A Terra exerce uma força sobre cada um dos pontos materiais que

formam um corpo. Todas essas pequenas forças podem ser substituídas

por uma única força equivalente (P) sobre o corpo aplicada num ponto G

(no centro de gravidade do corpo) chamado de baricentro.

Introdução

As forças exercidas pela Terra sobre a placa são denominadas ∆P, e estão

orientadas para o centro da Terra.

Introdução

Se aumentarmos o número de elementos em que a placa é dividida e

diminuirmos simultaneamente o tamanho de cada elemento, teremos no

limite as seguintes expressões que definem o peso P e as coordenadas

do baricentro.

dPyPydPxPxdPP

Podemos observar que para se encontrar as coordenadas do baricentro G de um

arame ou cabo , o baricentro G geralmente não estará sobre o arame se ele não

for reto.

Introdução

Centróide de placas e curvas

No caso de superfícies homogêneas de espessura

uniforme, o módulo ∆P do peso de um elemento de placa

pode ser expresso como:

Onde:

= peso específico no material (peso por volume)

t = espessura da superfície

∆A = área do elemento

AtP

Placa homogênea

Podemos definir o módulo P do peso da placa inteira como:

Onde A é a área total da placa.

AtP

Centróide de placas e curvas

Para calcular as coordenadas 𝑥 e 𝑦 do centróide de uma superfície por tanto

temos:

𝑥 =1

𝐴 𝑥𝑑𝐴 𝑦 =

1

𝐴 𝑦𝑑𝐴

Se aumentarmos o número de elementos em que a placa homogênea é dividida e

diminuirmos simultaneamente o tamanho de cada elemento, teremos no limite as

seguintes expressões que definem as coordenadas 𝑥 e 𝑦 por integral.

dAyAyedAxAx

O ponto G definido pelas coordenadas 𝑥 e 𝑦 é conhecido como Centróide C da

superfície A.

Centróide de placas e curvas

No caso de um arame homogêneo de seção

transversal uniforme, o módulo ∆P de um elemento do

arame pode ser expresso como:

Onde:

= peso específico no material (peso por volume)

a = área da sessão transversal do arame

∆L = comprimento do elemento

LaP

𝑥 =1

𝐿 𝑥𝑑𝐿 𝑦 =

1

𝐿 𝑦𝑑𝐿

Centróide de placas e curvas

Para calcular as coordenadas 𝑥 e 𝑦 do centróide de um arame homogêneo temos:

Podemos definir o módulo P do peso do arame inteira como:

Onde L é o comprimento total do arame.

LtP

dLyLyedLxLx

O ponto G definido pelas coordenadas 𝑥 e 𝑦 é conhecido como centróide C da

superfície delimitada pelo arame.

Momentos de primeira ordem (Q)

O cálculo de momento de primeira ordem é útil para se calcular as forças cortantes

devido a carregamentos transversais em elementos de máquina, e sua

determinação é simples:

A integral é conhecida como momento de primeira ordem da superfície A em

relação ao eixo y , representada por Qy

A integral é conhecida como momento de primeira ordem da superfície A em

relação ao eixo x, representada por Qx.

Assim, teremos:

xdA

ydA

ydAQxexdAQy

Comparando essa equação com podemos chegar na

equação do momento de primeira ordem em função da área.

AyQxeAxQy

Observação: o momento de primeira ordem estático pode ser negativo dependendo

do quadrante em que se encontra.

dAyAyedAxAx

Portanto podemos calcular as coordenadas 𝑥 e 𝑦 como:

𝑥 =𝑄𝑦

𝐴 𝑦 =

𝑄𝑥

𝐴

Momentos de primeira ordem (Q)

Centróide de uma superfície

Livro: BEER, Ferdinand P.;

JOHNSTON JR., E. Russell.

Mecânica vetorial para

engenheiros. São Paulo:

Makron Books, 2006. 5ª

edição, página 295.

Tabela de centróides

Centróide de placas compostas

Em muitos casos, uma placa ou superfície não tem o formato comum

como mostrado na tabela de baricentros, Neste caso, uma placa pode

ser dividida em retângulos ou triângulos.

nn

nn

PyPyPyPnPPY

PxPxPxPnPPX

...)...21(

...)...21(

2211

2211

Centróide de placas compostas

Centróide de placas compostas

Determine as coordenadas do centróide para a superfície plana e

homogênea abaixo (Exercício Resolvido 5.1 da página 299 do livro BEER,

Ferdinand P.; JOHNSTON JR., E. Russell. Mecânica vetorial para

engenheiros. São Paulo: Makron Books, 2006. 5ª edição.). :

Exemplo 1

Centróide de placas compostas

Dividir a figura em partes geometricamente conhecidas e tabeladas

Exemplo 1

Centróide de placas compostas

Calcular a área de cada figura e completar a tabela com as coordenadas x e y

utilizando a tabela de baricentros.

Exemplo 1

Centróide de placas compostas Determinação do centróide por integração

Exemplo 1

Exercícios da página 304 do livro BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON JR., E.

Russell. Mecânica vetorial para engenheiros. São Paulo: Makron Books, 2006. 5ª

edição.

Centróide de placas compostas

Exemplo 1

Centróide de placas compostas

Exemplo 2

O triângulo da figura é feito de um arame fino e homogêneo. Determinar seu

baricentro (Exercício Resolvido 5.2 da página 301 do livro BEER, Ferdinand P.;

JOHNSTON JR., E. Russell. Mecânica vetorial para engenheiros. São Paulo: Makron

Books, 2006. 5ª edição.).

