2 cinematica tridimensional del sólido rígido · 2019-09-03 · cinemÁtica tridimensional del...

Tema 2

CINEMÁTICA TRIDIMENSIONAL DEL SÓLIDO RÍGIDO

1. Introducción

2. Teorema de Euler. Rotaciones finitas e infinitesimales

3. Rotación en torno a un punto fijo

4. Movimiento general de un sólido rígido en el espacio

5. Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento

6. Movimiento tridimensional relativo a ejes en rotación

7. Derivada respecto al tiempo de un vector medido respecto a un

sistema fijo o a un sistema trasladante-rotatorio

1

Augusto Beléndez Vázquez

Departamento de Física, Ingeniería de Sistemas y Teoría de la Señal

Universidad de Alicante

Tema 2


1. Introducción








2

INTRODUCCIÓN

• Elmovimiento tridimensional de un sólido rígido esmuchomás

complejoqueelmovimientoplano.

• Lospuntosdelcuerposedesplazanenelespaciotridimensionaly

además las direcciones de los vectores velocidad angular y

aceleraciónangularvaríanconel?empo.

• Recordemos que en movimiento plano de un sólido rígido las

direcciones de los vectores y no cambian, manteniéndose

siempreperpendicularesalplanodelmovimiento.

• Enelmovimientotridimensionaldeunsólidorígidoeltratamiento

vectorialnosóloesú?l,sinoestrictamentenecesario.

!ω

!ω

!α

!α

3

Tema 2


1. Introducción








4

TEOREMA DE EULER

Dosrotaciones“componentes”alrededordeejesquepasan

por un punto equivalen a una sola rotación resultante

alrededordeunejequepasaporelpunto.

Siseaplicanmásdedosrotaciones,puedencombinarseen

paresycadaparpuedereducirseaúnmásenunarotación.

5

ROTACIONES FINITAS E INFINITESIMALES

Rotacionesfinitas(nosonvectores)

Δ!θ1+Δ

!θ2 ≠ Δ

!θ2 +Δ

!θ1

• Silasrotacionescomponentesu?lizadasenelteoremadeEuler

son finitas, es importante mantener el orden en el que se

aplican.

• Las rotaciones finitas no obedecen la ley conmuta?va de la

adiciónynopuedenclasificarsecomovectores:

• Ejemplo:

:Rotaciónan?horariade90°alrededordelejexΔ!θx = 90º

!i

:Rotaciónan?horariade90°alrededordelejeyΔ!θ y = 90º

!j

Δ!θx +Δ

!θ y ≠ Δ

!θ y +Δ

!θx

6

ROTACIONES FINITAS

y

x

z

7

ROTACIONES FINITAS

y

x

z

y

x

z Δ!θx = 90º

!i

Δθx

8

ROTACIONES FINITAS

Δ!θx +Δ

!θ y

y

x

z

y

x

z

y

x

z Δ!θ y = 90º

!j

ΔθxΔθ y

Δ!θx = 90º

!i

9

ROTACIONES FINITAS

Δ!θx +Δ

!θ y

y

x

z

y

x

z

y

x

z

ΔθxΔθ y

y

z

x

Δ!θx = 90º

!i Δ

!θ y = 90º

!j

10

ROTACIONES FINITAS

Δ!θx +Δ

!θ y

y

x

z

y

x

z

y

x

z

ΔθxΔθ y

y

z

y

x

z

Δθ yx

Δ!θx = 90º

!i

Δ!θx = 90º

!i

Δ!θ y = 90º

!j

Δ!θ y = 90º

!j

11

ROTACIONES FINITAS

Δ!θx +Δ

!θ y

y

x

z

y

x

z

y

x

z

ΔθxΔθ y

Δ!θ y +Δ

!θx

y

z

y

x

z

y

x

z

Δθx

Δθ yx

Δ!θx = 90º

!i

Δ!θx = 90º

!i

Δ!θ y = 90º

!j

Δ!θ y = 90º

!j

12

ROTACIONES INFINITESIMALES

d!θ1d

!θ2

d!θ

Q1

Q2

S

!r

d !r2P

d !r

d !r1

Pd!θ1

⎯ →⎯⎯ Q1 d!θ2

⎯ →⎯⎯ S

Pd!θ2

⎯ →⎯⎯ Q2 d!θ1

⎯ →⎯⎯ S

d!θ = d

!θ1+ d

!θ2

13

Tema 2


1. Introducción








14

ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO

O (puntofijo)

Ejeinstantáneoderotación(paraleloaypasaporelpuntofijoO)

d!θ

!ω1

!ω

!ω2

!ω

Velocidadangular

!ω =!ω1+

!ω2

!ω =!"θ = d

!θdtd

!θ = d

!θ1+ d

!θ2

15


O

!ω

P

!r

!α

Ejeinstantáneoderotación(paraleloaypasapor

elpuntofijoO)

!ω

Aceleraciónangular

!α =!"ω = d

!ωdt

En general, no tendrá la

dirección del eje instantáneo

derotación.

