curso de história da matemática

CURSO DE HISTRIA DA MATEMTICA

Algumas possibilidades pedaggicas

MDULO 2O INCIO DO PROCESSO DE CONTAGEMOs homens primitivos no tinham necessidade de contar, pois o que precisavam para a sua sobrevivncia era retirado da prpria natureza. A necessidade de contar comeou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.

O homem comeou a plantar, produzir alimentos, construir casas, protees, fortificaes e domesticar animais, usando os mesmos para obter a l e o leite, tornando-se criador de animais domsticos, o que trouxe profundas modificaes na vida humana. As primeiras formas de agricultura de que se tem notcia, foram criadas h cerca de dez mil anos na regio que hoje denominada Oriente Mdio. A agricultura passou ento a exigir o conhecimento do tempo, das estaes do ano e das fases da Lua e assim comearam a surgir as primeiras formas de calendrio.

No pastoreio, o pastor usava vrias formas para controlar o seu rebanho. Pela manh, ele soltava as suas ovelhas e analisava ao final da tarde, se alguma tinha sido roubada, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado uma nova ovelha ao rebanho. Assim eles tinham a correspondncia um a um, onde cada ovelha correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.

No caso das pedrinhas, cada animal que saa para o pasto de manh correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondncia inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era s acrescentar mais uma pedra. A palavra que usamos hoje, clculo derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.

A correspondncia um a um no era feita somente com pedras, mas eram usados tambm ns em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcao. Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar quantidades, continuaram a ser usados at o sculo XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos ainda a correspondncia um a um.

A INVENO DOS NMEROS

A noo de nmero e suas extraordinrias generalizaes esto intimamente ligadas histria da humanidade. A idia de nmero muito antiga. No existe um inventor, mas as situaes vividas pelo homem, participante da construo de sua prpria histria, em diversos lugares do mundo, promoveram o desenvolvimento da numerao falada ou escrita. Os homens primitivos no tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivncia era retirado da prpria natureza. A necessidade de contar comeou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.

A Histria nos mostra que o homem inventou vrias maneiras para realizar contagens e represent-las, e todas elas associadas s necessidades de sua poca. Todo seu processo de construo fez parte do seu prprio contexto histrico-cultural. A relao biunvoca (exemplo: para cada ovelha, uma pedra) esteve presente neste processo. Usando os dedos, contas, pedras, marcas (conjunto comparador), entre outros, o homem ia garantindo o conhecimento e a memria das quantidades j relacionadas. No entanto, a dificuldade de trabalhar com grandes quantidades foi exigindo mudana nas formas de registros. O registro escrito vai sendo construdo para facilitar a prpria vida humana. Imaginemos, por exemplo, o trabalho que tinham os homens ditos primitivos para registrar, com pedrinhas ou riscos, a quantidade de mil quatrocentos e vinte e trs ovelhas. Para ns basta escrever 1.423. Vrios sistemas de representao escrita dos nmeros surgiram na histria da humanidade: o sistema de numerao egpcio, o da Mesopotmia, o romano, o maia, o arbico entre outros. Temos sistemas de numerao em diferentes bases: 2, 5, 10 etc. A idia de nmero foi sendo construda desde os primrdios da humanidade e passou por muitas mudanas at os dias de hoje.

Quando conhecemos um pouco da histria da inveno dos nmeros, podemos perceber que o homem levou muitos milnios nesta construo. Com isto, pensamos que trabalhar a idia de nmero com crianas em processo escolar traz tona um pouco deste vasto conhecimento elaborado ao longo da histria da humanidade. Se, como professores, nos colocarmos como observadores das estratgias apresentadas pelas crianas, veremos que algumas delas esto em comunho com as estratgias utilizadas pelo homem ao longo da inveno dos nmeros. A contagem utilizando os dedos uma das heranas de que at hoje fazemos uso.

A expanso, as trocas comerciais, e as diversas transaes financeiras em sociedades primitivas, levaram antigas civilizaes (cerca de 5000 anos atrs), a iniciar o processo de representao numrica. Logicamente, este incio foi instvel, ou seja, estes povos comearam a representar valores e quantidades de maneira arcaica, usufruindo de recursos rudimentares para sua simbolizao. Entre eles citamos pedras, argila, madeira e ossos.

Entre estes antigos povos, destacaremos alguns que foram pioneiros no processo do grafismo numrico: Cerca de 3300 anos a.C., os Sumrios e Elamitas, iniciaram este processo evolutivo, e possuam necessidade de representar trocas comerciais e suas posses. Para isso, utilizavam fragmentos de argila para esta simbolizao. Faziam sucessivos desenhos na argila de maneira ntida os componentes de sua troca, ou mesmo, os seus bens.

Datando-se de 3000 anos a.C., os egpcios foram sbios e inovadores neste processo, ou seja, iniciaram uma representao prpria e original, sem imitao, onde comearam a utilizar a base 60 em sua contagem. Seus smbolos eram grafados em pedras, cermica e em papiro (com material colorante).

J os avanos na escrita numrica na civilizao asteca, foram descobertos atravs de um documento histrico que relata o processo histrico de desenvolvimento deste povo. A base utilizada era 20, e os nmeros eram representados por gravuras, como um crculo para a unidade, um machado para a base 20, uma pena para o nmero 400, e um saco cheio de gros para 8000.

Em seguida, os povos gregos e romanos comearam, tambm a contribuir no processo de grafismo numrico. Os gregos utilizam as letras do alfabeto para representar valores numricos. J os Romanos usufruam de um sistema, que baseava-se na repetio constante de smbolos. Eles usavam a regra da soma e subtrao na representao dos algarismos. Historiadores afirmavam que a simbologia romana provm das letras I,V, X, L, D e M, onde, I (um), V(cinco), X (dez), L(cinqenta), D (quinhentos) e M (mil). O povo da ndia atribua valores afetivos, emocionais para a representao numrica. Citamos por exemplo: 1 (eka)-pai, corpo, nico, 2(dvi)-gmeos, casal, olhos, braos, 3(tri)-os 3 mundos.

Cerca de 300 anos a.C. surge o povo Hindu em constante evoluo no processo de representao numrica. Neste perodo, os algarismos comearam a adquirir seu formato atual.

No sculo VIII, os rabes adotaram o sistema Hindu de representao, e quando iniciaram o processo de conquista muulmana-rabe, difundiram a atual representao numrica (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) por todo o ocidente. Esta ltima evoluo no grafismo numrico foi efetivada pelos rabes, quando transcreveram a representao Hindu para os pergaminhos.

A introduo dos algarismos Hindus na Europa, j foi mais complicada, pois, na Idade Mdia, o povo no possua acesso cultura, no entanto o Papa Romano contestava a representao Hindu e a inferiorizava constantemente. Gebert d'Aurillac, levou a numerao Hindu para a Europa, e ele foi to contrariado, que os cristos o definiam como um ser demonaco.

Ao descrevermos sobre a escrita numrica, no podamos de esquecer de ressaltar alguns pensamentos interessantes entre os povos antigos. Alguns, no contavam pessoas, pois seria a mesma coisa que conden-la morte. Em Uruk(2850 anos a.C.), o casamento era um contrato, cujo 'valor da noiva' , era definido e representado na argila. A solido em antigas tribos, era representada pelo nmero 1.

Representamos mecanicamente os nmeros e usufrumos dos mesmos constantemente em nosso dia-a-dia. A engenharia, a computao e a mecnica, por exemplo, no existiam sem a representao numrica. Como vimos, o tempo para atingirmos a base 10 e a atual representao, foi cerca de 500 anos, no entanto, conclumos, que as descobertas baseiam-se em estudos prvios, atingindo assim, um ponto de equilbrio, demonstrando o carter dialtico do processo de evoluo da histria e da humanidade. CONSTRUINDO O CONCEITO DE NMERO

Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade comeou a construir o conceito de nmero. Para o homem primitivo o nmero cinco, por exemplo, sempre estaria ligado a alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco bastes, cinco animais etc. A idia de contagem estava relacionada com os dedos da mo. Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco.

Para ns, hoje, o nmero cinco representa a propriedade comum de infinitas colees de objetos: representa a quantidade de elementos de um conjunto, no importando se so cinco bolas, cinco canetas, cinco lpis etc.

Deve ter passado muito tempo antes de o homem perceber que um par de pombos, um casal de coelhos, dois namorados, o dia e a noite eram instncias de uma mesma idia: o nmero 2.

A CAPACIDADE DE PERCEBER PEQUENAS QUANTIDADESAlgumas aves e alguns insetos possuem aquilo que os cientistas chamam de senso numrico. Dentre os mamferos, somente os homens tambm o possuem. isso que nos permite olhar uma coleo e dizer instantaneamente: so duas rvores, trs canetas ou quatro homens. Embora alguns insetos e mesmo pssaros o possuam em escala maior, seu uso parece restrito prpria sobrevivncia, mas o homem foi alm, desenvolvendo um atributo bem mais eficaz, a contagem. Numerando os objetos, um a um, podem ser contados conjuntos de coisas muito maiores do que os percebidos pelo senso numrico.H uma enorme quantidade de evidncias mostrando que essa capacidade muito comum entre os animais. Um dos exemplos mais conhecidos o dos pssaros: se retirarmos dois ou mais ovos de um ninho, o pssaro o abandona.

Passando a exemplos mais significativos, podemos considerar o das leoas. Fora da poca de reproduo, elas caam em grupo e quando tem seu territrio invadido por outras leoas, elas comparam o tamanho de seu grupo com o das invasoras para decidirem se hora de fugir ou defender o territrio.

Mais impressionante ainda o caso da vespa solitria, Genus Numenus, uma espcie em que a fmea maior do que o macho. Quando uma vespa me bota seus ovos, ela o faz colocando cada ovo em uma clula diferente e junto de cada ovo ela deixa, para futuro alimento de seu "beb", algumas larvas de inseto. O notvel que, de alguma maneira, a me sabe se um dado ovo originar uma vespa macho ou fmea e deixa na respectiva clula: 5 larvas de insetos se for um ovo de vespa macho e 10 se for ovo de vespa fmea.

