DECivil Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas

ESTATIA E EQUILÍBRIO

I. Cabrita Neves

2

Abril, 2002

3

Índice Pág. 1. ANÁLISE DA ESTATIA DE UM CORPO RÍGIDO 3 1.1 Graus de liberdade 3 1.2 Estatia de um corpo rígido 5 1.3 Ligações mal distribuídas 7 2. ANÁLISE DA ESTATIA DE UMA ESTRUTURA 9 2.1 Estatia exterior 9 2.2 Estatia interior 10 2.3 Estatia global 11 2.4 - Exemplos 11 2.5 Análise da estatia de uma estrutura pelo método das estruturas arborescentes 18 2.6 Método misto 19 2.7 Análise da estatia de estruturas trianguladas 21 2.8 Casos especiais 22 2.9 Considerações finais 26

4

1. ANÁLISE DA ESTATIA DE UM CORPO RÍGIDO 1.1 Graus de liberdade A posição de uma partícula livre de se mover no espaço tridimensional pode ser definida, por exemplo, através das suas três coordenadas independentes x, y, z, num referencial ortonormado. Neste caso, comprimento é a dimensão comum destes três parâmetros. Mas se utilizarmos coordenadas cilíndricas, por exemplo, uma delas será um ângulo. Quer dizer, a posição de uma partícula livre de se mover no espaço tridimensional será sempre definida através de três parâmetros independentes. Diz-se que a partícula tem três graus de liberdade e aos parâmetros independentes escolhidos para definir a sua posição chama-se coordenadas generalizadas. Um sistema de n partículas livres terá 3n graus de liberdade e a sua posição será definida através de 3n parâmetros independentes ou coordenadas generalizadas. Uma partícula obrigada a mover-se sobre uma superfície já só terá dois graus de liberdade. As suas 3 coordenadas cartesianas já não constituirão parâmetros independentes, uma vez que entre elas existe uma relação ou equação de ligação, que será traduzida pela equação da superfície sobre a qual a partícula está obrigada a mover-se. E se a partícula estiver obrigada a mover-se sobre uma linha já só terá um grau de liberdade. Entre as suas 3 coordenadas cartesianas existirão duas relações ou equações de ligação, traduzidas pelas duas equações que definem a linha. Um corpo rígido é um sistema de partículas em que as distâncias entre elas se mantêm inalteradas. Trata-se de uma abstracção, mas é uma abstracção útil em várias situações, nomeadamente na resolução de problemas de equilíbrio de sistemas constituídos por corpos pouco deformáveis. O corpo rígido tridimensional mais simples que se pode conceber é um corpo constituído por quatro partículas, A, B, C, D, formando um tetraedro (Fig. 1).

Fig. 1 Se estas quatro partículas estivessem livres de se mover no espaço tridimensional teríamos um sistema com 4x3=12 graus de liberdade, representados por exemplo pelas 12 coordenadas cartesianas xA, yA, zA, xB, yB, zB, xC, yC, zC, xD, yD, zD. Tratando-se de um corpo rígido, estes doze parâmetros não são independentes. Entre eles existem 6 relações ou equações de ligação que traduzem a invariabilidade das distâncias entre as 4 partículas. ( ) ( ) ( ) 2

AB2

BA2

BA2

BA dzzyyxx =−+−+− (1)

A

B

C

D

5

( ) ( ) ( ) 2AC

2CA

2CA

2CA dzzyyxx =−+−+− (2)

( ) ( ) ( ) 2

AD2

DA2

DA2

DA dzzyyxx =−+−+− (3) ( ) ( ) ( ) 2

BC2

CB2

CB2

CB dzzyyxx =−+−+− (4) ( ) ( ) ( ) 2

BD2

DB2

DB2

DB dzzyyxx =−+−+− (5) ( ) ( ) ( ) 2

CD2

DC2

DC2

DC dzzyyxx =−+−+− (6) Isto significa que só 6 parâmetros independentes são necessários para definir a posição do corpo. O corpo rígido tem portanto 6 graus de liberdade no espaço tridimensional representáveis por 6 coordenadas generalizadas. Consideremos um corpo rígido qualquer (Fig. 2) e um referencial a ele rigidamente ligado com origem num dos seus pontos (A, x’, y’,z’).

Fig. 2

Podemos escolher para coordenadas generalizadas deste corpo, por exemplo, as três coordenadas xA, yA, zA de um dos seus pontos (ponto A) num referencial exterior fixo (O, x, y, z), e os ângulos a, ß, ?, que os eixos x’, y’, z’ formam com os eixos desse mesmo referencial. Se um corpo rígido se move por forma que as trajectórias de todos os seus pontos estejam contidas em planos todos paralelos a um determinado plano (plano do movimento) diz-se que o corpo se move em movimento plano. Um corpo rígido obrigado a mover-se em movimento plano já não tem 6 graus de liberdade, uma vez que lhe foram impostas restrições. Terá somente 3 graus de liberdade, que podem ser interpretados como duas translações, segundo eixos perpendiculares x e y existentes no plano do movimento, e uma rotação em torno de um eixo z perpendicular ao plano do movimento. Um corpo rígido com um ponto fixo tem 3 graus de liberdade. Um corpo rígido obrigado a mover-se em torno de um eixo tem somente um grau de liberdade.

