história da matemática - números romanos

8/14/2019 História da Matemática - Números Romanos

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SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANA

Os romanos usavam um sistema interessante para representar os números.Eles usavam sete letras do alfabeto e a cada uma delas atribuíam valores:

I V X L C D M1 5 10 50 100 500 1.000

Os numerais I, X, C, M só podem ser repetidos até três vezes.

I = 1 II = 2 III =3

X = 10 XX = 20 XXX = 30

C = 100 CC = 200 CCC = 300

M = 1.000 MM = 2.000 MMM = 3.000

Vamos aprender alguns numerais romanos.

I = 1 XX = 20 CCC = 300II = 2 XXX = 30 CD = 400III = 3 XL = 40 D = 500IV = 4 L = 50 DC = 600V = 5 LX = 60 DCC = 700VI = 6 LXX = 70 DCCC = 800VII = 7 LXXX = 80 CM = 900VIII = 8 XC = 90 M = 1.000IX = 9 C = 100 MM = 2.000X = 10 CC = 200 MMM = 3.000



ATENÇÃO!

Os numerais I, X e C, escritos à direita de numerais maiores, somam-se seus valores aos

desses numerais.

Exemplos:

VII = 7 ( 5 + 2 ) LX = 60 ( 50 + 10 ) LXXIII = 73 (50+20+3)

CX = 110 (100+10) CXXX = 130 (100+30) MCC = 1.200 (1.000+200)

Os numerais I, X e C, escritos à esquerda de numerais maiores, subtraem-se seus valoresaos desses numerais.

Exemplos:

IV = 4 (5-1) IX = 9 (10-1) XL = 40 (50-10)XC = 90 (100-10) CD = 400 (500-100) CM = 900 (1.000-

100)

Colocando-se um traço horizontal sobre um ou mais numerais, multiplica-se seu valor por1.000.

Exemplos: __ ___ __

V = 5.000 IX = 9.000 X = 10.000



Reta Orientada - Eixo

Uma reta r é orientada quando fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado poruma seta.

Segmento orientado

Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem dosegmento, o segundo chamado extremidade .

Segmento Nulo

Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem.

Segmentos Opostos

Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB.

Medida de um Segmento

Fixada uma unidade de comprimento, cada segmento orientado pode-se associar um número real,não negativo, que é a medida do segmento em relação aquela unidade. A medida do segmento orientado

é o seu comprimento ou seu módulo . O comprimento do segmento AB é indicado por .

Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é de 5 unidades de

comprimento:



= 5 u.c.

Observações

a. Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero

b. = .

Direção e Sentido

Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes dessessegmentos são paralelas:

ou coincidentes



Observações

a. Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção.

b. Dois Segmentos orientados opostos têm sentidos contrários.

Segmentos Equipolentes

Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmosentido e o mesmo comprimento.

Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem à mesma reta. Na segunda figura abaixo, para

que AB seja equipolente a CD é necessário que AB // CD e AC / BD, isto é, ABCD deve ser umparalelogramo.

Observações

a. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes.

b. A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD.

Propriedades da Equipolência

I. AB ~ AB (reflexiva).

II. Se AB ~ CD, CD ~ AB (simétrica).

III. Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF (transitiva).



IV. Dado o segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB ~ CD.

Vetor

Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados

equipolentes a AB.

Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:

= {XY / XY ~ AB}

onde XY é um segmento qualquer do conjunto.

O vetor determinado por AB é indicado por ou B - A ou .

um mesmo vetor é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamadosrepresentantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjuntoque é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco maisnossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origemcomum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora,cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Conseqüentemente, todos os vetores seacham representados naquele conjunto que imaginamos.

As características de um vetor são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: omódulo , a direção e o sentido do vetor são o módulo, direção e o sentido de qualquer um de seusrepresentantes.

O módulo de se indica por | | .

Vetores iguais

Dois vetores e são iguais se, e somente se, AB ~ CD.



Vetor Nulo

Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo

ou vetor zero, e que é indicado por .

Vetores Opostos

Dado um vetor = , o vetor é o oposto de e se indica por ou por .

Vetor Unitário

Um vetor é unitário se | | = 1.

Versor

Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de .

Por exemplo, tomemos um vetor de módulo 3.

Os vetores e da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No entanto, apenas

tem a mesma direção e o mesmo sentido de . Portanto, este é o versor de .

