história da matemática - mesopotânia

8/14/2019 Histria da Matemtica - Mesopotnia

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UPF - UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO - NOVEMBRO DE 2005.

HISTRIA DA MATEMTICA NA

M E S O P O T M I A

MRCIO LUS FREIRE


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INTRODUO

A Matemtica como a concebemos nos dias atuais foi fruto de uma demorada e

profcua evoluo, desde os homens das cavernas, passando por todas as grandes civilizaes

do passado at chegar na complexidade do mundo mercantilista e globalizado atual. A

finalidade desse trabalho mostrar, em forma de evidenciao, que a matemtica

desenvolvida pelos povos da Mesopotmia entre os anos de 2800 a 1880 a.C. do suportes

lgicos e consistentes aos anseios de todas as culturas posteriores, demonstrando, assim, sua

grande relevncia histrica.


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ASPECTOS GEOGRFICOS E SOCIOLGICOS DA MESOPOTMIA

Geograficamente a Mesopotmia est situada entre os rios Tigre e Eufrates no Oriente

Mdio, no chamado crescente frtil, onde atualmente se localiza o Iraque e a Sria. Em grego,

a palavra Mesopotmia significa entre rios. Os povos que formavam a Mesopotmia foram os

Sumrios, Acdios, Amoritas, Caldeus e Hititas, os quais lutavam pela posse das terras

arveis.. Porm ao contrrio do que ocorria com as guas do rio Nilo, os perodos de cheia

dos rios Tigre e Eufrates eram bastante irregulares, obrigando a realizao de numerosas

obras de irrigao e drenagem, com perodos de observao e desenvolvimento com uma

maior dificuldade.. As civilizaes que habitam essa regio prosperaram com base na

agricultura. Desenvolveram-se nos vales dos rios Tigre e Eufrates devido, fertilidade da

terra decorrente das inundaes destes.

O centro, correspondendo ao curso mdio dos rios, era chamado de Acdia,

sobressaindo as cidades de Babilnia, Uruc, Nipur, Sipar e Acad. O norte era denominado

Assria, destacando-se as cidades de Nnive, Nimrud e Assur.


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Por volta de 3 500 a.C., vindos provavelmente da sia Central, os sumrios fixaram-se

na Baixa Mesopotmia, fundindo-se tnica e culturalmente com a populao local. Com a

sua chegada, deu-se o aperfeioamento dos mtodos de cultivo e de irrigao. A agricultura,

alm de abastecer regularmente a populao, passou a gerar excedentes para o comrcio.

Desenvolveram-se o artesanato especializado, o uso de metais e surgiram inovaes tcnicas

como a roda.

A populao expandiu-se, dando origem a novos grupos sociais como sacerdotes,

funcionrios, mercadores, artesos e soldados. Assim, as aldeias transformaram-se em

cidades, como Ur, Uruk, Lagash, com governo prprio e profisses variadas. Estabeleceu-se

ativo comrcio entre as cidades de Sumria e seus vizinhos. Caravanas de mercadores

levavam cargas de cevada e tecidos para a sia Menor e para o Ir, retornando com madeira,

pedra e metais, que eram transformados em instrumentos, armas e jias.

A revoluo urbana fez surgir na Sumria e posteriormente em Acade, cerca de 15 ou

20 cidades-Estado politicamente independentes, mas com lngua, religio, organizao

social e sistema econmico semelhantes.

Para desenvolver a agricultura, os habitantes desses vales inventaram sistemas de

canalizao e de diques para controlar a direo da gua durante as enchentes. Estes

sistemas tambm controlavam a drenagem das guas de volta aos rios. Os sumrios,

babilnicos e os acdios formaram os principais ocupantes desta regio entre os anos 2800

a.C. e 1800 a.C. Foi neste perodo que surgiram os primeiros centros urbanos da

humanidade, com uma vida de ostentao da riqueza, complexa e variada, em que a lealdade

poltica no era mais em relao a tribos ou cls, mas sim ao rei que governava. As

principais cidades dessa poca foram:Ur, Uruk, Eridu, Nipur e Zagash. Essas cidades eramgovernadas pelos patesis, que representavam ao mesmo tempo a figura do chefe militar e

sacerdote. Desenvolveu-se uma sociedade baseada em atividades agrcolas, pastoris,

comerciais e artesanais. A formao de castas, organizada em forma piramidal foi

inevitvel.