O

x

y

z

A y'

x'

z'

?

a

ß

6

1.2 Estatia de um corpo rígido Considere-se o corpo rígido representado na Fig. 3a), ligado ao exterior por um apoio fixo e um apoio móvel. Com base no seu diagrama de corpo livre (Fig. 3b) podemos estabelecer, como se sabe, um sistema de 3 equações de equilíbrio com o qual é possível determinar as 3 incógnitas HA, VA e VB.

=

=

=

∑∑∑

0M

0F

0F

A

y

x

==+

−=

θθ

θ

senPbVasenPVV

cosPH

B

BA

A

(7)

É possível escrever este sistema matricialmente

−=

θθθ

senPbsenPcosP

VVH

a00110001

B

A

A

(8)

ou [ ]{ } { } { }0QRC =+ (9) Este sistema de equações será sempre um sistema determinado qualquer que seja o carregamento a que o corpo está submetido. Por outras palavras, as suas ligações ao exterior são as necessárias e suficientes para assegurar o equilíbrio. O corpo diz-se isostático. Na Eq. (9), { }R representa o vector das reacções, que constituem as incógnitas, { }Q é um vector que representa o carregamento, e na matriz [ ]C estão reunidos os coeficientes das incógnitas. O elemento Cij desta matriz pode ser entendido como representando a contribuição da reacção j para o equilíbrio i do corpo (j=1, HA; j=2, VA; j=3, VB; i=1, não-translação segundo x; i=2, não-translação segundo y; i=3, não-rotação em torno de A). Os dois zeros na primeira linha de [ ]C mostram que VA e VB não contribuem para impedir a translação do corpo segundo x . De igual modo, a terceira linha de [ ]C mostra que só a reacção VB está em condições de impedir a rotação em torno de A. Fig. 3a) Fig. 3b) Mas admitamos agora que o apoio B é um apoio fixo em vez de móvel (Fig. 4a). Passámos a ter 4 incógnitas em vez de 3 e no entanto o número de equações de equilíbrio da Estática contínua a ser 3 (Fig. 4b).

A B

C

P

HA

VA VB

A B C

P

?

b a

y

x

7

=

=

=

∑∑∑

0M

0F

0F

A

y

x

==+

−=−

θθ

θ

senPbVasenPVV

cosPHH

B

BA

BA

(10)

Fig. 4a) Fig. 4b) Isto resulta de termos mais ligações do que as estritamente necessárias e suficientes para assegurar o equilíbrio. O sistema de equações resulta indeterminado e o corpo diz-se hiperestático ou estaticamente indeterminado. O número de ligações (ou incógnitas) a mais define o grau de hiperestatia. O corpo diz-se hiperestátíco do 1º grau. A indeterminação do sistema só pode ser levantada com base no conhecimento das leis que regem o comportamento mecânico do material de que o corpo é constituído. Voltemos ainda a considerar o mesmo corpo mas agora ligado ao exterior por dois apoios móveis, em A e em B (Fig. 5).

Fig. 5a) Fig. 5b)

As equações de equilíbrio serão

=

=

=

∑∑∑

0M

0F

0F

A

y

x

==+

−=

θθ

θ

senPbVasenPVV

cosP0

B

BA (11)

Destas 3 equações de equilíbrio há uma que é impossível, o que torna o sistema de equações impossível. Trata-se, como é evidente, da equação de projecção de forças segundo a horizontal. O sistema não pode portanto estar em equilíbrio, a menos que a carga P seja vertical, caso em que a equação impossível passa a ser uma equação trivial (0=0). Neste caso particular o sistema encontrar-se-á em equilíbrio. No entanto a análise da estatia de um corpo rígido deve ser feita para um carregamento genérico, isto é, pretende-se que o corpo se encontre sempre em equilíbrio, independentemente do

A B C

P

?

b a

A B

C

P

HA

VA VB

HB

y

x

A B

C

P

VA VB

y

x A B C

P

?

b a

8

carregamento. No caso em estudo pode portanto concluir-se que temos menos ligações do que as necessárias e suficientes para assegurar o equilíbrio. O corpo diz-se hipoestático. O número de ligações a menos define o grau de hipoestatia. No caso presente temos um corpo hipoestático do 1º grau. Com efeito, bastaria introduzir mais uma ligação (restrição à translação horizontal), para que o equilíbrio ficasse sempre assegurado. Aos sistemas hipoestáticos também se dá a designação de mecanismos cinemáticos. 1.3 Ligações mal distribuídas Seja a viga sobre 3 apoios móveis representada na Fig 6a). Para qualquer corpo rígido em equilíbrio plano é possível escrever um máximo de 3 equações, com o que se poderá determinar um máximo de 3 incógnitas. Pareceria portanto à primeira vista que estaríamos em condições de poder determinar as 3 forças de ligação da viga, ou seja, que ela seria isostática. No entanto isso não se verifica, pois embora se disponha efectivamente de 3 ligações, elas estão mal distribuídas. A translação horizontal da viga não está impedida. No sistema de equações de equilíbrio a equação de projecção de forças segundo a horizontal é uma equação impossível.

