ngulosProfa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Sumrio

Pgina

O ngulo e seus elementos.............................................................................................. 1 Medida de um ngulo...................................................................................................... 3 ngulos congruentes ................................................................................................ 6 ngulo raso e ngulo nulo........................................................................................ 7 Operaes com medidas de ngulos ............................................................................. 13 Transformao de unidades.................................................................................... 14 Simplificando os resultados ................................................................................... 15 Adio .................................................................................................................... 16 Subtrao ................................................................................................................ 16 Multiplicao por um nmero natural .................................................................... 18 Diviso por um nmero natural.............................................................................. 19 ngulos consecutivos e ngulos adjacentes ................................................................. 21 Bissetriz de um ngulo.................................................................................................. 24 Construo da bissetriz........................................................................................... 25 ngulo reto, ngulo agudo e ngulo obtuso ................................................................. 28 Retas perpendiculares............................................................................................. 29 ngulos complementares e ngulos suplementares...................................................... 30 ngulos opostos pelo vrtice ........................................................................................ 34 Uma propriedade importante dos ngulos o.p.v....................................................................... 35 Referncias bibliogrficas............................................................................................. 38

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ngulos

O ngulo e seus elementosVeremos como representar matematicamente um ngulo e destacar suas partes principais, utilizando os modelos abaixo:

Nos modelos matemticos de figuras que surgem a idia de ngulo, podemos destacar duas semi-retas de mesma origem e no-opostas, que dividem o plano em duas regies: uma convexa e outra no-convexa.

Denominamos ngulo a regio formada por duas semi-retas no-opostas que tm a mesma origem.

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No ngulo da figura abaixo, podemos destacar os seguintes elementos:

O o vrtice do ngulo As semi-retas OA e OB so denominadas lados do ngulo

Para identificar esse ngulo utilizamos a notao AB ou BA : (L-se ngulo AOB) A letra que corresponde ao vrtice deve ficar no meio

OBS.: Quando no houver dvidas quanto ao ngulo a que nos referimos, podemos utilizar uma notao que indica apenas o seu vrtice.

ngulo ou AB

ngulo P ou MPN

Neste caso, h trs ngulos com vrtices em O: AB , BC e AC

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Medida de um ngulo

A medida de um ngulo dada pela medida de sua abertura, e a unidade padro utilizada o grau, que se representa pelo smbolo aps o nmero. Vamos ver o que representa o grau. As primeiras noes de ngulo foram desenvolvidas na Grcia antiga. Deve-se a Hiparco de Nicia (sculo II a.C.), considerado pelos gregos como o pai da Astronomia, a primeira diviso do crculo em 360 partes iguais, com o objetivo de medir ngulos. A cada um desses 360 arcos em que a circunferncia foi dividida associamos um ngulo cuja medida chamaremos de 1 grau.

O grau uma unidade de medida de ngulo; 1 grau corresponde medida do 1 da ngulo (com vrtice no centro da circunferncia) associado a um arco de 360 circunferncia.

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Exemplos:

Assim, para medir um ngulo, comparamos sua medida medida de um ngulo de 1. N prtica, utilizamos um instrumento de medida chamado transferidor. O transferidor j vem graduado com divises de 1 em 1.

Para medir um ngulo: coloque o transferidor sobre o ngulo, fazendo com que seu centro coincida com o vrtice do ngulo coloque a escala correspondente ao zero no transferidor sobre um dos lados do ngulo identifique na escala do transferidor o nmero interceptado pelo outro lado do ngulo

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Exemplos:

a) A medida do ngulo AB 45, e indicamos med (AB) = 45.

b) A medida do ngulo AC 160, e indicamos med (AC) = 160.

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ngulos congruentes Consideremos os ngulos AB e MPQ abaixo:

Se transportarmos um ngulo sobre o outro, podemos notar que os vrtices e os lados dos dois ngulos coincidem:

Assim, AB e MPQ possuem a mesma abertura e, portanto, a mesma medida.

Dois ngulos que tm a mesma medida so chamados ngulos congruentes, e utilizamos o smbolo para relacion-los.congruente AB MPQ usamos o smbolo = quando comparamos medidas

med (AB) = med (MPQ)

usamos o smbolo quando comparamos ngulos

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Na prtica, utilizamos o transferidor para determinar se dois ngulos so ou no congruentes.

med (ABC) = 56

med (DF) = 56

AB DF

ngulo raso e ngulo nulo

Quando duas semi-retas so opostas, dizemos que formam um ngulo raso ou de meia-volta.

