NGULOS VERTICALES

NGULOS VERTICALES NGULOS HORIZONTALES

Son aquellos ngulos ub icados en un plano vertical que, en la prctica, son formados por una lnea visual (o lnea de mira) y una lnea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observacin. Estos resultados se clasifican en: ngulos de elevacin y ngulos de depresin. (ver grficos).

iJ;. ..... --S~,?~ .. , \>~~~ ... '

.. ju, .. ................... . h I < ~ Lnea Horizontal

a. : ngulo de Elevacin

Consideracin: En el grfico adjunto, "9" es el ngulo bajo el cual se divisa la torre. Note que deben trazarse las dos visuales; una hacia la parte alta y la otra hacia la parte baja. Luego "9" es el ngulo formado por las dos visuales.

NGULOS HORIZONTALES

H

~ : ngulo de Depresin

.. '

16/"/ /

Son aquellos ngulos ubicados en un plano horizontal que, en la prctica, los vamos a ubicar en la Rosa Nutica. Rosa Nutica: (comps marino), es un instrumento de orientacin que permitir localizar una ciudad, persona o punto; respecto de una referencia, mediante el uso de las direcciones:

B

Oeste (O)

Norte (N)

A

P b" 420 \ vv~ Referencia

Note que dichas direcciones en este caso para A; By C; fonnan con los ejes principales ciertos ngulos; con quienes se van a denotar dichas direcciones. Por ejemplo:

"A" se halla el E300N de "P" . "B" se halla al 0400 N de "P" . Ite' se halla al 5420 de "P" .

N Q

30" o

10

5

P

E

5

p{Est al N24 Ede"R" Est al E66 N de "R"

{Est al 030 N de "R"

Q Est al de "R"

5{Est al 510 E de" R" Est al de " R"

Ahora bien, algunas direcciones tienen la particularidad de obtenerse trazando bisectrices sucesivas, a partir de los ejes principales; por lo que su notacin ser tambin particular. Indicaremos lo que ocurre entre el Norte y el Este, y usted concluye los restantes por analoga.

5

En cualquiera de los casos: a. = 11 15' a = ~rad 16

N

5

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SITUACIONES COMBINADAS Cuando los enunciados de los problemas mencionan ngulos verticales (de elevacin o de depresin) y ngulos horizontales (uso de direcciones, generalmente ), al mismo tiempo, la rosa nutica a emplear asume una posicin ms real; es decir, ubicada en un plano horizontal. Por ejemplo, grafiquemos la siguiente situacin : "Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo alto de un poste con un ngulo de elevacin" u ". Si luego nos desplazamos hacia el N60oE, hasta ubicarnos al Este del poste, el ngulo de elevacin para su parte ms alta sera "~", Ahora, note la representacin grfica:

IV O E

.... . . ,,'

iii.6ri i / O

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EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Desde un punto de tierra se observa lo alto de un edificio con ngulo de elevacin 37, si la visual mide 30 m, determinar la altura de edificio.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

a)3m d) 18

b) 12 e)24

e) 15

Una persona de 2 m de estatura divisa lo alto de un poste con un ngulo de elevacin de 45. Si la altura del poste es de 20 m. iA qu distancia de el se halla la persona?

a) 18 d) 24

b) 20 e) 32

e) 22

Desde un punto ubicado a 24 m de una torre, se divisa su parte ms alta con un ngulo de elevacin de 53. Cul es la altura de la torre?

a) 24 d) 42

b)36 e) 48

e) 32

Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ngulo de elevacin de 37. Si la altura del poste es de 30 m. A qu distancia del poste se encuentra el punto de observacin?

a) 10 d) 40

b) 20 e) 50

e) 30

Desde dos puntos separados 42 m se observa la parte alta de un farol que se encuentra entre ellos con ngulos de elevacin 37 y 45. Determinar la altura del farol.

a)9 d) 12

b) 10 e) 16

e) 11

Desde un muro de 6 m de altura se observa la parte a lta y baja un poste con ngulos de elevacin y depresin 60 y 30 respectivamente. Determine la altura del poste.

