material de apoio: corpo rígido corpo rígido sistema que mantêm fixas as distâncias entre as...

Material de apoio: corpo rígido

Corpo rígido sistema que mantêm fixas as distâncias entre as partículas que o

constituiem, mesmo sob a acção de forças e momentos de forças externos

Tipo de movimento a considerar translação – todas as partículas descrevem trajectórias

rectilíneas paralelas com a mesma velocidade

rotação – todas as partículas descrevem trajectórias circulares

em torno do eixo de rotação, com a mesma velocidade angular

combinação dos movimentos de translação e rotação em torno de um eixo que passa pelo CM

v

Material de apoio : corpo rígido

Energia cinética do movimento de translação

22

11

2

2

1

2

1

2

1MvvmvmE

N

ii

N

iiik

2

2

1CMk MvE 2

2

1CMk MvE

Nota: as demonstrações são feitas para sistemas discretos; para sistemas contínuos as demonstrações seriam absolutamente análogas, com os somatórios substituídos por integrais;

por simplicidade omitimos a dependência explícita no tempo das grandezas físicas

CM

CM

N

ii

N

iii

vv

vMP

vMvmvmP

11

CM move-se com a velocidade comum a todas as partículas

v


Energia cinética do movimento de rotação

22222

)(

)(

iii

iiziz

iiii

dRv

RRuau

Rarv

2

2

1 IEk 2

2

1 IEk

mi descreve uma trajectória circular com velocidade angular em torno de Oi - ponto de intersecção do eixo de rotação (eixo dos zz) com o plano de rotação (plano da trajectória)

zu

iv

iR

iv

distância ao eixo de rotação

N

iii

N

iii

N

iiik

dmI

dmvmE

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

momento de inércia referido ao eixo de rotação

iv

ir

z

xy

iR

ir

iaOi

iv

O


Energia cinética do movimento combinado translação relativamente a um sistema exterior S , com velocidade

rotação em torno de um eixo que passa pelo CM , com velocidade

angular

2

11

'

2

1

2

1

2

2

1

02

1

'2

1

2

1

CM

N

iiCM

N

iii

N

iii

N

iiik

v

M

mvvm

I

vm

vmE

CMv

CMii vvv

'

velocidade da partícula i em S’ – referencial do CM

velocidade da partícula i em S

energia cinética no referencial do CM, onde o objecto só tem movimento de rotação translaçãokk

CMk

EE

MvIE

rotação

22

2

1

2

1

translaçãokk

CMk

EE

MvIE

rotação

22

2

1

2

1

CMii rrr

'

CMr

irs

CM 'ir


Cálculo dos momentos de inércia em casos simples

mi (i=1,2) descrevem trajectórias circulares com

velocidade angular em torno de Oi

distância ao eixo é

que é constante

m3 em repouso sobre o eixo de rotação

a distância ao eixo é

que é constante

zu

22iiii yxRd

1v

2v

2R

m1

m2

m3

03 d

222

211

3

1

2 dmdmdmIi

ii

222

211

3

1

2 dmdmdmIi

ii

z

1R

O1

O2

xy


Cálculo dos momentos de inércia em casos simples disco homogéneo de raio R, roda no plano xy, em

torno do eixo dos zz cada dm descreve um trajectória circular no

plano xy, em torno do ponto O, com a velocidade distância de cada dm ao eixo

rrryxd 2222 sincos

2224

2

00

3222

2

1

2

12

4

1MRRRR

ddrrdr rdrdSddmdIR

zu

2

2

1MRI 2

2

1MRI

O r

dm

z

yx

R

disco homogéneo de raio R, roda em torno do eixo dos zz que pertence ao seu plano e passa pelo seu centro

cada dm descreve um trajectória circular num plano paralelo ao plano xy, com a velocidade

distância de cada dm ao eixo é fixa e pode ser calculada quando se encontra no plano yz



22 cosryd

2224

2

0

2

0

32222

4

1

4

1

4

1

coscos

MRRRR

ddrrdr rdrdSddmdIR

zu

2

4

1MRI 2

4

1MRI

Or

dm

z

y

x

R


Cálculo dos momentos de inércia em casos simples placa homogénea de dimensões a e b, roda no

plano xy, em torno do eixo dos zz cada dm descreve um trajectória circular no

plano xy, em torno do ponto O, com a velocidade distância de cada dm ao eixo

22 yxd

22

332

2

32

2

2

2

2

2

3

2

2

22

2

2

2

2

2

2222

12

4433

1

3

1

baM

bab

ayxyx

dyydxdydx

dxdy yxdSddmdI

b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

a

a

22

12ba

MI 22

12ba

MI

zu

O

r dm

z

yx a

b

placa homogénea de dimensões a e b, roda em torno do eixo dos zz que pertence ao seu plano e passa pelo seu centro

cada dm descreve um trajectória circular num plano paralelo ao plano xy, com a velocidade

distância de cada dm ao eixo é fixa e pode ser calculada quando se encontra no plano yz



