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Apostila de História da Matemática

Profª Paula Reis de Miranda

2012

Coordenação Geral de Graduação

Apostila

De

História da Matemática

Profª Paula Reis de Miranda

Licenciatura em Matemática

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Profª Paula Reis de Miranda

2012

Introdução

A História da Ciência e, em particular, a História da Matemática, constitui um dos capítulos mais interessantes do conhecimento. Permite compreender a origem das idéias que deram forma à nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu desenvolvimento: enxergar os homens que criaram essas idéias e estudar as circunstâncias em que elas se desenvolveram. Assim, esta história é um valioso instrumento para o ensino/aprendizado da própria matemática. Podemos entender porque cada conceito foi introduzido nesta ciência e porque, no fundo, ele sempre era algo natural no seu momento. Permite também estabelecer conexões com a história, a filosofia, a geografia e várias outras manifestações da cultura.

Conhecendo a história da matemática percebemos que as teorias que hoje aparecem acabadas e elegantes resultaram sempre de desafios que os matemáticos enfrentaram, que foram desenvolvidas com grande esforço e, quase sempre, numa ordem bem diferente daquela em que são apresentadas após todo o processo de descoberta. Nestas páginas queremos oferecer textos cuidadosamente embasados numa bibliografia cientificamente séria, tão atualizados quanto possível, e redigidos de uma forma simples e direta, facilmente acessível ao leitor. Para isso, escolhemos três formas de exposição. Os textos estão ordenados segundo sua cronologia numa linha do tempo. A partir da mesma base de dados oferecemos uma seção de biografias dos grandes matemáticos e, a partir de uma reclassificação, disponibilizamos também uma apresentação de história da matemática organizada por tópicos

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Índice Cronológico

3500 a.c - Antigo Sistema de Numeração 3100 a.c - História da matemática no Egito Regra da Falsa Posição Métodos de Multiplicação e Divisão dos Egípcios 2600 a.c - Resolução de Equações de 2º grau 2100 a.c - História da matemática na Babilônia 1850 a.c - Papiro Moscou 1650 a.c - Papiro Rhind 625 a.c - O Cálculo da altura das pirâmides Tales de Mileto Cálculo da distância de navios no mar 580 a.c - Números Pares e Ímpares Números Figurados Teorema de Pitágoras Pitágoras de Samos Números amigos Números primos e compostos Máximo divisor comum e Mínimo múltiplo comum Números perfeitos Secção Áurea 440 a.c - Duplicação do cubo 440 a.c - Quadratura do círculo 430 a.c - O início da trigonometria 428 a.c - Trissecção do ângulo 425 a.c - Trissectriz ou quadratriz de Hipias 300 a.c - Euclides e os "Elementos" 287 a.c - Arquimedes Método clássico para cálculo de pi 276 a.c - A medida do raio da Terra 262 a.c - As Cônicas 250 a.c - Sistema de numeração Indo-Arábico 240 a.c - Conchóide de Nicomedes 196 a.c - Pedra de Roseta 60 d.c - Aritmética de Nicômaco 825 d.c - A Álgebra de Al-Khowârizmî

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1400 d.c - Leonardo de Pisa (Fibonacci) 1545 d.c - A Introdução dos Números Complexos Ars Magna 1623 d.c - Blaise Pascal 1628 d.c - O início da Geometria Analítica 1791 d.c - George Peacock 1801 d.c - A Primeira Definição Abstrata de Grupo 1801 d.c - A Abstração em Álgebra Grupos de Permutações 1806 d.c - Augustus De Morgan 1815 d.c - George Boole 1821 d.c - Arthur Cayley 1831 d.c - Dedekind: a fundamentação dos números reais 1835 d.c - Willian Rowan Hamilton 1858 d.c - Axiomas de Peano

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ELES ESTÃO EM TODA PARTE!

Quem são eles? São os números. No mundo de hoje, eles aparecem em toda parte. Os números têm muitos usos e, em muitas situações, precisamos deles para expressar algo.

Dá para perceber que não podemos viver sem os números? No século XIX, recorríamos menos aos números do que hoje. Em muitos lugares, por exemplo, nem as casas eram numeradas. Entretanto, em alguns casos, os números já eram bastante usados, por exemplo, em calendários, cálculos para construções, dinheiro, comércio em geral e também nas guerras. Daí, vem uma curiosidade: desde quando os números existem? Como foram criados? Para saber sobre a origem dos números, precisamos conhecer um pouco do passado. A história dos números faz parte da história da humanidade. QUANDO AS PESSOAS HABITAVAM CAVERNAS

Em 1940, no interior da França, alguns garotos passeavam pelo campo quando escutaram latidos de um cãozinho que caíra no buraco. Seguindo os latidos, os meninos descobriram uma gruta enorme. Nas suas paredes, havia maravilhosas pinturas coloridas de cavalos, veados bisões e até rinocerontes, feitas por homens que habitavam cavernas. Diversas cavernas têm sido detalhadamente estudadas pelos arqueólogos. No caso da caverna encontrada na França, concluiu-se que as pinturas foram feitas há cerca de 25.000 anos. Pelos objetos que lá estavam, foi possível ter uma idéia de como eram e de como viviam seus habitantes. Tudo indica que as pessoas daquele tempo eram parecidas conosco fisicamente. A diferença era a maneira de viver. Para se alimentar, caçavam e colhiam frutos e raízes. Não plantavam, não criavam animais e, por isso, não vendiam, não faziam compras e não usavam dinheiro. Assim, é provável que elas não tivessem necessidade dos números em seu dia-a-dia e, por isso, talvez não os conhecessem. Entretanto, não se pode ter certeza disso. Veja, por exemplo, o osso de lobo descoberto por arqueólogos em 1937, num lugar da Europa. Estudos indicaram que esse osso tem aproximadamente 30.000 anos. Há razões para crer que as marcas sejam registro de alguma contagem. Entretanto, 30.000 anos atrás, o que a teria motivado, já que a vida cotidiana não necessitava de contagens? Segundo alguns cientistas, aqueles homens poderiam ter usado números por motivos religiosos. Em todas as culturas, as cerimônias religiosas costumam ter épocas e durações precisas. Por exemplo, se os nossos antepassados fizessem parte de uma cerimônia fúnebre de três dias em honra de um chefe morto, deveriam ao menos saber contar até três. Por isso, alguns historiadores acreditam que as preocupações de ordem espiritual, junto ou até antes das necessidades materiais, podem estar na origem da criação dos números. Essa é uma hipótese para explicar a existência das marcas naquele osso de 30.000 anos. PASTORES, AGRICULTORES E PROPRIETÁRIOS Do tempo das cavernas até nossa época, a maneira de viver foi mudando. Os habitantes de cavernas eram nômades, isto é, mudavam de região quando a caça diminuía e trocavam a caverna antiga por outra. Aos poucos, e por várias razões, começaram a plantar e tornaram-se sedentários. Acredita-se que as primeiras formas de agricultura desenvolveram-se há cerca de 10.000 anos, na região hoje chamada de Oriente Médio. Sabe-se também que há 6.000 ou 7.000

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anos nossos antepassados já criavam cães, carneiros, cabras, porcos, bois e cavalos, entre outros animais. Descobriram também como construir casas de pedra e barro; desse modo, surgiram as primeiras aldeias. Além disso, apareceu o sentimento de propriedade sobre a terra, a casa e os animais. À medida que essas mudanças iam ocorrendo, as contagens começaram a ser necessárias por razões práticas. Um pastor de ovelhas, por exemplo, precisava contar seu rebanho ao fim de cada dia para saber se algumas delas havia perdido. Um agricultor deveria conhecer o clima e as estações do ano para saber quais eram as épocas boas para plantar ou colher. Para isso, ele contava os dias e as fases da lua. Enfim, todas as coisas que deram origem à civilização levaram também à criação dos números. Mas de que maneira surgiram os números? Como eles foram concebidos pela primeira vez? O ponto de partida deve ter sido uma capacidade inata em todos nós, chamada senso numérico. Os seres humanos, e até mesmo alguns animais, têm a capacidade de perceber pequenas quantidades. O Agricultor, o Corvo e o Senso Numérico Em certo lugar da Europa, o dono de uma plantação queria matar um corvo que havia feito um ninho na torre de sua mansão. Mas a ave era muita esperta. Se alguém se aproximasse da torre, ela logo voava e ficava observando de uma árvore distante. Só voltava se o perigo se afastasse. Um dia, o agricultor tentou um truque. Dois homens entraram num galpão vizinho à torre, e o pássaro fugiu. Pouco depois, um dos homens saiu de lá, mas o pássaro não voltou para o ninho. Percebeu que havia outro esperando por ele! O truque foi repetido no dia seguinte com três homens, dois deles saindo logo depois do galpão. Mas o corvo também percebeu que ainda restava um terceiro! No outro dia, tentou-se o mesmo com quatro homens, sem que fosse possível enganar a ave. Finalmente, foram usados cinco homens. Um deles permaneceu no galpão, enquanto os outros saíram. Dessa vez, foi demais para o pássaro e ele ―perdeu a conta‖. Incapaz de perceber a diferença entre quatro e cinco, ele voltou ao ninho. Pobre corvo! A história narrada demonstra que o corvo tem senso numérico. Nas pessoas, em geral, esse senso é um pouco mais desenvolvido do que no corvo da história. Repare, porém, que o senso numérico é limitado. Num rápido olhar, às vezes conseguimos diferenciar um montinho com cinco balas de outro com seis balas, mas não conseguimos diferenciar quinze balas de dezesseis balas. Para isso, precisamos fazer uma contagem. Portanto, o senso numérico deve ter sido o ponto de partida para se aprender a contar. E nas contagens, os números foram sendo criados. PASTORES, OVELHAS E PEDRINHAS As primeiras contagens ocorreram em diferentes lugares e épocas, com procedimentos variados. Vejamos, por exemplo, o caso dos pastores de ovelhas. Eles levavam o rebanho para pastar durante o dia. À noite, as ovelhas eram recolhidas em lugar seguro para evitar que outros animais, como os lobos, atacassem-nas. Quando o rebanho era grande, ficava difícil saber se algum animal tinha-se perdido. Por isso, precisavam ter um controle para verificar se a quantidade de ovelhas soltas pela manhã era a mesma das que eram recolhidas. Podemos imaginar algumas maneiras de resolver o problema do pastor. Por exemplo, pela manhã, ele separava uma pedrinha para cada ovelha que era solta, formando um montinho. À noite, retirava do montinho uma pedrinha para cada ovelha que recolhesse. Assim, o pastor estabelecia uma correspondência entre dois grupos: o das pedrinhas e o do rebanho de ovelhas. Se sobrassem pedrinhas, era sinal de que alguns animais tinham ficado para trás. Os historiadores chama a atenção para o fato de a palavra cálculo originar-se da palavra latina calculus, que significa ‗pedrinha‘.

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Assim, a palavra calcular, na sua origem, podia significar ‗contar‘ com pedrinhas. Esse é um indício de que a contagem pode ter começado com pedrinhas. Dos montes de pedrinhas, foram nascendo os números. Para quantidades pequenas, graças ao senso numérico, os pastores podiam distinguir um monte de outro. Por isso, devem ter começado a dar nomes a esses montes na língua deles. A certo montinho davam o nome correspondente a cinco e assim por diante. Dessa maneira, estavam nascendo os números. Além de contar com pedrinhas, criamos outras formas de contar. Como as marcas no osso de lobo. Muitas outras foram desenvolvidas: usando conchas, grãos ou sementes no lugar das pedras; os incas, que habitavam os andes, davam nós em cordões. MARCAS, PALAVRAS E DEDOS Além das pesquisas arqueológicas, há outros trabalhos que nos ajudam a conhecer o passado. Até poucas décadas atrás, por exemplo, existiam grupos humanos totalmente isolados, vivendo da mesma maneira há milhares de anos. Ao estudar como esses grupos contavam, que recursos usavam, que nomes davam aos números, os antropólogos ajudam a esclarecer a origem dos números. No estreito de Torres, entre a Austrália e a Nova Guiné, havia um povo que designava os números assim: Urapun (‗um‘), okosa ( ‗dois‘), okosa-urapun (‗três‘), okosa-okosa (‗quatro‘), ... Essa maneira de dar nome aos números mostra que aquelas pessoas identificavam o um e o dois e formavam os outros números a partir deles. Essa comunidade criou uma seqüência de palavras para expressar as quantidades. Nós também fazemos contagens pensando numa seqüência de palavras: um, dois, três, e assim por diante. Veja bem: não usamos pedrinhas ou nós em cordões, porém associamos palavras às quantidades. A investigação realizada por antropólogos e outros cientistas mostra ainda que, em todas as culturas, os dedos foram (e continuam sendo) recursos valiosos na realização de contagens. Isso pode ser percebido nos sistemas de contagem de várias tribos de índios do Brasil. Veja, por exemplo, como os Kuikuro, tribo que habita o Parque Nacional do Xingu, denominam alguns números.

Também na língua portuguesa encontramos vestígios reveladores da importância dos dedos na contagem. A palavra dígito, que se refere aos símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, vem do latim digitus, que significa ‗dedo‘. Ainda hoje, na Índia, no Egito e em outros países, emprega-se um curioso modo de contar com as mãos. O polegar aponta, uma a uma, as três falanges de cada um dos outros quatro dedos. Assim, conta-se até doze. Talvez seja essa a origem do costume de contar por dúzias, ainda usado entre nós. E é possível que também tenha a ver com a

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divisão do dia em 24 horas (dois períodos de 12 horas, isto é, as 12 falanges). ALGUMAS CIVILIZAÇÕES DO PASSADO A agricultura e o pastoreio modificaram profundamente a vida dos homens: deram origem às primeira aldeias, que lentamente transformaram-se nas primeiras cidades. algumas dessas cidades cresceram e tornaram-se os centros das primeiras grandes civilizações. Uma das mais antiga é a dos egípcios, datada de 5.500 anos. Quase na mesma época e próximo ao Egito, desenvolveu-se uma civilização na Mesopotâmia, região que corresponde atualmente ao Iraque. No passado, essa região foi chamada Mesopotâmia, palavra que significa ‗entre nós‘, porque fica entre os rios Tigre e Eufrates. Enquanto essas duas civilizações ainda se desenvolviam, surgiram outras duas a da China e a da Índia, no Leste da Ásia. Veja no mapa a seguir a localização dessas quatro civilizações.

Desde as primeiras civilizações, a agricultura se tornou fundamental para a alimentação das pessoas. Assim, já naquele tempo, foi preciso dispor de calendários bem feitos para saber a época certa do plantio e da colheita. E, para fazer calendários, precisamos dos números. À medida que as civilizações progrediam, o comércio também progredia. Por volta de 2.600 anos a.C., por exemplo, barcos de mercadorias egípcios, carregados com lentilhas, tecidos e papiros, navegavam pelo mar Vermelho e pelo mar Mediterrâneo, comercializando seus produtos. Para negociar, precisavam medir e pesar produtos, pagar e receber troco. Como fazer isso sem os números? Essas civilizações também guerreavam e precisavam de armas e exércitos. Além de lutar, construíam monumentos e palácios. Como faziam para contar os soldados de um batalhão ou calcular o material necessário para uma construção? Em todas elas, havia uma organização político-social, na qual geralmente o poder era exercido de forma absoluta por um rei, auxiliado por nobres e sacerdotes que davam ordens a vários funcionários públicos. Todo esse grupo era sustentado por impostos cobrados da população. E como calcular e cobrar os impostos sem os números? Os números foram essenciais para as primeiras civilizações. Em cada uma delas inventou-se um sistema de numeração, ou seja, uma maneira de escrever e nomear os números. Além disso, em todas elas foi criada uma língua escrita para registro de fatos e informações. Elas se organizaram e se desenvolveram em grande parte graças à língua escrita e aos sistemas de numéricos que inventaram.

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Exercício de matemática de cerca de 1700 a.C.

OS NÚMEROS NO ANTIGO EGITO Da civilização egípcia, restaram vários monumentos com inscrições, além de documentos em papiros. Essas fontes permitiram que os arqueólogos decifrassem o sistema de numeração egípcio. O quadro a seguir mostra a relação entre os números egípcios e os indo-arábicos.

Observe que em vez de escrever 10 com dez risquinhos, os egípcios escrevam desta maneira:

Isso significa que um símbolo valia por dez símbolos . Da mesma forma, dez símbolos de

‗dez‘ eram substituídos por e assim por diante. Na escrita dos números os egípcios formavam grupos de dez do mesmo modo que fazemos hoje. Em nosso sistema de numeração, dez unidades formam a dezena; dez dezenas formam a centena e assim por diante, como ocorre também no sistema egípcio. É interessante fazer uma adição usando nossa escrita dos números e, depois, a dos egípcios.

Veja como é feita com nossos algarismos:

1 37

25

62

O pequeno 1 sobre o 3 indica a troca de dez unidades por uma dezena, é o chamado ―vai um‖. Algumas crianças pequenas têm dificuldades em entender esse procedimento, pois não compreendem essa troca. Entretanto, no sistema egípcio ficaria mais fácil porque podem ―ver‖ a troca de dez unidades pela dezena:

O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DA MESOPOTÂMIA Nas escavações arqueológicas realizadas na região onde foram edificadas as cidades da Mesopotâmia, encontram-se placas de barro que continham inscrições. Usando um bastonete, os escribas da Mesopotâmia escreveram sobre essas placas quando o barro ainda estava mole. Depois, elas foram cozidas no forno para endurecer. Com base nessas placas, foi possível decifrar o sistema de numeração mesopotâmico. Veja a escrita de alguns números:

3 5 11 18 20

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Uma das placas de argila encontradas nas escavações continha os resultados da tabuada do nove.