a) 15m d)36

b) 24 e) 48

e) 30

Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ngulo de elevacin" a" (Tga =1/4). A qu distancia de la torre se halla el punto de observacin, si la altura de la torre es 7 m?

a) 14 d) 21

b) 28 e) N.A.

e) 56

Desde un punto en tierra se divisa (o alto de un poste con un ngulo de elevacin de 37. Si nos acercamos una distancia igual a la altura del poste, el ngulo de elevacin es " a ". Calcular: "T g a ".

a) 1 d)4

b) 2 e) 6

e) 3

09. Desde un punto ubicado a 15 m de un poste se ve su parte ms alta con un ngulo de elevacin de 53. Caminamos 3 m en direccin al poste y el ngulo de elevacin para su parte ms alta es "a ", Calcular:

10.

"Ctg a ",

a) 1 d)4

b) 2 e) 6

e)3

Una hormiga observa la copa de un rbol con un ngulo de elevacin de 37, luego se acerca 7 m y observa el mismo punto con un ngulo de elevacin de 53. Calcular la altura del rbol.

a) 10 d) 16

b) 12 e) 20

e) 14

11. Desde dos puntos separados 52 m se observa lo alto de un poste con ngulos de elevacin 53 y e

( Tge = ~) . Si el poste se encuentra entre los dos puntos. Determine su altura,

a) 12 m d)9

b) 16 e) 11

e) 18

12. Se obselVa un poste con ngulo de elevacin" e" nos acercamos "L" y el ngulo de elevacin es 45 . Si la altura de poste es "2 L". Determinar: Tg 8.

a) 1/3 d) 1/2

b) 213 e) 3/2

e) 1

13. Desde un edificio de 12 m de altura se observa un automvil con ngulo con ngulo de depresin " e"

14.

15.

( Tg9 = t) . Luego se obselVa una seal ms cerca del edificio con ngulo de depresin 45, Determine la distancia entre la seal y el automvil.

a) 12 m d)36

b) 18 e) 10

e) 24

Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ngulo de elevacin de 45, y desde otro punto ubicado en la mitad de la distancia que hay entre el primer punto y el poste, el ngulo de elevacin es" a". Calcular: "T g a ".

a ) 2 d)8

b) 4 e) 16

e) 6

Desde un punto ubicado a 30 m de una torre se divisa su parte ms alta con un ngulo de elevacin " a " (Tg a =1/3). Si nos alejamos una distancia igual a la altura de la torre , el ngulo de elevacin es "e".

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Calcular: "Ctg S ".

a) 1 d)4

b) 2 e) 6

e) 3

16. Desde las partes superiores del primero, segundo y tercer piso de un edificio se observa lo alto de otro edificio con ngulos de elevacin a , f3 , S , respectiva-mente. Si: Tg a -Tg ~ = 0,1 y Tg e =2,7. Cuntos pisos tiene el segundo edificio?

a) 10 d ) 30

b) 15 e) 40

e) 20

17. Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se ve un punto en tierra con un ngulo de depresin de 45. Cunto mide cada piso del edificio, si el punto observado se halla a 24 m del mismo?

a) 2 d) 3,5

b) 2,5 e) 4

e) 3 .

18. Desde un punto ubicado a 36 m de un edificio de 28 m de altura, se divisa su parte ms alta con un ngulo de elevacin de 53. Seale la distancia de un punto a la base del edificio.

19.

20.

a) 20 d)32

b) 21 e) 49

e) 35

Desde el puesto del viga de un barco que tiene 48 m de altura se observa que el ngulo de depresin de un bote es de 30. Calcular la distancia a la que esta el barco.

a) 48 d) 24

b) 48,/3 e) 6,/3

e) 12

Desde el pie de un poste se observa la parte ms alta de una torre con un ngulo de elevacin de 45, el mismo punto es observado desde la parte ms alta del poste con un ngulo de elevacin de 37. Calcular la longitud del poste si la distancia entre el poste y la torre es de 120 m.

a) 10 -d) 30

b) 15 e) 40

e) 20

21. Desde un punto en Tierra se ve lo alto de un poste con 1

un ngulo de elevacin" a" (Tana ="6); y si nos

acercamos 30 m el ngulo de elevacin es de 45. Cul es la altura del poste?

a) 5m d)8m

b) 6m e) 12 m

e)4m

22. Un mvil se desplaza hacia una torre con una velocidad de 4 m/min; y en un primer momento, observa su parte ms alta con un ngulo de elevacin de 37. Si la torre mide 192 m, despus de qu tiempo el ngulo de elevacin tiene como tangente 8?

a) 29 min b) 48 min d) 1h 18 min

e) 1h 12 min e) 58 min .