Existe um exemplo clebre sobre um corvo que tinha capacidade de reconhecer quantidade: Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo que fez seu ninho na torre de observao de sua manso. Por diversas vezes, tentou surpreender o pssaro, mas em vo: aproximao do homem, o corvo saa do ninho. De uma rvore distante, ele esperava atentamente at que o homem sasse da torre e s ento voltava ao ninho. Um dia, o fazendeiro tentou um ardil: dois homens entraram na torre, um ficou dentro e o outro saiu e se afastou. Mas o pssaro no foi enganado: manteve-se afastado at que o outro homem sasse da torre. A experincia foi repetida nos dias subseqentes com dois, trs e quatro homens, ainda sem sucesso. Finalmente, foram utilizados cinco homens como antes, todos entraram na torre e um permaneceu l dentro enquanto os outros quatro saam e se afastavam. Desta vez o corvo perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre quatro e cinco, voltou imediatamente ao ninho. importante insistir que o senso numrico uma capacidade independente da de contar. Quando olhamos para uma mesa e dizemos que sobre a mesma existem trs livros, podemos fazer isso sem contar um, dois e trs. Alm disso, tambm importante enfatizar que o senso numrico atributo inato de muitos animais, enquanto que apenas no homem o crebro atingiu uma complexidade suficiente para lhe permitir aprender a contar. Tambm temos bastante evidncia experimental para achar que apenas humanos so capazes de fazer multiplicaes e divises.

Como conseguimos atravessar o caminho do senso numrico para o da contagem? No existe uma resposta simples, mesmo porque temos de imaginar que o homem primitivo no escrevia, s falava. E palavras, como sabemos, o vento leva. Devemos tambm considerar que algumas tribos muito primitivas, nossas contemporneas, possuem palavras numricas, mas nenhuma palavra para "nmero". Da mesma forma, tm palavras para "vermelho", "azul", "amarelo" ou "branco", mas nenhuma para "cor".

TRS NOES BSICAS: NMERO, NUMERAL E ALGARISMO.Nmero a idia de quantidade que nos vem mente quando contamos, ordenamos e medimos. Assim, estamos pensando em nmeros quando contamos as portas de um automvel, enumeramos a posio de uma pessoa numa fila ou medimos o peso de uma caixa.Numeral toda representao de um nmero, seja ela escrita, falada ou indigitada.

Algarismo todo smbolo numrico que usamos para formar os numerais escritos.

EXEMPLOS:

O nmero vinte e trs pode ser representado pelo numeral XXIII (no sistema romano), pelo numeral 23 (no sistema indo-arbico) e de muitas outras maneiras. No sistema indo-arbico, sua representao usou os algarismos 2 e 3, e no sistema romano usou os algarismos X e I. No dia-a-dia so extremamente comuns as confuses entre os conceitos de nmero, numeral e algarismo. Vejamos algumas:

minha senha bancria tem trs algarismos e no trs nmeros

o funcionrio registrou mal o algarismo das centenas do valor de meu consumo mensal de energia eltrica, e no: "...registrou mal o nmero das centenas do..."

ningum poderia escrever uma data com nmeros romanos, mas sim com algarismos romanos. Ainda mais importante: nenhum professor pode ensinar nmeros romanos; contudo todos devem conhecer os algarismos romanos e saber escrever/ler numerais romanos! SISTEMAS DE NUMERAO

todo conjunto de regras para a produo sistemtica de numerais. No caso de sistemas de numerao escrita, a produo dos numerais feita atravs de combinaes de algarismos e eventuais smbolos no numricos (como a vrgula no sistema indo-arbico etc).

O SISTEMA DE NUMERAO EGPCIOEssa idia de agrupar marcas foi utilizada nos sistemas mais antigos de numerao. Os egpcios da Antiguidade criaram um sistema muito interessante para escrever nmeros, baseado em agrupamentos.

1 era representado por uma marca que se parecia com um basto |

2 por duas marcas ||

E assim por diante:

3|||7|||||||

4||||8||||||||

5|||||9|||||||||

6||||||

Quando chegavam a 10, eles trocavam as dez marcas: ||||||||||

por , que indicava o agrupamento.

Feito isso, continuavam at o 19:

10 15 |||||

11 |16 ||||||

12 ||17 |||||||

13 |||18 ||||||||

14 ||||19 |||||||||

O 20 era representado por

INCLUDEPICTURE "http://educar.sc.usp.br/matematica/s2.gif" \* MERGEFORMATINET E continuavam:

30

INCLUDEPICTURE "http://educar.sc.usp.br/matematica/s2.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://educar.sc.usp.br/matematica/s2.gif" \* MERGEFORMATINET 40



INCLUDEPICTURE "http://educar.sc.usp.br/matematica/s2.gif" \* MERGEFORMATINET .

.

.

90








INCLUDEPICTURE "http://educar.sc.usp.br/matematica/s2.gif" \* MERGEFORMATINET Para registrar 100, ao invs de









INCLUDEPICTURE "http://educar.sc.usp.br/matematica/s2.gif" \* MERGEFORMATINET ,

trocavam esse agrupamento por um smbolo novo, que parecia um pedao de corda enrolada: Juntando vrios smbolos de 100, escreviam o 200, o 300,... etc, at o 900.

Dez marcas de 100 eram trocadas por um novo smbolo, que era a figura da flor de ltus:

Desta forma, trocando cada dez marcas iguais por uma nova, eles escreviam todos os nmeros de que necessitavam.

Veja os smbolos usados pelos egpcios e o que significava cada marca.

Smbolo egpcio descrionosso nmero

basto1

calcanhar10

rolo de corda100

flor de ltus1000

dedo apontando10000

peixe100000

homem1000000

Observe como eles escreviam o nmero 322:






INCLUDEPICTURE "http://educar.sc.usp.br/matematica/s1.gif" \* MERGEFORMATINET ou seja, 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 1 + 1

Na escrita dos nmeros que usamos atualmente, a ordem dos algarismos muito importante. Mas os egpcios no se preocupavam com a ordem dos smbolos.O SISTEMA DE NUMERAO ROMANODiversas civilizaes da Antigidade, alm da egpcia, desenvolveram seus prprios sistemas de numerao. Alguns deles deixaram vestgios, apesar de terem sido abandonados. Assim, por exemplo, na contagem do tempo, agrupamos de 60 em 60; sessenta segundos compem um minuto e sessenta minutos compem uma hora. Isto conseqncia da numerao desenvolvida na Mesopotmia, h mais de 4000 anos. L era usada a base sessenta. Outro vestgio de uma numerao antiga pode ser observado nos mostradores de relgios, na indicao de datas e de captulos de livros: so os smbolos de numerao romana.

Estes so os smbolos usados no sistema de numerao romano:

IVXLCDM

1510501005001000

Vamos lembrar como eram escritos alguns nmeros:

setetrinta e seiscento e cinqenta e doismil setecentos e onze

VIIXXXVICLIIMDCCXI

5+1+110+10+10+5+1100+50+1+11000+500+100+100+10+1

Para no repetir 4 vezes um mesmo smbolo, os romanos utilizavam subtrao.

Observe alguns nmeros que seriam escritos com 4 smbolos e como os romanos passaram a escrev-los:

quatronovequarentaquarenta e quatronovecentos

IVIXXLXLIVCM

5-110-150-10(50-10)+(5-1)1000-100

quatrocentos e noventamil novecentos e noventa e quatro

CDXCMCMXCIV

(500-100)+(100-10)1000+(1000-100)+(100-10)+(5-1)

Assim como no sistema egpcio, tambm na numerao romana trabalhoso escrever certos nmeros. Veja:

trs mil oitocentos e oitenta e oito

MMMDCCCLXXXVIII

1000+1000+1000+500+100+100+100+50+10+10+10+5+1+1+1

Como vimos anteriormente, o nmero 1000 representado pela letra M. Assim, MM corresponde a 2000 e MMM a 3000. E os nmeros maiores que 3000? Para escrever 4000 ou nmeros maiores que ele, os romanos usavam um trao horizontal sobre as letras que representavam esses nmeros.

Um trao multiplica o nmero representado abaixo dele por 1000. Dois traos multiplica o nmero abaixo deles por 1 milho.O SISTEMA DE NUMERAO BABILNICO (2000 a.C.)

Os babilnicos viviam na Mesopotmia, nos vales do Rio Tigres e Eufrates, na sia. Esta regio ocupada atualmente pelo Iraque.

Nas escavaes arqueolgicas realizadas nas cidades da Mesopotmia foram encontrados milhares de placas de barro, contendo numerosas inscries. Em algumas delas, os registros referiam-se a nmeros.

Usando um bastonete, os escribas da Mesopotmia escreviam sobre essas placas, com o barro ainda mole. Depois, elas eram cozidas no fogo ou apenas secas ao sol. No sistema numrico da Mesopotmia, a unidade era representada por um sinal parecido com uma cunha ( ) .A numerao dos mesopotmicos de base sessenta. Assim, significa um grupo de sessenta mais trs. O smbolo da esquerda, separado dos outros trs, vale sessenta.

Na escrita dos nmeros de 1 a 59, o sistema de numerao dos babilnios se parecia muito com o sistema de numerao desenvolvida pelos egpcios; ambos eram aditivos.

Observe, no quadro a seguir, os smbolos e a representao de alguns nmeros, de 1 a 59, nesse sistema de numerao.

Assim escreviam os nmeros de 10 a 20:

As antigas civilizaes da Mesopotmia desapareceram e, com elas, o seu sistema numrico. Entretanto, alguns vestgios nos acompanham at os dias de hoje. Na contagem do tempo, sessenta segundos compem um minuto e sessenta minutos compem uma hora. Esta contagem por grupos de sessenta devida base sessenta da numerao mesopotmica.O SISTEMA DE NUMERAO INDO-ARBICO

Os hindus, que viviam no vale do Rio Indo, onde hoje o Paquisto, conseguiram desenvolver um sistema de numerao que reunia as diferentes caractersticas dos antigos sistemas.