Notou que há algo de estranho nos quatro últimos resultados, que correspondem a 63, 72, 81 e 90? É que eles usavam um sistema de numeração de base sessenta. Veja o significado da tabuada do nove:

Ao comparar a numeração mesopotâmica com a egípcia nota-se a diferença entre elas: uma é de

base sessenta e a outra de base dez: na numeração mesopotâmica significa um grupo

de sessenta mais três; na numeração egípcia significa um grupo de dez mais três. É verdade que o sistema de numeração dos povos da Mesopotâmia desapareceu há muito tempo, mas restaram vestígios dele, por exemplo, na contagem do tempo. Mas o sistema numérico da Mesopotâmia apresenta alguns inconvenientes. Observe estes números:

Os três números representados são diferentes, embora todos sejam escritos com os mesmos sinais. O que muda é a distância entre os sinais. Há ainda outras dificuldades:

Como seria a representação do 60? Assim ou assim ?

Se fosse assim , ele seria confundido com o um. Se fosse , então sessenta e um deveria

ser assim e não desta forma: .

Talvez você tenha pensado em escrever o sessenta assim: . Um boa idéia! Mas os povos da Mesopotâmia ainda não tinham inventado o um símbolo que representasse o zero. Antes disso, por alguns séculos, a apresentação do sessenta e de alguns outros números causou muita confusão. Não é esquisito que o zero, um símbolo para o nada, faça tanta falta? A ENIGMÁTICA BASE SESSENTA Georges Ifrah, um professor marroquino, dedicou boa parte de sua vida pesquisando sobre os números. Ele afirma que a base sessenta é um mistério. Ifrah apresenta em sua obra História Universal dos Algarismos várias hipóteses sobre a origem da base sessenta. Algumas têm a ver

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com a Matemática, outras, com a Astronomia e há ainda as de origem mística. Duas delas serão destacadas neste texto. Astronomia e a base sessenta Os povos antigos, entre os quais os babilônios, desenvolveram muito a astronomia, a contagem do tempo, a organização do calendário. Associando o movimento dos astros à circunferência e tendo percebido que o ano tem 360 dias, aproximadamente, passaram a dividir a circunferência em 360 partes iguais. Usavam essa divisão para medir ângulos, eu eram muito úteis nos seus estudos de Astronomia. Essa é origem do transferidor que, ainda hoje, usamos para medir ângulos. Para medir a posição de uma estrela no firmamento, mediam o seu ângulo de elevação. Para isso, criaram um instrumento chamado sextante (relativo à sexta parte da circunferência). Para eles, era fácil construir o sextante porque já sabiam dividir a circunferência em seis partes iguais. Dividindo a circunferência em seis partes iguais obtém-se um ângulo de 60º. Daí, a origem da base sessenta. Dedos, falanges e a base sessenta Uma outra hipótese, formulada pelo próprio Georges Ifrah, é a de que a base sessenta originou-se de práticas de povos mais antigos, uns usando a base cinco e outros, a base doze. No encontro dessas culturas, ter-se-ia originada a base sessenta. A base cinco pode ser explicada pelos cinco dedos eu temos em cada mão. A base doze, tem também uma explicação anatômica: lembra-se do processo de contagem em que o dedo polegar aponta, uma a uma, as doze falanges dos outros quatro dedos? A NUMERAÇÃO CHINESA Na longa história da civilização chinesa, houve mais de um sistema numérico. O mais utilizado deles tinha estes símbolos:

Esses símbolos ainda hoje são conhecidos tanto na China como no Japão. Entretanto, para fazer cálculos, todos usam o mesmo sistema de numeração que nós. O antigo sistema de numeração chinês tem regras interessantes. Veja os exemplos:

Percebeu que é um sistema decimal e que tem semelhanças com o nosso sistema? Compare a nossa maneira de escrever 824 com a deles. Notou que a idéia é a mesma? A diferença é que, no nosso caso, o 100 e o 10 ficam ―escondidos‖, não aprecem na escrita de 824. As civilizações mencionadas não foram as únicas de sua época, mas foram as maiores. Depois delas, destacaram-se, na Europa, as civilizações grega e romana e, na Ásia, o Império Persa. O Império Romano, que estava no auge nos primeiros séculos depois de Cristo, havia anexado o Egito e a Grécia a seu território. Os romanos incorporaram a cultura dos gregos, os quais já tinham valido da cultura dos egípcios. Eles chegaram a ocupar os territórios que hoje são de Portugal, Espanha, França e Itália, além de parte da Inglaterra. A cultura e a língua de todos esses países foram influenciadas pelos romanos. Essa influência estendeu-se também para as Américas, para o Brasil em particular, uma vez que fomos colonizados por espanhóis e portugueses.

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Na América, também formaram-se civilizações importantes, que não tiveram contato com as civilizações da Europa. As mais conhecidas foram a dos maias, a dos incas e a dos astecas. Muitas dessas civilizações americanas forma destruídas pelos europeus, quando vieram ocupar as Américas. A NUMERAÇÃO GREGA A cultura grega faz parte da base de nossa civilização ocidental. Foi nessa civilização que se organizaram pela primeira vez diversas ciências, como a Medicina e a Matemática. Até nos esportes seguimos os gregos: eles criaram as Olimpíadas. Curiosamente, em contraste com a relevância de suas criações, o sistema de numeração estabelecido pelos gregos, em que usavam as letras de seu alfabeto para representar os números, não influenciou outros povos. Para você ter uma idéia de como era o sistema de numeração grego, veja alguns desses símbolos:

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Observe como escreviam alguns números:

31 245 104 A NUMERAÇÃO ROMANA Por sua vez, o sistema numérico romano não desapareceu por completo. Em nosso cotidiano, podemos ver os seus sinais em relógios ou nas fachadas de prédios antigos em que há a data da construção. De maneira resumida a seguir, estão as características do sistema numérico romano. Símbolos usados e seus valores

Símbolo I V X L C D M

Valor 1 5 10 50 100 500 1000

Regras do sistema romano Os símbolos I, X e C podem ser repetidos até três vezes:

Exemplos: II = 2 III = 3 XX = 20 DCCC = 800 Se o símbolo de valor maior vem antes do de valor menor, somam-se seus valores:

Exemplos: LI = 50 + 1 = 51 DCCCX = 500 + 100 + 100 + 100 + 10 = 810 Se o símbolo de valor menor vem antes do de maior valor ou vem entre dois símbolos de valores maiores, faz-se uma subtração:

Exemplos: IV = 5 - 1 = 4 XL = 50 - 10 = 40 CD = 500 - 100 = 400 XIX = 10 + (10 - 1) = 19 DXL = 500 + (50 - 10) = 540 Colocando-se um traço sobre o símbolo, seu valor é multiplicado por 1000:

Exemplo: V = 5000 Na Antigüidade, a numeração romana tinha menos regras. Entretanto, como ela continuou a ser usada na Europa por séculos e séculos, mesmo depois do fim do Império Romano, as pessoas tentaram melhorá-la. Ou complicá-la, dependendo da opinião de cada um. Por exemplo, veja o que aconteceu com o símbolo para 1.000. No começo, aproximadamente 300 anos antes de Cristo, o seu símbolo era . E o símbolo para 500 era

. Com o passar do tempo, os escribas, que eram pessoas especializadas na escrita de documentos, resolveram facilitar o próprio trabalho e passaram a usar a letra D para representar 500, porque era parecida com o símbolo original e era mais fácil de escrever. Trocaram também o símbolo do 1.000 por uma letra. Para isso, escolheram o M inicial de ‗mile‘, que significa ‗mil‘ em latim, a língua romana.

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OS MAIAS E O NÚMERO ZERO

Já examinamos vários sistemas de numeração. Você deve ter notado que nenhum deles usava o zero, que é tão importante em nosso sistema. Ma há um sistema antigo em que se utiliza o zero. É o sistema dos maias. Esse povo, que habitou a América Central durante mais de mil anos, desenvolveu uma cultura sofisticada. Eles criaram um sistema de escrita bastante evoluído e também calendários muito precisos. Além disso, os maias desenvolveram um sistema de numeração complexo. Veja a seguir a representação dos primeiros números:

Percebeu o padrão? Como seria então a representação para o número 20? Seria esta ? Não, na verdade 20 era representado assim:

A concha representava o zero. Agora, observe a representação de mais alguns números depois do 20 para entender um pouco mais o sistema:

COMPARANDO SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Agora que você já conhece vários sistemas de numeração, vamos destacar e comparar algumas de suas características. As representações dos números um, dois e três Veja como elas se parecem em todos estes sistemas:

No sistema egípcio, tanto faz escrever ou . No primeiro caso, você terá 10 + 1 e, no segundo, 1 + 10, ou seja, sempre terá 11. No sistema romano, a ordem pode fazer diferença: IV é quatro e VI é seis. No sistema mesopotâmico, a posição também é fundamental. Uma pequena mudança na posição dos símbolos transforma 62 em 121!

Conclusão: os sistemas mesopotâmico e romano são posicionais, ou seja, mudando a posição dos símbolos, muda-se o número representado. Isso não acontece no sistema egípcio. O princípio aditivo Um sistema de numeração apresenta o princípio aditivo quando o número representado é a soma dos valores de cada símbolo. Assim:

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O sistema romano tem o princípio aditivo. Mas cuidado, ele também tem o princípio subtrativo.

A questão do zero Por falta do zero, os egípcios eram obrigados a usar símbolos diferentes para 10, 100, 1000, 10000, etc. Note que nós usamos apenas os símbolos 1 e 0 para todos esses números. Os mesopotâmicos também não conheciam o zero, daí a confusão na escrita dos números, em que um espaço entre os sinais podia mudar o seu valor. E as contas? Finalmente, comparando os sistemas, podemos saber se são adequados para fazer contas. No sistema egípcio, é fácil fazer algumas contas, mas é preciso escrever muito. Para fazer adições, basta juntar os símbolos e, se preciso, fazer trocas:

Dez foram trocados por um . No sistema romano, isso pode não ser válido. Veja, por exemplo, esta conta:

Não adianta juntar os símbolos. Como fazê-la, então? A verdade é que o sistema romano não era usado para fazer contas, servia apenas para registrar dados numéricos em documentos e livros. As contas eram feitas por especialistas, chamados de calculistas. Eles faziam os cálculos mentalmente ou usavam um ábaco. AFINAL OS NOSSOS NÚMEROS No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. Consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia. Ao participar de uma conferência num destes clubes, em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o fato de as pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo: ―Existem outros povos que também sabem alguma coisa! Os hindus, por exemplo, têm valiosos métodos de cálculos. São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculos são feitos por apenas nove sinais!‖. A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração – a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente. A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa. Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo. Até chegar aos números que você aprendeu a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante. Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos. Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que os árabes têm a ver com isso? E por que os símbolos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 são chamados de algarismos? Os árabes divulgam ao mundo os números hindus Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa de Bagdá, do ano 786 até 809.

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Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma séria de guerras de conquista. E como prêmios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe. Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid. Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção: ―Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu‖. Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época. Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: al-Khow. Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, al-Khowarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso! Logo, al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos seriam feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme importância que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática. Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus. Com o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu. Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos como a notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo. São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos pelo árabe al-Khowarizmi que constituem o nosso sistema de numeração decimal conhecidos como algarismo indo-arábicos.

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O MELHOR SISTEMA DE NUMERAÇÃO

As pessoas costumam preferir aquilo a que estão acostumadas. Se você mostrasse para um chinês da antigüidade o sistema de numeração egípcio ou mesopotâmico, ele continuaria preferindo o sistema chinês. Por isso, é difícil dizer qual o melhor sistema de numeração. Nós, é claro, acharíamos melhor o nosso. Entretanto, há um fato interessante: todos os sistemas de numeração que vimos acabaram desaparecendo. Foram substituídos pelo sistema que usamos e que o mundo usa. Portanto, talvez possamos dizer que nosso sistema é o melhor, não porque gostamos dele, mas porque ele substituiu os outros. É um sistema que tem o zero, é decimal e também posicional. Nosso sistema foi sendo aperfeiçoado e difundido ao longo de séculos, com a colaboração de vários povos, em especial dos árabes. Até chegar aos que conhecemos, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante:

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HISTÓRIA DA GEOMETRIA

A Ciência dos Gregos

Se nos fosse possível voltar à época de 640 a.C., na então florescente cidade de Mileto

encontraríamos um próspero comerciante, já muito famoso, por, entre outras coisas, ter predito um eclipse ocorrido em maio de 585 a.C.

Chama-se Tales, e foi posteriormente incluído entre os denominados "sete sábios da Antiguidade". Sendo comerciante, teve oportunidade de tomar contacto com a matemática dos egípcios.

A matemática egípcia tinha um caráter eminentemente prático; não era formada por um corpo de conhecimentos interligados, mas sim, por conhecimentos esparsos. Um dos poucos fragmentos de que dispomos dos conhecimentos matemáticos dos egípcios se acham no denominado papiro de Rhind, de autoria do escriba Ahmes.

Esse papiro é a assim chamado em honra a um antiquário escocês que o comprou em 1858 de um mercador da cidade de Luxor, às margens do Nilo.

Em tal papiro encontramos as seguintes palavras (sobre o objetivo mesmo): "direção para saber todas as coisas obscuras".

Euclides

Pouco se sabe com certeza da vida de Euclides. Sabemos que viveu em Bizâncio entre os anos de 485 a 410 a.C. Nesse tempo, o sábio Ptolomeu I, sucedia a Alexandre Magno no trono do Egito. Sob seus

cuidados, surgiu em Alexandria uma instituição, denominada "Museu", que congregava a maioria dos sábios da época. O Museu foi erigido ao lado do palácio real, tinha dependências residenciais, salas de aula, e de conferências, e o que é mais importante — a maior biblioteca da época. Euclides foi o primeiro diretor do Museu, e, graças a isso, pode organizar os resultados obtidos por matemáticos anteriores (Tales, Pitágoras, Eudoxo e outros).Tal organização se acha em sua imortal obra, modestamente intitulada de "Os Elementos'.

"Os Elementos" é um conjunto de 13 livros dedicados ao fundamento e desenvolvimento lógico e sistemático da geometria.

O primeiro livro trata das questões que são fundamentais para a geometria, e o seu estilo, sua ordenção, serviram de normas diretoras para todas as outras obras posteriores da matemática. Os princípios dos quais parte Euclides para edificar a geometria são as definições, os postulados e os entes primitivos.

As definições são, no ínicio, em número de 23, e ao todo, no texto, atingem 120. Por exemplo, no primeiro livro, encontramos as seguintes definições: "Ponto é aquilo que não tem partes" "Reta é o comprimento sem espessura" "Superfície é o que tem unicamente comprimento e largura" "Retas paralelas são aquela que, estando em um mesmo plano, não se encontram ao serem prolongadas indefinidamente".

Essas definições, agora nos parecem um tanto ingênuas e despidas de rigor lógico, mas tenhamos em conta a época em que foram escritas e o pioneirismo de Euclides. Adotando em seguida 10 postulados Euclides deduz seus teoremas. A partir do dia de seu aparecimento "Os Elementos" se tornou a obra clássica da Geometria, e de tal modo foi difundida que chegou a sobrepujar o seu autor, a ponto de, na Idade Média, se negar a existência física de Euclides. Os sucessores de Euclides

Depois de Euclides, dois matemáticos de gabarito apareceram em Alexandria: Apolônio e Arquimedes, sendo este último considerado uma das maiores personagens da Antiguidade.

É interessante notar-se que tanto Apolônio como Arquimedes fizeram suas investigações matemáticas dentro de um espírito platônico, isto é, na mais alta abstração dos fatos concretos que deram origem às mesmas.

Apolônio, dedicou-se principalmente ao estudo de uma família de curvas denominadas de — cônicas.

A razão desta denominação é que tais curvas resultam de um corte conveniente do cone. Dependendo da maneira como cortamos o cone, resultará uma circunferência de círculo ou uma elipse, ou uma parábola, ou ainda uma hipérbole. As curvas cônicas desempenham papel

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relevante na física e na matemática atual. As órbitas do planetas são elipses, a trajetória dos foguetes balísticos são parábolas, os espelhos dos telescópios são parabólicos, etc.

Apolônio recebeu um apelido curioso de seus discípulos, o de Épsilon, em virtude de sua sala de aula ser designada pela letra grega épsilon. Podemos dizer que Apolônio, com a sua obra, deu um "fecho de ouro" na geometria grega. Mas ele ainda não seria o último; em seguida nos encontramos com um verdadeiro gênio — Arquimedes de Siracusa.

Arquimedes — O "Newton" grego 287 AC em Siracusa, Sicília 212 AC em Siracusa, Sicília

Arquimedes, filho do astrônomo Fídeas, era nativo de Siracusa, na Sicília.

Há indícios muito fortes de que em sua juventude, Arquimedes tenha estudado com os sucessores de Euclides, em Alexandria.

Com certeza ele era completamente familiarizado com a Matemática lá desenvolvida, conhecendo pessoalmente os matemáticos daquela região. Ele mesmo mandava alguns de seus resultados para Alexandria com mensagens pessoais.

No prefácio de Sobre espirais Arquimedes nos conta uma história curiosa acerca de seus amigos em Alexandria. Ele tinha o hábito de mandar o texto de seus últimos teoremas, mas sem as demonstrações. Aparentemente alguém em Alexandria estava roubando os resultados de Arquimedes e afirmando que eram seus. Na última vez que fez isso, enviou dois resultados falsos... àqueles que afirmam descobrir tudo, mas não produzem provas de suas afirmações, podem estar enganados fingindo descobrir o impossível.

