angulos revisões 7

Profª Helena Borralho/2012-13 1

ÂNGULOS7ºanoClassificação de ângulos; ângulos adjacentes, complementares e suplementares; ângulos verticalmente opostos; ângulos de lados paralelos

ÂngulosUm ângulo é um conjunto de pontos do plano limitado por duas semirretas com a mesma origem.

Profª Helena Borralho/2012-13

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ÂNGULOS GEOMETRICAMENTE IGUAIS OU CONGRUENTES

B Ξ E O símbolo Ξ lê-se “ é coincidente com”.C

AB

F D

E

Dois ângulos são congruentes se, sobrepostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem. Na figura ABC e DEF são ângulos congruentes.

Dependendo da sua amplitude, um ângulo pode ser:Ângulo Agudo:

Mede menos de 90°

Ângulo Reto:

Mede 90°

Ângulo Obtuso:

Maior do que 90° e menor do que 180°

Ângulo Raso:

Mede 180°

Ângulo Côncavo

Maior do que 180° e menor do que 360°

Giro:

Mede 360°


BISSECTRIZ DE UM ÂNGULO

Cada ponto P da bissetriz B, está à mesma distância dos lados do ângulo.

Â

BP

A BISSECTRIZ de um ângulo Â, é a semirreta que divide o ângulo em duas partes iguais.



1

V.

Traçar a bissetriz de um ângulo. Com a régua traça uma semirreta a partir do ponto V (vértice do ângulo).


2 A partir do ponto V, traça outra semirreta, formando, neste caso, um ângulo agudo.

V.


3Com centro no ponto V, traça um arco de circunferência que intersete as duas semirretas, definindo o ponto A e B

V B

A


4 Fazendo centro em A e B, traça dois arcos com raio maior que AB, de forma a que se intersetem.

V B

A

C


V B

A

C

5 A partir do ponto V, traça uma semirretaque passe pelo ponto C.

A esta semirreta, que divide o ângulo em duas partes iguais, chamamos Bissetriz.

RELACÃO ENTRE ÂNGULOSÂNGULOS COMPLEMENTARES ÂNGULOS SUPLEMENTARES

ab

a + b = 90°

Dois ângulos cuja soma das suas amplitudes é 90°. Dois ângulos cuja soma das suas amplitudes é 180°.ba

a + b = 180°


RELACÃO ENTRE ÂNGULOSÂNGULOS ADJACENTES ÂNGULOS CÔNCAVO E CONVEXODois ângulos que têm o mesmo vértice e um lado comum que os separa.

ba

a + b = 180°

Quando duas retas se intersetam, formam dois pares de ângulos verticalmente opostos. Dois ângulos cuja soma é 360°. ângulo côncavo ângulo convexo

a

b

a + b = 360°


ExercícioNo desenho, entre os ângulos assinalados, identificaum par de ângulos não adjacentes complementares.

São ângulos não adjacentes complementaresos ângulos: [BOC] e [DOE].

ExercícioNo desenho, entre os ângulos assinalados, identificaum par de ângulos adjacentes.

São ângulos adjacentesos ângulos: [DBA] e [CBD].

Exercício No desenho, entre os ângulos assinalados, identificaum par de ângulos não adjacentes, mas com um lado comum.

São ângulos não adjacentes com um lado comumos ângulos: [DBA] e [EBA].

ExercícioNo desenho, entre os ângulos assinalados, identificaum par de ângulos não adjacentes, sem lados comuns.

São ângulos não adjacentes sem lados comunsos ângulos: [EBA] e [CBD].

ExercícioNo desenho, entre os ângulos assinalados, identificaum par de ângulos adjacentes suplementares.

São ângulos adjacentes suplementaresos ângulos: [COD] e [DOE].

.

a

d

c

b

<a = <b <c = <d

ÂNGULOS VERTICALMENTE OPOSTOSQuando duas retas se intersetam, formam dois pares de ângulos verticalmente opostos


ÂNGULOS VERTICALMENTE OPOSTOSÂNGULOS ADJACENTES


ÂNGULOS DE LADOS PARALELOSNA FIGURA ABAIXO OS DOIS ÂNGULOS TÊM OS LADOS PARALELOS E SÃO AMBOS ÂNGULOS AGUDOS (A SUA AMPLITUDE É MAIOR DO QUE 0° E MENOR DO QUE 90°).

Os dois ângulos assinalados são geometricamente iguais.