Vetores Colineares

Dois vetores e são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: e são

colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.



, e são coplanares

, e não são coplanares

Soma de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:

v + w = (a+c,b+d)

Propriedades da soma de vetores

I) Comutativa: Para todos os vetores u e v de R2:

v + w = w + v

II) Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R2:

u + (v + w) = (u + v) + w



III) Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0) em R2

tal que para todo vetor u de R2, se tem:

O + u = u

IV) Elemento oposto: Para cada vetor v de R2, existe um vetor -v em R

2tal que:

v + (-v) = O

Diferença de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:

v - w = (a-c,b-d)

Produto de um escalar por um vetor

Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v, como:

c.v = (ca,cb)

Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores:

1 v = v

(k c) v = k (c v) = c (k v)

k v = c v implica k = c, se v for não nulo

k (v+w) = k v + k w

(k + c)v = k v + c v

Módulo de um vetor

O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:



Vetor unitário

Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.

Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R2, que são dados por:

i = (1,0) j = (0,1)

Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor vpelo seu módulo, isto é:

Observação:

Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e vserão paralelos.

Se c = 0 então u será o vetor nulo.Se 0 < c < 1 então u terá comprimento menor do que v.

Se c > 1 então u terá comprimento maior do que v.Se c < 0 então u terá sentido oposto ao de v.

Produto escalar

Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o númeroreal obtido por:

u.v = a.c + b.d

Exemplos:

O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:

u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14

O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:

u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19

Propriedades do produto escalar



Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:

v.w = w.vv.v = |v| |v| = |v|

2

u.(v+w) = u.v + u.w(kv).w = v.(kw) = k(v.w)|kv| = |k| |v||u.v| <= |u| |v| (desigualdade de Schwarz)|u+v| <= |u| + |v| (desigualdade triangular)

Obs: <= significa menor ou igual

Ângulo entre dois vetores

O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:

u.v = |u| |v| cos(x)

onde x é o ângulo formado entre u e v.

Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricosu e v, como:

desde que nenhum deles seja nulo.

Vetores ortogonais

Dois vetores u e v são ortogonais se:

u.v = 0



MEDIDAS

UM POUCO DE HISTÓRIA

Os sistemas de Pesos e Medidas são o resultado de uma evolução gradual sujeita a muitasinfluências.

É difícil, portanto, estabelecer um percurso lógico e claro para o seu aparecimento

Contar, foi talvez a forma mais primitiva de medir. As comunidades pré-históricas utilizavam as

unidades dos seus produtos principais para se exprimirem nas trocas. Por exemplo: um agricultoravaliava (media) uma ovelha em "mãos cheias de trigo" ou outro grão das suas produções.

O sistema de medida por unidades de troca durou milénios.

O desenvolvimento e aplicação de medidas lineares - antes do aparecimento das de peso ecapacidade - apareceram entre 10.000 e 8.000 anos AC. As unidades de medida nesses temposbaseavam-se na comparação com objetos naturais. Depois começaram a utilizar-se algumasdimensões do corpo humano como padrão de medidas lineares. Por exemplo: os egípcioschamavam à distância entre o cotovelo e a extremidade do dedo médio: Braça.

Entretanto, alguns povos, perceberam-se de que havia alguma uniformidade entre os pesos dealgumas sementes e grãos e assim tomaram-os para bitolas de peso. Por exemplo: o Carat -ainda hoje usado pelos joalheiros modernos - resultou do peso da semente de alfarroba; ou oGrão - ainda usado como unidade de peso - tem origem no peso das sementes do trigo ou dacevada.

A diversidade de todos estes métodos de medida levaram a que as sociedades primitivas, aotornarem-se mais sofisticadas, tivessem a necessidade de normalizar os seus Sistemas de Pesos eMedidas.

NO EGIPTO

Provavelmente a mais antiga medida linear usada pelos egípcios, babilônios e hebreus, foi abraça. De origem incerta: ou talvez como a tal distância entre o cotovelo e a extremidade dodedo médio.

Os egípcios tinham dois tipos de Braça:

A Braça Curta com 17,7 polegadas = 0,45 mts.

A Braça Real com 20,6 polegadas = 0,524 mts

A Braça Real era dividida em 7 Palmos e cada Palmo em 4 Dedos (com a largura do dedo

médio)



É curioso que a Braça, ainda hoje é usada na marinharia como medida de comprimento paradesignar profundidades, ou cabos e linhas dos aprestos marítimos.