Tratava-se de um sistema posicional decimal. Posicional porque um mesmo smbolo representava valores diferentes, dependendo da posio ocupada; decimal porque eram feitos agrupamentos de dez em dez.

Esse sistema posicional decimal, criado pelos hindus, corresponde ao nosso atual sistema de numerao, j estudado por voc nas sries anteriores. Por terem sido os rabes os responsveis pela divulgao desse sistema. Ele ficou conhecido como sistema de numerao indo-arbico.

Os dez smbolos, utilizados para representar os nmeros, denominam-se algarismos indo-arbicos. So eles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Veja, no quadro a seguir, as principais mudanas ocorridas nos smbolos indo-arbicos, ao longo do tempo.

Observao: Observe que, inicialmente, os hindus no utilizavam o zero. A criao de um smbolo para o nada, ou seja, o zero foi uma das grandes invenes dos hindus. Os atuais algarismos hindu-arbicos so produto de muitos anos de histria e desenvolvimento social. Os povos primitivos necessitavam de uma simbologia para representar suas transaes comerciais, mas como fazer isso? Contratos, emprstimos e trocas, necessitavam ser grafados, mas no existiam smbolos convencionados para isso A partir da, vrias civilizaes se empenharam no processo de simbolizao do algarismo. Com seu sistema de nove sinais (o zero surge depois), o povo hindu contribuiu de forma significativa para o sistema de numerao decimal que usamos hoje. O sistema indo-arbico utilizado em quase todo o mundo apresenta alguns princpios bsicos:

Possuir base decimal, ou seja, a cada dez, forma um novo grupo da ordem posterior.

Fazer uso de dez smbolos, que so os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, para representar qualquer nmero desejado.

Ser um sistema de valor posicional, ou seja, o algarismo 2 pode valer 2, 20, 200... dependendo da ordem em que se encontre no nmero representado. Alm de ser posicional, o sistema indo-arbico utiliza o zero para indicar uma posio vazia, dentre os agrupamentos de dez do nmero considerado. O sistema decimal multiplicativo porque um algarismo escrito esquerda de outro vale dez vezes o valor posicional que teria se estivesse ocupando a posio do outro. Ex.: 333 = 3 x 100 + 3 x 10 + 3. O sistema aditivo, pois o valor do nmero obtido pela adio dos valores posicionais que os smbolos adquirem nos respectivos lugares que ocupam. Ex.: 425 = 400 + 20 + 5.COMO ERA DURA A VIDA SEM O ZEROLuiz BarcoQual foi a mais importante descoberta feita pelo homem? Algum pensar na roda, outro no fogo, na penicilina, na televiso... E por a se pode ir muito longe. Acrescento uma outra em que provavelmente ningum vai pensar: o zero. Isso mesmo, o zero do nosso sistema de numerao. Pois ele no existiu sempre.

Na verdade, s apareceu muitos sculos depois que a humanidade aprendera a contar e a representar graficamente suas contas. Seu uso consagrou-se na Europa por volta do sculo XIV, embora haja indcios de que algumas civilizaes o utilizassem antes.

Dele disse o matemtico americano Tobias Dantzig: "Concebido, com toda a probabilidade, como smbolo para uma coluna vazia no baco, o sunya indiano estava destinado a tornar-se o ponto crucial num desenvolvimento sem o qual o progresso da cincia moderna, da indstria e do comrcio inconcebvel". difcil acreditar que os homens levaram cinco mil anos entre escrever nmeros e conceber o nosso sistema de numerao posicional. Datam de antes de 3500 a.C. os registros mais antigos, indicando o uso sistemtico de numerais escritos. E eles eram dos sumrios e dos egpcios.

Conta-se que, no sculo XIV, um mercador alemo quis escolher uma boa escola para o filho e foi aconselhar-se com um professor. Esse recomendou: se o aprendiz fosse limitar-se soma e subtrao, bastaria freqentar uma universidade alem; se quisesse multiplicar e dividir, deveria ir Itlia. pois s l se podia obter instruo to avanada. Mas preciso esclarecer que fazer esses clculos naqueles tempos nada tinha a ver com as tcnicas que empregamos hoje. A multiplicao era obtida por duplicaes sucessivas e a diviso por mediaes sucessivas. Ou seja. sucessivas divises por dois.

razovel imaginar que os sistemas numricos nasceram da necessidade que o homem primitivo tinha de registrar seus bens rebanhos, por exemplo. Logo as necessidades foram alm do simples registro e ento surgiram as operaes aritmticas, que levaram criao do baco, um curioso e simples aparelho que permite fazer os clculos por meio de contas mveis. Durante muito tempo os homens mantiveram um sistema de numerao escrita para registrar os bens e o baco para fazer clculos. Houve quem tentasse elaborar regras para operar com os nmeros escritos, mas as dificuldades eram grandes.

E por isso a humanidade levou um tempo enorme para passar do baco para a numerao posicional moderna. Um perodo em que muitas civilizaes floresceram e pereceram, deixando-nos um rico legado de obras literrias, artsticas, filosficas e religiosas.

A luz sobre essa questo comea a se fazer quando examinamos o esqueleto de nossa numerao moderna. O principio posicional consiste em dar ao algarismo um valor que depende no apenas do membro da seqncia natural que ele representa, como tambm da posio que ocupa em relao aos outros smbolos do grupo. Assim, o algarismo 3 tem significados diferentes nos nmeros 423, 537 e 386: no primeiro significa 3, no segundo 30 e no terceiro 300. Vamos escrever um desses nmeros num quadro de contar:

Parece suficiente traduzir esse esquema na linguagem dos numerais para obtermos o que temos hoje.

Mas h dificuldade num registro como 43, que pode estar representando qualquer destas formas.

Foi necessrio criar um smbolo para as casas que ficavam vazias no baco, conforme estivssemos escrevendo 43, 430, 403, 4003 etc. Hoje parece simples, mas a mentalidade concreta dos antigos gregos, por exemplo, no podia conceber o vazio, o nada, como um nmero. Provavelmente, nem os hindus viram no zero o smbolo do nada. O termo indiano sunya significa "vazio" ou "espao em branco", mas no "o nada".

Assim, tudo leva a crer que a descoberta do zero foi um acidente causado pela tentativa de fazer um registro permanente e claro de uma operao do baco. No foi -toa que o grande matemtico, astrnomo e fsico francs Pierre-Simon Laplace (1749-1827) observou: "Apreciaremos ainda mais a grandeza dessa conquista se lembrarmo-nos de que ela escapou ao gnio de Arquimedes e Apolnio, dois dos maiores homens da Antigidade".

Exemplos de numerao utilizada por povos antigos: nenhum possua umsmbolo especfico para o zero, pois para eles o nada no era um nmero.

Principais acontecimentos associados evoluo do zero: 3 000 a.C.Vale do Indo ( Mohenjo Daro e Harappa ) h evidncia de aparente uso de smbolo circular indicando o valor zero em rguas graduadas.(os documentos da Civilizao do Vale do Indo tem resistido a dezenas de tentativas de decifragem, cf. Gregory Possehl: The Indus Age, Univ. of Pensylvania Press)

3 000 a.C.O olho de Horus: sistema de representao e clculo com fraes inventado pelos egpcios e por muitos sculos usado pelos comerciantes da regio mediterrnea; envolto em misticismo, trabalhava com fraes binrias entre zero e um, sendo que um estava identificado com a pureza absoluta e zero impureza absoluta

2 000 a.C.O Sistema cuneiforme inventado na Mesopotamia; apesar de ser um sistema de numerao posicional, os mesopotmicos de ento ainda no tinham a noo de algarismo zero

1 000 a.C.Os olmecas ( antecessores dos mayas ) inventam um sistema de numerao posicional, usado para marcar o tempo a partir de observaes estelares, e o mesmo incluia um algarismo zero (Igncio Bernal: A Compact History of Mexico, 1974)

500 a.C.Parmnides, filosofo grego, inventa o Paradoxo do Julgamento Negativo (se uma afirmao declara que uma certa coisa existe, ento sua negativa indicar algo que no existe; ora, uma frase sobre algo que no existe uma frase sobre nada e ento impossvel); Platon faz grande uso desse paradoxo em seus dilogos e concluiu que impossvel existir uma grandeza nula (cf. nos informou Luigi Borzacchini)

400 a.C.Os chineses deixam casa vazia, em caso de zero, em seus bacos de mesa

300 a.C.os mesopotmicos passam a usar um algarismo zero medial (como 205 e 120 1/4 no nosso sistema decimal) em suas tabelas astronmicas, contudo nunca usam zero inicial ou final (como em 250 ou 0,05 no sistema decimal), cf. nos informou a Profa. Eleanor Robson, do Oriental Institute, Oxford University.

200 a.C.a palavra snya (pronuncia-se shunia e significa vazio, em snscrito) usada para indicar casa nula quando da escritura de nmerais no livro Chandah-sutra do matemtico indiano Pingala. Mais tarde, as casas nulas passaram a ser indicadas por um ponto, o qual era chamado de pujyam.

150 d.C.Ptolemaios, em seu livro Syntaxis, usa rotineiramente um algarismo zero para representar no sistema sexagesimal os nmeros de suas tabelas trigonomtricas e de suas tabelas astronmicas; ele usa tanto o zero medial como o zero final; h controvrsia acerca da forma de seu algarismo zero, pois que temos apenas cpias do livro de Ptolemaios e essas cpias no usam o mesmo smbolo para o algarismo zero. Em particular, Otto Neugenbauer mostrou ser pouco provvel que o zero de Ptolemaios fsse a letra grega micron (igual ao nosso "o"), que a letra inicial da palavra grega oudenia (= vazio, sem valor), pois esse smbolo aparece s em cpias da Syntaxis feitas no Perodo Bizantino

350 d.C.Os mayas produzem um artefato, o Uaxactun - Stela 18 e 19, que o documento mais antigo que deixaram tendo um zero; note que esse artefato no usa o sistema posicional; o mais antigo documento maya usando zero e o sistema posicional o Pestac - Stela 1, datado de 665 dC, cf. nos informou Michael Closs.