O posicionamento social do individuo, geralmente, era determinado pelo critrio de

nascimento e hereditariedade. Sua estrutura era dividida em camadas sendo a base da


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pirmide composta pelos escravos, um nmero significativo e constitudo principalmente por

prisioneiros de guerra e homens livres pobres que se vendiam para sobreviver. Acima dos

escravos, existiam os artesos e os camponeses, que pertenciam s classes de homens livres,

mas no recebiam o suficiente pelo trabalho que realizavam. E no topo da hierarquia social

estava o rei, que possua riquezas fabulosas, palcios grandiosos e vrios funcionrios que

auxiliavam na administrao do imprio. Administrao essa que se caracterizava pelo

domnio de todos os grupos sociais em um governo de fundamento teocrtico. O centro de

cada cidade da Mesopotmia era dominado pelo temenos, conjunto de templos,

destacando-se o zigurat ou torre de degraus com um pequeno santurio no alto da elevao.

O templo era dedicado ao culto e s oferendas, como mostra a figura abaixo.

Indiscutivelmente, a principal contribuio que os mesopotmicos realizaram para o

desenvolvimento do conhecimento foi inveno de um tipo de escrita, a qual era feita por

estiletes em uma placa de argila mole que depois secavam ao sol. Tais letras tinham a forma

de cunha e, por isso, foram chamadas de cuneiforme. Eram monopolizadas pelos sacerdotesque tinham como uma de suas funes registrar as atividades comerciais. Os sacerdotes dos

templos religiosos, atravs de seu vasto sistema tributrio, coletavam e administravam

gigantescas somas de bens, tais como terrenos, incluindo rebanhos, manadas, rendas e

propriedades rurais. Entretanto, por causa da amplitude e variedade da riqueza acumulada, os

sacerdotes enfrentaram problemas sem precedentes na histria humana.


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Para essa prestao de contas como intendentes, no era possvel confiar na memria a

respeito dos tributos pagos, transaes concludas, sendo necessria uma forma de registropermanente. O surgimento da escrita justificou-se pelo crescimento das economias

centralizadas, quando os funcionrios dos palcios e templos sentiram a necessidade de

manter o controle das quantidades de cereais e dos rebanhos de carneiros e gado que

entravam e saam dos celeiros e fazendas. Era impossvel depender apenas da memria de

um homem para armazenar todas as transaes realizadas, alm da necessidade de se

transmitir os fatos a outros sacerdotes quando houvesse o falecimento de quem controlava

essas operaes, assim, tornou-se indispensvel criao de novos mtodos que

mantivessem registros confiveis e permanentes.

COMRCIO E ECONOMIA NA MESOPOTMIA

Os mesopotmicos possuam uma economia bastante desenvolvida, com mtodos

de intercmbio comercial que incluam o uso de uma moeda metlica e j dispunham de uma


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rede bancria primitiva. Baseada na agricultura, principalmente no cultivo da cevada,

produzia tambm outros produtos como o leo de linhaa e de gergelim, linho, trigo e

hortigranjeiros. A cevada muitas vezes era usada como meio de pagamento de salrios e em

raes dirias, sendo matria-prima para a fabricao da bebida natural: a cerveja. Os

rebanhos de ovelhas e cabras pastavam nos campos fora da estao de plantio e o gado

quando havia gua suficiente. A produo da l era extensa e convertida em peas de tecidos.

Santos (2001) nos afirma que:

Os sumrios eram excelentes agricultores, eram peritos em irrigao; sendo

favorecidos pelos rios Tigre e Eufrates. Eram bons comerciantes. A economia do pas se

fundamenta na lavoura e no comrcio. Desenvolveram-se intensas relaes comerciais com

os pases prximos. Trocavam-se metais, madeiras, produtos agrcolas e manufaturados.

