MOMENTO DE INÉRCIA

Suponhamos um corpo rígido que gira ao redor de um eixo

o

imiv

ir

Cada partícula de massa do corpo rígido descreve uma trajectória circular de raio com velocidade tangencial

imir

iv

O momento angular total do corpo rígido é

2ii rmI

iii

i rvmL

prL

Lembrando que

como obtemos ii rv

)()( 2i

iiii

ii rmrrmL

onde é o momento de inércia

e o momento angular pode ser escrito como IL que é análogo à mvp

O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação

CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

constante 0 LfrdtLdM

Quando

se 0f

ou 0r

0M

ou constanteL

fi LL

Análogo ao que acontece com o momento linear fi pp

FORÇAS CENTRAIS, que são forças da forma

urfrF )()(

Neste caso:

PARA QUE O MOMENTO DA FORÇA SEJA NULO NÃO É PRECISO QUE A FORÇA SEJA NULA, QUANDO A FORÇA É COLINEAR COM O VECTOR POSIÇÃO TEREMOS TAMBÉM

constante

0)(

L

urfrdtLdM

0M

Exemplo:

EXEMPLO 1: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

No sistema homem - halteres só há forças internas e, portanto:

ffii IIIL constante

iI fi fI

Com a aproximação dos halteres ( < ) a velocidade angular do sistema aumentafI iI

EXEMPLO 2: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

Momento angular inicial do sistema roda de bicicleta-menino (+ banco)

ibicbici ILL

Agora o menino inverte o eixo de rotação da roda de bicicleta

ibic LL

2 21,2 kg.m ; 6,8 kg.m e 3,9 rot/sbic tot iI I

Dados

Queremos calcular a velocidade angular final do sistema após o menino inverter o eixo de rotação da roda de bicicleta

EXEMPLO 2 (cont): CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

Há conservação do momento angular uma vez que só há forças internas no sistema

ibictot II 2

imen

iimenif

LL

LLLLL

2

Momento angular final do sistema:

imenmenbicf LLLLL

rot/s4,12

tot

ibic

II

No caso da mergulhadora da figura ao lado o CM segue um movimento parabólico

Nenhum momento da força externo em relação a um eixo que passa pelo CM , actua sobre a mergulhadora; então no referencial do CM:

0 grmFr

dtLd

iii

iii

e o momento angular da nadadora é constante durante o salto. Juntando braços e pernas, ela pode aumentar sua velocidade angular em torno do eixo que passa pelo CM, às custas da redução do momento de inércia em relação a este eixo

L

=0

Mg

L

gM

L

Exemplo 3: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

i

iirmI

const.0

LdtLd

onde

IdtdII

dtd

dtdL

)(

QUANDO O MOMENTO ANGULAR VARIA COM O TEMPO

ou

IM

que é semelhante à equação de Newton

amF

CMv v R

Decomposição do rolamento em rotação + translação

ROLAMENTO (SEM DESLIZAMENTO)

Translação pura Rotação pura

(acima do centro) (abaixo do centro)

v rv r

O ponto de contato está sempre em repouso

Translação + Rotação

=

CMv

CMv

CMv2

0v

Rv

Rv

CMv

0v CMv

FOTOGRAFIA DE UMA RODA EM ROLAMENTO

Os raios de cima estão menos nítidos que os de baixo porque estão se movendo mais depressa

22

21

21

CMCM vMIK

ENERGIA CINÉTICA DE ROLAMENTO

É a soma da energia cinética de rotação em torno do CM com a energia cinética associada ao movimento de translação do CM.