A figura ao lado, feita com material do livro de Guillermo Garces Contreras (Pensamiento matematico y astronomico en el Mexico precolombino. Mexico: Instituto Politecnico Nacional, 1982) mostra as representaes mayas para o zero:

a primeira linha mostra como eles representavam o zero quando escreviam em livros (cdices): usavam o desenho de uma concha ou o de um caracol, ambos smbolos associados morte ou ao final de um ciclo; acha-se que o provvel nome maya para o zero seria xixim, que significava concha.

a linha inferior mostra as representaes do zero que usavam em inscries em monumentos, como o Uaxactun: a forma humana usando adornos caractersticos dos deuses do mundo das trevas e o desenho da flor smbolo do calendrio sagrado maya, a qual tambm era o emblema da eternidade e da regularidade dos movimentos csmicos(os melhores agradecimentos ao professor mexicano Victor Larios Ozorio por essas preciosas informaes)

500 d.C.Varahamihira, famoso matemtico indiano, usa um pequeno crculo para denotar o algarismo zero em seu livro Panca-siddhantika. Especula-se que desde c. 300 dC os indianos vinham usando um ponto, o pujyam, para denotar o zero.

628 d.C.Brahmagupta, matemtico indiano, em seu livro Brahma-sputa siddhanta, eleva o zero categoria dos samkhya (ou seja, dos nmeros) ao dar as primeiras regras para se calcular com o zero: um nmero multiplicado por zero resulta em zero; a soma e a diferena de um nmero com zero resulta neste nmero; etc)

850 d.C.al Khwarizmi, aps ter aprendido a calcular ao estilo indiano com o Siddhanta de Brahmagupta, escreveu um livro de aritmtica chamado (provavelmente) Clculo com os Numerais Indianos (al arqan al hindu); esse livro foi quem fz a divulgao do sistema posicional decimal, e respectivas tcnicas de clculo, no mundo islmico. Junto com isso veio a divulgao do zero no mundo entre os povos de lngua rabe; dos nomes snya, pujyam e sbra, usados no livro de Brahmagupta, al Khwarizmi adotou o terceiro para denotar o zero e da a evoluo: sbra -> siphra ou sifr (rabe) -> cifra e outras variantes nas lnguas europias -> zephirum (pronncia latina do sifr) e da o termo moderno: zero.

(agradecimentos ao Prof Jeff Miller pela figura ao lado, referente comemorao dos 1 200 anos de nascimento de al-Khwarizmi)

980 d.C.O monge Gerbert d'Aurillac (futuro Papa Silvestre II) viaja pela Espanha islmica onde aprende a calcular com o sistema indiano; ao retornar ao Mundo Cristo, tenta popularizar essa tcnica de clculo adaptando-a a um baco que utilizava pedras enumeradas, chamadas apices; sua tentativa no teve sucesso; em verdade, Gerbert parece no ter entendido a essncia do clculo indiano e, em particular, a importncia do zero no mesmo, pois em seu baco o zero era suprfluo: o pice zero tinha o mesmo efeito da ausncia de pice; quanto origem do sistema usado por Gerbert: o historiador John W. Durham acha que os nomes usados por Gerbert para seus algarismos (por exemplo o zero era chamado sipos) sugerem que seu sistema no veio pelo caminho indianos - > rabes - > Norte da frica - > Mundo Cristo mas sim via Mesopotmia - > Sria (nestorianos) - > Norte da frica - > Mundo Cristo.

1 200 d.C.Fibonacci, que havia aprendido a calcular no sistema indiano em suas viagens de estudo pela frica islmica, escreve seu famoso livro, o Liber abaci, o qual junto com a traduo latina da aritmtica de al Khwarizmi foram os grandes introdutores do sistema indo-arbico no Mundo Cristo e dois dos mais importantes livros da Histria da Humanidade. Que Fibonacci ainda via o zero com desconfiana pode ser percebido pelo modo que usava para se referir aos algarismos: novem figure indorum ( ie os nove algarismos indianos) e o hoc signum 0... quod arabice zephirum appelatur (o sinal zero).

(agradecimentos ao Prof Kimberlin pela rarssima figura ao lado, que uma foto da esttua erigida pelos comerciantes de Pisa em homenagem e agradecimento a seu ilustre conterrneo Fibonacci)

1 250 d.C.Sacrobosco, baseado em al-Khwarizmi e Fibonacci, escreve seu Algorismus vulgaris o qual tornou-se o livro de matemtica mais popular nas universidades medievais e, assim, divulgou definitivamente o sistema posicional decimal e suas tcnicas de clculo na comunidade cientfica de ento; a adoo desse sistema pelos comerciantes e resto da populao foi bem mais lenta, e eles continuaram a usar os numerais romanos e o clculo com bacos ainda por vrios sculos; assim que, para a populao era frequente ter de "traduzir" para o sistema romano nmeros escritos no sistema indiano: da a origem da palavra "decifrar".

Examine na figura abaixo alguns passos da evoluo dos algarismos, desde os usados pelos indianos da poca de Brahmagupta, passando pelos algarismos usados pelos povos rabes e chegando aos algarismos que usamos no Mundo Cristo. Lendo de baixo para cima:

algarismos Devanagari da poca de Brahmagupta

algarismos Devanagari primitivo, anterior a Brahmagupta

algarismos rabes de 800 d.C

algarismos rabes atuais

letras rabes eventualmente usadas como algarismos

algarismos indo-arbicos medievais

indo-arbico atual

O SISTEMA NUMRICO CHINS

Os caracteres tradicionais do sistema numrico chins so esses:

Esses smbolos so ainda usuais tanto na China como no Japo, mas para os clculos eles utilizam o sistema indo-arbico. Como todo sistema de numerao, este tambm tem as suas regras. Observe os exemplos a seguir:

O SISTEMA DE NUMERAO MAIAPerdidas h sculos nas florestas tropicais e matas da Amrica Central, algumas dezenas de cidades mortas ilustram um dos mais misteriosos episdios da Histria. Essas cidades que, no momento de sua glria, constituram certamente as capitais de Estados independentes governados por algumas autoridades religiosas, foram outrora ocupadas pelos representantes de um fundo cultural comum, que tinha nascido provavelmente na floresta do Peten e regies vizinhas, e que os historiadores e arquelogos designam pelo nome de Civilizao Maia.Durante mais de mil anos os maias habitaram a regio onde hoje se localiza o sul do Mxico e a Amrica Central.

Os Maias tinham como base no a dezena, mas a vintena e as potncias de vinte. A razo, como se sabe, devida ao hbito que os seus ancestrais tinham de contar no apenas com os dez dedos, mas tambm com os seus ps. A numerao do povo Maia fundou-se no princpio da adio. Devia associar um crculo ou um ponto unidade (sinal comum a todos os povos da Amrica Central, originado do gro de cacau, ento empregado como "moeda de troca"). A numerao dos Maias dificilmente deveria prestar-se prtica das operaes aritmticas e o sistema devia servir apenas para consignar os resultados de clculos j efectuados. Este povo deveria fazer os seus clculos atravs de um instrumento operatrio anlogo aos bacos do Velho Mundo. A numerao Maia escrita no foi concebida para responder s necessidades do clculo corrente, que dizia a respeito apenas aos comerciantes e ao uso comum dos mortais. Foi elaborada, ao contrrio, apenas para satisfazer as necessidades do cmputo do tempo e das observaes, em razo da ligao estreita que existia, nessa civilizao, entre o fluir do tempo e o mundo divino. A "cincia Maia" foi cultivada no alto dos santurios. Os sacerdotes, via de regra, tornavam-se astrnomos. Se os Maias tinham conseguido conceber um dos melhores calendrios da histria e realizar verdadeiras proezas em astronomia, tinham, por outro lado, sido escravos do seu misticismo e da sua religio. TEORIA DOS NMEROSA teoria dos nmeros o estudo dos nmeros naturais ou inteiros positivos 1, 2, 3, 4,... e suas propriedades. O matemtico Leopold Kronecker certa vez observou que, ao se tratar de matemtica, Deus criou os nmeros naturais e o resto obra da humanidade. Contudo, os inteiros positivos representam, sem sombra de dvida, a primeira criao matemtica humana, e difcil imaginar a humanidade destituda da habilidade de contar.

Embora os nmeros naturais constituam, em um certo sentido, o sistema matemtico mais elementar, o estudo de suas propriedades tem exercido grande fascnio na mente humana desde as mais remotas pocas da antiguidade, desafiando inmeras geraes de matemticos e leigos, que apreciam os seus enunciados simples e intrigantes, cujas demonstraes esto alm de qualquer simplicidade.

Dentre os tesouros do antigo Egito se encontra o papiro Rhind descrevendo a matemtica praticada no Egito h aproximadamente 2000 anos a.C.. Registros histricos mostram que os sumrios desenvolveram algum tipo de aritmtica, pois, por volta de 3500 a.C., possuam um calendrio e, por volta de 2500 a.C., desenvolveram um sistema numrico utilizando o nmero 60 como base. Os babilnios seguiram essa tradio e se tornaram exmios calculistas; tbuas de barro da Babilnia, datando de 2000 a.C., foram encontradas com elaboradas tabelas matemticas. Ao final do terceiro milnio a.C. tbuas cuneiformes da Mesopotmia mostravam que a Aritmtica j era bastante sofisticada.

Os nmeros foram utilizados nas transaes comerciais por mais de 2000 anos at que se pensasse em estud-los de forma sistemtica. A primeira abordagem cientfica ao estudo dos nmeros inteiros, isto , a verdadeira origem da teoria dos nmeros, geralmente atribuda aos gregos. Por volta de 600 a.C. Pitgoras e seus discpulos fizeram vrios estudos interessantes. Eles foram os primeiros a classificar os inteiros de vrias maneiras: nmeros pares, mpares, primos etc.. Na verdade no so exatamente os nmeros naturais que exercem fascnio esttico, mstico e prtico, mas as relaes que eles estabelecem entre si. dentro dessas relaes profundas e sutis que se encontra a beleza, encanto e fascnio que os nmeros exercem atravs das geraes.

