Cap.12: Rotação de um Corpo Rígido

Do professor para o aluno ajudando na avaliação de compreensão do capítulo.

Fundamental que o aluno tenha lido o capítulo.

Introdução: Produto vetorial

Ilustração da operação de produto vetorial usando a regra da mão direita.

12.1 Movimento de rotação e cinemática rotacional

► Quando um corpo extenso, diferente de uma partícula, possui forma e tamanho ao girar em

torno de um eixo, denomina do eixo de rotação, o movimento tem que ser modelado de modo que

as partes diferentes possuem velocidades lineares e acelerações lineares diferentes. Por outro lado,

podemos analisar o movimento de um corpo extenso modelando-o como um sistema constituído

de muitas partículas, cada uma com sua própria velocidade linear e aceleração linear.

►Uma das simplificações na análise de movimento de um corpo extenso em rotação é considerar

que este seja rígido.

►Corpo rígido é aquele não deformável, isto é, as localizações

relativas de todas as partículas das quais o corpo é composto

permanecem constantes.

► Posição, velocidade e aceleração angulares

Apresenta-se aqui um resumo do movimento circular de uma partícula ( um ponto) do corpo

rígido. A figura abaixo ilustra uma vista aérea de um Compact Disc (CD) girando sobre um eixo

fixo perpendicular ao plano da figura, passando pelo centro do disco em O.

Foi apresentada o sistema de coordenadas polares (r, ) , onde r é a distância da origem até o ponto

P e é medido em sentido anti-horário a partir de uma linha de referência fixa no espaço, como

mostrado na figura. Nessa representação r permanece constante, enquanto muda no tempo.

► O comprimento do arco s é

e

► Como é a proporção entre o comprimento de arco e o raio do círculo, ele é um número

puro. Atribui-se ao ângulo a unidade denominada radiano.

;s rq=

.s

rq =

► Uma partícula do corpo rígido se move de A para B ao longo de um arco no intervalo de tempo,

t = tf-ti, realizando um movimento = f - i , definida como o deslocamento angular do

corpo rígido.

= f - i

► A velocidade angular instantânea, (t) , é

►A aceleração angular instantânea,(t) , é

A unidade da aceleração angular é rad/s2.

► No movimento de rotação quando a aceleração angular (t) é positiva, a velocidade angular

(t) é crescente; (t) é negativa, (t) é decrescente. O movimento é acelerado quando (t) e

(t) possuem o mesmo sinal, e o movimento é desacelerado quando (t) e (t) possuem sinais

opostos.

►Regra da mão direita para movimento de rotação.

► Obs. Errata na legenda da Fig.12.4, página342 do livro-texto, da esquerda para a direita,

trocar as legendas entre a terceira e a quarta.

► Equações cinemáticas de rotação

As deduções das equações cinemáticas de um movimento circular se aplicam na rotação. A tabela

abaixo, o resumo das equações deduzidas.

► Relações vetoriais entre as grandezas rotacionais e translacionais

Temos

12.2 Rotação em torno do centro de massa

► Centro de massa de partículas

As forças internas são consideradas newtonianas, isto é, obedecem a terceira lei de Newton: a

força agindo sobre o primeiro corpo é igual e oposta a aquela que atua sobre o segundo. Portanto,

resulta em

Obtemos desse modo, a força externa resultante,

e escrevemos o membro à esquerda da equação segunda acima, multiplicando e dividindo por m1

+ m2= M

onde

Definindo dessa forma, temos

► Centro de massa de um corpo extenso

Os corpos extensos ocupam um volume no espaço. Divide-se o corpo em um número infinito de

elementos de massa infinitesimal dm e se efetua uma soma com um número infinito de parcelas:

Ver a figura:

► Para qualquer corpo simétrico e de densidade uniforme, o

centro de massa se localiza no centro geométrico do objeto.

12.3 Energia de rotação

► Modelo Um corpo sólido é constituído por infinitas partículas de massa mi e, uma vez em

rotação, cada partícula localizada a uma distância ri do eixo de rotação realiza o movimento de

rotação. Ver a figura.

Quando esse eixo de rotação é fixo, a velocidade vi da i-ésima partícula é dada pela vi = ri w, onde

w é a velocidade angular do corpo rígido, portanto ela é a mesma para todas as partículas em

diferentes posições ri, logo o corpo sólido possui energia cinética

► Inércia rotacional de um sistema de partículas :

► Esta expressão também vale para um corpo sólido, onde I é a inércia rotacional do corpo sólido

em relação ao eixo de rotação. A determinação de I de um corpo sólido será apresentada na seção

posterior.

►A equação acima fornece uma interpretação para o momento de inércia:

►quanto maior for o momento de inércia, maior será a energia cinética do corpo rígido com uma

dada velocidade angular.

► Estudamos que a variação da energia cinética de um corpo é igual ao trabalho realizado pela

força para mover o corpo do repouso até a velocidade considerada ou de modo contrário. Sendo

assim, quanto maior for o momento de inércia de corpo, mais difícil se torna fazer ele girar a

partir do repouso e mais difícil se torna fazer ele parar quando ele está girando. Por essa razão,

algumas vezes a grandeza I é também conhecida com inércia rotacional.

► Energia potencial gravitacional para um corpo sólido

Para um corpo rígido, precisamos aprender a calcular a energia potencial gravitacional associada com um corpo que possui uma distribuição contínua de massas. Quando a aceleração da gravidade g é a mesma em todos os pontos do corpo, a energia potencial gravitacional é a

mesma que a de uma partícula com massa total do corpo centralizada em seu centro de massa. Se o corpo de massa M está posicionado sobre o eixo OY , então a energia potencial gravitacional U é U = M g ycm

onde ycm é a coordenada y do centro de massa.