65 cm

60 cm

C

A B

Centróide de placas compostas

Exemplo 2

Segmento L,cm 𝒙 ,cm 𝒚 ,cm 𝒙 𝐋, 𝒄𝒎𝟐 𝒙 𝐋, 𝒄𝒎𝟐

AB BC CA

60 65 25

30 30 0

0 12,5 12,5

1,8 x 103 1,95 x 103

0

0 0,81 x 103 0,31 x 103

ΣL= 150 Σ𝑥 𝐿 = 3,75 x 103 Σ𝑦 𝐿 = 1,12 x 103

25 cm

60 cm

y

x

30 cm

12,5 cm

C

A B

Centróide de placas compostas

Exemplo 2

𝑋 𝐿 = 𝑥 𝐿 𝑋 150 𝑐𝑚 = 3,75 𝑥 103𝑐𝑚2

𝑌 𝐿 = 𝑦 𝐿 𝑌 150 𝑐𝑚 = 1,12𝑥 103𝑐𝑚2

𝑋 =3,75 𝑥 103𝑐𝑚2

150 𝑐𝑚= 25,0 cm

𝑌 =1,12 𝑥 103𝑐𝑚2

150 𝑐𝑚= 7,5 cm

Determinação do centróide por integração

y

dx x

x

y

Exemplo 1

Determinação do centróide por integração

Determine as coordenadas do centróide para a superfície plana e homogênea

abaixo:

x

30 cm

40 cm

y

Primeiramente temos que determinar 𝑥 𝑒𝑙 , 𝑦 𝑒𝑙 e dA. Optando por efetuar a

integração na direção x. Os valores de 𝑥 𝑒𝑙 , 𝑦 𝑒𝑙 e dA são:

Exemplo 1

Determinação do centróide por integração

𝑥 𝑒𝑙 = 𝑥 𝑦 𝑒𝑙 =𝑦

2 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥

x

30 cm

40 cm

y Observe que a y possui uma

dependência linear com x,

assim:

𝑦 =30

40𝑥 =0,75x

y = 0,75x

Exemplo 1

Determinação do centróide por integração

Calculando a área abaixo da reta:

𝑄𝑦 = 𝑥𝑒𝑙𝑑𝐴 = 𝑥𝑦𝑑𝑥 = 0,75𝑥2𝑑𝑥 =0,75𝑥3

3

40

0

40

0

40

0=

0,75 (40)3

3= 16000 𝑐𝑚3

Calculando os momentos de primeira ordem Qx e Qy:

𝐴 = 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥 = 0,75𝑥𝑑𝑥 =0,75𝑥2

2

40

0

40

0

40

0=

0,75 (40)2

2= 600𝑐𝑚2

𝑄𝑥 = 𝑦𝑒𝑙𝑑𝐴 = 𝑦

2𝑦𝑑𝑥 =

𝑦2

2𝑑𝑥 =

(0,75𝑥)2

2𝑑𝑥

40

0

40

0

40

0

𝑄𝑥 =0,752

2 𝑥2𝑑𝑥 =

0,752

2

𝑥3

3

40

0

40

0=

0,75 (40)3

6= 6000 𝑐𝑚3

Calculando as coordenadas 𝑥 𝑒 𝑦 :

Exemplo 1

Determinação do centróide por integração

𝑥 =𝑄𝑦

𝐴=

16000

600= 26,6 cm 𝑦 =

𝑄𝑥

𝐴=

6000

600= 10,0 cm

x

30 cm

40 cm

y

26,6 cm

10 cm

Centróide

x

b

a

y

𝑦 = 𝑘𝑥2

Determinar por integração direta , o centróide da superfície sob a parábola

(Exercício Resolvido 5.4 da página 314 do livro BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON

JR., E. Russell. Mecânica vetorial para engenheiros. São Paulo: Makron Books,

2006. 5ª edição).

Exemplo 2

Determinação do centróide por integração

Nesse caso primeiro determinamos a constante k. Para isso observamos que y = b

quando x = a. Substituindo na função obtemos 𝑘 = 𝑏/𝑎2.

Exemplo 2

Determinação do centróide por integração

Optando por efetuar a integração na direção x. Os valores de 𝑥 𝑒𝑙 , 𝑦 𝑒𝑙 , dA e da

função são:

𝑥 𝑒𝑙 = 𝑥 𝑦 𝑒𝑙 =𝑦

2 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥 𝑦 =

𝑏

𝑎2𝑥2

𝐴 = 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥 = 𝑏

𝑎2𝑥2𝑑𝑥 =

𝑏

𝑎2

𝑎

0

𝑎

0

𝑥3

3 𝑎

0=

𝑏𝑎3

3𝑎2=

𝑎𝑏

3

Calculando a área abaixo da curva:

Exemplo 2

Determinação do centróide por integração

Calculando os momentos de primeira ordem Qx e Qy:

𝑄𝑦 = 𝑥𝑒𝑙𝑑𝐴 = 𝑥𝑦𝑑𝑥 = 𝑥𝑏

𝑎2 𝑥2 𝑑𝑥 =𝑏

𝑎2

𝑥4

4

𝑎

0

𝑎

0

𝑎

0=

𝑏 𝑎2

4

𝑄𝑥 = 𝑦𝑒𝑙𝑑𝐴 = 𝑦

2𝑦𝑑𝑥 =

1

2

𝑏

𝑎2 𝑥2

2

=𝑏2

2𝑎4

𝑥5

5 𝑎

0=

𝑎𝑏2

10

𝑎

0

𝑎

0

Calculando as coordenadas do centróide 𝑥 𝑒 𝑦 :

𝑥 =𝑄𝑦

𝐴=

𝑎2𝑏4𝑎𝑏3

=𝑎2𝑏

4

3

𝑎𝑏=

3𝑎

4 𝑦 =

𝑄𝑥

𝐴=

𝑎𝑏2

10𝑎𝑏3

=𝑎𝑏2

10

3

𝑎𝑏=

3𝑏

10