Usavam-se recibos, faturas, ttulos de crditos, notas promissrias. Circulavam como

dinheiro, barras de ouro ou prata. A unidade monetria padro de troca era um ciclo de

prata. O comrcio era ativo e empregava muita gente.

Outra atividade econmica era a pesca, utilizando-se de pequenos barcos de junco,

anzol e rede os sumrios pescavam no Golfo Prsico, nos rios, canais e pntanos. Oartesanato foi um dos responsveis pelo grande impulso dado ao comrcio. Os artesos eram

muito habilidosos e fabricavam mveis de madeira; vasilhas de argila, de pedra, de madeira e

de vidro; objetos de metal, de couro (sandlias, roupas, equipamentos militares), bijuterias e

tijolos (secos ao sol ou cozidos em forno). As ls retiradas das ovelhas eram utilizadas para

confeco de tecido. As famlias ou oficinas txteis, constitudas pelos homens livres, eram

os realizadores do trabalho artesanal.

Segundo texto publicado no site Vbcontrol (2003) h duas formas bsicas para seobter os materiais que pases necessitam: pela guerra ou comrcio. Tais materiais so

geralmente exigidos como tributos ou tomados por pilhagem aps uma expedio militar.


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A regio mesopotmia carecia de recursos minerais e de madeira, indispensveis para a

construo de grandes monumentos, alm de resistentes. Ao longo da histria, os

mesopotmicos tiveram cada vez mais necessidade destes materiais, que vinham de longe: ou

das florestas do Lbano ou das montanhas do Ir (atualmente). Essas montanhas tambmeram ricas em minerais, pedras e metais. Por este motivo, o comrcio comeava a ser

executado com todas as regies vizinhas. De acordo com Cruz e Silva (2002) devido ao

incremento na atividade mercantil, bem como ao aumento de mercadorias em circulao, o

sistema de tbuas contbeis tornou-se complexo. Segundo Iudcibus(1997) a preocupao

com as propriedades e a riqueza uma constante no homem da Antigidade,[...] e o homem

teve de ir aperfeioando seu instrumento de avaliao patrimonial medida que as atividades

foram desenvolvendo-se em dimenso e em complexidade. A situao geogrfica daMesopotmia, na rota do comrcio entre Oriente e Ocidente, estimulou as atividades

comerciais, tornando necessrios rudimentos de aritmtica aplicada, tais como sistemas de

contabilidade, noo de juros, etc. Em meados do terceiro milnio os comerciantes da

Sumria j empregavam um sistema de pesos e medidas, fazendo uso de juros simples e

compostos.


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APLICAES DA MATEMTICA E DA GEOMETRIA MESOPOTMICA

Os Babilnicos (assim tambm eram chamados os povos mesopotmicos) tinham

uma maior habilidade e facilidade para efetuar clculos, talvez em virtude de sua linguagem

ser mais acessvel que a egpcia. Eles tinham tcnicas para equaes quadrticas e bi-

quadrticas, alm de possurem frmulas para reas de figuras retilneas simples e frmulas

para o clculo do volume de slidos simples. Sua geometria tinha suporte algbrico.

Tambm conheciam as relaes entre os lados de um tringulo retngulo e trigonometria

bsica, conforme descrito na tbua Plimpton 322.

Os mesopotmicos foram os inventores da lgebra, do sistema posicional,

desenvolveram os clculos de diviso e multiplicao, incluindo a criao da raiz quadrada eda raiz cbica. E utilizando smbolos para unidades e dezenas, podiam representar qualquer

nmero. Os smbolos utilizados por este povo para representar os nmeros eram: v que

correspondia a 1 (um) e o < que correspondia ao 10 (dez). O sistema numrico adotado

pelos sumrios uma combinao do sistema decimal e do sistema sexagesimal. Assim tem-

se:

Os babilnios usavam um sistema posicional que, em alguns aspectos era semelhante

ao dos egpcios. Algumas inscries mostram que, surpreendentemente, eles usavam no

somente um sistema decimal mas tambm um sistema sexagesimal (isto , base 60) , o qual

trazia enormes facilidades para os clculos, visto que os divisores naturais de 60 so

1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60, facilitando o clculo com fraes.Usavam um trao vertical para representar as unidades e outro desenho para as

dezenas:

No sistema decimal, os nmeros de 1 a 99 eram representados por agrupamentos destes

smbolos, por exemplo,

v vv vvv vv vvv vvv <


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O smbolo para 100 era composto por traos:

e nmeros superiores a 100, representados novamente por agrupamento. Assim,

por exemplo, temos:

O smbolo indica 10 vezes 100, isto , 1000.