Fig. 6a) Fig. 6b)

=

=

=

∑∑∑

0M

0F

0F

A

y

x

=+=++

−=

θθ

θ

senPbaV2VasenPVVV

cosP0

CB

CBA (12)

No entanto também não faz sentido classificar a viga como hipoestática do 1º grau. Isso significaria que nos bastava introduzir uma ligação para que ela se transformasse em ísostática. Vejamos o que sucede ao transformarmos o apoio A em apoio fixo (Fig. 7a).

Fig. 7a) Fig. 7b)

A B C

P A B C

P

VA VB VC

HA

A B C

P

?

b a

a

A B C

P

VA VB VC

y

x

9

A translação horizontal fica efectivamente impedida e o sistema fica em equilíbrio, mas não se tornou isostático. Ele passou a ser hiperestático do 1º grau. Sempre que isto sucede é sinal seguro de que as ligações do sistema inicial estavam mal distribuídas e neste caso não faz sentido classificá-lo quanto à estatia. Diz-se simplesmente que as ligações do sistema estão mal distribuídas. O equilíbrio não é em geral possível. Como poderíamos então ter feito uma boa distribuição de ligações no sistema inicial? Colocando pura e simplesmente um dos apoios em posição vertical, por exemplo o apoio C (Fig. 8).

Fig. 8 Vejamos o aspecto do sistema de equações (12) quando escrito em forma matricial.

−=

θθθ

senPbsenPcosP

VVV

a2a0111000

C

B

A

(13)

O facto de a primeira linha da matriz dos coeficientes das incógnitas ser constituída exclusivamente por zeros é indicação segura de que nenhuma das reacções está em condições de impedir a translação horizontal, apesar de serem em número suficiente para assegurarem o equilíbrio. O determinante da matriz dos coeficientes [ ]C é nulo, ou seja a matriz [ ]C é uma matriz singular. Sempre que tal sucede pode concluir-se que a distribuição das ligações não é a adequada para assegurar o equilíbrio num carregamento genérico, isto é, pode concluir-se que as ligações estão mal distribuídas. O equilíbrio é contudo possível para carregamentos particulares, como se pode concluir se P for vertical. Nesse caso a primeira equação de (13) passa a ser uma equação possível (0=0). Outro caso de má distribuição de ligações é o apresentado na Fig. 9a). Neste caso é a equação de momentos que é impossível. Como todas as forças de ligação concorrem em B, não produzem momento relativamente a este ponto, sendo evidente que a força F produz. Nada se opõe portanto ao efeito de rotação que F provoca em torno de B, e o sistema rodará. Embora tenha 3 ligações estas encontram-se mal distribuídas. Bastaria colocar o apoio A em posição vertical para resolver o problema. Resumindo, diremos que em todos os casos em que as ligações, embora em número suficiente, correspondam a reacções concorrentes todas num mesmo ponto ou todas paralelas, o equilíbrio não é em geral possível, concluindo-se que as ligações estão mal distribuídas.

A B C

P

10

Fig. 9a) Fig. 9b) 2. ANÁLISE DA ESTATIA DE UMA ESTRUTURA Quando se pretende fazer a determinação das forças de ligação exteriores ou interiores de uma estrutura, interessa antes de mais saber se essa determinação pode ser efectuada exclusivamente através das equações da Estática. Tal só será possível para estruturas isotáticas (número de ligações estritamente necessário para assegurar o equilíbrio da estrutura) e para as estruturas hipoestáticas (ligações em número insuficiente para assegurar o equilíbrio da estrutura) submetidas a casos particulares de solicitação. A determinação de forças de ligação em estruturas hiperestáticas (número de ligações superabundante para assegurar o equilíbrio da estrutura) só pode efectuar-se a partir do conhecimento das leis de comportamento mecânico do próprio material de que as várias partes da estrutura são constituídas. Por aqui se vê a importância da análise prévia da estatia de uma estrutura. Chama-se a atenção para que a análise da estatia de uma estrutura deve ser efectuada independentemente do carregamento a que esta está submetida ou seja, a classificação deve ser válida qualquer que seja o carregamento que se considere. Assim, por exemplo, estruturas com ligações a menos não estão em geral em equilíbrio e devem ser consideradas hipoestáticas mesmo que para um carregamento particular exista equilíbrio. Por outro lado, quando as ligações são em número suficiente mas estão mal distribuídas, existem zonas da estrutura que ficam com ligações a mais (zonas hiperestáticas) e zonas com ligações a menos (zonas hipoestáticas), não estando a estrutura geralmente em equilíbrio. Nestes casos não fará sentido estabelecer uma classificação, dizendo-se simplesmente que a estrutura tem as ligações mal distribuídas. Não deve portanto confundir-se não-equilíbrio com hipoestatia. 2.1 Estatia exterior Uma estrutura, constituída por vários corpos ligados entre si e ao exterior, pode não estar em equilíbrio por duas razões. Ou o número de ligações entre as várias partes é insuficiente para assegurar a rigidez do conjunto e a estrutura não mantém a sua geometria ou então é o número de ligações ao exterior que é insuficiente e a estrutura

