Capitulo Vectores

Matıas Enrique Puello Chamorro

mpuello@unilibrebaq.edu.co

www.matiaspuello.wordpress.com

13 de julio de 2014

Indice

1. Introduccion 3

2. Marcos de referencia 4

3. Definicion de VECTOR 5

4. Caracterısticas de un vector 6

5. Propiedades 75.1. Igualdad entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.2. Multiplicacion de un escalar por un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.3. Negativo de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6. Operaciones 106.1. Suma de vectores. Metodo grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2. Resta de vectores. Metodo grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

7. Componentes rectangulares de un vector 12

8. Suma de vectores 148.1. Metodo de las componentes rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9. Vectores unitarios 16

1. Introduccion

En la naturaleza existen fenomenos fısicos, como por ejemplo: caıda de los cuerpos,choques y colisiones, fuerza muscular, movimientos articulares, marcha humana,distribucion del peso corporal, los cuales pueden ser explicados asociandolos a uncaracter vectorial, esta forma de representacion vectorial nos permite obtener infor-macion completa de las caracterısticas del fenomeno.

El analisis vectorial, es una parte de las matematicas que estudia el conjunto de pro-piedades y reglas de operaciones con vectores; la Fısica hace uso de esta herramientapara estudiar las magnitudes fısicas vectoriales.

En esta seccion se estudiara el conjunto de propiedades y reglas de operaciones convectores.

2. Marcos de referencia

Un marco de referencia es una “porcion”del espacio donde definimos propiedadespropias de tal porcion. Tambien podriamos decir, que es un conjunto de convencionesusadas por un observador para determinar la posicion de una partıcula en el espacio,como tambien medir otras magnitudes fısicas.

Es necesario que todo marco de referencia posea tres caracterısticas:

1. Un origen

2. Un sistema de coordenadas

3. Principios matematicos para establecer la posicion de un cuerpo dentro de esemarco.

3. Definicion de VECTOR

Un vector es un elemento de un espacio vectorial, por lo tanto obedece las leyes delparalelogramo.

Un vector se representa graficamente como un trazo dirigido (flecha) y se simbolizamediante letras mayusculas o minusculas, con una flecha sobre la letra o escrita ennegrita, como R o ~R.

Las cantidades que tienen magnitud y direccion son llamadas magnitudes vectoriales(velocidad, aceleracion, . . .), las que carecen de direccion se llaman escalares (masa,tiempo, . . .,)

4. Caracterısticas de un vector

Las magnitudes vectoriales se representan a traves de vectores, que tienen las si-guientes caracterısticas:

En Fısica existen muchas magnitudes que son vectores y por ello es muy importanteque el estudiante conozca y sepa aplicar las operaciones basicas entre vectores.

5. Propiedades

5.1. Igualdad entre vectores

Dos o mas vectores son iguales si:

a) apuntan en la misma direccion,

b) si sus magnitudes son iguales.

En la figura, ~a = ~b = ~c = ~d independientemente de la ubicacion de los vectores enel espacio.

Figura

5.2. Multiplicacion de un escalar por un vector

Un vector puede multiplicarse por un numero puro o por un escalar. La multiplica-cion por un numero puro cambia en esencia la magnitud del vector, como muestrala figura . Si el numero es negativo se invierte ademas la direccion.

Por ejemplo si la aceleracion (~a) se multiplica por la masa (m) un escalar se obtiene

un nuevo vector igual al vector fuerza (~F ).

~B = 2~b y ~D = −23~d

5.3. Negativo de un vector

Dado un vector ~b se define el negativo de ese vector (−~b) como un vector con la

misma magnitud que ~b, la misma direccion, pero con sentido opuesto.

6. Operaciones

6.1. Suma de vectores. Metodo grafico

La suma de los vectores ~A + ~B se determina graficamente como indica la figura

6.2. Resta de vectores. Metodo grafico

La diferencia de los vectores ~A− ~B se expresa como ~A + (− ~B).

Se determina graficamente como indica la figura.

7. Componentes rectangulares de un vector

Es muy comun que representemos un vector utilizando los valores de sus compo-nentes.Las componentes cartesianas de un vector son los vectores que se obtienen al pro-yectarlo sobre los ejes de un sistema de coordenadas situado en el origen del vector.Como indica la figura

La magnitud de las componentes del vec-tor ~A son:

Ax = A× cos θ

Ay = A× senθ

Ejercicio componente de un vector

EjemploDeterminacion de las componentes de unvector

Segun la figura determine las componentes rectangulares del vector ~A cuya magnitudes de 3 cm

8. Suma de vectores

8.1. Metodo de las componentes rectangulares

Suma de vectores

Metodo de las componentes rectangulares

Segun la figura se puede inferir que lascomponentes del vector resultante son:

Rx = Ax + Bx y

Ry = Ay + By

La magnitud de la resultante

R =√

(Rx)2

+ (Ry)2

la direccion viene dada por

tan γ =

(Ry

Rx

)Ejemplo

Suma de vectores. Metodo de las com-ponentes

Usando el metodo de las componentes rectangulares, determine la magnitud y ladireccion del vector suma entre los vectores ~A, cuya magnitud es de 3 cm y direccion30o; y el vector ~B, con magnitud de 4 cm y direccion 60o.

9. Vectores unitarios

Los vectores unitarios son vectores cuya magnitud es uno (1) y se usan para repre-sentar la direccion de un vector.

| ı | = | | = 1

1. No tienen ningun sentido fısico, esdecir, son adimensionales.

2. Un vector se puede expresar en fun-cion de los vectores unitarios. Porejemplo el vector ~A expresado en fun-cion de los vectores unitarios en elplano cartesiano es

~A = Axı + Ay

3. Un vector unitario en la direccion delvector ~A se expresa como

a =Axı + Ay√(Ax)2 + (Ay)2

Gracias por su amable atencion