2yd

2232

2

32

2

2

2

22

2

222

1212

1

12

1

3

1b

Mbababyx

dyydxdy dxydSydmdI

b

b

a

a

b

b

a

a

zu

2

12b

MI 2

12b

MI

r

z

y

x

a

bdm


Teorema dos eixos paralelos

dmyyxx

dmyxdmdI

CMCM22

222

''

z

xyO

x’ y’

z’ 2MDII CM 2MDII CM

momento de inércia relativo ao eixo paralelo ao eixo que passa pelo CM

momento de inércia relativo eixo que passa pelo CM

distância entre os dois eixos

CM

D

2

2

2222

0

'2

0

'2''

MDI

M

dm

D

yxdmyydmxx

I

dmyx

CM

CMCMCMCM

CM


Equações do movimento taxa de variação do momento linear

a taxa de variação do momento linear do corpo rígido é determinada pela resultantes das forças externas

a aceleração do CM do corpo rígido é determinada pela resultante das forças externas

Nota: a resultante é independente do ponto de aplicação das forças

i

CMextiCM

CM

N

iii aMF

dt

vdM

dt

PdvMvmP

1

CMi

exti aMdt

PdF

CM

iexti aM

dt

PdF

resultante das forças externas


Equações do movimento

taxa de variação do momento angular

a taxa de variação do momento angular do corpo rígido é determinada pelo momento resultante das forças externas

Nota: o momento resultante dependente do ponto de aplicação das forças

i

exti

N

iiii N

dt

LdvrmL

1

dt

LdN

iexti

dt

LdN

iexti

momento resultante das forças externas


Equações do movimento taxa de variação do momento angular

2

2sin iiz

i

i

i

iiiiii dmur

v

dir

rmvrmL

corpo plano que roda em torno de um eixo que lhe é perpendicular com velocidade angular

cada dm descreve um movimento circular em torno de O com

zu

zu

I

dt

LdN

iexti

Idt

LdN

iexti

Idt

dI

dt

LdN

iexti

aceleração angular

a aceleração angular do corpo rígido é determinada pelo momento resultante das forças externas

z

ivir

O

iL

IdmLL

iii

ii

2

IL

IL


Equações do movimento taxa de variação do momento angular

corpo de forma arbitrária (3 dimensões) que roda em torno de um eixo com velocidade angular

cada dm descreve um movimento circular num plano paralelo ao plano xy em torno de Oi com

zu

zu

I

dt

LdN

iexti

Idt

LdN

iexti

E

iv

iv

ir

ii rv

z

iviR

iO

iL

Oir

iiii vrmL

iv

iL

iL

ir

ILdmL iii 2


MAS – a componente z do momento angular ainda é proporcional a

2

2

2

sin

sinsin

sin

2cos

ii

i

ii

ii

i

i

iiiiiii

iizizi

dm

d

Rm

r

v

R

rmvrmiivirim

LuLL

NOTA: é independente do ponto do eixo de rotação em relação ao qual o momento angular é calculado

z

iviR

iO

iL

Oiri

ziL

ILz ILz IdmLLi

iii

ziz 2

Idt

dLN z

izexti I

dt

dLN z

izexti

Idt

dI

dt

dLN z

izexti

)( zziLL


SE o sistema rodar em torno de um eixo principal de inércia (eixo de simetria do corpo) tem-se ainda

I

dt

LdN

iexti

Idt

LdN

iexti

IL

IL

Nota: a aceleração angular terá a mesma direcção e sentido da velocidade angular, se a velocidade angular mantiver constante a sua direcção e sentido: sistema roda em torno de um eixo fixo (apenas movimento de rotação) sistema roda em torno de um eixo com movimento de translação (movimento

combinado de translação e rotação)


Rolamento – não derrapagem: 1º exemplo condição de não derrapagem: ponto de contacto em repouso

relativamente à superfície de contacto

xCMCMx

x

ati

exti ugaaMumg

u

FPFR

N

N0

CM

P

Ν

atF

C - ponto de contacto

x

y

z

R

1ª equação do movimento – movimento de translação

xCMCM u gtvtavtv 00)( xCMCM u gtvtavtv 00)(

condições iniciais movimento inicia-se com o movimento

de translação através da comunicação de

força de atrito estabelece-se e contraria o movimento de translação

xCM uvvv

00)0( 0)0(

0)0( vvCM

força de atrito confere aceleração de translação que faz diminui a velocidade de translação


Rolamento – não derrapagem: 1º exemplo 2ª equação do movimento – movimento de rotação em torno de um

eixo principal de inércia: eixo de simetria que passa pelo CM (eixo dos zz)

zz

xy

F

yyy

Pi

exti

uI

mgRIumgR

umguR

N

umguR

N

umg

NNNat

)()(0)()()(0

N

zu tI

mgRt t

)(zu t

I

mgRt t

)(

força de atrito: única força que tem momento não nulo única força que confere a aceleração angular que põe o corpo a rodar

relativamente ao CM

INNi

exti


Rolamento – não derrapagem: 1º exemplo cada ponto tem velocidade de translação e velocidade de rotação