A

B C

F

A

B C

F

VA

VB

HC

11

mover-se-á em bloco. A análise da estatia exterior de uma estrutura faz-se considerando-a como um corpo rígido e averiguando se as ligações ao exterior são em número estritamente necessário (exteriormente isostática), insuficiente (exteriormente hípoestática) ou superabundante (exteriormente hiperestática) para assegurar a imobilidade do conjunto. O grau de hiperestatía ou hipoestatia define-se como o número de ligações a mais ou a menos em relação ao número de ligações que tornam a estrutura isostática. A análise da estatia exterior é pois feita tal como para o corpo rígido, pelo que uma estrutura plana será exteriormente isostática se tiver 3 ligações ao exterior (bem distribuídas) e a tridimensional se tiver 6 (também bem distribuídas). Como é sabido, o corpo rígido tem 3 graus de liberdade no movimento plano (2 translações e 1 rotação nesse plano) e 6 graus de liberdade no movimento geral (3 translações e 3 rotações), pelo que o número de ligações correspondentes à isostatia exterior pode ser encarado como o número mínimo de restrições a esses graus de liberdade, de modo a impedir os movimentos de conjunto. 2.2 Estatia interior Como se disse, a estatia interior de uma estrutura relaciona-se com a possibilidade de deslocamentos relativos entre as várias partes constituintes. Se as ligações interiores são em número estritamente necessário para impedir esses deslocamentos a estrutura diz-se interiormente isostática. Se esse número de ligações é insuficiente teremos uma estrutura interiormente hipoestátíca e no caso de ser superabundante a estrutura diz-se hiperestática interior. O que está aqui em causa é averiguar se as ligações entre as partes da estrutura são insuficientes, suficientes ou em excesso para conseguir que a estrutra se comporte como um corpo rígido. A definição dada anteriormente para o corpo rígido, de grau de hiperestatia ou hipoestatia, é válida também para o caso das estruturas. Como é óbvio, se queremos estudar os movimentos das várias peças umas em relação às outras, deveremos tomar uma delas para referência, considerando-a como fixa. Se a estrutura for constituída por b peças começaremos por considerar (b-l) livres, o que corresponderá a 3x(b-l) graus de liberdade para o conjunto, no caso plano, e a 6x(b-l) no caso do espaço tridimensional. Se tivermos r ligações interiores, ou seja, r restrições aos 3x(b-l) graus de liberdade, ficaremos com n=3x(b-l)-r graus de liberdade. Se n = 0, o número de ligações interiores é o estritamente necessário para impedir a deformabilidade da estrutura e esta diz-se interiormente isostática. Se n é positivo é porque o número de ligações interiores é insuficiente e a estrutura será interiormente hipoestática de grau n. Se n for negativo isso quer dizer que as ligações são superabundantes e a estrutura dir-se-á interiormente hiperestática de grau n . Também aqui é preciso não esquecer que isto só será assim se as ligações estiverem bem distribuídas, pelo que uma análise cuidadosa da distribuição das ligações interiores é sempre indispensável.

12

2.3 Estatia global O grau de hiperestatia ou hipoestatia global de uma estrutura define-se como a soma algébrica dos graus de hiperestatia ou hipoestatia interior e exterior. Assim, pode dizer-se que uma estrutura interiormente hipoestática do 1º grau e exteriormente hiperestática do 1º grau será uma estrutura globalmente isostática se as ligações estiverem bem distribuídas. A hiperestatia exterior compensou a hipoestatia interior. No entanto o inverso já não é verdadeiro, pois uma hipoestatia exterior nunca pode ser compensada por um número superabundante de ligações interiores. A estrutura terá inevitavelmente deslocamentos de corpo rígido e a sua classificação não fará sentido, dizendo-se simplesmente que as ligações estão mal distribuídas (a menos no exterior e em excesso no interior). 2.4 - Exemplos Determinar os graus de hiperestatia ou hipoestatia interior, exterior e global das estruturas seguintes. Exemplo 1

Fig. 10 Estatia exterior Considerando a estrutura como corpo rígido podemos traçar o respectivo diagrama de corpo livre (Fig. 11) Fig. 11

A B C D

E

3 incógnitas para 3 equações de equilíbrio: isostática exterior A

B C D

E

RBx RBy RC

13

Estatia interior Tomando uma das barras para referência, por exemplo a barra AD, podemos traçar diagramas de corpo livre para as outras duas barras, AE e ED. Fig. 12 Fig. 13 Dispomos portanto no total de 6 equações para 6 incógnitas e todas as forças de ligação interiores ficarão determinadas. A estrutura é isostática interior e, evidentemente, isostática global. Exemplo 2