NA GRÉCIA E ROMA

Os gregos adaptaram alguns padrões dos sistemas desenvolvidos pelos egípcios e babilônios masintroduziram uma nova unidade:

O Pé (Foot), dividido em 12 unidades designadas por Polegadas (Inches).

Os romanos adaptaram o Pé (Foot) dividido em 12 Polegadas (Inches) para medida decomprimento.

Para o sistema de pesos criaram a Onça (Oz) como a menor unidade. Depois:

- Num sistema: 16 Oz = 1 Poud (Libra)- Noutro sistema: 1 Poud (Libra) = 12 Oz

NA IDADE MÉDIA

No obscurantismo da Idade Média quase todos os sistemas de medidas desapareceram ou nãoeram usados. Cada Cidade, Território ou Província usava as suas medidas com os conseqüenteserros, fraudes e enganos nos mercados.

No Século XIV os mercadores ingleses estabeleceram o seu sistema de pesos baseado na Libra

(Lb) = 7.000 Grãos (Gr) = 16 Onças (Oz) que ainda hoje é empregue em muitos países de

expressão inglesa.

No Século XV um outro sistema foi estabelecido: a Onça Troy (Oz troy) = 480 Grãos (Gr) = 12 Onças da Libra.

O SISTEMA MÉTRICO

A criação do Sistema Métrico Decimal foi um importante contributo da Revolução

Francesa.

Baseia-se em múltiplos de 10.

A sua unidade básica é o Metro; inicialmente definido como a décima milionésima parte docomprimento do meridiano terrestre entre os paralelos de Dunkerque e Barcelona (cerca de 1/4).

Entre 1960 e 1983 foi redefinido como o comprimento de onda do isótopos 86 do Krypton; e em1983 voltou a ser redefinido como o comprimento do percurso efetuado pela luz, no vácuo, em1/299.792.458 segundos: medida que é reproduzível em laboratório.

Hoje, o sistema métrico decimal é universalmente aceite, incluindo o Reino Unido depois daadesão à União Européia.

Os Estados Unidos (USA) por inércia ou pela importância da sua economia ainda não sentiram a

necessidade de adaptar este sistema.



Um pouco de história ajuda a entender a dúvida (tópico 1)

Na escola de trinta anos atrás, saber a tabuada de cor, "na ponta da língua", era ponto de honra para alunose professores do antigo primário. Poucas pessoas, talvez, ousassem por em dúvida a necessidade destamecanização.Na década de 60 despontaram movimentos de todos os tipos, rompendo com tradições seculares: ofeminismo, a revolução sexual, os hippies, os Beatles, a revolução cultural na China, as passeatas deestudantes em Paris-68 etc. O ensino da matemática não ficou indiferente ao clima revolucionário. AMatemática Moderna modificou o ensino da matemática. Não vamos discutir aqui as características destemovimento mas, dentre seus aspectos positivos, destacava-se o desejo de aprendizagem com compreensão.No conjunto de críticas ao ensino tradicional, uma recaiu sobre a mecanização da tabuada. Diversas escolasaboliram e proibiram a memorização da mesma. A professora ou professor que obrigasse seus alunos adecorar a tabuada era, muitas vezes, considerado "antiquado", "retrógrado".O argumento dos renovadores, contrário á memorização, era basicamente este: "não se deve obrigar o

aluno a decorar a tabuada; deve-se, isto sim, criar condições para que ele a compreenda". Os adeptos dasnovas tendências alegavam que, se o aluno compreendesse a tabuada, se ele entendesse o significado decódigos como 3 x 7, 8 x 6, 5 x 9 etc., então, quando precisasse, sozinho, pensando, ele descobriria osresultados.Alguns professores rebatiam esta afirmação alegando que, sem saber a tabuada de cor, um aluno nãopoderia realizar multiplicações e divisões. A cada momento, na realização de cálculos e na resolução deproblemas ele "engasgaria" por não saber a tabuada de cor.É curioso observar que, passados estes anos todos, esta discussão permanece entre nós.

