mecÂnica - dinÂmica cinemática plana de um corpo rígido cap. 16

MECÂNICA - DINÂMICA

Cinemática Plana de um Corpo Rígido

Cap. 16

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2

Problema 16.13

2 2

0

Um motor comunica a um disco aceleração

angular 0.6 0.75 rad/s , onde é

dado em segundos. Se a velocidade angular

inicial do disco é 6 rad/s, determine

os módulos da velocidade e da aceleração

do

t t

bloco B quando 2 s.t


Problema 16.13 - Solução

2 2

6 0

23

0

0.6 0.75

6 0.2 0.75

6 0.2 8 0.75 2 9.1000 rad/s

dd dt

dt

d t dt

t t



2

2

2 2

9.1000 0.15

0.6 0.75 rad/s

0 3.150

1.36 m

0 rad/.6 4 0.75

3.1500 0.15

/s

0.472 m s

s

/

B

B

B

B t

v r v

t

a a αr

a



Para modelar no WM é necessário encontrar uma força a ser aplicada no corpo B que transmita o mesmo movimento da corda. Supondo que a massa de B seja 1 kg:

A velocidade inicial vB, será:

0

0

0 06 0.15

0.90000 m/sy

B y r

v

v v

20.6 0.75 0.15B

B t

F t

F a αr


Exemplo 16.20

A barra AB do mecanismo mostrado gira no sentido horário de forma que, quando q = 450, sua velocidade angular é wAB = 3 rad/s e sua aceleração angular é aAB = 4 rad/s2. Determine o movimento angular da barra DE nesse instante. O colar C é rotulado à barra AB e desliza sobre a barra DE


Exemplo 16.20 - Solução

Sistema de eixos:

Origens coincidentes em D

Sistema x,y,z gira com a barra DE



Equações da Cinemática



Movimento do referencial móvel

Movimento de C em relação ao referencial móvel



Movimento do ponto C correspondente ao movimento de rotação da barra AB

2

/

2

2/ /

(1.2 1.2 ) m/s

( 3 ) (0.4 0.4 )

( 4 ) (0.4 0.4 ) (3) (0.4

( 2 5.2 )

0.4 )

m/s

C AB C A

C AB C A AB

C

C

C

C A

C

v i

v k i

j

a i j

j

a k i j

v ω r

a

i

α r r

j



Substituindo na equação de velocidade:

/

/

/

/

/

(1.2 1.2 ) 0

3.00

1.2

0.4

(1.2 1.2

m

rad/

) 0

s

0

/

.4

s

DE C D xyz

DE C D xyz

C D C D C D xyz

D x

E

C y

D

zv

i j k i v i

i

v

j j v i

v Ω r v



Substituindo na equação de aceleração:



Continuando o desenvolvimento:

/

2

2/

/( 2 5.2 ) 0.4 3.6 7.2

2 3.6

0.4 5.2 7

5.00 rad

.

1.6

/s

2

m/s

DE C D xyz

C D xy

C

z

DE

D

D

xyz

E

a

a

a

i j j i j i

i i i

j j j


Problema 16.34

A plataforma S pode ser elevada hidraulicamente pelo

movimento do rolete A que se aproxima do pino B. Se

a velocidade de A é 1.5 pés/s, determine a velocidade

com que a plataforma sobe, em função de . A

0 0

s barras de

4 pés estão articuladas por pinos em seus pontos médios.

Calcule esta velocidade, bem como a velocidade angular

para 30 e 45 .



A velocidade no ponto A causa na barra AE

um . Pela regra

da mão direita, a velocidade angular é

orientada para fora, perpendicularmente

ao pla

giro no senti

no do movimen

do

t

anti-horár

o. Conhec

o

-

i

endo

A

E

se

o módulo, a direção e o sentido de V e as

direções e sentidos de V e , é possível

aplicar aos pontos A e E a equação da

velocidade:

/E A E A V V ω r



AV

EV

/E Ar

x

y

A

E

/

Expressando os vetores em

suas componentes , , :

1.5

4cos 4sen

A

E E

E A

V

i j k

V i

V j

r i j

/

1.5 ( (4cos 4sen ))E

E A E A

V

V V ω r

j i k i j



/

/

Desenvolvendo o produto vetorial:

0 0

4cos 4sen 0

4 sen 4 cos

1.5 4 sen 4 cos

Igualando as componentes em

: 1.5 4 sen 0

0.375: 4 c

0.375 rad/

1

os 4 cossen

ssen

E A

E A

E

E

E

E

V

V V

V

i j k

ω r

ω r i j

j i i j

i

j

.5cotan pés/s


Problema 16.34 – Solução – Cálculos para verificação no WM

0

0

0.375 rad/s; 1.5cotan pés/s

sen30 (0.524 rad)

0.375 0.375

sen sen 301.5cotan 30 1.5 1.7321

45 (0.785 rad)

0.375

0.750 rad/s

0.375

sen sen 451.5cotan 45 1.

2.60 m/s

0.530

5

rad/s

E

E

E

E

V

V

V

V

1.50 s1 m/EV


Problema 16.36

Um bloco se desloca para a esquerda com velocidade constante

. Determine a velocidade e a aceleração angulares da barra,

em função de .ov



Equação para a Coordenada de Posição:

Da geometria,

cotan (1)x a



2

0

20

20

Derivadas temporais:

Derivando a Eq. (1) cotan :

csc (2)

Desde que está na direção negativa de ,

e como , Da Eq. (2):

c c s ns i

o

x a

dx da

dt dtv x

dx dv

dt dv

a

t

v a



0

0

2

2

0

2

0 0

Derivadas temporais:

Derivando a Eq. da velocidade angular sin :

2sin cos (3)

Substituindo 2sin cos por sin2 e a

velocidade

sin

angular em (3),

sin 2 sin

v

avd d

dt a dt

v

a a

a

v

v

22 sin



00 0

220

20

00

2 2220

0

Considerando uma condição inicial ( 0 s):

30 (0.524 rad); 0.5 m/s; 2 m; 3.