BC um ngulo raso ou de meia-volta

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Quando duas semi-retas coincidem, obtemos dois ngulos: o ngulo nulo e o ngulo de uma volta.

ngulo nulo

ngulo de uma volta

Usando um transferidor, podemos determinar as medidas, em graus, dos ngulos abaixo:

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EXERCCIOS A (1) Considere o ngulo da figura abaixo e responda: a) Qual o vrtice desse ngulo?

b) Quais so os lados desse ngulo?

c) Qual o nome desse ngulo?

(2) Na figura abaixo, identifique todos os ngulos e nomei os mesmos.

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(3) Na figura seguinte, d as medidas dos ngulos indicados:

(4) Usando um transferidor, d a medida de cada ngulo: a) b)

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c)

d)

e)

f)

(5) No exerccio anterior, identifique os pares de ngulos congruntes.

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(6) Construa, com a ajuda do transferidor, um ngulo de: a) 42

b) 90

c) 125

d) 180

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Operaes com medidas de ngulos

Como vimos, o transferidor mede ngulos com intervalos de 1 em 1 grau. Mas h ngulos que no possuem como medida um nmero inteiro de graus. Como no costume utilizar decimais em medidas de ngulos, utilizamos os submltiplos do grau. O grau tem dois submltiplos: o minuto e o segundo. Para escrever a medida de um ngulo utilizando o minuto e o segundo, utilizamos a base 60 de numerao.

minuto smbolo : segundo smbolo :

Portanto:

Por exemplo, o ngulo de medida 18,5 pode ser escrito assim:

18,5 = 18 + 0 ,5 = 18 + 30 = 18 30

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Transformao de unidadesVejamos como fazer transformaes de unidades de ngulos observando os exemplos:

1) Quantos minutos tem 32?

Resposta: 32 tem 1920 .

2) Expresse 2 7 30 em segundos.

Resposta: 2 7 30 tem 7650 .

3) Escreva 5680 em graus, minutos e segundos.

Resposta: 5680 tem 1 34 40 .

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Simplificando os resultados

Em algumas situaes, principalmente nas operaes com medidas de ngulos, precisamos simplificar os resultados obtidos. Vejamos como fazer isso, observando os exemplos.

1) Simplificar 54 60 .54 60 = 54 + 1 = 55 Resposta: 54 60 escrito na forma simplificada 55.

2) Simplificar 18 126 .18 126 = 18 + 120 + 6 = 18 + 2 + 6 = 20 + 6 = 20 6 Resposta: 18 126 escrito na forma simplificada 20 6 .

3) Simplificar 27 75 80 .27 75 80 = 27 + 75 + 80 27 75 80 = 27 + 75 + 60 + 20 27 75 80 = 27 + 75 + 1 + 20 27 75 80 = 27 + 76 + 20 27 75 80 = 27 + 60 + 16 + 20 27 75 80 = 27 + 1 +16 + 20 27 75 80 = 28 +16 + 20 Resposta: 27 75 80 escrito na forma simplificada 28 +16 + 20 .

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Adio

1) Quanto a soma de 76 35 53 com 47 54 38 ?

Expressamos o resultado sempre na forma simplificada. Ento:

Resposta: A soma 124 30 31 .

Subtrao

1) Calcule a diferena 68 54 37 38 16 29 .

Resposta: A diferena 30 38 8 .

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2) Qual o valor de 105 32 6 67 48 30 ?

Agora calculamos a diferena:

Resposta: O valor de 105 32 6 67 48 30 37 13 36 .

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Multiplicao por um nmero natural

1) Qual o produto de 17 18 30 por 6?

Expressamos o resultado sempre na forma simplificada. Ento:

Resposta: O produto de 17 18 30 por 6 103 51 .

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Diviso por um nmero natural

1) Calcule o quociente ( 82 31 40 ) : 4.

Resposta: O quociente 20 37 55 .