Tambm empregava, em algumas tabuletas, o sistema sexagesimal. Os nmeros

de 1 a 59 eram representados novamente por agrupamento simples e a partir dali, se

escreviam "grupos de cunhas", com base 60. Por exemplo,

Os babilnios chegaram a empregar um smbolo, formado por duas cunhas

inclinadas, para representar a ausncia de um grupo. Por exemplo,

Como este smbolo no era de uso freqente, e ainda, nunca foi usado no fim de

uma expresso, o sistema babilnio apresentava ambigidades. Por exemplo,

poderia representar o nmero , etc.


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Nosso sistema de numerao indo-arbico um sistema de numerao posicional

de base 10. Ele preciso e no apresenta ambigidades, justamente porque temos o smbolo

0 (zero) para representar ausncia de uma casa.

A base de numerao 10 o sistema usado quase que universalmente pelo fato de

termos dez dedos disponveis nas mos para nos auxiliar nos clculos.

Cidade da informtica (2001) nos traz o seguinte texto:

A astronomia e as matemticas comearam a buscar essas respostas, e a criar

aparatos que lhes serviam como para ordenar o mundo e os ciclos que a natureza dispe. Os

primeiors calendarios usados pelos babilonicos mediam os meses de acordo com as fases

lunares e os anos, conforme a posio do sol. Pelo testemunho que perdura nas tabuas de

argila que tem chegado at ns, hoje sabemos que por volta do ano de 1950 a.c, o povo

babilnico adotou a base 60 para medir o tempo, ou seja, uma hora igual a 60 minutos.

Mas para que isso pudesse acontecer deveriam contar no solo com sistemas de numerao, e

tambm com signos que representava quantidades.

Ou seja, o sistema sexagesimal teve sua origem na astronomia, especificamente,

na contagem do tempo, ou melhor na diviso do tempo em horas, minutos e segundos. No

qual 1 (uma) hora equivale a 60 minutos.

Estes nmeros eram escritos mediante a presso da extremidade mais larga ou menor de

um clamo de junco sobre a argila ou verticalmente (para desenhar um crculo) ou

obliquamente. Com o passar do tempo esses nmeros passaram a apresentar uma forma

angular.

Exemplificando o sistema numrico utilizado pelos sumrios, tem-se:

1)


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retirando o grupo das unidades, os demais grupos so multiplicados pelo fator 60, onde as

dezenas apenas por 60, as centenas por 60 ao quadrado, e assim continuaria, aumentando-se

as casas aumentam-se os expoentes. Este tipo de clculo deixa bem claro que os sumrios j

conheciam e utilizavam as potncias quadradas e cbicas.

. Os sumrios utilizaram a formula:

para utilizar a multiplicao. A diviso se assimila a multiplicao a seguir:

Algumas tbuas mostram que os mesopotmicos chegaram a resolver equaes do 2. e

3. graus, usando palavras como incgnitas num sentido abstrato e conheciam bem o

processo de fatorao. No s resolviam as equaes quadrticas, seja pelo mtodo

equivalente ao da substituio numa frmula geral, seja pelo mtodo de completar quadrados,

como tambm discutiam algumas cbicas e algumas biquadradas.

Acredita-se que os povos mesopotmicos dominavam tambm as frmulas de

progresses geomtricas. Seus desenvolvimentos podem ser constatados em tabuletas que

indicavam relaes entre os lados de um tringulo. Porm, essas tabuletas mostram apenas as

questes e os resultados.