23 . Un nio observa los ojos de su padre con un ngulo de elevacin a, y su padre observa sus pies con un ngulo de depresin (90-a). Obtener la relacin entre sus alturas.

a) 1+ Tan2u e) 1~Cot2a e) Tan2a ~ 1

b) 1 ~ Tan2a d) 1 +Cot2a

24. Se tiene una torre en el borde de un acantilado; cuyas partes alta y baja son vistas desde un punto de la superficie horizontal con ngulos de elevacin" a " y "S ", respectivamente (3Tana = 4 TanS). La altura del acantilado es de 212,31 m. Cul es la altura de la torre?

a) 141,54 m e) 159,2325 m e) 35,385 m

b) 28,308 m d) 70,77 m

25 . Subiendo por un camino inclinado, de ngulo" 9" respecto a la horizontal; se observa lo alto de una torre con un ngulo de elevacin" 2S "; verificndose que la torre mide 3 m y la visual 7 m.

26.

Cul es el valor de" TanS "?

3 a) -

7

d) 1. 7

b. 7

e) ~ -7

Desde dos puntos ubicados al Sur y al Oeste de una torre de 24 m de altura, se ve su parte ms alta con ngulo de elevacin de 45 y 37 respectivamente. Cul es la distancia entre los puntos de observacin?

a) 32 m d) 48m

b) 36m e) 40 m

e) 56m

27. Desde dos puntos ubicados al Sur y Oeste de un poste, se divisa su parte ms alta con ngulos de elevacin "a" y" 900 - a ", respectivamente. Si la distancia entre los puntos de observacin es el doble de la altura del poste, calcular: ~p = T ana + Cota

a) 3 d) 2.J6

b) 2,/3 e) 3J2

e) .J6

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28. El ngulo de elevacin de la cspide de una torre es de 60" a 72 metros de eUa. Estando el ojo del observador a J3 metros sobre el suelo, la altura de la torre es aproximadamente.

29.

al 72 m

di 73 m

bl 73./3 m el 71 m

el 72./3 m

Desde el pie de un poste el ngulo de elevacin de la parte ms alta de un campanario es 45. Desde la parte superior del poste que tiene 9 m de altura, el ngulo de elevacin es de 30. Cul es la altura del campanario?

9./3 al ,[2

9./3 di ./3 - 1

7,[2 bl 1+,[2

9./3 el ./3+1

5./3 el ./3+ 1

30. Un nio est volando su cometa soltndole cuerda, la misma que se mantiene tensa y haciendo un ngulo e con la horizontal. A 120 m detrs del nio hay un hombre. Cuando la cometa se encuentra a 20 m de altura , el hombre la observa con un ngulo a respecto a la horizontal. A cuntos metros de altura se encontrar la cometa para que sea observada por el hombre con un ngulo 2a?

Considere : T g8 = 1. 3

637 al 23 di 1561

19

bl 1285 17

637 el 13

I 1080

e 13

31. Una balsa se aproxima hacia un faro. En un determinado instante, el faro es observado por el

tripulante de la balsa con un ngulo de elevacin de 1t 12' Al recorrer 36m adicionales vuelve a observar,

encontrando esta vez un ngulo de ~. Encuentre la altura del faro (desprecie la altura del tripulante que hizo la observacin)

al 10m di 14 m

bl 15 m el 18 m

el 12 m

32. Desde lo alto de un edificio se observa a un automvil con un ngulo de depresin de 37. Dicho automvil se desplaza con velocidad constante. Luego que avanza 28 m acercndose al edificio es observado con un ngulo de depresin de 53. Si desde esta posicin

tarda en llegar al edificio 6 segundos, calcular la velocidad del automovil. al3 mis bl 6 mis el 7 mis di 12 mis el 4 mis