!α

16

!ω =!ω1+

!ω2

!ω =!ω1+

!ω2

!ω =!ω1+

!ω2

!ω =!ω1+

!ω2


Ejeinstantáneoderotación

!ω

Ejeinstantáneoderotaciónydeslizamientomínimo

Conoespacial

(axoidefijo)

Conocorporal

(axoidemóvil)

!ω

17



!ω

Ejeinstantáneoderotaciónydeslizamientomínimo

!α

Conoespacial

(axoidefijo)

Conocorporal

(axoidemóvil)

18


O

P

y

z

x

!ωp

!ωs

G

19


O

P y

z

x

!ωp

!ωs

G

20


O

P y

z

x Ejeinstantáneo

derotación

!ωp

!ωs

!ωs

!ωp

!ω

!ω =!ωs +

!ω p

!vO =!vP = 0

G

21


O

P y

z

x Ejeinstantáneo

derotación

O

Ejeinstantáneo

derotación

Conocorporal

(axoidemóvil)

Conoespacial

(axoidefijo)

!ωp

!ωs

!ωp

!ωs

!ω

!ωs

!ωp

!ω

!ω =!ωs +

!ω p

G

!vO =!vP = 0

22

Tema 2


1. Introducción








23

MOVIMIENTO GENERAL DE UN SÓLIDO RÍGIDO

O

z

B !rA

y

x

!ω


A AB

Todoslospuntossituadosenelejeinstantáneo

derotación?enenlamismavelocidad!v

!rB =!rA +AB

AB = constante

!rB

!rB/A = AB

24

MOVIMIENTO GENERAL DE UN SÓLIDO RÍGIDO

!vB +!ω×AB

!vA =

AceleraciónabsolutadeB

VelocidadabsolutadeB

!aB =!aA +!α×AB+

!ω× (

!ω×AB)

!vB/A =!ω×AB

!aB/A =!α×ABcomponentetangencial

!"# +$ω× (

$ω×AB)

componentenormal

! "## $##

25

Tema 2


1. Introducción








26

EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN Y DESLIZAMIENTO MÍNIMO

Eleje instantáneoderotaciónesel lugargeométricode lospuntos

delespacioenlosqueelmódulodelvectorvelocidadesmínimo.!v

InvariantesEnelmovimientodeunsólidorígidosoninvariantes,encada

instante:

(a) Lavelocidadangular(rotación),.

(b) Elproductoescalarqueeselmismoparatodoslospuntos.


!ω!v ⋅

!ω

Movimiento plano ⇒!v⊥!ω ⇒

!v ⋅!ω = 0

Rotación en torno a un punto fijo

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒!v ⋅!ω = 0

Movimiento general en el espacio ⇒!v ⋅!ω ≠ 0

27


AP

!v ⋅!ω = 0

!vA

A

P

O

z

x

P(x, y, z)A(xA, yA, zA)


ydeslizamientomínimo

y

!ω

!ω =ωx

!i +ω y

!j +ωz

!k

!vA = vAx!i + vAy

!j+ vAz

!k

⎫

⎬⎪

⎭⎪

AP = (x − xA)!i + (y − yA)

!j+ (z − zA)

!k !vP = 0 =

!vA +!ω×AP

P ∈ EIR

28


!v ⋅!ω = 0 P ∈ EIR ⇒

!vP = 0 =!vA +

!ω×AP

vAx!i + vAy

!j+ vAz

!k +

!i

!j

!k

ωx ω y ωz

x − xA y − yA z − zA

= 0

(I) vAx+ω y (z − zA)−ωz (y − yA) = 0(II) vAy+ωz (x − xA)−ωx (z − zA) = 0(III) vAz+ωx (y − yA)−ω y (z − xA) = 0

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

!v ⋅!ω = 0 ⇒ ωx (I)+ω y (II)+ωz (III) = 0

29




AP

!v ⋅!ω ≠ 0

!vA A

P

!ω

!vP

O

z

y

x


!v ⋅!ω!ω

INVARIANTE:

P ∈ EIR

!ω

30


AP

!v ⋅!ω ≠ 0

!vA A

P



!ω

!vP

O

z

y

x


!v ⋅!ω!ω

INVARIANTE:

!vP = vPx!i + vPy

!j+ vPz

!k

!vA = vAx!i + vAy

!j+ vAz

!k

!ω =ωx

!i +ω y

!j +ωz

!k

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⇒!vP / /

!ω

P ∈ EIR

!ω

31


!v ⋅!ω ≠ 0

!vP = vPx!i + vPy

!j+ vPz

!k

!vA = vAx!i + vAy

!j+ vAz

!k

!ω =ωx

!i +ω y

!j +ωz

!k

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⇒!vP / /

!ω ⇒

vPxωx

=vPyω y

=vPzωz

!vP =!vA +

!ω×AP ⇒

vPx = vAx+ω y (z − zA)−ωz (y − yA)vPy = vAy+ωz (x − xA)−ωx (z − zA)vPz = vAz+ωx (y − yA)−ω y (z − xA)

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

AP = (x − xA)!i + (y − yA)