As implantaes dos sistemas de irrigao desenvolvidos exigiam, para a execuo do

trabalho, alguma forma primitiva de engenharia e agrimensura, atividades que pressupem a


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aplicao de certos conhecimentos geomtricos, tais como mediadas de reas, linhas de nvel,

etc.

Da matemtica mesopotmica constata-se tambm a familiarizao com as regras

gerais de clculo da rea do retngulo, do tringulo retngulo e isscele, de um trapzio

retngulo e, do volume de um paraleleppedo e mais, geralmente do volume de um prisma

reto de base trapezional.

Tinham tambm uma frmula para calcular o permetro da circunferncia a que

equivale. Conheciam o volume de um tronco de cone e de um tronco de pirmide

quadrangular regular. Sabiam que os lados correspondentes de dois tringulos retngulos

semelhantes so proporcionais. Utilizavam-se de uma corda com 13 ns de forma a que o

espao entre eles fosse igual, isto , a corda media 12 unidades, sendo cada unidade o espao

entre dois ns consecutivos, para construir um tringulo retngulo, mas no sabiam expressar

teoricamente esse conhecimento.

Essa tcnica foi divulgada por Pitgoras, em 560 a.C. aps ter realizado vrias viagens

Mesopotmia, cujo saber havia fascinado Tales, onde estudou geometria com sacerdotes,

vindo a ter contato com o mtodo da corda de 13 ns. Com base nesta tcnica desenvolveu

o que hoje conhecemos como Teorema de Pitgoras num tringulo, o quadrado da

hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos. Pitgoras no s se satisfez com a

generalizao da propriedade a que chegou, como tambm se preocupou com a sua

demonstrao, ou seja, em provar que essa regra se aplicava a todos os tringulos retngulos.

Somente em 1637 d.C. foi provada a relao de

posicionamento utilizado pelos sumrios nas construes de seustemplos, palcios e monumentos arquitetnicos. Tal feito foi

realizado por Descartes. Ele criou uma frmula algbrica para

representar um fato trivial e infantil j conhecido por todos; de que

um ponto em uma folha de papel retangular est infalivelmente,

como evidente, onde as duas linhas de suas duas distncias medidas perpendiculares a duas

margens adjacentes da folha, se encontram. Em linguagem geomtrica, isto quer dizer que

um ponto em um plano pode ser representado pelos valores (hoje chamado coordenadas


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cartesianas) das suas duas distncias (x, y), tomadas perpendiculares a dois eixos que se

cruzam em ngulo reto nesse plano, como a conveno de lado positiva e negativa para um e

outro lado do ponto de cruzamento dos eixos.

O APARECIMENTO DE

Uma das caractersticas mais relevantes da matemtica sumria era o uso do sistema

de numerao posicional. Isto possibilitava o clculo do valor numrico de grandezas

geomtricas com uma preciso admirvel para a poca. Um exemplo notvel pode ser visto

em um tablete sumeriano da Yale Babylonian Collection, catalogado sob a sigla YBC7289.

Tablete sumrio YBC7289, da YaleBabylonian Collection.

Nele vemos representado um quadrado, suas duas diagonais e trs nmeros:

a=30

b=1,24,51,10c=42,25,35

escritos no sistema sexagesimal sumeriano. Nessa notao os algarismos do sistema

sexagesimal so indicados por 0, 1, 2,..., 9, 10, 11, 12,...,59, e a vrgula separam as casas.


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Desenho esquemtico do tablete

sumrio YBC7289, mostrando umquadrado, suas duas diagonais, e trs

nmeros sexagesimais, um sendo o

valor do lado do quadrado, outro uma

aproximao do valor de , e o

terceiro uma aproximao do valor

de sua diagonal.

Calculando na base sexagesimal temos

portanto .Por outro lado, interpretando na figura acima como o valor da diagonal do quadrado

de lado , temos, em virtude do Teorema de Pitgoras,

Assim, relacionando e, vemos que deve ser uma aproximao de

Lembrando que os sumrios no tinham notao para separar a parte inteira da parte

fracionria na representao escrita dos nmeros, passamos a interpretar , e como:

a=(0;30) 60


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b=(1;24,51,10)60

c=(0;42,25,35)60

Vemos que

que prximo de 2.

