história da matemática - breve história

8/14/2019 História da Matemática - Breve História

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AAllgguunnss ppeerr ssoonnaaggeennss iimmppoorr tt aanntt eess nnaa hhiisstt óórr iiaa ddaa LLóóggiiccaa MMaatt eemmáátt iiccaa Tendo em vista as nossas finalidades, vamos pensar na Lógica como o estudo do “raciocíni

ou seja o estudo dos processos usados para se obter conclusões a partir de, necessariamente, fasuposições. Na nossa disciplina, faremos uso da Lógica para demonstrar teoremas e para inferir resultados corretos que possam ser aplicados na teoria que iremos desenvolver.

Na nossa brevíssima história da Lógica, falamos de alguns personagens importantes, de al

suas contribuições no desenvolvimento da Lógica Matemática e observamos que alguns desses pcontribuíram, também, para o desenvolvimento de várias áreas da Matemática. Sendo assim, sugerpartir do roteiro abaixo, você pesquise mais sobre esses personagens. Conhecer um pouco de suas suas contribuições ajuda-nos entender melhor amagia e oencantamento da Matemática !

PPeerr í í ooddoo CClláássssiiccoo (séc. IV a.C. – séc. XIX)(± 390 a.C. a± 1840 d.C.)

O estudo das formas gerais do pensamento, sem preocupação com seu conteúdo, chama-seas raízes da Lógica encontram-se na antiga Grécia. Aristóteles é considerado o criador da Lógciência, mas essa concepção tem um pouco dos filósofos Sócrates e Platão. Esse primeiro período

conhecido comoPeríodo Aristotélico , o que mostra a influência das idéias de Aristóteles.Platão (± 428 a. C.-347 a. C.): Discípulo de Sócrates, Platão é uma das referências do pensamento oEm nenhum dos seus famososDiálogos Platão trata expressamente da Lógica, contudo a Lógica já encontrava presente naAcademia (escola fundada por ele, em Atenas), nos últimos anos de Platão.Aristóteles de Estagira (± 384 a. C.-322 a. C.): Filósofo grego e discípulo de Platão, Aristóteles, umaiores pensadores de todos os tempos, sistematizou e definiu a Lógica, constituindo-a como uautônoma. Foram várias as contribuições de Aristóteles para o desenvolvimento da Lógica. Depodemos destacar:

• a separação da validade formal do pensamento e do discurso da sua verdade material (argpodem ser convincentes, embora não sejam corretos);

• o estudo dos mecanismos do pensamento dedutivo;• a identificação dos conceitos básicos da Lógica;• a introdução de letras para denotar termos;• a criação de termos, até hoje utilizados, como: “válido”, “não-válido”, “contraditório”, “p

“universal”.Os escritos de Aristóteles foram reunidos por seus seguidores em uma obra denominadaOrganon , quesignifica “Instrumento da Ciência”. A matriz aristotélica da Lógica persiste até os dias de hoje.Euclides de Alexandria (325 a.C.-265 a.C.): Euclides de Alexandria, provável freqüentador da acadePlatão, não teve papel no desenvolvimento da Lógica, propriamente dito. Mas com sua obraO s Elementos ,texto usado nas escolas por aproximadamente 2.000 anos, foi o grande divulgador do Método AxiCrisipo de Soles (280 a.C.-206 a.C.): Homem de vasta produção (750 livros), Crisipo fez notáveiscontribuições para o desenvolvimento da Lógica. Estudou proposições regidas pelos conectie, ou,se...então . Tinha clareza do papel desempenhado pelanegação na Lógica. É reconhecido hoje como ogrande precursor doCálculo Proposicional.