A teoria dos nmeros a rea da matemtica cujo objetivo descobrir e estabelecer as relaes profundas e sutis que nmeros de tipos diferentes guardam entre si. Por exemplo, considere os quadrados dos nmeros naturais 1, 4, 9, 16, 25,... . Se tomarmos a soma de dois quadrados, eventualmente obteremos como resultado um outro quadrado. O exemplo mais famoso : , mas existem outros exemplos: , , e muitos outros. As ternas deste tipo, (3, 4, 5), (5, 12, 13), (20, 21, 29), so denominadas ternas pitagricas. Por outro lado no um quadrado. Portanto seguem questes como Existem infinitas ternas pitagricas? e Se a resposta for positiva, poderemos encontrar uma frmula que as descrevam em sua totalidade?. Esses so alguns dos tipos de questes que a teoria dos nmeros investiga.

A teoria dos nmeros povoada por uma variedade enorme de objetos: nmeros primos, quadrados, mpares e perfeitos; conjuntos dos nmeros racionais, algbricos, e transcendentes, algumas funes analticas bastante especficas tais como sries de Dirichlet e formas modulares; equaes tais como a de Fermat e de Pell, curvas elpticas, cdigos, alguns objetos geomtricos tais como reticulados, feixes sobre Z e muitos outros que encontraremos em nossa jornada atravs da teoria dos nmeros. CONJUNTOS NUMRICOSO CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS

Historicamente no se pode atribuir uma data para o aparecimento do nmero natural. evidente que o conceito de nmero natural, nos seus primeiros tempos de aparecimento e formao, se achasse intimamente ligado ou identificado com os prprios objetos a que dizia respeito. Isto deve-se ao fato de tal conjunto, aparecer de modo implcito ao ato de contar.

Os gregos, principalmente os Pitagricos, davam-lhe grande importncia, ao ponto de aparecerem com eles os nmeros figurados (nmeros tringulares, nmeros quadrados, nmeros pentagonais etc). Com Euclides,( aproximadamente 300 A.C ) o conceito de nmero natural, aparece no seu livro Os Elementos de maneira muito mais trabalhada do que com os Pitagricos. Dizia Euclides, numa tentativa de definio de nmero: Unidade aquilo pelo qual todo o ser uno. Esta definio no foi aceita pela sua obscuridade. O que significa ser uno? Alm do mais tal definio no encara o nmero 1 como sendo nmero. Completando a sua definio, Euclides enuncia outra: Nmero a pluralidade, composta de unidades

A influncia dos Pitagricos e de Euclides estendem-se por vrios sculos; por exemplo , em Santo Agostinho, encontramos a afirmao de que A obra da criao, completou-se no sexto dia, por ser 6 um nmero perfeito.(um nmero perfeito, um nmero cujo resultado da soma dos seus divisores naturais ele mesmo; por exemplo o nmero 6 tem como divisores 1, 2, 3 e 1+2+3=6, 28 tem como divisores 1, 2, 4, 7, 14 e 1+2+4+7+14=28.)Iniciamos com o Conjunto dos Nmeros Naturais, onde por volta de 4000 antes de Cristo, algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas s margens dos rios transformavam-se em cidades. A vida ia ficando mais complexa. Novas atividades iam surgindo, graas, sobretudo ao desenvolvimento do comrcio. Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores s suas necessidades. Com isso, algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se artesos, comerciantes, sacerdotes, comerciantes e administradores. Como conseqncia desse desenvolvimento, surgiu a escrita, dando o incio da Histria.

Os egpcios usavam smbolos para representar nmeros, que indicavam quantidades. Assim, partindo dessa necessidade, passou-se a se representar quantidades atravs de smbolos, que no caso dos nmeros naturais, vieram com a finalidade de contagem.

Por volta de 3000 antes de Cristo, um antigo fara de nome Sesstris decretou:

"... reparte-se o solo do Egito s margens do rio Nilo entre seus habitantes. Se o rio levar qualquer parte do lote de um homem, o fara mandar funcionrios examinarem e determinarem por medida, a extenso da perda."

O rio Nilo atravessava uma vasta plancie. Uma vez por ano, na poca das cheias, as guas do Nilo subiam muitos metros acima do seu leito normal, inundando uma vasta regio ao longo de suas margens. Quando as guas baixavam, deixavam descoberta uma estreita faixa de terras frteis, prontas para o cultivo. Desde a Antigidade, as guas do Nilo fertilizavam os campos, beneficiando a agricultura do Egito, sendo neste vale o grande desenvolvimento da civilizao egpcia.

Quando os funcionrios eram chamados, levavam consigo cordas de um determinado tamanho. Assim deu-se o surgimento dos nmeros racionais, pois nem sempre as medidas tiradas pela corda eram inteiras, tendo que ser a corda dividida em pedaos iguais, aparecendo as seguintes expresses: uma corda inteira mais metade, e assim sucessivamente.

Durante muito tempo, os matemticos acreditavam que qualquer problema prtico poderia ser resolvido operando somente com nmeros naturais e fracionrios. No sentiam necessidade de nenhum outro tipo de nmero.

Por volta de 530 antes de Cristo, existia na Grcia uma espcie de sociedade secreta, cujos membros ficaram conhecidos com o nome de pitagricos. Eram assim chamados porque o mestre da sociedade era o famoso filsofo e matemtico Pitgoras de Samos. Os pitagricos eram grandes estudiosos da Matemtica, mas no tinham a menor preocupao em obter resultados prticos. Pitgoras dizia que tudo era nmero, ou seja, que qualquer fato da natureza podia ser explicado por meio dos nmeros naturais.

Lidando com nmeros de vrias maneiras, os pitagricos acabaram descobrindo propriedades interessantes e curiosas. Segundo Pitgoras, dependendo da soma de seus fatores, um nmero poderia ser perfeito, deficiente ou excessivo, dando incio ao famoso teorema de Pitgoras e , assim, aos nmeros irracionais.

Na passagem da Idade Mdia para a Idade Moderna, os pases da Europa Ocidental sofreram profundas transformaes. Era o grande desenvolvimento do comrcio e das cidades. A expanso da atividade comercial fez com que os europeus procurassem novas terras, nas quais encontrassem novas mercadorias para vender na Europa. Paralelamente a essas mudanas econmicas, polticas e sociais, houve o florescimento da arte, da cultura e das cincias. Essa revoluo cultural ficou conhecida como Renascimento.

Em meio a essas grandes mudanas, a Matemtica e em geral as Cincias Naturais tambm se desenvolveram.

A partir do Renascimento o conceito de nmero evoluiu muito. Pouco a pouco, o nmero foi deixando de ser associado somente prtica pura e simples do clculo. O grande desenvolvimento cientfico da poca do Renascimento exigia uma linguagem matemtica que pudesse expressar tambm os fenmenos naturais que estavam sendo estudados. At ento, j se conheciam os nmeros naturais, fracionrios e os irracionais, que os matemticos chamavam de nmeros reais.

Cada vez mais era sentida a necessidade de um novo nmero para enfrentar os problemas colocados pelo desenvolvimento cientfico do Renascimento. Discutia-se muito sobre esse novo nmero. Mas ele era to difcil de enquadrar nos nmeros j conhecidos que os matemticos o chamavam de nmero absurdo, porm os chineses j entendiam que o nmero poderia ser compreendido por excessos ou faltas, utilizando palitos na resoluo de problemas. Tambm os matemticos da ndia trabalhavam com esses "nmeros estranhos". O grande matemtico Brahmagupta, nascido em 598, dizia que os nmeros podiam ser entendidos como pertences ou dvidas.

A partir da, os matemticos comearam a escolher uma melhor notao para expressar o novo nmero, que no indicaria apenas quantidade, mas tambm representasse o ganho ou a perda, surgindo assim o nmero com sinal, positivo ou negativo, conhecido com nmero inteiro.

Com base nos estudos desenvolvidos pelos matemticos da poca, surge o Conjunto dos Nmeros Reais, onde todos os nmeros vistos acima fazem parte, ou seja, todo nmero natural, racional, irracional e inteiro, tambm um nmero real.

Por volta de 1500, o pensamento corrente entre os matemticos era o seguinte: O quadrado de um nmero positivo, bem o como de um nmero negativo, positivo. No existe raiz quadrada de um nmero negativo.

Tudo comeou quando Cardano, em 1545, publicou um trabalho e props o seguinte problema: Divida 10 em duas partes de modo que seu produto seja igual a 40".

Esse problema, dizia ele, era manifestamente impossvel, mas mesmo assim, tinha com soluo: 5 +e 5 - Concluiu, porm, que essas expresses eram "verdadeiramente sofsticas e sua manipulao intil". Cardano j havia deparado com essas razes ao resolver equaes de terceiro grau, que resultaram no resultado:

x =+, se vendo diante de um dilema; sabia ele que no existia, mas por outro lado, que 4 era a soluo. Cardano no encontrou explicao, tendo como mrito chamar ateno para o problema.

O passo seguinte foi dado por Bombelli, em 1560. Observando a equao acima, ocorreu-lhe que talvez as duas razes cbicas fossem expressas do tipo e , e que essas, somadas da maneira usual, dessem 4. O prprio Bombelli achou sua idia louca, e foi a partir dela que conseguiu provar que as razes cbicas encontradas por Cardano, realmente somadas resultavam 4.

As razes quadradas de nmeros negativos continuaram aparecendo no sculo XVI, XVII e XVII, perturbando ainda mais os matemticos. O mal estar que esses smbolos provocavam est nos nomes que lhe foram atribudos: "impossveis", "msticos", "fictcios" e "imaginrios".

Foi uma publicao de Gauss, em 1831, que mudou totalmente esse quadro, chamando esses nmeros de nmeros complexos. O pensamento de Gauss consistia em olhar para os nmeros a e b do smbolo como coordenadas de um ponto em um plano cartesiano, dando uma representao geomtrica visvel.

