aula 3 corpo rígido

Corpo Rgido

Bibliografia Referncia:

BEER & JOHNSTON Mecnica Vetorial para Engenheiros Esttica -

Captulo 3

R. C. HIBBELER Esttica Mecnica para Engenharia - Captulo 4

14/05/2014

Prof. Antonio Bitencourt - ENG308

Ponto material x Corpo rgido

Ponto material

Dimenses irrelevantes

Concentrao das

foras em um ponto

(foras concorrentes)

Corpo rgido

Dimenses relevantes

Ponto de aplicao

das foras relevante

Sem deformao

14/05/2014 Prof. Antonio Bitencourt - ENG308

Ponto material x Corpo rgido

Ponto material Corpo rgido


Efeito de Fora num corpo rgido


Efeito de uma fora


Foras Externas e Internas

14/05/2014

Foras em corpos rgidos:

- Foras Externas

- Foras Internas

Foras externas so apresentadas no diagrama de corpo livre

Movimento de Translao ou Rotao


F am

Momento de uma fora

14/05/2014

F

r

Vetor Momento

Tendncia rotao

Relacionado s caractersticas vetoriais da distncia e fora

Intensidade, direo e sentido vetor


[M]= Nm

Momento


OM = rF

sinOM rF

OM Fd

Produto vetorial de dois vetores P e Q

definido como o vetor V que satisfaz as

seguintes condies:

1. Linha de ao de V perpendicular ao

plano que contm P e Q.

2. Intensidade de V

3. Sentido de V obtido pela regra da mo

direita.

Produto Vetorial


sinQPV

Propriedade de Produto Vetorial:

- No comutativa

- Distributiva

- No associativa

QPPQ

2121 QPQPQQP

SQPSQP

Ferramenta Matemtica

Produto Vetorial vetores unitrios cartesianos



i i = 0 ji = -k ki = j

i j = k j j = 0 k j = -i

ik = -j jk = i kk = 0

x y z x y z x y

x y z x y z x y

P P P P P P P P

Q Q Q Q Q Q Q Q

i j k i j k i j

Produto Vetorial componentes cartesianos



x y z

x y z

P P P

Q Q Q

P i j kV = PQ

Q i j k

z y x z yy z xz x x yPQ PQPQ PQ PQPQ V i j k

x y z x y zP P P Q Q Q V i j k i j k

Momento de F em relao origem

(Cartesiano)


x y z

x y z

z y x z y x

M M M

x y z

F F F

yF zF zF xF xF yF

OM i j k

i j k

i j k

Momento de F em relao O

x y z

x y z

F F F

r i j k

F i j k

OM = rF

Momento de F em relao um ponto

qualquer


Momento de F em relao a B

/B A B M r F

A B A B A B

x y z

x x y y z z

F F F

A/B A Br = r -r

i j k

F i j k

B A B A B A Bx y z

x x y y z z

F F F

i j k

M

Teorema de Varignon

14/05/2014

O Momento em relao a um dado

ponto O da resultante de um sistema de

foras concorrente igual a soma dos

momentos de cada fora do sistema em

relao ao ponto O.

Determinao do momento por meio da soma

dos momentos das foras componentes.

1 2 r R r F F


1 2 1 2 r F F r F r F

Momento de um sistema de foras

concorrentes

Analtico Teorema de Varignon

14/05/2014

x y z

x y z

M M M

x y z

F F F

OM i j k

i j k

/B A B

A B A B A B

x y z

x x y y z z

F F F

A/B A B

M r F

r = r -r

i j k

F i j k 1 2 r R r F r F


Princpio de transmissibilidade


Vetor fora provoca o mesmo efeito caso se

movimente na sua linha de ao.

Momento de uma fora

Fora no provoca momento em relao a um ponto

se o ponto pertence linha de ao da fora

Fora no provoca momento em relao a um ponto

num dado eixo cartesiano se for paralela a este eixo


= 0

r

Problema Hibbeler 4.50

14/05/2014

2 2 2

2,00 1,50

75cos(60 ) 75sen(60 ) 37,50 64,95

(2,00 1,50 ) (37,50 64,95 )

(1,50.64,95) (2.64,95) 75

97,43 129,90 75,00

97,43 ( 129,90) 75,00

178,86Nm

A

A

A

A

A

A

m

N

Nm

M

M

M r F

r i j

F j k j k

M i j j k

M i j k

M i j k

Determine ao intensidade do momento

de F em relao ao ponto A. =60.