EEuucclliiddeess[[11]]AArr iisstt óótt eelleess[[11]] CCrr iissiippoo[[22]]PPllaatt ããoo[[11]]

UFMS / CCET / DMT DISCIPLINA: Álgebra I - 2006 Profa. Sonia Regina Di Giacomo1



Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716): Embora Leibniz tenha vivido nochamado Período Clássico da Lógica, seus trabalhos tiveram pouca influêncianesse Período e só foram apreciados e conhecidos no século XIX . Leibniz tentouaplicar à Lógica o modelo de calculo algébrico da sua época, pois para ele oraciocínio era um cálculo suscetível de ser efetuado por uma máquina organizadapara esse fim (mecanização da Lógica dedutiva). Em 1694, Leibniz inventou umacalculadora que além de somar, podia subtrair, multiplicar, dividir e extrairraízes quadradas. Leibniz, foi o precursor da Lógica Matemática moderna.(Observação : A primeira máquina de somar foi inventada porBlaise Pascal , em1642)

Curiosidade: Você sabe o que é um afresco ? Pensou besteira, não é ? Afresco é uma técnica de pfeita em paredes ou tetos rebocados, enquanto a argamassa ainda está úmida. E o que isso tem a vMatemática ou a Lógica? O artista renascentista italianoRafael Sanzio (1483-1520) pintou o afresco “AEscola de Atenas ”, uma de suas mais admiradas obras (veja uma reprodução abaixo). Nela Rafaefiguras de sábios de diferentes épocas, alguns deles ligados ao desenvolvimento da Matemáticafossem colegas de uma mesma academia (nos detalhes, destacamos alguns desses sábios).

Se você quiser conhecer um pouco mais sobrePlatão , sobreAristóteles , sobre aAcademia (escolafundada por Platão), sobre oLiceu (escola fundada por Aristóteles) e outros filósofos, visite o seguinte si

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/hfe/momentos/escola/academia/Lá você poderá ver, em destaque, as figuras do afrescoA Escola de Atenas que representam os sábios

Alcebíades, Aristóteles, Averroés, Diógenes, Epicuro, Euclides, Heráclito, Parmênides de Elea, PiSamos, Platão (pintado a semelhança de Leonardo da Vinci), Ptolomeu, Sócrates, XenofonteZoroastro.

Leibniz[1]

Zenão[3]

Pitágoras [3] Euclides[3]Ptolomeu (de costas) [3]

Platão [3]Sócrates [3]

A Escola de Atenas [[33]]



http://slidepdf.com/reader/full/historia-da-matematica-breve-historia 3/5Profa. Sonia Regina Di Giacomo3

PPeerr í í ooddoo MMooddeerr nnoo (séc. XIX – princípio do séc. XX) (± 1840 a± 1910)

A passagem do século XVIII para o século XIX marca o início de um novo tempo na HMatemática, e, em meados do século XIX, uma verdadeira revolução aconteceu na Lógica. Investiformação matemática conceberam uma forma de transformar a Lógica numa Álgebra e assim a Lóa ser vista como um cálculo algébrico. Foi no final do século XIX que a Lógica Matemática, qu

propósito de justificar (logicamente) a Aritmética, deu gigantescos passos no sentido da formalizconceitos e dos processos demonstrativos. Esse período, caracterizado pela ligação entre a LóMatemática, é conhecido, também, comoPeríodo Booleano.