De fato, existem inúmeras referências a Arquimedes nos escritos de sua época, dada a reputação quase sem par que ele ganhou neste período. Curiosamente a razão para isso não era um interesse generalizado em Matemática, mas sim nas máquinas que inventou para serem usadas na guerra. Estas armas foram particularmente eficientes na defesa de Siracusa contra os Romanos, liderados por Marcelo.

Escreve Plutarco:

... quando Arquimedes começou a manejar suas máquinas, ele de uma só vez atirou contra as forças terrestres todos os tipos de mísseis, e imensas massas de rocha que caíram com barulho e violência inacreditáveis, contra as quais nenhum homem poderia resistir em pé ...

Outras invenções de Arquimedes, como a polia composta, também colaboraram para que sua fama se perpetuasse. Novamente citando Plutarco:

[Arquimedes] afirmou [em uma carta ao Rei Hierão] que, dada uma força, qualquer peso poderia ser movido, e até mesmo se gabando, disse que se houvesse outra Terra, esta poderia ser movida. Hierão maravilhou-se com isto e pediu uma demonstração prática. Arquimedes tomou um dos navios da frota do rei - que não podia ser movido a não ser por muitos homens - carregou-o com muitos passageiros e lotou-o de carga. Arquimedes colocou-se a distância e puxou as polias, movendo o navio em linha reta suavemente, como se estivesse no mar.

Mesmo tendo Arquimedes obtido fama por suas invenções mecânicas, ele acreditava que a Matemática em sua forma mais pura era a única coisa que valia a pena.

As conquistas de Arquimedes são de tirar o fôlego. Ele é considerado por muitos historiadores como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele chegou a aperfeiçoar um método de integração que permitia calcular áreas, volumes e áreas de superfícies de muitos corpos.

Arquimedes foi capaz de aplicar o método da exaustão, que é uma forma primitiva de integração, para obter uma vasta gama de resultados importantes, alguns dos quais chegaram até os dias de hoje.

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Em Medidas do círculo Arquimedes mostra que o valor exato de situa-se entre 310/71 e 31/7. Ele obteve este resultado circunscrevendo e inscrevendo um círculo com polígonos regulares com 96 lados!

Arquimedes foi morto em 212 AC durante a captura de Siracusa pelos Romanos na segunda guerra Púnica, depois que todos seus esforços para manter os romanos na baía com suas máquinas de guerra falharam.

O Período de Tales a Diofanto

A história da civilização grega tem suas origens mais remotas nas invasões de povos bárbaros (dórios, aqueus, jônios e eólios), responsáveis pela fundação das primeiras cidades-estados, na península balcânica, por volta do segundo milênio A.C. Estes povos foram conquistando as civilizações ali estabelecidas e avançando em direção à ilha de Creta, o Peloponeso, situado ao extremo sul, além da cidade de Tróia na costa oeste da Ásia Menor, região na qual se destacariam muitos dos principais matemáticos gregos tais como Tales de Mileto( 624-548 A.C.) e Pitágoras de Samos(570-490 A.C.).

O período histórico da civilização grega teria início consolidado, por volta de 800 A.C., o que historicamente compreende ao período homérico, em homenagem as tábuas literárias de Homero, um dos principais poetas da Grécia antiga.

Figura 1- Mapa da Grécia Antiga

Os povos invasores iletrados, em sua maioria, não trouxeram tradição matemática consigo, no entanto, a necessidade de estabelecer um comércio marítimo competitivo, uma agricultura diversificada e armamentos militares eficientes, fê-los desabrochar o espírito científico. Com este objetivo, negociantes, mercadores e estudiosos se dirigiram, possivelmente, aos centros de

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cultura no Egito e Babilônia, onde em contato com uma matemática pré-helênica, a assimilaram e estabeleceram novos métodos de análise, muitas vezes sob uma ótica geométrica.

Em 600 A.C. colônias gregas podiam ser encontradas ao longo dos mares Negro, Egeu, Jônico e Mediterrâneo (Figura 1), e dentre elas destacou-se a Jônia, na costa oeste da Turquia, excelente para o comércio marítimo. Neste contexto, surgem as figuras de dois dos principais matemáticos gregos: Tales de Mileto e Pitágoras de Samos, responsáveis pelo impulso inicial que faria da matemática grega um marco nos conceitos de geometria, aritmética e álgebra.

Tales de Mileto, era filósofo, astrônomo e matemático, e seu mérito reside na elaboração dedutiva de teoremas sobre geometria plana. Não há documentos de sua época que possam indicar com certeza a veracidade deste feito, porém, Próclus( 410-485 D.C. ) nas páginas iniciais de seu comentário sobre o primeiro livro de Euclides (300 A.C.. ?), faz observações introdutórias sobre a origem da geometria no Egito e que, possivelmente, Tales tenha despertado seu interesse pelo assunto após viagens à terra dos faraós. Sabe-se, atualmente, que grande parte da geometria praticada por ele era familiar aos babilônios um milênio antes de sua era.

A escola pitagórica, cujo lema era "Tudo são números", teve seu reconhecimento pelos estudos realizados sobre certas propriedades implícitas entre números e figuras geométricas, tais como números quadrados, triangulares, e secção áurea, e este último relacionado com a figura do pentagrama, símbolo secreto de sua irmandade.

De todo o conhecimento atribuído aos pitagóricos, o mais importante foi decorrente do teorema de Pitágoras. Através deste teorema, Pitágoras observou que nem toda soma de números quadrados resultaria em hipotenusas mensuráveis. Este fato causou uma crise filosófica na irmandade, levando-os a descoberta da incomensurabilidade, muito embora um estudo minucioso do assunto só seria realizado por Euclides séculos mais tarde.

Fundada em Croton( atual Crotona), região sul da Itália, a escola pitagórica tinha um caráter conservador e uma linha de conduta rígida, além de aristocrática e antidemocrática. Todos eles elementos inaceitáveis a democracia, levou Pitágoras a refugiar-se em Metaponto, no golfo de Tarento, nordeste da Itália, onde morreu em 490 A.C. Cerca de cinquenta anos mais tarde, uma violenta revolução pró-democrática ocorreu nas cidades da costa sul da Itália, a Ordem Pitagórica foi atacada e suas casas de reunião destruídas. Contudo, muitos de seus membros conseguiram escapar, refugiando-se em Tarento e Filiasos, na Grécia ocidental. Após a censura da escola pitagórica, alguns discípulos continuaram seus estudos, porém com menor freqüência.

O pensamento científico grego iniciado na Jônia, não ficou restrito a ela por muito tempo. A difusão das idéias pitágoricas se estenderam por toda a costa do mediterrâneo. Neste período surgem as cidades de Atenas e Esparta. A primeira, fundada pelos jônios, localizada em Ática, na região sudeste da Grécia, e a segunda, fundada pelos dórios, na Lacônia, ao sul do Peloponeso. Estas cidades mantinham regimes políticos antagônicos: Atenas era democrática e em contrapartida Esparta adotava o regime militar como modelo político e disciplinar de seus cidadãos.

Paralelamente a estes acontecimentos a Pérsia havia se tornado um grande império militar e, seguindo o programa expansionista inevitável ditado por uma economia baseada na escravidão, em 480 A.C., tropas lideradas por Xerxes, filho de Dario, invadiram a Grécia por terra e mar. Porém, os atenienses saíram vencedores na Batalha naval de Salamina. A hegemonia de Atenas se consolidava e como conseqüência os cinquenta anos seguintes foram de paz. Esse clima favorável atraiu matemáticos de todas as regiões da Grécia, desde a Jônia( Mileto e Samos) até Tarento, ao sul da Itália, região então chamada de Magna Grécia. Foi neste período que Anaxágoras( 500- 428 A.C.), o último membro em evidência da escola jônia, Zeno( 490- 430 A.C.) e Parmênides ( 450-? A .C.) da escola eleática e Hipócrates de Quio( 450-? A.C.), estabeleceram-se em Atenas, onde fundaram diversas escolas matemáticas, levando Atenas à categoria de maior centro de difusão científica grego, posição esta mantida até o surgimento do instituto Museu de Alexandria em 300 A.C.

Zeno, discípulo de Parmênides fazia parte do pensamento filosófico eleático que tinha por objetivo se opor ao paradigma filosófico da então extinta ordem pitagórica. Sua linha de raciocínio viria a levar seus contemporâneos a refutarem sobre questões tais como a desvinculação da "unidade de posição ou espaço" da "unidade geométrica" ou mensurável, tendo em vista a incógnita deixada pelos pitagóricos sobre a questão da incomensurabilidade. Com a pretensão de tornar seu ponto de vista lógico e aceitável entre a comunidade científica, ele propôs alguns

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paradoxos com os quais conseguiria sufocar o pensamento pitagórico. Dentre eles, destaca-se : Dicotomia, Aquiles, Flecha e Estádio.

Anaxágoras de Clazomene, foi professor do estadista Péricles cujos esforços levaram Atenas ao esplendor de sua democracia além de torná-la a maior potência econômica dentre as cidades-estados. Esta aproximação, entre mestre (Anaxágoras) e aluno ( Péricles), contribuiu para que se estabelecesse uma certa amizade entre eles. Esta amizade ajudou-o a livrar-se de uma pena por ofensa a uma divindade: o Sol. Anaxágoras, afirmava que "o Sol, a Lua, e as estrelas foram arrancados da Terra e aquecidos por fricção enquanto giravam no redemoinho de matérias". Sua visão científica era aparentemente lógica e racional, porém, ele restringiu-se mais a uma atividade filosófica que a matemática. Durante seu período na prisão, ocupava-se tentando quadrar um círculo, ou seja, desejava encontrar um quadrado de área igual à de uma dado círculo. Observa-se aqui, a primeira menção de um problema que iria desafiar os matemáticos por mais de dois milênios. A este problema foram somados outros dois: a duplicação do cubo ( construção de um cubo cujo volume seja o dobro de um dado cubo) e a trissecção de uma dado ângulo( a partir de um dado ângulo encontrar a sua terça parte). Estes três problemas constituíram os três famosos problemas matemáticos da antigüidade, e deveriam, segundo a tradição, serem resolvidos somente usando régua (sem escala) e compasso. Anaxágoras, provavelmente não chegara a resolver nenhum deles, porém, diversos matemáticos de sua era se empenharam em determiná-los, dentre eles destaca-se Hipócrates, Hípias de Elis ( 425 A.C.), além do pitagórico Arquitas( 400 A.C.).

A importância deste problemas reside no fato de que eles não podem ser resolvidos, a não ser aproximadamente, utilizando os recursos permitidos. A busca incessante em solucioná-los influenciou profundamente a geometria grega em descobertas tais como as secções cônicas( Apolônio 240-174 A.C.) além de diversas curvas cúbicas. Enquanto isso, no cenário político, as cidades gregas sentiam-se ameaçadas pelo imperialismo econômico ateniense, culminando em 431 A.C. na Guerra do Peloponeso que levou Esparta ao domínio das cidades-estado de 404 A.C. a 371 A.C. . Durante este período pouco progresso científico desenvolveu-se em Atenas. Diversos matemáticos encontraram refúgio na Magna Grécia onde a convivência pacífica favorecia a produção científica. Surge neste período, em Tarento , uma escola neo-pitagórica sob a influência de Arquitas, a quem se atribiui a solução tridimensional do problema de Delos( duplicação do cubo).

Em viagem à ilha de Sicília, ao sul da Itália, Arquitas teria se encontrado com Platão(427-347 A.C.). Foi neste encontro que, possivelmente, Platão tenha tomado ciência da existência dos cinco sólidos geométricos regulares (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro), sólidos estes que o levaria a escrever um diário entitulado Timaeus, onde associava-se estes poliedros a fenômenos de natureza física tais como seco, quente, úmido e frio, além de associá-lo ao corpo humano. Como conseqüência os poliedros regulares passariam a ser designados, atualmente, por sólidos de Platão.

Em sua academia, em Atenas, Platão pregava a importância da geometria para a educação do cidadão, que é confirmado pela frase: "Que ninguém que ignore a geometria entre aqui ". Sua linha de pensamento filosófico sobre os mais diversos assunto tais como política, astronomia e matemática sustentada pelos suas obras literárias influenciaria por séculos os mais variados ramos da ciência. Após a sua morte em 347 A.C., ao oitenta anos, seus discíplos Eudoxo de Cnico( 400-347 A.C) e Menaecno( 350-? A.C.) contribuiriam para perpetuar sua obra. Uma década após a morte de Platão, iniciaram-se conflitos internos em oposição ao regime político espartano. Como conseqüência, estes conflitos contribuíram paulatinamente para enfraquecer os exércitos responsáveis pela guarda das fronteiras localizadas ao norte da Grécia, por onde os exércitos do rei Filipe da Macedônia penetraram com facilidade em território grego. Em 338 A.C., o império macedônico já se estendia de norte ao sudeste da Grécia, e dirigindo-se ao sul, visando a conquista das três principais cidades-estados: Atenas, Esparta e Tebas . As cidades gregas de Atenas e Tebas, sentindo-se ameaçadas, uniram-se na tentativa desesperada da defesa de seus territórios, porém, foram derrotados na famosa Batalha de Queronéia, que marca a rendição da Grécia ao império macedônico. Dois anos após a anexação da Gréçia ao império Macedônico, o rei Filipe é assassinado, e seu filho, Alexandre , que fora aluno de Aristóteles ( 384-322 A.C) assume o trono. Durante os dezesseis em esteve no poder, Alexandre conseguiu estender seu império desde a Ásia Menor até o Indo (Índia) e do Egito a Mesopotânia. No Egito, em 332 A.C., fundou a cidade de Alexandria (Figura 2), com o objetivo de ampliar as

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rotas de comércio marítimo. Porém, em 323 A.C., Alexandre, aos 32 anos, morre subitamente, sem que se determinasse o seu futuro sucessor e sem que realizasse seu grande sonho, unir o Oriente e o Ocidente num só império. A morte do imperador macedônico, e a conseqüente vacância do trono, levou a disputa do poder entre seus generais que desmembraram o império em quatro grandes regiões: Macedônia, Síria, Egito e Pérgamo. O controle da região Egipícia foi designado a Ptolomeu I Sóter que realizou diversas obras com o intuito de tornar a capital, Alexandria, uma importante cidade portuária.

A excelente administração ptolomaica aliada à localização privilegiada de Alexandria, contribuíram para elevá-la, em apenas três décadas após a sua fundação, a um próspero e atrativo centro de comércio marítimo. Como conseqüência, por volta de 300 A.C., Alexandria já contava com cerca de 500.000 habitantes.

Figura 2. Localização da cidade de Alexandria

Sem sombra de dúvida a maior obra no campo científico atribuída a administração de Ptolomeu I foi a construção do instituto Museu de Alexandria, constituído de jardins botânico, zoológico, escola de medicina, observatório astronômico, biblioteca e centros de estudos, para onde foram convidados a trabalhar aos maiores estudiosos nos mais variados ramos da ciência (matemática, astronomia, geografia, medicina e filosofia) do século III A.C., dentre eles destacaram-se Euclides, Eratóstenes( 276-175 A.C.), Arquimedes( 287-212 A.C.) e Apolônio( 260-185 A.C.). Estes geniais pesquisadores, cada qual em seu campo de estudo, fariam de Alexandria o maior centro de estudos científicos por cerca de sete séculos( 300 A.C.– 415 A.C).

A escola de matemática de Alexandria, foi possivelmente fundada por Euclides, onde trabalhou como professor e pesquisador. É provável que sua formação intelectual tenha se dado na escola platônica, em Atenas. Este célebre professor foi autor de pelo menos dez trabalhos, nas áreas de matemática (geometria), astronomia, óptica e teoria matemática aplicada à música. Porém, devido aos quatro grandes incêndios (de 46 a.C., 329 d.C, 415 d.C. e 640 D.C.) que se alastraram por toda a Alexandria e que, infelizmente, atingiu grande parte da biblioteca, somente cinco trabalhos de Euclides, resistiram ao tempo: Os Elementos, Os dados, Divisão de Figuras, Os fenômenos e Óptica. Dentre essas cinco obras, Os Elementos, daria a Euclides o devido reconhecimento pelo seu notável trabalho sobre matemática elementar (aritmética, geometria e álgebra geométrica) desenvolvido numa seqüência lógica postulacional contido em treze livros. Nenhuma outra obra, exceto a Bíblia foi tão amplamente estudada, foram mais de mil edições desde a primeira delas em 1482 cujo conteúdo baseava-se numa obra (revisada) pelo comentador Theon de Alexandria ( 390-? d.C.).

O impacto causado pelo rigor matemático euclidiano transformou Os Elementos em uma obra incontestável por toda a idade média e moderna, compreendendo um período de mais de

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dois milênios. Somente em 1829, Lobachewsky, um proeminente matemático russo da Universidade de Cazan publica um artigo questionando a validade da definição de retas paralelas contida no Livro I postulado V de Os Elementos, surge então a geometria não-euclidiana.

Apesar de, atualmente, dispormos de grande parte das obras atribuídas a Euclides, peculiaridades tais como onde nascera ou mesmo quando e sob que condições morrera são incógnitas ainda indesvendáveis pelos historiadores.

Durante os três primeiros séculos de atividades científicas grega (600 a 300 A .C.), grande parte dos matemáticos ocuparam-se em desenvolver uma matemática de cunho abstrato com forte tendência filosófica, influenciados principalmente por Platão.