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EXERCCIOS B (1) Efetue as operaes indicadas: a) 13 12 + 41 10 20 c) (27 36 33) :3

b) 35 20 10 15 30

d) 4 (10 24 45)

(2) Determine, na forma mais simplificada possvel, o valor das expresses: a) 15 12 35 + 27 18 + 13 51 30 b) (50 15 20) :5

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(3) Na figura abaixo, AC um ngulo de meia-volta. Qual o valor de x?

ngulos consecutivos e ngulos adjacentes

Observe a figura:

Nela identificamos os ngulos AC, CB e AB. Verifique em cada uma das figuras seguintes que:

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Os ngulos AC e CB possuem: Vrtice comum: O Lado comum: OC

Os ngulos AC e AB possuem: Vrtice comum: O Lado comum: OA

Os ngulos CB e AB possuem: Vrtice comum: O Lado comum: OB

Os pares de ngulos AC e CB, AC e AB, CB e AB so denominados ngulos consecutivos.Assim: Dois ngulos que possuem o mesmo o mesmo vrtice tm um lado comum so denominados ngulos consecutivos.

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Observe os exemplos de ngulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:

Os ngulos AC e CB no possuem pontos internos comuns

Os ngulos AC e AB possuem pontos internos comuns.

Os ngulos CB e AB possuem pontos internos comuns.

Verifique que os ngulos AC e CB so consecutivos e no possuem pontos internos comuns. Por isso eles so denominados ngulos adjacentes. Assim: Dois ngulos consecutivos que no possuem ponto interno comum so denominados ngulos adjacentes.

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Bissetriz de um ngulo

Observe a figura abaixo:

med ( AP ) = med ( PB ) = 25

Verifique que a semi-reta OP divide o ngulo AB em dois ngulos ( AP e PB ) congruentes. Nesse caso, a semi-reta OP denominada bissetriz do ngulo AB .

Assim:

Bissetriz de um ngulo a semi-reta de origem no vrtice desse ngulo que determina, com seus lados, dois ngulos adjacentes congruentes.

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Construo da bissetriz

Com o compasso e a rgua, podemos facilmente traar a bissetriz de um ngulo dado, como veremos a seguir. Traar a bissetriz de um ngulo AB

Com o centro no vrtice O, traamos um arco com abertura qualquer e determinamos os pontos C e B.

Com centro nos pontos C e D traamos dois arcos de mesma abertura, que se encontram no ponto E.

A semi-reta a bissetriz do ngulo AB .

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EXERCCIOS C (1) Em cada figura, escreva os pares de ngulos adjacentes:

a)

b)

c)

(2) Com o transferidor, desenhe os ngulos abaixo, traando em seguida a bissetriz de cada um utilizando o compasso. a) 60

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b) 110

c) 90

d) 77

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ngulo reto, ngulo agudo e ngulo obtuso

Podemos classificar um ngulo em agudo, obtuso ou reto.

ngulo reto o ngulo cuja medida 90.

ngulo agudo o ngulo cuja medida menor que 90.

ngulo obtuso o ngulo cuja medida maior que 90.

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Retas perpendiculares

Se traarmos duas retas num plano, tais que sejam concorrentes (possuam um ponto em comum), possvel obter 4 ngulos congruentes, ou seja, de mesma medida.

fcil verificar que cada um desses ngulos mede 90. a=b=c=d

Quando duas retas concorrentes formam entre si quatro ngulos retos, dizemos que as retas so perpendiculares e utilizamos o smbolo para representar esse perpendicularismo.

Na figura ao lado, r e s formam entre si quatro ngulos retos; ento r s . Smbolo: (perpendicular a)

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ngulos complementares e ngulos suplementares

Observe os ngulos AOB e BOC na figura abaixo:

Verifique que: med ( AOB ) + med ( BOC ) = 90 Nesse caso, dizemos que os ngulos AOB e BOC so complementares.

Assim:

Dois ngulos so complementares quando a soma de suas medidas 90.

Para calcular a medida do complemento de um ngulo, devemos determinar a diferena entre 90 e a medida do ngulo agudo dado. Medida do ngulo x Complemento 90 x

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Observe os ngulos AOB e BOC na figura abaixo:

Verifique que: med ( AOB ) + med ( BOC ) = 180 Nesse caso, dizemos que os ngulos AOB e BOC so suplementares.

Assim:

Dois ngulos so suplementares quando a soma de suas medidas 180.