Resulta a aproximao

No sistema decimal isso equivale a

Comparando com vemos que a aproximao calculada

pelos sumrios tem erro . Este foi sem dvida um clculo notvel.

PARTIDAS DOBRADAS E CONHECIMENTO MATEMTICO

A matemtica sempre foi utilizada como um instrumento, atravs do qual se podia

explicar os fenmenos naturais, ou seja, suas causas e conseqncias. Por exemplo,

aplicando-se a dualidade dos fatos, pela matemtica, obtm-se na Astronomia a relao do

tempo em horas-dia e horas-noite.

Os mesopotmicos tambm representavam a natureza dos seres atravs da matemtica,

ou seja, os nmeros pares eram considerados seres femininos e os mpares, masculinos. At

mesmo na grafia estava presente a dualidades das coisas, o que se pode verificar claramente

no smbolo utilizado para representar o infinito. Esse smbolo representa a unio de dois

crculos (4), onde um deles representa o mundo material e o outro o mundo imaterial, em

outras palavras, o infinito significa graficamente a unio dos dois mundos.


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Os nmeros tambm representam o bem e o mal. Representavam o bem, os nmeros

positivos, que significam a soma, o acrscimo; j os nmeros negativos o mal, a excluso, a

subtrao. Paralelamente a esse raciocnio desenvolveu-se o controle do patrimnio, o

sentido do que me pertence e o que pertence outra pessoa. Segundo S (2002) o meu e o

seu deram, na poca, origem a registros especiais de dbito (o que algum tem que me

pagar) e crdito (o que devo pagar a algum), onde teramos uma primeira verso do

registro por Partidas Dobradas.

Uma outra aplicao da matemtica pelos mesopotmicos se refere s funes. Este

povo conhecia o sentido amplo da palavra relao. Conforme Brito [s.d] diz-se que existe

uma relao entre duas coisas quando existe um elo de ligao, uma correspondncia, uma

vinculao entre elas.

Usando a representao de conjuntos podemos visualizar estes exemplos mais

facilmente. Dentro de cada conjunto podemos apresentar seus elementos (valores) e associ-

los na relao. Como pode ser observado na figura 1.

Figura 1 Correlao entre conjuntos

Observe que do conjunto origem (A) partem os elos de ligao em direo aoconjunto destino (B).

Com esta noo de relao em mente e, particularmente, evidenciando assituaes acima ilustradas, podemos definir o que vem a ser uma funo. A idia de

relao biunvoca de conjunto que predomina numa funo entre origem e destino

coaduna com a idia das Partidas Dobradas de origem e aplicao de recursos.

A forma intuitiva do aprendizado das funes atravs da representao de

conjuntos trocada, na prtica, pelo Sistema Cartesiano, no qual colocamos o domnio

no eixo do x e o contradomnio (em que estaro as imagens) no eixo do y. Desta forma


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podemos visualizar melhor o par ordenado (x,y) e o comportamento das funes que se

deseja estudar. Assim temos:

Figura 2 Sistema Cartesiano

Como j foi dito antes, os mesopotmicos no deixaram registro desse conhecimento,

mas j foi provado que no s conheciam, como os utilizavam para a edificao de suas

construes monumentais.

CONTABILIDADE NA MESOPOTMIA

O par ordenado do eixo cartesiano (x,y) pode ser visto, tambm, como uma forma de

registro em par, isto , uma Partida Dobrada. A aplicao do conhecimento da relao

matemtica aos controles contbeis em um determinado fato relatada por Schmidt (2000):