Bastou isso para que a existncia dos nmeros complexos ficasse definitivamente estabelecida

O PAR DISCRETO/CONTNUO E A IDIA DE NMERO

Contar e medir so operaes atravs das quais se constri a idia de nmero e que, portanto, conveniente trabalhar a compreenso da relao entre o discreto e o contnuo para ensinar nmeros naturais, racionais e reais. muito comum encontrar explicaes para a origem dos nmeros com referncia apenas contagem. Livros didticos, por exemplo, tm trazido explicaes histricas valorizando a verso de que os nmeros teriam surgido apenas atravs da comparao entre um grupo de objetos, como pedras, com outro grupo de objetos que se quer contar, em geral ovelhas. Identificam-se, nessa verso, a idia de contar com a idia de nmero. Dizer como surgiram os nmeros seria o mesmo, ento, que dizer como surgiu a contagem. Contar e fazer correspondncia um-a-um so, segundo muitos autores, a fonte da idia de nmero. Essa associao entre a contagem e a idia de correspondncia um-a-um no , entretanto, uma explicao suficiente para o surgimento da idia de nmero. preciso adequar essa teoria complexa riqueza do conceito numrico, complementando-a. Os nmeros no podem ter surgido somente da necessidade de contar objetos. Iremos mostrar agora estudos histricos que podem ampliar a viso sobre a origem do nmero, permitindo afirmar com certa segurana que o uso de noes numricas pelo homem esteve sempre associado tanto idia de contagem quanto de medida.

A idia de medida est associada idia de ordem. A essncia da idia de ordem est na comparao entre duas quantidades ou medidas diferentes, de modo a estabelecer uma ordem entre elas: maior ou menor tamanho, primeiro, segundo e terceiro lugar, etc. Visando uma comparao de tamanho ou uma ordenao, necessrio constatar que alguma grandeza ou grupo de objetos diferente de outro em termos de quantidade. Essa comparao das diferenas parece estar muito prxima da origem dos nmeros, e sem referncia a ela fica difcil explicar como o homem chegou idia, bem mais sofisticada, de comparao por igualdade numrica entre conjuntos.

O homem teria, assim, se deparado muito cedo com a noo de maior e menor, de antes e depois (em ordem crescente ou decrescente), e atravs disso comeou a comparar conjuntos com quantidades idnticas. nesse sentido que podemos afirmar que o duplo aspecto da contagem e da medida est presente desde a origem da idia de nmero. Um aspecto da realidade auxilia o outro, e no h uma relao de antecedncia clara para nenhum deles.

Estudos antropolgicos sobre a origem dos nmeros constatam desde o incio essa dualidade dos nmeros discretos e da medida contnua, sem a qual no teria havido evoluo da Matemtica. Crump, por exemplo, em sua obra A Antropologia dos Nmeros, dedica um primeiro captulo - A Ontologia do Nmero - ao estudo das caractersticas presentes em diversas linguagens numricas primitivas dos componentes ordinal e cardinal da noo de nmero. No Captulo Seis - Medio, Comparao e Equivalncia -, comenta os diversos usos numricos em medidas, analisando a linguagem de tribos indgenas e a cultura de povos primitivos.NMEROS NEGATIVOS

Entre a apario e aceitao do nmero negativo levou mais de 1000 anos. interessante que os alunos saibam que as mesmas dvidas que aparecem hoje no contato com os nmeros inteiros, j instigava questionamentos de clebres matemticos como Euler, Laplace, Cauchy, Mac Laurin e Carnot, por exemplo.

Laplace (1749-1827) com respeito a Regra de Sinais disse:

" difcil conceber que um produto de (-a) por (-b) o mesmo que a por b".

Mac Laurin (1698-1746) disse a respeito do nmero negativo: "A quantidade negativa, bem longe de ser rigorosamente menos que nada, no menos real em sua espcie que a quantidade positiva".Ao contrrio dos nmeros naturais e fracionrios positivos que tem razes em experimentaes geomtricas, os nmeros negativos, os irracionais e os complexos surgiram da manipulao algbrica, como na resoluo de equaes de 1 e 2 graus.

Os matemticos do perodo Alexandrino que se iniciou 300 a.C. influenciados pela civilizao egpcia e babilnica, fizeram uma matemtica mais orientada para resolver problemas prticos, abordavam temas de ptica, geografia, hidrodinmica e astronomia.

Nestes trabalhos utilizaram nmeros irracionais com aproximaes e iniciaram uma lgebra sem usar a geometria. Foi Diofanto (300 250 a.C.) que introduziu uma notao abreviada para representar as potncias e as quantidades desconhecidas e abordou a resoluo das equaes algbricas sem recorrer geometria. Assim o produto concreto do tipo (x-3) (x-4) foi desenvolvido algebricamente , o que h de supor que ele conhecia a identidade algbrica (a-b) (c-d)=ac-bc-ad+bd.

citado uma regra para este produto de diferenas que pode ser considerada como o "germem" do que pode ser chamado de regra de sinais: "Subtrao por subtrao d adio".Isto no significa que conhecesse os nmeros negativos, pois esta regra se refere ao produto de diferenas e sempre a>b e c>d , e no h produto de nmeros negativos. Diofanto considerava somente as razes positivas das equaes, mostrando o seu desconhecimento pelos nmeros negativos. Os matemticos chineses da antiguidade tratavam os nmeros como excessos ou faltas. Os chineses realizavam clculos em tabuleiros, onde representavam os excessos com palitos vermelhos e as faltas com palitos pretos.

Na ndia, os matemticos tambm trabalhavam com esses estranhos nmeros.Brahmagupta, matemtico nascido no ano 598 d.C., afirmava que os nmeros podem ser entendidos como pertences ou dvidas.

Depois de vrias tentativas frustradas, os matemticos conseguiram encontrar um smbolo que permitisse operar com esse novo nmero. Mas como a histria da matemtica cheia de surpresas, no poderia de faltar mais uma: Ao observar a prtica adotada pelos comerciantes da poca, os matemticos verificaram que se no incio do dia, um comerciante tinha em seu armazm duas sacas de feijo de 40 quilogramas cada, se ao findar o dia ele tivesse vendido 7 quilogramas de feijo, para no se esquecer de que naquele saco faltavam 7 quilogramas, ele escrevia o nmero 7 com um tracinho na frente (-7). Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 3 quilogramas que restavam, escrevia o nmero 3 com dois tracinhos cruzados na frente (+3), para se lembrar que naquele saco havia 3 quilogramas a mais de feijo do que a quantidade inicial.Os matemticos aproveitaram-se desse expediente e criaram o nmero com sinal: Positivo (+) ou Negativo (-). Foi o matemtico Albert Girard (1590-1639) o primeiro a reconhecer explicitamente a utilidade algbrica de admitir as razes negativas e imaginrias como solues formais das equaes; porque ele permitia uma regra geral de resoluo na construo de equaes atravs de suas razes.

No final do sculo XVII, surgiu a obra de Vite, esta mais tarde ampliada admitiu que as expresses literais pudessem tomar valores negativos, no entanto, a lgebra no teria conhecido um tal avano se esta generalizao do nmero no tivesse sido acompanhada por uma descoberta igualmente fundamental, realizada em 1591 por Vite e aperfeioada em 1637 por Descartes: a notao simblica literal.

A legitimidade dos nmeros negativos deu-se definitivamente por Hermann Hankel (1839-1873) publicada em 1867, "Teoria do Sistema dos nmeros Complexos". Hankel formulou o princpio de permanncia e das leis formais que estabelece um critrio geral de algumas aplicaes do conceito de nmero.

Finalmente Dedekind (1831-1916), amigo de Cantor estabeleceu uma relao de equivalncia entre pares de nmeros naturais e faz referncia da subtrao como inversa da adio: a-b =c-d, logo a+d= b+d . Ele demonstra que esta relao de equivalncia, e o conjunto das classes de equivalncia ser o conjunto dos nmeros Inteiros.

CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAISFraes Todos os anos, no ms de julho, as guas do Rio Nilo inundavam uma vasta regio ao longo de suas margens. As guas do Rio Nilo fertilizavam os campos, beneficiando a agricultura do Egito. Cada pedao de terra s margens desse rio era precioso e tinha que ser muito bem cuidado. Por volta do ano 3000 a.C. o Fara Sesstris repartiu essas terras entre uns poucos agricultores privilegiados. S que todos os anos em setembro quando as guas baixavam, funcionrios do governo faziam a marcao do terreno de cada agricultor. Esses funcionrios eram chamados de agrimensores ou estiradores de corda. Isso se explica pelo fato de que usavam cordas com uma unidade de medida assinalada, essa corda era esticada para que se verificasse quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Mas na maioria das vezes acontecia da unidade de medida escolhida no caber um nmero inteiro de vezes nos lados do terreno.

Para solucionar o problema da medio das terras, os egpcios criaram um novo nmero, o nmero fracionrio, que era representado com o uso de fraes.Os egpcios entendiam a frao somente como uma unidade, portanto, utilizavam apenas fraes unitrias (com numerador igual a 1).A escrita dessas fraes era feita colocando um sinal oval sobre o denominador.

No Sistema de Numerao usado pelos egpcios os smbolos se repetiam com muita freqncia, tornando os clculos com nmeros fracionrios muito complicados.

Com a criao do Sistema de Numerao Decimal, pelos hindus, o trabalho com as fraes tornou-se mais simples, e a sua representao passou a ser expressa pela razo de dois nmeros naturais

Nmeros Decimais O francs Vite (1540 - 1603) desenvolveu um mtodo para escrever as fraes decimais; no lugar de fraes, Vite escreveria nmeros com vrgula. Esse mtodo, modernizado, utilizado at hoje.

Observe no quando a representao de fraes decimais atravs de nmeros decimais:

Frao Decimal=Nmeros Decimais

=0,1

=0,01

=0,001

=0,0001


=0,5

=0,05

=0,005

=0,0005


=11,7

=1,17

=0,117

=0,0117

Os nmeros 0,1, 0,01, 0,001; 11,7, por exemplo, so nmeros decimais. Nessa representao, verificamos que a vrgula separa a parte inteira da parte decimal.