Resolva pelo Teorema de Varignon!


Exemplo 1 Hibbeler 4.50 Teorema de Varignon

14/05/2014

A y k y zM r F F r F r F

Mx

Mz

My

Fy

Fz



14/05/2014

Fz


Mx

.

A

M F d

y k y zM r F F r F r F

64,95.1,5 97,43NmxM


14/05/2014

.

(64,95.2) 129,90Nm

y k y zM r F F r F r FA

y

M F d

M

Fz


My


14/05/2014

Fy


.

37,5.2 75,00Nm

y k y zM r F F r F r FA

z

M F d

M

Mz


14/05/2014

2 2 2

.

64,95.1,5 97,43Nm

(64,95.2) 129,90Nm

37,5.2 75,00Nm

97,43 ( 129,90) 75,00

178,86Nm

A

x

y

z

A

A

M F d

M

M

M

M

M

y k y zM r F F r F r F

Mx

Mz

My

Fy

Fz


Exemplo 2 Beer 3.23

14/05/2014

Uma fora de 36 N

aplicada a uma chave

de boca para apertar

uma ducha. Sabendo

que a linha de centro

da chave paralela ao

eixo x, determine a

intensidade do

momento da fora em

relao a A.

y

x

z

F

13,2 cm

4,8 cm

20,4 cm

12

45

A


Exemplo 2 Beer 3.23

14/05/2014

y

x

z 13,2 cm

4,8 cm

20,4 cm

12

45

r

F


Exemplo 2 Beer 3.23

14/05/2014

y

x

z 13,2 cm

4,8 cm

20,4 cm

45

r

/

0,204 0,048 0,132

cos(45 )sen(12 ) sen(45 ) cos(45 )cos(12 )

5,2926 25,4558 24,8996

(0,204 0,048 0,132 ) (5,2926 25,4558 24,8996 )

0,048. 24,8996 0,132. 25,4558

A C A

A

A

F F F

M r F

r i j k

F i j k

i j k

M i j k i j k

M i

0,132.5,2926 0,204. 24,8996

0,204. 25,4558 0,048.5,2926

[4,555 5,778 4,939 ]Nm

8,862Nm

A

AM

j

k

M i j k

Fy

Fx

Fz 12


Exemplo Beer 3.49

14/05/2014

4,8 m

1,2 m 1,8 m

a

Para erguer um caixote pesado, um

homem utiliza uma talha presa embaixo

de uma viga I pelo ganho B. Sabendo

que os momentos em relao aos eixos y

e z da fora exercida em B pela poro

AB da corda so, respectivamente, 135

Nm e -540 Nm, determine a distncia a.


rB

F

Exemplo Beer 3.49

14/05/2014

y

1,2 m 1,8 m

4,8 m

a

z x

A

B

0

( ) ( ) ( ) 4,8

(1,8 3,6 ). . .

(1,8 3,6 )(4,8 ) .

( 8,64)

540 ( 8,64) 62,5

(1,8 )

135 (1,8 ) 1,2m

B B B B

AB

z

y

x y z a

BA aF F F

BA BA

aa F

BA

FM

BA

F F

BA BA

FM a

BA

Fa a

BA

r i j k j k

i j kF

i j kM j k

F

rB


Exemplo Beer 3.49

14/05/2014

y

1,2 m 1,8 m

4,8 m

a

z x

A

B

F rA

Resolva com F em A!


Exemplo Beer 3.51

14/05/2014

12,5 cm

y

x

22,5 cm

P

Uma fora P aplicada alavanca de uma

prensa mecnica. Sabendo que P est em um

plano paralelo ao plano yz e que Mx=2587,5 Ncm,

My=-2250 Ncm e Mz= -393,75 Ncm, determine a

intensidade de P e os valores de e .

z


Exemplo Beer 3.51

Teorema de Varingnon

14/05/2014

12,5 m

y

x

22,5 m

Pz

12,5

2250 12,5 cos( ) cos( ) 180 9,93

12,5 182,7

393,75 12,5 sen( ) sen( ) 31,5

22,5 sen( ) 22,5 cos( )