PzxCMProtCMP rututvtvtvtv

)()()()()(

Condição de não derrapagem cumprida em

)()( rolrolCM tRtv )()( rolrolCM tRtv

xCM

yzxCMC

utRtv

uRututvtv

)()(

)()()()(

0)()(0)( xrolrolCMrolC u tRtvtv

ImR

g

vtrol 2

0

1

ImR

g

vtrol 2

0

1

)()(

2

0

rol

rol

rolCM

rol

tR

tI

mgR

tv

gtv

roltt

CM


x

y

z

R

CMv

Crotv

Cr


Rolamento – não derrapagem: 1º exemplo e não realizam trabalho para a força de atrito não realiza trabalho: ponto de aplicação

em repouso relativamente ao solo energia mecânica conserva-se

constante0 kk EEE

roltt

constante1

2

1

2

1

2

12

2

2

22

R

Imv

Rv

Imv CMCM

CM

constante RvCM

movimento continuaria ideal e indefinidamente com

rolrol

rolrolCM

tI

mgRt

gtvtv

)(

)( 0

rolrol

rolrolCM

tI

mgRt

gtvtv

)(

)( 0

Exemplo: lançamento de uma bola de bowling

N

P




xCMCMx

x

ati

exti ugaaMumg

u

FPFR

N

N0


de rotação através da comunicação de

força de atrito estabelece-se e contraria o movimento de rotação

zu

00)0( 0)0( CMv

CM

P

Ν

atF


x

y

z

R


xCMCM u gttatv )(xCMCM u gttatv

)(

0)0(

corpo adquire movimento de translação sob a acção da força de atrito




zz

xy

F

yyy

Pi

exti

uI

mgRIumgR

umguR

N

umguR

N

umg

NNNat

)()(0)()()(0

N

zu tI

mgRt t

0)0()(zu t

I

mgRt t

0)0()(

força de atrito: única força com momento não nulo única força que confere a aceleração angular que vai diminuir a velocidade angular inicial

relativamente ao CM




)()()()()(

Condição de não derrapagem cumprida em

)()( rolrolCM tRtv )()( rolrolCM tRtv

xCM

yzxCMC

utRtv

uRututvtv

)()(

)()()()(

0)()(0)( xrolrolCMrolC u tRtvtv

ImR

g

Rtrol 2

0

1

ImR

g

Rtrol 2

0

1

)()(

0

rol

rol

rolCM

rol

t

tI

mgRR

tv

gt

roltt

CM


x

y

z

R

CMv

Crotv

Cr


Rolamento – não derrapagem: 2º exemplo e não realizam trabalho para a força de atrito não realiza trabalho: ponto de aplicação

em repouso relativamente ao solo energia mecânica conserva-se

constante0 kk EEE

roltt

constante1

2

1

2

1

2

12

2

2

22

R

Imv

Rv

Imv CMCM

CM

constante RvCM

movimento continuaria ideal e indefinidamente com

rolrol

rolrolCM

tI

mgRt

gttv

0)(

)(

rolrol

rolrolCM

tI

mgRt

gttv

0)(

)(

Exemplo: roda que é posta a rodar e depois colocada numa superfície horizontal, sem lançamemto (sem velocidade de translação)

N

P




xCMyx

CM

CMati

exti

umau mgu

ma

mg

amFPFR

0

cossin NN

N


de translação sob a acção do peso força de atrito estabelece-se e contraria

o movimento de translação

0)0( CMv

0)0(


xCM u ga cossin xCM u ga cossin

CM R

P


x

y

z

Ν

atF

xCM ut gtv cossin)( xCM ut gtv cossin)(




zz

xy

F

yyy

Pi

exti

uI

mgRIumgR

uuR

N

u uR

N

umg

NNNat

)()(0)()()(0 NN

N

zu tI

mgRt t

)(zu t

I

mgRt t

)(

força de atrito: única força com momento não nulo única força que confere a aceleração angular que põe o corpo a rodar

relativamente ao CM




)()()()()(

t tRtvCM )()( t tRtvCM )()( 0)()(0)( xCMC u tRtvtv

tI

mgRt g

2

cossin

condição de não derrapagem cumprida para se t

xCM

yzxCMC

utRtv

uRututvtv

)()(

)()()()(

CMvCrotv

CM R


x

y

z

Cr

ImR2

1

tan

ImR2

1

tan


Rolamento – não derrapagem: 3º exemplo não realiza trabalho realiza trabalho mas é conservativa se se cumprir a condição de não derrapagem, a força de atrito não

realiza trabalho: ponto de aplicação em repouso relativamente ao solo para todo o t energia mecânica conserva-se

constante0 pk EEE

constante1

2

1

2

1

2

12

2

2

22

mgh

R

Imvmgh

Rv

Imv CMCM

CM

a energia cinética aumenta, aumenta, enquanto a energia potencial diminui, h (altura da bola) diminuiCMv

Exemplo: bola de bowling largada no topo de um plano inclinado

N

P

material de apoio: corpo rígido corpo rígido sistema que mantêm fixas as distâncias entre as...

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