Universidade Federal Fluminense - UFF Escola de Engenharia de Volta Redonda EEIMVR Departamento de Cincias Exatas

Captulo X Parte I Momentos de InrciaProfa. Salete Souza de Oliveira Home: http://www.professores.uff.br/saleteBibliografia Principal R. C. HIBBELER Esttica Mecnica para Engenharia

Momentos de Inrcia de reas Introduo Centride Considera-se o primeiro momento da rea em relao a um eixo

xdA x dA2

Momento de Inrcia Integral do Segundo Momento de Inrcia

2

= z

dF = dA = kzdA2

dM = dFz = kz dA

M = z dA

Momentos de Inrcia

dI x = y 2 dAA

I x = y 2 dAA

dI y = x 2 dAA

I y = x 2 dAA

Momento Polar de Inrcia

J o = r 2 dA = I x + I yA

Teorema dos Eixos Paralelos para Uma rea

Ix =A

(y + d ) dA' 2 y

I x = y dA + 2d y y dA + d'2 ' A A

2 y A

dA

I

_

A primeira integral representa o x ' momento de inrcia da rea em relao ao eixo que passa pelo centride. A segunda integral zero, uma vez que x passa atravs do centride C da rea, isto , _

y ' dA = y dA = 0, y = 0_

2 I x = I x ' + Ad y

_

J o = J c + Ad 2

_

I y = I y ' + Ad x2

Raio de Girao de Uma rea

kx =

Ix A

ky =

Iy A

ko =

Jo A

Momentos de Inrcia de uma rea por Integrao Caso de contornos de reas planas expressos por funes matemticas

Exerccios 1- Determine o momento de inrcia para a rea retangular mostrada na Figura em relao (a) ao eixo x que passa pelo centride, (b) ao eixo xb que passa pela base do retngulo e (c) ao plo ou eixo z perpendicular ao plano x-y e que passa pelo centride C.

2- Determine o momento de inrcia da rea sombreada mostrada na Figura em torno do eixo x.

3- Determine o momento de inrcia em relao ao eixo x da rea circular mostrada na Figura.

Resolver os exerccios do Hibbeller 10.2,10.9,10.24

Momentos de Inrcia de reas Compostas Uma rea composta constituda por uma srie de outras reas ou formas geomtricas mais simples, como semicrculos, retngulos e tringulos. Desde que o momento de inrcia de cada uma dessas partes seja conhecido, ou possa ser determinado em relao a um eixo comum. Exerccio Calcule o momento de inrcia da rea composta mostrada na Figura em relao ao eixo x

2- Determine os momentos de Inrcia da rea da seo reta da viga mostrada na Figura. Em relao aos eixos x e y que passam pelo seu centride.

Resolver os exerccios 10.45, 10.49 e 10.51 do Hibbeller

Produto de Inrcia de Uma rea

I xy = xydAA

Se o elemento de rea escolhido tem uma dimenso infinitesimal em duas direes, como mostra a figura, uma integrao dupla deve ser efetuada para calcular a integral acima. Na maioria dos casos, mais simples escolher um elemento de rea com uma dimenso infinitesimalou largura em apenas uma direo; nesses casos necessria apenas uma simples integrao.

Teorema dos Eixos Paralelos Considere a rea sombreada mostrada na Figura, onde x e y representam um par de eixos passando pelo centride da rea, enquanto x, y representam o par de eixos paralelos correspondente. Como o produto de inrcia de dA em relao aos eixos x,y dIxy=(x+dx) (y+dy)dA, ento para toda rea

I xy =A

(x + d )(y + d )dA =' x ' y A

x ' y ' dA + d x y ' dA + d y x ' dA + d x d y y ' dAA A A

I xy = I xy + Ad x d y

_

Exerccio Determine o produto de Inrcia do tringulo mostrado na Figura abaixo

Momento de Inrcia de uma rea em relao a eixos inclinados

u = x cos + ysen v = y cos xsenOs momentos e o produto de inrcia em relao aos eixos u e v so

dI u = v dA = ( y cos xsen ) dA2 2 2 2

dI uv = uvdA = ( x cos + ysen )( y cos xsen )dA

dI v = u dA = (x cos + ysen ) dA

Expandindo cada expresso e integrando, levando em conta que

I x = y 2 dA, I y = x 2 dA, I xy = xydAI u = I x cos 2 + I y sen 2 2 I xy sen cos I v = I x s en + I y cos + 2 I xy sen cos 2 2

I uv = I x sen cos I y sen cos + I xy ( cos sen )2 2

Iu = Iv = I uv =

Ix + I y 2 Ix + I y 2 Ix I y 2

+

Ix I y 2 Ix I y 2

cos 2 I xy sen2 cos 2 + I xy sen2

sen2 + I xy cos 2

O momento Polar de Inrcia em relao ao eixo z que passa pelo ponto O independente da orientao dos eixos u,v, isto

J o = Iu + Iv = I x + I yMomentos Principais de Inrcia O ngulo = p define a orientao dos eixos principais para a rea.

Ix I y dI u = 2 sen 2 2 I xy cos 2 = 0 2 d tg 2 p =

(I

I xyx

Iy ) 2

Razes

sen 2 p1 = I xy cos 2 p1 = Ix I y 2

Ix I y 2

2 2 + I xy 2 2 + I xy

Ix I y 2 Ix I y 22

sen 2 p 2 = I xy cos 2 p 2 =

2 + I xy 2 2 + I xy2

Ix I y 2

Ix I y 2

I max =min

Ix + I y 2

Ix I y 2

+ I xy

Exerccio Determine os momentos principais de inrcia da rea da seo transversal da viga mostrada na Figura em relao a um dos eixos que passa pelo centride.

Crculo de Mohr para Momentos de Inrcia

Iu

Ix + I y 22

2

+I =2 uv

Ix Iy 2

2 2 + I xy

( Iu a )R=

2 + I uv = R 2 2 2 + I xy

Ix I y 2

Ex- Utilizando o crculo de Mohr determine os momentos principais de inrcia para a rea da seo transversal da viga na Figura em relao a um eixo que passa pelo centride.

Resolver os exerccios do Hibbeller 10.54, 10.59,10.69,10.80