A matemática de cunho prático, repudiada por Platão, obteve seu espaço, por volta de 250 a.C., com as invenções mecânicas de Arquimedes, dentre as quais destaca-se a famosa bomba de água em forma de um parafuso, alavancas e espelhos parabólicos refletores.

Arquimedes nasceu por volta de 287 a.C., em Siracusa, na ilha de Sicília, ao extremo sul da Itália e onde morreu, em 212 a.C., durante a Segunda Guerra Púnica liderada pelo general romano, Marcelo. Sua biografia é, de certa forma, melhor documentada que a de Euclides, graça ao profundo respeito com que o general Marcelo teve para com seu engenhoso adversário. Os historiadores romanos relatam que Marcelo deu ordens a seus soldados para que poupassem a vida de tão ilustre matemático. Porém Arquimedes acabara morto ao proteger uma de suas obras em fase de construção. Marcelo, após tomar ciência, lamentou profundamente o fato, pois o genial siracusano poder-lhe-ia ser de grande valia para projetos de engenhos de guerra. O general romano, então, apoderou-se de seus inventos e manuscritos. E ainda, segundo os historiadores romanos, Arquimedes em uma suas obras manifestara o desejo de que fosse gravado em seu túmulo a figura de uma esfera inscrita em um cilindro circular reto da qual se orgulhara pela descoberta. Marcelo, então, providenciou que o maior desejo do mestre fosse atendido.

Muitas outras "histórias" pitorescas sobre a vida de Arquimedes estão contidas na obra do arquiteto romano Marcus Vitrúvius que viveu no século I A.C.. E dentre elas, conta-se que o rei Heirão II, governante de Siracusa, autorizou a construção de um navio que, por erros de projeto, era pesado demais para ser lançado ao mar. Arquimedes com um conjunto de polias e alavancas conseguiu realizar a tarefa com um mínimo de esforço. Orgulhoso do feito, ele teria dito a sua mais famosa frase: "Dê-me uma alavanca que eu moverei a Terra".

É evidente que, atualmente, estudantes de ensino médio e superior associem Arquimedes apenas às "histórias" relatadas por Marcus Vitrúvius. Felizmente, este ponto de vista é totalmente equivocado. Este genial mecanicista, era extremamente versátil; dominava tanto a matemática utilitária quanto a abstrata. Seus trabalhos sobre geometria e físico-matemática são verdadeiras obras-primas, escritas com grande originalidade. Cerca de dez de seus trabalhos se preservaram, e dentre esses, Sobre Espirais, é considerada a mais admirada, porém de difícil interpretação.

Em Sobre as Espirais, Arquimedes expõem. novos métodos de resolução para a trissecção do ângulo e quadratura do círculo auxiliados por uma espiral, r a , cuja descoberta atribuí-se a Cônon de Alexandria. Apesar de sua contribuição na resolução dos três famosos problemas da geometria, seu maior mérito nesta obra reside no cálculo das áreas associadas à espiral, utilizando o método da exaustão criado por Eudoxo. Através deste método Arquimedes calculou a área de um segmento parabólico utilizando sucessivas divisões de triângulos inscritos ao segmento. Portanto, nota-se aqui, a primeira menção de um método análogo à moderna integração que somente surgiria com o devido rigor matemático em meados do século XIX, nos trabalhos de Cauchy e Riemann.

História da matemática no Egito

A cultura egípcia se desenvolveu no noroeste da África, no vale do rio Nilo, desde

aproximadamente o ano 3200 a.C. até os primeiros séculos da era cristã. Ele manteve-se em isolamento, protegido naturalmente de invasões estrangeiras devido a sua geografia, governado pacífica e quase ininterruptamente por uma sucessão de dinastias.

Os egípcios desenvolveram três formas de escrita. A mais antiga, usada pelos sacerdotes em monumentos e tumbas, foi chamada hieroglífica. Desta, deriva uma forma cursiva, usada nos papiros, chamada hierática da qual resulta, mais tarde, a escrita demótica, de uso geral.

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Em 1799, durante a campanha de Napoleão no Egito, engenheiros franceses escavando o solo, perto do braço Roseta do delta do Nilo, encontraram um fragmento basáltico polido que iria propiciar a decifração da escrita egípcia. Essa pedra (conhecida como Pedra de Roseta) contém inscrições com uma mensagem repetida em hieroglíficos, em caracteres demóticos e em grego. Tomando o grego como chave foi possível decifrar a escrita egípcia.

A grande pirâmide é a maior das três pirâmides situadas no deserto, em Gizé, nas proximidades da atual Cairo. Essas imensas estruturas foram construídas como túmulos reais. Os egípcios acreditavam numa vida após a morte que dependia da conservação do corpo. Embalsamavam-se então os corpos, e os objetos e valores do dia-a-dia eram colocados no túmulo para uso após a morte. Notamos na construção das pirâmides, uma perícia profunda na arte da engenharia.

Os egípcios começaram cedo a se interessar pela astronomia e observaram que a inundação anual do Nilo tinha lugar pouco depois que Siriús, a estrela do cão, se levantava a leste logo antes do sol. Observando que esses surgimentos heliacais de Siriús, o anunciador da inundação, eram separados por 365 dias, os egípcios estabeleceram um bom calendário solar feito de doze meses de trinta dias cada um e mais cinco dias de festa no final do ano.

Dois papiros são as fontes principais de informações referentes à matemática egípcia antiga. O papiro Golonishev ou de Moscou datado aproximadamente no ano 1850 a.C. onde encontramos um texto matemático que contém 25 problemas e o papiro Rhind (ou Ahmes) datado aproximadamente no ano 1650 a.C. onde encontramos um texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo.

O papiro Rhind descreve os métodos de multiplicação e divisão dos egípcios, o uso que faziam das frações unitárias, o emprego da regra da falsa posição, a solução para o problema da determinação da área de um círculo e muitas aplicações da matemática a problemas práticos.

O sistema de numeração utilizado pelos egípcios era o sistema de agrupamento simples com base 10.

Todos os 110 problemas incluídos nos papiros de Moscou e de Rhind são numéricos, a maioria tem aparência prática e lida com questões sobre a distribuição de pão e cerveja, sobre balanceamento de rações para gado e aves domésticas e sobre armazenamento de grãos. Estes problemas foram formulados claramente com o intuito de servirem como exercícios para os estudantes, mas não tem uma finalidade utilitária. Para muitos desses problemas a resolução não exigia mais do que equação linear simples, mas há alguns de natureza teórica, que tratam, por exemplo, de progressões aritméticas e geométricas.

Vinte e seis dos 110 problemas dos papiros Moscou e Rhind são geométricos. Muitos deles decorrem de fórmulas de mensuração necessária para cálculo de áreas de terras e volumes

de grãos. A área de um círculo é tomada igual à de um quadrado de lado igual a do diâmetro, o que eqüivale, na notação atual a tomar uma aproximação para igual a 3,16. Conheciam também a fórmula para o cálculo da área de triângulos e retângulos e do volume do cilindro reto e do tronco de pirâmide de bases quadradas e área de um triângulo qualquer. Curiosidade:

A multiplicação e a divisão dos egípcios eram efetuadas por uma sucessão de duplicações. Como exemplo de multiplicação achemos o produto de 12 por 27. A multiplicação é efetuada duplicando 12 até que a soma das duplicações exceda 27.

Escolhemos, na coluna da esquerda, números que somados dêem 27:

Tomamos, na coluna da direita, os valores correspondentes e também os somamos:

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Este número é o resultado da multiplicação:

Para efetuar a divisão de 184 por 8 procedemos assim,

Dobramos sucessivamente o divisor 8 até que o número de duplicações exceda o dividendo 184. Escolhemos, na coluna da direita, números que somados dêem 184:

Tomamos, na coluna da esquerda, os valores correspondentes e somando-os, temos:

Este é o resultado da divisão:

A matemática na Babilônia

A Mesopotâmia é uma região situada no Oriente Médio, no vale dos rios Eufrates e Tigre.

Ela foi habitada inicialmente pelos sumérios, que desenvolveram um sistema de escrita, em torno do quarto milênio a.C., que pode ser o mais antigo da história da humanidade. Eles escreviam usando cunhas em tabulas de argila cozida, dando origem a um tipo de caracteres chamados cuneiformes.

Ao longo do tempo, esta região foi invadida por diversos grupos humanos, que absorveram a cultura local: amoritas, cassitas, elamitas, hititas, assírios, medos e persas. As antigas civilizações que habitavam a Mesopotâmia são chamadas, freqüentemente, de Babilônios.

O sistema de numeração utilizada era o sistema de agrupamento simples de base 10 para números menores do que sessenta e um sistema posicional que podia ter base 10 ou base 60 para números maiores.

Muitos processos aritméticos eram efetuados com a ajuda de tábuas: de multiplicação, de inversos multiplicativos, de quadrados e cubos e de exponenciais. As tábuas de inversos eram usadas para reduzir a divisão à multiplicação.

A geometria babilônia se relacionava com a mensuração prática. Eles deviam estar familiarizados com as regras gerais de cálculo da área do retângulo, do triângulo retângulo e do triângulo isósceles, de um trapézio retângulo e do volume de um paralelepípedo reto-retângulo e, mais geralmente, do volume de um prisma reto de base trapezoidal. Tinham também uma fórmula para calcular perímetro da circunferência que eqüivale, na nossa notação atual, a aproximar pelo

número . Conheciam o volume de um tronco de cone e o de um tronco de pirâmide quadrangular regular.

Sabiam que os lados correspondentes de dois triângulos retângulos semelhantes são proporcionais, que um ângulo inscrito numa semi-circunferência é reto, dividiram a circunferência em 360 partes iguais e conheciam o Teorema de Pitágoras.

A marca principal de geometria é seu caráter algébrico. Os problemas mais obscuros expressos em terminologia geométrica são essencialmente problemas de álgebra não-triviais. Há problemas geométricos que levam a equações quadráticas, outros levam a sistemas de equações simultâneas e a equações cúbica.

Sua álgebra era bem desenvolvida. Não só resolviam equações quadráticas, seja pelo método equivalente ao da substituição numa fórmula geral, seja pelo método de completar

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quadrados, como também discutiam algumas cúbicas (grau três) e algumas biquadradas (grau quatro).

Os babilônios deram algumas aproximações interessantes de raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos.

Dentre as tábuas matemáticas babilônicas encontramos a chamada Plimpton

escrita aproximadamente entre 1900 e 1600 a.C.. Ela consiste de três colunas praticamente completas de caracteres que contém ternas pitagóricas; isto é números que representam a medida da hipotenusa e de um cateto de triângulos retângulos cujos três lados têm medida inteira. O primeiro registro das equações polinomiais do 2.o grau foi feita pelos babilônios. Eles tinham uma álgebra bem desenvolvida e resolviam equações de segundo grau por métodos semelhantes aos atuais ou pelo método de completar quadrados. Como as resoluções dos problemas eram interpretados geometricamente não fazia sentido falar em raízes negativas. O estudo de raízes negativas foi feito a partir do século XVIII. Como eles não utilizavam coeficientes negativos, precisavam distinguir diferentes casos possíveis:

O caso com p e q positivos obviamente não teria solução. Na Grécia, a matemática tinha um cunho filosófico e pouco prático. Euclides, nos Elementos resolve equações polinomiais do 2.o grau através de métodos geométricos.

Diophanto contribuiu para mais um avanço na busca da resolução de equações do 2.o grau ao apresentar uma outra representação da equação introduzindo alguns símbolos, pois até então a equação e sua solução eram representados em forma discursiva.

Na Índia as equações polinomiais do 2.o grau era resolvidas completando quadrados. Esta forma de resolução foi apresentada geometricamente por Al-Khowârizmî, no século IX. Eles descartavam as raízes negativas, por serem "inadequadas" e aceitavam as raízes irracionais. Tinham também uma "receita" para a solução das equações de forma puramente algébrica. A abordagem chinesa para a resolução destas equações foi o método fan-fan, publicado por Zhu Shijie (também chamado de Chu Shih-Chieh), no século XIII, no seu Tratado das Nove Seções. O método foi redescoberto no século XIX, pelos ingleses William George Horner e Theophilus Holdred e, um pouco antes, pelo algebrista italiano Paolo Ruffini . O método fan-fan ficou conhecido na Europa como método de Horner. Na verdade, ele já tinha sido antecipado por Isaac Newton em 1669.

No século XVI, François Viéte utilizou-se de simbolismo para representar equações dando um carater geral. OBSERVAÇÃO: No Brasil, costuma-se chamar de fórmula de Bhaskara à fórmula que dá as soluções da equação do segundo grau. Além de ser historicamente incorreto, esta nomenclatura não é usada em nenhum outro país (veja a respeito a Revista do Professor de Matemática, 39(1999), p. 54).

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Pitágoras

Pitágoras nasceu em Samos, uma das ilhas do Dodecaneso na Grécia e provavelmente recebeu instrução matemática e filosófica de Tales e de seus discípulos. Após viver algum tempo entre jônicos, viajou pelo Egito e Babilônia – possivelmente indo até a Índia. Durante suas peregrinações, ele absorveu não só informações matemáticas e astronômicas como também muitas i déias religiosas. Quando voltou ao mundo grego, Pitágoras estabeleceu-se em Crotona, na Magna Grécia

(na costa sudoeste da atual Itália), onde fundou a Escola Pitagórica dedicada a estudos religiosos, científicos e filosóficos. À Pitágoras são atribuídas várias descobertas sobre as propriedades dos números inteiros, a construção de figuras geométricas e a demonstração do teorema que leva seu nome (cujo enunciado já era conhecido pelos babilônios). Os próprios termos Filosofia (amor a sabedoria) e Matemática (o que é aprendido) seriam criações de Pitágoras para descrever suas atividades intelectuais.

Os membros da Escola Pitagórica recebiam uma educação formal, onde constavam quatro disciplinas: Geometria, Aritmética, Astronomia e Música, que constituíram as artes liberais e cujo conteúdo tornou-se conhecido na Idade Média como o Quadrivum, que era considerado a bagagem cultural necessária de uma pessoa bem educada. Os pitagóricos elevaram a matemática à categoria das ciências liberais, isto é, tornaram-na independente das necessidades práticas e a transformaram em uma atividade puramente intelectual.

Na filosofia pitagórica afirmava-se que Tudo é número, ou seja, na concepção cosmogônica dos primeiros pitagóricos, a extensão era descontínua, constituída de unidades indivisíveis separadas por um intervalo. Esta idéia provinha do estudo dos números naturais, quando aplicada aos objetos geométricos requeria que todas as medidas pudessem ser expressas na forma de razão de inteiros, isto é, pudessem ser mensuradas, tendo por base um segmento fixado como unitário. Mas eles notaram que a diagonal de um quadrado cujos lados

medem uma unidade é igual a e que este número é incomensurável (hoje chamamos de números irracionais esses números). Esta descoberta foi recebida com grande consternação pelos pitagóricos, pois em certo sentido contrariava as crenças da escola e seria uma imperfeição da divindade.

No estudo de sons musicais em cordas esticadas (com a mesma tensão relativa), descobriram as regras que relacionavam a altura da nota emitida com o comprimento da corda, concluindo que as relações que produziam sons harmoniosos seguiam a proporção dos números

inteiros simples do tipo , etc.. Assim, Pitágoras concluiu que havia uma música que representava as relações numéricas da natureza e que constituía sua harmonia interior.

Entre as descobertas sobre a matemática atribuídas aos pitagóricos podemos citar: a classificação dos números em: primos e compostos, pares e ímpares, amigos, perfeitos e figurados; o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum; que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos; se um polígono tem n lados, então a soma dos ângulos internos do polígono é igual a (2n - 4) ângulos retos.

Também desenvolveram métodos geométricos para demonstrar diversas identidades algébricas e estudaram os sólidos regulares: tetraedro, o cubo e o dodecaedro.

O símbolo que representava os pitagóricos era o pentagrama ou pentágono estrelado, isto devido às propriedades desta figura, pois ao desenharmos um pentágono regular e traçarmos as suas diagonais, veremos que elas se cruzam e formam um novo pentágono interior ao anterior. A interseção de duas diagonais divide a diagonal de uma forma especial chamada pelos gregos de divisão em média e extrema razão e que conhecemos também como secção áurea.

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Curiosidade:

Os pitagóricos estudavam à natureza dos números, e baseado nesta natureza criaram sua filosofia e modo de vida.

Vamos definir números pares e ímpares de acordo com a concepção pitagórica: par é o número que pode ser dividido em duas partes iguais, sem que uma unidade fique no meio, e ímpar é aquele que não pode ser dividido em duas partes iguais, porque sempre há uma unidade no meio

Uma outra caracterização, nos mostra a preocupação com à natureza dos números: número par é aquele que tanto pode ser dividido em duas partes iguais como em partes desiguais, mas de forma tal que em nenhuma destas divisões haja uma mistura da natureza par com a natureza ímpar, nem da ímpar com a par. Isto tem uma única exceção, que é o princípio do par, o número 2, que não admite a divisão em partes desiguais, porque ele é formado por duas unidades e, se isto pode ser dito, do primeiro número par, 2.

Para exemplificar o texto acima, considere o número 10, que é par, pode ser dividido como a soma de 5 e 5, mas também como a soma de 7 e 3 (que são ambos ímpares) ou como a soma de 6 e 4 (ambos são pares); mas nunca como a soma de um número par e outro ímpar. Já o número11, que é ímpar pode ser escrito como soma de 8 e 3, um par e um ímpar. Atualmente, definimos números pares como sendo o número que ao ser dividido por dois têm resto zero e números ímpares aqueles que ao serem divididos por dois têm resto diferente de zero. Por exemplo, 12 dividido por 2 têm resto zero, portanto 12 é par. Já o número 13 ao ser dividido por 2 deixa resto 1, portanto 13 é ímpar.