As duas retas são intersetadas por uma terceira reta, formam-se ângulos de lados paralelos


ÂNGULOS DE LADOS PARALELOSNa figura abaixo os dois ângulos têm os lados paralelos e são ambos ângulos obtusos (a sua amplitude é maior do que 90° e menor do que 180°.

Os dois ângulos assinalados são geometricamente iguais.


ab

c d

ef

g h

r

s

t

ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOS E EXTERNOSinternos

externos

(c, e) ; (d, f)

(a, g) ; (b, h)

Ângulos Alternos

- Ângulos alternos, internos ou externos, são congruentes


ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOS E EXTERNOSOs ângulos de lados paralelos que se seguem denominam-se :

�̂�= �̂�(obtusos) �̂�= �̂� (agudos)�̂�= �̂�(obtusos)

�̂�= �̂� (agudos)Profª Helena Borralho/2012-13

CONCLUSÃO

78 65 34 21

<1 = <3 = <5 = <7<2 = <4 = <6 = <8<par + <ímpar = 180°Profª Helena Borralho/2012-13

ExercícioNo desenho, entre os ângulos assinalados, identificaum par de ângulos agudos alternos internos não congruentes.

São ângulos agudos alternos internos não congruentesos ângulos: b e c.

ExercícioNo desenho, entre os ângulos assinalados, identificaum par de ângulos agudos de lados paralelos.

São ângulos agudos de lados paralelosos ângulos: b e e.

ExercícioNo desenho, entre os ângulos assinalados, identificaum par de ângulos obtusos de lados paralelos.

São ângulos obtusos de lados paralelosos ângulos: c e e.

Exercício 1Determina o valor da amplitude do ângulo ABE.

Exercício 1Determina o valor da amplitude do ângulo ABE.

Dado que:- reta AC ∥ reta DF e- os ângulos ABE e FEB são ângulos alternos internosConcluiu-se que:- os ângulos ABE e FEB são ângulos congruentes, têm igual amplitude e

A amplitude do ângulo ABE é 90°.

Exercício 2Determina o valor da amplitude do ângulo d.


Dado que:- reta que t u∥- o ângulo b é verticalmente oposto ao

ângulo de 50º e mede 50º,- ângulo b é alterno interno com o c e

também mede 50º e- c e d são verticalmente opostos e com igual amplitude

Concluiu-se que:

A amplitude do ângulo d é 50º.

Exercício 3Determina o valor da amplitude do ângulo e.

Dado que:- reta que t ∥ u- o ângulo de 55° é verticalmente oposto ao ângulo b e este alterno interno com o c, que mede também 55°, e é suplementar com o ângulo e, dado que n ∥ o, medindo portanto 125°. (180°-55°).

A amplitude do ângulo e é 125º.

Exercício 4Determina o valor da amplitude do ângulo b.


Dado que:- reta que [AB] ∥ [CD] e que- o ângulo de 60° é congruente ao ângulo a e este é adjacente e suplementar com o ângulo b, o ângulo b mede portanto 120°. (180°-60°=120°).

A amplitude do ângulo b é 120°.

Exercício 5Determina o valor da amplitude do ângulo c.


Dado que:- O ângulo de 125° é adjacente e suplementar com o ângulo a, que mede portanto 55° (180°-125°) e- o ângulo a é verticalmente oposto ao ângulo b , e portanto com 55° de amplitude,A amplitude do ângulo c é igual a: 180°-(90°+55°)=35°.

A amplitude do ângulo c é 35°.

Exercício 6Determina o valor da amplitude do ângulo h.


Dado que a reta r é paralela à reta s o ângulo com 135° de amplitude é congruente com o ângulo formado pelos ângulos adjacentes h e b, somando 135°.Como o ângulo b é um ângulo reto, o ângulo h mede:135° - 90° = 45°

A amplitude do ângulo h é 45°.


Dado que a reta t é paralela à reta u, o ângulo com 120° de amplitude é alterno interno com o ângulo formado pelos ângulos adjacentes a e b.O ângulo b mede:120° - 40° = 80°



O ângulo com 40° de amplitude é verticalmente oposto e congruente ao ângulo a.Os ângulos a e b são ângulos adjacentes e complementares, somando 90°.O ângulo b mede:90° - 40° = 50°



O ângulo com 55° de amplitude é verticalmente oposto e congruente ao ângulo a, que é alterno interno e congruente ao ângulo b, dado que a reta m é paralela à reta n.Os ângulos b e c são ângulos adjacentes e suplementares, somando 180°.O ângulo c mede:180° - 55° = 125°

A amplitude do ângulo c é 125°.

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