Para calcular a medida do suplemento de um ngulo, devemos determinar a diferena entre 180 e a medida do ngulo agudo dado. Medida do ngulo x Suplemento 180 x

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Exemplos:

a) Determinar a medida do complemento e do suplemento do ngulo de 46. Complemento: 90 46 = 44 Suplemento: 180 46 = 134 Resposta: O complemento do ngulo de 46 mede 44 e o suplemento 134.

b) Na figura abaixo, determinar o valor de x.Como os ngulos so adjacentes complementares: x + 30 + x 10 = 90 2x + 20 = 90 2 x = 90 20 2x = 70 x= 70 2 x = 35

Resposta: O valor de x 35.

c) Na figura abaixo, determinar as medidas ABC e CBD . Como os ngulos so adjacentes suplementares: 3x + x + 12 = 180 4x + 12 = 180 4 x = 180 12 4x = 168 168 4 x = 42 x= Resposta: ABC mede 126 e CBD mede 54.

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EXERCCIOS D (1) Nas figuras abaixo, determine x:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

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ngulos opostos pelo vrtice

Observe os ngulos AB e CD na figura abaixo:

Verifique que:OA e OC so semi-retas opostas OB e OD so semi-retas opostas

Portanto, as semi-retas OA e OB que formam os lados do ngulo AB so opostas, respectivamente, s semi-retas OC e OD que formam os lados do ngulo CD .

Neste caso, podemos tambm afirmar que os lados do ngulo AB so formados pelos prolongamentos dos lados do ngulo CD , e vice-versa.

A esses dois ngulos damos o nome de ngulos opostos pelo vrtice.

Dois ngulos so chamados opostos pelo vrtice (abreviamos o.p.v.) quando os lados de um forem prolongamentos dos lados do outro e vice-versa.

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Uma propriedade importante dos ngulos o.p.v.

Na figura ao lado, os ngulos AD e BC so opostos pelo vrtice. Indicamos por: x = med ( BOC ) y = med ( AOD ) m = med ( AOB )

Como AOB e AOD so adjacentes suplementares: m + y = 180 (I) Como AOB e BOC so adjacentes suplementares: m + x = 180 (II)

Comparando (I) e (II), temos:m + y = 180 m + x = 180m+y = m+x y=x

Podemos enunciar a seguinte propriedade: Dois ngulos opostos pelo vrtice so congruentes, ou seja, tm a mesma medida.

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Exemplo:

Determinar os valores de x e y na figura abaixo.

x = 30 ngulos o.p.v. y + 30 = 180 ngulos adjacetes suplementares y = 180 30 y = 150 Resposta: O valor de x 30 e de y 150.

EXERCCIOS E (1) Nas figuras seguintes, calcule as medidas de x, y, a e b: a)

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b)

c)

d)

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Referncias bibliogrficasANDRINI, lvaro; VASCONCELLOS, Maria Jos. Novo praticando matemtica. So Paulo: Brasil, 2002. BIGODE, Antonio Jos Lopes. Matemtica hoje feita assim. So Paulo: FTD, 2006. DANTE, Luiz Roberto. Tudo matemtica. So Paulo: tica, 2005. EDIES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Ararib: Matemtica. So Paulo: Moderna, 2007. EDUCOM: ASSOCIAO PORTUGUESA DE TELEMTICA EDUCATIVA. Disponvel em: . Acesso em: 19 de outubro de 2008. GIOVANNI, Jos Ruy; GIOVANNI JUNIOR, Jos Ruy. Matemtica: pensar e descobrir. So Paulo: FTD, 2005. GIOVANNI, Jos Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, Jos Ruy. A conquista da matemtica. So Paulo: FTD, 1998. GUELLI, Oscar. Matemtica em construo. So Paulo: tica, 2004. GUELLI, Oscar. Matemtica: uma aventura do pensamento. So Paulo: tica, 1998. IMENES, Luiz Mrcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemtica paratodos. So Paulo: Scipione, 2006. KLICK EDUCAO: O PORTAL DA EDUCAO. Disponvel em: . Acesso em: 7 de outubro de 2008. MIANI, Marcos. Matemtica no plural. So Paulo: IBEP, 2006. MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemtica: idias e desafios. So Paulo: Saraiva, 1997.

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