Fig. 14

4 incógnitas para 3 equações de equilíbrio

A

E

RAx

RAy

RAy

2 novas incógnitas para mais 3 equações de equilíbrio

D

E

RAx

RAy

RDx

RDy

A B

C

14

Estatia exterior Considerando a estrutura como um corpo rígido, e uma vez que se trata de um problema plano, ela terá 3 graus de liberdade se não estiver ligada ao exterior. Como as ligações ao exterior consistem em 2 apoios fixos temos 4 ligações, ou seja, 4 restrições aos 3 graus de liberdade anteriores. Isto quer dizer que temos uma ligação a mais e a estrutura diz-se exteriormente hiperestática do 1º grau. Estatia interior Tomando uma das barras para referência, por exemplo a barra AC, e considerando a outra livre ela terá 3 graus de liberdade. Como ligação interior temos simplesmente a articulação C que vai restringir apenas 2 dos 3 graus de liberdade da barra BC ficando esta simplesmente com a possibilidade de rodar em torno de C. A estrutura diz-se interiormente hipoestática do 1º grau. Estatia global Este é um caso em que a hiperestatia exterior do 1º grau compensa a hipoestatia interior do 1º grau e a estrutura diz-se globalmente isostática. Na verdade, considerando todas as ligações, interiores e exteriores, vê-se que a estrutura não pode ter quaisquer movimentos. Uma estrutura deste tipo é conhecida por arco de 3 articulações. Exemplo 3 Fig. 15 Estatia interior Seccionemos a estrutura por um plano vertical de modo a ficarmos com dois corpos rígidos sem malhas fechadas (Fig. 16). Se tomarmos uma das partes para referência a outra constitui um corpo rígido com 3

Estatia exterior Estrutura isostática

A B

C D

E F

15

graus de liberdade. As ligações interiores, neste caso, correspondem a duas ligações rígidas em G e H e portanto restringindo 2x3 graus de liberdade. Estamos perante um número de ligações superabundante. A estrutura é 2x3-3 = 3 vezes hiperestática interior. Globalmente será também hiperestática do 3º grau.

Fig. 16 Exemplo 4 Fig. 17 Estatia interior Se tomarmos a barra AB para referência podemos traçar diagramas de corpo livre para as restantes (Fig. 18), e por comparação entre o número de equações de equilíbrio e o número de incógnitas (forças de ligação interiores) concluiremos que a estrutura é interiormente isostática. É interessante notar que na ligação de 2 barras através de uma rótula só estão em jogo 2 incógnitas (2 forças de ligação interior ou, em linguagem de graus de liberdade, 2 restrições ao número total de graus de liberdade) e que na ligação de 3 barras por uma articulação só estão em jogo 4 incógnitas. Isto evidentemente no caso plano. Daqui se pode inferir a seguinte regra geral: a ligação de n barras por meio de uma articulação restringe ao conjunto (n-l)x2 graus de liberdade. No espaço, a ligação de n corpos por meio de uma articulação esférica restringe ao conjunto (n-l)x3 graus de liberdade.

MH

A B

C D

E F

G

RGx RGy

G MG MG

RGx

RGy

H

RHx

RHy

H

RHx RHy

MH

Estatia exterior Estrutura isostática

A B

C D

16

Fig. 18

3 equações 4 incógnitas

A

C

RAx

RAy

RCy

RCx

3 equações 4 incógnitas

A

D

R’Ax

R’Ay

RDy

RDx

3 equações 2 novas incógnitas

C RCx

RCy

R’Dy

R’Dx D

3 equações 2 novas incógnitas

B

D

RBx

RBy

RDx R’Dx

RDy

R’Dy

Total 12 equações

12 incógnitas

17

Exemplo 5

Fig. 19 Estatia exterior Estrutura hiperestática do 1º grau Estatia interior Tome-se AB como barra de referência. Número de graus de liberdade para 10-1 = 9 barras livres no plano = 9x3 = 27 Número de restrições Rótula A ------------------- (3-1)x2=4 Rótula B ------------------- (3-1)x2=4 Rótula E ------------------- (3-1)x2=4 Rótula F ------------------- (4-1)x2=6 Rótula G ------------------- (3-1)x2=4 Rótula C ------------------- (2-1)x2=2 Rótula D ------------------- (2-1)x2=2

Total 26 Conclusão: estrutura interiormente hipoestática do 1º grau Estatia global Hipoestática interior do 1º grau + hiperestática exterior do 1º grau = isostática global. Esta conclusão não é válida, pois vê-se perfeitamente que a estrutura não está em geral em equilíbrio. Isso resulta de haver uma parte da estrutura com ligações a mais, enquanto que outra fica com ligações a menos. A parte ABEF comporta-se como um corpo rígido mas é hiperestática do 1º grau, enquanto que a parte restante tem dois graus de liberdade em relação a ABEF. A barra FG pode rodar em torno de F e o triângulo CDG pode rodar em torno de G. Estes dois graus de liberdade não são compensados

A C B

F G

D

E

18

pela hiperestatia exterior do 1º grau e nestas circunstâncias o conjunto de ligações interiores e exteriores não está em condições de assegurar o equilíbrio da estrutura, pelo que a estrutura é classificada globalmente como tendo ligações mal distribuídas . Neste caso trata-se de uma estrutura triangulada, e se admitirmos que as cargas só serão aplicadas nos nós, o sistema de equações que traduzem o equilíbrio da estrutura é constituído pelas equações de equilíbrio dos nós. Será portanto um sistema de 2x7=14 equações de equilíbrio que incluirão todas as incógnitas (4 forças de ligação exteriores e 10 forças de ligação interiores correspondentes aos esforços normais nas 10 barras que constituem a estrutura). Teremos portanto um sistema de 14 equações a 14 incógnitas, aparentemente determinado. Ou seja, a estrutura seria aparentemente globalmente isostática. Contudo, a má distribuição de ligações seria facilmente detectada através de uma análise mais cuidada à matriz dos coeficientes das incógnitas. Na verdade, tal como se viu no § 1.3 a propósito da análise da estatia do corpo rígido, o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas seria neste caso nulo. Esta é uma indicação clara de impossibilidade de equilíbrio, apesar de as ligações serem teoricamente em número suficiente. A conclusão inevitável é que as ligações estão mal distribuídas. Conseguir-se-ia uma boa distribuição de ligações e a estrutura passaria a ser globalmente isostática transferindo por exemplo a barra AF para a posição FC.

