equilíbrio do corpo rígido etep_aula6

Introdução

Introdução a Mecânica Clássica

O objetivo da mecânica clássica é expor a relação entre o movimento de um

corpo e as forças que agem sobre ele. Podemos descrever a aceleração em

função da força resultante que age sobre um corpo e da massa que ele possui.

Essa força constitui a interação do corpo com sua vizinhança e a massa do corpo

é uma medida da inércia do corpo, isto é, da tendência de o corpo resistir à

aceleração quando uma força age sobre ele.

1ª Lei de Newton

"Um corpo tende a permanecer em repouso ou

em movimento retilíneo e uniforme, quando a

resultante das forças que atuam sobre si for

nula".

Introdução

• Inércia é a propriedade da matéria que faz com que ela resista a qualquer

mudança em seu movimento. Esta propriedade é descrita com precisão na lei

do movimento de Newton.

• A inércia de um objeto diante de uma translação é determinada por sua

massa. Diante de uma rotação, a inércia do objeto é determinada por seu

momento de inércia.

• Se é aplicado um mesmo par de forças (binários) a uma roda com um

momento de inércia pequeno e a uma outra com um momento de inércia

grande, a velocidade de giro da primeira roda aumentará muito mais

rapidamente que a da segunda.

• O momento de inércia de um objeto depende de sua massa e da distância da

massa ao seu eixo de rotação.

Introdução

Momento de inércia

O momento de inércia é uma grandeza que está associada a resistência

que um corpo oferece ao se colocar o mesmo em rotação em torno de um eixo

qualquer. Dessa forma relaciona sua massa e como ela está distribuída ao redor

do eixo de rotação. De forma quantitativa é então:

Onde I é o momento de inércia r é a distância do elemento de massa dm ao eixo

de rotação.

𝐼 = 𝑟2 𝑑𝑚

Introdução

Pode-se também definir o momento de inércia de uma superfície ou área. Nesse

caso o nome mais apropriado seria momento de segunda ondem. O nome

momento de inércia é mais apropriado a situação da definição dada

anteriormente com os elementos dm. Comumente em problemas na engenharia,

os dois são chamados de momento de inercia mesmo. A definição quantitativa do

momento de inércia para áreas ou superfícies é:

dAxIdAyI yx

22

Onde 𝑰𝒙 é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação x e y é a

distância do elemento de área dA ao exo x. E 𝑰𝒚 é o momento de inércia em

relação ao eixo de rotação y e x é a distância do elemento de área dA ao eixo y.

Momento de inércia de uma área

Raio de giração

Raio de giração representa a distância ao eixo ou ponto correspondente na

qual se pode concentrar toda a área da superfície estudada de modo que se

tenha o mesmo momento de inércia.


A

IkAkI x

xxx 2


Teorema dos eixos paralelos

Momento de inércia de uma área por integração

Da mesma maneira que definimos o momento de inércia para o eixo x,

podemos definir o momento de inércia Iy de uma superfície de área A em

relação ao eixo y.

dAxIdAyI yx

22

Momentos axiais de inércia

Momento de inércia de uma área por integração

Calcular o momento de inércia Ix de uma superfície retangular:

dybyIddybdA x

2

h

x bhdybyI0

32

3

1

dAxIdAyI yx

22

3

3

1bhI x

Exemplo


Tabela de momento de inércia


Áreas compostas

A resistência de um perfil duplo T de 380mmx149mm é aumentada prendendo-

se a seu flange superior uma chapa de 150 mm x 20 mm, conforme

esquematizado na figura. Determinar o momento de inércia e o raio de giração

da seção composta em relação a um eixo passando por seu centróide C e

paralelo à chapa.

Exemplo 1


Áreas compostas

Como deseja-se calcular o momento de inércia da peça composta em relação

ao seu centróide, então devemos determinar as coordenadas do centróide da

peça. Para isso identificamos na tabela abaixo a área total da peça.

Exemplo 1: Solução


Áreas compostas


Cálculo do centróide


Áreas compostas


Cálculo do momento de inércia.

Momento de inércia do perfil da viga.

Para o cálculo do momento de inércia do perfil da viga, usaremos o teorema dos

eixos paralelos. Com isso identificamos na tabela de valores das peças o valor

do momento de inércia da viga em relação ao seu centróide.


Áreas compostas


Momento de inércia da chapa.