33. Un avin se encuentra volando horizontalmente a 180 km/h. En cierto instante, el piloto ve una seal en tierra con un ngulo de depres in de 30. Dos minutos despus, estando sobre la seal, el piloto observa a una d istancia de 1000 metros un aerostato con un ngulo de elevacin de 60. A qu altura est volando el aerostato en ese instante?

al 2./3 km bl 2,5./3 km el 3./3 km

di 3,5./3 km el 4./3 km

34. Un barco y un avin viajan en la misma direccin y en el mismo sentido. En la primera observacin desde el barco se ve al avin adelante con un ngulo de elevacin de 53, marcando con una boya dicho lugar. En la segunda observacin se le ve con un ngulo de 37, si la velocidad del avin es 8 veces la del barco. Calcular la cotangente del ngulo con la que el avin en la segunda posicin observa la boya.

17 al 12

di 1 4

bl 15 11

5 el -7

35. Dos puntos estn ubicados en un mismo nivel del suelo. Desde uno de ellos se observa el extremo superior de un poste con un ngulo de elevacin a y desde otro punto se observa el punto medio del poste con un ngulo de elevacin p. Si la suma de las distancias del poste a cada uno de los puntos es d, calcular la altura del poste.

2d al dTana + 2dTan~ bl 2Ctga + Ctg~

2d el 2dCtga + dCtg~ dI 2Tana + Tan~ el d(Tana + 2Tan~1

36. Dos autos parten simultneamente desde un punto "P" en d irecciones que forman un ngulo "e" uno a 5 kmlh Y el otro a 12 km/h. Calcular el cose sabiendo que al cabo de una hora la distancia desde el punto "P" al punto medio del segmento que separa ambos autos es de 7 km.

5 al -8

9 di 40

7 bl 16

13 el 25

3 el -80

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37. Un nio de estatura "h" est parado sobre la banca y observa los ojos de su padre; de estatura "H", con un ngulo de elevacin "a " y sus pies con un ngulo de depresin" J3 ". Si el padre divisa los pies de su hijo con un ngulo de depresin "El" .

H Hallar: h

al Tana+ Tanp Tan8- Tanp

Tan8+ Tanp el TanEl+ Tana.

el Tan8 - Tanp TanEl - Tana.

bl Tana + Tanp TanEl - Tana

di Tana - Tana Tan8 - Tanp

38. Desde la parte superior del tercer piso de un edificio de 9 , se ve un momento de menor altura, con un ngulo de elevacin "x", su parte ms a lta y un ngulo de depresin "y" su base. Si desde lo alto del edificio, la tangente del ngulo de depresin con la que se ve la base del monumento, es sextuplo de la tangente del ngulo con que se ve la parte ms alta. Calcular: E ~ 4Coty . Tanx

a l 2 dl 8

bl4 el6

el5

39. Desde lo alto de un edificio se ven tres puntos en Tierra, a un mismo lado, con ngulos de depresin a, 45 y 90- a (a < 45 ). Si el punto intermedio dista del ms alejado, el doble del ms cercano, calcular:

al l di 7

N ~ 6Tana + Cot2a bl3 el 9

el5

40. Un poste, una persona y una torre estn ubicados del modo que se mencionan y sus alturas estn en la proporcin 3; 1; 5. Si de lo alto del poste se divisa lo alto de la persona con un ngulo de depresin "El "; mientras que la persona divisa lo alto de la torre con un ngulo de elevacin a , desde lo alto de la torre se ve la base del poste con un ngulo de depresin "$ ". Si se verifica que:

Cot8 ~ mCota + nCot~ Calcular: K = m + 2n

al 1 dl4

bl2 el5

el3

41. Se tiene un poste PQ ("P" en el suelo) y tres puntos en la superficie horizonta l A, B y C, perfectamente alineados; desde los cuales se ve "Q" con ngulos de elevacin a , J3 y a respectivamente. Si BP es bisectriz del ngulo APc que mide 60, calcular:

al 2

di 3

J = Tana. + TanS Tanp

el .J3

42. Desde la parte ms alta de un rbol de 5 metros de altura se observa a otros dos de 1 metro y 4 metros de altura con ngulos de depresin El y (90 - 9) , si estos estn al Este y al Sur del rbol ms alto, respectivamente. Calcular:" TanS ", si adems desde la parte ms alta del rbol ms pequeo, se observa la parte ms alta del rbol de 4 metros con un ngulo de elevacin de (90- 81

43.

