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Universidade de Cabo Verde

Campus de Palmarejo CP: 279 Praia Cabo Verde Tel. (+ 238) 334 01 00 Fax: (+ 238) 262 73 60

Curso: Engenharias, EGI e Matematica - 1o Ano

UC de Algebra Linear e Geometria Analtica I

Vectores e Valores Proprios

Praia, Janeiro de 2015

Cursos: Engenharias, EGI e Matematica

Ano: 1o Ano

Universidade de Cabo VerdeAlgebra Linear e Geometria Analtica I

Ano Lectivo: 2014/2015

1o Semestre

Vectores e Valores Proprios

Definicao 1. Seja f um endomorfismo de um espaco vectorial V sobre um corpo F . Um vector~v V diz-se um vector proprio (ou vector caracterstico) de f associado ao valor proprio (ouvalor caracterstico) F quando:a) ~v 6= ~0 ;b) f (~v ) = ~v .Ao conjunto dos valores proprios de um dado endomorfismo chama-se espectro desse endomorfismo.

Nota 1. Dado um endomorfismo, e muito importante saber se existem vectores proprios e, em casoafirmativo, saber determina-los. Apresenta-se, de seguida, um teorema que permite determinar facil-mente os valores proprios e vectores proprios de um endomorfismo de um espaco vectorial de dimensaofinita.

Teorema 1. Seja V um espaco vectorial de dimensao n , e seja f um endomorfismo de V . SejaB = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn} uma base de V , e seja A = M (f ;B,B) . Entao:1) e valor proprio de f se, e somente se, |A In | = 0 .2) Se 0 e um valor proprio de f , os vectores proprios de f associados a 0 sao os vectores cujoscomponentes na base B , sao as solucoes nao nulas do sistema homogeneo (A 0In)X = O (umamatriz coluna composta por n zeros) .

Demonstracao:

1)Dizer e valor proprio de f equivale dizer que existe um vector ~x0 6= ~0 tal que f ( ~x0 ) = ~x0 .Seja X0 a matriz coluna n 1 cujos elementos sao as componentes de ~x0 na base B . Entao,AX0 = X0 AX0 X0 = O (A In)X0 = O .Como X0 6= O , pois ~x0 6= ~0 , (A In)X0 = O e equivalente a dizer que o sistema homogeneo(A In)X = O e possvel indeterminado, pois admite pelo menos uma solucao nao nula, X0 .Sendo assim, e valor proprio de f se, e somente se,

|A In | = 0 .

2)() Se 0 e valor proprio de f e X0 e solucao nao nula do sistema (A 0In)X = O , entao(A 0In)X0 = O AX0 = 0X0 . Logo, existe um vector ~x0 V , tal que X0 e a matriz colunan 1 cujos elementos sao as componentes de ~x0 na base B e f ( ~x0 ) = 0 ~x0 , ou seja ~x0 e um vectorproprio associado a 0 .() Se ~x0 e um vector proprio associado ao valor proprio 0 , entao f ( ~x0 ) = 0 ~x0 .Seja X0 a matriz coluna n 1 cujos elementos sao as componentes de ~x0 na base B , entao AX0 =0X0 (A 0In)X0 = O , ou seja, as componentes de ~x0 em relacao a` base B e solucao do sistemahomogeneo (A 0In)X = O .

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Definicao 2. Nas condicoes do teorema anterior, o polinomio p () = |A In | chama-se po-linomio caracterstico de A e a equacao |A In | = 0 e a equacao caracterstica de A .As solucoes da equacao caracterstica que pertencam ao corpo F sao os valores proprios de f eda matriz A .Os vectores correspondentes a`s componentes dos vectores proprios de f em relacao a` base B sao osvectores proprios de A .Teorema 2. Sejam V um espaco vectorial, sobre um corpo F , de dimensao n , B1 e B2 duas basesde V .Sejam f um endomorfismo de V , A1 = M (f ;B1, B1) e A2 = (f ;B2, B2) .Entao o polinomio caracterstico de A1 e igual ao polinomio caracterstico de A2 .