Os pitagóricos desejavam compreender a natureza íntima dos números, então elaboraram os números figurados que são números expressos como reunião de pontos numa determinada configuração geométrica, isto é, a quantidade de pontos representa um número, e estes são agrupados de formas geométricas sugestivas. Os diagramas abaixo trazem alguns números figurados.

números triangulares

números quadrados

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números pentagonais

Enunciaremos e provaremos alguns teoremas relativos a números figurados, como era feito pelos pitagóricos:

Teorema I: O número triangular é igual à soma dos n primeiros inteiros positivos.

Teorema II: Todo número quadrado é a soma de dois números triangulares sucessivos. Observamos que um número quadrado na sua forma geométrica, pode ser dividido como na figura abaixo.

Vamos fazer a prova do teorema algebricamente. Seja o enésimo número triangular , dado pela soma da progressão aritmética,

,

seja o enésimo número quadrado igual à . Temos

Teorema III: o enésimo número pentagonal é igual a n mais três vezes o (n-1) - ésimo número triangular.

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Seja o enésimo número pentagonal, , dado pela soma de uma progressão aritmética.

Teorema III: A soma dos n primeiros inteiros ímpares, começando com 1, é o quadrado de n.

Calculando a soma da progressão aritmética, temos:

que demonstra o teorema.

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O início da trigonometria

As origens da trigonometria são incertas. É possível encontrar problemas que envolvem a co-tangente no Papiro Rhind e uma notável tábua de secantes na tábua cuneiforme babilônica Plimpton 332.

O desenvolvimento da trigonometria está bastante ligado à astronomia. Os astrônomos babilônicos dos séculos IV e V a.C. obtiveram várias informações que foram transmitidas para os gregos, foi essa astronomia primitiva que deu origem à trigonometria esférica.

Foram os gregos que pela primeira vez fizeram um estudo das relações entre ângulos (ou arcos) num círculo e os comprimentos que subtendem. Nas obras de Euclides já existiam teoremas equivalentes a leis ou fórmulas trigonométricas. Em Os elementos é possível encontrar as leis do cosseno para ângulos obtusos e agudos, respectivamente, nas Proposições II.12 e II.13, porém enunciadas em linguagem geométrica.

Hiparco de Nicéia ganhou o direito de ser chamado "o pai da trigonometria" pois na segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros que se ocupa da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, uma tábua de cordas, Ptolomeu também

construiu uma tabela de cordas que fornece o seno dos ângulos de a com incrementos de 15". Evidentemente Hiparco fez estes cálculos para usá-los em sua astronomia.

Também parece ter sido Hiparco o primeiro a dividir o círculo em na sua tábua de cordas. Talvez ele tenha tomado a idéia de Hipsicles que dividiu o dia em 360 partes (inspirado na astronomia babilônica).

Teon de Alexandria menciona um tratado de Cordas num círculo em seis livros, escrito por Menelau de Alexandria, que assim como vários outros de seus tratados se perdeu. Felizmente o seu tratado Sphaerica, em três livros, se preservou numa versão árabe. No Livro I estabelece uma base teórica para estudo dos triângulos esféricos assim como Euclides fez para os triângulos planos, como teoremas usuais de congruência e teoremas sobre triângulos isósceles entre outros. Além disso, contém um teorema que não possui um análogo euclidiano, dois triângulos esféricos são congruentes quando os ângulos correspondentes são iguais (ele não fazia distinção entre triângulos esféricos congruentes e simétricos). Estabelece-se também o fato

de que a soma dos ângulos de um triângulo esférico é maior que . O Livro II contém teoremas de interesse da astronomia e no livro III desenvolve-se a trigonometria esférica através da proposição conhecida como teorema de Menelau: se uma transversal intercepta os lados BC, CA, AB de um triângulo ABC nos pontos L, M, N, respectivamente, então:

Analogamente na trigonometria esférica ao invés de uma transversal temos um círculo

máximo transversal interceptando os lados BC, CA, AB de um triângulo esférico ABC, respectivamente nos pontos L, M, N e a conclusão correspondente é:

Porém a mais influente e significativa obra trigonométrica da antigüidade foi a Syntaxis

matemática, obra escrita por Ptolomeu que contém 13 livros. Este tratado é famoso por sua compacidade e elegância, e para distingui-lo de outros foi associado a ele o superlativo magiste ou "o maior". Mais tarde na Arábia o chamaram Almagesto, por designação da lingua, e a partir de então a obra é conhecida por esse nome. Euclides

Pouco se sabe sobre a vida e a personalidade de Euclides e se desconhece a data de seu nascimento. É provável que sua formação matemática tenha se dado na escola platônica de Atenas. Ele foi professor do Museu em Alexandria.

Euclides escreveu cerca de uma dúzia de tratados, cobrindo tópicos desde óptica, astronomia, música e mecânica até um livro sobre secções cônicas; porém, mais da metade do que ele escreveu se perdeu. Entre as obras que sobreviveram até hoje temos: Os elementos, Os dados, Divisão de figuras, Os fenômenos e Óptica.

Os elementos de Euclides não tratam apenas de geometria, mas também de teoria dos números e álgebra elementar (geométrica). O livro se compõe de quatrocentos e sessenta e cinco proposições distribuídas em treze livros ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre

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geometria plana elementar, os três seguintes sobre teoria dos números, o livro X sobre incomensuráveis e os três últimos tratam sobre geometria no espaço.

O livro I começa com definições, axiomas e postulados. As quarenta e oito proposições se distribuem em três grupos: as primeiras vinte e seis tratam de propriedades do triângulo e incluem os três teoremas de congruência; as proposições de vinte e sete a trinta e dois estabelecem a teoria das paralelas e provam que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos; as proposições de trinta e três a quarenta e seis lidam com paralelogramos, triângulos e quadrados, com atenção especial a relações entre áreas; a proposição quarenta e sete é o Teorema de Pitágoras, com a demonstração atribuída ao próprio Euclides e a proposição quarenta e oito é o recíproco do Teorema de Pitágoras. Acredita-se que a maioria do material desse livro foi desenvolvido pelos antigos pitagóricos.

O livro II apresenta quatorze proposições que lidam com transformações de áreas e com a álgebra geométrica da escola pitagórica, que inclui os equivalentes geométricos de muitas identidades algébricas.

O livro III, consiste em trinta e nove proposições contendo muitos dos teoremas familiares sobre círculos, cordas, secantes, tangentes e medidas de ângulos. No livro IV, encontramos dezesseis proposições que discutem a construção, com régua e compasso, de polígonos regulares de três, quatro, cinco, seis e quinze lados, bem como inscrição desses polígonos num círculo dado.

O livro V é uma exposição da teoria das proporções de Eudoxo. Foi por meio dessa teoria, aplicável tanto a grandezas comensuráveis como a grandezas incomensuráveis, que se resolveu o problema dos números irracionais descobertos pelos pitagóricos. O livro VI aplica a teoria eudoxiana das proporções à geometria plana. Encontramos nele os teoremas fundamentais da semelhança de triângulos; construções de terceira, quartas e médias proporcionais; a resolução geométrica de equações quadráticas; a demonstração que a bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos outros dois lados; uma generalização do teorema de Pitágoras na qual, em vez de quadrados, traçam-se sobre os lados de um triângulo retângulo três figuras semelhantes descritas de maneira análoga.

O livro VII começa com o processo, hoje conhecido como algoritmo euclidiano, para achar o máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros e o usa para verificar se dois inteiros são primos entre si; encontramos também uma exposição da teoria das proporções numérica ou pitagórica.

O livro VIII ocupa-se largamente das proporções contínuas e progressões geométricas relacionadas. O livro IX contém muitos teoremas significativos: teorema fundamental da aritmética ( todo número inteiro maior que 1 pode se expressar como produtos de primos); fórmula da soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica; fórmula para números perfeitos. O livro X focaliza os irracionais, isto é, comprimentos de segmentos de reta incomensuráveis com um segmento de reta dado.

Os três últimos livros, XI, XII, XIII tratam de geometria sólida. As definições, os teoremas sobre retas e planos no espaço e os teoremas sobre paralelepípedos se encontram no livro XI. O método de exaustão desempenhada um papel importante na abordagem de volumes do livro XII. No livro XIII se desenvolvem construções visando a inscrição dos cinco poliedros regulares numa esfera.

Para finalizar, uma palavra sobre o significado do termo elementos. Segundo Proclo, os gregos antigos definiam os "elementos" de um estudo dedutivo como os teoremas-mestre, de uso geral e amplo no assunto. Euclides, no livro Os Elementos, tomou como base cinco axiomas e cinco postulados geométricos e tentou deduzir todas as suas quatrocentos e sessenta e cinco proposições dessas dez afirmações. Certamente um dos grandes feitos dos matemáticos gregos antigos foi a criação da forma postulacional de raciocínio. Fibonacci

Leonardo de Pisa também conhecido como Fibonacci (filho de Bonaccio), nasceu em Pisa, centro comercial importante na Itália. Seu pai era comerciante e tinha negócios no norte da África. Assim Leonardo estudou com um

professor muçulmano e viajou pelo Egito, Síria e Grécia, onde entrou em contato com os

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procedimentos matemáticos orientais, com os métodos algébricos árabes e os numerais indo-arábicos. Ao retornar a sua terra natal, publicou sua obra mais famosa intitulada Liber abaci (ou livro do Abaco). Não é um livro apenas sobre o ábaco, é um tratado muito completo sobre os métodos e problemas algébricos em que o uso de numerais indo-arábicos é fortemente recomendado.

O Liber abaci inicia-se com a idéia de que a aritmética e a geometria são interligados e se auxiliam mutuamente; no entanto, ele trata muito mais de números que de geometria, descrevendo primeiro as nove cifras indianas, juntamente com o símbolo 0, chamado zephirum em árabe. Explica métodos de cálculo com inteiros e frações com estes, cálculo de raízes quadradas e cúbicas, resolução de equações lineares e quadráticas, tanto pelo método de falsa posição como por processos algébricos. As raízes negativas e imaginárias não são admitidas. Há aplicações envolvendo permuta de mercadorias, sociedades e geometria mensurativa. Há também uma farta coleção de problemas, dentre as quais o que deu origem à importante seqüência de Fibonacci:

Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, começando com um só par, se em cada mês cada par gera um novo par que se torna produtivo a partir do segundo mês ?

Isto leva a considerar a seqüência , isto é, em que cada termo após os dois primeiros é a soma dos dois anteriores. Verificou-se que essa seqüência tem muitas propriedades belas e significativas. Por exemplo, pode-se provar que dois termos sucessivos quaisquer são primos entre si e que

, a secção áurea. Em 1220 apareceu a Practica geometriae, uma coleção de material sobre geometria e

trigonometria, numa abordagem hábil feita com rigor euclidiano, contendo entre outras coisas, uma prova de que as medianas de um triângulo se dividem na razão de dois para um e um análogo tridimensional do Teorema de Pitágoras. Os talentos de Fibonacci chamaram atenção do imperador Frederico II, convidando-o a participar de um torneio matemático na corte. Um dos problemas propostos era achar um número racional tal que se somar, ou subtrair, cinco do quadrado de número, o resultado seja o quadrado de um

número racional. Tanto o problema como a solução , são dados no Liber quadratorum, um trabalho brilhante e original sobre análise indeterminada, que o colocou na posição de matemático mais importante desse campo entre Diofanto e Fermat.

Fibonacci tentou provar que nenhuma raiz da equação cúbica pode

ser expressa irracionalmente na forma , ou seja, nenhuma raiz pode ser construída com régua e compasso. Esta prova esta no tratado intitulado Flos (Floração ou Flor). Fibonacci foi uma matemático excepcional e sua exposição da numeração indo-arábico foi importante no processo de transmissão destes, mas somente no século dezesseis seu uso tornou-se comum. Cardano

Em 1545, Girolamo Cardano publicou em latim um tratado intitulado de Ars Magna, no qual apresenta as resoluções de equações de terceiro e quarto grau. Esta publicação é considerada um marco do início do período moderno da matemática, foi a partir desta obra que houve um grande impulso à pesquisa em álgebra.

Cardano publicou as resoluções de equações cúbicas e quárticas em seu tratado, mas não foi o descobridor original destas. Nicolo Tartaglia foi quem resolveu as equações cúbicas e Ludovico Ferrari, discípulo de Cardano, resolveu as quárticas.

Nesta época as soluções de equações eram pensadas geometricamente, a seguir

apresentaremos, em notação atual, a resolução da equação cúbica apresentada por Cardano em seu tratado.

Fazendo e , pois estamos relacionando u e v de modo que seu produto seja um terço do coeficiente de x. Substituindo na equação inicial temos

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e eliminando v obtemos que é uma equação quadrática em .

Logo vale

Da relação vemos que Assim, para temos

A partir da expressão acima, Cardano deduziu uma forma geral para a resolução de equações do tipo

chegando a fórmula conhecida como Tartaglia-Cardano:

Ao resolver as equações cúbicas pela fórmula de Tartaglia-Cardano, chega-se às raízes quadradas de números negativos, assim Cardano descobriu uma nova espécie de números que chamou de numeri ficti (que vieram a ser conhecidos como números imaginários). A resolução das quadráticas é apresenta em Ars Magna da seguinte forma:

Considere a equação Vamos somar à ambos os lados da equação acima quadrados e números para obtermos no primeiro membro um quadrado perfeito

Somando a ambos os membros da equação uma nova incógnita y de modo que o primeiro membro permaneça um quadrado perfeito

Agora vamos escolher y de modo que o trinômio no segundo membro fique um quadrado perfeito. Igualando a zero o discriminante (pois uma condição necessária e suficiente para que o trinômio sejam o quadrado de um função linear é que o discriminante se anule) obtemos

Do passo 3 obtemos uma equação cúbica em y

Agora resolvendo esta equação pela fórmula de Tartaglia-Cardano, temos o resultado

Agora substituindo o valor de y no passo 2 e extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obtemos uma equação quadrática, cuja solução é conhecida desde à época dos babilônios, chega-se ao valor de x desejado. Pascal

Blaise Pascal nasceu na província francesa de Auvergne em 19 de junho de 1623 e foi um

prodígio matemático. A princípio seu pai, que também tinha inclinação para esta ciência, não lhe deu acesso a livros de matemática para que desenvolvesse outros interesses, mas aos doze anos o menino mostrou muito talento para a Geometria e a partir daí sua inclinação passou a ser encorajada pelo pai.

Aos quatorze anos já participava de uma reunião semanal com matemáticos franceses e aos dezesseis anos escreveu um trabalho sobre secções cônicas tão completo que Descartes preferiu acreditar que fosse de autoria do seu pai. Entre os dezoito e dezenove anos inventou a primeira máquina de calcular. Aos vinte anos aplicou seu talento à física, pois se interessou pelo trabalho de Torricelli sobre pressão atmosférica, deixando como resultado o Princípio de Pascal

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sobre a lei das pressões num líquido, que publicou em 1653 no seu Tratado do equilíbrio dos líquidos.

E em 1648 escreveu um inteligente manuscrito sobre secções cônicas que não foi publicado. Este manuscrito se baseava na obra de Desargues e foi lido por Descartes e Leibniz. Nele estava um dos mais ricos teoremas da geometria projetiva, o teorema do hexagrama místico de Pascal: se um hexágono esta inscrito numa cônica, então os pontos de intersecção dos três pares de lados opostos são colineares e reciprocamente.

Em 1650, por estar com a saúde debilitada resolveu abandonar suas pesquisas e se

dedicar à contemplação religiosa. Porém três anos mais tarde retornou à matemática. Nesse período escreveu seu Traité du Triangle Arithmétique, conduziu diversas experiências sobre a pressão dos fluidos e, juntamente com Fermat, lançou os fundamentos da teoria da probabilidade.

O Traité du Triangle Arithmétique de Pascal foi escrito em 1653, mas só foi publicado em 1665. Pascal construiu seu "triângulo aritmético", onde qualquer elemento é a soma de todos os elementos da linha anterior situados exatamente acima ou à esquerda do elemento desejado.

Na terceira linha, 15=5+4+3+2+1. O triângulo é obtido desenhando-se a diagonal como na

figura acima. Uma das aplicações que Pascal fazia do seu triângulo era a determinação dos coeficientes binomiais. Por exemplo os números ao longo da quarta diagonal 1,3,3,1 são os coeficientes sucessivos da expansão de (a+b)3. Ele também o usava em suas discussões sobre probabilidade. Embora não tenha sido o primeiro a trabalhar com o triângulo, este tornou-se conhecido como Triângulo de Pascal devido ao desenvolvimento e aplicações que fez de muitas de suas propriedades.

No fim de 1654 se salvou por um milagre de um acidente, o que considerou como um aviso divino e então voltou às suas meditações religiosas. Uma noite, em 1658, uma dor de dente o impediu de dormir e para passar o tempo voltou-se ao estudo da ciclóide e a dor subitamente cessou. Considerando isso como manifestação de uma vontade divina se voltou a desenvolver tais idéias e mais tarde propôs alguns problemas desafios. A ciclóide foi o seu último trabalho. Esta curva muito rica em propriedades matemáticas e físicas foi importante no desenvolvimento inicial dos métodos do cálculo. Por possuir diversas propriedades bonitas e interessantes e gerar tantas controvérsias foi chamada "a Helena da geometria" ou "o pomo da discórdia".

Pascal também escreveu Cartas a um Provincial e Pensamentos que hoje são considerados obras-primas da literatura francesa. A invenção do carrinho de mão de uma roda e a idéia do ônibus também são atribuidas a Pascal.