2587,50 22,5 sen( )cos( ) 22,5 cos( )sen( ) 48,93

y z

z y

x z y

M P

P P

M P P N

P P

M P P

P P

z

Py


Exemplo Beer 3.51

14/05/2014

12,5 m

y

x

22,5 m P

0

0

0

2587,50 2250 393,75

sin( ) cos( )

12,5 22,5sin( ) 22,5cos( )

( ) (12,5 22,5sin( ) 22,5cos( ) ) ( sin( ) cos( ) )

(22,5 sin( )cos( ) 22,5 cos( )sin( )) 12,5 cos( ) 12,5 sin

P P

P P

P P P P

M i j k

F j k

r i j k

M r F i j k j k

M i j ( )

( )

9,932250 12,5 cos( ) cos( ) 180

182,7( )

393,75 12,5 sen( ) sen( ) 31,5

( )

2587,50 22,5 sin( )cos( ) 22,5 cos( )sin( ) 48,93

y y

z z

x x

M

P P

P NM

P P

M

P P

k

r F

r F

r F

z

Resolva analiticamente!


Momento em relao a um eixo


Projeo do Momento num eixo determinado

Grandeza escalar: intensidade e sentido

Dado momento MO de uma fora F aplicado no ponto A em

relao ao O,

FrMO

Momento em relao ao eixo OL (MOL) a projeo do vetor momento MO neste eixo.

OLM O M

Momento em relao a um eixo


OLM rF

Produto Escalar

14/05/2014


Produto escalar entre dois vetores P e Q definido como: cosPQ PQ

Propriedades:

- comutativa,

- distributiva,

- No associativa,

P Q = Q P

1 2 1 2P Q +Q = P Q +P Q

indefinidaP Q S Escalar dos componentes cartesianos

i i =1 j j =1 k k =1 i j = 0 jk = 0 k i = 0

x y z x y zP P P Q Q Q P Q i j k i j k2 2 2 2

x x y y z z

x y z

PQ PQ PQ

P P P P

P Q

P P


Produto Escalar

14/05/2014


ngulo entre dois vetores cos

cos

cosx x y y z z

PQ

PQ

PQ PQ PQ

PQ

P Q

P Q

Projeo de um vetor:

.1.cos( )

.

OL

OL

OL

OL

P

P P

P PPQ

PQ

OLP

P Q

P Q

cos cos cos

OL

x x y y z z

P

P P P

OLP

Para um eixo definido por um vetor unitrio:


Produto Misto

14/05/2014


Volume do paraleleppedo

Comutatividade do produto interno


Vol w u v

w u v = (wv) u

Significado Fsico -> Momento sobre um eixo


Componente do Momento num Eixo

Qualquer

14/05/2014

LM

CB

L B

L A B

L

M

r F

CB =


Beer 3.39

14/05/2014

Tenso no cabo EF = 330N. E ponto mdio do brao BC.

a. Determinar o ngulo entre o brao BC e o cabo EF

b. Determinar a projeo da tenso no cabo EF sobre o brao BC no ponto E


Beer 3.45

14/05/2014

Tampa 0,732x1,2 m, tenso no cabo de 54N.

Determine o momento da tenso da corda

atuando em D.


Beer 3.55

14/05/2014

Trip ABCD fixo no telhado por meio de trs cabos EF, EG e EH. Tenso no

cabo EF em F 66N. Determine o momento desta fora sobre a linha que une

os pontos D e I.


Beer 3.55

14/05/2014

Trip ABCD fixo no

telhado por meio de trs

cabos EF, EG e EH.

Tenso no cabo EF em F

66N. Determine o

momento desta fora

sobre a linha que une os

pontos D e I.


Beer 3.59

14/05/2014

A passarela

inclinada engastada

ABCD suportada

pelos elementos EF e

GH. A fora do

elemento EF em F

24,3 kN. Determine o

momento desta

fora sobre o eixo

AD.


Resposta: -24,9 kNm

Momento de um Binrio



14/05/2014

Binrio: sistema composto de duas foras F e -

F com mesma intensidade, linhas de aes

paralelas e sentidos contrrios.

Momento de um binrio

/

sin

A B

A B

A B

M r F r F

r r F

r F

M rF Fd



14/05/2014

Binrio: sistema composto de duas foras F e -

F com mesma intensidade, linhas de aes

paralelas e sentidos contrrios.