Demonstracao:

Seja P = M (B2 , B1) a matriz de mudanca de base B2 para B1 , entao A2 = P1A1P .|A2 In | =

P1A1P In =

P1A1P P1InP =

P1 (A1 In)P =

P1 |A1 In | |P |= 1|P1 | |A1 In | |P |

= |A1 In |

Nota 2. O teorema anterior mostra que os polinomios caractersticos de todas as matrizes que repre-sentam um certo endomorfismo, de um espaco vectorial de dimensao finita, sao iguais.Desta forma, note-se que, tendo uma matriz A de um endomorfismo, de um espaco vectorial finita-mente gerado, em relacao a` qualquer base, pode obter-se os valores e vectores proprios de f .

Definicao 3. Seja p () o polinomio caracterstico de um endomorfismo f de um espaco vectorialV , sobre um corpo F , de dimensao finita. Seja 0 F uma raz de p () , i. e., um valor propriode f . A multiplicidade algebrica de 0 , que se denota por ma (0) , e a multiplicidade de 0enquanto raz de p () .Mais precisamente, se p () = ( 0)k q () , onde q () e um polinomio que nao admite a raz 0 ,entao ma (0) = k .

Teorema 3. Seja f um endomorfismo de um espaco vectorial qualquer V sobre um corpo F . Paracada escalar F , o conjunto

V = {~x V : f (~x ) = ~x }e um subespaco vectorial de V .O valor e um valor proprio de f se, e somente se, V 6=

{~0}

.



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Demonstracao:

Vai mostrar-se que V 6 V :

1) O vector ~0 V , poisf(~0)

= ~0

= ~0 .

2) , F , ~x , ~y V , vai mostrar-se que ~x+ ~y V , ou seja,f (~x+ ~y) = (~x+ ~y) .

f (~x+ ~y) = f (~x) + f (~y) (pois f e uma a. l.)= ~x+ ~y (pois ~x , ~y V)= (~x+ ~y) .

Definicao 4. Nas condicoes do teorema anterior e sendo um valor proprio do endomorfismo f ,o subespaco V toma o nome de subespaco proprio (ou subespaco caracterstico) associado a . Quando V tem dimensao finita, a essa dimensao chama-se multiplicidade geometrica de ,e representa-se por mg () .

Teorema 4. Seja 0 um valor proprio de um endomorfismo f de um espaco vectorial V , sobre umcorpo F , de dimensao finita. Tem-se: mg (0) ma (0) .Teorema 5. Sejam ~v1 , ~v2 , . . . , ~vk vectores proprios de um endomorfismo f , de um espaco vec-torial V , sobre um corpo F , associados a valores proprios 1 , 2 , . . . , k . Entao os vectores~v1 , ~v2 , . . . , ~vk sao linearmente independentes.

Definicao 5. Um endomorfismo f de um espaco vectorial V de dimensao finita, sobre um corpo F ,diz-se diagonalizavel quando existe em V , uma base formada por vectores proprios de f .Teorema 6. Seja f um endomorfismo de um espaco vectorial V de dimensao finita, sobre um corpof , e supoe-se que 1 , 2 , . . . , k sao todos os valores proprios distintos de f . Sao equivalentes asseguintes afirmacoes:1) f e diagonalizavel;2) mg (1) +mg (2) + +mg (k) = n ;2) Existe em V uma base em relacao a` qual a matriz de f e uma matriz diagonal.Exemplo 1. Considere o endomorfismo de R3 definido, em relacao a` base B = {~v1 , ~v2 , ~v3} , pelamatriz 1 0 00 1 2

0 1 0

.Vai determinar-se os valores proprios, os subespacos proprios, a multiplicidade algebrica e geometricade cada um dos valores proprios, e verificar se o endomorfismo e ou nao diagonalizavel.