0.0625 rad

4641 m

0.5s /s

0.0135 rad

in 30 0.52

0.5sin 2 sin 0.86603 0.5

/

2

s

t

v a x

v

a

v

a



0

220

0

2 2220

0 45.5 (0.794 rad)

0.127 rad/s

0.0

Considerando uma condição final ( 3 s):

0.5 3 1.9641 m

2tan

1.96410.5

sin 0.713482

0.5sin 2 sin 0.99984 0.71348

45.519

2

318 rad/s

t

x x

v

a

v

a

2


Problema 16.87

O mecanismo mostrado foi projetado

para dar um golpe lento na lâmina do

cursor C e retornar rapidamente.

Determine a velocidade angular da

barra , na situação mostrada. A

barra , gira com velocidade

ang

BC

AB

ular de 4 rad/s.


RB

BVB


2 2

Barra AB:

4 0.3cos60º 0.3sen 60º

0 0 4

0.15000 0.25981 0

1.0392 0.60000

4 0.30

1.0392 0.60000

1.2000

( rotação em torno de um eixo fixo

0

)

m/s

B AB B

B

B

B

B

B Bv

v

v

v i

v ω r

v k j

i j

j

i

k

v

ABy

x



/

Barra BC

1.0392 0.60000 -0.125cos 45º 0.125sen 45º

1.0392 0.60000 0.088388 0.088388

1.0392 0.60000 -0.088388 0.

( movimento no plano

08838

geral ):

8

C B BC C B

C BC

C BC

C BC BC

v

v

v

v v ω r

i i j k i j

i i j k i j

i i j i j

BC

B

C

RC/B

VC

y

x



Igualando as componentes vetoriais, tem-se:

1.03924 0.088388

0 0.60000 0.088388

0.6.79 6.7881 rad/s

1

60000

0.088388

Substituindo na equação anterio

.6392 m/s

s

r:

rad/

c BC

BC

B BC

c

CC B

v

v


Problema 16.87 – Solução Escalar

vB

vC

CI

125sen45

r1cos30

125cos45

r1=125cos45/sen30

r2=125sen45 + r1cos30


Problema 16.87 – Solução Escalar

1

2

1

21

1

2

176.78 mm

241.48 mm

1.2000

125cos 45 / sen 30

125sen 45 cos30

4 0.300

1.2

m/s

6.7881 rad/s000

/0.17678

6.7881 0.24148

1.6392

6.79

m/

a s

s

r d/

B AB B B

BC B

c BC

c

C

B

B

r

r r

v r v

r

v

v r

v

r

r

v


Problema 16.B

ABA velocidade angular da barra AB é = 4 rad/s.

Determine a velocidade do colar C e a velocidade

angular da barra CB no instante em que = 60º

e = 45º. A barra CB está na horizontal nesse

instante. F

aça também um esquema com a

localização da barra CB quando = 30º, 60º, e 90º

para mostrar seu movimento plano geral.


Problema 16.B - Solução

Solução Vetorial

Barra AB (rotação em torno de um eixo fixo ( Ponto A))

4 (0.5cos 60 0.5sin 60 )

i j k

0 0 4

0.25

1.

00

7321 1.0000

2.0000

0 0.43301 0

m/sB

B B

B

B

AB

v

v ω r

v j

v j

k

i

i Bv


BvCv

CB


Solução Vetorial

Barra CB (Movimento Plano Geral)

/

cos 45 sin 45 1.7321 1.0000 ( ) ( 0.350 )

cos 45 sin 45 1.7321 1.0000 (0.350 )

C B CB C B

C C CB

C C CB

v v ω

v v ω

v v ω r

i j i j k i

i j i j j



Solução Vetorial

Barra CB (Movimento Plano Geral)

BvCv

CB

cos 45 1.7321

sin 45 (1 0.

2.45 m/s

7.81 rad3 /s50 )C

CB

C

C CB

v

v ω

v

ω

i i

j j


Problema 16.90

Se a barra de ligação tem velocidade angular 6 rad/s,

determine a velocidade do ponto da barra e a velocidade

angular de barra , na situação mostrada na figura.

CDCD

E BC

AB



/

Barra CD (rotação em torno de eixo fixo)

6 0.6 3.6000 m/sC CD C D

C C

v

v v

r

Cv



/

Barra AB (rotação em torno de eixo fixo)

0.6 / sin 30

1.2 /1.2

B AB B A

B AB

B AB AB B

v r

v

v v

Bv

AB



//

//

/

/ / /

//

//

tan 30º 0.34641 m0.60

7.1

6.00 rad/s

.6cos30º 0.69281 m

3.60 0.69281

0.34641/1.2

999 m/s

BB B CI

B CI

CC C CI

C CI

C C B CIBB

B CI C CI C CI

C CIC CI

B CIB C

B

I

B

AB B AB

vv r

r

vv r

r

v v rvv

r r r

v

rr

rr

v

v

CvBv

BC

0.6 m

30

CI



// /

/ /

/

2/

0

2

0

7.1999

0.69281

0.3 0.34641 0.45826 m

tan =0.34641/ 0.3 49.106

90

4.76 m/s

40.9

E BE E CI

E CI B CI

B E CI E CIE

B CI

E CI

Ev

v vv r

r r

v r rv

r

r

Bv

B C0.3 m

CI

0.3 m E

Ev

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