É necessário compreender (tópico 2)

Nesta discussão, apesar das divergências, há uma opinião unânime: deve-se condenar a mecanização pura esimples da tabuada. É absurdo exigir que os alunos recitem: "dois vezes um, dois; dois vezes dois,quatro;...", sem que eles entendam o significado do que estão dizendo. A multiplicação (bem como todas asoutras operações e a noção de número e o sistema de numeração decimal) precisa ser construída ecompreendida. Esta construção é o resultado de um trabalho mental por parte do aluno.O termo tabuada é bastante antigo e designa um conjunto de fatos, como por exemplo:

3 x 1 = 3, 3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9, etc.

Esses fatos têm sido chamados, por diversos autores, de fatos fundamentais da multiplicação.Trabalhando com materiais variados (papel quadriculado, grãos, palitos), explorando jogos e situaçõesdiversas (quantos alunos serão necessários para formar 4 times de vôlei?), os alunos poderão, aos poucos,construir e registrar os fatos fundamentais que compõem a tabuada.

Construindo a tabuada (tópico 3)

A atividade que vamos descrever é bastante rica. Nela, os alunos constróem a tabuada, partindo de algunsfatos simples já trabalhados anteriormente. Primeiramente organizamos a tabela e registramos com os

alunos os fatos já conhecidos (até 5 x 5).



-x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 -- -- -- --

2 2 4 6 81

0-- -- -- --

3 3 6 912

15

-- -- -- --

4 4 812

16

20

-- -- -- --

5 510

15

20

25

-- -- -- --

6 -- -- -- -- -- -- -- -- --

7 -- -- -- -- -- -- -- -- --

8 -- -- -- -- -- -- -- -- --

9 -- -- -- -- -- -- -- -- --

É fácil completar a primeira linha pois ela se refere á multiplicação por 1. Também é fácil completar aprimeira coluna.

-x - 1

2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 2 4 6 810

-- -- -- --

3 3 6 912

15

-- -- -- --

4 4 812

16

20

-- -- -- --

5 510

15

20

25

-- -- -- --

6 6 -- -- -- -- -- -- -- --

7 7 -- -- -- -- -- -- -- --

8 8 -- -- -- -- -- -- -- --

9 9 -- -- -- -- -- -- -- --

Proponha aos alunos que descubram quanto dá, por exemplo, 8 x 3. Eles podem obter este resultado, por

exemplo, através de adições sucessivas:

Mas podem também obter 8 x 3 de outro modo. Como 8 = 5 + 3, podem perceber que:8 x 3 = 5 x 3 + 3 x 3

Na tabela temos os valores de 5 x 3 e 3 x 3, logo:8 x 3 = 15 + 9 = 24

Da mesma forma podem fazer:9 x 3 = 5 x 3 + 4 x 3 = 15 + 12 = 277 x 4 = 3 x 4 + 4 x 4 = 12 + 16 = 28



Os produtos obtidos vão sendo registrados na tabela.

-x -1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 2 4 6 810

-- -- -- --

3 3 6 912

15

-- -- -- --

4 4 812

16

20

-- -- -- --

5 510

15

20

25

-- -- -- --

6 6 -- -- -- -- -- -- -- --

7 7 -- -- 28 -- -- -- -- --

8 8 -- 24

-- -- -- -- -- --

9 9 -- 27

-- -- -- -- -- --

Nessa altura do trabalho com a multiplicação os alunos já terão percebido que 3 x 5 = 5 x 3, 2 x 4 = 4 x 2,etc. Assim, como já descobriram que 8 x 3 = 24, concluem que 3 x 8 = 24; como 9 x 3 = 27, então 3 x 9 =27. E a tabela vai sendo completada.

-x -1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 2 4 6 810

-- -- -- --

3 3 6 912

15

-- -- 24

27

4 4 812

16

20

-- 28

-- --

5 510

15

20

25

-- -- -- --

6 6 -- -- -- -- -- -- -- --

7 7 -- --

2

8 -- -- -- -- --

8 8 -- 24

-- -- -- -- -- --

9 9 -- 27

-- -- -- -- -- --

Note que nesta construção, vão sendo usadas intuitivamente, diversas propriedades da multiplicação. Aolongo desta atividade a compreensão da multiplicação está presente o tempo todo.