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Resolucao:

1. Vai determinar-se o polinomio caracterstico de f :p () = |A I3 |

=

1 0 0

0 1 20 1

= (1 )

1 21

= (1 ) [ (1 ) 2]= (1 ) (2 2)

2. Vai determinar-se os valores proprios, i. e., vai determinar-se as razes reais de p () , pois R3 eum e. v. real.p () = 0 (1 ) (2 2) = 0

1 = 0 e 2 2 = 0 = 1 ou = 2 ou = 1

Entao o espectro de f e o conjunto {1 , 2 , 1} .Nota-se que cada um destes valores proprios tem multiplicidade algebrica igual a 1.

3. Vai determinar-se os subespacos proprios e os vectores proprios associados aos valores proprioscalculados anteriormente, i. e.:3.1 Relativamente ao valor proprio = 1 vai determinar-se as solucoes nao nulas do sistemahomogeneo

(A 1In)X = O 0 0 00 0 2

0 1 1

xyz

= 00

0

. 0 0 00 0 2

0 1 1

0 1 10 0 2

0 0 0

0 1 00 0 1

0 0 0

x = Ry = 0z = 0

Entao as componentes, em relacao a` base B considerada, dos vectores proprios associados ao valorproprio = 1 sao:

( , 0 , 0) , tal que R e 6= 0 .

Ou seja, os vectores proprios associados ao valor proprio = 1 sao:

~v1 , onde 6= 0 .



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O subespaco proprio associado a = 1 e: V1 = {~v1 : R} = ~v1.Como dim (V1) = 1, entao mg(1) = 1.3.2 Relativamente ao valor proprio = 2 vai determinar-se as solucoes nao nulas do sistemahomogeneo

(A 2In)X = O 1 0 00 1 2

0 1 2

xyz

= 00

0

. 1 0 00 1 2

0 1 2

1 0 00 1 2

0 0 0

x = 0y = 2z = R

Entao as componentes dos vectores proprios associados ao valor proprio = 2 sao:

(0 , 2 , ) , tal que R e 6= 0 .


2 ~v2 + ~v3 , onde R e 6= 0 .

O subespaco proprio associado ao valor proprio 2 e: V2 = {2 ~v2 + ~v3 : R} = 2~v2 + ~v3.Como dim (V2) = 1, entao mg(2) = 1.3.3 Relativamente ao valor proprio = 1 vai determinar-se as solucoes nao nulas do sistemahomogeneo

(A+ 1In)X = O 2 0 00 2 2

0 1 1

xyz

= 00

0

. 2 0 00 2 2

0 1 1

1 0 00 1 1

0 0 0

x = 0y = z = R

Entao as componentes dos vectores proprios associados ao valor proprio = 1 sao:

(0 , , ) , onde R e 6= 0 .


~v2 + ~v3 , onde R e 6= 0 .

O subespaco proprio associado ao valor proprio 1 e: V1 = { ~v2 + ~v3 : R} = ~v2 + ~v3.Como dim (V1) = 1, entao mg(1) = 1.Nota-se que

mg(1) +mg(2) +mg(1) = 1 + 1 + 1 = 3 = dim(R3)

,



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ou seja f e diagonalizavel. Logo

Bvp = {~v1 , 2~v2 + ~v3 , ~v2 + ~v3} ,

e uma base de R3 composta so de vectores proprios (e claro que cada um deles esta associado a somenteum dos 3 valores proprios, 1, 2 e 1). A matriz de f em relacao a esta base e:

M (f ;Bvp, Bvp) =

1 0 00 2 00 0 1

.

Referencias

[1] NICHOLSON, W. K. (2006). Algebra Linear. McGraw-Hill, 2a ed., Sao Paulo.

[2] MONTEIRO, A.; PINTO, G.; MARQUES C. (1997). Algebra Linear e Geometria Analtica Problemas e Exerccios. McGraw-Hill de Portugal Lda., Lisboa.

[3] MONTEIRO, A. (2001). Algebra Linear e Geometria Analtica. McGraw-Hill de Portugal Lda.,Lisboa.


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