I) Elementos da circunferência.

A

B

C

D

r

r

ra

P

C - centro da circunferênciaAC = r - raio da circunferênciaAB = 2r - diâmetro da circunferênciaACD = a - ângulo centralAPD - arco da circunferênciaAD - corda da circunferência

II) Posições relativas entre ponto e circunferência.

III) Posições relativas entre reta e circunferência.

reta tangente

reta secante

reta exterior

ponto de tangênciaA

B

D

C

A - pontoexterior

B - ponto dacircunferência

D - pontointerior

C - centro dacircunferência

IV) Propriedades da circunferência.

1) Em toda circunferência, a medida do ângulo central é igual à medida do arco correspondente.

2) Em toda circunferência, o raio é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência.

3) Em toda circunferência, o raio, quando perpendicular à corda, divi-de essa corda ao meio.

C

A

P

B

a

APB = a

C C

A

B

M

AM = MB

V) Ângulos na circunferência.

a) Ângulo inscrito na circunferência. b) Ângulo de segmento.

É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circun-ferência e os dois lados secantes a essa circunferência.Propriedade - O ângulo inscrito vale a metade do ângulo central ou a metade do arco correspondente.

É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunfe-rência, um lado secante e um lado tangente a essa circunferência. Propriedade - O ângulo de segmento vale a metade do ângulo central ou a metade do arco correspondente.

b

a

vértice

a - ângulo central

b - ângulo inscrito

b =a2

b

avértice

seca

nte

tangente

a - ângulo central

b - ângulo de segmento

b =a2

Jeca 58

Ângulos na circunferência

IV) Consequências do ângulo inscrito.

1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência onde a hipotenusa coincide com o diâmetro.

2) Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale a metade dessa hipotenusa.

3) Todos os ângulos de uma circun-ferência inscritos no mesmo arco são congruentes.

4) Em todo quadrilátero inscrito nu-ma circunferência os ângulos inter-nos opostos são suplementares.

5) Ângulo excêntrico de vértice interno.

6) Ângulo excêntrico de vértice externo.

hipotenusae diâmetro

ânguloinscrito

hipotenusa

medianarelativa à

hipotenusa

RR

R

b

b

bb

arco demedida

2b

a

bg

q

a + b = 180ºe

g + q = 180º

C

ab

x

x =a + b

2x =

a - b2

xa b

vértice

vértice

Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

O

O O

O OO

x118º

41º

x

x

46º

39ºx

x

O x62º

O

x

62º

104º

x O

x

87º

Jeca 59

59º 82º 92º

28º90º39º

28º 76º 87º

O86ºx V

a)

246º

xO

V

b)

76º

x

V

O

c)

O136ºx

d)

x

88ºO

e)

x

29º

O

f)

x 94º

70º

O O

g)

87º

23º

xh)

68º

102º

O

x

i)

33º

x

O

j)

O

38º

106º

x

l)

x

O

m)

O

n)

51º

x

O

56º

x

o)

x

O

196ºp)

Exercícios de ângulos inscritos.

01) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.

82º124º39º

57º 34º 90º

95º128º16º

136º 44º 29º

152º123º43º

O O O

O

O

O

OO

O

O

O

O

O

O

a)

x

2x

b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) l) m)

n) o) p)

98º

x78º

x

57º

x 42

º x

58º

88º

x

x

56º

140º 26º

x

94º

x

40º

36º

x

68º

82º

55º120º

x115º

100º

x

O

x

56º

x

44º

48º

x

02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.

60º 98º 204º

156º48º33º

24º 42º 112º

70º65º96º

112º 46º 48º