Momento de um binrio




Vetor livre: independe de ponto ou eixo.

Intensidade: F.d, distncia perpendicular entre as foras do binrio

Direo: Perpendicular ao plano do binrio

Sentido: regra da mo direita



As resultantes formam um binrio

21 FFrRrM

21

21

MM

FrFrM

A soma de dois binrios tambm um binrio resultante da soma dos dois binrios.

Tomando dois binrios 1 1 1

2 2 2

no plano

no plano

M r F P

M r F P

Pelo teorema de Varignon

Momento de um Binrio Componentes Cartesianos


Sistemas binrios equivalentes


150 mm

100 mm

100 mm

20 N 20 N

Sistemas binrios equivalentes


150 mm

100 mm

100 mm

Sistema Equivalente

Reduzir sistemas de foras diversas e momentos a uma resultante

das foras e dos momentos


Sistema Equivalente


Sistema Equivalente


FrMO

'

Relao entre os momentos em O e O

FsM

FsFrFsrFrM

O

O

''

OM r F

Reduo a um sistema Fora-Binrio



14/05/2014

O sistema de foras reduzido resultante das foras e dos binrios

FrMFR RO

RsMM ROR

O

'

O conceito de Sistema Equivalente favorece a simplificao da anlise de

sistema de foras externas em Corpos Rgidos.




O sistema de foras reduzido resultante das foras e dos binrios

ROR F M r F M

Casos Especiais de Reduo

Fora-Binrio



Fora-Binrio


Fora e Binrio mutuamente perpendicular pode ser reduzido a uma

nica fora.


Fora-Binrio



Fora-Binrio


Fora e Binrio mutuamente perpendicular pode ser reduzido a uma

nica fora.


Fora-Binrio


1) Foras concorrentes

2) Foras coplanares

3) Foras paralelas


Fora-Binrio



Fora-Binrio

14/05/2014

1

1

RM

MR

R

O

R

O

= M

R M

Momento Torsor



Fora-Binrio

14/05/2014

2

p

pR

1

R

O

M = R

R M

1

1

RM

MR

R

O

R

O

= M

R M

Passo de um torsor: p

Momento Torsor



Fora-Binrio

14/05/2014

Momento Torsor



Fora-Binrio

14/05/2014

p

R

O 1

R

O

M rR M

M rR R

Momento Torsor

Eixo de um torsor

Eixo do torsor:

Eixo de atuao da Fora Resultante no qual s ocorre o momento torsor.


Exemplo Hibbeler 4.97

14/05/2014

Determine o valor de d sabendo que o momento binrio resultante 20

Nm.

35 N

35 N 50 N

50 N


Hibbeler 4.88

14/05/2014

O redutor de engrenagens est submetido a quatro momentos binrios.

Determine a intensidade do momento binrio resultante e seus ngulos

diretores cartesianos.


Beer 3.91

14/05/2014

Dois operrios usam talhas presas

embaixo de uma viga para erguer

um grande tanque cilndrico.

Sabendo que a trao na corda

AB de 324N, encontre o sistema

equivalente desta fora em E.


Exemplo Beer 3.110

14/05/2014

Uma trelia suporta o carregamento mostrado. Determine a fora

equivalente resultante que atua sobre a trelia e o ponto de

interseo da sua linha de ao com uma linha que a passa elos

pontos A e G.


Beer 3.121 (5ed)


14/05/2014

BEER 9ed. 3.120

Duas polias de dimetro 150-mm so montadas na rvore

AD. As correias em B e C esto encontram-se no plano

paralelos ao plano yz. Substitua este sistema por um

equivalente em A.


Beer 3.136 6ed.


Determine se o sistema pode ser reduzido apenas

uma fora resultante. Se for possvel, determine o

ponto que a resultante interceptar o plano yz. Se

no for possvel, determine o torsor, ponto que o

eixo torsor intercepta o plano yz e o passo do

torsor.

Determine se o sistema pode ser reduzido

apenas uma fora resultante. Se for

possvel, determine o ponto que a

resultante interceptar o plano yz. Se no

for possvel, determine o torsor, ponto que

o eixo torsor intercepta o plano yz e o

passo do torsor.

Beer 3.137 6ed.


aula 3 corpo rígido

Documents