As Fraes so consideradas como nmeros porque indicam medidas e so resultados de divises de nmeros naturais. As fraes so nmeros racionais. Por que Racionais? Porque essa palavra vem de rateio, que significa diviso.ORIGEM DOS NMEROS IRRACIONAIS

A origem histrica da necessidade de criao dos nmeros irracionais est intimamente ligada com fatos de natureza geomtrica e de natureza aritmtica. Os de natureza geomtrica podem ser ilustrados com o problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparamos com o seu lado.

Este problema geomtrico arrasta outro de natureza aritmtica, que consiste na impossibilidade de encontrar nmeros conhecidos - racionais - para razes quadradas de outros nmeros, como por exemplo, raiz quadrada de 2. Estes problemas j eram conhecidos da Escola Pitagrica (sc. V a.c.), que considerava os irracionais herticos. A Cincia grega consegue um aprofundamento de toda a teoria dos nmeros racionais, por via geomtrica - "Elementos de Euclides" - mas no avanou, por razes essencialmente filosficas, no campo do conceito de nmero. Para os gregos, toda a figura geomtrica era formada por um nmero finito de pontos, sendo estes concebidos como minsculos corpsculos - "as mnadas" - todos iguais entre si; da resultava que, ao medir um comprimento de n mnadas com outro de m, essa medida seria sempre representada por uma razo entre dois inteiros n/m (nmero racional); tal comprimento inclua-se, ento na categoria dos comensurveis. Ao encontrar os irracionais, aos quais no conseguem dar forma de fraco, os matemticos gregos so levados a conceber grandezas incomensurveis. A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contnua; admitir os irracionais era imaginla cheia de "buracos". no sc. XVII, com a criao da Geometria Analtica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geomtrico com o algbrico, favorecendo o tratamento aritemtico do comensurvel e do incomensurvel. Newton (1642-1727) define pela primeira vez "nmero", tanto racional como irracional.

O IRRACIONAL =1,6180339887... ou =(1 + sqr(5))/2 considerado smbolo de harmonia. Os artistas gregos usavam-no em arquitetura; Leonardo da Vinci, nos seus trabalhos artsticos; e, no mundo moderno, o arquiteto Le Corbusier, com base nele, apresentou, em 1948, O modulor. O nmero de ouro descobre-se em relaes mtricas:

- na natureza: em animais (como na concha do Nautilus) flores, frutos, na disposio dos ramos de certas rvores;

- em figuras geomtricas, tais como o retngulo de ouro, hexgono e decgono regulares e poliedros regulares;

- em inmeros monumentos, desde a Pirmide de Quops at diversas catedrais, na escultura, pintura e at na msica.

A INTRODUO DOS NMEROS COMPLEXOSO fato de que um nmero negativo no tem raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemticos que se depararam com a questo. As equaes de segundo grau apareceram na matemtica j nas tabuletas de argila da Sumria, aproximadamente 1700 anos antes de Cristo e, ocasionalmente, levaram a radicais de nmeros negativos; porm, no foram elas, em momento algum, que sugeriram o uso de nmeros complexos. A rigor, uma equao era vista como a formulao matemtica de um problema concreto; assim, se no processo de resoluo aparecia uma raiz quadrada de um nmero negativo, isto era interpretado apenas como uma indicao de que o problema originalmente proposto no tinha soluo. Como veremos neste captulo, foram s as equaes de terceiro grau que impuseram a necessidade de trabalhar com estes nmeros.

Vejamos inicialmente alguns antecedentes. Um primeiro exemplo desta atitude aparece na Arithmetica de Diophanto. Aproximadamente no ano de 275 d.c. ele considera o seguinte problema:

Um tringulo retngulo tem rea igual a 7 e seu permetro de 12 unidades. Encontre o comprimento dos seus lados. Chamando x e y o comprimento dos catetos desse tringulo temos, na nossa notao atual:

.

Substituindo y em funo de x obtemos a equao:

,

cujas razes so:

.

Neste ponto Diophanto observa que s poderia haver soluo se o que implica, obviamente, que no existe o tringulo procurado. Neste contexto, claro que no h necessidade alguma de introduzir um sentido para a expresso .

Outras referncias questo aparecem na matemtica indiana. Aproximadamente no ano 850 d.c., o matemtico indiano Mahavira afirma:

... como na natureza das coisas um negativo no um quadrado, ele no tem portanto raiz quadrada. J no sculo XII o famoso matemtico Bhascara (1114-1185 aprox.) escreve:

O quadrado de um positivo positivo; e a raiz quadrada de um positivo dupla: positiva e negativa. No h raiz quadrada de um negativo; pois ele no um quadrado. Tambm na matemtica europia aparecem observaes desta natureza; Luca Paccioli, na sua Summa di Arithmetica Geometria, publicada em 1494, escreve que a equao solvel somente se e o matemtico francs Nicolas Chuquet (1445-1500 aprox.) faz observaes semelhantes sobre ``solues impossveis'' num manuscrito no publicado de 1484.

Desde que os babilnios descobriram a forma de resolver equaes quadrticas, se passaram mais de 3000 anos at a descoberta da frmula que da as razes das equaes de terceiro grau por Del Ferro, Cardano e Tartaglia no incio do sculo XVI. Dada a equao , a frmula de Cardano-Tartaglia que permite obter uma raiz :

.

Esta frmula, junto com o mtodo de resoluo das equaes de quarto grau, foi dada a pblico em 1545, no Ars Magna, de Cardano. A publicao desta obra deu um novo impulso ao estudo da lgebra.

claro que quando a frmula parece no ter sentido: porm, mesmo neste caso, a equao pode ter soluo.

Em 1575, um outro algebrista italiano chamado Raphael Bombelli publicou um livro chamado lgebra em que descreve as idias de Cardano de forma didtica. precisamente neste livro onde aparece pela primeira vez a necessidade explcita de introduzir os nmeros complexos e tambm uma primeira apresentao do assunto.

Ao aplicar a frmula acima ao exemplo , Bombelli obtm:

,

mas facil perceber diretamente que uma soluo desta equao.

Bombelli decidiu trabalhar como se razes quadradas de nmeros negativos fossem verdadeiros nmeros. Ele concebe que a raiz cbica de pode ser um ``nmero'' da mesma forma, isto , do tipo . Talvez, a raiz cbica de seja da forma . Neste caso, ter-se-ia que , donde fcil deduzir que . Assumindo que se aplicam a estes nmeros as regras usuais dos clculos algbricos no foi difcil descobrir que e verificar que, de fato,

.

Bombelli percebeu claramente a importncia deste achado. Ele diz: Eu achei uma espcie de raiz cbica muito diferente das outras, que aparece no captulo sobre o cubo igual a uma quantidade e um nmero. ... A princpio, a coisa toda me pareceu mais baseada em sofismas que na verdade, mas eu procurei at que achei uma prova.O caso em que , era chamado na poca de casus irreducibilis porque qualquer tentatica de calcular de fato o valor da incgnita pela frmula de Cardano-Tartaglia, sem conhece-lo antecipadamente leva, de novo, equao de terceiro grau original. Porm, este era, em certo sentido, o mais importante de todos, pois justamente o caso em que a equao considerada tem trs razes reais.

Faremos aqui um pequeno resumo da evoluo dos nmeros complexos, para que o leitor tenha uma viso global da histria do assunto.

O smbolo foi introduzido em 1629 por Albert Girard.

O smbolo i foi usado pela primeira vez para representar por Leonhard Euler em 1777, apareceu impresso pela primeira vez em 1794 e se tornou amplamente aceito aps seu uso por Gauss em 1801.

Os termos real e imaginrio foram empregados pela primeira vez por Ren Descartes em 1637.

A expresso nmero complexo foi introduzida por Carl Friederich Gauss em 1832.

A representap grfica dos nmeros complexos foi obtida independentemente por Caspar Wessel, em 1799; Jean-Robert Argand, em 1822 e Carl Friederich Gauss, em 1831.

A apresentao hoje usual dos nmeros complexos como pares ordenados de nmeros reais foi dada por Sir William Rowan Hamilton em 1837. Os nmeros complexos vm sendo utilizados pelos matemticos antes mesmo de receberem este nome e se definirem adequadamente, de modo que difcil estabelecer como se originaram. O primeiro exemplo de problema que conduz ao que hoje conhecemos como nmeros complexos, data dos ano 50 a.C., quando Heron de Alexandra tentava resolver a expresso [raiz quadrada(81-144)], em um problema do campo da estereometra.

A prxima referncia foi encontrada na ndia, no ano 850, quando Mahavira escreveu: "...como acontece na Natureza, um nmero negativo no possui raiz quadrada". Em 1545 Girolamo Cardano deu a estes nmeros o nome de "fictcios". Tambm em 1545, Cardano investigava sobre a obteno de razes de polinmios e os classificou segundo seu comportamento. Foi finalmente Rene Descartes que deu a designao de "parte real" e "parte imaginria". Em 1702 Gottfried Wilhem von Leibniz descreveu os nmeros complexos como "...a maravilhosa criatura de um trabalho imaginrio, quase um anfbio entre as coisas que so coisas e as coisas que no so". Mais tarde, Euler em 1777 introduziu a notao "i" e "-i" para distinguir as duas razes quadradas de -1, e chamou estas quantidades de "imaginrias". Tambm estendeu as funes de tipo exponencial, introduzindo nelas um argumento complexo. Em 1797 Wessel e posteriormente Gauss em 1799 deram uma interpretao geomtrica aos nmeros complexos, contribuindo com isto para clarear sua interpretao. Finalmente, em 1833 Hamilton props a expresso matemtica dos nmeros complexos como "a + ib" com "a" e "b" reais, recuperando os termos introduzidos por Descartes de "parte real" e "parte imaginria". Considera-se que este seja o marco de incio da moderna formulao dos nmeros complexos.NMEROS FIGURADOSPitgoras concebeu os nmeros triangulares constitudos pelos nmeros naturais (inteiros positivos) dispostos em tringulo.

.

.. . .

.. .. . .

..........

...............

....................

