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Cinemática do Movimento

Plano de um Corpo Rígido

Prof. Alexandre Mikowski

Joinville - SC

Universidade Federal de Santa CatarinaCampus de JoinvilleCurso de Engenharia da Mobilidade

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Conteúdos da Aula

� Movimento de um Corpo Rígido;

� Translação;

� Rotação em Torno de um Eixo Fixo;

� Análise do Movimento Absoluto;

� Análise do Movimento Relativo: Velocidade;

� Centro Instantâneo de Velocidade Nula;

� Análise do Movimento Relativo: Aceleração.

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Movimento de um Corpo RígidoImportante para o projeto de engrenagens, cames e

mecanismos usados em muitas operações mecânicas.

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Movimento de um Corpo Rígido

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Translação

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Translação

� Posição :

/ BAAB

rrr +=

� Velocidade :

/

dt

rdvv

BA

AB+= ou

ABvv =

� Aceleração : AB

aa =

“Todos os pontos de um corpo rígido em movimento de translação retilínea ou curvilínea têm a mesma velocidade e aceleração”.

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Rotação em Torno de Eixo FixoMovimento Angular

� Posição Angular:

definida pelo ângulo θθθθ.

� Deslocamento Angular:

mudança da posição angular dθθθθ.

� Velocidade Angular:

taxa de variação da posição angular.

dt

dθω =

Unidade no SI: rad/sSentido: anti-horário (+) e horário (-)

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Rotação em Torno de Eixo FixoMovimento Angular

� Aceleração Angular:

taxa temporal de variação de ωωωω.

� Relação diferencial:

dt

dωα =

ωωθα dd =

� Aceleração Angular Constante:

cαα =

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Cinemática do Movimento Angular

tdtdc

t

cαωωαω

ω

ω

+=⇒= ∫∫ 0

0

0

( ) 2

00

0

02

1

0

ttdttdc

t

cαωθθαωθ

θ

θ

++=⇒+= ∫∫

� Velocidade Angular como Função do Tempo:

� Posição Angular como Função do Tempo:

� Velocidade Angular como Função da Posição Angular:

( )0

2

0

22

00

θθαωωθαωωθ

θ

ω

ω

−+=⇒= ∫∫ ccdd

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Rotação em Torno de Eixo FixoMovimento Angular

� Posição:

definida pelo vetor posição r.

� Movimento de um Ponto P:

trajetória circular contida no

plano sombreado.

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Rotação em Torno de Eixo FixoMovimento Angular

� Velocidade:

módulo de v obtido de suas coordenadas polares.

θθ uvuvvrr

+=

onde

0.

== rvr

e

.

θθ rv =

rv ω=Pelo produto vetorial.

Prv ×= ω

rrvP

sen ωφω == rvrrP

×=⇒= ω

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Rotação em Torno de Eixo FixoMovimento Angular

� Aceleração:

Expressa em termos de seus componentes normal e tangencial.

nnttuauaa +=

dtdvat

=onde

ρ2va

n=

com

e

r=ρ rv ω=, dtdωα =e

rat

α= ran

2ω=e

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Rotação em Torno de Eixo FixoMovimento Angular

� Aceleração:

rat

α=

ran

2ω=

Componente tangencial da aceleração: representa a taxa temporal de variação da velocidade escalar.

Componente normal da aceleração: representa a taxa temporal de variação da direção da velocidade.

Em termos do produto vetorial:

dt

rdr

dt

d

dt

vda

P

P×+×== ω

ω

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Rotação em Torno de Eixo FixoMovimento Angular

� Aceleração:

dt

rdr

dt

d

dt

vda

P

P×+×== ω

ω

Lembrando que:

dt

dωα = P

Prv

dt

rd×== ωe

Temos:

( )PP

rra ××+×= ωωα

rraaant

2ωα −×=×=

ou

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Análise do Movimento Absoluto

� O movimento plano geral de um corpo é uma composição de uma translação com uma rotação;

� Para definir o movimento utiliza-se coordenada de posição retilínea s para situar o ponto em sua trajetória e uma coordenada de posição angular θθθθ para especificar a orientação da linha;

� A relação entre essas coordenadas são obtidas usando a geometria e/ou trigonometria;

� Para obter o movimento do ponto e o movimento angular aplica-se as equações diferenciais:

dtddtddtdvadtdsv ωαθω ==== e , ,

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Análise do Movimento Absoluto

� Lei dos cossenos:

( )

( )θ

θ

cos2

ou

cos2

22

222

abbas

abbas

−+=

−+=

� Velocidade:

( )( ) ( )( )θθ sen 2cos22

12

122

ababbav−

−+=

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Análise do Movimento Relativo: Velocidade

� Posição:

ABABrrr

/+=

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Análise do Movimento Relativo: Velocidade

� Deslocamento:ABAB

rdrdrd/

+=

Devido à translação e à rotação.

Devido à translação de A.

Devido à rotação em torno de A.

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Análise do Movimento Relativo: Velocidade

� Velocidade:

ABABvvv

/+=

módulo de vB/A:

ABABrv

//ω=

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Análise do Movimento Relativo: Velocidade

� Velocidade: Efeito do movimento circular em torno de A.

ABABrvv

/×+= ω

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Centro Instantâneo de Velocidade Nula

� Velocidade: Efeito do movimento circular em torno de CI.

0 mas ,/

=×+=AABAB

vrvv ω

Portanto:

CIBBrv

/×= ω

Onde o módulo é:

CIBBrv

/ ω=

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Centro Instantâneo de Velocidade Nula

� Velocidade: Efeito do movimento circular em torno de CI.

CIBBrv

/×= ω onde o seu módulo é CIBB

rv/

ω=

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Centro Instantâneo de Velocidade Nula

� Localização do CI:

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Centro Instantâneo de Velocidade Nula

� Localização do CI:

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Análise do Movimento Relativo: Aceleração

� Aceleração: Efeito do movimento circular em torno de CI.

( ) ( )nABtABAB

aaaa//

++=

Módulo das componentes tangencial e normal:

( )ABtAB

ra//

α= ( )ABnAB

ra/

2

/ ω=e

Componentes vetoriais tangencial e normal:

( )ABtAB

ra//

×= α ( )ABnAB

ra/

2

/ ω−=e

PortantoABABAB

rraa/

2

/ωα −×+=

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Análise do Movimento Relativo: Aceleração

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Referência Bibliográfica

� HIBBELER, R. C. Dinâmica – Mecânica para engenharia; 10ª edição, São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.