapitalizado por 2 períodos, então o fator será: 1,2² = 1,44.

Utilizando C = M/F:

21.600/1,44

15.000

Como o projeto apresenta índice de lucratividade de 1,176, consideramos 1,176 como um fator de

aumento. Com isso, além do projeto conseguir pagar os custos, sobrará 17,6% do valor investido.

Então, ao invés de a soma das entradas ser 25.000 no período 0, deverá ser 25.000 x 1,176 =

29.400. Assim:

-29.400 + X/1,2 + 15.000 = 0

-14.400 + X/1,2 = 0

X/1,2 = 14.400

X = 14.400 x 1,2

X = 17.280


Questão 9


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Vamos identificar as informações que temos e montar o fluxo de caixa desta situação:

8 parcelas de 5 mil reais

i = 36% a.a/mês

após 1 mês do último depósito, vai realizar 5 saques iguais de “x” reais.

Primeiro vamos ajustar a taxa, sabendo que em um ano temos 12 meses:

36 ÷ 12 = 3

36% a.a/mês 3% a.m

Agora utilizando a tabela dada para resolução do problema:

Fator de acumulação:

5000,00 x 8,89 = R$ 44450,00

Agora temos que enxergar um novo fluxo de caixa:

Fator de Recuperação:

44450 x 0,22 = 9779,00


Questão 10


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Resolução 1: Como calcular

Coletando os dados:

Prazo (t) = 3 anos

Ano 0: -320.000,00

Ano 1: 99.000,00

Ano 2: 150.040,00

Ano 3: 99.825,00 + residual, de 50.578,00 = 150.403,00

TMA: 10% a.a.

Precisamos levar os valores para o ano 0 para avaliar as alternativas. Como temos a taxa de 10%

a.a., os fatores serão:

Do ano 1 para o ano 0 (1 período): 100% + 10% = 1,10¹

Do ano 2 para o ano 0 (2 períodos): 1,10² = 1,21

Do ano 3 para o ano 0 (3 períodos): 1,10³ = 1,331

Assim, para descapitalizar usando M = C x F, basta dividir os valores pelos respectivos fatores.

99.000/1,1 = 90.000

150.000/1,21 = 123.966,94

150.403/1,331 = 113.000

Teremos então o saldo das entradas = 90.000 + 123.966,94 + 113.000 = 326.966,94

Como o desembolso inicial foi de 320.000, o VPL será:

326.966,94 – 320.000 = 6.966,94

Portanto, o projeto apresenta valor presente líquido positivo.

Resolução 2: como ganhar tempo

Observe que apenas analisando as alternativas, poderíamos chegar à afirmação correta, pois caso

o VPL fosse negativo (alternativa B), o projeto seria economicamente inviável à taxa mínima de

atratividade de 10% (alternativa E), e teríamos 2 alternativas corretas. Portanto, as duas estão

incorretas.

Temos também que, caso o VPL fosse igual a zero (alternativa C), teríamos que o projeto

consegue apenas se pagar, ou seja: a TIR é igual à taxa mínima de atratividade (alternativa D).

Como não poderíamos ter 2 alternativas corretas, as duas alternativas também estão incorretas.

Portanto, a única alternativa possível é a letra A.


apostila 161 páginas - casa-bb-matematica-financeira

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