No ano de 1920, em Nuzi (norte da Babilnia), 49 fichas acompanhadas de uma tabela

de pedra com inscries cuneiformes listando um pequeno rebanho de carneiros, pertencente

ao segundo milnio a.C., portanto, fora do perodo pr-histrico. Esses artefatos

representam, aparentemente, a transferncia desse pequeno rebanho sete diferentes tipos

de carneiros e cabras realizada por Puhisenni, filho de Mapu, habitante da regio, para o

pastor de nome Ziquarru. A escavaes revelam que as 49 fichas perfuradas representam a

garantia de que o pastor havia recebido o rebanho e tinha uma dvida com o proprietrio

anterior. Cada animal do rebanho era representado por uma ficha mantida em um

receptculo. Sempre que algum animal era transferido para um pastor, ou para outra

pastagem, ou mesma para tosquia, a forma de registro desse evento era a transferncia da

ficha correspondente ao animal para outra caixa. A explicao para esse duplo registro (a

tabela de pedra e as fichas), segundo Schmandt-Besserat (1992), foi que a caixa de barro


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contendo as fichas era provavelmente destinada ao pastor (ou devedor), enquanto a tabela

constitua o recibo de proprietrio (ou credor). Mesmo j existindo a escrita cuneiforme, a

maioria da populao (como os pastores de 2000 a.C.) no a dominava e as fichas contbeis

eram de fcil entendimento, j que cada ficha representava um animal.

Ter a seguinte representao grfica da situao acima citada:

Figura 3 Representao utilizando o Conjunto

Logo, temos:

Matematicamente

f(venda) = (carneiro, Ziquarru)

f(venda) = (cabra, Ziquarru)

Contabilmente

1o) Dbito Ziquarru (Cliente)

2o) Dbito Ziquarru (Cliente)

Crdito Carneiro (Estoque)

Crdito Cabra (Estoque)

Analisando os fatos, observa-se que h duas contabilidades paralelas, a do vendedor

Puhisenni e a do comprador Ziquarru.

Isso ficou bem caracterizado quando Schmidt apontou a transferncia desse pequeno

rebanho sete diferentes tipos de carneiros e cabras realizada por Puhisenni para o pastor

de nome Ziquarru. Essa transferncia de propriedade foi registrada por 49 fichas

acompanhadas de uma tabela de pedra com inscries cuneiformes listando um pequeno


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rebanho de carneiros. Em ambas as anlises predominam a idia do registro contbil por

Partidas Dobradas e no por Partidas Simples.

A contabilidade realizada por Puhisenni revela-nos que houve um registro de sada de

sete animais, ou seja, atualmente diramos que foi creditada conta-estoque (animais) em sua

contrapartida, por meio das 49 fichas perfuradas, que representam a garantia de que o pastor

havia recebido o rebanho e tinha uma dvida com o proprietrio anterior, ou seja, essa

garantia equivale quilo que atualmente conhecemos por duplicatas, notas promissrias,

cheques pr-datados, ou qualquer outro instrumento que reconhea a dvida, e logicamente

esse registro feito no Ativo na conta cliente. O conhecimento de nmeros positivos e

negativos nessa operao est bem claro.

Observe que apesar de estarem registrados em livros distintos, o ato da venda dos

animais teve sua contrapartida que foram os recibos do reconhecimento da dvida, como diz

o texto enquanto a tabela constitua o recibo de proprietrio (ou credor). Graficamente,

teramos dois livros um de animais (estoque) e outro de garantia de compra (cliente a

receber), a existncia e registro em dois livros de forma simultnea permitem afirmar que tais

registros so por Partidas Dobradas, como se mostra a seguir.

Registros contbeis realizados por Puhisenni

Livro1 Animais (estoque) Livro 2 Garantia (cliente a receber)

CarneiroCabras

49 fichas que representam a garantia de que o pastorhavia recebido o rebanho e tinha uma dvida com oele.

O mesmo fato tambm registrado pelo comprador, Ziquarru: a explicao para esse

duplo registro (a tabela de pedra e as fichas), segundo Schmandt-Besserat (1992), foi que a

caixa de barro contendo as fichas era provavelmente destinada ao pastor (ou devedor). Onde

ele debitaria estoque (animais) e creditaria fornecedor (pela emisso de 49 ficha dadas em

garantia).