1

3

6

10

15

21

Cada nmero triangular corresponde soma dos primeiros nmeros naturais: 1=1; 3=1+2; 6=1+2+3; 10=1+2+3+4; 15=1+2+3+4+5; etc.

1 3 6 10 15 21

fcil verificar que 1=1x2/2 (primeiro nmero triangular); 3=2x3/2 (segundo nmero triangular); 6=3x4/2 (terceiro n. triangular).

Para encontrar o 7 nmero triangular basta calcular 7x8/2=28, e o n simo nmero triangular calculado pela frmula n(n+1)/2.

Os outros membros da Escola Pitagrica construram os nmeros poligonais (nmeros quadrados e nmeros pentagonais) e usaram essas representaes para deduzir propriedades dos nmeros inteiros. Por exemplo, a seguinte propriedade dos nmeros mpares: a soma dos primeiros n mpares um quadrado perfeito pode ser deduzida a partir da representao geomtrica em nmeros quadrados.

Os pitagoricos desejavam compreender a natureza ntima dos nmeros, ento elaboraram os nmeros figurados que so nmeros expressos como reunio de pontos numa determinada configurao geomtrica, isto , a quantidade de pontos representa um nmero, e estes so agrupados de formas geomtricas sugestivas. Os diagramas abaixo trazem alguns nmeros figurados.

nmeros triangulares

nmeros quadrados

nmeros pentagonaisEnunciaremos e provaremos alguns teoremas relativos a nmeros figurados, como era feito pelos pitagricos:

Teorema I: O nmero triangular igual soma dos n primeiros inteiros positivos.

Teorema II: Todo nmero quadrado a soma de dois nmeros triangulares sucessivos.

Observamos que um nmero quadrado na sua forma geomtrica, pode ser dividido como na figura abaixo.

Vamos fazer a prova do teorema algebricamente. Seja o ensimo nmero triangular , dado pela soma da progresso aritmtica,

,

seja o ensimo nmero quadrado igual . Temos

Teorema III: o ensimo nmero pentagonal igual a n mais trs vezes o (n-1) - simo nmero triangular.

Seja o ensimo nmero pentagonal, , dado pela soma de uma progresso aritmtica.

Teorema III: A soma dos n primeiros inteiros mpares, comeando com 1, o quadrado de n.

Calculando a soma da progresso aritmtica, temos:

que demonstra o teorema.NMEROS PERFEITOSO conhecimento que os gregos apresentavam sobre os nmeros mostra o enorme interesse que tinham pela Matemtica. O estudo dos nmeros perfeitos herana dos matemticos pitagricos.

Um nmero se diz perfeito se igual soma de seus divisores prprios. Divisores prprios de um nmero positivo N so todos os divisores inteiros positivos de N exceto o prprio N. Por exemplo, o nmero 6, seus divisores prprios so 1, 2 e 3, cuja soma igual 6. 1 + 2 + 3 = 6

Outro exemplo o nmero 28, cujos divisores prprios so 1, 2, 4, 7 e 14, e a soma dos seus divisores prprios 28. 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 2Houve uma aura mstica em torno dos nmeros perfeitos, tentava-se uma conexo entre a teoria dos nmeros e a Teologia. Santo Agostinho (354 - 430 d.C.) apresenta uma argumentao para esta conexo: "Seis um nmero perfeito em si mesmo, e no porque Deus tenha criado todas as coisas em seis dias; o inverso que verdade: Deus criou todas as coisas em seis dias porque este nmero perfeito, e teria sido perfeito mesmo que a obra dos seis dias no existisse".* A ultima proposio do nono livro dos Elementos de Euclides prova que se um nmero primo ento um nmero perfeito, e estes nmeros so pares. Euler provou que todo nmero perfeito par tem essa forma.

A existncia ou no de nmeros perfeitos mpares um desafio para a Teoria dos Nmeros. Todos os nmeros perfeitos menores que 5 000 j foram encontrados. Mas para nmeros perfeitos maiores que 5 000 at 1985 totalizava 30 conhecidos. NMEROS PRIMOS E COMPOSTOS

Os quatro primeiros nmeros perfeitos so 6, 28, 496 e 8128. Foram listados por Nicmaco de Gerasa, que viveu na Palestina a por volta do ano 100. Os pitagricos relacionavam a geometria e a aritmtica atravs dos nmeros figurados, isto , expressavam os nmeros atravs de pontos em determinadas configuraes geomtricas.

Uma das configuraes usadas era distribuir os pontos formando retngulos. Por exemplo, o nmero 12 seria representado assim:

Alguns nmeros s podiam ser representados numa linha, e nunca num retngulo, por exemplo, o nmero 5:

Estes nmeros eram considerados "primrios" (de onde deriva a palavra primos hoje utilizada), os outros nmeros eram compostos.

Atualmente, usamos a seguinte definio formal: um nmero inteiro p chama-se primo se tem exatamente dois divisores positivos, 1 e .

Desta forma o nmero 0 excludo, pois tem infinitos divisores positivos, e os inteiros 1 e -1 que tm um nico divisor positivo.

Um nmero diferente de 0, 1 e -1 que no primo, chama-se composto.

Note que, se um inteiro no nulo a composto, ele admite um divisor b tal que . Um divisor nessas condies diz-se um divisor prprio de a.

O Teorema fundamental da aritmtica estabeleceu que todo nmero inteiro pode-se escrever como um produto nico de nmeros primos. Desta forma, os nmeros primos teriam, na aritmtica, um papel semelhante ao dos tomos na estrutura da matria: por multiplicao deles pode-se construir todos os nmeros inteiros, a partir deles. Um nmero p que no admita outro divisor a no ser ele prprio e a unidade dito nmero primo se ele for maior que 1. Por outras palavras, um nmero primo aquele que admite apenas dois divisores.Os nmeros primos no podem ser decompostos num produto de fatores menores que eles.Os nmeros que podem ser decompostos num produto de fatores primos chamado nmero composto.NMEROS PARES E MPARESOs pitagricos estudavam natureza dos nmeros, e baseado nesta natureza criaram sua filosofia e modo de vida. Vamos definir nmeros pares e mpares de acordo com a concepo pitagrica: par o nmero que pode ser dividido em duas partes iguais, sem que uma unidade fique no meio, e mpar aquele que no pode ser dividido em duas partes iguais, porque sempre h uma unidade no meio

Uma outra caracterizao, nos mostra a preocupao com natureza dos nmeros: nmero par aquele que tanto pode ser dividido em duas partes iguais como em partes desiguais, mas de forma tal que em nenhuma destas divises haja uma mistura da natureza par com a natureza mpar, nem da mpar com a par. Isto tem uma nica exceo, que o princpio do par, o nmero 2, que no admite a diviso em partes desiguais, porque ele formado por duas unidades e, se isto pode ser dito, do primeiro nmero par, 2.

Para exemplificar o texto acima, considere o nmero 10, que par, pode ser dividido como a soma de 5 e 5, mas tambm como a soma de 7 e 3 (que so ambos mpares) ou como a soma de 6 e 4 (ambos so pares); mas nunca como a soma de um nmero par e outro mpar. J o nmero11, que mpar pode ser escrito como soma de 8 e 3, um par e um mpar. Atualmente, definimos nmeros pares como sendo o nmero que ao ser dividido por dois tm resto zero e nmeros mpares aqueles que ao serem divididos por dois tm resto diferente de zero. Por exemplo, 12 dividido por 2 tm resto zero, portanto 12 par. J o nmero 13 ao ser dividido por 2 deixa resto 1, portanto 13 mpar. NMEROS AMIGOSDizemos que dois nmeros so amigos se cada um deles igual a soma dos divisores prprios do outro. Os divisores prprios de um nmero positivo N so todos os divisores inteiros positivos de N exceto o prprio N.

Um exemplo de nmeros amigos so 284 e 220, pois os divisores prprios de 220 so 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Efetuando a soma destes nmeros obtemos o resultado 284.

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Os divisores prprios de 284 so 1, 2, 4, 71 e 142, efetuando a soma destes nmeros obtemos o resultado 220.

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

A descoberta deste par de nmeros atribuda Pitgoras. Houve uma aura mstica em torno deste par de nmeros, e estes representaram papel importante na magia, feitiaria, na astrologia e na determinao de horscopos.

Outros nmeros amigos foram descobertos com o passar do tempo. Pierre Fermat anunciou em 1636 um novo par de nmeros amigos formando por 17296 e 18416, mas na verdade tratou-se de uma redescoberta pois o rabe al-Banna (1256 - 1321) j havia encontrado este par de nmeros no fim do sculo XIII.

Leonardo Euler, matemtico suo, estudou sistematicamente os nmeros amigos e descobriu em 1747 uma lista de trinta pares, e ampliada por ele mais tarde para mais de sessenta pares. Todos os nmeros amigos inferiores a um bilho j foram encontrados. AVALIAO B1

Esta avaliao corresponde a 50% da nota do segundo mdulo.

Algumas questes podem solicitar respostas subjetivas e opinies particulares.

Nome do (a) cursista: ____________________________________________________

1. QuestoElaborar uma tabela escrevendo os nmeros at dez em numeral egpcio, indo-arbico, romano, babilnico, maia e chins.2. QuestoNo caso do antigo pastor que separava pedrinhas uma para cada animal que tivesse em seu rebanho , o que se poderia afirmar se, no dia seguinte ao fazer a correspondncia um-para-um:

a) sobrassem pedrinhas?

b) faltassem pedrinhas?

c) existisse uma correspondncia biunvoca?AVALIAO B2Esta avaliao corresponde a 50% da nota do segundo mdulo.

Algumas questes podem solicitar respostas subjetivas e opinies particulares.

Nome do (a) cursista: ____________________________________________________1. QuestoVerifique se 1184 e 1210 so nmeros amigos.

2. Questoa. Descrever as semelhanas e diferenas entre os sistemas de numerao: egpcio, indo-arbico e romano.b. Fazer o mesmo para os sistemas de numerao: babilnico, maia e chins.c. Dar uma opinio sobre quais so as caractersticas desses sistemas que dificultavam o desenvolvimento do clculo escrito.

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