1 al 'fJ2 di ../2

1 bl ../2 el 2../2

el 'fJ2

Un barco se encuentra al Sur de un helicptero, el barco permanece inmvil; pero el helicptero avanza cierta distancia hacia el Este. Desde el barco se observa al helicptero en la segunda posicin con un ngulo de elevacin" e ". Si el ngulo de elevacin en la primera posicin es de 45 y el helicptero avanz 2km, calcular "S n, si adems el helicptero se encuentra a una altura de ../2km.

1 al AreTan'2

3 el AreTan el 45

bl AreTant

di 30

44. Se tienen tres puntos en tierra A, By C (AB ~ BCI; y un poste PQ ("Q" en el suelo, al interior del tringulo ABC), desde los cuales se ve lo alto del poste con ngulos de elevacin a, J3 y 9 respectivamente. Si: AQB ~ x " BQC ~ y Seale el equivalente de:

J = CotaCosx - CoteCosy Cot2a - Cot28

bl 2Tanp 1

el '2 Tanp

el 2Cotp

45. Luciano observa a Luciana en la direccin NE y a

18J2 m de distancia; a su vez Luciana observa a Lucio en la direccin E37S. Determine la distancia que separa a Luciano y a Lucio, si Lucio se encuentra al Este de Luciano.

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al 41 m dI 18 m

bl40m el 42 m

el 24m

46. Desde una ciudad "A" se divisan a otras dos "B" y "C" en las direcciones 0800N y E400N, respectivamente. Adems desde "S" se divisa a "en al ESooS a una distancia de 173 km. Cul es la distancia entre "An y nB'?

al 100 km bl 200 km el 150 km dI 273 km el 300 km

47. Cul es la direccin de la bisectriz del menor ngulo fonnado por las direcciones N200E y 5800 0?

al Nl000 dI N4000

48. Calcular el menor ngulo que forman la bisectriz de SO

y SO l S con la bisectriz de SE y SE l S 4 4

el 77

49. Se tiene una torre en el borde de un acantilado, cuyas partes alta y baja son vistas desde un punto de la superficie horizontal con ngulos de elevacin" a PP y 11 e" respectivamente (3Tano = 4 TanS) . La altura del acantilado es de 212,31 m.

50.

51.

Cul es la altura de la torre?

al 141 ,54 m el 159.2325 m el 35,385 m

bl 28,308 m dI 70,77 m

Una persona camina sJ2 (aprox.) al norte de su casa, luego 13 m en la direccin S9E . si ahora se encuentra en la direccin NE de su casa. Hallar: csce

bl 13.[2 17

13 el 17

Desde dos puntos A y B, situados al Oeste y al Norte de una torre, se observa la parte ms alta de sta con ngulos de elevacin Ct y ~ , respectivamente: y desde el punto medio de AB, el ngulo de elevacin es "Cl ". Calcular: Tana Cotp

bl 1 el .,[3 dI 2 el 2.,[3

52 . Un nio sostiene dos globos. El ngulo de elevacin que tiene en la mano derecha es de 21 Y la cuerda mide "a" metros. El ngulo de elevacin del globo que sostiene en la mano izquierda es de 24 y la cuerda mide a.[2 metros. Cul es la distancia que hay entre los globos?

al (1 +.[21 a metros bl (2 +.[2, a metros el 2a./5 metros dI a./5 a metros el (.[2 +./5la metros

53. "Mosh" divisa los ojos de su padre con un ngulo de elevacin "a" y sus pies con un ngulo de depresin "a tI; mientras que su padre divisa los pies de "Mosh" con un ngulo de depresin "~". Sabiendo que las estaturas de "Mosh" y su padre son "h" y "H" respectivamente, seale el equivalente de:

J~N-H; CotaCotp COl20

a) Cot20 bl ColaCotp

JCofrJ.Cotfl Cote el Cote dI JCotaCot~

TanaT.np el .JT.nO

54. Desde un punto en tierra , se divisa lo alto de un poste, con un ngulo de elevacin de 10. Nos acercamos una distancia" dI " y el ngulo de elevacin es de 40; y si nos desplazamos una d istancia" d2 " hasta ubicamos al otro lado del poste, el ngulo de elevacin es de 20.