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Registros contbeis realizados por Ziquarru

Livro 1 Animais (estoque) Livro 2 Garantia (cliente a pagar)

CarneiroCabras

49 fichas que representam a garantia de que o pastorhavia recebido o rebanho e tinha uma dvida com oPuhisenni.

Na seqncia do texto h a referncia da transio de animais cada animal do rebanho

era representado por uma ficha mantida em um receptculo. Sempre que algum animal era

transferido para um pastor, ou para outra pastagem, ou mesmo para tosquia, a forma de

registro desse evento era a transferncia da ficha correspondente ao animal para outra caixa.

Isso demonstra a aplicao de todos os conhecimentos matemticos, principalmente queles

ligados s funes, visto que todos os fatos relacionados com o patrimnio eram registrados.

Conforme S(1997) a apurao de custos, revises de contas, controles gerenciais de

produtividade, oramento, tudo isto j era praticado em registros feitos em pranchas de

argila, nas civilizaes da Sumria e da Babilnia (mesopotmia). S poderia ser realizado

esse clculo se os mesopotmicos aplicassem os princpios matemticos aqui relatados.

Um outro fato que concretiza a utilizao de partidas dobradas pelos mesopotmicos

que somente os sacerdotes poderiam fazer esse registro e controle. Um dos requisitos bsicos

para essa funo era o conhecimento terico e prtico de aritmtica e geometria. Seria um

choque de conhecimentos e aplicaes dos registros, se os sacerdotes utilizassem partidas

simples, uma vez que a matemtica sempre trabalhou com uma dualidade: causa e

conseqncia. Por este motivo, infundado falar que os registros contbeis realizados pelas

civilizaes da Mesopotmia eram feitos sobre forma de partida simples, o fato de utilizaremlivros distintos para os registro de controle no descaracteriza a aplicao da partida dobrada.

A genialidade dos mesopotmicos e o seu desenvolvimento cultural criaram, tambm,

ambientes intelectuais propcios ao grande progresso na escrita contbil. H cerca de 2000

a.C. os sistemas de leis, alcanando o patrimnio, j exigiam controles e registros

aprimorados, onde a matemtica desempenhava um importante papel na concretude da vida

cotidiana. Por suas construes monumentais constata-se claramente o alto grau de


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desenvolvimento da matemtica pelos sumrios, a qual era tambm empregada em outras

reas do conhecimento, inclusive a contabilidade, exemplo abaixo.

Para se tornar um sacerdote contador, o indivduo precisava ter conhecimento de

notao aritmtica e do seu uso prtico. Um dos princpios bsicos da matemtica a relao

dos fenmenos, por isso seria insensato dizer que os sacerdotes no aplicavam esse

conhecimento nos registros contbeis. Conseqentemente, fica provado que esses registros

eram feitos usando Partidas Dobradas, porm, em livros e formas distintas.


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CONCLUSO

Conclumos que a matemtica, assim como as cincias de modo geral

desenvolveram-se devido as necessidades que surgiam dia-dia. A matemtica na

Mesopotmia surgiram como uma cincia prtica, com o objetivo de facilitar o clculo do

calendrio, a administrao das colheitas, organizao de obras pblicas e a cobrana

de impostos, bem como seus registros.

As guas dos rios Tigre e Eufrates proporcionavam facilidades para o transporte de

mercadorias, o que ajudou a desenvolver um processo de navegao.

Foram desenvolvidos nestes rios grandes projetos de irrigao das terras cultivveis

e a construo de grandes diques de conteno, abrindo assim o caminho para o

desenvolvimento de uma engenharia primitiva.

Procedeu-se ao desenvolvimento de uma astronomia rudimentar para o clculo do

perodo de cheias e vazantes dos rios, mesmo que estes perodos no fossem regulares

como os do rio Nilo no Egito.

E tambm, pelo fato da Mesopotmia estar situada no centro do mundo conhecido da

poca, o que propiciava muito contato com outros povos, ela teve um papel muito grande nodesenvolvimento da matemtica de um povo que teve um papel muito importante na

histria: o povo Grego. Graas a este contato com o povo Grego, muito desta matemtica

chegou at os nossos dias.


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história da matemática - mesopotânia

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