Considerado como a maior das "promessas" na história da matemática, Pascal poderia ter produzido uma obra muito maior se não sofresse de padecimentos físicos e não fosse levado a participar das controvérsias religiosas de sua época. Sua curta vida terminou em Paris em 1662. A matemática e os matemáticos

Enquanto Descartes e Fermat concebiam as idéias da geometria analítica moderna, Descartes e Pascal estavam descobrindo a geometria projetiva. Entre as duas há uma grande diferença, a primeira pode ser considerada um método da geometria e a segunda um ramo da geometria.

Por volta de 1628, Descartes aplicou seus novos métodos ao problema das três e quatro retas de Papus e resolveu-o sem dificuldade. Mais tarde, no auge de sua capacidade, ele escreveu um tratado filosófico sobre a ciência universal sob o título de Discours de la Méthode pour Bien Conduire as Raison et Chercher la Vérité dans les Sciences (Discurso do Método para Bem Conduzir a Razão e Procurar a Verdade nas Ciências). Este trabalho era acompanhado por três apêndices, um deles, o famoso La géométrie, que é a única publicação matemática de Descartes.

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O La géométrie é dividido em três partes. A primeira parte contém uma explanação de alguns dos princípios da álgebra geométrica e revela um avanço real em relação aos gregos. Enquanto para eles o produto de duas e três variáveis representavam, respectivamente, a área de

um retângulo e o volume de um paralelepípedo, para Descartes, não sugeria uma área, mas

sim o quarto termo da proporção , que pode ser facilmente representado por um segmento quando se conhece x. Além disso, é possível representar qualquer outra potência, o que os gregos não sabiam fazer.

A segunda parte traz, entre outras coisas, uma classificação de curvas e um método interessante de construir tangentes à curvas. A terceira parte trata da resolução de equações de grau maior que dois e da regra de sinais de Descartes que determinava limites para o número de raízes positivas e negativas de um polinômio.

Fermat, em 1629, através do seu trabalho de restauração de obras se propôs a reconstruir o Lugares planos de Apolônio e obteve um subproduto desse esforço: em 1636 descobriu o principio fundamental da geometria analítica. Enquanto Descartes partia de um lugar geométrico e então encontrava sua equação, Fermat partia de uma equação e então estudava o lugar correspondente. São esses os dois aspectos recíprocos do princípio fundamental da geometria analítica.

Também é devido a Fermat a descoberta das curvas , e que ainda hoje são conhecidas como hipérboles, parábolas e espirais de Pascal. Mais tarde Jan De Witt, La Hire e Johann Bernoulli também deram a sua contribuição para a geometria analítica. Segundo parece, a idéia do sistema de coordenadas polares foi introduzida em 1691 por Jakob Bernoulli. Assim, com essa descoberta, os geômetras tiveram de romper com os sistemas cartesianos quando as situações indicavam um referencial mais conveniente. Afinal, as coordenadas foram feitas para os geômetras e não os geômetras para as coordenadas. Em 1731 Antoine Parent foi o primeiro a escrever analiticamente sobre curvas não-planas no espaço. Depois Euler prosseguiu com o assunto.

Enquanto a geometria sintética fazia avanços, a geometria analítica atolava-se num pantanal de cálculos algébricos. Era necessário desenvolver procedimentos novos e avançados para a geometria analítica, que enfim entrou no seu período áureo. Julius Plücker foi um dos pioneiros a contribuir no aprimoramento da geometria analítica. Sua obra Analytisch-geometrische Entwicklungen, em dois volumes, foi publicada em 1828 e 1831.

O primeiro volume faz o primeiro tratamento extenso do principio da notação abreviada, apesar de já ter sido empregado por Gabriel Lamé e Étienne Bobillier. Esta notação consistia em representar expressões longas por letras únicas. Assim teoremas aparentemente complexos, do ponto de vista algébrico, podiam ser demonstrados de forma muito mais breve e clara.

No segundo volume ele redescobriu um novo sistema de coordenadas que já tinha sido estudado independentemente três vezes: as coordenadas homogêneas. Um de seus inventores foi Feuerbach, outro foi Möbius, o mais conhecido, que publicou o seu sistema em 1827 e ainda temos Étienne Bobillier que publicou o seu trabalho em 1827-1828.

A princípio Plücker tomou suas três coordenadas x, y e t de um ponto P como sendo as três distâncias de P aos lados de um triângulo de referência. Mais tarde, no segundo volume de sua obra deu a definição mais usual. Um ponto P de coordenadas cartesianas (X,Y) tem como

coordenada homogênea qualquer terno ordenado (x,y,t) tal que e , com esta definição as ternas (x,y,t) e (kx,ky,kt) representam o mesmo ponto. O nome homogênea provém do fato de que, quando se converte a equação f(X,Y)=0 de uma

curva algébrica em coordenadas cartesianas à forma , todos os termos da nova equação tem o mesmo grau em relação às novas variáveis. Um fato importante é que a terna (x,y,0) não tem representante em coordenadas cartesianas e representa um "ponto no infinito", e assim os pontos ideais no infinito de Kepler, Desargues e Poncelet passam a ter representação num sistema de coordenadas. Desta forma, o uso das coordenadas homogêneas passa a ser um instrumento para a exploração da geometria projetiva.

Plücker ainda escreveu mais dois livros, em 1835 System der analytischen Geometrie que contém uma classificação completa das curvas cúbicas baseadas na natureza de seus pontos no

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infinito. Em 1839, sua Theorie der algebraischen Curven dá uma enumeração das curvas de quarta ordem e suas quatro equações relacionando as singularidades de uma curva algébrica.

Até uma época recente, a palavra álgebra designava essencialmente aquela parte da matemática que se ocupa do estudo das operações entre números e fundamentalmente da resolução de equações.

Nesse sentido, pode-se dizer que esta ciência tem despertado o interesse da humanidade desde o começo de seu desenvolvimento cultural. Assim encontram-se rastros de uma álgebra primitiva no Antigo Egito e nas tábuas de argila dos Sumérios: no papiro Rhind se consideram problemas de distribuição de víveres e outras mercadorias que conduzem a equações simples e nos textos cuneiformes da antiga Babilônia encontra-se a clássica regra para a resolução de equações de segundo grau.

A álgebra clássica estudava equações numa situação relativamente concreta. O emprego de letras para designar as incógnitas e os coeficientes de equações permitia dar tratamentos gerais para diversos tipos de equações, mas subentendia-se sempre que estas letras representavam números (naturais, inteiros, racionais, etc) trabalhando-se com estes em forma mais ou menos intuitiva.

Parece claro que os números naturais desenvolveram-se a partir da experiência cotidiana e seu emprego foi-se generalizando gradativamente. Algo análogo aconteceu com os números racionais não negativos. Já com os números negativos a história foi bem diferente.

O primeiro uso conhecido dos inteiros negativos se encontra numa obra indiana, devida a Brahmagupta, em 628 d.C. aproximadamente, onde são interpretados com dívidas. Desde o seu aparecimento estes números sucitaram dúvidas quanto a sua legitimidade. Stifel em 1543 ainda os chamava de números absurdos e Cardano os considerava como soluções falsas de uma equação.

Com os números irracionais aconteceu algo similar. Já na época dos pitagóricos se sabia da existência de segmentos cuja medida não pode ser expressa por um número racional. Quando a ciência européia discutia ainda a possível validade do emprego de números negativos ou irracionais, irromperam no mundo matemático os números que hoje chamamos de complexos.

André Lichnerowicz assinalou alguma vez que "uma das características fundamentais da matemática é repensar periodicamente seus próprios conteúdos e que nisto radica uma das fontes do seu progresso". O processo da gênese da álgebra abstrata foi, precisamente, dessa natureza. Numa tentativa para esclarecer os fundamentos da álgebra, o matemático inglês George Peacock publicou em 1830 seu Treatise on Álgebra, onde tenta dar a esta disciplina uma estrutura lógica comparável à dada à geometria nos Elementos de Euclides. Esta obra, que fora ampliada a dois volumes até 1845, marca o inicio do pensamento axiomático em álgebra.

Quando Bombelli introduziu os números complexos, assumiu implicitamente que as propriedades das operações são as mesmas quando se trabalha com os diversos tipos de números. Na mesma linha de pensamento, no primeiro volume, Peacock tenta exibir as leis fundamentais da aritmética, trabalhando apenas com números e dando aos símbolos + e - o seu significado ordinário. No segundo volume, desenvolve uma "álgebra simbólica" e as mesmas regras são aplicadas a símbolos sem conteúdo especifico.

Augusto De Morgan na sua Trigonometry and Algebra de 1830 assume o mesmo ponto de vista, deixando os símbolos sem significação pré-estabelecida e assim, por exemplo, diz que "letras como A, B poderiam representar virtudes ou vícios e os símbolos + e - recompensas ou castigos".

Pelo que parece, Peacock foi o primeiro a perceber que um cálculo formal poderia ser feito sem considerar a natureza dos entes com os quais se trabalha, embora ele pensasse em aplicá-lo apenas a números ou magnitudes geométricas. De Morgan por sua vez, percebeu a total independência do significado dos símbolos. Porém, ambos aceitaram como indiscutíveis as propriedades das operações tal como lhes eram sugeridas pela experiência e não chegaram a perceber que também estas poderiam não ser um dado apriorístico.

Este passo decisivo será conseqüência da obra de um notável matemático irlandês: sir Willian Rowan Hamilton. É interessante ressaltar que sua fama já estava solidamente estabelecida quando veio a realizar sua revolucionária descoberta dos quatérnios. Neste novo conjunto de "números" a multiplicação não é comutativa, isto é, a ordem dos fatores altera o produto. Resultou assim evidentemente que não existem as restrições impostas pelas

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"leis fundamentais" sugeridas pelos sistemas até então conhecidos e que pareciam solidamente estabelecidos.

O impacto desta descoberta no mundo matemático foi enorme e muitos autores se dedicaram à procura de novas álgebras não comutativas. Entre estes merece ser destacado Arthur Cayley que, inspirado pelas idéias de determinantes que vinham sendo desenvolvidas desde um século antes, ao estudar invariantes sob certas transformações definiu pela primeira vez a noção de matriz. A sua intensa atividade cientifica na teoria dos invariantes foi compartilhada com outro brilhante matemático, seu amigo James Joseph Sylvester. No ano seguinte a descoberta dos quatérnios por Hamilton, Hermann Grassman publicou na Alemanha idéias muito semelhantes. Porém, seu livro continha também interpretações místicas e a exposição era talvez abstrata demais para a mentalidade pratica da época. Tudo isso fez com que o trabalho demorasse demais em ser compreendido. É justo destacar que sua geometria de n dimensões e seus hipernúmeros guiaram os matemáticos a várias das noções hoje correntes na álgebra linear.

A maré de publicações sobre as novas álgebras foi enorme. O matemático americano Benjamin Pierce publicou um artigo chamado Linear Associative Algebras, onde estas estruturas são definidas e se classificam as que eram conhecidas até então. O trabalho inclui a tabela de multiplicação de 162 álgebras diferentes, todas elas de dimensão menor ou igual a 6. Não se pode deixar de citar a obra de outro notável matemático inglês, George Boole que criou uma outra forma de álgebra. Amigo de De Morgan, ele conhecia sua Formal Logic e se interessou desde cedo pela matemática e a lógica. A álgebra de Boole é hoje a álgebra dos conjuntos e certamente encontra muitas aplicações nos campos mais diversos: probabilidades, teoria da informação, análise, problemas de seguros, etc.

Por outro lado, a teoria de equações continuou a se desenvolver e levou à descoberta de outros conceitos que resultaram fundamentos para o desenvolvimento da álgebra abstrata. Durante o século XVI, matemáticos italianos tinham descoberto fórmulas análogas as que permitem determinar as raízes de uma equação de segundo grau para resolver as equações de terceiro e quarto grau, usando também radicais. Durante muito tempo os matemáticos procuraram uma fórmula semelhante para equações de grau superior sem nenhum sucesso.

Os primeiros passos na direção correta se devem ao matemático francês Joseph Louis Lagrange que, estudando sistematicamente as fórmulas já conhecidas, foi levado a considerar permutações entre as raízes em torno de 1777. Lagrange não resolveu o problema, mas sua obra teve o mérito indiscutido de assinalar a direção correta, preparando o caminho para os seus sucessores. Um trabalho semelhante foi desenvolvido, na mesma época por Van der Monde. Paolo Ruffini, que se considerava, em certa forma, discípulo de Lagrange, tentou provar que a equação geral de grau superior ao quarto não é resolúvel por radicais mas seus esforços, embora corretos, não foram considerados conclusivos. A primeira demonstração rigorosa da impossibilidade de resolver a equação de quinto grau usando radicais é devida ao matemático Niels Henrik Abel, e até hoje este resultado é um dos mais célebres da matemática.

Dentre as idéias sugeridas pela teoria de equações a mais importante e a que achou um campo de aplicação mais amplo foi a noção de grupo de permutações e a figura que mais se destacou neste contexto é a do matemático francês Evariste Galois que introduziu esta noção em 1832 e explorou algumas das suas propriedades fundamentais.

No período de 1844 a 1846, Augustin Cauchy publicou uma série de trabalhos explorando, ainda mais, as propriedades dos grupos de permutações. Impressionado por estes trabalhos, Arthur Cayley soube reconhecer as idéias gerais por trás do caso particular das permutações e, um artigo de 1854 introduziu a noção de grupo abstrato.

Além da importância óbvia de ter introduzido noções hoje centrais na álgebra abstrata, atribui-se ainda ao trabalho de Galois ter iniciado o caminho que levaria mais tarde Dedekind, Kroneker e Kummer a desenvolver a teoria dos números algébricos. Muitas foram as contribuições posteriores a este processo de elaboração da álgebra abstrata, que continua ainda em evolução. Augustus De Morgan

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Augustus De Morgan, quinto filho de John De Morgan, um tenente-coronel em serviço na

Índia, perdeu a visão do olho direito logo após o nascimento. Com sete meses de idade foi para a Inglaterra com a família e aos 10 anos perdeu seu pai. Na escola foi muitas vezes vítima de piadas e brincadeiras cruéis de seus companheiros devido a sua inaptidão física.

De Morgan ingressou no Trinity College, em Cambridge, em 1823, com 16 anos. Peacock e Whewell foram seus professores e amigos. Graduou-se como 4º Wrangler (distinção máxima em matemática oferecida por Cambridge). Entretando não consegui ingressar no mestrado pois recusou submeter-se ao exame religioso necessário. Voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou advocacia. Em 1827 foi nomeado professor de matemática no recém fundado University College de Londres.

Em 1830 publicou o livro Elements of Arithmetic. Em 1831 ajudou a fundar a British Association for the Advancement Science e num certo sentido uniu-se a Peacock para formar a cescola inglesa de matemática.

Em 1838 De Morgan publica o artigo Induction (Mathematics) na Penny Cyclopedia, que era mantida pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge. Neste artigo é introduzido o conceito de indução matemática.

Outra importante publicação de De Morgan foi Trigonometry and double álgebra, em 1849, na qual ele fornece uma interpretação geométrica para os números complexos. De Morgan sabia da existência de álgebras diferentes da álgebra ordinária e contribuiu para o desenvolvimento da álgebra abstrata. Ele percebeu que indo da álgebra simples do sistema numérico, para a álgebra dupla dos complexos, as regras de operação permaneciam as mesmas. Ele acreditava que essas duas formas esgotavam os possíveis tipos de álgebras e que seria impossível desenvolver uma álgebra tripla ou quádrupla. Entretanto, posteriormente outro matemático, Hamilton, mostrou que De Morgan estava errado De Morgan escreveu trabalhos sobre os fundamentos de álgebra, calculo diferencial, lógica e teoria das probabilidades. Tocava flauta primordiosamente, era sempre uma compania agradável e um amante declarado da vida nas grandes cidades. Tinha forte inclinação por quebra cabeças e adivinhações, e quando lhe perguntavam sua idade, ele respondia: eu tinha x anos de idade no ano x2. Amava enigmas, tanto que reuniu alguns no seu conhecido Budget of Paradoxes, editado após sua morte por sua viúva. George Boole

George Boole nasceu em 2 de novembro de 1815 em Lincoln, Inglaterra, onde começou a

freqüentar a escola. Foi de seu pai que Boole recebeu as primeiras instruções sobre matemática e o gosto pelos instrumentos óticos. Quando começou a se interessar por idiomas passou a ter aulas com um livreiro local de latim e grego e acreditava que esse conhecimento o ajudaria a melhorar sua condição social.

Boole não teve formação acadêmica, mas aos 16 anos já era um professor assistente. Em 1835 abriu uma escola e mudou o seu interesse, passando a estudar matemática. Seu primeiro trabalho em matemática teve como base os estudos de Laplace e Lagrange sendo encorajado por Duncan Gregory que estava em Cambridge. Boole não pode aceitar o conselho de

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Duncan para freqüentar cursos em Cambridge, pois precisou cuidar de seus pais, mas ele começou a fazer publicações na recém fundada Cambridge Mathematical Journal. Também por influência de Duncan passou a estudar álgebra.

Recebeu uma medalha da Royal Society por uma publicação na Trasactions of the Royal Society sobre métodos algébricos para a solução de equações diferenciais e a partir de então o seu trabalho começou a ser conhecido.

Tornou-se amigo de De Morgan e interessou-se por uma controvérsia sobre lógica que o filósofo escocês Sir William Hamilton (1788-1856) tinha iniciado com De Morgan. O resultado foi que Boole em 1847 publicou uma obra curta chamada The Mathematical Analysis Logic, um pequeno livro que marcou época.