Augustus De Morgan (1808-1871): Nascido na Índia, logo se mudou para a Inglaterra. Escreveu trabsobre os fundamentos da Álgebra, da Lógica e da Teoria das Probabilidades. Foi o primeiro a intermo e tornar rigorosa a idéia da Indução Matemática, em 1838, no artigo Induction (MathematicGeorge Boole (1815-1864): A criação da Lógica Matemática é atribuída ao inglês George Boole. EmMathematical Analysis of Logic , publicada em 1847, a Lógica foi tratada, pela primeira vez, comcálculo de símbolos algébricos. Boole converteu a Lógica em um tipo de Álgebra fácil e simÁlgebra, hoje conhecida como Álgebra Booleana, foi fundamental para o desenho dos circcomputadores modernos e tem aplicações nas ligações telefônicas. No entanto a Lógica Boolelimitada ao raciocínio proposicional, e, somente mais tarde, com o desenvolvimento dos quantifque a Lógica formal pode ser aplicada ao raciocínio matemático, em geral.Friedrich Wilhelm Karl Ernst Schröder (1841-1902): O alemãoSchröder desenvolveu importantestrabalhos em Álgebra, em Lógica e em Teoria dos Conjuntos. Foi ele quem, praticamente, dacabada à Lógica de Boole.Giuseppe Peano (1858-1932): O matemático italiano Giuseppe Peano teve grande importândesenvolvimento da Lógica. O simbolismo de Peano e seus axiomas, dos quais dependem rigorosas da Álgebra e da Análise, representam a mais notável tentativa do século de reduzir a Acomum a um cálculo lógico. Muito da simbologia da Matemática se deve a Peano e a Diferentemente do pensamento geral da época, para Peano, os enunciados em Matemática devdeduzidos partir de premissas, e não obtidos por intuição.

BBoooollee [[11]]DDee MMoorr ggaann[[11]] SScchhrr ooeeddeerr [[11]] PPeeaannoo[[11]]

FFrr eeggee[[11]]

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925): O primeiro a apresentar ocálculo proposicional na sua forma moderna, Frege ocupa um lugar dedestaque no desenvolvimento da Lógica. Foram inúmeros os conceitos e asinovações, muitas delas revolucionárias, introduzidos por ele. Por exemplo, foiele quem introduziu a função proposicional, o uso de quantificadores e aformação de regras de inferência primitivas. A ele se deve uma conceituaçãomais exata da teoria aristotélica sobre sistema axiomático, assim como umaclara distinção entre lei e regra, entre linguagem e metalinguagem. Fregetentou provar que toda a Matemática é pura Lógica. As idéias de Fregeinfluenciaram outros nomes importantes no desenvolvimento da Lógica, como,por exemplo, Russel e Hilbert.

UFMS / CCET / DMT DISCIPLINA: Álgebra I - 2006



PPeerr í í ooddoo CCoonntt eemmppoorr âânneeoo ( séc. XX até os nossos dias) ( a partir de± 1910)

A intenção de obter as verdades da Aritmética a partir de um sistema lógico foi uma preodo Período Moderno e do início do Período Contemporâneo, e é no Período Contemporâneo qudefinitiva a essa expectativa é dada. No Período Contemporâneo assistimos, também, à expdiversificação da Lógica Matemática, e ao aparecimento de novos ramos no estudo da Lógica.

David Hilbert (1862-1943): Matemático e filósofo alemão, Hilbert poderia ter sido relacionado copersonagem do Período Moderno, uma vez que iniciara sua carreira em 1884. Hilbert foi urepresentante da tendência axiomática e também tinha o sonho de construir toda a Matemática usconjunto finito de verdades, a partir das quais todo o conhecimento poderia ser deduzido logicContribuiu em vários campos da Matemática e é considerado uma importante figura de transiçãoséculos XIX e XX. Em 1900, depois de muito analisar as pesquisas feitas no final do século XIsua participação no Congresso de Paris, Hilbert apresentou vinte e três problemas, os quais, acredocupariam a atenção dos matemáticos do século XX. Depois desse congresso, os matemáticos se em duas escolas, conforme suas linhas de pensamento: osformalistas , liderados por Hilbert, e oslogicistas ,liderados por Russel.Bertrand Arthur William Russell (1872-1970): Filósofo, matemático e ativista político britânico, Russconsiderado um dos maiores logicistas do século XX. Acreditava que todas as verdades matemátiapenas as da Aritmética, como pensava Frege, poderiam ser deduzidas a partir de umas poucas Lógicas, e todos os conceitos matemáticos reduzidos a uns poucos conceitos lógicos primitivos"Principia Mathematica", escrita de 1910 a 1913, em colaboração com Alfredo North Whitehead,referência na Lógica Matemática. Outro trabalho famoso é "Introdução à Filosofia da Mate(Introduction to Mathematical Philosophy ), escrita em 1916 enquanto Russel esteve na prisão.Kurt Gödel (1906-1978): Lógico tcheco, naturalizado americano, Gödel demonstrou, em 1931, q