!j+ (z − zA)

!k

32


!v ⋅!ω ≠ 0

!vP = vPx!i + vPy

!j+ vPz

!k

!vA = vAx!i + vAy

!j+ vAz

!k

!ω =ωx

!i +ω y

!j +ωz

!k

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⇒!vP / /

!ω ⇒

vPxωx

=vPyω y

=vPzωz

vAx+ω y (z − zA)−ωz (y − yA)ω y

=vAy+ωz (x − xA)−ωx (z − zA)

ω y=vAz+ωx (y − yA)−ω y (z − xA)

ωz

33




!ω

AP

!v ⋅!ω ≠ 0

!vA A

!ω

O

z

y

x


P

!vP

P’

!vP’

AP’

P ∈ EIR

!vP´ =!vA +

!ω×AP´=

!vA +!ω×AP+

!ω×PP´= !vP

PP´∈ Eje instantáneo de rotación ⇒!ω×PP´= 0

⎫⎬⎪

⎭⎪

Todoslospuntosdeleje

instantáneoderotación

?enenlamismavelocidad

quesedenominavelocidaddedeslizamiento

34

Tema 2


1. Introducción








35

O

Z

!i

!k

A !rB

e

B

AB

MOVIMIENTO TRIDIMENSIONAL RELATIVO A EJES EN ROTACIÓN

y

ex

ez

!rA

Y

X

!j

!ω y

x

z

36

MOVIMIENTO PLANO RELATIVO A EJES EN ROTACIÓN

!vB Velocidad de B medida respecto al sistema de referencia fijo XYZ

!vA Velocidad de A (origen del sistema giratorio xyz) medida respecto al sistema de referencia fijo XYZ

!vBrel Velocidad de “B con respecto a A” medida respecto al sistema giratorio xyz

!ω

Velocidad angular del sistema de referencia xyz medida respecto al sistema de referencia XYZ

AB Posición de B con respecto a A, cuyas componentes se miden respecto al sistema rotatorio xyz

!vB=!vA +

!ω×AB + !vB relVelocidad:

37


!vB( )XYZ Velocidad de B medida respecto al sistema de referencia fijo XYZ

!vA( )XYZ Velocidad de A (origen del sistema giratorio xyz) medida respecto al sistema de referencia fijo XYZ

!vBrel( )xyz

Velocidad de “B con respecto a A” medida respecto al sistema giratorio xyz

!ω

Velocidad angular del sistema de referencia xyz medida respecto al sistema de referencia XYZ

AB Posición de B con respecto a A, cuyas componentes se miden respecto al sistema rotatorio xyz

!vB( )XYZ=!vA( )XYZ +

!ω×AB + !vBrel( )xyz

38


Aceleración:!aB =

!aA +!α ×AB+

!ω× (

!ω×AB)+ !aB rel + 2

!ω×!vB rel

!aB Aceleración absoluta de B Movimiento de B observado en el sistema fijo XYZ

!aA Aceleración absoluta de A (origen del sistema giratorio xyz)

Movimiento del sistema de referencia xyz observado desde el sistema fijo XYZ

!α ×AB El efecto de la aceleración angular

provocado por la rotación del sistema xyz

!ω× (

!ω×AB) El efecto de velocidad angular por la

rotación del sistema xyz

2!ω×!vBrel

aceleración de Coriolis

El efecto combinado de B al moverse con respecto a las coordenadas xyz y a la rotación del sistema xyz

Movimiento interactuante

!aBrel Aceleración de “B con respecto a A” con coordenadas xyz

Movimiento de B observado desde el sistema móvil xyz

39

!aB( )XYZ Aceleración absoluta de B Movimiento de B observado en el sistema fijo XYZ

!aA( )XYZ Aceleración absoluta de A (origen del sistema giratorio xyz)

Movimiento del sistema de referencia xyz observado desde el sistema fijo XYZ

!α ×AB El efecto de la aceleración angular

provocado por la rotación del sistema xyz

!ω× (

!ω×AB) El efecto de velocidad angular por la

rotación del sistema xyz

2!ω×!vBrel( )xyz

aceleración de Coriolis

El efecto combinado de B al moverse con respecto a las coordenadas xyz y a la rotación del sistema xyz

Movimiento interactuante

!aBrel( )xyz Aceleración de “B con respecto a A” con coordenadas xyz

Movimiento de B observado desde el sistema móvil xyz


!aB( )XYZ =!aA( )XYZ +

!α ×AB+

!ω× (

!ω×AB)+ !aBrel( )xyz + 2

!ω×!vBrel( )xyz

40

Tema 2


1. Introducción








41

O

Z

!i

!k

ey

x

DERIVADA RESPECTO AL TIEMPO DE UN VECTOR MEDIDO CON RESPECTO A UN SISTEMA FIJO O UN SISTEMA TRASLADANTE-ROTATORIO

y

ex

ez

z

Y

X

!j

!ω

!A

d!Adt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟XYZ

=d!Adt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟xyz

+!ω×!A

!A = Ax ex + Ay e y + Az ez

42

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