Em 1849 ganhou a cadeira de matemática no Queens College em Cork, onde passou o resto de sua vida ensinando. Foi um professor muito dedicado. Um grande filósofo do século XX, Berthand Russell, afirmou que a maior descoberta do século IXX foi a natureza da matemática pura. Acrescenta a essa asserção as palavras ―A matemática pura foi descoberta por Boole numa obra que ele chamou As Leis do Pensamento‖. Nesta asserção Russell se refere à obra mais conhecida de Boole, publicada em 1854.

Publicou, em 1854, An investigation into the Laws of Thought onde definiu as teorias matemáticas da lógica e da probabilidade estabelecendo ao mesmo tempo a lógica formal e uma nova algebra. Boole viu a lógica de um modo novo e chegou a uma álgebra mais simples. Ele fez uma analogia entre os símbolos algébricos e os que representavam a lógica. E isso deu inicio a álgebra da lógica conhecida como Álgebra Booleana, que é muito aplicada na computação (notadamente em programção, via linguagens de programação).

Boole teve muitos outros trabalhos publicados, em 1859 um Tratado em Equações Diferenciais, em 1860 um Tratado em Cálculo de Diferenças Finitas, além de mais de 50 documentos sobre as propriedades básicas dos números.

No seu trabalho Boole foi reconhecido como gênio. Ele recebeu títulos das Universidades de Dublin e Oxford e foi eleito Fellow of Royal Society em 1857. Mas Boole teve uma carreira foi muito curta, pois começou tarde e terminou com sua morte aos 49 anos. O trabalho de Boole foi fundamental para a evolução dos computadores. A Álgebra Booleana tem aplicações na estrutura dos computadores modernos e nas ligações telefônicas. Arthur Cayley

Arthur Cayley nasceu em 16 de agosto de 1821 em Richmond na Inglaterra. Vindo de uma

família de comerciantes, seu pai desejava que continuasse os negócios da família, porém em 1835 ingressou no King´s College School onde sua aptidão para a matemática se tornou mais aparente, assim seu pai resolveu envia-lo para Cambridge.

Em 1838 começou seus estudos no Trinity College em Cambridge onde se graduou em 1842.

Em 1843 trabalhou fundamentalmente em álgebra, mas, também trabalhou em geometrias não-euclideanas e geometria n-dimensional, usando determinantes como elemento essencial. A partir de 1849 trabalhou catorze anos como advogado, ele desistiu da docência, pois continuar nela implicaria em tomar hábitos religiosos. Embora muito hábil nessa carreira, a considerava apenas como uma forma de sustento para prosseguir com a matemática. Durante esses catorze anos publicou aproximadamente 250 trabalhos matemáticos, a maioria sobre a teoria dos invariantes algébricos.

Durante a conferencia de Hamilton sobre os Quatérnios que foi assistir em Dublin, conheceu Salmon, com quem trocou idéias matemáticas por muitos anos. Outro amigo era

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Sylvester, um advogado com quem trabalhava junto e durante os dias de trabalho conversavam sobre matemática. Ele é considerado, junto com Sylvester, o fundador da teoria dos invariantes. Foi um dos primeiros matemáticos a estudar matrizes, definindo a idéia de operarmos as matrizes como na álgebra. Descobriu a álgebra das matrizes em 1857. As matrizes surgiram para Cayley ligadas as transformações lineares do tipo:

Onde a, b, c, d são números reais, e que podem ser imaginados como aplicações que levam o ponto (x,y) no ponto (X,Y) . Quando se criou em Cambridge, em 1863 a cadeira sadleriana, está lhe foi oferecida. Assim Cayley aceitou regê-la abandonando a carreira da lei. Tornando-se professor de matemática pura em Cambridge. Em 1881 foi convidado a dar um curso sobre funções abelianas e funções teta, na Johns Hopkins University nos EUA, onde seu amigo Sylvester era professor. Cayley ocupa o terceiro lugar entre os escritores de matemática mais prolíferos em toda história desta ciência, perdendo apenas para Euler e Cauchy. Em Collected Mathematical Papers de Cayley há 966 artigos, num total de treze volumes com cerca de 600 páginas cada um, abordando todas as áreas da matemática. Foi neste que Cayley deu construções pioneiras à geometria analítica, teoria das transformações, teoria das curvas e superfícies, o estudo de formas binárias e ternárias. Charles Hermite registrou as seguintes palavras ―talento de Cayley se caracterizou pela clareza e extrama elegância da forma analítica; reforçando por uma capacidade incomparável de trabalho...‖

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Dedekind

Em 1872 , o matemático alemão Richard Dedekind publicou uma obra intitulada

Continuidade e Números Irracionais, dedicado ao estudo do problema: Todo o ponto da recta produz nela um corte. E sempre que se considere um corte na reta – repartição em duas classes (A) e (B) que satisfaçam as condições: 1ª - nenhum ponto escapa à repartição 2ª - todo o ponto da classe (A) está à esquerda de todo o ponto da classe (B) - haverá sempre um ponto P que produza o corte, isto é que separe as duas classes? Nessa obra encontra-se pela primeira vez um tratamento rigoroso do conceito de continuidade e a resposta à pergunta acima. Vejamos como Dedekind põe a questão: "... nós atribuímos à recta a qualidade de ser completa, sem lacunas, ou seja, contínua,. Mas esta continuidade, em que consiste? A resposta a esta pergunta deve compreender em si tudo, e somente ela permitirá desenvolver em bases científicas o estudo de todos os campos contínuos. Naturalmente, não se consegue nada quando, para explicar a continuidade, se fala, dum modo vago, de uma conexão ininterrupta nas suas partes mais pequenas; o que se procura é formular uma propriedade característica e precisa de continuidade que possa servir de base a deduções verdadeiras e próprias.

Em resumo Dedekind caracteriza a continuidade da recta por esta afirmação que é designada por axioma ou postulado da continuidade de Dedekind – todo o corte da recta é produzido por um e um só ponto dela, isto é qualquer que seja o corte (A,B) existe sempre um ponto da recta que separa as duas classes (A) e (B).

Quase na mesma altura o matemático alemão G.Cantor formulou a caracterização da continuidade de uma maneira semelhante, por isso a este enunciado se chama, com maior propriedade, axioma da continuidade Dedekind-Cantor. Giuseppe Peano,

Giuseppe Peano, é um autor italiano, cujo nome é lembrado até hoje em conexão com os axiomas por ele introduzidos, dos quais dependem tantas construções rigorosas da álgebra e da análise. O que motivou seu trabalho foi o desejo de expressar toda a matemática em termos de um cálculo lógico. Em seu Formulaire de Mathématiques, que contém cinco volumes ( escrito com a

participação de colaboradores ) publicados a partir de 1894, desenvolveu uma linguagem formalizada que continha não só a lógica matemática como todos os ramos mais importantes da matemática. Atraiu um grande número de colaboradores e discípulos pelo fato de evitar o uso de uma linguagem metafísica e de introduzir símbolos: tais como (pertence à classe de), (soma lógica ou união), (produto lógico ou intercessão) e (contém) - muitos deles usados até hoje. Para seus fundamentos da aritmética ele escolheu três conceitos primitivos - zero, número ( que, no contexto, se refere a inteiros positivos), e a relação "é sucessor de" - satisfazendo aos cinco postulados seguintes: Zero é um número. Se a é um número, o sucessor de a é um número. Zero não é o sucessor de um número.

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Dois números cujos sucessores são iguais são eles próprios iguais. Se um conjunto S de números contém o zero e também o sucessor de todo número de S, então todo número está em S.

Em 1888, introduziu a definição axiomática de espaço vetorial, chamando de sistemas lineares. Os axiomas de Peano, foram formulados pela primeira vez em 1889 na Arithmetices Principia nova methodo exposita, que representava a tentativa de reduzir a aritmética comum a puro simbolismo formal. Peano exprimia os postulados em símbolos, em vez das palavras que usamos. O método postulacional atingiu novo nível de precisão, sem ambigüidade de sentido e sem hipóteses ocultas. Ele também desenvolveu a lógica simbólica.

Em 1890, Peano mostrou que a matemática podia surpreender o senso comum quando construiu curvas continuas que enchem o espaço - isto é, curvas dadas por equações

paramétricas x = f(t), y = g(t), onde f e g são funções reais contínuas no intervalo , cujos

pontos preenchem completamente o quadrado unitário . Esse paradoxo combina perfeitamente com a descoberta de Cantor de que não há mais pontos no quadrado unitário que no segmento de reta unitário. Porém, em 1903, Peano se distraiu com a invenção da linguagem internacional que ele chamou Interlíngua ou Latino sine flexione, com vocabulário tirado do latim, francês, inglês e alemão. Esse movimento foi mais efêmero que sua estrutura axiomática da aritmética.

No final do século XIX, com a aritmetização da análise e os axiomas de Peano, a maior parte da matemática conseguiu base estritamente axiomática. Peano foi um dos precursores do logicismo cuja expressão definitiva é a monumental obra Principia Mathematica de Whitchead e Russell.

História do Cálculo - O Nascimento

Para realizar um estudo completo sobre as origens, desenvolvimento e conseqüências do

Cálculo, necessitaríamos de uma pesquisa muito extensa cujo resultado final seria, sem dúvida, um texto longo que estaria além do propósito deste trabalho como um todo. O nosso intuito é o de dar uma apresentação geral que contenha alguns fatos importantes que permeiam os acontecimentos históricos relacionados com a construção desta poderosa ferramenta da matemática: o Cálculo. Além disso, gostaríamos que ficasse claro que essa construção é o resultado de diversas contribuições de muitos personagens, como ocorre de modo geral, com o conhecimento humano.

As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas - por exemplo, Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler. Nesse tempo ainda não havia uma sistematização, no sentido de uma construção logicamente estruturada. A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais.

O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou Cálculo Diferencial e outra parte relacionada às integrais, ou Cálculo Integral. O Cálculo Diferencial: alguns fatos históricos

O aparecimento e desenvolvimento do Cálculo Diferencial estão ambos intimamente ligados à questão das tangentes. Desde a época dos Gregos antigos, já se conhecia a reta tangente como sendo uma reta que intercepta uma curva em um único ponto, generalizando a situação observada no caso da circunferência. Na realidade, essa idéia é muito imprecisa e precisamos de um tratamento bem mais rigoroso para a questão da tangente à uma curva. Arquimedes e Apolônio utilizavam métodos geométricos, que diferiam entre si, para a determinação de tangentes a parábolas, elipses e hipérboles. Vários outros métodos para resolver o problema de encontrar a tangente a uma curva em um ponto foram desenvolvidos ao longo da história.

Na realidade, após os Gregos, o interesse por tangentes a curvas reapareceu no século XVII, como parte do desenvolvimento da geometria analítica. Como equações eram então utilizadas para descrever curvas, a quantidade e variedade de curvas estudadas aumentou bastante em comparação àquelas conhecidas na época clássica. A introdução de símbolos

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algébricos como uma ferramenta para estudar a geometria das curvas também contribuiu para o desenvolvimento do conceito de derivada. Com o tempo, o tratamento se tornou mais algébrico e menos geométrico, proporcionando um contínuo progresso no desenvolvimento dos conceitos de funções, derivadas, integrais e outros tantos tópicos relacionados ao Cálculo. Pierre de Fermat foi o primeiro a considerar a idéia de famílias de curvas. Ele chamou, por

exemplo, de "parábolas maiores", as curvas cujas equações eram do tipo, , onde k é constante e n = 2, 3, 4, etc.

Fermat elaborou um método algébrico para determinar os pontos de máximo e os pontos de mínimo de uma função. Ele encontrava geometricamente os pontos onde a reta tangente ao gráfico tinha inclinação zero, ou seja, buscava os pontos em que o coeficiente angular da reta tangente era nulo. Escreveu a Descartes explicando o seu método que é basicamente utilizado ainda hoje. Na realidade, devido a esse trabalho, que estava intimamente relacionado com as derivadas, Lagrange afirmou considerar Fermat o inventor do Cálculo.

A questão de encontrar a tangente a uma curva é, historicamente, de especial importância, pois, ao que parece, foi o que Newton pensou quando teve um insight sobre como utilizar tangentes para estudar o movimento dos planetas. O método para a determinação foi desenvolvido pelo antecessor de Newton, Isaac Barrow, e consistia no limite de uma corda com os pontos aproximando-se entre si.

Acredita-se que um dia, enquanto observava o movimento dos planetas, Newton tenha-se perguntado porque as órbitas dos planetas eram curvas, pois se fossem formadas por segmentos de retas seriam muito mais fáceis de serem estudadas. Por que não considerá-las como um conjunto de pequenas retas que, aproximadamente, representariam o movimento daquela curva? Este simples, porém genial insight significou para Newton o começo de uma longa e frutífera produção científica que englobou, entre outras coisas, as derivadas, as integrais e toda a base da mecânica clássica.

O estudo do movimento dos corpos havia começado de maneira sistemática com Galileo. Entretanto ele estudara o movimento geometricamente, utilizando as proposições de Euclides e as propriedades das cônicas de Apolônio para chegar a relações entre distância, velocidade e aceleração, que, hoje em dia, são aplicações básicas da derivada.

Vários matemáticos estavam, a essa altura, estudando problemas relacionados ao movimento. Torricelli e Barrow consideraram o problema do movimento com velocidades variadas. Já se sabia que a taxa de variação pontual - derivada - do deslocamento era a velocidade e que a operação inversa da velocidade era o deslocamento. Isso mostra que já existia uma certa noção da operação inversa da derivada, sendo que a idéia de que a integral era inversa da derivada era familiar a Barrow.

Para Newton, o movimento era a base fundamental para o estudo das curvas e de outros tópicos relacionados ao Cálculo. Newton escreveu o seu tratado sobre fluxions em 1666. Ele pensou em uma partícula descrevendo uma curva com duas linhas que se movimentavam e que representavam o sistema de coordenadas. A velocidade horizontal e a velocidade vertical eram as fluxões de x e y associadas ao fluxo do tempo. Os fluents eram x e y. Em linguagem moderna, seria a derivada de x com relação ao tempo, ou simplesmente x'(t) e seria analogamente a derivada de y com relação ao tempo ou ainda y'(t). Tanto os nomes quanto as notações de Newton foram deixadas de lado ao longo dos anos, prevalecendo a notação criada por Leibniz. Vale a pena notar, entretanto, que é ainda bastante utilizada pelos físicos quando a derivada em questão é em relação ao tempo e é dada a função deslocamento x=x(t); nesse caso, será a velocidade e será a aceleração. Os Fluxions - ou Fluxões - eram para Newton as derivadas Os Fluents - ou Fluentes - eram para Newton as integrais

Embora Newton tenha desenvolvido e revisto o seu Cálculo entre 1666 e 1671, nada foi publicado até 1736. Ele havia apenas mostrado os seus manuscritos para alguns colegas e amigos.

Leibniz, em 1672, enquanto vivia em Paris, encontrou-se com Huygens e com ele aprendeu muito e recebeu muitos conselhos que constituíram um forte impulso para que viesse a desenvolver o seu Cálculo Diferencial e Integral. Nesse período, ele estabeleceu contato com muitos dos matemáticos respeitados da Royal Society e, dentre eles, destaca-se Barrow. Leibniz teve acesso aos seus trabalhos e estabeleceu um longo período de correspondências. Seu Cálculo Diferencial tinha uma fundamentação bem diferente daquele de Newton. Leibniz não

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estudou o movimento para chegar aos conceitos de derivada e integral. Ele pensou nas variáveis x e y como grandezas que variavam por uma sucessão de valores infinitamente pequenos. Introduziu dx e dy como a diferença entre esses valores sucessivos. Embora Leibniz não tenha usado como definição de derivada, ele sabia que representava o coeficiente angular da tangente. Sociedade Científica Inglesa de grande prestigio

Há um capítulo especial na história do Cálculo: uma longa e quase sempre inescrupulosa disputa entre Newton e Leibniz sobre quem havia "criado" o Cálculo. Ambos não pouparam acusações picantes para descrever o outro e os seus feitos e geraram uma discussão acalorada no meio científico da época sobre quem seria a mais importante autoridade em Cálculo. Essa situação chegou a tal ponto que os matemáticos que viviam no Reino Unido se distanciaram durante um período bastante longo dos matemáticos do continente. Enquanto o Cálculo "Leibniziano" ganhava cada vez mais adeptos na Europa - entre esses a família Bernoulli - os matemáticos da "ilha", como dizem alguns historiadores, davam mais atenção às pompas e circunstâncias criadas para a cerimônia fúnebre de Newton na Abadia de Westminister. Durante ainda algum tempo, esses matemáticos ficaram um pouco "ilhados" e, quando voltaram a estabelecer relações com os europeus do continente, haviam não só perdido parte do avanço do Cálculo como também não compreendiam muito bem a notação "Leibniziana" então largamente utilizada.

Carl B. Boyer, em seu livro A History of Mathematics , afirma: Como conseqüência da infeliz disputa entre Newton e Leibniz, os matemáticos britânicos ficaram de certa forma alienados dos trabalhos do continente (...) e o desenvolvimento da Matemática não conseguiu acompanhar o rápido progresso dos outros países da Europa ao longo do século XVIII.

Apesar das diferenças, tanto Newton quanto Leibniz reconheceram até certo ponto a importância do "adversário". Leibniz disse: Considerando a Matemática desde o início do mundo até a época de Newton, o que ele fez é sem dúvida a melhor metade. Newton, por sua vez, na primeira edição do Principia, admitiu que Leibniz possuía um método semelhante ao seu. Infelizmente, na terceira edição, após o ápice das desavenças, Newton retirou a referência a Leibniz.