Fig. 20 Exemplo 6 Seja a determinação da estatia interior da seguinte estrutura (Fig. 21).

Fig. 21

A C B

F G

D

E

A

B C

D E

F

19

Podemos considerá-la constituída por 5 barras de eixo rectilíneo ligadas rigidamente entre si. Tomando AB como barra de referência teremos que 5-1=4 barras livres no plano têm 4x3=12 graus de liberdade. As ligações rígidas em B, C, D e E restringem 4x3=12 desses graus de liberdade e o resultado é isostatia. Trata-se de facto de um corpo rígido, constituído por peças lineares, sem malhas fechadas. Mas se ligarmos os pontos A e F o corpo continuará a ser rígido. Mais do que rígido, poder-se-ia talvez dizer. E com este “mais do que rígido” queremos significar hiperestatia. Com efeito o número de graus de liberdade não se alterou (=12) e o número de restrições passou a ser 5x3=15. Temos portanto 3 restrições a mais e a estrutura diz-se hiperestática do 3º grau. Um anel também o é. 2.5 Análise da estatia de uma estrutura pelo método das estruturas arborescentes Para as estruturas interiormente hiperestáticas em geral e para as estruturas reticuladas (em forma de rede) muito particularmente, torna-se normalmente fastidioso e susceptível de erros determinar o grau de hiperestatia pelos processos anteriormente descritos. Recorre-se então muitas vezes ao chamado método das estruturas arborescentes. Este método consiste em, através de cortes que se praticam na estrutura, fornecer-lhe o número de graus de liberdade necessário e suficiente para a tornar isostática. O número de libertações efectuadas dar-nos-á então o grau de hiperestatia. O nome do método deve-se ao aspecto de árvore com que ficam as estruturas depois de efectuados os cortes. Tome-se o exemplo da figura seguinte (Fig. 22).

Fig. 22 Fig. 23

Trata-se de uma estrutura reticulada plana em que existem, como se pode ver, várias malhas fechadas, pelo que é de prever que a estrutura seja hiperestática. Vamos efectuar cortes na estrutura de modo a transformá-la num corpo rígido sem malhas fechadas (isostático). Poderemos por exemplo efectuar os cortes representados na Fig. 23. Por cada corte efectuado forneceram-se à estrutura 3 graus de liberdade. No total forneceram-se 6x3 = 18 graus de liberdade. A estrutura inicial era portanto interiormente hiperestática do 18º grau. Note-se que o método pode ser utilizado para determinar o grau de hiperestatia global de

20

uma estrutura. Para tanto deverão fornecer-se ao sistema os graus de liberdade necessários e suficientes para o transformar num conjunto de estruturas isostáticas (árvores). Seja por exemplo a seguinte estrutura reticulada espacial ligada ao exterior por intermédio de encastramentos (Fig. 24a). Com 4 cortes obtêm-se 4 estruturas isotáticas (Fig. 24b).

Fig. 24a) Fig. 24b) Cada corte forneceu ao sistema 6 graus de liberdade, por conseguinte a estrutura é globalmente hiperestática do 24º grau. 2.6 Método misto A ideia base que preside ao método das estruturas arborescentes pode ser aproveitada para generalizar o método a outros tipos de estruturas. Com efeito, o essencial é que tem que se chegar no fim a uma estrutura isostática. E estruturas há em que, para além dos cortes que se torna necessário efectuar, haverá ainda que restringir alguns graus de liberdade da estrutura a fim de se obter a isostatia que se procura. Claro que então o grau de hiperestatia será a diferença entre o número de libertações efectuadas e o número de restrições impostas. Se esta diferença for positiva a estrutura será de facto hiperestática. Mas pode acontecer que seja negativa e então isso significará que a estrutura de partida era hipoestática. Mas concretizemos através de alguns exemplos. Procuremos então determinar a estatia global da seguinte estrutura plana (Fig. 25).

Fig. 25 Efectuemos os dois cortes representados na Fig. 26. Se não fizermos mais nada conclui-

A

C B

D

21

se que cada uma das estruturas obtidas é hipoestática do 1º grau, já que as barras BG e HC podem rodar em torno de B e C respectivamente. Para se obterem estruturas isostáticas teremos que impedir essas rotações, ligando rigidamente as barras BG e HC ao resto da estrutura. Fornecemos portanto 2x3 = 6 graus de liberdade à estrutura através dos cortes efectuados e impusemos duas restrições. Temos portanto que a estrutura é 6-2 = 4 vezes hiperestática global.

Fig. 26 Consideremos ainda o exemplo seguinte (Fig. 27).