Momento de inércia

Raio de giração

Exemplo 2

Determinação do momento de inércia

Determine o momento de inércia Ix da superfície sombreada abaixo:

Superfícies compostas

Exemplo 2

Determinação do centróide por integração

Solução:

Exemplo 2

Solução:

Cálculo do Ix para o retângulo: Tabela de Momento de inércia

240,0 mm

120,0 mm


𝐼𝑥 =𝑏ℎ3

3= 1

3240 𝑚𝑚 120 𝑚𝑚 3 = 138,2 𝑥 106 𝑚𝑚4

𝐼𝑥 = 138,2 𝑥 106 𝑚𝑚4

Cálculo do Ix para o semicírculo: Tabela de baricentro


Exemplo 1

mmmmammb

mmmmr

a

8,812,380,1200,120

2,381415,3.3

0,90.4

3

4

Para calcular o momento no eixo x’ , utilizamos o teorema dos eixos paralelos:

Para calcular o momento no eixo x , utilizamos o teorema dos eixos paralelos:


Exemplo 1

𝐼𝑥 = 𝐼 𝑥′ + 𝐴𝑑2

𝐼𝐴′ = 𝐼 𝑥′ + 𝐴𝑑2 25,8 𝑥 106 = 𝐼 𝑥′ + 12,72 𝑥 10

3 38,2 2

𝐼 𝑥′ = 7,2 𝑥 106𝑚𝑚4

𝐼𝑥 = 𝐼 𝑥′ + 𝐴𝑑2

𝐼𝑥 = 𝐼 𝑥′ + 𝐴𝑑2 7,2 𝑥 106 + 12,72 𝑥 103 81,1 2

𝐼𝑥 = 92,3 𝑥 106𝑚𝑚4

𝐴 = π𝑟2

2=1

2𝜋 90 𝑚𝑚 2

𝐴 = 12,7 𝑥 103 𝑚𝑚2


Exemplo 1

𝐼𝑥 = 138,2 𝑥 106 𝑚𝑚4 − 𝐼𝑥 = 92,3 𝑥 10

6 𝑚𝑚4 = 𝐼𝑥 = 45,9 𝑥 106 𝑚𝑚4

𝐼𝑥 = 138,2 𝑥 106 − 92,3 𝑥 106 = 45,9 𝑥 106 𝑚𝑚4

𝐼𝑥 = 45,9 𝑥 106 𝑚𝑚4

Exercício 1

Exercícios

Numa chapa retangular de 500 x 300 mm é cortada uma seção retangular de base

genérica b = 250 mm e altura 120 mm (ver figura). Determine o momento de

inércia e o raio de giração em relação ao eixo x.

Exercício 1

Exercícios

Solução:

150

x

y

250

150

375 x

y

x

y

= -

Solução:

Cálculo do Ix para o retângulo: Tabela de Momento de inércia

500 mm

300mm


Exercício 1

𝐼𝑥 =𝑏ℎ3

3= 1

3500 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 3 = 4,5 𝑥 109 𝑚𝑚4

𝐼𝑥 = 4,5 𝑥 109 𝑚𝑚4

Solução:

Cálculo do Ix para o retângulo interno: Tabela de Momento de inércia


Exercício 1

250 mm

120 mm

150 mm

𝐼𝑥′ =𝑏ℎ3

12=1

12250 𝑚𝑚 120 𝑚𝑚 3 = 36,0 𝑥 106 𝑚𝑚4

𝐼𝑥 = 𝐼𝑥′ + 𝐴𝑑2 = 36,0 𝑥 106 + 250 𝑥 120 22,5 𝑥 103 = 711,0 𝑥 106𝑚𝑚4

𝐼𝑥 = 711,0 𝑥 106𝑚𝑚4

Solução:


Exercício 1

150

x

y

250

150

375 x

y

x

y

= -

Momento de inércia total:

Raio de giração:

𝐼𝑥𝑇 = 4,5 𝑥 109 𝑚𝑚4 − 711,0 𝑥 109 𝑚𝑚4 = 3,79 𝑥 109𝑚𝑚4

𝐼𝑥𝑇 = 3,79 𝑥 109𝑚𝑚4

𝑟𝑥 =𝐼𝑥𝑇𝐴𝑡=

3,79 𝑥 109 𝑚𝑚4

12 𝑥 104 𝑚𝑚2 = 177,71 𝑚𝑚

Exercício 2

Exercícios

Determine o momento de inércia e o raio de giração da superfície sombreada em

relação ao eixo x.

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