A foto é de uma atleta no momento de ultrapassagem da barra no salto em altura. A atleta encurva seu corpo e em consequência, seu centro de massa passa efetivamente em baixo da barra. Essa técnica, conhecida como inversão de Fosbury, necessita de um menor aumento da energia potencial gravitacional do que a técnica antiga, na qual o centro de massa passava em cima da barra.

12.4 Calculando o momento de inércia

►

Figura (12. 15b) Esfera uniforme.

A inercia rotacional de um disco de raio r na esfera é

Multiplica-se por dois, pois, pela simetria, o hemisfério direito tem inércia igual ao do esquerdo.

► Exemplo

► Exemplo É possível mudar a energia cinética translacional de um corpo sem alterar sua

energia cinética rotacional?

►Responder: Uma seção de um cano oco e de um cilindro sólido têm o mesmo raio, massa e

comprimento. Ambos giram sobre seus eixos centrais longos com a mesma velocidade angular.

Que corpo tem maior energia cinética rotacional? (a) o cano oco, (b) o cilindro sólido, (c) os dois

têm a mesma energia cinética rotacional. (d) É impossível determinar.

► Teorema de eixos paralelos

► O momento de inércia de um corpo sobre um eixo arbitrário, ver a figura, pode ser

determinado de forma simples utilizando o

teorema dos eixos paralelos:

O eixo é arbitrário, pois, não necessariamente

passa pelo corpo.

► Responda a questão Pare E Pense 12.2

12.5 Torque

► Quando uma força é exercida sobre um corpo rígido alavancado sobre um eixo, o corpo tende a

girar sobre aquele eixo.

► A tendência da força de girar um corpo sobre um eixo é medida por uma quantidade chamada

torque.

► Na figura, a força F atua a um ângulo com a

horizontal sobre uma chave inglesa. A componente

Fcos não produz rotação do corpo, pois o

prolongamento da sua linha de ação passa pelo eixo

de rotação em O. Essa componente produz uma tração

no eixo de rotação, que, por sua vez, reage sobre o

corpo com força de mesma intensidade e no sentido

contrário, processo ação – reação.

►A componente F sen tende a girar a chave por um eixo que passa através de O. Expressa-se

este efeito pela medida

rFsen Fd

onde d é a distância perpendicular do eixo de rotação até a linha de ação de F. A quantidade d é

denominada braço de momento de F.

► A unidade para torque é N m. Não confundir com trabalho, que têm as mesma unidades, mas

são conceitos muito diferentes.

► Responda a questão Pare E Pense 12.3. Correção: Substituir as três últimas palavras do texto

- na extremidade esquerda – por no ponto negrito na extremidade direita da haste.

► Ler e estudar as seguintes subseções:

► Interpretando o torque

► Torque resultante

► Torque gravitacional

► Binários

► Estudar o Exemplo 12.11

12.6 Dinâmica da rotação

► A Segunda Lei de Newton diz que uma força resultante sobre um corpo causa uma aceleração

nele. No caso de uma força resultante estar aplicada a um corpo rígido alavancado, causa uma

aceleração angular deste corpo girando sobre um eixo fixo e é proporcional ao torque resultante

atuando sobre aquele eixo.

► Considere um corpo rígido girando sobre um eixo

fixo, figura ao lado. Há um número infinito de

elementos de massa dm. Cada elemento de massa gira

em um círculo em torno do eixo de rotação que passa

pelo O, e cada um tem uma aceleração tangencial at

produzida por uma aceleração tangencial externa dFt.

Temos

( )t tdF dm a

O torque externo extd associado com a força dFt. é dado por

ext t td rdF a rdm

Como ta r , a expressão para torque extd se torna

2

extd r dm

Cada elemento de massa do corpo tem aceleração translacional diferente, at, todos têm a mesma

aceleração angular a. Podemos integrar a expressão acima e obter o torque externo resultante:

2

ext r dm

Utilizando a definição do momento de inércia do corpo sobre o eixo de rotação que passa por O,

então a expressão final é

ext I O torque sobre um corpo rígido é proporcional à aceleração angular.

►Responder: Você desliga sua furadeira elétrica e vê que o intervalo de tempo para a broca

parar de girar completamente, por causa do torque de atrito na furadeira, é t. Você substitui a

broca por uma maior, que resulta no dobro do momento de inércia de todo o mecanismo de rotação

da furadeira. Quando esta broca maior é girada na mesma velocidade angular e a furadeira é

desligada, o torque de atrito permanece o mesmo da situação anterior. Qual é o intervalo de tempo

necessário para esta broca atingir o repouso? (a) 4 t. (b) 2t. (c) t. (d) 0,5t. (e) 0,25t. (f)

impossível determinar.

► Responda a questão Pare E Pense 12.4

12.7 Rotação em torno de um eixo fixo

► Na resolução de problemas siga a orientação Estratégia para Resolução de Problemas 12.1.

Na Resolução incluir a Eq. 12.20 do livro texto.

► Vínculos de cordas e polias

A figura ao lado foi extraída do livro- texto.

► Perguntas: (A) Por que a corda não desliza?

(B) As tensões na corda, no lado esquerdo e direito da polia,

são iguais?. Explicar.

(C) O Exemplo 12.14 pode ser resolvido utilizando a

conservação de energia? Se sim, resolva-o usando esse

princípio. A energia mecânica se conserva no sistema

descrito no Exemplo 12.14?

(D) No Exemplo 12.14, se o cilindro se tornasse muito

massiva de modo que I ficasse muito grande, o que

aconteceria com a aceleração ay e a tensão T.

►

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