O desenvolvimento do Cálculo continuou com muitos outros matemáticos, como, por exemplo, Jacques Bernoulli, Johann Bernoulli, MacLaurin, Agnesi, Euler, d'Alembert, Lagrange e Cauchy. Fonte: http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_derivadas.htm

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Leonhard Euler

15 de abril de 1707, em Basel, Suíça

18 de setembro de 1783, em São Petersburgo, Rússia

Leonhard Euler, filho de Paul Euler, ministro protestante, e Margaret Brucker, mudou-se para Riehen com um ano de idade, e lá foi criado. Seu pai o introduziu nos primeiros estudos de matemática.

Quando chegou à adolescência, Euler retornou a Basel para estudar, preparando-se para o curso de teologia na Universidade.

Euler não aprendeu matemática alguma na escola, mas seu interesse, despertado nas lições de seu pai, o levou a estudar sozinho textos diversos e a tomar lições particulares. Embora muito religioso, Euler não se entusiasmou com o estudo da teologia, e seu pai consentiu que ele mudasse para a matemática.

Terminado o curso, foi convidado a assumir a cadeira de um professor falecido na Universidade de São Petersburgo. Como não fora selecionado para a cadeira de física da Universidade de Basel, aceitou o primeiro convite e, em 1727, mudou-se para a Rússia. Chegando lá, afiliou-se à Academia de Ciências, onde teve contato com grandes cientistas como Jakob Hermann, Daniel Bernoulli e Christian Goldbach.

Em 1730, Euler tornou-se professor de Física da Academia, fato que o permitiu abandonar o posto de lugar-tenente da marinha Russa, que ele ocupava desde 1727. Três anos mais tarde, com o retorno de Daniel Bernoulli a Basel, Euler assumiu a cátedra de matemática da Academia, e os proventos advindos dessa nomeação permitiram que ele se casasse, em 1734, com Katharina Gsell, uma moça de ascendência suíça.

Os dois tiveram treze filhos, mas apenas cinco sobreviveram à infância. Euler atribui a essa fase algumas de suas maiores proezas científicas. depois de 1730 ele desenvolveu uma série de projetos acerca de cartografia, magnetismo, motores a combustão, máquinas e construção naval. ... O foco da sua pesquisa estava agora bem definido: teoria de números; análises no infinito incluindo seus novos ramos, equações diferenciais e o cálculo de variações, e mecânica racional. Ele enxergava esses três campos como intimamente ligados. Estudos de teoria de números foram vitais para a fundamentação do cálculo, e funções especiais e equações diferenciais foram essenciais para mecânica racional, que fornecia problemas concretos.

Em 1736-37, Euler publicou seu livro Mechanica, que tratou extensivamente da análise matemática da dinâmica newtoniana pela primeira vez. Foi também nesta época que seus problemas de saúde começaram. Euler era constantemente atormentado por fortes crises febris, e desenvolveu catarata, que acabou por lhe tirar a vista. Mas se sua saúde estava abalada, sua reputação, ao contrário, se firmava cada vez mais, e dois prêmios da Academia de Paris, em 1738 e 1740, acabaram por lhe valer uma oferta de trabalho em Berlim.

De início, Leonhard recusou, preferindo permanecer em São Petersburgo, mas a turbulência política na Rússia tornou difícil a vida de estrangeiros lá, e ele reconsiderou.

Chegou a Alemanha como diretor de matemática da recém-fundada Academia de Berlim, que tinha então como presidente Maupertius. As contribuçoes de Euler para a Academia foram notáveis. Ele supervisionava o observatório e o jardim botânico, selecionava pessoal, gerenciava várias questões financeiras. Além disso, coordenou a publicação de mapas geográficos, uma fonte de dividendos para a Academia. Também trabalhou no comitê da Academia, lidando com a publicação de trabalhos científicos. E como se não bastasse, sua própria produção científica neste período foi excepcional. Durante os 25 anos que morou em Berlim, Euler escreveu cerca de 380 artigos, livros sobre Cálculo de variações e órbitas dos planetas, sobre artilharia e balística,

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construção naval e navegação, sobre o movimento da Lua, cálculo diferencial e uma obra científica para leigos: Letters to a Princess of Germany(Cartas a uma Princesa da Alemanha, 3 vols. 1768-72).

Em 1759, com a morte de Maupertius, Euler assumiu a direção da Academia, embora não fosse nomeado presidente. Desavenças com Frederico, o Grande, em torno dessa questão fizeram-no deixar a Alemanha e retornar a São Petersburgo, em 1766. Em, 1771, velho e doente, Euler teve sua casa destruída num incêndio. Tudo o que ele salvou foram seus manuscritos. Foi nesta época que ele ficou totalmente cego. O impressionante é que mesmo depois disso ele continuou com seus projetos, e quase a metade de toda a sua produção científica foi concluída após esses incidentes. Evidentemente, Euler não logrou todas essas conquistas sozinho. Ele contou com a ajuda valorosa de dois de seus filhos, Johann Albrecht Euler, que seguia os passos do pai, e Christoph Euler, que estava na carreira militar, e também dois membros da Academia, A. J. Lexell e o jovem matemático N. Fuss, esposo de sua neta. Euler morreu em 18 de setembro de 1783. Obra: Ao nos referirmos a Leonhard Euler estamos falando do escritor de matemática mais produtivo de todos os tempos. Para se ter uma idéia, a Academia de Ciências de São Petersburgo continuou a publicar trabalhos novos de Euler até 50 anos depois da sua morte . Entre suas contribuições mais conhecidas na matemática moderna estão a introdução da função gama, a relação entre o cálculo diferencial de Leibniz e o método das fluxões de Newton e a resolução de equações diferenciais com a utilização do fator integrante.

Euler foi o primeiro a tratar seno e cosseno como funções. Devemos a ele as notações

para uma função, para uma função, para a base do logaritmo natural, para a raiz quadrada

de -1, para a somatória, para derivadas de graus elevados, entre muitas outras. Vamos examinar superficialmente alguns dos trabalhos de Leonhard Euler que consideramos mais relacionados com um curso de cálculo universitário. Talvez o resultado mais importante alcançado por Euler em sua juventude tenha sido a solução do problema de Basel, que consistia em encontrar uma forma fechada para a soma de séries infinitas

. Esse problema desafiou muitos dos melhores matemáticos da época, como os Bernoulli, Leibniz, Stirling e de Moivre. Euler ainda calculou o valor desta função para os

argumentos 4, 6, 8, 10 e 12: , , ,

, , .

Outro trabalho dele relacionado a séries infinitas incluiu a introdução de sua famosa constante , que ele provou ser o limite de :

quando tende ao infinito. Ele calculou o valor de com 16 casas decimais. Euler também estudou as séries de Fourier e em 1744 ele foi o primeiro a expressar uma função algébrica por uma série desse tipo, quando encontrou o resultado:

Esse resultado só foi publicado em 1755.

Alguns podem dizer que a análise matemática começou com Euler. Em 1748, na obra Introductio in analysin infinitorum, ele deu mais precisão à definição de funções idealizada por Johann Bernoulli. Neste trabalho, Euler baseou o cálculo em funções elementares, em oposição às curvas geométricas, como era feito até então. Ainda nele, é apresentada a fórmula:

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Em Introductio in analysin infinitorum, Euler lida com logaritmos tomando apenas valores positivos, muito embora seja descoberta sua a igualdade:

Seus estudos em funções analíticas de variáveis complexas conduziram-no às equações

de Cauchy-Riemann, em 1777, mas o mesmo resultado fora alcançado 25 anos antes por díAlembert.

Em Institutiones calculi differentialis, Euler aborda o comportamento da diferenciação mediante substituições.

EmInstitutiones cauculi integralis (1768-1770) Euler investigou integrais que podem ser expressas em termos de funções elementares, tratou de integrais duplas e trabalhou com equações diferenciais ordinárias e parciais. Problemas em física levaram Euler a estudar equações diferenciais. Seus trabalhos abrangeram equações lineares com coeficientes constantes, equações de segunda ordem com coeficientes variáveis, soluções de equações diferenciais em séries de potências, fatores integrantes, e muitos outros tópicos. Observando membranas vibrantes, chegou à equação de Bessel, a qual ele resolveu introduzindo as funções de mesmo nome.

As contribuições de Euler para o conhecimento ainda abrangeram muitas outras áreas. Gauss, Carl Friedrich (1777-1855)

Carl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu até 1855. É considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Gauss teve a estatura de Arquimedes e de

Newton, e seus campos de interesse excederam os de ambos. Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemática e para a Teoria dos Números. Seu pai era jardineiro e assistente de um comerciante, e enquanto criança mostrou grande talento para a matemática. Sua produção intelectual foi precoce; existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética. Diz a história que sua professora primária para manter a classe ocupada, lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100, tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilização da fórmula da PA. Sn = n.(a1 + an) / 2

Amigos de seu professor o apresentaram ao Duque de Brunswick, quando tinha 14 anos. O Duque passou a financiar sua educação e posteriormente suas pesquisas científicas. Gauss ingressou na universidade em outubro de 1795. Em seu primeiro semestre na universidade fez uma brilhante descoberta que o homem buscava a mais de 2000 anos como construir com compasso e esquadro. Esta descoberta foi comemorada com o início de seu diário que durante os próximos 18 anos foi testemunha de muitas de suas descobertas. Dentre suas descobertas nos tempos de estudante as mais significativas são a do método dos mínimos quadrados, a prova da reciprocidade quadrática na teoria dos números.

Até a idade de 20 anos Gauss teve um grande interesse por idiomas e quase se tornou um filologista. Posteriormente, literatura estrangeira e leituras sobre política eram seus passatempos, ambos com tendências conservadoras. Aos 28 anos, quando atingiu uma condição financeira confortável ele se casou com Johanne Osthof, sendo muito feliz. Teve com ela tres filhos. Porém, depois do nascimento do terceiro filho, em 1809, sua esposa faleceu. Depois ele se casaria novamente e teria mais tres filhos, no entanto sua vida não foi mais a mesma, e voltou-se cada vez mais para a pesquisa matemática.

Em 1798 Gauss retornou a Brunswick, onde ele viveu sozinho e continuou seu intensivo trabalho. No próximo ano com a quarta prova do teorema fundamental da álgebra, concluiu seu doutorado em 1801. A criatividade dos anos que se precederam se refletiram em duas descobertas :"DISQUESITIONES ARITHMETICAE" e o cálculo da órbita do planeta Ceres que havia sido recentemente descoberto.

A teoria dos números é um ramo da matemática que caminha para generalizações, entretanto é cultivada desde a antiguidade. O final do século XVIII foi considerado uma grande coleção de resultados isolados . Em sua DISQUESITIONES Gauss sumarizou seu trabalho anterior de forma sistemática, e solucionou algumas das mais difíceis questões, simulou conceitos

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e questões que serviram de guia para o século e ainda são significantes hoje. São alguns destes trabalhos, a prova da lei da reciprocidade quadrática, o desenvolvimento da teoria da composição de formas quadráticas, e completou a análise da equação ciclotômica.

Em janeiro de 1801 G.Piazzi observou e perdeu um novo planeta. Durante o restante do ano astrônomos tentaram em vão relocalizar o novo planeta. Em setembro, com o término de sua obra DISQUESITIONES, Gauss decidiu assumir mais este desafio. Para isso ele aplicou duas das mais apuradas teorias de órbitas e improvisou métodos numéricos. Em dezembro a tarefa estava cumprida e o planeta foi encontrado na órbita pré-calculada. Este feito de localizar um corpo celeste pequeno e distante com informações visuais insuficientes pareceu sobre-humana, principalmente porque Gauss não revelou seus métodos. Juntamente com o DISQUESITIONES Gauss firmava sua reputação de matemático e cientista genial. Esta década que começava com o DISQUESITIONES e Ceres foi decisiva para Gauss. Cientificamente este foi o principal período de exploração de idéias, foi o ponto de partida para a próxima década, terminando com a publicação da THEORIA MOTUS COUPORUM COILESTIUM IN SECTIONIBUS CONICS SOLEM AMBIENTUM, em que Gauss desenvolveu sistematicamente seus métodos de cálculo de órbitas incluindo a teoria e o uso de quadrados mínimos.

Profissionalmente esta foi uma década de transição para a matemática astronômica apesar disso Gauss estava bem com seu patronado do duque, entretanto se sentia inseguro e precisava de um posto mais sólido. No entanto, Gauss sentiu muito quando o Duque foi morto na Batalha de Jena (1806) em combate a Napoleão. A astronomia acabou sendo a opção mais interessante. Gauss assumiu o posto de direção do observatório de Göttingen sendo que nesta época já era afiliado à LONDON ROYAL SOCIETY e às academias russa e francesa. Com o aparecimento dos trabalhos sobre superfícies curvas o clima do mundo da matemática começou a mudar. Um dos mais significativos aspectos desta mudança foi a fundação de um novo periódico científico. A iniciativa prévia de manter um periódico matemático foi da Escola Politécnica, quando esta começou a publicar sua revista. Pouco tempo depois, em 1810, o primeiro periódico matemático foi publicado: era o ANNALES DE MATH&EACUTEMATIQUES PURES ET APLIQUE&EACUTES. Dentre estes novos periódicos que surgiam, Gauss participou com dois pequenos artigos no JOURNAL FUR DIE REINE UND ANGERANDLE MATHEMATICH. Um destes artigos foi uma prova do teorema de Hariot na álgebra, enquanto o outro continha o princípio de Gauss da restrição mínima.

Durante os últimos 20 anos de sua vida Gauss publicou artigos de grande interesse para a matemática. Um destes foi a quarta prova do teorema fundamental da álgebra que ele realizou na época de seu doutorado (1849), 15 anos depois da publicação de sua primeira prova. A outra foi um texto sobre teoria potencial em 1840 em um dos volumes de "GEOMAGNÉTIC RESULTS", que foi co-editado com seu jovem amigo o físico Wilhelm Weber. O geomagnetismo ocupou grande parte do tempo de Gauss na década de 1830. A maioria de suas publicações na última década de sua vida no observatório astronômico, faziam menção aos planetas recém descobertos, como Netuno.

A matemática gaussiana,serviu de ponto de partida para muitas das principais áreas de pesquisa da matemática moderna. As anotações de Gauss mostraram posteriormente que ele antecipou a geometria não-Euclidiana, 30 anos antes de Bolyai e Lobachevsky. Descobriu o teorema fundamental de Cauchy da análise complexa 14 antes. Descobriu os quaternios antes de Hamilton e antecipou muitos dos mais importantes trabalhos de Legendre, Abel e Jacobi. Se Gauss tivesse publicado todos os seus resultados, teria feito avançar o progresso da Matemática em mais de 50 anos.

JULES HENRI POINCARÉ - MATEMÁTICO, FÍSICO E FILÓSOFO

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Jules Henri Poincaré nasceu em 29 de abril de 1854, em Nancy, França, filho de uma família influente na sociedade da época. Seu pai era professor na Universidade de Nancy e o tio, Antoine, engenheiro. Vários membros de sua família tornaram-se conhecidos, tanto na política quanto na vida intelectual da França, principalmente Raymond Poincaré, presidente da França durante a Primeira Guerra Mundial. Suas habilidades matemáticas começaram a ser vistas quando ainda estudava no Liceu de Nancy, ao participar, e vencer, um concurso entre todos os liceus da França, além de se destacar em todas as disciplinas que estudava [GILLISPIE].

De 1873 a 1875 estudou na Escola Politécnica e em 1875 ingressou na Escola Nacional Superior de Minas (École des Mines). Em 1879 obteve seu doutorado em ciências matemáticas com uma tese sobre equações diferenciais. Seu trabalho foi feito com a orientação de Hermite e fazia parte da banca, Gabriel Darboux, conhecido por seus trabalhos com geometria não-euclidiana. Em 1881 tornou-se professor na Universidade de Paris, assumindo a cadeira de física matemática, onde permaneceu até sua morte em 17 de julho de 1912. Durante toda sua vida, Poincaré publicou mais de 500 trabalhos, entre livros e artigos, além de suas notas de aula. Seu pensamento influenciou a matemática, a física matemática e a filosofia, desde a teoria de funções e topologia, até um modo particular de pensar o mundo e sua lógica.

Bibliografia:

Básica:

BOYER, Carl B. História da Matemática. 2ª ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1999. 496p.

D‘AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática: Teoria e Prática. Campinas, Papirus, 1996.

EVES, Howard. História da Geometria. São Paulo: Atual, 1997, v. 3.

Complementar:

EVES, Howard, Introdução à História da Matemática, Ed. Unicamp, Campinas, 1997. COUTINHO, Lázaro. Matemática e mistério em Baker Street. Rio de Janeiro: Ciência Moderna,

2004. 267 p.

GARBI, Gilberto Garbi. A rainha das ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da

matemática. 4. ed. rev. e ampl.. São Paulo: Livraria da física, 2009. 468 p.

MIGUEL, Antonio et.al. História da matemática: em atividades didáticas. 2. ed. São Paulo:

Livraria da Física, 2009. 319 p.

MIGUEL, Antonio; MIORIM, Maria Ângela. História na educação matemática: propostas e

desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2008. 198 p. (Tendências em Educação Matemática)

VALENTE, Wagner Rodrigues (Org.). Euclides Roxo e a modernização do ensino da

matemática no Brasil. Brasília(DF): UnB, 2004.

Polcino, César M., A Gênese da Álgebra Abstrata, in Tópicos de Matematematica Elementar, vol. I, IMEUSP, São Paulo, 1987.