movimento de rotaÇÃo corpo rÍgido é um sistema de partículas no qual as partículas permanecem...
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MOVIMENTO DE ROTAÇÃO
CORPO RÍGIDO é um sistema de partículas no qual as partículas permanecem em posições fixas entre si
Exemplo
x
z
y
ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO
Estudaremos a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo
O eixo fixo é denominado eixo de rotação
O sentido da rotação é dado pela regra da mão direita
negativopositivo
z
MOMENTO DA FORÇA ( ou TORQUE)
Quando empurramos uma porta, estamos aplicando uma força sobre a porta
como consequência a porta vai girar em torno dum eixo fixo que passa pelas dobradiças.
A tendência da força de rodar o corpo em torno de um eixo é medida por uma grandeza vectorial denominada momento da força (ou torque)
O momento da força é a causa dos movimentos rotacionais
É análogo a força que causa variações no movimento translacional
FrM
Definimos o momento da força por
O módulo do momento da força é sinrFM
M
F
rCorresponde ao produto da distância até o ponto de aplicação da
força e a componente perpendicular da força.
r
APLICAÇÃO DUMA FORÇA EM PONTOS DIFERENTES NUMA PORTA
A porta é fechada mais facilmente quando a força é aplicada na extremidade da porta
Quando fechar uma porta, experimente fechá-la, empurrando-a no centro da porta (Figura a) e depois, aplicando a mesma força, empurre a porta na extremidade (Figura b).
sinrFM
Arquimedes disse: “Dê-me uma alavanca que moverei o mundo”
O que é uma alavanca? É uma barra rígida apoiada (ponto de apoio O) utilizada para facilitar o deslocamento de um corpo pesado.
sinrFM LFFrM )sin(
A distância do ponto de apoio O, por onde passa o eixo de rotação, à linha de acção da força F, é denominada braço de alavanca, (L)
No movimento de translação do corpo rígido, todas as partículas sofrem o mesmo deslocamento durante o mesmo intervalo de tempo, de modo que todas possuem, em qualquer instante, a mesma velocidade e aceleração.
MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO
Um corpo rígido pode ter três movimentos
1º - O movimento de translação quando todos os pontos percorrem trajectórias paralelas
2º - O movimento de rotação quando todos os pontos percorrem trajectórias circulares
3º - Combinação do movimento de rotação e de translação
Movimento translacional + rotacional
Movimento rotacional puro
MOVIMENTO DE ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO DA TERRA
ENERGIA CINÉTICA ROTACIONAL
2
2
1iii vmK
ii rv
2222
2
1
2
1 iiiii rmrmK
22
total 2
1
iiirmK
Energia cinética de uma partícula do corpo rígido
Relação entre a velocidade tangencial e velocidade angular
Substituindo em iK
Energia cinética total Unidade: joule (J)
Não é uma nova forma de energia.
A forma é diferente porque é aplicada a um corpo em rotação
Cada partícula de massa do corpo rígido descreve uma trajectória circular de raio com velocidade tangencial
im
ir iv
Suponhamos um corpo rígido que gira ao redor de um eixo z
onde é o momento de inérciai
iirmI 2
2m kg: Unidade
2
2
1 IK R
MOMENTO DE INÉRCIA
O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação
No movimento rotacional o momento de inércia exerce o mesmo papel que a massa
no movimento translacional
lim 2 20im i ii
I r m r dm
Podemos reescrever a expressão do momento de inércia em termos de dm
MOMENTO DE INÉRCIA DE ALGUNS CORPOS RÍGIDOS
Definimos inicialmente o momento angular de uma partícula com momento linear .
prL
Derivando o momento angular em relação ao tempo:
dt
pdrp
dt
rdpr
dt
d
dt
Ld
)(
=0
dt
como
Mfrdt
Ld
L
Note que a partícula não precisa estar girando em torno de O para ter momento angular em relação a este ponto a rotação não é necessária para o momento angular
p
prL
r p
m
é o momento angular instantâneo emrelação à origem O
L
MOSTRAREMOS QUE O MOVIMENTO ROTACIONAL TEM UMA LEI DE MOVIMENTO SEMELHANTE À SEGUNDA LEI DE NEWTON
L
O MOMENTO ANGULAR
A mesma relação é válida para um corpo rígido, em rotação em torno de um ponto O.
dt
LdM
e corresponde à um momento da força externo resultante M
análogo à segunda lei de newton
dt
ou
dt
LdM
A relação acima é válida também para um sistema de partículas onde o momento angular é a soma vectorial dos momentos angulares de cada partícula
em relação ao mesmo ponto fixo O
A soma dos momentos das forças internos são nulos
Suponhamos um corpo rígido que gira ao redor de um eixo z
O momento angular total do corpo rígido será
2
ii rmI
iii
i rvmL
prL
Lembrando que
como obtemos ii rv
)()( 2
ii
iiii
i rmrrmL
e é o momento de inércia
e o momento angular pode ser escrito como IL que é análogo à mvp
O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação
O MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
constante 0 Lfrdt
LdM
Quando
se 0 ) fi
ou 0 ) rii
0M
ou constanteL
fi LL
Análogo ao que acontece com o momento linear fi pp
FORÇAS CENTRAIS, que são forças da forma
urfrF
)()(
Neste caso:
iii) quando a força é colinear com o vector posição teremos também
constante
0)(
L
urfrdt
LdM
0M
Exemplo:
EXEMPLO 1: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
No sistema homem - halteres só há forças internas e, portanto:
ffii IIIL constante
iI fi fI
Com a aproximação dos halteres ( < ) a velocidade angular do sistema aumentafI iI
No caso da mergulhadora da figura ao lado o CM segue um movimento parabólico
e o momento angular da nadadora é constante durante o salto. Juntando braços e pernas, ela pode aumentar sua velocidade angular em torno do eixo que passa pelo CM, às custas da redução do momento de inércia em relação a este eixo
L
Mg
L
gM
L
Exemplo 3: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
i
iirmI
const.0
Ldt
Ld
onde