-x -1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 2 4 6 810

12

14

16

18



3 3 6 912

15

18

21

24

27

4 4 812

16

20

24

28

32

36

5 510

15

20

25

30

35

40

45

6 612

18

24

30

36

42

48

54

7 714

21

28

35

42

49

56

63

8 816

24

32

40

48

56

64

72

9 918

27

36

45

54

63

72

81

Uma vez completada a tabela, podemos prosseguir explorando-a ainda mais:A linha do 1 é igual á coluna do 1. A linha do 2 é igual á coluna do 2 etc. Isto ocorre porque 3 x 1 = 1 x 3,2 x 4 = 4 x 2 etc.Na linha do 1 (e na coluna do 1) os números aumentam de 1 em 1.

Na linha 2 (e na coluna do 2) os números aumentam de 2 em 2.

E assim por diante. Na linha 9 (e na coluna do 9) os números aumentam de 9 em 9. É fundamental explorareste ritmo, esta regularidade da tabuada.Peça aos alunos que localizem todos os 12 da tabela. Ele aparece quatro vezes. Estas quatro apariçõescorrespondem aos produtos 3 x 4, 4 x 3, 2 x 6 e 6 x 2. Faça o mesmo com outros números, com 16, 15 etc.Uns aparecem três vezes, outros duas e outros ainda só uma vez.

A memorização também é necessária (tópico 4)

É importante que, uma vez compreendidos os fatos fundamentais, eles sejam, aos poucos, memorizadospelas crianças. Para isso é interessante utilizar jogos variados. Vamos dar um exemplo.

O tabuleiro do desenho, com 36 casinhas, pode ser desenhado em cartolina ou qualquer outro papel. Osnúmeros que nele aparecem são os resultados das multiplicações de1, 2, 3, 4, 5 e 6 por 1, 2, 3, 4, 5 e 6:

5 x 6 = 30, 1 x 2 = 2, 3 x 3 = 9, 4 x 6 = 24 etc.

Para jogar são necessários dois dados.

- 4 615

12

5 9

2 130

6 324

--

81

2

1

0

22

0

1

8

--

2 4 1 1 3 4 --



5 8 2 0

15

316

36

810

--

6 24 6 20 5 12 --

Um aluno joga contra outro. Na sua vez, cada jogador lança os dois dados, observa os dois númerosobtidos e procura, no tabuleiro, o produto dos mesmos, aí colocando um grão de feijão, por exemplo. Ooutro jogador deve assinalar seus resultados com outra marca, como tampinhas por exemplo.Vence o jogador que tiver 3 marcadores numa mesma linha, coluna ou diagonal.O professor pode ainda promover com os alunos a "gincana da multiplicação", em que um grupo fazperguntas a outro: "quanto é 3 x 9?". Ou então um grupo diz o produto (por exemplo: 63) e o outroencontra os fatores (7 e 9).Estas atividades contribuem para a memorização da tabuada. É claro que este esforço de memorização nãodeve ser obsessivo. Se um aluno, em algum momento, não se lembrar, por exemplo, de quanto é 7 x 8, éimportante que ele tenha a chance de pensar e descobrir por si próprio. Além disso, devemos discutir comos alunos a necessidade desta memorização. Eles devem saber que ela é necessária para que possamosapresentar um bom desempenho em situações mais complexas. A necessidade da memorização justifica-se.Não é á toa que os fatos fundamentais têm este nome. A fixação dos mesmos é importante para que o alunocompreenda e domine algumas técnicas de cálculo. Na exploração de novas idéias matemáticas (frações,geometria, múltiplos, divisores etc) a multiplicação aparecerá com freqüência. Se a criança não tiver fixadoos fatos fundamentais, a cada momento ela engasgará na tabuada, desviando sua atenção das novas idéiasque estão sendo trabalhadas.Respondendo então á pergunta que dá título a esta leitura, devemos dizer que o aluno não deve decorarmecanicamente a tabuada, mas que precisa fazer um certo esforço para memorizar. Insistimos porém queesta memorização deve ser precedida pela compreensão. A ênfase do trabalho deve ser posta na construçãodos conceitos. A preocupação com a memorização não deve ser obsessiva e exagerada.

-x -1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 2 4 6 810

12

14

16

18

3 3 6 912

15

18

21

24

27

4 4 812

16

20

24

28

32

36

5 510

15

20

25

30

35

40

45

6 6

1

2

1

8

2

4

3

0

3

6

4

2

4

8

5

4

7 714

21

28

35

42

49

56

63

8 816

24

32

40

48

56

64

72

9 918

27

36

45

54

63

72

81

história da matemática - números romanos

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