Fig. 27 Fig. 28

Vamos transformar a estrutura numa estrutura arborescente através dos cortes e restrições seguintes (Fig. 28). Foram efectuados 3 cortes. Forneceram-se portanto 3x3 = 9 graus de liberdade à estrutura. Em A houve que impedir as rotações das barras AE e AB. Em B houve que impedir as rotações das barras BF e BG. Em C impediram-se as rotações das barras CJ, CI e CD e além disso foi necessário impedir a translação horizontal do conjunto. Finalmente em D houve que impedir a rotação da barra DH. Foram portanto impostas 9 restrições no total. Como o número de libertações é igual ao número de restrições impostas conclui-se que a estrutura é globalmente isostática. Como resulta evidente, este método não parece ser o mais adequado para estruturas deste tipo, dado o grande número de restrições que é necessário impor. Tenha-se em mente que o exemplo apresentado é dos mais simples.

A

C B

D

E F

G H

A

B D

C A

B D

C E

F

G H

I

J

1 1

1

1 1 1

1 1

22

2.7 Análise da estatia de estruturas trianguladas A estrutura articulada triangulada plana mais simples que se pode conceber é o triângulo (Fig. 29).

Fig. 29 Embora os apoios estejam em posição diferente, esta estrutura é a mesma que foi apresentada no exemplo 1 do §2.4, onde se concluiu que era interiormente, exteriormente e globalmente isostática. Se aos nós B e C juntarmos mais duas barras ligadas entre si por uma articulação obteremos a estrutura do último exemplo apresentado no §2.6, a qual, como vimos, é isostática. Se continuarmos a ampliar a estrutura seguindo sempre este processo, duas novas barras e uma articulação, temos a garantia de ir obtendo sucessivamente estruturas que são sempre isostáticas. Pode tirar-se partido disto para fazer a análise da estatia de estruturas trianguladas. Seja por exemplo a estrutura seguinte (Fig. 30).

Fig. 30 Fig. 31

Se não existisse a barra AD teríamos a estrutura que já anteriormente considerámos e a qual se pode obter, como vimos, partindo de um triângulo base inicial ao qual se adicionam duas barras e uma articulação. A barra AD está portanto a mais. Ela está a estabelecer uma ligação suplementar entre os pontos A e D. Cortemo-la em duas (Fig. 31). Para obtermos uma estrutura isostática teremos que restringir simultaneamente as

A

B

C

A

B D

C A

B D

C

1

1

E

F

23

rotações das barras resultantes AE e FD. Fornecemos portanto 3 graus de liberdade e impusemos 2 restrições. Conclui-se pois que a estrutura de partida é hiperestática do 1º grau. Por este método é fácil agora verificar que a estrutura que a seguir se apresenta (Fig. 32) é interiormente hiperestática do 3º grau.

Fig. 32

2.8 Casos especiais Considere-se a seguinte estrutura (Fig. 33).

Fig. 33 Trata-se de uma estrutura do mesmo tipo da apresentada no exemplo 2 do §2.4 mas simplesmente com as barras horizontais. Se fizermos a análise da sua estatia chegaremos pois à conclusão que é isostática global. Sendo assim, ela encontrar-se-á em equilíbrio. Vamos no entanto ver que na realidade não é assim. As barras AB e BC são ambas biarticuladas sem forças aplicadas ao longo do eixo. Só poderão portanto estar em equilíbrio sob a acção de forças axiais aplicadas nas extremidades.

Fig. 34

A

B

C

F

A B

R1 R1

C B

R2 R2

B

F

R2 R1

24

Como se pode ver imediatamente a partir do diagrama de corpo livre da articulação B (Fig. 34), esta não pode estar em equilíbrio, visto que não há forças de ligação que equilibrem a força aplicada F, que é vertical. Embora não visível imediatamente, este é de facto um caso de má distribuição de ligações. As duas restrições impostas pelo apoio fixo C poderiam por exemplo distribuir-se por dois apoios móveis, um localizado em B e outro em C (Fig. 35).

Fig. 35

Consideremos agora a seguinte estrutura tridimensional e façamos a análise da sua estatia (Fig. 36).

Fig. 36

Estatia exterior 3 apoios fixos no espaço restringem 3x3 = 9 graus de liberdade. Estrutura 9-6 = 3 vezes hiperestática exterior. Estatia interior 3-1 = 2 corpos rígidos livres no espaço têm 2x6 = 12 graus de liberdade. Estrutura 12-6 = 6 vezes hipoestática interior. Estatia global Estrutura 6-3 = 3 vezes hipoestática global. Isto significa que a estrutura tem 3 graus de liberdade e é fácil de ver que eles

A

B

C

F

A B

C

D

E

F

G H

I

J

25

correspondem a rotações das barras AD, BD e CD em torno dos respectivos eixos. A existência das barras FE, HG e IJ rigidamente ligadas às anteriores sugere a possibilidade de nelas serem aplicadas forças susceptíveis de provocarem as rotações referidas, e a classificação da estrutura estará correcta. Consideremos no entanto agora a estrutura seguinte que difere da anterior por não existirem as barras FE, HG e IJ (Fig. 37).