55.

dl Calcular: d

2 (Sug. CoslOo ~ 0,98481

al 1,137 dI 0.957

bl 1,232 el 0.352

el 1,321

Un observador divisa un poste vertical bajo un ngulo " a" notando que sus visuales son iguales. Se acerca una distancia igual a las dos terceras partes de la distancia que inicia1mente lo separaba del poste y divisa a ste. ahora bajo un ngulo " e ". Calcular "n" en la igualdad.

al l dl4

bl 2 el 5

Sena. SenO

nSen2 Cl 2

e)3

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56. Una persona camina, por un camino inclinado que forma un ngulo "x" con la horizontal y obselVa la parte superior de una torre con un ngulo de inclinacin "2x". Luego de caminar una distancia de 15 veces la altura de la torre , observa nuevamente su parte superior con un ngulo de elevacin de "3x". Calcular: E = Csex - 15

al 10 di 15

bl20 el 25

el12

57. Se tiene una torre y dos puntos A y B ubicados en lados opuestos de ella . Desde "A" se divisa un punto de la torre con un ngulo de elevacin" a "; notndose que la distancia de dicho punto observado a 10 alto de la torre es igual a la visual trazada para dicha observacin; mientras que. desde "B", se divisa un punto ubicado 1 m, ms abajo que al anterior con un ngulo de elevacin" J3" . Notndose que la visual trazada es igual a la distancia del nuevo punto obselVado a lo alto de la torre , hallar la altura de la torre.

al (TanS + l)(Tana + 11

Tan8 - Tana

bl (SenO + 11(Sena + 11

Sena - Sena

el (1- SenO)(l- Senal

Sen8 + Sena

di (CosO + l)(Cosa + 11 Cosa - Cose

el (TanS + l)(Tana + 11

Tan8+ Tana

58. Desde cuatro puntos colineales de la superficie A, B, C y D se divisa lo alto de una torre PQ ("Q" en el piso) con ngulos de elevacin a, ~, e y el> respectiva-mente.

- - -Si: AQB = BQC = CQD = 10 y SenlO '" 0,173648 .

Calcular: J = TanaTan$ + Tana + Tan$

Tan~TanS TanS Tan~

al 1,1983 di 2,5783

b12,2343 el 2,8794

el 1,7124

59 . Desde un punto del suelo, ubicado al 0300S de una torre, se d ivisa su parte ms alta con un ngulo de elevacin 53. De esta ubicacin nos desplazamos al S300E hasta ubicamos al Sur de la torre. ObselVaramos su parte ms alta con un ngulo de elevacin " ~ ". Calcular: Tan ~

1 al-3

di--2

2 bl -3 1

el -4

3 el-4

60. Un reflector situado al ras del suelo ilumina un monumento bajo un ngulo de 30. Si trasladamos el reflector 2 m ms cerca del monumento, ste se ve bajo un ngulo de 45. Cul es la altura (y) del monumento y cul es su distancia (x) al segundo lugar de iluminacin?

al 2[:3 2[:3 y=--- x=---3+[:3 3-[:3

bl 2[:3 2[:3 y=-- x=---3-[:3 3+[:3

el 2[:3 2[:3 y =-- x=---3-[:3 3-[:3

di 2[:3 2[:3 y=-- x=---3+[:3 3+[:3

el y=3+[:3 x=3-[:3

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d 31. e

a b

c b

04. d a

05. e b

06. b c

87. b b

ea. c SI. e

09. a 59. d

1'. b 48. c 11. b 41. c

b 42. c

13. c 43. d

14. a 44- e

... d 45. e

16. b 46. b

17. c ...,. d

18. e b

19. b 49. d

U. d se. b

11. b 51. c

U. e U. d

U. b &a. c

b a

a c

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c b

b e

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c c

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