possível construir uma teoria axiomática dos números que seja completa, conforme pretendia Hioutras palavras, Gödel mostrou que se um sistema que seja consistente, isto é, que não encontradição, representa a Aritmética e usa um número razoável de axiomas, então esse sisincompleto, ou seja, existem verdades da Aritmética que não podem ser demonstradas ou connesse sistema. Esse resultado é o famoso Teorema da Incompletude de Gödel, um dos resultadimportantes da Lógica.Alfred Tarski (1902-1983): Nascido na Polônia, Tarski emigrou para os Estados Unidos em 193trabalhos constituíram o alicerce das modernas teorias Lógicas. A teoria de modelos foi, em grancriada por Tarski. Segundo contam, em 1960, ao abrir as sessões de um congresso internacional em Stanford, Tarski, tendo em mãos os resumos das conferências programadas, afirmou: “Antes,

mais fácil – pois tudo estava por fazer. Tanto se fez, porém, que não mais consigo acompanharidéias e me vejo perdido diante de muitas comunicações que serão aqui apresentadas nos próximo

T T aarr sskkii[[11]]GGööddeell[[11]]RRuusssseell[[11]]HHiillbbeerr tt [[11]]




VVeerr tt eenntt eess ddooss ff uunnddaammeenntt ooss ddaa MMaatt eemmáátt iiccaa ddoo ff iinnaall ddoo ssééccuulloo XXII XX,, iinní í cciioo ddoo ssééccuulloo XXXX

Logicismo(Frege, Russell): A tese dessa vertente é que a Matemática é um ramo da Lógica: Matemática é conseqüência de princípios puramente lógicos.

Formalismo (Hilbert): A proposta dessa vertente é que a Matemática é fundamentada por sistemas focujo único requisito é a consistência. A proposta formalista considera a Matemática como umautônomo.

Intuicionismo (Brouwer): A característica fundamental dessa vertente é o construtivismo: a Matemáuma atividade humana fundamentada em processos construtivos, sendo assim todo objeto matemsua existência expressa por construção.

UUmmaa ccllaassssiiff iiccaaççããoo ddaa LLóóggiiccaa

Lógica Clássica Hoje em dia, a chamada Lógica Clássica é a Lógica Proposicional e de Predicados. É regida pelda Identidade, da Contradição e do Terceiro Excluído, entre outros.

Extensões da Lógica Clássica São aquelas que adicionam um vocabulário novo, novos teoremas e inferências válidas à Lógica mantêm todos os teoremas originais. Dessa forma, complementam de algum modo a Lógicestendendo o seu domínio.Exemplos:

Lógica Modal (estuda as conexões entre os enunciados tendo em conta a sua modalidade);Lógica Deôntica (estuda os enunciados normativos sob o ponto de vista lógico).

Lógicas Não-Clássicas Lógicas caracterizadas por abolirem um ou mais princípios da Lógica Clássica.

Exemplos:Lógicas Paracompletas e Lógicas Intuicionistas (abolem o Princípio do Terceiro Excluído);Lógicas Paraconsistentes (abolem o Princípio da Contradição);Lógicas Não-Aléticas (abolem o Terceiro Excluído e o da Contradição);Lógicas Não-Reflexivas (abolem o Princípio da Identidade);Lógicas Polivalentes (permite representar valores intermediários entre os valores verdadeiro e fada Lógica Clássica).

Figuras extraídas de:[1] http//www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html (Acesso em 19/03/06)[2] http://www.pensament.com/filoxarxa/filoxarxa/Crisipo.htm (Acesso em 19/03/06)[3] http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/hfe/momentos/escola/academia/ (Acesso em 19/03/0


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