Fig. 37 Não há possibilidade de aplicar cargas a esta estrutura que sejam susceptíveis de produzir rotações das barras em torno dos respectivos eixos. Assim, embora de facto aquelas rotações sejam teoricamente possíveis, elas não têm interesse prático e a estrutura deve ser considerada isostática. Vimos que o elemento isostático básico para as estruturas trianguladas planas era o triângulo. Para as estruturas trianguladas espaciais o elemento isostático básico é um tetraedro (Fig. 38). Façamos a análise da sua estatia interior. Se considerarmos a barra AD como barra de referência, temos que 6-1 = 5 barras livres no espaço têm 5x6 = 30 graus de liberdade. 4 articulações esféricas ligando 3 barras cada restringem 4x(3-1)x3 = 24 graus de liberdade. Logo a estrutura é 30-24 = 6 vezes hipoestática. Tem 6 graus de liberdade que correspondem às rotações das barras AB, BC, AC, DB e DC e à rotação do conjunto em torno da barra de referência AD. Por outras palavras, correspondem às rotações das barras em torno dos respectivos eixos. Tal como as estruturas trianguladas planas, as estruturas trianguladas espaciais destinam-se a suportar cargas directamente aplicadas nos seus nós. Ora estas cargas em caso algum provocarão rotações das barras em torno dos seus eixos. Por isso, embora em rigor a estrutura seja hipoestática do 6º grau, ela deve ser classificada na prática como isostática. Obtém-se uma estrutura triangulada espacial que será sempre isostática se, a partir do tetraedro base, se forem sucessivamente acrescentando 3 barras e uma articulação (Fig. 39). Consideremos de novo a estrutura reticulada espacial apresentada no §2.5, a qual era, como se viu, hiperestática do 24º grau (Fig. 40).

A B

C

D

26

Fig. 38 Fig. 39

Fig. 40

Por vezes é necessário aumentar a rigidez destas estruturas no que se refere à deformabilidade horizontal, introduzindo-se então barras biarticuladas em diagonal, como se mostra a seguir (Fig. 41). Pretende-se saber de quanto aumenta o grau de hiperestatia da estrutura pela introdução de uma destas barras. Consideremos então a barra AB livre no espaço, desligada da estrutura. O seu diagrama de corpo livre mostra que nela estão envolvidas 6 novas incógnitas (Fig. 42).

Fig. 41

C

B

A

D

C

A

D

A

B

27

Fig. 42 Como novas equações podemos estabelecer as equações de equilíbrio da barra AB que, como sabemos, são 6, 3 de projecção de forças e 3 de momentos. Se parássemos por aqui o nosso raciocínio concluiríamos que a barra AB introduziria no sistema 6-6=0 novas restrições. No entanto, analisemos as 3 equações de momentos. Elas poderão representar por exemplo as 3 componentes do momento resultante de todas as forças que actuam na barra AB em relação ao ponto A. Nestas forças estarão incluídas não só as reacções em A e B, como também todas e quaisquer possíveis forças exteriores aplicadas à barra AB. A componente do referido momento segundo o eixo y representa, como se sabe, o momento de todas as forças em relação ao eixo y. Se repararmos, nenhuma das reacções produz momento em relação a y, e nenhuma força exterior que se aplique à barra o fará também. Então esta equação de equilíbrio resultará numa equação trivial (0=0) e ela não nos auxiliará na determinação das 6 novas forças de ligação interiores. Ficaremos assim reduzidos a 5 equações para 6 incógnitas e concluiremos dizendo que, por cada barra biarticulada como a barra AB, que se inclua na estrutura, o seu grau de hiperestatia aumentará de uma unidade. 2.9 Considerações finais A melhor forma de fazer a análise da estatia global de uma estrutura é através da identificação de partes da estrutura cuja estatia seja conhecida. Por exemplo, em estruturas trianguladas planas, se a estrutura puder ser reconstruída partindo de um triângulo base, que se sabe que é isostático, juntando sucessivamente a dois dos seus nós duas barras ligadas entre si por uma articulação, fica-se com a certeza de estar perante uma estrutura interiormente isostática.

Fig. 43

A B

x

z

y

RAx

RAy

RAz

RBx

RBy

RBz

28

Se ligarmos dois pontos de uma estrutura de estatia conhecida através de uma barra bi-articulada estaremos a aumentar o seu grau de hiperestatia em uma unidade.

Fig. 44 Uma estrutura interiormente isostática ou hiperestática comporta-se como um corpo rígido e poderá ser considerada como tal na análise da estatia de estruturas mais complexas em que esteja integrada. Um arco de três articulações é uma estrutura globalmente isostática. Se for montado sobre uma estrutura pré-existente não alterará a estatia dessa estrutura.

Fig. 45

Fig. 46

Estrutura interiormente hiperestática do 4º grau

Dois corpos rígidos (isostáticos) ligados entre si por uma articulação e ao exterior por apoios fixos = arco de três articulações = globalmente isostático

Arco de três articulações sobre estrutura globalmente isostática = estrutura globalmente isostática

29

Um corpo rígido (isostático) ligado ao exterior por um apoio fixo e um apoio móvel é uma estrutura globalmente isostática.

Fig. 47

A B C D

ABC = viga simplesmente apoiada C = apoio fixo CD = viga simplesmente apoiada Estrutura globalmente isostática